close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Прогнозирование динамики системы.

код для вставкиСкачать
УДК 517.938
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ*
В. И. Зубов, И. В. Зубов, К. А. Пешехонов,
М. В. Стрекопытова
При компьютерном моделировании динамики управляемых систем чрезвычайно важным является вопрос о том, как исследовать поведение системы при различных начальных данных. Нами рассмотрен метод вычисления некоторого фиксированного
набора решений, из которого в дальнейшем можно сделать выводы о поведении
целого множества решений, масса начальных данных которых представляет компактное множество.
Пусть исследуемая система описывается
следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
X& = F X, t ,
где X = ( x1, K , xn ) . Функции F будем предполагать удовлетворяющими условиям, обеспечивающим существование и единственность решений. Пусть X0 О En; тогда обозначим решение системы (1), удовлетворяющее условию X = X0 при t = t0.
Пусть X1, ..., Xn — линейно независимые векторы. Тогда любой вектор X0 О En
представим в виде X0 =
n
е ai0 Xi. Если си-
i =1
стема (1) линейна, то справедливо равенство
X t, X0, t0 =
n
е a0i X t, Xi, t0 .
i =1
(2)
Если система (1) является нелинейной,
то попытаемся построить функции ai таким
образом, чтобы решение X t, X0, t0 было
представлено в виде
X t, X0, t0 =
n
е ai t, a X t, Xi, t0 .
0
i =1
(3)
Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции ai.
Продифференцируем выражение (3) и,
используя (1), получаем
ж n
ц
F з е ai t, a0 X t, Xi, t0 , t ч =
и i=1
ш
=
n
n
е a& i t, a0 X t, Xi,t0 +
i =1
+ е ai t, a0 F X t, Xi,t0 , t .
i =1
(4)
Здесь и далее a0 = a10, K, a0n . Перепишем
систему (4) в виде
A t a& = - B t a + F t, a ,
(5)
где А — матрица, столбцами которой являются решения
X t, X1, t0 , X t, X2, t0 , K , X t, Xn , t0 .
Определение 1. Пусть X1, K, Xn —
линейно независимые векторы. Будем называть систему (1) невырожденной, если векторы
X t, X1, t0 , X t, X2, t0 , K , X t, Xn , t0 также линейно независимы в любой момент
времени t і t0 [3].
В дальнейших рассмотрениях мы будем
считать, что исследуемые системы дифференциальных уравнений являются невырожденными, если не оговорено противное и
F 0, t є 0.
В силу невырожденности системы (1)
матрица А является невырожденной, а B —
это матрица со столбцами
F ( X (t, X1, t0 ) , t ), K, F ( X (t, Xn, t0 ) ,t ).
Векторная функция F имеет вид
ж n
ц
F = F з е ai t, a0 X t, Xi, t0 , t ч .
и i =1
ш
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).
© Зубов В. И., Зубов И. В., Пешехонов К. А., Стрекопытова М. В., 2012
34
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Приведем уравнения (5) к нормальной
форме:
a& = - A-1Ba + A-1F.
(6)
Таким образом, если вычислены базовые решения, то правая часть системы (6)
определена, и задача вычисления решения
X t, X0, t0 сводится к задаче Коши a = a0
при t = t0 для системы (6).
Пусть D — связное замкнутое множество в пространстве Еn. Рассмотрим множество траекторий системы (1), имеющее множеством начальных данных множество D.
Пусть система уравнений [1]
j1 ( a1, K, an ) = 0,
j2 ( a1, K, an ) = 0,
KKKKKKK
jk ( a1, K, an ) = 0
Процесс изменения конфигурации множества (7) в фазовом пространстве системы
(1) при изменении времени мы будем называть эволюцией сгустка B ( X1, K, Xn , F ) .
Определение 3. Сгусток B X1, K, Xn, F называется инвариантным по отношению
к системе (1) (или, для краткости, проX0 О Bt0
сто инвариантным), если из
X1, K, Xn, F следует X t, X0,t0 О Bt
( X1, K, Xn, F ) .
Инвариантный сгусток можно назвать
также пучком.
Определение 4. Инвариантный сгусток
B ( X1, K, Xn, F ) называется устойчивым, если
по любому e < 0 можно указать d > 0 такое,
что из r X0, Bt0 X1, K , Xn < d следует
r ( X (t, X0,t0 ) , Bt ( X1, K, Xn ) ) < e
определяет в En замкнутую поверхность М.
Рассмотрим множество траекторий системы
(1), у которого множеством начальных данных является тело, ограниченное поверхностью М.
для всех
значений параметра t і t0 [6].
Определение 5. Устойчивый инвариантный сгусток называется асимптотически устойчивым, если d в определении
устойчивости можно выбрать так, чтобы
В пространстве En с базой X1, K, Xn
множеству М будет отвечать множество
r X t, X0, t0 , Bt X1, K, Xn ® 0.
Mt = G D, которое будет определяться уравнениями
сгусток B ( X1, K, Xn , F ) (в дальнейшем В)
был устойчивым, необходимо и достаточно,
X=
n
е ai Xi, F a1, K , a n = 0,
i =1
где F = ( j1, K , jk ) .
Определение 2. Сгустком с базой
X1, ..., Xn, определяемой системой (1), называется замкнутое связное множество D = Dt
траекторий системы (1), определяемое в любой момент времени как множество точек в
пространстве Еn, граница которого удовлетворяет системе [7]
X=
n
е ai X t, Xi, t0 , F a1,K , an = 0 (7)
i =1
Сгусток мы будем обозначать B X1, K ,
K , Xn, F ) ,
t-сечение
будем
обозначать
Bt X1 , ..., Xn, F . Сгусток B X t1 , X1,t0,, ...,
..., X (t1, Xn, t0 ) , F ) эквивалентен
сгустку
B X t2, X1, t0 , K, X t2, Xn, t0 , F для любых моментов t1, t2.
Серия «Физико-математические науки»
t ®+Ґ
Теорема. Для того чтобы инвариантный
чтобы в некоторой окрестности
S r, Bt t > t0 был задан функционал V(X) , определенный на решениях системы (1) со свойствами:
1) функция V ( X (t, X0, t0 ) ) і 0, причем равенство возможно лишь при X t, X0, t0 О Bt ;
2) для любой величины g1 > 0 можно указать величину g2 > 0 такую, что
при
r X t, X0, t0 , Bt < g 2 выполняется
V X t, X0, t0 < g1;
3) функция V ( X (t, X0, t0 ) ) является невоз-
растающей функцией t, пока
X t, X0, t0 О
О S r, Bt .
Доказательство. Достаточность. Пусть
функционал V с указанными выше свойствами существует. Тогда возьмем e > 0
(e < r) и положим l = inf V ( X (t, X0, t0 ) )
при r X t, X0, t0 , Bt = e. В силу свойства 2
35
можно указать d > 0 такое, что V X0 < l
при r X0, B0 < d. Покажем, что найденное
d отвечает e в определении устойчивости 2. Предположим противное, т. е.
пусть существует момент t = t* такой,
r X t*, X0, t0 , B *
что
*
V X t , X0, t0
условию
і l,
что
t
=
e.
Тогда
невозможно
невозрастания
по
функции
V X t, X0, t0 [4].
Необходимость. Определим функционал V следующим соотношением:
V X t, X0, t0 = sup r X t, X0,t0 , Bt .
t >t0
Выполнение условия 1 очевидно. Докажем, что условие 2 тоже выполняется.
В силу определения устойчивости 1 по любому
g1 > 0 можно указать g2 > 0 такое, что при
r X0, B0 < g 2
"t і t0 будет
r ( X (t, X0, t0 ) , Bt ) < g1.
Следовательно,
sup r X t, X0, t0 , Bt Ј g1.
t >t0
выполняться
Значит, условие 2
выполнено (при g1 = g2). Покажем справедливость условия 3. По условию устойчивости X t, X0, t0 О S r, Bt , следовательно, значение V определено на траекториях
X t, X0, t0 при любом значении параметра t.
Выполняется [2]
V X t , X0, t0 = sup r X t, X0, t0 , Bt =
t >t0
= V X t, X0, t0 .
поле
с
индукцией
b X, t =
*
*
= b1, b2, b3 . Здесь и далее X = ( x1, x2, x3 ) —
*
вектор положения частицы, Y = ( y1, y2, y3 ) —
вектор скорости. Эти уравнения можно записать в матричном виде:
(8)
X& = Y, Y& = B X, t Y,
36
0
-b1
-b2 ц
ч
b1 ч .
0 чш
Отметим, что система (8) имеет интеграл
2
Y = const = Y02.
Пусть
X t, X0,Y0 ,
Y t, X0,Y0 — решение задачи Коши X = X0,
Y = Y0 при t = 0 системы (8). Предположим
по аналогии с линейными системами дифференциальных уравнений, что справедливо
соотношение
Y t, X0,Y0 = X t, X0 Y0,
(9)
где матрица X0 = E определяется системой (8)
и вектором начального положения. Матрица X t, X0 является аналогом фундаментальной матрицы линейной системы Y& = B t Y.
Матрицу X будем называть базовой матрицей.
Составим систему дифференциальных
уравнений, которой удовлетворяет матрица X. Для этого продифференцируем (9) с
учетом (8):
X& (t, X ) Y = B ( X, t ) X (t, X ) Y .
0
0
0
0
В силу произвольности вектора Y0 справедливо соотношение
X& = BX.
(10)
Матрица X t, X0 является решением задачи
Коши X = X0, X0 = E системы
X& = B X, t X,
X& = XY .
0
Это и показывает справедливость условия 3. Теорема доказана.
Уравнения X& = Y, Y& = Y ґ b X, t являются безразмерными уравнениями, описывающими движение заряженной частицы в
магнитном
b3
ж 0
где B = зз -b3
зb
и 2
(11)
Рассмотрим случай постоянного однородного магнитного поля B X, t = B =
= const. В этом случае система (11) интегрируется в замкнутой форме:
X t = exp Bt ,
t
X = т exp Bt dtY0.
0
В случае однородного магнитного поля
B X, t = B t система (10) линейна, и фундаментальная матрица этой системы может
вычисляться консервативными методами,
которые будут изложены ниже, т. е. с учетом
своей ортогональности. Но здесь возможен и
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
другой подход: дело в том, что строить новый корректирующий метод можно не только
изменяя правую часть соответствующей разностной схемы, но и оставляя сам метод без
изменения, при этом на каждом шаге иначе
вводя этап коррекции. Другими словами, по
матрице Xk+1, полученной в результате применения стандартного алгоритма к значениям Xj, полученным ранее, строится «корректная» матрица, обладающая свойством ортогональности, при этом минимизируется норма разности между этими матрицами. Затем
матрицу Xk+1 мы и примем за значение фун-
даментальной матрицы X в узле t = k + 1 h.
Однако основную важность на практике
имеют неоднородные поля. Именно с помощью них производится так называемая жесткая фокусировка в современной ускорительной технике [5]. Вводя этап коррекции указанным выше способом, мы будем улучшать
любой вычислительный алгоритм решения
задачи Коши для системы (11).
Следует отметить, что коррекция особенно эффективна в методах высокого порядка.
На основе вышеуказанных соображений могут быть построены эффективные алгоритмы
решения задач интегрирования уравнений
(11).
Отметим замечательную особенность
уравнений (8) — свойство инвариантности
любого сгустка в пространстве. Действительно, пусть Y1,Y2,Y3 — линейно независимые
векторы. Тогда любой вектор Y0 представим
в виде
Y0 =
3
е a0i Yi.
i =1
Решение с начальными данными X0, Y0
в силу
невырожденности
системы (8)
удовлетворяет соотношению Y t, X0,Y0 =
= е aiY t, X0,Yi , но из (9) мы имеем
Y t, X0,Y0 = XY0 =
=
е a0i XYi =
е a0i Y t, X0,Yi .
Следовательно, ai = ai0 = const, и любое
первоначальное ограничение на параметры a
будет выполнено во все время движения. Из
этого следует, что для заданного начального
положения частицы, чтобы следить за эллипсоидом скоростей, сгустком с базой Y1,Y2,Y3
и качеством F : е a2i Ј 1, достаточно следить
лишь за базовыми решениями, для вычисления которых в свою очередь нужно знать
лишь матрицу X.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубов Н. В. Безопасность функционирования технических систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. — СПб. : ВВМ, 2009. — 343 с.
2. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. — СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. — 172 с.
3. Зубов С. В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость / С. В. Зубов,
М. В. Стрекопытова. — СПб. : СПбГУ, 2010. — 446 с.
4. Зубов А. В. Теория устойчивости и теория квазипериодических систем / А. В. Зубов,
Н. В. Зубов, С. А. Стрекопытов. — СПб. : Мобильность-плюс, 2010. — 206 с.
5. Зубов А. В. Математические методы исследования устойчивости и надежности технических
систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов, С. В. Зубов, А. Ф. Зубова. — СПб. : ВВМ, 2011. —
362 с.
6. Стрекопытова М. В. Принципы управления движением заряженных частиц / М. В. Стрекопытова. — СПб. : СПбГУ, 2003. —86 с.
7. Стрекопытова М. В. Исследование равновесных движений / М. В. Стрекопытова. —
СПб. : СПбГУ, 2007. — 95 с.
Поступила
01.11.2011.
Серия «Физико-математические науки»
37
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
528 Кб
Теги
динамика, прогнозирование, система
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа