close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Присоединение корней к унитреугольным группам над простым конечным полем.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 13–16.
УДК 512.54
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
ПРИСОЕДИНЕНИЕ КОРНЕЙ К УНИТРЕУГОЛЬНЫМ
ГРУППАМ НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
Рассматриваются вложения унитреугольных групп UTn ( Fp ) , возникающие при присоединении корней. Построены вложения UTn ( Fp )
в UTm ( Fp ) , где n ≥ 2 ,
m = (n − 1) ps + 1 , s ∈ Z + , относительно которых из любого элемента группы
s
UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) извлекается корень степени p .
Ключевые слова: уравнения над группами, нильпотентные группы, унитреугольные
группы, присоединение корней, р-группы.
Введение
Уравнения над группами составляют одну из наиболее разрабатываемых областей современной теории групп. Начало их систематическому изучению положил Б. Нейман [1]. О результатах в данной области и ее историческом развитии см., например, обзор [2]. Также краткий очерк истории
вопроса можно найти в [3].
Напомним, что уравнением с неизвестной x над группой G называется выражение вида w( x) = 1 , где
тов группы G и неизвестной
w( x) ∈ G ⋅ x – групповое слово от элемен-
x.
Если H – бо́льшая группа, т. е. группа, содержащая G в качестве фиксированной подгруппы, то уравнение над G также рассматривается как
уравнение над H . Уравнение w( x) = 1 над группой G называется разрешимым в группе G , если существует g ∈ G такой, что w( g ) = 1 . Уравнение
называется разрешимым над группой G , если существует надгруппа
H ≥ G , в которой это уравнение имеет решение. В последнем случае можно
считать, что H порождена решением уравнения и элементами группы G.
Иначе говоря, H получена присоединением к G решения уравнения.
Также можно называть H расширением группы G .
В [1] Б. Нейман исследовал, при каких условиях на группу G и слово
w( x) уравнение разрешимо над группой G , и получил решение этого вопроса в общем случае [1, theorem 2.3]. Также им была доказана следующая
теорема.
Теорема 1 (Б. Нейман [1]). Уравнение
xm = g разрешимо над произ-
вольной группой G для любых g ∈ G и m ∈ Z + .
Решение уравнения из последней теоремы будет называть корнем степени m из элемента g. Для доказательства теоремы 1 Б. Нейман использовал
свободные произведения с объединенной подгруппой. Альтернативный вариант был предложен Г. Баумслагом в [4], который использовал конструкцию сплетения групп.
Следствием теоремы 1 является следующий результат.
Теорема 2 (Б. Нейман [1]). Произвольная группа G изоморфна подгруппе некоторой группы D , которая для любого элемента d ∈ D содер+
жит корень произвольной степени m ∈ Z .
© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2015
14
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
Такая группа D называется делимой.
Согласно [5], Б. Нейманом в 1960 г. был
сформулирован следующий вопрос: пусть
дана нильпотентная группа B , элемент
h ∈ B и m ∈ Z + , возможно ли вложить B в
нильпотентную надгруппу, содержащую корень степени m из элемента h ? Иными словами, возможно ли нильпотентное присоединение корня степени m из h ? Данный
вопрос изучался в [5; 6]. В частности, в [5]
было доказано, что всегда можно нильпотентно присоединить корень из элемента конечного порядка. Отметим, что в общем случае ответ на вопрос, поставленный Б. Нейманом, отрицательный. Так в [7] было доказано,
что для произвольного простого p существуют нильпотентная группа G (бесконечно порожденная) и элемент u ∈ G (бесконечного
порядка)
такие,
что
любая
надгруппа H группы G , содержащая корень степени p из u , не является нильпотентной.
Приведем результаты Г. Баумслага [8],
имеющие отношение к вышеупомянутому
вопросу.
Теорема 3 (Г. Баумслаг [8]). Пусть G −
конечно
порожденная
нильпотентная
группа и p − простое, тогда существует
m = (n − 1)q + 1 , относительно которых из любого элемента группы UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) извлекается корень степени q .
Основной результат
Введем следующие обозначения для подгрупп UTn ( Fp ) :
{
= { (a ) ∈ UT ( F )
= { (a ) ∈ UT ( F )
}
= 0, n > j > i } ,
= 0, j > 1 } ,
FRn = (aij ) ∈ UTn ( Fp ) aij = 0, j > i > 1 ,
LCn
An
ij
n
ij
n
p
aij
p
a1 j
(1)
Bn = { (aij ) ∈ UTn ( Fp ) ain = 0, i < n } .
Легко заметить, что подгруппы FRn и
LC n являются нормальными в UTn ( Fp ) и
изоморфны
C pn −1 ,
где
C p − циклическая
группа порядка p , а подгруппы An и Bn
естественно
изоморфны
UTn−1 ( Fp ) . Более
того, UTn ( Fp ) = FRn ⋋ An = LCn ⋋ Bn .
В группе UTn ( Fp ) через ti , j ( 1 ≤ i < j ≤ n )
обозначим трансвекцию e + ei , j , где
e – еди-
ничная матрица, ei , j – матричная единица,
нильпотентная надгруппа H группы G такая, что для любого g ∈ G группа H содержит корень степени p из g .
Теорема 4 (Г. Баумслаг [8]). Произвольная конечно порожденная нильпотентная
группа вкладывается в делимую локально
нильпотентную группу.
Также отметим, что в [9] А. Мальцев доказал, что произвольная нильпотентная
группа без кручения вкладывается в делимую нильпотентную группу той же ступени
нильпотентности.
Пусть Fp − простое конечное поле по-
вилом
рядка p и UTn ( Fp ) − группа верхних унитре-
UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) . Данное вложение исполь-
угольных матриц размера
n × n ( n ≥ 2 ) над по-
лем Fp . В данной статье нас будет интересовать присоединение корней степени
s∈Z+ ,
к
группе UTn ( Fp ) ,
при
q = ps ,
котором
т. е. матрица, на пересечении i-й строки и
j-го столбца которой стоит единица, а остальные элементы равны нулю. Также для γ ∈ Fp
полагаем
ti , j (γ ) = e + γ ei , j . Пусть
1 = k1 < k 2 < … < k n = m
m>n
и
– последовательность
целых чисел. Обозначим через ti′, j трансвекцию в группе UTm ( Fp ) . Очевидно, что отображение
φ : UTn ( Fp ) → UTm ( Fp ) , заданное пра-
φ (ti ,i +1 ) = tk′ ,k , является вложением
i
i +1
зовалось авторами в [10, лемма 4] для присоединения корней к трансвекциям в группе
UTn ( Fp ) .
Теперь мы опишем вложения UTn ( Fp ) в
надгруппа имеет вид UTm ( Fp ) для некоторого
s
UTm ( Fp ) , где n ≥ 2 , m = (n − 1)q + 1 , q = p ,
m ≥ n . Заметим, что к конечной p-группе
s ∈ Z + , которые естественным образом воз-
необходимо присоединять только корни стеs
пеней p , так как корни взаимно простых с
p степеней уже есть в самой группе.
Основным результатом данной статьи
является теорема 5, в которой получен способ одновременного присоединения корней
степени q к группе UTn ( Fp ) , т. е. построены
вложения
UTn ( Fp )
в
UTm ( Fp ) ,
где
никают в теореме 5. Далее для удобства будем использовать рациональные числа для
индексации строк и столбцов матриц. Пусть
αi , j ∈ Q − такие рациональные числа, что
i < α i ,1 < … < α i , q −1 < i + 1 , для i = 1,…, n − 1 , и
пусть UTm ( Fp )
порождена трансвекциями
Присоединение корней к унитреугольным группам над простым конечным полем
ti′,αi ,1 , tα′ i ,1 ,αi ,2 ,… , tα′ i ,q−1 ,i +1 , где i = 1,…, n − 1 . Опреде-
φ : UTn ( Fp ) → UTm ( Fp ) , положив
лим вложение
′ ,
φ (t1,2 ) = t1,2
′ tα′
φ (t2,3 ) = t2,3
1,1 ,α 2,1
′ tα′
φ (t3,4 ) = t3,4
2 ,1 ,α 3,1
φ (tn −1, n ) = tn′ −1, n tα′
tα′1,2 ,α 2,2 … tα′1,q−1 ,α 2 ,q−1 ,
tα′ 2 ,2 ,α 3,2 … tα′ 2 ,q−1 ,α 3,q−1 ,
n − 2,1 ,α n −1,1
(2)
H i = tα′1,i ,α 2 ,i , tα′ 2,i ,α 3,i ,… , tα′ n−2,i ,α n−1,i , i = 1,… , q − 1,
′ , t3,4
′ ,… , tn′ −1, n .
H q = t2,3
H i ≅ UTn−1 ( Fp )
ϕ (a) = e + a12 (e14 + e25 + e36 ) + a13e17 + a23e47 ∈UT7 ( F3 ) .
Теперь мы готовы доказать основной результат данной работы.
Теорема 5. Уравнение над группой
UTn ( Fp ) ( n ≥ 2 ) вида:
xq = a,
для
i = 1,… , q и при k ≠ l подгруппы H k и H l поэлементно
коммутируют.
Положим
H = H1 × H 2 × … × H q и D ( H ) − диагональная
подгруппа H , тогда D( H ) ≅ UTn −1 ( Fp ) . Рассмотрим в FRm подгруппу W , состоящую из
матриц, у которых ненулевые элементы
находятся в первой строке только в позициях
kq + 1 , при k = 0,…, n − 1 . Легко видеть, что
W ≅ FRn . Возьмем полупрямое произведение
надгруппе,
действует на w ∈W сопряжением на hq . Тогда P ≅ FR n ⋋ UTn −1 ( Fp ) ≅ UTn ( Fp ) . Базисом P
φ(ti,i +1 ) , i = 1,…, n − 1 ,
ука-
занные в (2). Таким образом, (2) действительно вложение.
Пример 1. Пусть n = p = q = 3 , тогда об-
a = e + a12 e12 + a13 e13 + a23 e23 ∈
разом элемента
UTm ( Fp ) ,
изоморфной
где
m = (n − 1)q + 1 .
Доказательство. Пусть
αi , j ∈ Q такие,
что i < α i ,1 < … < α i , q −1 < i + 1 для i = 1,…, n − 1 и
пусть UTm ( Fp ) порождена трансвекциями
ti ,αi ,1 , tαi ,1 ,αi ,2 ,… , tαi ,q−1 ,i +1 , где i = 1,…, n − 1 . Положим a = (ai , j ) и докажем индукцией по
n,
что решение (4) относительно вложения (2)
будет иметь вид:
(5)
x = xn −1 xn − 2 … x2 x1 ,
где
x1 = tα′1,q−1 ,2 … tα′1,1 ,α1,2 t1,′ α1,1 (a1,2 ),
x2 = tα′ 2,q−1 ,3 … tα′ 2,1 ,α 2,2 t2,′ α 2,1 (a2,3 )t1,′ α 2,1 (a1,3 ),
…
xn −1 = tα′ n−1,q−1 , n … tα′ n−1,1 ,α n−1,2 tn′ −1,α n−1,1 (an −1, n ) ×
× tn′ − 2,α n−1,1 (an − 2, n )… t1,′ α n−1,1 (a1, n ).
P = W ⋋ D( H ) , где элемент (h1 ,…, hq ) ∈ D( H )
являются образы
(4)
s
группы
что
∈ UT3 ( F3 ) относительно вложения (3) будет
+
где q = p , s ∈ Z , разрешимо в некоторой
tα′ n−2,2 ,α n−1,2 … tα′ n−2 ,q−1 ,α n−1,q−1 .
Докажем, что (2) действительно является
вложением, т. е. гомоморфизмом с единичным ядром. Определим в UTm ( Fp ) под-
Заметим,
15
База индукции. Пусть
n = 2 , тогда по-
лучим уравнение x = t1,2 (a1,2 ) . Произведем
q
вставку
индексов
1 < α1,1 < … < α1,q −1 < 2 .
UTq +1 ( Fp ) ,
α1, j ∈ Q
так,
Рассмотрим
порожденную
что
группу
трансвекциями
t1,α1,1 , tα1,1 ,α1,2 ,… , tα1,q−1 ,2 , и определим вложение
∈ UT3 ( F3 ) относительно вложения (2) будет
′ .
φ1 : UT2 ( Fp ) → UTq +1 ( Fp ) , положив φ1 (t1,2 ) = t1,2
φ ( a ) = e + a12 e14 + a13 e17 + a23 (e25 + e36 + e47 ) ∈
Возьмем
∈ UT7 ( F3 ) .
′ (a1,2 ) .
x1 = tα′1,q−1 ,2 … tα′1,1 ,α1,2 t1,′ α1,1 (a1,2 ) , тогда x1q = t1,2
Аналогично можно определить вложение
φ : UTn ( Fp ) → UTm ( Fp ) , положив
′ tα′
ϕ (t1,2 ) = t1,2
1,1 ,α 2,1
′ tα′
ϕ (t2,3 ) = t2,3
ϕ (tn − 2, n −1 ) = tn′ − 2, n −1tα′
t′
… tα′ 2,q−1 ,α3,q−1 ,
…
(3)
… tα′ n−2,q−1 ,α n−1,q−1 ,
t′
n− 2,1 ,α n −1,1 α n− 2,2 ,α n −1,2
ϕ(tn−1,n ) = tn′−1,n .
Также устанавливается, что (3) действительно вложение.
Пример 2. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента
UTq +1 ( Fp )
элемент
x1 является решением исходного
уравнения в UTq +1 ( Fp ) относительно вложе-
tα′1,2 ,α 2,2 … tα′1,q−1 ,α 2,q−1 ,
2,1 ,α 3,1 α 2,2 ,α 3,2
Значит
в
a = e + a12 e12 + a13 e13 + a23 e23 ∈
ния ϕ1 .
Индукционный переход. Пусть над
q
группой UTn +1 ( Fp ) имеется уравнение x = a .
Переходим к уравнению над факторгруппой
UTn ( Fp ) = UTn +1 ( Fp ) / LCn+1 , которое по индукции разрешимо относительно вложения φ
вида (2) и его решение x имеет вид (5). Произведем вставку индексов
α n, j ∈ Q так, что
16
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
n < α n,1 < …< α n,q −1 < n + 1 . Продолжим вложение φ до вложения
φ ′ : UTn +1 ( Fp ) → UTnq +1 ( Fp ) ,
положив
x1 = tα′ n−1,q−1 , n (an −1, n )tα′ n−1,q−2 ,α n−1,q−1 … tn′ −1,α n−1,1 ,
φ ′(tk , k +1 ) = φ (tk , k +1 ), k = 1,… , n − 1,
φ ′(tn, n +1 ) = tn′, n +1 tα′
n −1,1 ,α n ,1
tα′ n−1,2 ,α n ,2 … tα′ n−1,q−1 ,α n ,q−1 . (6)
Δn
Вычислим образ
a относительно вложеn
ния ϕ ′ . Очевидно, что a = ∏ ti , n +1 (ai , n +1 ) a , где
i =1
a ∈ B n +1
(в
обозначениях
(1)).
Тогда
x2 = tα′ n−2,q−1 , n (an − 2, n )tα′ n−2,q−1 , n −1 (an − 2, n −1 )tα′ n−2,q−2 ,α n−2,q−1 … tn′ − 2,α n−2,1 ,
…
xn −1 = tα′1,q−1 , n (a1, n )… tα′1,q−1 ,2 (a1,2 )tα′1,q−2 ,α1,q−1 … t1,′ α1,1 .
Теорема доказана.
Заметим, что в последней теореме реализуется одновременное присоединение корней
степени q к группе UTn ( Fp ) , т. е. из любого
⎛
n
⎞
элемента группы UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) извлека-
⎝
i =1
⎠
ется корень степени q .
φ ′(a) = φ ′ ⎜ ∏ ti , n +1 (ai , n +1 ) ⎟ φ (a ) . Заметим, что
φ (a ) = x . Вычисляя для i = n − 1,…,1 значения ϕ ′(t i , n +1 ) = ϕ ′([t i ,i +1 , t i +1, n +1 ]) , получаем
q
φ ′(t1, n +1 ) = t1,′ n +1 = t1,′ n +1Δ1 ,
φ ′(ti , n +1 ) = ti′, n +1 tα′
i −1,1 ,α n ,1
tα′ i−1,2 ,α n ,2 … tα′ i−1,q−1 ,α n ,q−1 ,
i = 2,…, n − 1.
Заметим, что Δ i и ti′,n +1 коммутируют, а
также коммутируют
Δi
и
Δ j . Положим
Δi (γ ) = Δγi , тогда ϕ ′(ti , n +1 (γ )) = ti′, n +1 (γ )Δ i (γ ) и
⎛
n
⎞ ⎛
n
⎞
⎝
i =1
⎠ ⎝
i =1
⎠
φ ′ ⎜ ∏ ti , n +1 (ai , n +1 ) ⎟ = ⎜ ∏ ti′, n +1 (ai , n +1 ) ⎟ Δ 2 (a2, n +1 )…
…Δn (an,n+1 ) .
… t1,′ α n ,1 (a1, n +1 ) ,
тогда x =
n
∏t′
i =1
i , n +1
(ai , n+1 ) и φ ′(a) = xnq Δ2 (a2,n+1 )…
… Δn (an,n +1 ) xq . Покажем, что x ′ = x n x является решением исходного уравнения над
UTn +1 ( Fp ) относительно вложения (6). Обозначим xn = e + y ,
x =e+ y ,
q
x = e + z . Так как yz = 0 ,
x = e + zq ,
q
то
( xn x)q =
= (e + y + z)q = xnq (e + zq−1 y + zq−2 y2 + … + zyq−1 )xq .
Заметим, что z
q−k
+… + an , n +1eα n−1,k ,α n ,k
довательно,
3.
Пусть
n= p=3
= e + a12 e12 + a13 e13 + a23 e23 ∈ UT3 ( F3 ) .
и
a=
Согласно
3
теореме 5, решением уравнения x = a над
UT3 ( F3 ) относительно вложения (2) в UT7 ( F3 )
+ e67 ) + a13 e15 . Относительно вложения (3) решение имеет вид
x = e + (e12 + e23 + a12 e34 ) +
+ (e45 + e56 + a23 e67 ) + a13 e37 .
В заключение мы сформулируем следующий открытый вопрос.
Вопрос. Существует ли нетривиальное
многообразие групп L , отличное от многообразия всех групп и многообразия всех абелевых групп, такое, что любая группа G ∈ L
изоморфна некоторой подгруппе делимой
~
Возьмем
xn = tα′ n ,q−1 , n +1 … tα′ n ,1 ,α n ,2 tn′,α n ,1 (an , n +1 )tn′ −1,α n ,1 (an −1, n +1 )…
q
n
Пример
является x = e + ( a12 e12 + e23 + e34 ) + ( a23 e45 + e56 +
Δi
q
n
Аналогично доказывается, что решение
(4) относительно вложения (3) имеет вид
x = x1 x2 … xn −1 , где
yk = a2,n+1eα1,k ,αn ,k + a3,n+1eα2,k ,αn,k +
для
k = 1,…, q − 1 ,
сле-
e + z q−1 y + z q−2 y2 + … + zyq−1 =
= Δ 2 (a2, n +1 )… Δ n (an , n +1 ) .
Получаем
( xn x)q =
= φ ′(a) , значит, xn x является решением исходного уравнения относительно вложения (6).
группы G ∈ L ?
ЛИТЕРАТУРА
[1] Neumann B. H. Adjunction of elements to groups //
J. London Math. Soc. 1943. Vol. 18. P. 12–20.
[2] Roman'kov V. A. Equations over groups // Groups
Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. P. 191–239.
[3] Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial
group theory. N. Y.: Dover publications, 2004.
444 p.
[4] Baumslag G. Wreath products and p-groups //
Proc. Cambridge Philos. Soc. 1959. Vol. 55.
P. 224–231.
[5] Wiegold J. Adjunction of elements to nilpotent
groups // J. London Math. Soc. 1963. Vol. 38.
P. 17–26.
[6] Allenby R. B. Adjunction of roots to nilpotent
groups // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1966. Vol. 7.
P. 109–118.
[7] Neumann B. H., Wiegold J. On certain embeddability criteria for group amalgams // Publ. Math. Debrecen. 1962. Vol. 9. P. 57–64.
[8] Baumslag G. A generalization of a theorem of
Mal'cev // Arch. Math. 1961. Vol. 12. P. 405–408.
[9] Мальцев А. И. Нильпотентные группы без кручения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1943. Т. 13.
С. 201–212.
[10] Меньшов А. В., Романьков В. А. Разрешимость
регулярных уравнений в классе нильпотентных
групп // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 19–22.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
584 Кб
Теги
корней, поле, над, конечный, простые, группа, унитреугольным, присоединение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа