close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Прогнозирование индивидуального остаточного ресурса основных фондов при планировании технического перевооружения предприятия.

код для вставкиСкачать
Project1:Layout 1 23.12.2009 11:43 Page 58
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ОСНОВНЫХ ФОНДОВ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКОГО ПЕРЕВООРУЖЕНИЯ
ПРЕДПРИЯТИЯ
FORECASTING OF THE INDIVIDUAL RESIDUAL RESOURCE OF THE FIXED CAPITAL WHEN PLANNING THE
ENTERPRISE MODERNISATION
В статье рассматривается
метод, позволяющий оценивать
индивидуальный остаточный
ресурс оборудования предприятия при известной фактической
наработке.
The method considered in the article allows to estimate the individual residual resource of the
enterprise equipment at a known
actual mean life.
Ключевые слова: остаточный ресурс, средний ресурс, прогнозирование, основные фонды
предприятия, функционирование
Keywords: a residual resource, an
average resource, forecasting, enterprise fixed capital, functioning
Беркетов Геннадий Александрович, к.т.н., профессор, профессор кафедры Автоматизированных Систем Обработки Информации и Управления, (495) 442-61-11, GBerketov@teach.mesi.ru
Микрюков Андрей Александрович, к.т.н., доцент, Заведующий кафедрой Автоматизированных Систем Обработки Информации и Управления, (495) 442-61-11, AMikrukov@teach.mesi.ru
Швей Владимир Игоревич, Директор института компьютерных технологий, (4950 442-80-98, VShvey@teach.mesi.ru
ГОУ ВПО «Московский государственный университет экономики,
статистики и информатики»
Gennady Aleksandrovich Berketov, phD in engineering, the professor, the
professor of chair of the Automated Systems of Processing of the Information
and Management, (495) 442-61-11, GBerketov@teach.mesi.ru
Andrey Aleksandrovich Mikrjukov, phD in engineering, assistant professor,
Department chairman of Automated Systems of Processing of the Information
and Management, (495) 442-61-11, AMikrukov@teach.mesi.ru
Vladimir Igorevich Shvei, the Director of institute of computer technologies,
(495) 442-80-98, VShvey@teach.mesi.ru
SEI HPE «The Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics»
Проблема прогнозирования технического ресурса основных фондов
предприятия является актуальной при планировании его развития. При
решении данной задачи необходимо учитывать фактическое техническое
состояние основных фондов предприятия (остаточный технический ресурс оборудования). На этапе эксплуатации основных фондов эту проблему приходится решать, например, при замене устройств и приборов,
выработавших назначенный ресурс, а также в случае продления сроков
эксплуатации сверх гарантийных.
Особый практический интерес представляет проблема прогнозирования индивидуального остаточного ресурса оборудования предприятия
по результатам наблюдений за его состоянием в процессе эксплуатации.
1. Основные понятия и соотношения
Введём понятие «объект оборудования предприятия», под которым
понимается любое техническое устройство основных фондов, выполняющее определённые операции в процессе производства (далее по
тексту будем использовать термин «объект»).
Под техническим ресурсом объекта понимают его наработку от начала или возобновления эксплуатации до наступления предельного со№4, 2008 58
Project1:Layout 1 23.12.2009 11:43 Page 59
стояния. Понятие предельного состояния, соответствующего исчерпанию
ресурса,
допускает
различное толкование. В простейшем случае (для невосстанавливаемых объектов) предельное
состояние соответствует отказу
или чрезмерному снижению эффективности функционирования.
Для восстанавливаемых структурированных объектов (систем)
предельное состояние связывается
с общим износом (старением) и
характеризуется резким увеличением интенсивности отказов,
вследствие чего эффективность
систем падает ниже установленного уровня.
В условиях эксплуатации для
восстанавливаемых объектов наряду с понятием общего ресурса
часто также используют понятие
ресурса до ближайшего отказа или
до момента, когда понижение параметров надежности (вследствие
накопления неисправностей) потребует проведения соответствующих восстановительных работ.
Ресурс R объекта из заданной
статистической совокупности является случайной величиной (с.в.)
с некоторым законом распределения F(x). Для его оценки используется показатель RС, называемый
средним ресурсом, который равен
математическому ожиданию величины ресурса для объектов всей
статистической совокупности, т.е.
(1.1)
где f(x) =F'(x) - плотность распределения с.в. R.
При наличии данных о ресурсе n объектов статистическая
оценка среднего ресурса определяется по формуле
где Ri – ресурс i-го объекта.
Введем функцию надёжности
объекта Р(x) = Р{R>x}= 1 – F(x).
Величина P(x) равна вероятности
того, что с.в. R превысит значение
x. Тогда интеграл (1.1) можно пре-
образовать к другому виду, взяв
его по частям
(1.2)
отказной работы.
Рассмотрим распределение
Fτ(x) разности R-τ при условии
R>τ.
Условная вероятность события A при реализации события B
вычисляется по формуле:
P{A/B}=P{AB}/P{B}
(2.3)
где P{AB} - вероятность произведения (пересечения) событий
A и B.
Из соотношения (2.3) следует
λ(x)=f(x)/P(x).
Обозначим
Тогда справедливо представление
[1]:
(1.3)
При рассмотрении невосстанавливаемых объектов функцию
λ(t) называют интенсивностью отказов. Эта функция выражает
опасность отказа в зависимости от
времени наработки.
2. Показатель "Средний остаточный ресурс" и его свойства
Под остаточным ресурсом
сверх времени τ будем понимать
наработку объекта начиная с момента времени τ до его перехода в
предельное состояние при установленном режиме эксплуатации.
Обозначим значение остаточного
ресурса через RО(τ), тогда:
RO(τ)=R- τ при R> τ
(2.1)
Очевидно, что RO(τ) является
случайной величиной.
Величина RОС(τ) = RС – τ называется остаточным средним ресурсом. Эта величина иногда
используется при планировании
технического
перевооружения
предприятий. В этой связи заметим, что RС является усреднённой
характеристикой всей статистической совокупности и поэтому
функция RОС(τ) мало пригодна
для оценки индивидуального остаточного ресурса объектов.
Показатель средний остаточный ресурс определяется по формуле:
RCO(τ)=M[RO(τ) ]
(2.2)
где правая часть есть математическое ожидание от с.в. RO(τ)
При
значениеn RСО(0)=
=RОC(0)=RC. Однако из этого не
следует, что RОС(τ) = RС – τ при
любом τ. Ниже будет показано,
что при τ >0 выполняется неравенство RСO(τ) > RОС(τ). Таким образом, RCO(τ) более точно
характеризует индивидуальный
остаточный ресурс технических
объектов, учитывая время их без-
Экономика, Статистика и Информатика
(2.4)
Равенство (2.4) можно переписать в виде:
(2.5)
Согласно определению (2.1)
RO(τ)=R-τ. Следовательно, математическое ожидание величины c
учетом формул (1.2) и (2.5) определяется выражением
(2.6)
В соответствии с (2.2) средний остаточный ресурс определяется как M[RO(τ)], поэтому
(2.7)
Утверждение 1. Для любых
распределений, имеющих положительную плотность (f(x)>0) при
x>0, выполняется следующее соотношение:
(2.8)
Доказательство. Для распределений с положительной плотностью при x>0 выполняется
F(x)>0 (или P(x)<1).
Неравенство
является верным, так как
P(τ)<1. Выполним следующие
преобразования неравенства:
59
№4, 2008
Project1:Layout 1 23.12.2009 11:43 Page 60
Для распределений, имеющих
положительную плотность, функция
P(x) является монотонно
убывающей, поэтому
при x>τ. Усилим неравенство (2.9),
подставив 1 вместо подынтегральной функции
. Получаем:
или
Отсюда с учетом формул (2.2)
и (2.8) следует искомое соотношение RCO(τ)>ROC(τ).
Таким образом, даже для объектов, имеющих возрастающую
интенсивность отказов «средний
остаточный ресурс» всегда превышает «остаточный средний».
В [2] доказывается, что равенство Pτ(x), x≥0 выполняется при
всех x≥0 и τ≥0 тогда и только тогда,
когда предельная наработка имеет
экспоненциальное распределение.
Это означает, что время безотказной работы объекта никак не
влияет на распределение остаточной наработки (остаточного ресурса). В связи с этим говорят, что
система с экспоненциальным распределением наработки до отказа,
или с постоянной интенсивностью
отказов, «не стареет».
В задачах оценки остаточного
ресурса экспоненциальное распределение не используется, так как
вследствие процесса изнашивания
для реальных систем рано или
поздно наблюдается нарастание
интенсивности отказов.
Перейдем теперь к анализу
поведения показателя RОС(τ) как
функции от времени τ.
Утверждение 2. Для объектов
с монотонным возрастанием ин№4, 2008 60
тенсивности отказов показатель
«средний остаточный ресурс» как
функция τ монотонно убывает.
Доказательство. Пусть объект
безотказно проработал до момента
τ включительно. Тогда вероятность его дальнейшей безотказной работы на промежутке (τ, τ+x)
определяется условной функцией
надежности Pτ(x). Величина Pτ(x)
может также рассматриваться как
вероятность превышения остаточным ресурсом RO(τ)=R-τ значенияx.
Теперь приступим к доказательству монотонного убывания
функции
(2.10)
Вначале произведем оценку
функции P(x)/P(τ). Используя формулу (1.3), эту функцию можно
представить в виде
(2.11)
Из условия монотонного возрастания интенсивности отказов
получаем
Откуда с учетом (2.12) следует
(2.12)
Для доказательства убывания
функции ROC(τ) найдем ее производную. Дифференцируя выражение (2.10) по переменной τ,
получим
откуда с учетом (2.13) имеем
ражение в (2.13) на его оценку
сверху (2.12), получаем неравенство
Интеграл в правой части неравенства равен 1/λ(τ), следовательно
(2.14)
Неравенство (2.14) превращается в строгое равенство только
при τ=0. Это означает, что ROC(τ)
как функция переменной τ монотонно убывает.
На рис.1 приведены графики
функций RCO(τ/RC) и ROC(τ/RC)
для статистической совокупности
объектов, ресурс которых распределен по усеченному слева нормальному
закону
с
математическим ожиданием μ=RC
и средним квадратичным отклонением τ = 0,2RC. Масштабирование времени τ с помощью
множителя 1/RC позволяет представить различие между изучаемыми функциями в более
наглядной форме. На рис.2 приведен график среднего квадратичного отклонения остаточного
ресурса от его среднего значения.
Проведенный расчет показывает, что для объектов с достаточно
продолжительной
наработкой средний остаточный
ресурс может значительно превышать остаточный средний. Иначе
говоря, ресурс таких объектов с
высокой вероятностью превышает
средний ресурс для статистической совокупности в целом.
При рассмотрении вопроса о
продлении эксплуатации индивидуального объекта необходимо использовать интервальную оценку
его остаточного ресурса, что позволяет контролировать уровень
риска принятия неверного решения. Так как остаточный ресурс
R0(τ) распределён в соответствии
с функцией плотности вероятностей fτ(x), то вероятностное содержание γ - интервала его значений
[a(τ), b(τ)] равно:
(2.13)
Заменив подынтегральное вы-
Для однозначного определе-
Project1:Layout 1 23.12.2009 11:43 Page 61
ния интервала с заданной доверительной вероятностью γ необходимо ввести дополнительные
условия.
Пусть
Потребуем выполнения следующего равенства: γ1 = γ2 = γ/2.
Тогда соответствующий интервал
представляется в виде [α(τ);β(α)].
Для определения величин α(τ) и
β(τ) необходимо при каждом заданном τ решать систему уравнений (2.15).
На рис. 3 приведены графики
функций α(τ) и β(τ) совместно с
графиком функции Rсо(τ). В качестве исходного взято усечённое
слева (относительно нуля) нормальное распределение с теми же
параметрами, которые ранее использовались при вычислении
функций Rсо(τ) и σR0(τ), изображённых на рис. 1-2. Заметим, что
центр интервала [α(τ);β(τ)] с ростом τ сдвигается вверх относительно значения Rсо(τ).
При решении практических
задач обычно используется только
нижняя граница доверительной
области, поэтому логично использовать односторонние интервальные оценки, у которых b(τ)= .
В этом случае нижняя граница интервала [α(τ); ] определяется в
результате решения уравнения
при заданных значениях наработки объекта τ и доверительной
вероятности γ, т. е. а(τ) является
100(1- γ) – процентной квантилью
для условного распределения
Fτ(x).
3. Оценка остаточного ресурса оборудования предприятия
по данным эксплуатации
Для определения среднего
остаточного ресурса необходимо
вычислить интеграл
Аналитический подход здесь неприемлем, так как для обычно ис-
Рис. 1. Зависимость среднего остаточного ресурса и нижней γ-доверительной границы от наработки при γ = 0,95
пользуемых при прогнозировании
распределений данный интеграл
не имеет представления в классе
элементарных функций.
Использование численных методов хотя и возможно, но встречает определенные трудности в
связи с тем, что интеграл является
несобственным. Наиболее простой
способ вычисления рассматриваемого интеграла – это использование
статистического
моделирования.
При проведении машинного
(или реального) статистического
эксперимента точечной оценкой
для показателя «средний остаточный ресурс» (RСО (τ)) служит следующее соотношение:
Предполагается, что эксперимент продолжается до отказа всех
испытываемых объектов.
Оценка среднего остаточного
ресурса (3.1) является несмещенной, что доказано в работе [3].
Авторами разработана компьютерная программа для вычисления характеристик остаточного
ресурса на основе статистического
моделирования процесса отказов.
Программа позволяет вычислять
средний остаточный ресурс, среднее квадратическое отклонение и
нижнюю границу доверительной
области с заданным уровнем доверия для распределений, наиболее
часто используемых при прогнозировании остаточного ресурса объекта (усечённого нормального,
Вейбула-Гнеденко и γ-распределения). В таблице 1 приведены результаты расчёта характеристик
остаточного ресурса для объектов,
ресурс которых имеет усеченное
нормальное распределение.
В заключение рассмотрим
следующий пример. Технический
отдел производственной фирмы
разрабатывает план замен или капитального ремонта части обору-
(3.1)
где n – количество однотипных объектов, испытываемых с
момента времени τ=0;
m – число безотказно проработавших сверх времени τ объектов;
ξk– наработка k-го объекта;
– остаточная наработка i-го объекта из числа проработавших сверх времени τ.
Экономика, Статистика и Информатика
61
№4, 2008
Project1:Layout 1 23.12.2009 11:43 Page 62
дования на следующий календарный год. На фирме эксплуатируется некоторое число однотипных
агрегатов (например, металлообрабатывающих станков) На текущий момент времени (конец года)
все эти станки находятся в рабочем состоянии. Для каждого i-го
станка известна его фактическая
наработка τi. Значения τi занесены
в первую строку табл. 2.
Заметим, что в наработку не
включается время, затрачиваемое
на техническое обслуживание и
мелкий ремонт станков (предполагается, что имевшие место ремонты не изменили ресурса
станков). Время простоя станков
также не включается в их наработку. Известно, что ресурс станков распределён по усечённому
нормальному закону со средним
значением RС = 32000 часов и
средним квадратичным отклонением σ = 4800 часов. Тогда, используя таблицу 1, для каждого
i-го станка можно найти средний
остаточный ресурс
среднее квадратичное отклонение
значения остаточного ресурса от
его среднего значения
и нижнюю границу
доверительного интервала при заданной доверительной вероятности γ = 0,9. Эти данные занесены в
соответствующие строки таблицы
2. Приведём порядок вычислений
для 3-го станка. Наработка данного станка составляет τ3 = 22,4
тыс. часов. Тогда его наработка в
относительных единицах равна
τ3/Rc=22,4/32≈0,8. Среднее квадратичное отклонение ресурса от
заданного разработчиками среднего ресурса в относительных единицах равна σ/Rc=4,8/32≈0,15.
Используя таблицу 1, находим
.Тогда
Аналогично определяется среднее
квадратическое
отклонение
тыс. часов и нижняя
доверительная граница
Учитывая, что 1 квартал календарного года составляет 2190 часов и
станки эксплуатируются только в
две смены, получаем, что нара№4, 2008 62
Таблица 1
Таблица 2
ботка станка в квартал составит
2190·2/3 = 1460 часов. Тогда нижняя доверительная граница наработки станков, выраженная в
кварталах, составит
/1460 и для
3 - го станка
/1460 = 4,16/1,46 =
2,85, т.е. с уровнем доверительной
вероятности γ = 0,9 3-й станок откажет в 3-м квартале рассматриваемого года.
Расчёты для остальных станков проводятся аналогично. Результаты приведены в табл. 2. Из
таблицы видно, что целесообразно
провести замену 3, 4, 6, 7 станков.
Таким образом, по известной фактической наработке можно оценить индивидуальный остаточный
ресурс оборудования предприятия
при планировании его технического перевооружения.
Литература
1.Надёжность и эффективность в технике//т.3 Эффектив-
ность технических систем. -М.:
Машиностроение, 1988.
2.Ф.Байхельт, П.Франкен Надёжность и техническое обслуживание. Математический подход.
-М.: Радио и связь,1988.
3.Беркетов Г.А. Прогнозирование остаточного ресурca и остаточного срока эксплуатации
систем с неизвестным полным ресурсом эксплуатации.
Bibliography
1. Reliability and efficiency in
the engineering//v.3 Efficiency of
technical systems. - M.: Mechanical
engineering, 1988.
2. F.Bajhelt, P.Franken Reliability and maintenance service. The
mathematical approach. - M.: Radio
and communication, 1988.
3. G. A. Berketov Forecasting
of residual resource and residual term
of systems operation with the unknown full resource operation.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа