close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенное аналитическое решение задачи о возможности попадания в режим плоской авторотации вращающегося асимметричного тела входящего в атмосферу.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том
УДК
ЗАПИСКИ
2
XXXI
О
ЦАГИ
ом
00
1-2
629.7.0]5.076.8
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ О ВОЗМОЖНОСТИ ПОПАДАНИЯ В РЕЖИМ
ПЛОСКОЙ АВТОРОТАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
АСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА, ВХОДЯЩЕГО
В АТМОСФЕРУ
в. В. Ларuчева
для
нестационарных
существенно
нелинейных
уравнений
движения
около центра масс слабо асимметричного тела, свободно входящего в атмо­
сферу в режиме вращения в продольной плоскости, дается приближенное
аналитическое решение задачи о захвате
-
переходе вращательного решения
в колебательное. Определено критическое решение
-
граничное между ре­
шениями незахватываемыми (авторотационными) и захватываемыми, соот­
ветствующими безопасному спуску тела в атмосфере.
В итоге получены компактные аналитические формулы для расчета кри­
тического начального значения скорости углового вращения,
метров критического решения
-
а также пара­
времени и числа оборотов, потребных для
достижения близости к захвату.
Для входящего в атмосферу, вращающегося около центра масс тела
в
[1] -
[5]
выявлено влияние малой асимметрии тела на возможность воз­
никновения явления авторотации
-
непрекращающегося вращения с на­
растающей угловой скоростью.
В данной статье продолжается начатое в
[2] -
[5]
аналитическое ис­
следование случая, когда слабо асимметричное тело входит в атмосферу,
вращаясь в продольной плоскости. Аналитически решена краевая задача
первого порядка об определении критического решения, являющегося гра­
ничным между решениями вращательными:
1)
авторотационными и
2)
ве­
дущими к захвату в область колебаний около центра масс тела.
В отличие от
[2] -
[5]
в данной статье анализ основывается не на ис­
пользовании метода усреднения, а на свойствах квазистационарного при­
ближения, достигающего близости к захвату одновременно с точным ре-
]88
шением. В качестве примера использования квазистационарных решений
в других задачах сошлемся на
1.
[6], [7].
Уравнения движения.
большой скорости
Vo под
Рассмотрим входящее в атмосферу (на
малым углом
80 < О
наклона к горизонту) слабо
асимметричное тело, вращающееся около своего центра масс в продольной
плоскости с постоянной угловой скоростью
Как известно
[2] -
ro zo .
в пренебрежении малым в верхних слоях атмо­
[5],
сферы аэродинамическим демпфированием, уравнения движения около
центра масс спускаемого тела в продольной плоскости имеют вид
dro z
( т +Б l1т ) q,
--=у
z
J z
dt
здесь а,
ro z
-
da
-=ro
z,
dt
( v=SI/I ) ;
угол атаки и угловая скорость тангажа,
1z - момент инерции
2
ла, q = pV /2 - скоростной напор.
деля и длина тела,
z
(1)
S, 1 -
площадь ми­
относительно поперечной оси те­
Тело является почти осесимметричным и имеет небольшое смещение
l1y
центра масс в продольной плоскости ниже оси геометрической сим­
метрии и малое искажение поверхности. Из-за нарушения симметрии тела
возникает дополнительный аэродинамический момент с коэффициентом
l1т z (а), малость которого в
(1)
отмечена малым параметром Б J
> О.
коэффициенты аэродинамических моментов: основной т z (а) от стро­
го осесимметричной формы тела и дополнительный l1т z (а) от асиммет­
рии тела
-
описываются периодическими по а с периодом 2л функциями
и могут быть представлены рядами Фурье. Ряд для т z (а) состоит из одних
нечетных гармоник
sin(na), n = 1, ... ;
ряд для l1т z (a) содержит нулевой
член, поэтому
Без последнего неравенства
Как в
[2] -[5],
(J') авторотация
невозможна, см. ниже п.
4.
предполагаем, во-первых, что на интересующем нас
верхнем участке траектории скорость Vo и малый угол наклона
1801« 1
постоянны. Во-вторых, плотность атмосферы р(н) предполагаем изме­
няющейся по высоте Н по экспоненциальному закону с постоянным лога­
рифмическим градиентом л. в итоге, скоростной напор
q (1:)
медленно
изменяется при спуске тела по экспоненциальному закону
v2 /2 =qo ехр(лvоl sin8 0 1· ().
q( 1:) = р(Н) 0
(2)
Здесь фактическим малым параметром является безразмерная величи­
на
1
sin 8 01, однако медленность изменения скоростного напора удобно
189
характеризовать размерной малой величиной Ел' = л'/ sin е о/ Vo, с -1, вводя
=Ел't .
безразмерное медленное время как 't
2.
Невозмущенное движеиие. Сепаратриса. Полагая в
(1)
Е
= Е I = О,
придем к автономной, консервативной не возмущенной системе, для кото­
рой первым интегралом служит «энергетическое» соотношение
(3)
где
а
F(a) =
Jтz(o:)da,
Здесь константа
(02
1
Fo
2п
=-J
F(a)da = О,
2n
Fm
о
= тах/ F(a)l·
(3')
имеет смысл приведенной удвоенной полной
энергии невозмущенной системы, по ней можно судить. о характере дви­
жения около центра масс тела: вращение при (02 < 2vqFm .
при (о 2 > 2 vqFnp колебания -
Апериодическому режиму соответствует граничное равенство
(4)
которым определяется особое решение уравнений невозмущенного движе­
ния
сепаратриса. На фазовой плоскости а,(О z она представляе't 'собой
-
самопересекающуюся кривую, проходящую через седловую особую тОчку.
Уравнение сепаратрисы получим из
(3) с учетом (4):
(4')
Возмущенное движение. «Возмущенная» сепаратриса. Следуя
3.
теории возмущений, воспользуемся соотношением
q,(02
ной
для замены в (1) переменной
(1)
(oz
на
(02
(3)
при переменных
и перейдем к эквивалент­
системе уравнений возмущенного движения
(5)
(5')
с начальными услоl3ИЯМИ а о' (о ~
Соотношениями вида
сепаратрису, которая,
= (0;0
(4), (4')
при
2 vq о F( а о)·
q('t) = var
опишем «возмущенную»
в отличие от невозмущенной,
уравнениям возмущенного движения
ресекать такую «сепаратрису».
190
-
(5), (5'),
не удовлетворяет
решения которых могут пе­
4.
Авторотация и задача о захвате. Если входящее в атмосферу
асимметричное тело вращается около центра масс (в продольной плоско­
сти) с достаточно большой по модулю угловой скоростью
вращение спускаемого тела не только продолжится,
ffi zo ,
то далее
но из-за асимметрии
тела его угловая скорость может нарастать (плоская авторотация
[2] -
[5]).
Разумеется, авторотация невозможна при отсутствии нарушений осевой
симметрии тела.
Для безопасного спуска тела в атмосфере необходимо уменьшить ве-
личину Iffi Zo I так, чтобы с течением времени происходил захват - переход
вращения в колебания около центра масс тела. Поэтому возникает вопрос
об определении граничного значения ю:~ называемого критическим, при
котором еще происходит плоская авторотация, но уже при небольшом
уменьшении величины ffi кр произойдет захват в область колебаний.
Zo
Укажем «энергетический» критерий захвата. Для этого перепишем вы­
ражения медленно изменяющейся функции
(4)
при
q = var
и ее про извод­
ной как
Функциями
(6)
характеризуется энергетический уровень «возмущен­
ной» сепаратрисы и скорость изменения уровня.
Если в некий момент t 1 характеристика ffi 2 (t) энергетического уровня
решения (5), (5') и ее производная dffi 2 /dtHe превысят соответствующих
сепаратрисных значений (6), то произойдет захват решения (5), (5') в об­
ласть колебаний; причем в случае точного совпадения с сепаратрисными
значениями
(6)
решение
(5), (5')
будет критическим
-
граничным по от­
ношению к захвату.
Отметим, что критерий
[2] -
[4],
основанный на свойствах нижней
амплитудной кривой угловой скорости, эквивалентен данному.
5.
Амплитудные кривые и линия центров колебаний угловой ско­
рости. В предположении, что на каждом периоде функция
mz (а)
имеет
лишь по одному максимуму и одному минимуму, рассмотренная выше не­
возмущенная система имеет устойчивое и неустойчивое положение равно­
весия, в которых балансировочные значения а 1 ,а l! угла атаки являются
главными значениями корней уравнения
или а l! функция
mz (а) = о.
Поэтому при а
=а 1
(3') экстремальна
191
и тогда из
(3)
следуют выражения для амплитудных кривых (характери­
стик) угловой скорости
0)2
Z8,H
в равенстве
(или
«-»)
(7)
= 0)2 ± 2vqFm,
(0)2
;:5 0); ;:5 0)2 ).
(7)
ZB
ZH
слева нижний индекс «в» (или «н») и справа знак
«+»
соответствуют верхней (или нижней) амплитудной кривой. Не­
равенствами
(7), заключенными в скобки, отмечаются пределы изменения
точной функции 0); (t) .
Пользуясь условием F(a) = О, которому удовлетворяет корень с глав­
ным значением а ~ ( а 1 + а II )/2, выделим из (3) срединную характеристи­
ку 0);, определяющую линию центров колебаний угловой скорости
(7')
На этой линии потенциальная энергия невозмущенной системы обра­
щается в нуль, и полная энергия равняется кинетической, величина кото­
рой пропорциональна среднему арифметическому из значений
следние, как видно из
на
(7), (7'),
(7).
По­
можно определить, если известна величи­
(7').
В возмущенном движении характеристики
(7), (7')
становятся медлен­
ными переменными. Из (7), (7') при q = var усматривается, что в момент
достижения точной функцией 0); (t) «возмущенной» сепаратрисы ее дос­
тигнут также: функция 0)2 ('t) в ТОЧl(е сепаратрисы, где F(a) = О,фУI;IКЦИЯ
0)2
ZH
(-е) -
в седловой точке, ФУНКЦИЯ 0)2 ('t) в верщиннойточке «возмуZB
щенной» сепаратрисы.
В связи с отмеченным свойством синхронности, очевидно, что .для вы­
явления условий близости решения
(5), (5')
к захвату достаточно просле­
дить, например, поведение переменной (о 2 ( -с) .
6.
Приближенное решение задачи о захвате. Изложим (пока фор­
мально) способ получения бесколебательного приближения к решению
(5'),
(5),
достигающему близости к захвату.
Пользуясь заменой
002 =ro
2
+2vq(t)f:)f(a),
F(a)= F(a)+Ejf(a),
[f( а) = 1("'", (а) - "'"," )d а ).
перейдем от
(5), (5') к эквивалентной системе
0);=ffi2t2vqF(a),
dffi 2 /dt=2Елvq[k1 {J)z-F(а)],
192
(8)
da/dt=O)z,
(k1 =ЕID.тzо/ЕЛ).
(9)
(9')
Ряд Фурье периодической функции
поэтому систему
F(a)
не содержит нулевого члена,
можно рассматривать как колеблющуюся около
(9), (9')
многообразия, определяемого укороченными, не зависящими от а уравне­
ниями:
.
-
ooz2 =00- 2 , doo- 2/dt=2t.Лvqk t оо.
а=оо,
Последнее уравнение
с учетом
(2) легко
(10)
(1 О) имеет бесколебательную правую часть и
интегрируется в виде
(10')
Укороченная система
(l О)
выделена из
(9); (9')
посредством условия
Р(а)=О,
(11 )
соответствующего характеристике -- линии центров колебаний угловой
скорости
00 z (t). (Аналогичным (11) является условие, приведшее к харак(7'».
Для (1 О) допустимо любое начальное значение 00 zo' но другое усло-
теристике
вие -- частное: ао = ао, где ао ~ (а 1 + а Jl )/2 -- главное значение корня
уравнения (11), а балансировочные значения а 1 ,а Jl являются главными
значениями корней уравнения
(11 ')
в котором учитывается вклад гармоник малого коэффициента Е 1 Am z (а)
аэродинамического момента, возникающего от влияния малой асимметрии
тела. Тогда как выше при выводе
корни более простого уравнения:
(7')
использовались в качестве а [,а Il
mz (а) = О,
следующего из
(11')
при
t.l= О.
Решение
(9), (9'),
приближающееся к захвату, будет критическим, если
в неЮ1Й момент t 1 компоненты решения
ro Т, (dffi 2 / dt) 1 сравняются по ве-
личине с соответствующими сепаратрисными, определяемыми соотноше­
ниями
(6).
Поэтому потребуем выполнения при
t
=t 1 равенств
из которых определим значения
(12)
являющиеся концевыми для краевой задачи первого порядка о близости
решения
(9), (9') к захвату.
193
Подставляя
(12) в (l О') и разрешая последнее относительно
000'- ре­
шая тем самым краевую задачу первого порядка, получим формулу для
определения критического начального значения угловой скорости тангажа
Ы;~ = 000 = k, vqo + Fm/2k, ~Fm/2k], (k] = Е,дmzо /ЕЛ).
На основании
(12), (13) устанавливаем,
(13)
что
(13')
Формулы (13), (13') выписаны в учетом того, что величина k, vqo пре­
небрежимо мала уже при Но 2110 км (при данных приведенных ниже
примеров).
Начальным условием
(13) с добавлением к нему значения ао =ао ~
~ (а 1 + а 1I ) /2, являющегося главным значением корня уравнения (11), оп­
ределяется критическое решение
q] / qo
(9), (9').
Вдоль последнего отношение
может меняться (в зависимости от величины Но) в десятки, сотни и
более раз, но величина отношения
00, /000'
согласно (13'), остается почти
неизменной.
~aK показали расчеты, точная зависимость Ы;~ от ао такова, что при
Но > 11 О км на довольно большом массиве значений ао величина Ы;~ поч­
ти постоянна и к ней близок (с некоторым завышением) результат форму­
лы
(13).
Практически при тех же условиях близок к точному (с некоторым
занижением) результат формулы
Ы;~ ~ 0,41F';/ k], (F~ = тахl mz(a) 1,
полученной в
[5,
стр.
163]
k,
=Е]дmZQ /ЕЛ),
(14)
на базе предложенной автором специальной мо­
дификации метода усреднения. Ниже, см.
(17)
и рис.
1, 3, 4,
ограничимся
случаем F~ = А, .
Укажем на связь (13) с результатом [2] верно
000 ~ ЫО,
п~скольку, как видно из
чин при этом пропорциональна
тогда, как следствие,
лой
[2] -
[4].
(13)
[4] дЛЯ Ы;~ и (,. При (о
=О
(8), разность квадратов этих вели­
qo ~ О и, значит, пренебрежимо мала. Но
совпадает с соответствующей расчетной форму­
Кроме того, здесь и в
[2] -
[4]
время t], потребное для дос­
тижения близости к захвату, одинаково определяется формулой вида
(12).
Но есть и различие. Вклад от суммы малых гармоник Е,[ дmz(а)-
-дmzQ ] отсутствует (аннулируется при усреднении) в результатах [2] - [5].
Тогда как выше в балансировочном уравнении
(11')
упомянутая сумма
гармоник учитывается как малая добавка, что в итоге приводит к уточне­
нию начального значения угла атаки ао = ао для системы
да уточнение наболее значимо в случаях, когда Но
194
< 11 О
(1 О).
км.
Такого ро­
Отметим наиболее важное. Уравнениями
посредством условия
выделенными из
(9), (9').
Для последней из
ны приближенные выражения медленно
(] О)
получе­
изменяющихся характеристик
Причем, из-за бесколебательности
dm 2 / dt
мость привлечения метода усреднения для исследования
7.
(9), (9')
описывается образ, относительно которого про­
(11),
исходят колебания в системе
m2 , dm 2/dt.
(10),
отпала необходи­
(1 О).
Особенность и геометрический смысл приближенного решения.
Убедимся, что приближение
(10), (11)
можно рассматривать, как начи­
= О, t = -00,
нающееся из бесконечно удаленной особой точки, где
q
падающее в этой точке с точным решением
Действительно, при
t
(9), (9').
и сов­
=- 00 (когда, как видно из (2), q(.) --). О) из (9), (9') и (1 О), (11) вытекают
одни и те же предельные соотношения
(15)
которыми описывается стационарный режим кругового вращения около
центра масс тела с постоянной угловой скоростью ffi zo (<<кувыркания»).
Сравнивая
(10), (11)
с
(15),
заключаем, что приближением
(10), (11)
описывается квазистационарный режим почти кругового вращения тела с
почти постоянной угловой скоростью ю(.). Последняя, как видно из
изменяется в весьма узких пределах на всем интервале О:::;
Следовательно, приближение
(1 О), (11)
t :::; 1)
начинается при
(13'),
до захвата.
q::::> О стацио­
нарным режимом «кувырканий», совпадает при этом с результатом точно­
го решения
(9), (9'),
далее (вплоть до захвата) развивается квазистационар­
но и пересекается с точным решением периодически
нения на последнем условии
-
в моменты выпол­
(11) F(a) = О.
Простые выражения (10), (10') для ы 2 , dю 2 /d( приближенно характе­
ризуют энергетический уровень и скорость его изменения вдоль решения
(9), (9'),
поэтому
(1 О), (] О')
использованы выше при аналитическом реше­
нии краевой задачи о близости решения
8.
Число оборотов
N,
(9), (9')
к захвату.
дО захвата. Величина
N)
определяется фор­
мулой
где а), ао
-
концевое и начальное значения угла атаки.
После подстановки (1 О') в (l О) получим приближенное уравнение,
описывающее нарастание по времени функции 1a(t) 1. Поскольку на самом
деле вблизи захвата рост 1a(t)
ние а) (и
N,)
1
замедляется, то неудивительно, что значе­
оказывается завышенным.
Более точный результат достигается при равномерном изменении а по
времени
195
(16)
где tl,
050
определяются формулами
Соотношение
(16)
(12), (13).
получается в результате интегрирования по времени
на интервале [о, t 1 ] выражения (l О') дЛЯ
ro
при аннулировании к моменту
захвата t 1 интеграла от асимметричного члена k j v (q -
%), что согласуется
с физическим смыслом рассматриваемой задачи. Дело в том, что при при­
ближении решения к захвату влияние асимметрии ослабевает, а после за­
хвата колебания переменной
OOz(t)
становятся практически симметричны­
ми около нуля.
Прuмечанuе к nунктам
[2] -
[4]
Однако в
6-8.
Отметим, что методическим результатом
являлись также аналогичные
[2] -
[4]
уравнения вида (9),
211
ни (с переменным периодом Т =
(10), (10') укороченные уравнения.
(9') сначала усреднялись по врем е-
Jda/oo z), затем усреднные уравнения
о
упрощались вдоль линии центров колебаний угловой скорости
получались уравнения вида
в итоге
-
(l О), (1 О').
Таким образом, уравнения линии центров колебаний угловой скорости
можно выделить не только непосредственно, но и посредством упрощения
усредненных уравнений возмущенного движения вида
Обратим внимание, что, если для
Qo, не
или
(9), (9').
(12) предполагать порядок величины
(12) следует стремление t j к беско-
превышающим Е, то при Е --) О из
нечности по закону
9.
(5), (5')
Iln( 1/ Е) I/Е .
Сравнение с точными численными решениями. Ограничимся
случаем, когда форма спускаемого тела осесимметрична, а центр масс тела
смещен ниже оси его геометрической симметрии на малую величину
Ду<О: /ДУ/Z/=Е1/ дуl«I.
Примем, что аэродинамические коэффициенты данного тела опреде­
ляются простейшими формулами:
(17)
Тогда
дтz = Ct(a)E1~Y = Е1дтzо + Е1 ДУВ1 cosa, (Е1 дтz о = Е1 дУС tо )'
(18)
а
F(a) =
Для
(l О)
Jтz<a)da,
Р(а) = F(a) + Е1 ДУВ1 sina.
в качестве ао подходящими являются корни ао
ветственно уравнений
F( а)
=О
и
F( а) = О,
см.
=900
(1 О), (11').
(19)
и
550 соот­
Далее для про­
стоты ограничимся значением ао ~ n/2, т. е. примем Р(ао) ~ F(ao). Хотя
в случае Но = 100 км это ухудшает точность приближенного результата.
196
Для коэффициентов, входящих в
или
(1)
(9), (9'); (17) -
(19),
зададим
численные значения
А 1 =0,05,
С'О =0,2,
В1 =1,2,
Еjд'У=Д,у/I=-0,03,
ЕjД,УС,о = -0,006, v = Sl/Iz = 0,0543 м 2 / кгс· с 2 .
Пользуясь
вое
(J" 1
~-
41 о
определим для системы
(17), (18),
инеустойчивое
(J" JI
(1)
или
(9), (9')
устойчи­
балансировочные значения угла
= 1500
атаки.
Для начальных высот НО
км зададим начальные: скорость
= 100 + 300
входа Vo и скоростной напор qo(Ho) в соответствии с формулами
Vo = ~2qо(lОО)/Р(lОО) , Qo(Ho) = p(Ho)Qo(1 ОО)/Р(1 00),
где Р(Но ) -
плотность атмосферы на высоте НО (по таблицам стан­
дартной атмосферы 1981 г.); в частности, р(100) =5,65·10-8 кгс.с 2 /м 4 ,
Qo(lOO) = 3 кrc/M 2 - плотность атмосферы и начальный скоростной на­
пор при НО = 100 км.
Зададимся значениями параметров
lV
Ел.= 1..1 sin8 o o =(0,05+0,07), с- I
k j = ЕjД,УС,о /й = -( 0,12 + 0,0858) = -(2,4 + 1, 72)A 1 , С.
При перечисленных предпосылках для
захвата
-
уравнений
краевая первого порядка
(1),
или
(9), (9').
-
(1)
численно решалась задача
как задача Коши интегрирования
Для каждого ао подбиралось такое значение
со zo' чтобы в некий, заранее неизвестный момент
нялось условие со z
= О;
t1
приближенно выпол­
далее проверялось, чтобы при небол-ьшом умень­
шении Iсо Zo I происходил захват решения в область колебаний.
Расчеты показали, что для уравнений
(1) или (9), (9') решение типа,
6-8), реализуется в довольно
параметров ао, Ел.,Но .
проанализированного выше (см. пункты
широком диапазоне изменения
Так, при НО
= 100
км на точном критическом решении на большом
массиве значений ао Е [ -п, п] достигается вблизи захвата концевое значе­
ние угла атаки аl ~-10 рад. При ао =п/2, Ел.=(0,05+0,07) с- ! точное
решение
имеет
N} : : : : -1,85;
параметры
co;~ = фо = -0,24 c- I ,
а из приближенных формул
данные: Фо=-0,255 c-
j
,
(12), (13), (16)
t)
= (47,5 + 38)
с,
при этом следуют
t l =(47,2+43,2) С, N) =(1,73+2,05), приемле­
мо согласующиеся с точными.
Во многом аналогичные выводыI можно сделать по результатам расче­
тов для Но =120+250 км; а при условии Ел.гО,О635с-) также дЛЯ
НО =300 км.
197
Но =700КМ,f,л=о,057с-; qо=Jкгс/м 1
--2
-3
ш"!q,гГ' о по ФОf/М.УЛС (7J)
о; ."
(7~)
-7
о
1
2 сх.о,роо
-0,1
1--4,
где тем-
ными И светлыми кружочками указаны ана-
литические значения со КР, рассчитанные по
zo
(13), (14). Рис. 1, 2 соответствуют случаю НО = 100 км, ЕЛ = 0,057 c- 1,
2
qo = 3 кгс/м ; рис. 3 -случаю НО = 200 КМ,
qо=I,35.10- З кгс/м 2
(Po=2,55.10- 11 кгс.с 2 /м 4 );
-o,z
Рис.
Некоторые результаты точных числен­
ных решений даны на рис.
•
1
Ел=0,0635с- 1 ,
формулам
рис.4-случаю Но =300 км, Ел=О,07 c- 1, qo=I,04.10-4 кгс/м 2 (Ро=
=2.10-12
кrc.c 2 /M 4 ).
t,c
Рис.
2
кр
кр
-7
ШzlJ,с
Н о =200км
ел=0,О6Js-
-3
-2
Но=ЗОО/(м
о по (/OPМf//1E (13)
0,2
1
-1
-1
ШZо'С
• "
О
(7'1)
2
(ХО, /ll1iJ
-3
-2
-1
о по фО/lМ!JIIЕ (13)
• "
(111)
J
О
-0,2
•
Рис.
O,Z
<.Л=0,07- 1
3
Рис.
•
4
На каждом из рис. ], 3, 4 изображена зависимость со ~~ от <Хо, опреде­
ляющая граничную кривую, ниже которой располагается область авторо­
тационных начальчых условий, выше
-
область начальных условий, ве-'
дущих к захвату. Влияние qo при аналитическом определении co:~ прояв­
ляется в случае НО
муле
(13),
входящему в
В случаях НО
В правой
затем
= 100 км: значение при <Хо = тс/2 вычисляется по фор­
пересчетом
по
«энергетическому»
соотношению,
(9), находятся значения при q = qo, <Хо *- тс/2, см. рис. 1.
= 200 + 300 км величина qo пренебрежимо мала.
части каждой из граничных кривых на рис. 1, 3, 4 возникает
небольшой скачкообразный излом, соответствующий наличию небольшой
области неединственности решения краевой задачи о захвате
[3], [4].
При­
чем решения, которыми определяется правая (после излома) часть гранич­
I
ных кривых рис. ], 3, 4, имеют уменьшенное на 2тс значение <Xll по срав198
нению с решениями, определяющими левую часть. Здесь (слева) а1 ~
~-10 рад (рис.
1),
аl ~-41,3 рад (рис.
3),
гласуется с данными аналитических формул
а1 ~-54 рад (рис.
4),
что со­
(12), (13), (16).
На рис. 2 дан пример точной численной зависимости со ~p от времени 1
-о
(для Но = 100 км, БА = 0,057 с- 1 , Qo = 3 кгс/м 2 ) при co zo = -0,26 с- 1 , ао =
=0,95 рад. Последнее является средним между балансировочными значе­
ниями а! ~-410, alJ =1500 системы (1).
Для сравнения на рис. 2 нанесена зависимость от времени бесколеба­
тельной угловой скорости ro ("t) приближения (1 О') на интервале
[0,1) = 46 с]. При 1 = 11 В точном решении угловая скорость близка к нулю.
На фазовой плоскости а, со z ему соответствует точка, близкая к седловой
особой точке на сепаратрисе, где проходит также частное решение типа
зависания в седловой точке. Кроме того, как показано в
[3], [4],
при изме­
нении ао может приблизиться к нулю предыдущий minlcozl. Уравнивание
предыдущего и последующего значений minl coz(t) I происходит в области
неединственности решения задачи: при дальнейшем увеличении ао пре­
дыдущий minl coz(t) I становится меньше последующеro, что соответствует
I
решению с уменьшенным а)1 на 2п.
10. Эмпирические закономерности. Orметим две из них для решений
(9), (9').
1) Расчеты показали, что на критическом решении в окрестности вер­
шин нескольких предзахватных нижних витков колебательной функции
O)z(t) начинает выполняться неравенство
0)2
< 2 vqFm, тогда как признаком
области вращения около центра масс тела является неравенство обратного
знака со 2 > 2vqFm. Иными словами, в возмущенном движении на критиче­
ском решении наблюдаются некоторые отдельные непродолжительные на­
рушения условия периодичности о) z по а.
2) Из расчетов критических решений усматривается, что медленно
возрастающая функция о) 2 становится почти постоянной в течение време­
ни прохождения предзахватного витка колебаний
()J z
(t). (Это объясняется
уменьшением в предзахватной ситуации влияния асимметрии тела на па­
раметры решения.)
Значит, можно указать следующие условия близости решения
(9), (9')
к захвату в некий момент t 1
ro; == 2vQ1Fm; (dro 2 /dt) 1 =О
Согласно
(20),
при
t
= t1 в
при Р(а) = Fm.
(20)
окрестности верхней части предзахватного
витка приближенно выполняется сепаратрисное энергетическое соотноше­
ние и становится постоянной величина
ro 2.
А далее при t >.! l' как под199
тверждают расчеты, вместо (20) начинает выполняться неравенство 052::::
:::: const < 2vqFm, смысл которого пояснен выше.
Из
(20)
с учетом
(]
концевые,
Ф] =..fiFm/2k], vq] = Fm/4k]2, (k] =Е]t1тzо /Е"л).
(21)
аналогичные
(9')
найдем соответствующие моменту
(12) значения
После подстаlЮВКИ (21) в
чим аналогичные
(13) -
(14)
(10') и разрешения относительно фо
расчетные формулы
КР =O)o~0,455Fm
o)zo
Значения
0):,
полу-
jk ],
ЕЛ!]
=In ( Fm / 4k]2 vqo ) .
(22)
определяемые первой формулой (22), являются проме­
жуточными по отношению к
(13), (14)
и хорошо согласуются с точными на
весьма большом массиве значений НО' ао. В течение времени t], опреде­
ляемом второй формулой
ки а! (и числа оборотов
11.
происходит основное приращение угла ата­
(22),
N,).
В заключение отметим, во-первых, что в случае осесимметричного
тела, когда вместо неравенства
(] ')
выполняется равенство
(23)
0):: =
из (13) следует верный по физическому смыслу результат:
00,
т. е.
невозможность возникновения авторотации, если спускаемое тело строго
осесимметрично по форме и распределению масс.
е использованием метода усреднения и понятия линии центров коле­
баний угловой скорости случай
(23)
исследован, например, в
[8].
Во-вторых, в случае асимметрии вращающегося спускаемого тела воз­
можно применение свойств линии центров колебаний угловой скорости не
только непосредственное, описанное здесь выше, но и для упрощения (как
в
[2] -
интегралов, входящих в правы е части усредненных по времени
[4])
уравнений вида
или
(5), (5')
(9), (9'),
см. выше: примечание к пунктам
ЛИТЕРАТУРА
Ш и л о в А. А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии
1.
тела на характер его пространственноro движения//ДАН СССР.183,N~5.
2.
Т ..
Л а р и ч е в а В. В., Ш и л о в А. А. Аналитический метод определения
аналога
сепаратрис
при
ре//Космич. исслед.-
3.
19n8.
.
движении тела
1969.
Т.
7,
N~
около
центра
масс
в
атмосфе­
1.
Л а р и ч е в а В. В. О разрывном характере аналога сепаратрис при
движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере/lYченые за­
писки ЦАГИ.-
4.
1972.
Т.
III,
N~
3.
Л а р и ч е в а В. В. Авторотация при полете в атмосфере асимметрич­
ного тела, вращающегося около центра масс в продольной ПJюскостиllТруды
ЦArИ.-
200
1915. Rъш.
111~.
6--8.
5.
Я Р о ш е в с к и й В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере.­
М.: Машиностроение.-
6.
1978,
гл.
5,
стр.
161-163.
Л а р и ч е в а В. В. Эффективное преобразование и асимптотика одно­
го класса систем нелинейных дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-
1965, N22.
7. Л а р и ч
е в а В. В., Е Ф и м о в г. Б. Асимптотика несимметричных
колебаний маятника и эволюция разгонного движения точки в центральном
поле притяжения/lПрепринт ИПМ им. М. В. Келдыша.-
8.
1982. N2 56.
К У Р ь я н о в А. и., Л а р и ч е в а В. В. Приближенные параметры
перехода вращений в колебания около центра масс осесимметричного тела,
входящего в атмосферу//Ученые записки ЦАГИ.-
1979.
Т. Х,
NQ 6.
Рукопись поступила 311Х 1997 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа