close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли Европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива.

код для вставкиСкачать
Экономика
УДК 519.865
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ КУПЛИ ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА
НА ОСНОВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНЫ РИСКОВОГО АКТИВА
У.В. Андреева, Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин, С.В. Рожкова*, Е.Г. Пахомова*
Томский государственный университет
E$mail: egi@sibmail.com; daniluc_elena@sibmail.com
*Томский политехнический университет
E$mail: rozhkova@tpu.ru
Рассматриваются два вида экзотических опционов купли Европейского типа в диффузионной модели (B,S)$финансового рынка,
основанных на экстремальных значениях цены рискового актива, по которому выплачиваются дивиденды. Получены формулы,
определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассматриваются
свойства решения.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.
Key words:
Financial market, option, payoff function, capital, portfolio, hedging.
Опцион – это производная ценная бумага, яв
ляющаяся контрактом, по которому покупатель
опциона приобретает право покупки (call option)
или продажи (put option) по оговоренной цене за
явленного в контракте базисного актива, а продав
ец опциона за премию – цену опциона – обязан
исполнить требование покупателя в момент испол
нения опциона [1–5]. Если платежные обязатель
ства характеризуются только ценой базисного ак
тива в фиксированный момент исполнения опцио
на ST (спотовая цена, spot price) и ценой исполне
ния контракта K (страйковая цена – striking price),
то такие опционы являются стандартными опцио
нами Европейского типа. С развитием рынка дери
вативов стали появляться дополнительные требо
вания к условиям заключения контракта. Возник
класс экзотических опционов (exotic options) [6–8].
Одно из дополнительных условий – учет ценовой
истории базисного актива от момента заключения
контракта t=0 до момента исполнения t=T (path
dependent options, historydependent options, look
forward options, look back options) [4–11]. Важным
частным случаем подобных опционов являются
опционы, основанные на учете экстремальных
значений цены базисного актива на интервале
t∈[0,T] (options on extremes). В достаточно подроб
ном и обстоятельном обзоре [8] отмечается, что
в настоящее время на рынках используется нес
колько десятков экзотических опционов, теория
которых разработана в незначительной степени,
и контракты по которым заключаются, исходя
из эвристических соображений и опыта работы
брокеров.
В данной работе на основе диффузионной моде
ли (B, S)финансового рынка с выплатой дивиден
дов по рисковым активам рассматриваются два ви
да экзотических опционов, основанных на экстре
мальных значениях цены рискового актива. В каче
стве спотовых цен рассматриваются экстремальные
значения актива STmax = max St и STmin = min St с
0 ≤ t ≤T
0 ≤ t ≤T
фиксированной страйковой ценой K (соответ
ственно fixed strike look back call option и reverse fi
xed strike look back call option [10]).
1. Постановка задачи
Рассмотрение задачи проводится на стохасти
ческом базисе (Ω,F,F=(Ft)t>0,P) [1–3]. На финансо
5
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 321. № 6
вом рынке обращаются рисковые (акции) и безри
сковые (банковский счет, государственные безри
сковые облигации) активы, текущие цены которых
St и Bt в течение интервала времени t∈[0,T] опреде
ляются уравнениями
dSt = St ( μ dt + σ dWt ), dBt = rBt dt ,
(1.1)
где Wt – стандартный винеровский процесс, S0>0,
μ∈R=(–∞,+∞), σ>0, B0>0, r>0, решения которых
имеют вид
St ( μ ) = S0 exp{( μ − (σ 2 2)) t + σ Wt },
B t = B0 exp{rt}.
(1.2)
Считаем, что текущее значение капитала инве
стора Xt определяется в виде Xt=βtBt+γtSt, где πt=(βt,γt)
– пара Ftизмеримых процессов, составляющая
портфель ценных бумаг инвестора. Аналогично [12]
предполагается, что за обладание акцией происходят
выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt
со скоростью δγtSt, пропорциональной рисковой ча
сти капитала с коэффициентом 0≤δ<r, а именно:
dDt=δγtStdt. Тогда изменение капитала в задаче с ди
видендами происходит в виде dXt=βdBt+γdSt+dDt. Так
как dXt=βdBt+γdSt+Btdβt+Stdγt, то Btdβt+Stdγt=dDt, что
является балансовым соотношением, заменяющим
условие самофинансируемости Btdβt+Stdγt=0 в стан
дартной задаче [1–3]. Тогда капитал определяется
уравнением dXt=rXtdt+σγtStdWtμ–γ+δ [12], где процесс
Wtμ–γ+δ=Wt+((μ–r+δ)/σ) t является винеровским от
носительно меры P μ–γ+δ такой, что dPtμ–γ+δ=Ztμ–γ+δdPt, а
⎧ −(( μ − r + δ ) σ )Wt − ⎫
Z tμ − r +δ = exp ⎨
.
2 ⎬
⎩ −(1 2)(( μ − r + δ ) σ ) t ⎭
Так как
Law(W μ − r +δ P μ − r +δ ) = Law(W P ),
то из [1]
⎛
⎞
⎧⎛ r − δ − ⎞ ⎫
⎜
⎟
⎪⎜
⎟ t +⎪
μ − r +δ
2
Law ⎜ S 0 exp ⎨⎝ −(σ 2) ⎠ ⎬ ; t ≤ T P
⎟=
⎜
⎪
⎪
⎟
μ − r +δ
⎩ +σ Wt
⎭
⎝
⎠
Law( S 0 exp{( r − δ − (σ 2 2)) t + σ Wt}; t ≤ T P).
Таким образом,
Law( S ( μ , r , δ ) P μ − r +δ ) = Law( S ( r , δ ) P),
т. е. относительно меры Pμ–γ+δ вероятностные свой
ства процесса S(μ,r,δ), определяемого уравнением
dSt ( μ , r , δ ) = St ( μ , r , δ )(( r − δ ) dt + σ dWt μ − r +δ ),
совпадают со свойствами процесса S(r,δ), опреде
ляемого уравнением
dSt (r , δ ) = St ( r , δ )(( r − δ ) dt + σ dWt ),
относительно меры P.
Задача: сформировать хеджирующие стратегии
(портфели) πtC=(βtC,γtC), а также соответствующие
им капиталы XtC таким образом, чтобы выполнить
платежные обязательства XT=fT(ST) относительно
платежных функций
6
fT = fTmax ( S ) = (max St − K ) + ,
0 ≤ t ≤T
fT = f
min
T
( S ) = (min St − K ) + ,
(1.3)
0 ≤ t ≤T
а также найти стоимости опционов CT=X0, где K>0,
a+=max{a;0}.
Используемые обозначения: P{⋅} – вероятность
события; E{⋅} – математическое ожидание; N{a;b} –
плотность нормального распределения с параме
трами a и b; I [A] – индикаторная функция события
A; интеграл без указания пределов означает инте
грирование на интервале R=(–∞,+∞);
x
Ô( x) =
∫ ϕ ( y)dy, ϕ ( y) = [1
2π ]exp{ −( y 2 2)}.
−∞
Замечание. Дополнительные условия, вносимые
в платежные обязательства экзотических опцио
нов, могут быть как в пользу покупателя, так и в
пользу продавца опциона, что в первом случае дол
жно приводить к увеличению, а во втором – к уме
ньшению цены опциона относительно стандартно
го опциона купли с платежной функцией
fT(ST)=(ST–K)+. Так как max St ≥ ST и min St ≤ ST ,
0 ≤ t ≤T
0 ≤ t ≤T
то опционы с платежной функцией fTmax(S) соответ
ствуют платежному обязательству в пользу покупа
теля опциона, поскольку относительно стандарт
ного опциона увеличивается вероятность исполне
ния опциона, а с fTmin(S) – в пользу продавца оп
циона, так как вероятность исполнения опциона
уменьшается.
Утверждение. Если
J = [1
2π d ]∫ exp{cx}exp{− ( x − a) 2 2 d}dx, (1.4)
то
J = exp{ca + (c 2 d 2)}[1
2π d ] ×
×∫ exp{−[( x − ( a + cd ) 2 ) 2d ]}dx.
(1.5)
Пусть X→N{a;b}. Тогда
E{exp{cX }I [ X ≤ d ]} =
= exp{ca + (c 2 d 2)}Ô((b − ( a + cd ))
d ),
(1.6)
d )),
(1.7)
E{exp{cX }I [ X ≥ d ]} =
= exp{ca + (c 2 d 2)}Ô( −( b − ( a + cd )
E{exp{cX }I [b1 ≤ X ≤ b2 ]} = exp{ca + (c 2d 2)} ×
×[Ô((b2 − ( a + cd ))
d ) − Ô((b1 − ( a + cd ))
d )]. (1.8)
Представление (1.5) для J следует из (1.4) в ре
зультате элементарных преобразований, (1.6) сле
дует непосредственно из (1.4) и (1.5), (1.7) – из (1.6)
с учетом того, что 1–Ф(z)=Ф(–z), а (1.8) – из (1.6).
2. Основные результаты
Согласно (1.1), (1.2), (1.5)
St (r , δ ) = S0 exp{σξ t }, ξ t = Wt + ( h / a)t,
h = r − δ − (σ 2 / 2).
(2.1)
Экономика
Лемма 1. Пусть M t = max σξτ = max(σ Wτ + hτ )
0 ≤τ ≤ t
0≤τ ≤t
для t≤T. Тогда для x≥0 и h∈R функция распределения
P{Mt≤x} и плотность вероятности pM(t,x)=∂P{Mt≤x}/∂x
имеют вид
а) Случай S0≥K. Учет (2.3) в (2.9) и условие нор
мировки для pM (T, x) дают
∞
FT ( S 0 ) = S 0 ∫ exp {x} p M (T , x) dx − K =
0
= S 0 ( J1 − J 2 + J 3 ) − K ,
P{M t ≤ x} = Ô(( x − ht ) σ t ) −
− exp{(2 h σ ) x}Ô( − ( x + ht ) σ t ),
2
(2.2)
J1 =
p M (t , x) = [1 σ 2π t ]exp{− ( x − ht) 2 2σ 2t} −
−(2 h σ 2 ) exp{(2 h σ 2 ) x}Ô( −( x + ht) σ t ) +
+[1 σ 2π t ]exp{(2 h σ 2 ) x}exp{−( x + ht)
2
2σ 2t}. (2.3)
⎧
[ln( K St ) − ( r − δ + (σ 2 2))(T − t)]
,
⎪ y1 (t ) =
−
[
σ
T
t
]
⎪
⎪⎪
[ln( K St ) + ( r − δ − (σ 2 2))(T − t)]
,
⎨ y2 (t ) =
[σ T − t ]
⎪
⎪
[ln( K St ) − ( r − δ − (σ 2 2))(T − t)]
⎪ y3 (t ) =
, (2.5)
[σ T − t ]
⎪⎩
а d1, d2, y1, y2, y3 определяются формулами (2.4), (2.5)
при t=0.
Теорема 1. Цена опциона с платежной функци
ей fTmax(S) задается формулами:
⎡(1 + α −1 )e− δ T Ô( d1 ) + ⎤
− rT
CTmax = S0 ⎢
⎥ − Ke ,
−1
− rT
+
−
−
(1
α
)
e
Ô(
d
)
⎥
2 ⎦
⎣⎢
max
T
C
åñëè
S0 ≥ K ;
(2.6)
⎡(1 + α −1 )e− δ T Ô( − y1 ) − ⎤
⎢
⎥
− rT
= S0 ⎢ −1 − rT ⎛ K ⎞α
⎥ − Ke Ô(− y3 ),
⎢ −α e ⎜ ⎟ Ô(− y2 ) ⎥
⎝ S0 ⎠
⎣
⎦
S0 < K .
(2.7)
Доказательство: поскольку платежная функция
fTmax(S) является естественной [1, 2], то
CTmax = exp{− rT }E{ fTmax ( S ( r, δ ))}.
Тогда из (1.3), (2.1), (2.3) следует
CTmax = e − rT E{ fTmax ( S (r , δ ))} =
= e− rT E{( S 0 exp{M T } − K )+ } = e−rT FT ( S 0 ),
(2.8)
∞
0
J2 =
2h
⎧⎛ 2h ⎞ ⎫ ⎛ ( x + hT ) ⎞
exp ⎨⎜1 + 2 ⎟ x ⎬ Ô ⎜ −
⎟ dx =
2 ∫
σ 0
⎩⎝ σ ⎠ ⎭ ⎝ σ T ⎠
=
J3 =
2h
J 2′ ,
σ2
1
(2.12)
×
σ 2π T
∞
⎧ ( x + hT ) 2 ⎫
⎧⎛ 2 h ⎞ ⎫
×∫ exp ⎨⎜1 + 2 ⎟ x ⎬ exp ⎨ −
⎬ dx. (2.13)
2σ 2T ⎭
⎩⎝ σ ⎠ ⎭
⎩
0
В (2.11) согласно Утверждению для X→N{hT;σ2T}
имеем, что c=1, b=0. Тогда применение (1.7) к
(2.11) дает, что
J1 = E{exp{ X }I[ X ≥ 0]} =
= exp{hT + (σ 2T 2)}Ô(( hT + σ 2T ) σ T ).
(2.14)
Используя (2.1), (2.4) в (2.14), получаем
J1=exp{(r–δ)T}Ф(d1). В (2.13) по Утверждению
X→N{–hT;σ2T} имеем, что c=1+[2h/σ2], b=0. Тогда
применение (1.7) к (2.13) дает, что
J 3 = E{exp{(1 + (2 h σ 2 )) X } I[ X ≥ 0]} =
2
⎪⎧ − hT (1 + (2h σ )) +
⎪⎫
exp ⎨
×
2 2 2 ⎬
⎩⎪ + (1 2)(1 + (2 h σ )) σ T ⎭⎪
(2.15)
×Ô(( − hT + (1 + (2 h σ 2 ))σ 2T ) σ T ).
Использование (2.1), (2.4) в (2.15) приводит к
тому, что
J 3 = J1 = exp{(r − δ )T }Ô(d1 ).
(2.16)
Интегрирование по частям в (2.12) с учетом
(2.13) дает, что
J 2′ = [σ 2 (σ 2 + 2h)][ J 3 − Ô(− ( h σ ) T )].
(2.17)
Подстановка (2.17) в (2.12) с использованием
(2.1), (2.4) приводит к
(2.18)
J 2 = (1 − α −1 )[ J 3 − Ô(− d 2 )].
Тогда из (2.16), (2.18) следует, что
J1 − J 2 + J 3 = (1 + α −1 ) J 3 + (1 − α − 1 )Ô(− d 2 ). (2.19)
Подставляя (2.19) в (2.10), получаем
FT ( S 0 ) = E{( S 0 exp{MT } − K ) +} =
= ∫ ( S 0 exp{ x} − K ) + p M (T , x) dx.
(2.11)
∞
Вывод формулы (2.2) проводится аналогично выво
ду формулы (5.9) в [1] и поэтому не приводится. Фор
мула (2.3) – результат дифференцирования (2.2) по x.
Пусть
⎛ r −δ σ ⎞
+ ⎟ T −t,
d1 (t ) = ⎜
2⎠
⎝ σ
−
δ
σ
r
r −δ
⎛
⎞
− ⎟ T −t, α = 2 2 ,
d 2 (t ) = ⎜
(2.4)
2⎠
σ
⎝ σ
åñëè
∞
⎧ ( x − hT ) 2 ⎫
1
exp{ x}exp ⎨ −
⎬ dx,
∫
2σ 2T ⎭
σ 2π T 0
⎩
(2.10)
(2.9)
⎡(1 + α −1 ) exp{( r − δ )}Ô( d1) + ⎤
FT ( S 0 ) = S 0 ⎢
⎥ − K . (2.20)
−1
⎢⎣ + (1 − α )Ô(− d 2 )
⎥⎦
Тогда (2.6) следует из (2.8), (2.20).
б) Случай S0<K Из (2.9) следует
FT ( S 0 ) = FT1 − FT2 ,
(2.21)
7
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 321. № 6
∞
J1 = J 3 = Ô(− y3 ), J 2 = J 3 − ( K S 0 )α −1 Ô(− y2 ). (2.32)
FT1 = S0 ∫ exp{x} p M (T , x)dx,
0
∞
FT2 = K ∫ p M (T , x )dx , b = ln(K S 0 ).
(2.22)
0
При вычислении FT1 пусть
∞
J1 − J 2 + J 3 = ∫ exp{x} p M (T , x )dx.
(2.23)
0
Использование (2.3) в (2.23) дает, что J1, J2, J3
определяются формулами вида (2.11)–(2.13), инте
гралы в которых нижним пределом имеют величи
ну b вида (2.22). Таким образом, аналогично (2.14),
(2.15)
J1 = E{exp{ X }I [ X ≥ b]} =
= exp{hT + (σ 2T 2)} ×
×Ô(−(b − ( hT + σ 2T )) σ T ),
(2.24)
Подстановка (2.32) в (2.22) дает, что
FT2 = K [Ô(− y3 ) + ( K S 0 )α −1 Ô(− y2 )] =
= KÔ(− y3 ) + S0 ( K S0 )α Ô(− y2 ).
(2.33)
Используя (2.28), (2.33) в (2.21), получаем
⎡(1 + α −1 ) exp{( r − δ )}Ô( − y1 ) − ⎤
FT ( S 0 ) = S 0 ⎢ −1
⎥−
α
⎣⎢ −α ( K S0 ) Ô(− y2 )
⎦⎥
− KÔ(− y3 ).
(2.34)
Тогда (2.7) следует из (2.8), (2.34). Теорема дока
зана.
Теорема 2. Капитал и портфель в случае платеж
ной функции fTmax(S) определяются формулами:
⎡ (1 + α −1 ) e− δ (T − t )Ô( d1 (t )) + ⎤
X tmax = St ⎢
⎥−
−1
− r (T − t )
Ô( − d 2 (t )) ⎦⎥
⎣⎢ + (1 − α ) e
− Ke − r (T −t ) ,
J 3 = E{exp{(1 + (2 h σ 2 )) X } I[ X ≥ b]} =
γ tmax = (1 + α −1 )e− δ (T − t ) Ô( d1 (t )) +
2
⎧⎪
⎫⎪
⎛ 2h ⎞ 1 ⎛ 2 h ⎞
= exp ⎨− hT ⎜1 + 2 ⎟ + ⎜1 + 2 ⎟ σ 2T ⎬ ×
⎝ σ ⎠ 2⎝ σ ⎠
⎩⎪
⎭⎪
+(1 − α −1 )e− r (T −t )Ô( − d 2 (t )),
⎛ ⎛ ⎛
⎞
⎞⎞
⎛ 2h ⎞
×Ô ⎜⎜ − ⎜ b − ⎜ − hT + ⎜1 + 2 ⎟ σ 2T ⎟ ⎟ σ T ⎟⎟ . (2.25)
⎝ σ ⎠
⎠⎠
⎝ ⎝ ⎝
⎠
Использование (2.1), (2.5), (2.22) в (2.24), (2.25),
интегрирование аналогично (2.18) дает
J 3 = J1 = exp{( r − δ )T }Ô( − y1 ),
J 2 = (1 − α −1 )[ J 3 − ( K S 0 ) α Ô( − y2 )].
(2.26)
Тогда из (2.23), (2.26) следует
J1 − J 2 + J 3 =
−1
−1
α
= (1 + α ) J 3 + (1 − α )( K S 0 ) Ô(− y2 ).
J2 =
(2.27)
∞
⎧ ( x − hT ) 2 ⎫
1
exp{
x
}exp
⎨−
⎬ dx, (2.29)
2σ 2T ⎭
σ 2π T ∫0
⎩
∞
2h
2h
⎧ 2h ⎫ ⎛ ( x + hT ) ⎞
exp ⎨ 2 x ⎬ Ô ⎜ −
⎟ dx = σ 2 J 2′ , (2.30)
σ 2 ∫0
σ
⎩
⎭ ⎝ σ T ⎠
∞
1
⎧ 2h
J3 =
exp ⎨ 2
σ 2π T ∫0
⎩σ
⎧ ( x + hT ) 2 ⎫
⎫
x ⎬ exp ⎨−
⎬ dx. (2.31)
2σ 2T ⎭
⎭
⎩
Из сравнения (2.29)–(2.31) с (2.11)–(2.13) сле
дует, что вычисления по нахождению J1, J2, J3 будут
аналогичны вычислениям при получении формул
(2.26), только при применении (1.7) величина с бу
дет принимать значения соответственно с=0 и
с=2h/σ2. В результате получим
8
β tmax = −( K Bt )e − r (T −t ) ,
(2.36)
(2.37)
если St≥K;
X tmax
⎡ (1 + α −1 ) e− δ (T − t )Ô(− y1 (t )) − ⎤
⎢
⎥
= St ⎢ −1 − r (T −t ) ⎛ K ⎞α
⎥−
⎜ ⎟ Ô(− y2 (t ))⎥
⎢ −α e
⎝ St ⎠
⎣
⎦
− r (T − t )
− Ke
Ô(− y3 (t )),
(2.38)
γ tmax = (1 + α −1 ) e− δ (T − t )Ô( − y1 (t )) +
Подставляя (2.27) в (2.22), получаем с учетом
(2.23), (2.26), что
⎡(1 + α −1 ) exp(( r − δ )T )Ô( − y1) + ⎤
FT1 = S 0 ⎢
⎥ . (2.28)
α
−1
⎢⎣ +(1 + α )( K S0 ) Ô( − y2 )
⎥⎦
2
При вычислении FT аналогично имеем
J1 =
(2.35)
+ (1 − α −1 ) e− r (T −t ) ( K St )α Ô( − y2 (t )),
(2.39)
⎡ KÔ(− y3 (t )) +
⎤
βtmax = −(1 Bt )e − r (T −t ) ⎢
⎥ , (2.40)
α
⎣ + St ( K St ) Ô( − y2 (t )) ⎦
если St<K.
Доказательство: согласно [1, 2] для платежной
функции fTmax (S)
X tmax = e − r (T −t ) E{ fTmax (S (r , δ )) St } =
= e − r (T −t ) FT −t ( St ) = X tmax ( St ),
(2.41)
FT −t ( St ) = E{ fTmax ( S ( r , δ )) St }.
Формулы (2.35), (2.38) с учетом (2.41) следуют
из (2.6), (2.7) с заменами S0→St, T→(T–t).
Согласно [1, 2]
γ tmax = (∂X tmax ( s) ∂s) s = S ,
t
βtmax = ( X tmax ( s) − γtmax St ) Bt .
(2.42)
Использование (2.35) в (2.42) приводит к (2.36),
а (2.37) следует из (2.35), (2.36), (2.42).
Из определения Ф(x) вытекает
Экономика
FT ( S 0 ) = E{( S 0 exp{mT } − K ) +} =
∂Ô(a( s ))
1
⎧ 1
⎫ ∂a( s)
=
exp ⎨− a 2 ( s) ⎬
,
∂s
2π
⎩ 2
⎭ ∂s
∂Ô(− a( s))
∂Ô( a( s))
=−
.
∂s
∂s
Тогда из (2.38), (2.43) следует
∂X tmax ( s ) ∂s = (1 + α −1 ) e − δ ( T − t )Ô(− y1(t )) +
(2.43)
+ (1 − α −1 ) e− r (T −t ) ( K s)α Ô(− y2 (t )) + Ø,
(2.44)
Ψ = Ψ 1 + sα −1Ψ 2 ,
(2.45)
Ψ1 = Ke
− se
− r (T − t )
− δ (T −t )
0
=
0
−∞
(2.46)
0
−K
(2.47)
(2.48)
(2.55)
(2.49)
(2.56)
0
⎧ ( x − hT ) 2 ⎫
1
exp{ x}exp ⎨ −
⎬ dx, (2.57)
∫
2σ 2T ⎭
σ 2π T b
⎩
2h
⎧⎛ 2h ⎞ ⎫ ⎛ x + hT
exp ⎨⎜1 + 2 ⎟ x ⎬ Ô ⎜
2 ∫
σ b
⎩⎝ σ ⎠ ⎭ ⎝ σ T
⎞
⎟ dx =
⎠
2h
J 2′ ,
σ2
1
J3 =
×
σ 2π T
=
(2.58)
0
⎧ ( x + hT ) 2 ⎫
⎧⎛ 2 h ⎞ ⎫
×∫ exp ⎨⎜1 + 2 ⎟ x ⎬ exp ⎨ −
(2.59)
⎬ dx.
2σ 2T ⎭
⎩⎝ σ ⎠ ⎭
⎩
b
В (2.57) согласно Утверждению для
X→N{hT;σ2T} имеем, что b1=b, b2=0, c=1, a=hT,
d=σ 2T. Тогда применение (1.8) к (2.57) дает, что
J1 = E{exp{ X }I [b ≤ X ≤ 0]} =
= exp{hT + (σ 2T ) 2}×
(2.51)
Использование (2.49), (2.50) в (2.46) и (2.49),
(2.51) в (2.47) дает, что Ψ1=0, Ψ2=0. Тогда, согласно
(2.45), Ψ=0, и (2.39) следует из (2.42), (2.44), а (2.40)
следует из (2.42), (2.38), (2.39). Теорема доказана.
Теорема 3. Цена опциона с платежной функци
ей fTmin(S) задается формулами
⎡(1 + α −1 ) e− δ T [Ô( −d1 ) − Ô( y1)] + ⎤
⎢
⎥
= S 0 ⎢ + (1 − α −1 )e − rT Ô( d 2 ) +
⎥−
⎢ +α −1e− rT ( K S )α Ô( y )
⎥
0
2
⎣
⎦
− rT
− Ke Ô( − y3 ),
(2.52)
если S0>K, и CTmin=0, если S0≤K.
Доказательство: из (1.3), (2.1), (2.4) аналогично
(2.8), (2.9) следует, что
CTmin = e − rT E{ fTmin (S (r , δ ))} =
= e− rT E{( S 0 exp{mT } − K )+ } = e−rT FT ( S 0 ),
(T , x )dx = S 0 J − KJ .
0
J2 =
∂Ô( y1 (t )) ∂s =
CTmin
m
Использование (2.3) в (2.55) дает, что
J = J1 + J 2 + J 3 ,
J1 =
⎡ ( K exp{−( r − δ )(T − t )}) ⎤
2
= −⎢
⎥ exp{− y3 (t ) 2}, (2.50)
( s 2σ 2π (T − t ))
⎢⎣
⎥⎦
⎡ (exp{−( r − δ )(T − t)}) ⎤
α
= −⎢
⎥ ( K s) ×
⎢⎣ ( sσ 2π (T − t )) ⎥⎦
× exp{− y22 (t ) 2}.
∫p
−∞
y1 (t ) = y3 (t ) − σ T − t ,
Из (2.43), (2.5) следует, что
⎧∂Ô( y3 (t )) ∂s =
⎪
2
⎪ = −[1 sσ 2π (T − t )]exp{− y3 ( t) 2},
⎨
⎪ ∂Ô( y2 (t )) ∂s =
⎪ = −[1 sσ 2π (T − t )]exp{− y 2 ( t ) 2}.
2
⎩
Тогда из (2.48), (2.49), (2.5) следует
∂Ô( y1 (t )) ∂s =
(2.54)
FT ( S 0 ) = S 0 ∫ exp{ x} p m (T , x)dx −
Согласно (2.5)
y1 (t ) = y2 (t ) − 2(( r − δ ) σ ) T − t .
exp{ x} − K ) + p m (T , x) dx.
Выражение под знаком интеграла в (2.54) боль
ше нуля, если S0exp{x}–K>0, т. е. если x>b, где b
имеет вид (2.22). Так как x≤0, то условие x>b может
выполняться только для отрицательного b, когда
S0>K. Таким образом, утверждение теоремы CTmin=0,
если S0≤K, очевидно, и из (2.54) следует
Ψ 2 = e − r (T −t ) ( K s )α [∂Ô( y2 (t )) ∂ s] −
− e−δ (T −t ) [∂Ô( y1 (t )) ∂ s].
0
−∞
[∂ Ô( y3 (t )) ∂ s] −
[∂Ô( y1 (t )) ∂ s],
∫ (S
(2.53)
⎡Ô( −( hT + σ 2T ) σ T ) − ⎤
(2.60)
×⎢
⎥.
2
⎣⎢ −Ô((b − ( hT + σ T )) σ T )⎦⎥
Использование (2.1), (2.4), (2.5) в (2.60) приво
дит к тому, что J1=exp{(r–δ)T}[Ф(–d1)–Ф(y1)].
В (2.59) согласно Утверждению для X→N{–hT;σ2T}
имеем, что b1=b, b2=0, c=1+[2h/σ2], a=–hT, d=σ 2T.
Тогда применение (1.8) к (2.59) дает, что
J 3 = E{exp{(1 + (2 h σ 2 )) X } I[ b ≤ X ≤ 0]} =
2
⎧
⎛ 2h ⎞ ⎛ 2h ⎞ σ T ⎫
= exp ⎨− hT ⎜1 + 2 ⎟ + ⎜1 + 2 ⎟
⎬×
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ 2 ⎭
⎩
⎡ ⎛ − hT + (1 + (2 h σ 2 ))σ 2T ⎞
⎤
⎢Ô ⎜ −
⎟− ⎥
σ T
⎝
⎠
⎥.
×⎢
2
2
⎢
⎛ b − (− hT + (1 + (2 h σ ))σ T ) ⎞ ⎥
⎢ −Ô ⎜
⎟⎥
σ T
⎝
⎠ ⎦⎥
⎣⎢
(2.61)
Использование (2.1), (2.4), (2.5) в (2.61) приво
дит к тому, что
J 3 = exp{( r − δ )T }[Ô( −d1) − Ô( y1)] = J 1. (2.62)
9
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 321. № 6
Интегрирование по частям в (2.58) с учетом
(2.59) дает, что
⎡ ⎛h T ⎞
⎛ b + hT ⎞ ⎤
Ô
−
Ô
⎢
⎜
⎟
⎜
⎟ ×⎥
⎝ σ ⎠ ⎥
σ 2 ⎢ ⎜⎝ σ ⎟⎠
′
J2 = 2
(2.63)
⎥.
σ + 2h ⎢
⎢× exp ⎨⎧⎛1 + 2h ⎞ b ⎬⎫ − J ⎥
3
⎜
2 ⎟
⎢⎣
⎥⎦
⎩⎝ σ ⎠ ⎭
Подстановка (2.63) в (2.58) с последующим ис
пользованием (2.1), (2.4), (2.5), (2.22), (2.62) приво
дит к тому, что
⎡Ô(d 2 ) − ( K S 0 )α Ô( y2 ) − ⎤
⎢
⎥
(2.64)
J 2 = (1 − α −1 ) ⎢− exp{( r − δ )T } ×
⎥.
⎢×[Ô(− d1 ) − Ô( y1 )]
⎥
⎣
⎦
Тогда из (2.56), (2.62), (2.64) следует, что
J = (1 + α −1 ) exp{( r − δ )T }[Ô( − d1) − Ô( y1)] +
+ (1 − α −1 )[Ô( d 2 ) − ( K S 0 ) α Ô( y2 )].
0
⎧ ( x − hT ) 2 ⎫
1
exp
−
⎨
⎬ dx,
2σ 2T ⎭
σ 2π T ∫b
⎩
0
⎫ ⎛ x + hT
x⎬ Ô ⎜
⎭ ⎝σ T
β tmin = −(1 Bt )e − r (T −t ) ×
×[ KÔ(− y3 (t )) − St ( K St )α Ô( y2 (t ))],
(2.66)
(2.67)
2h
⎞
⎟ dx = σ 2 J 2′ , (2.68)
⎠
2h
⎧ 2h
exp ⎨ 2
σ 2 ∫b
⎩σ
J3 =
⎧ ( x + hT ) ⎫
1
⎧ 2h ⎫
exp ⎨ 2 x ⎬ exp ⎨−
⎬ dx. (2.69)
∫
2σ 2T ⎭
σ 2π T b
⎩σ ⎭
⎩
2
–
Вычисление J 1 из (2.67) проводится аналогично
вычислению J1 при c=0. Получаем
J1 = Ô(− h T σ ) − Ô((b − h T ) σ T ).
(2.70)
(2.75)
если St>K, и Xt =0, γt =0, βt =0, если St≤K.
Доказательство: формула (2.73) следует из (2.52)
аналогично тому, как формулы (2.35), (2.38) следо
вали из (2.6), (2.7). Аналогично (2.42)
γ tmin = (∂X tmin ( s) ∂s) s = S ,
min
min
min
t
β tmin = ( X tmin ( s) − γ tmin St ) Bt .
Из (2.73) с учетом (2.74) следует, что
(2.76)
∂X tmin ( s ) ∂s = (1 + α −1 )e− δ (T − t ) ×
×[Ô(− d1 (t )) − Ô( y1 (t ))] +
+ (1 − α −1 )e− r (T − t ) ×
×[Ô(d 2 (t )) − ( K s)α Ô( y2 (t ))] − Ψ,
J2 =
0
+ (1 − α −1 ) e− r (T −t ) [Ô( d 2 (t )) − ( K S t ) α Ô( y2 ( t))], (2.74)
(2.65)
Использование (2.3) в (2.55) дает, что
J = J1 + J 2 + J 3 ,
J1 =
γ tmin = (1 + α −1 ) e− δ (T − t ) [Ô(− d1 (t )) − Ô( y1( t))] +
(2.77)
где Ψ определяется формулами (2.45)–(2.47). По
скольку, как было доказано, Ψ=0, то (2.74) следует
из (2.76), (2.77), а (2.75) – из (2.73), (2.74), (2.76).
Теорема доказана.
3. Обсуждение результатов
I.
Пусть
Stmax = max Sτ , Stmin = min Sτ .
0 ≤τ ≤ t
0 ≤τ ≤ t
На
рис. 1–6 приведены результаты численных расче
тов, иллюстрирующие свойство цен опционов, как
зависимостей от волатильности σ, начальной цены
S0 и цены исполнения K. Аргумент на всех графи
ках – σ, а параметр семейства кривых – S0 (рис. 1,
3, 5) и K (рис. 2, 4, 6).
Использование
(2.4), (2.5), (2.22)
–
– в (2.70) дает,
что J 1=Ф(–d1)–Ф(y3). Вычисление J 3 в (2.68) про
водится аналогично вычислению J3 при c=[2h/σ2],
(2.69) аналогично J2:
J 3 = Ô( − d1 ) − Ô( y3 ) = J1 ,
J 2 = Ô( d 2 ) − ( K S 0 )α Ô( y2 ) − Ô( −d 2 ) + Ô( y3 ). (2.71)
Использование (2.71) в (2.66) дает, что
J = Ô( − y3 ) − ( K S 0 )α −1 Ô( y2 ) =
= Ô(− y3 ) − ( S0 K )( K S 0 )α Ô( y2 ).
(2.72)
Подстановка (2.65), (2.72) в (2.55), а затем в
(2.53) приводит к (2.52). Теорема доказана.
Теорема 4. Капитал и портфель в случае платеж
ной функции fTmin(S) определяются формулами:
X Tmin =
⎡ (1 + α −1 ) e− δ (T − t ) [Ô( − d1 (t )) − Ô( y1( t))] + ⎤
⎢
⎥
×St ⎢ (1 − α −1 )e− r (T −t )Ô( d 2 (t )) +
⎥−
⎢ +α −1e− r (T −t ) ( K S )α Ô( y (t ))
⎥
2
t
⎣
⎦
− r (T − t )
− Ke
Ô(− y3 (t )),
(2.73)
10
Рис. 1.
⎯
Зависимости CTmax от σ и S0
При возрастании σ увеличивается степень хао
тичности траекторий St, что приводит к возраста
нию выбросов вверх Stmax и вниз Stmшт. В результате
этого вероятность предъявления к исполнению оп
ционов с платежной функцией fTmax(S) увеличивает
ся, с платежной функцией fTmin(S) – уменьшается.
Поскольку за уменьшение риска следует платить
больше, а за его увеличение – меньше, то стои
Экономика
мость опционов на основе fTmax(S) должна быть воз
растающей функцией σ, а на основе fTmin(S) – убы
вающей. Эти свойства отражены соответственно
на рис. 1–4 и рис. 5, 6.
fTmin(S). Стоимости опционов должны быть возра
стающими функциями S0 (кривые должны подни
маться вверх с ростом S0). Эти свойства отражены
на рис. 1, 3, 5.
K 1
K 2
K 3
K 4
Рис. 5. Зависимости CTmin от σ и S0 (K=1)
max
Рис. 2. Зависимости CT
от σ и K (S0=10)
K
1
K
2
K
3
K
4
Рис. 6. Зависимости CTmin от σ и K (S0=5)
⎯ от σ и S0 (K=1)
Рис. 3. Зависимости CTmax
K
2
K
3
K
4
K
5
⎯ от σ и K (S0=1)
Рис. 4. Зависимости CT max
Возрастание S0 влечет возрастание в среднем
Stmax и Stmшт, что увеличивает вероятности исполне
ния опционов с платежными функциями fTmax(S) и
Возрастание K приводит к уменьшению вероят
ности предъявления к исполнению опционов с пла
тежными функциями fTmax(S) и fTmin(S). Следователь
но, стоимости опционов должны быть убывающи
ми функциями K (кривые должны опускаться вниз
с ростом K). Эти свойства отражены на рис. 2, 4.
II. Существенным параметром, определяющим
стоимости рассматриваемых опционов, является
параметр η0=K/S0, равный отношению цены ис
полнения к начальной цене рискового актива (Тео
ремы 1, 3), и существенным параметром, опреде
ляющим структуру портфеля и капитала, является
параметр ηt=K/St, равный отношению цены испол
нения к текущей цене рискового актива (Теоре
мы 2, 4). Так как Stmin≤St, то обнуление капитала Xtmin
при условии St≤K объясняется тем, что опционы с
платежной функцией fTmin(S) не будут предъявлены
к исполнению и нет необходимости формировать
капитал для исполнения платежных обязательств.
III. Проведенные по формулам из Теоремы 1 и
3 вычисления показывают, что в достаточно широ
ком диапазоне значений параметров выполняются
11
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 321. № 6
⎯
⎯>CTmin, что подтверждается соот
свойства CTmax>CTmax
ветствующими значениями функций на приведен
ных рисунках. Эти свойства свидетельствуют, что
покупатель опциона платит за тот тип опциона, ве
роятность предъявления которого к исполнению
выше и по платежному обязательству которого он
может получить больший доход. Проведенные вы
числения стоимостей стандартных опционов СT с
+
платежной функцией fT⎯
(ST)=(ST–K)
показывают
~
max
max
⎯
выполнение свойств ⎯CT ~>CT >CT>CTmin. В случае
K=S0 для величин CTmax и CT может быть проведено
аналитическое сравнение. Действительно, соглас
но [1–3] с учетом (2.5)
C = S e −δ T Ô(− y ) − Ke− rT Ô(− y ).
(3.1)
T
0
1
3
Так как y1=–d1, y3=–d2 при K=S0, то из (2.6),
(3.1) следует, что
C max = C + S α −1[e − δ T Ô(d ) − e− rT Ô( −d )] =
T
T
0
1
= CT + Ä CTmax .
2
(3.2)
Так
как 0<δ<r, d1>–d2, то
из (3.2) следует, что
⎯
⎯
ΔCTmax>0, т. е. величина ΔCTmax характеризует вели
чину превышения стоимости опциона с платежной
функцией fTmax(S) над стоимостью стандартного оп
циона при цене исполнения (страйковой цене),
равной начальной цене акции.
Заключение
В соответствии с поставленной задачей приве
дено решение, заключающее в себе формулы для
цен опционов, хеджирующих стратегий и отвечаю
щих им капиталов. Дана графическая демонстра
ция свойств решения задачи с последующей интер
претацией результатов. На величину цены опциона
влияют колебания цен базисных активов, при этом
дериватив на основе функции выплат fTmax(S) будет
дорожать с увеличением хаотичности траектории
цены актива. Стоимость опциона с платежным
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В.
К теории расчетов опционов Европейского и Американского
типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей
и ее применения. – 1994. – Т. 39. – Вып. 1. – С. 80–129.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математи
ки. – М.: Фазис, 1998. – 544 с.
3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика фи
нансовых обязательств. – М.: ГУ ВШЭ, 2001. – 260 с.
4. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice of financial engine
ering. – NewYork: John Willey & Sons, 2000. – 768 p.
5. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финан
совые инструменты. – М.: Вильямс, 2007. – 1056 c.
6. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. Berkeley:
Inst. of Business and Economic Research. – 1991. – № 220. –
P. 3–45.
7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financial
Management. – 1995. – V. 1. – № 1. – P. 87–95.
8. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бу
маг. – 2002. – Т. I. – № 15. – С. 53–57.
обязательством fTmin(S) будет выше в условиях ста
бильного и незначительного изменения цены ри
сковой бумаги. При прочих равных условиях высо
кую цену рассматриваемых опционов обуславлива
ет высокая начальная цена базисного актива и низ
кий страйк опционного контракта.
Выделен параметр, определяющий стоимость
изучаемых опционов, и параметр, определяющий
структуру портфеля и капитала. Последний пара
метр выступает в качестве показателя необходимо
сти формировать капитал для исполнения платеж
ных обязательств и дает информацию в любой мо
мент до экспирации о том, будет ли предъявлен
опцион к исполнению или нет.
Исследована связь между ценами одного из рас
сматриваемых экзотических и стандартного оп
ционов, а также приведено соотношение цен ва
нильного и заявленных в статье опционов. С пози
ции покупателя самым надежным, а значит, и са
мым дорогим, является опцион на максимум цены
базисного актива, начальная цена которого превы
шает договорную цену исполнения. Данный тип
дериватива имеет смысл приобретать в расчете
на значительные колебания стоимости основной
ценной бумаги, и может ожидаемого «скачка» не
произойти. В самом худшем случае все значения
актива окажутся ниже страйка, тогда в роли макси
мального выступит начальное значение цены акти
ва, тем самым опцион будет предъявлен к исполне
нию, а покупатель получит прибыль. Меньший
риск и соответственно стоимость связаны с опцио
ном на максимум цены актива при условии боль
шей цены исполнения, чем начальная стоимость
базисной бумаги. Аналогичные рассуждения при
водят к тому, что стоимость ванильного опциона
превосходит стоимость опциона на минимум цены
актива, но меньше стоимости опционов на макси
мум цены актива.
9. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бу
маг. – 2002. – Т. II. – № 16. – С. 61–64.
10. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бу
маг. – 2002. – Т. III. – № 17. – С. 68–73.
11. Conze A., Viswanathan V. Path dependent options: the case of look
back options // Journal of Finance. – 1991. – V. 46. – № 5. –
P. 1893–1907.
12. Buchen P., Konstandatos O. A new method of pricing lookback op
tions // Mathematical Finance. – 2005. – V. 15. – № 2. –
P. 245–259.
13. ИнглисТейлор Э. Производные финансовые инструменты. –
М.: ИНФРАМ, 2001. – 224 c.
14. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского
опциона» // Теория вероятностей и ее применения. – 1994. –
Т. 39. – Вып. 1. – С. 130–148.
15. Котлобовский И.Б., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Оценка возмож
ности внедрения «Русского опциона» на американском фон
довом рынке // Обозрение прикладной и промышленной ма
тематики. – 2005. – Т. 12. – № 1. – С. 78–98.
Поступила 05.02.2012 г.
12
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа