close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенное решение одного уравнения теории крыла методом асимптотических полиномов.

код для вставкиСкачать
Математика
Таблица 2
ВЫВОДЫ
Таблица значений t(n; )
n/
0,90
0,95
0,99
0,999
5
1,99
2,78
4,60
8,61
6
1,96
2,57
4,03
6,86
7
1,93
2,45
3,71
5,96
8
1,90
2,37
3,50
5,41
9
1,88
2,31
3,36
5,04
10
1,86
2,26
3,25
4,78
12
1,84
2,20
3,11
4,44
14
1,82
2,16
3,01
4,22
16
1,80
2,13
2,95
4,07
18
1,78
2,11
2,90
3,97
20
1,76
2,09
2,86
3,88
25
1,74
2,06
2,80
3,74
30
1,72
2,04
2,76
3,66
35
1,70
2,03
2,72
3,60
40
1,69
2,02
2,71
3,56
50
1,68
2,01
2,68
3,50
60
1,67
2,00
2,66
3,46
70
1,67
1,99
2,65
3,44
80
1,66
1,99
2,64
3,42
90
1,66
1,98
2,63
3,40
100
1,65
1,98
2,63
3,39
120
1,65
1,97
2,62
3,38
Разработана простая и удобная в применении методика распространения данных выборки на генеральную совокупность. Она позволяет всесторонне проанализировать генеральную
совокупность с достаточно высокой степенью
надежности:
1) оценить интервал вариации признака генеральной совокупности формулой (правило
трех дельта) x  3  xг  x  3;
2) оценить объем генеральной совокупности N, обладающий значением признаm
ка хк, формулой N  xк   к N с точностью
n
n

3 1   %.
 N
ЛИТЕРАТУРА
1. Статистика / И. И. Колесникова [и др.]. – М., 2007.
2. Захаренков, С. Н. Статистика / С. Н. Захаренков. –
Минск: БГУ, 2010.
3. Общая теория статистики / под ред. Л. И. Карпенко. – Минск: БГЭУ, 2007.
4. Статистика автомобильного транспорта / И. М. Алексеева [и др.]. – М., 2005.
5. Статистика / под ред. И. М. Елисеевой. – М., 2009.
6. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. – М., 2002.
Поступила 30.03.2012
УДК 517.956
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛА
МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Канд. физ.-мат. наук, доц. ГРИБКОВА В. П.,
канд. техн. наук, доц. КОЗЛОВ С. М.
Белорусский национальный технический университет
В [1] подробно анализируется один из приближенных методов решения уравнения теории
крыла конечного размаха, которое описывается сингулярным интегро-дифференциальным
уравнением
78
1
( x) / B( x)  (1/ 2)  (t ) /(t  x)dt  f ( x),
1
x[–1, 1],
(1)
где f (x) и B(x) – известные функции (функция
B(x) нигде не обращается в нуль, за исключеНаука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
Математика
нием, может быть, концов промежутка, и на
всем промежутке больше нуля); Г(x) – искомая
функция (Г(1) = Г(–1) = 0).
Рассмотренный в [1] метод Мультоппа основан на замене точного решения тригонометрическим интерполяционным многочленом Лагранжа, построенным на узлах xk =
= cos(k  /(n  1)), k  1, n и выраженным через
полиномы Чебышева второго рода:
M rf  (2/(r  3)) k 1 (1)k f ( xk )(1  xk2 ),
r 2
а функции (rn)2 ( x) выражаются через полиномы Чебышева второго рода, поэтому такое разложение можно назвать рядом Фурье – Чебышева.
Представим приближенное решение уравнения (1) в виде асимптотического многочлена,
умноженного на 1  x 2 :
U n ( x)  sin((n  1)arccos x) / 1  x 2 ,
либо при замене x  cos  , [0, ] U n (cos ) =
= sin (n  1) / sin . Аналогичное приближенное
решение рассматривается в [2], но для пространства L2 с нормой
|| f ||
  (x) | f (x) | dx 
1/ 2
1
2
1
.
В данной статье предлагается метод, аналогичный рассмотренному в [1], который построен на полиномах Чебышева второго рода, но на
других узлах. Этот метод удобен тем, что позволяет для каждого приближенного решения
вычислить погрешность для любой точки промежутка [–1, 1] в виде ряда на основе последовательности линейных функционалов [3], который можно назвать рядом Фурье – Чебышева.
Кроме того, если получить решение в виде
многочлена при некотором небольшом значении n и рассмотреть погрешность в виде этого
ряда, то можно определить номер элемента,
начиная с которого будет выполняться заданная точность для многочлена любой степени n.
В [1] искомая функция представлена как
произведение ( x)  1  x ( x). Тогда функ2
ция (x) обладает теми же аналитическими
свойствами, что и Г(x). Рассматриваем решение
уравнения (1) в пространстве С с нормой
|| f || max | f ( x) | . Используем в работе предx[ 1, 1]
ставление любой функции f (x) в виде асимптотического многочлена Gnf ( x) и остаточного
члена Rn ( x), рассмотренное в [3]:
f ( x)  Gnf ( x)  Rn ( x)  Gnf ( x)   r n M rf (rn)2 ( x) ,

где линейные функционалы функции f (x)
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
n1 ( x)  1  x 2 Gnγ ( x);
( x)   n 1 ( x)  1  x 2 Gn ( x) 
 1  x 2  m 0 am U m ( x);
n
(2)
am  (2 /(n  3)) k 1  ( xk ) 
n2
(1  xk2 )U m ( xk ),
где узлы, на которых строится многочлен,
определяются по формулам:
xk  cos(k  /(n  3)), k  1, n  2.
(3)
Над  и  ставятся черточки в знак того,
что эти функции строятся на ординатах, вычисленных приближенно.
Для решения задачи (1) удобнее перейти от
асимптотического многочлена (2) к соответствующему ему интерполяционному многочлену Gn1 ( x) [3], здесь черта сверху означает интерполяционный многочлен, соответствующий
асимптотическому Gn ( x):

G n1 ( x)  Gn ( x)  M nn U n1 ( x);

( x)  1  x 2 G n 1 ( x) 
 1  x 2 (Gn ( x)  M nn U n 1 ( x)).
(4)
Асимптотический многочлен Gn ( x) в k =
= 1, n  2 узлах (3) отклоняется от интерполяционного на величину линейного функционала M nn

G n1 ( xk )  Gn ( xk )  (1)k M nn ,
(5)
где  = +1 либо  = –1. В данном случае для
простоты примем  = +1. Линейный функционал M nn вычисляется по формуле
79
Математика
M nn  (2/(n  3)) k 1 (1)k  ( xk )(1  xk2 ). (6)
n 2
Для функции, являющейся полиномом степени, меньшей или равной n, многочлен (4) будет точным решением. В дальнейшем будут
использоваться обозначения:
 ( xk )  k и k  1  xk2 k .
Gn1 ( x)   m0 am U m ( x)  M nn U n1 ( x).
n
(7)
Уравнение (1) представим как операторное
F ( x, ( x))  f ( x). В [4] рассматривалось аналогичное применение асимптотических многочленов, построенных на полиномах Чебышева
первого рода.
Первое слагаемое уравнения (1) приближенно представим следующим образом:
( x) / B( x)  GnB1 ( x) 
 (2 /(n  3)) k 1 (k / Bk )(1  x )U m ( xk ) 
k
n2
Если многочлен (4) представить через переменную , продифференцировать его по  и
использовать известные равенства (при m = 0
интегро-дифференциальный оператор равен
нулю):

(1/ )  cos m /(cos   cos )d  
0
(9)
 sin m / sin   U m1 ( x), m  1,...; [0, ],
то для второго слагаемого (1) получим выражение

(1/ 2)  () /(cos   cos ) d   (1/ 2) 

0
 1 x G
2

n 1

/
m0

(m  1)amγ U m ( x)  M nnγ (n  2)U n 1 ( x) .
n
где коэффициенты вычисляются по формулам:
amf  (2/(n  3)) k 1 f k (1  xk2 )U m ( xk ), m  0, n,
n2
а линейный функционал
M nf  (2/(n  3)) k 1 (1)k f k (1  xk2 ).
n2
Подставляя (7), (8), (10), (11) в уравнение (1),
получим равенство для вычисления приближенного решения ( x)  1  x2 Gn1 ( x)
G n 1 ( x)  (1/ 2) 

f
(12)
или с учетом равенств (7)–(11) от уравнения (12)
перейдем к уравнению

2
k
 (2 /(n  3)) k 1 (1)k ( k 1  xk2 / Bk )(1  xk2 ).
0
n
f ( x)  G n1 ( x)   m0 amf U m ( x)  M nf U n1 ( x), (11)
 (2 /(n  3)) k 1 (1) (k / Bk )(1  x ) 


1
 (2/(n  3)) k 1 ( k 1  xk2 / Bk )(1  xk2 )U m ( xk );
80
 (1/ 2)
1
n2
M
(10)

 M nn (n  2)sin(n  2) / sin   

 ( 1  x 2 G n 1 (t )) /(t  x)dt  G n 1 ( x),
2
k
n 2
am (m  1)sin(m  1) / sin  
B
n
B
nn
m0
(8)
B
  m 0 amBU m ( x)  M nn
U n 1 ( x);
a
n
f
Учитывая выражения (4)–(6), приближенное
решение для (x) будем отыскивать в виде (4),
где
n 2

Функцию f (x) заменим интерполяционным
многочленом вида (4)
( xk )  k ; f ( xk )  f k ; B( xk )  Bk ;
B
m
 (1/ 2)
() /(cos   cos ) d  
– (1/ 2)

n
m0
n
m0

B
amBU m ( x)  M nn
U n 1 ( x) 

(m  1)am U m ( x)  M nn (n  2)U n1 ( x) =
  m0 amf U m ( x)  M nnf U n 1 ( x).
n
(13)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых
полиномах Um(x) (m  0, n  1) в левой и правой
частях равенства (13), получим систему (n + 2)
уравнений:
B

f

am  am  am , m  0, n;
 B

f

 M nn  M nn  M n , m  n  1
с (n + 2) неизвестными k , которые можно
определить, подставив все выражения для коэффициентов amB , am и amf , а также соответствующие линейные функционалы k  1, n  2 :
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
Математика
 n2 
m 1
2
2
 k 1 k  1  xk / Bk  2 U m ( xk )(1  xk ) 



n2
2

  k 1 f kU m ( xk )(1  xk ), m  0, n; (14)

 n2
k
2
 k 1 (1)  k 1  xk / Bk  (1/ 2)( n  2) 

(1  xk2 )  M nf , m  n  1.



Существование решения системы (14) и его
единственность следуют из общих теорем для
проекционных методов, рассмотренных в [5],
а также в [1] для метода Мультоппа. В [1] доказана ограниченность оператора, описывающего
второе слагаемое уравнения (1), что дает возможность сделать вывод о сходимости метода
последовательных приближений при решении
рассматриваемой системы уравнений (14) от
какого бы начального значения не исходили.
Однако система уравнений (14) может быть
решена и любым другим методом.
После вычисления приближенных ординат
k и линейного функционала M nn (6) приближенное решение окончательно может быть записано либо с помощью асимптотического (2),
либо с помощью интерполяционного многочлена (4). Решение (2) отличается от решения (4)

при каких условиях многочлен G n 1 ( x) будет стремиться к точному решению  ( x) или

1  x 2 G n1 ( x) к ( x) .
Разность между выражениями (1) и (11)
имеет вид
1
 (t ) /(t  x)dt  f ( x))  (G
1
 ( 1  x G
1

n 1
B
n 1

 1 x G
2


n 1

( x) / B( x)  1  x 2  ( x) / B( x) 
 1  x  ( x) / B( x)  G ( x)  .
B
n 1
2
Тогда разность (15) можно переписать
в виде
 ( x ) 

 1  x  ( x) 


1  x 2 G n 1 ( x) / B( x) 
2



1  x 2 G n 1 ( x) / B( x) 
 1  x  ( x) / B( x)  G ( x)  
B
n 1
2
 1 1
   (t ) /(t  x)dt 
 2 1

1 n 1

  k (1  xk2 )(m  1)U m ( xk )U m ( x)  
2 m 0


f
 f ( x)  G n 1 ( x) .
Умножим правую часть на функцию B( x)

( x)  1  x 2 G n 1 ( x) 

 1  x  ( x) 
2
 B( x)  




1  x 2 G n 1 ( x) 
 1  x  ( x) / B ( x)  G ( x)  
B
n 1
2
(16)
1
 1/(2)  (t ) /(t  x)dt 
1

 (1/ 2) m 0  k (1  xk2 )(m  1)U m ( xk )U m ( x) 
( x)  (1/ 2)  (15)
(t )) /(t  x)dt  G


n 1
(( x) / B( x)  (1/ 2) 
2

 ( x) / B( x)  1  x 2 G n 1 ( x) / B( x) 
1  x2 M nn U n1 ( x). Рассмотрим,
на слагаемое
1
B
( x) / B( x)  G n 1 
f
n 1
( x))  0.
Представим ее следующим образом:

f

 f ( x)  G n 1 ( x)  Rn 1 ( x).
Кроме того, можно от разности между точным решением и интерполяционным многочленом (4)
( x) / B( x)  GnB1 ( х)  1/(2)  (t ) /(t  x) dt 
( x)  1  x 2 G n 1 ( x) 
 (1/ 2) m 0 k (1  xk2 )( m  1)U m ( xk )U m ( x) 
 ( x)  1  x 2  Gn ( x)  M nn U n 1 ( x) 
1
1
n 1

 f ( x)  Gnf1 ( x).
Левую часть равенства преобразуем
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
перейти к разности между точным решением и
асимптотическим многочленом (2)
81
Математика
( x)  1  x 2 Gn ( x)  ( x)  1  x 2 Gn ( x) 


1  x 2  k 1 ( Pn ( xk )  k ) m0U m ( xk )U m ( x) 
n2
 1  x 2 M nn U n 1 ( x)  Rn 1 ( x)  Rn ( x).
Необходимо доказать сходимость приближенного решения
1  x 2 Gn ( x)
к точному
( x)  1  x 2 ( x).
Теорема. Пусть для уравнения (1) получено
приближенное решение в виде многочлена
1  x 2 Gn ( x) (2). Тогда для приближенного
решения имеет место равномерная сходимость
к точному решению ( x) в том случае, когда
функции f ( x) и B( x) ( B( x)  0) имеют производные порядка p, а искомая функция – порядка ( p  1) , принадлежащие классу Lip, если
p  2, а 0    1.
Доказательство. Интерполяционный мно-
n
 1  x 2 M nn U n 1 ( x)  B( x) 

  k 1 ( 1  xk2 / Bk )( Pn ( xk )  k )(1  xk2 ) 
n2
B
 m 0 U m ( xk )U m ( x)  M nn
U n 1 ( x)  (1/ 2) 
n
 k 1 ( Pn ( xk )  k )(1  xk2 ) m0U m ( xk )(m  1) 
n2
n
U m ( x)  M nn (n  2)U n 1 ( x) / 2   k 1 ( Pn ( xk )  f k ) 
n2

(1  xk2 ) m 0U m ( xk )U m ( x)  M nf U n 1 ( x) .
n
Считаем, что функция B( x) является непрерывной, поэтому имеет верхнюю B  || B || =
= max | B( x) | и нижнюю B  ||1/ B ||  max |1/ B( x) |
x[ 1,1]
x[ 1,1]
грани. Введем постоянную
C  1  B( B  1).
гочлен G ( x) будет являться точным решением для всех функций, которые являются многочленами степени ( n) . Предположим, что для
функции γ( x) существует полином наилучше-
Норма полинома || U m ||  m  1. Она не улучшаема, так как в точках x  1 и x  1 полином
достигает значений m  1.
Учитывая, что выполняются неравенства
| Pn ( xk )  k |  En , | Pn ( xk )  f k |  En и M nn  En ,
го равномерного приближения Pn ( x) степени n
B
M nn
 En , можно сделать оценку погрешности

n 1
с величиной наименьшего уклонения En . Тогда
представим разность между точным и приближенным решениями в виде




n2
n 1
 C  k 1 |1  xk2 |  m 0 | U m ( xk ) |  || U m ||  (18)

+ ( B / 2) k 1 |1  xk2 |  m0 (m  1) | U m ( xk ) |  || U m || .
n 2

1  x 2 (  ( x)  G n 1 ( x))  1  x 2 
 (  ( x)  Pn ( x))  ( Pn ( x)  G n 1 ( x)) .
|| Pn   ||  (2 /(n  3)) En 
n 1
(17)
Первое слагаемое правой части (17) равно
Если перейти от переменной х к переменной
, то неравенство (18) преобразуется к виду

|| Pn   ||  (2 /(n  3)) En 
1  x2 (( x)  Pn ( x))  1  x 2 En .
 C  k 1 | sin k |  m 0 | sin(m  1)k ) | 
Для вычисления и оценки второго слагаемого полином наилучшего приближения представим в виде
 || sin(m  1) / sin  ||  ( B / 2) k 1 | sin k | 
Pn ( x)  (2 /(n  3)) 
 k 1 Pn ( xk )(1  xk2 ) m0U m ( xk )U m ( x)
n2
n
и составим разность
1  x2 ( Pn ( x)  Gn1 ( x))  1  x 2 ( Pn ( x) 
 Gn ( x)  M nn U n1 ( x))  (2/(n  3)) 
82
n2
n 1
n2

  m0 (m  1) | sin(m  1)k | || sin(m  1) / sin  || .
n 1
Оценка сверху:
– для первого слагаемого

n2
k 1
| sin k |  m 0 | sin(m  1)k ) | 
n 1
 || sin(m  1) / sin  ||  (n  2) 2 (n  3) / 2;
– для второго
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
Математика

n2
k 1
 1 1 (t )
Rn(3)1 ( x)  B( x)  
dt 
 2 1 t  x
| sin k |  m0 (m  1) | sin( m  1)k |
n 1
 || sin(m  1) / sin  || 
 (n  2) m0 (m  1)2  (n  1)(n  2)3 / 3.
n 1


Таким образом, для неравенства (18) будет
справедливо
|| Pn   ||  (2 /(n  3)) En 

 C (n  2) (n  3) / 2  B(n  1)(n  2) / 3) 
2
3
 En (C (n  2)2  ( B / 3)(n  1)(n  2)2 ).
Здесь использовали известный результат
суммирования

n
k 1
k 2  n(n  1)(2n  1) / 6. То-
гда, возвращаясь к (16), можно сделать оценку
||   1  x 2 Gn ||  ||   Gn ||  En 

n
 E (C (n  2)  ( B / 3)(n  1)(n  2) )
2
2
Каждое из слагаемых можно представить в
виде бесконечной суммы, выраженной через
соответствующие линейные функционалы и
функции (rn)2 ( x), r  n, ..., , способ вычисления которых через полиномы Чебышева второго рода приведен в [3]. К этим функциям при
вычислении третьего слагаемого (16) применяется преобразование (9). Введем обозначение
r( n)2 ( x)  (1/ ) 
(21)
Если величина En  c  / n p  [6], где постоянная c  зависит от функции  ( x), p  3,
0    1, то для сходимости приближенного
решения к точному необходимо, чтобы производная p  3 функции  ( x) принадлежала
классу Lip. Причем для первого слагаемого
неравенства (20) достаточно, чтобы функции
B( x) и f ( x) имели производные порядка
p  2, принадлежащие классу Lip. Теорема
доказана.
Обозначим правую часть равенства (16) –
остаточный член Rn+1(x) – как сумму
(3)
(4)
Rn1 ( x)  Rn(1)1 ( x)  Rn(2)
1 ( x)  Rn 1 ( x)  Rn 1 ( x),
где
Rn(1)1 ( x)  1  x 2 ( x)  1  x 2 G
Rn(2)
1 ( x)  B( x)
Science & Technique
2


1  x 2 (rn)2 (t ) dt /(t  x) .

Rn(1)1 ( x)  1  x 2  ( x)  1  x 2 G n 1 ( x) 
 1  x 2  r  n 1 M nr (rn)2 ( x)

или
Rn(1)1 ( x)  1  x 2  ( x) 
 1  x 2 (Gn1 ( x)  M nn U n 1 ( x)) 
(22)
 Rn(1) ( x)  1  x 2 M nn U n 1 ( x)  Rn(1)1 ( x) 
 1  x 2  r  n M nr (rn)2 ( x).

Слагаемые с линейными функционалами
можно включить в остаточные члены, которые
таким образом приобретут еще по одному слагаемому, и суммы будут изменяться не от
(n + 1), а от n, то есть
Rn(1) ( x)  1  x 2  ( x)  1  x 2 Gn ( x) 
 1  x 2  r  n M nr (rn)2 ( x),

аналогично для всех остальных Rn(i)1 ( x), i  2, 3, 4:
( x);
 1  x  ( x) / B( x)  G ( x)  ;
Наука
№ 5, 2012
итехника,

n 1

Для остаточных членов соответственно получим:
Оценка для равенства (17) будет следующей
 B (n  2)3 / 3).
1
1
||   Gn ||  En (C(n  2)2  ( B / 3)(n  2)3 ). (20)

f
Rn(4)
1 ( x)  B( x) f ( x)  G n 1 ( x) .
(19)
или
||   1  x 2 Gn ||  En  En (C (n  2) 2 / 2 
1 n 1

 (1  xk2 )(m  1)U m ( xk )U m ( x)  ;

m0 k
2

B
n 1
B
Rn(2) ( x)  B( x) M nn
U n 1 ( x)  Rn(2)
1 ( x ) 
 B( x) r  n M nrB (rn)2 ( x);

83
Математика
Rn(3) ( x)   B( x) M nn (n  1)U n 1 ( x) 
hm( n)2 ( x) 
 B( x) r  n 1 M nr r( n)2 ( x) / 2 

(2  1)( n  3);


U m 1 ( x), если m  2  2(n  3);

(2(n  3)  ( n  2);


U ( x)  U ( x), если m  2  2(n  3)  h;
h 1
 m 1

1  h  n  1.


 ( B( x) / 2) r n M nr r  2 ( x);

(n)
Rn(4) ( x)  B( x) M nf U n 1 ( x)  Rn(4)
1 ( x) 
 B( x) r  n M rf (rn)2 ( x).

Следовательно, окончательно остаточный
член примет вид:


Rn ( x)   r  n  M nr 1  x 2  B( x)( M nrB  M rf ) 
(23)
(rn)2 ( x)  B( x) M nr r( n)2 ( x)  .

Для того чтобы производная приближенного решения наибольшего третьего порядка
G  ( x)  Lip, необходимо, чтобы многочлен

n
G

n
Следует учесть, исходя из вида матрицы K,
что номера r и m одинаковой четности, и для
нечетных номеров сумма (16) вычисляется
только для слагаемых с нечетными номерами, а
для четных – лишь для слагаемых с четными
номерами m, и номер m меняется через две
единицы. Элементы матрицы K вычисляются
через функцию Мебиуса, что более подробно
приведено в [3]. Функции r( n)2 ( x) с учетом
формул (9) и (24) принимают вид

1
1
r 2
Kr 2  ( 1  t 2 

m  n (2)

1
2
(n)
1 r 2
 hm( n)2 (t ))dt /(t  x)   m  n (2) K r  2 h m  2 ( x),
2
r( n)2 ( x) 
( x)  имел кривизну, отличную от нуля,
следовательно, был бы не менее второго порядка. Тогда многочлен Gn ( x) будет иметь степень пятого порядка. Он основан на семи ординатах – k , k  1,7, для определения которых
необходимо решить систему уравнений (14)
седьмого порядка. Таким образом, наименьшая степень асимптотического многочлена,
являющегося приближенным решением уравнения (1), не может быть меньше пятой.
Для слагаемых Rn(1) ( x), Rn(2) ( x) и Rn(4) ( x)
рассмотрено стремление к нулю при n   в [3],
для всех функций, у которых производная порядка p  2 принадлежит классу Lip. Функции (rn)2 ( x) выражаются через полиномы Чебышева второго рода
(rn)2 ( x)   mn (2) krm hm( n)2 ( x),
где
(n)
h m  2 ( x)  (1/ ) 
1
 ( 1  t 2 hm( n)2 (t ))dt /(t  x).
1
Оценки сверху для функций в общем случае
будут такими
|| hm( n)2 ||  | sin(m  3) / sin  |  | sin(m  1) / sin  | 
 (m  3)  (m  1)  2(m  2),
тогда для
|| r  2 ||   m  n K r  2 || hm( n)2 || 2(m  2) 
(n)
  m  n K r  2 2(m  2) 2 .


где krm – элементы (k  2) строки матрицы K
1
0

K  1

0
...
84
0
1
0
1
...
0
0
1
0
...
0
0
0
1
...
...
...
... ;

...
...

Учитывая

равенство
n
k 1
k 2  n(n  1) 
 (2n  1) / 6 и то, что коэффициенты K r  2 можно оценить сверху величиной (r  3), которая
обозначает число делителей d j целого числа
(r  3), больших либо равных (n  3) и до-
пускающих представление
r  3  (2s j  1)d j .
Для этой функции справедлива оценка [7] –
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
Математика
(r  3) / r  / 2  c1 , где с1 – постоянная, а   0 –
некоторая бесконечно малая величина
|| r( n)2 ||  2c1  m0 (r  3)  2c1 (r  3)3 (r  3) / 3 .
2
r 2
В предположении, что существует полином
наилучшего равномерного приближения Pn ( x)
степени n для функции

n
M  E и M  E , E  c/n
f
n

n
p 1 / 2
. (25)
Откуда можно сделать вывод, что при выполнении неравенства (25), где 0    1, p  3
и   0 – любая бесконечно малая, будет иметь
место равномерная сходимость ряда (23) приближенного решения 1  x 2 Gn ( x) к точному
( x), так как будет выполняться условие
||   1  x 2 Gn ||  ||   Gn || 

n 1
 BE c /(n  1)
p  3 / 2

 Bc2 /(n  1) .
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 2. Если линейные функционалы

M nr и M rf удовлетворяют условию (25), то
остаточный член ряда (23) стремится к нулю во
всех случаях, когда функции f(x) и B(x) имеют
производные порядка p, а функция  ( x) – производную порядка (p + 1), принадлежащие
классу Lip, если p  2, 0    1,   0 –
любая бесконечно малая, и функция B(x) на
рассматриваемом промежутке не обращается
в нуль.
Следует отметить, если f(x) и B(x) четные
функции, то ввиду симметрии искомой функции система уравнений (14) будет иметь порядок вдвое меньший, чем в общем случае, и все
четные линейные функционалы будут равны
нулю. Что существенно облегчает решение.
Рассмотрим более подробно приближенное
решение при n  5 в самом общем случае. После определения приближенного решения в виде (2) можно записать равенство
( x)  1  x2 ( x)  1  x2 G5  R5 ( x),
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
то есть
( x)  1  x2 G5 ( x)  1  x 2  r 5 M 5r (5)
r  2 ( x) 


 B( x)  r 5 M 5rB (5)
r  2 ( x) 


с величиной наибольшего уклонения En , выполняются условия [3]:

n
R5 ( x)  R5(1) ( x)  R5(2) ( x)  R5(3) ( x)  R5(4) ( x),

+ (1/ 2) r 5 M 5r r(5) 2 ( x)  r 5 M rf (5)
r  2 ( x)  (26)
( x)  1  x 2 ( x)  1  x 2 Pn ( x),

n
где


 1  x 2 G5 ( x)   r  n  M 5r 1  x 2 


 (5)
 B( x)( M 5rB  M rf )(5)
r  2 ( x)  M 5 r  r  2 ( x) .
Для n = 5 функции hm(5) 2 ( x) соответственно
(5)
(5)
r  2 ( x) и r  2 ( x) будут иметь вид:
h7(5) ( x)  U 6 ( x), h9(5) ( x)  U8 ( x),
h11(5) ( x)  U10 ( x), h13(5) ( x)  U12 ( x)  U 2 ( x),
h15(5) ( x)  U14 ( x)  U 0 , h17(5) ( x)  U16 ( x)  U 0 ,
(5)
h19(5) ( x)  U18 ( x)  U 2 ( x), h21
( x)  U 20 ( x)  U 4 ( x),
(5)
h23
( x)  U 22 ( x) и т. д.;
(5)
(5)
7 ( x)  h7 ( x)  U 6 ( x),
9(5) ( x)  h9(5) ( x)  h11(5) ( x)  U10 ( x)  U8 ( x),
(5)
11
( x)  h11(5) ( x)  h13(5) ( x)  h15(5) ( x) 
 U14 ( x)  U12 ( x)  U10 ( x)  U 2 ( x)  U 0 ,
(5)
13
( x)  h13(5) ( x)  h15(5) ( x)  h17(5) ( x)  h19(5) ( x) 
 U18 ( x)  U16 ( x)  U14 ( x)  U12 ( x),
(5)
(5)
15
( x)  h15(5) ( x)  h17(5) ( x)  h19(5) ( x)  h21
( x) 
(5)
 h23
( x)  U 22 ( x)  U 20 ( x)  U18 ( x) 
U16 ( x)  U14 ( x)  U 4 ( x) и т. д.;
7(5) ( x)  7U 6 ( x), 9(5) ( x)  11U10 ( x)  9U8 ( x),
(5)
11
( x)  15U14 ( x)  13U12 ( x)  10U10 ( x)  2U 2 ( x),
(5)
13
( x)  19U18 ( x)  17U16 ( x)  15U14 ( x)  13U12 ( x),
(5)
15
( x)  23U 22 ( x)  21U 20 ( x)  19U18 ( x) 
17U16 ( x)  15U14 ( x)  5U 4 ( x) и т. д.
85
Математика
Пусть решение уравнения (1) на основе ряда
(23) представлено в виде суммы
( x)  1  x2 G5 ( x)  R5 ( x).
Далее можно действовать следующим образом.
1. Вычислить многочлен (2) G5 ( x) , определив ординаты приближенного решения из системы уравнений (14).
2. Вычислить определенное количество слагаемых остаточного члена R5 ( x) (26). По ним
установить степень n многочлена Gn ( x), для
которого необходимая точность будет удовлетворяться.
3. Вычислить многочлен найденной степени, снова решив систему уравнений (14)
(n  2)-го порядка.
4. Уточнить оценку погрешности, определив
некоторое число слагаемых нового остаточного члена (23), для чего вычислить новые последовательности {M nrB }r n, n 1,... , {M rf }r n, n 1,... ,
{M nr }r n, n 1,...
и
соответствующие
функции
 ( x),  ( x). Поскольку эти функции основаны на полиномах Чебышева второго рода, то
оценка сверху для них не представляет затруднений.
(n)
r 2
(n)
r 2
ВЫВОД
Предлагаемый для решения уравнения теории крыла метод асимптотических полиномов
является эффективным и простым при составлении алгоритма для реализации его с помощью вычислительной техники.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Каландия, А. И. Математические методы теории
упругости / А. И. Каландия. – М.: Наука, 1973.
2. Ермолаева, Л. Б. Решение одного интегродифференциального уравнения / Л. Б. Ермолаева // Сб. тр.
ХХIII Междунар. науч. конф. ММТТ-23. – Т. 1. – 2010. –
С. 68–71.
3. Грибкова, В. П. Равномерные приближения, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова,
С. М. Козлов // Сб. тр. ХХIII Междунар. науч. конф.
ММТТ-24. – Т. 1. – 2011. – С. 31–36.
4. Грибкова, В. П. Решение операторных уравнений одним из приближенных методов / В. П. Грибкова //
Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1970. – № 6. –
С. 68–76.
5. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации
решений линейных задач / Б. Г. Габдулхаев. – Казань:
КГУ, 1980.
6. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций /
И. П. Натансон. – М.; Л.: ГТТЛ, 1949.
7. Этерман, И. И. К вопросу восстановления функции по некоторой характеристической последовательности / И. И. Этерман // Известия вузов. – 1966. – № 2. –
С. 148–157.
Поступила 02.05.2012
86
Наука
№ 5, 2012
итехника,
Science & Technique
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
584 Кб
Теги
асимптотическое, решение, методов, крыла, уравнения, одного, приближенные, теория, полиномов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа