close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пространственно однородная колебательная релаксация Co 2 в четырехтемпературном приближении.

код для вставкиСкачать
УДК 533.6.011
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4
А. М. Кожапенко, Е. В. Кустова
ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ CO2 В ЧЕТЫРЕХТЕМПЕРАТУРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Исследование колебательной кинетики многоатомных газов необходимо для решения многих актуальных задач современной неравновесной газовой динамики, в частности,
для проектирования зондов, входящих в атмосферу различных планет Солнечной системы, совершенствования газодинамических лазеров, моделирования многих экологических
проблем. Сложность описания кинетики многоатомных газов связана, во- первых, с наличием нескольких колебательных мод и, следовательно, с большим количеством каналов
колебательной релаксации. Во-вторых, скорости различных релаксационных механизмов могут существенно отличаться в реальных физических условиях. Кроме того, важное
влияние на кинетику может оказывать ангармоничность молекулярных колебаний.
Одной из наиболее интересных многоатомных молекул является молекула CO2 , составляющая основную часть атмосферы Марса. Кинетика наиболее низко расположенных
возбужденных колебательных состояний молекулы CO2 изучалась в работах [1-3]. К сожалению, применение поуровневого подхода для исследования реальных течений
углекислого газа оказывается слишком дорогостоящим в вычислении. В связи с этим были разработаны несколько многотемпературных моделей, принимающих в расчет
реальные свойства многоатомных газов [4-7].
В настоящей работе рассматривается процесс колебательной релаксации в углекислом газе, состоящем из молекул — ангармонических осцилляторов, на основании наиболее
детальной из многотемпературных моделей. Записаны неравновесные распределения молекул по колебательным уровням с учетом ангармоничности, приводится система
уравнений, дающая замкнутое описание течения углекислого газа в четырехтем- пературном приближении. Проведено упрощение этой системы для случая пространственно
однородной релаксации. Полученная система решена численно методом Гира. Проанализирован ход процесса колебательной релаксации для различных начальных условий, а
также влияние ангармоничности на распределение температур.
1. Постановка задачи
Молекула CO2 — линейная трехатомная молекула, имеющая в основном электронном состоянии три колебательные моды: симметричную валентную моду частоты vi , дважды
вырожденную деформационную моду частоты v2, антисимметричную валентную моду частоты v3 [8].
В связи с этим в углекислом газе существует несколько механизмов колебательной релаксации: внутримодовые колебательно-колебательные (VV m ) обмены, колебательнопоступательные (VT m ) переходы, а также межмодовые (VVfc'_m) обмены колебательной энергией. Кроме того, в реальных физических условиях скорости этих релаксационных
процессов могут существенно различаться.
©
А.М.Кожапенко,
Е.В.Кустова,
2007
1
Здесь i i, «2, «з —колебательные квантовые числа, соответствующие симметричной, деформационной и антисимметричной модам, l —дополнительное квантовое число, описывающее проекцию момента деформационных колебаний на ось молекулы, M — партнер по столкновению, не меняющий своего внутреннего состояния.
В данной работе делается предположение о том, что релаксация поступательных и вращательных степеней свободы, а также внутримодовые VV-обмены происходят
гораздо быстрее, чем межмодовые VV- и VT-обмены, т. е.
Ttr ~ Trot < Tyy m < Туу^-к ~
Tv T m
~ ©, m, k = 1-3,
(1)
где T tr — время поступательной релаксации, T rot — время вращательных взаимодействий, Tyy m —время внутримодовых обменов, Tyy —время межмодовых взаимодействий, TyT m — время колебательно-поступательной релаксации, © — характерное время изменения макропараметров. В таких условиях в каждой колебательной моде
устанавливаются квазистационарные распределения с различными колебательными температурами T^ n = T (m = 1, 2, 3). Для гармонических осцилляторов это
неравновесное больцмановское распределение с температурами TV, а для модели ангармонических осцилляторов распределения имеют вид обобщенных распределений
Тринора с температурами первых колебательных уровней каждой моды T m (m = 1, 2, 3). В настоящей работе основное внимание уделяется модели ангармонических
осцилляторов. Для нее (см. [6, 3, 7]) заселенности n iļiĶi3 колебательных уровней CO2 при данном соотношении времен (1) получены в виде
2
где G i1i ^ i3 —колебательная энергия, n — числовая плотность молекул CO2 , к — постоянная Больцмана (к = 1, 38 • 10~23 Дж/К), S I —колебательный статистический вес (для
молекулы CO2 S I = i 2 + 1), T — температура газа, Ti , T 2 , T3 —температуры первых уровней колебательных мод, ZvIbr — неравновесная колебательная статистическая сумма.
Следует отметить, что распределения (2) зависят от температуры газа T и температур первых уровней колебательных мод T m . Более того, состояние каждой моды
существенно зависит от возбуждения оставшихся мод. Для гармонических осцилляторов зависимость распределений от T пропадает, колебательные моды также становятся
независимыми.
Поскольку заселенности колебательных уровней углекислого газа даются четырех- температурным квазистационарным распределением (2) и в работе не учитывается влияние процессов диссоциации и рекомбинации, система уравнений для набора макропараметров, дающих замкнутое описание течения CO2 при соотношении времен (1), имеет
вид
i1i 2i3
i1i 2i3
где v — скорость газа, p — плотность, U — полная удельная энергия, W m — удельное число
колебательных квантов в m-ой моде, P — тензор напряжений, q — вектор потока тепла, qm —потоки
чисел колебательных квантов в m-ой моде, Rm —релаксационные члены [6, 7]. Полная внутренняя
энергия единицы массы CO2 выглядит следующим образом:
где E tr , E rot , E v ib r —поступательная, вращательная и колебательная энергии единицы массы
исследуемого газа соответственно. Среднее удельное число колебательных квантов в m-ой моде
определяется как
Следует отметить, что система уравнений (4) помимо уравнений сохранения массы, импульса и энергии содержит также релаксационные уравнения для W m , изменение
которых происходит в макроскопическом масштабе времени © за счет VT m - и VV^_ к -об- менов. Изменение среднего числа колебательных квантов за счет медленных
процессов записывается в виде
где k VTm и k VVm-k —коэффициенты колебательно-поступательного и межмодового обменов, а — газокинетический радиус молекулы углекислого газа, равный 3, 763 •
10~10м; m — масса молекулы CO2 , равная 7, 308 • 10~27кг; PVjTm, P}jV m-k — вероятности переходов VT m и VV m _ к. Вероятности переходов вычисляются по SSH-теории [9],
обобщенной для случая ангармонического осциллятора.
2. Пространственно однородная релаксация CO2
Рассмотрим систему уравнений (4) для случая релаксации в пространственно однородном газе. Пусть в момент времени t = 0 система выводится из равновесия любым
способом, например, задается T m , отличная от других температур. Необходимо найти распределение макропараметров в зависимости от времени.
Поскольку газ пространственно-однородный, в системе (4) все производные по координатам обращаются в нуль. Используя это, получаем, что первые два уравнения
удовлетворяются тождественно. Далее, используя модифицированные удельные тепT dEvibr wT^ dEvibr
лоемкости Cļ = ———, Cv m = —, а также аналоги теплоемкостеи для среднего Ol
Ol m
dWn WT
dWn
*
„
WT
й
числа колеоательных квантов в каждой моде Cw п = , ^wn = агг ; можно преооdl
Ol m
разовать третье и четвертое уравнения системы, переписав их через T, T m (m = 1, 2, 3) следующим образом:
4
Система (19) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В данной работе система решена численно с использованием метода Гира
для решения «жестких» систем дифференциальных уравнений.
Метод Гира является неявным методом прогноза-коррекции и наиболее эффективен для так называемых «жестких» уравнений, в которых решение меняется мало при
наличии быстро затухающих возмущений. В работе реализован простейший вариант метода Гира четвертого порядка для систем ОДУ с одной коррекцией
прогнозируемого значения.
Приведем графики зависимости температур от времени, наглядно иллюстрирующие процесс колебательной релаксации в CO2 при различных начальных условиях.
Давление для всех рассмотренным случаев берется атмосферное. На рис. 1 представлена колебательная релаксация при последовательном возбуждении симметричной
(а)
и
деформационной
(б)
мод
до
температуры
2000
К.
Можно
видеть,
что
для
этих
мод
t (мкс)
Рис. 1. Зависимость температур от времени: (а) — T =
500K; (б) — T = 500K, Ti = 500K, T2 = 2000K, T3 = 500K.
t (мкс)
500K, T1 = 2000K, T2 = 500K, T3 =
на начальной стадии релаксации основным каналом является VV[_ 2 -обмен, который приводит к быстрому выравниванию
температур Ti и T2 (за 5-7 и 2-3 мкс для случаев (а) и (б) соответственно). Затем релаксация первой и второй мод
происходит в основном вследствие обмена VT2 . При возбуждении симметричной моды переход к равновесию
осуществляется примерно за 30 мкс, деформационная мода выходит на равновесие значительно быстрее, релаксационные
процессы заканчиваются за 8-10 мкс. Наиболее медленной является релаксация антисимметричной моды (см. рис. 2а), для
установления равновесия в этом случае требуется около 70 мкс. Для третьей моды основной механизм релаксации — VT' 3 обмен, а влияние межмодовых переходов при выбранной модели коэффициентов скорости энергообменов оказывается
слабым. Из графиков также видно, что температура газа T начинает расти не сразу, а после некоторого времени
инкубации. Это связано с тем, что на самой ранней стадии релаксации главная роль принадлежит VV'-обменам, которые
приводят лишь к перераспределению колебательной энергии между модами, но не меняют поступательной энергии газа.
На рис. 2б показан процесс релаксации деформационной и антисимметричной мод при меньшем начальном
возбуждении (T2 = T3 = 1000 К при t = 0). Снова можно отметить важную роль межмодового VV{_ 2 -обмена, ведущего к
быстрому росту температуры T 1 за несколько первых микросекунд. Дальнейшая релаксация протекает за счет VT2 - и
VT^-переходов, причем скорость VT-обмена во второй моде опять оказывается существенно выше. Рис. 3 иллюстрирует
одновременную релаксацию симметричной и антисимметричной мод (а) и всех трех колебательных мод (б) при различных
уровнях начального возбуждения. Очевидно, что во всех рассмотренных случаях наиболее медленно выходит на
равновесие антисимметричная мода, что связано с большой величиной колебательного кванта третьей моды и,
следовательно, малой вероятностью VT^-обмена по сравнению с остальными переходами. Интересно отметить, что вклад
межмодового VV{_ 2_3- и VV2'_3-обмена в общий процесс релаксации оказывается малым. Возможно, это объясняется тем,
что SSH-теория [9] недооценивает вероятности этих переходов. Для более корректного определения коэффициентов
скорости перехо-
Рис. 2. Зависимость температур от времени: (а) — T = 500K, Ti = 500K, T2 = 500K, T3 = 2000K; (б) — T = 500K, T1 = 500K, T2 = 1000K, T3 = 1000K.
Рис. 3. Зависимость температур от времени: (а)— T = 500K, T1 = 1000, T2 = 500, T3 = 1500; (б) - T = 1000K, Ti = 1500K, T2 = 1200K, T3 = 1800K.
дов колебательной энергии необходимо сравнение с экспериментальными данными по времени релаксации в
различных модах.
Проанализируем теперь влияние ангармоничности на процесс колебательной релаксации. На рис. 4 приводятся
графики зависимости температуры газа T и температур T m , рассчитанных с использованием моделей гармонического
и ангармонического осцилляторов при одинаковых начальных условиях. Видно, что для рассматриваемых условий
модели гармонического и ангармонического осцилляторов дают примерно одинаковые значения времени релаксации,
а температуры, при которых наступает равновесие, несколько отличаются. Ангармоничность довольно слабо влияет
на температуры
t(MKC)
t(MKC)
Рис. 4. Зависимость температур от времени для гармонического и ангармонического осцилляторов. T = T1 = T3 = 500K, T2 = 2000K.
симметричной и деформационной мод (погрешность не превышает 2,5%) С другой стороны, влияние ангармоничности на
температуры T и T3 может достигать 9,2%.
3. Заключение
В работе построена модель колебательной релаксации углекислого газа в четы- рехтемпературном приближении.
Проведено численное исследование жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих
пространственно однородную релаксацию CO2. Рассмотрены различные начальные условия. Показано, что наиболее
вероятными каналами колебательной релаксации являются межмодовый VV{_2-обмен и VT-обмены в деформационной и
антисимметричной модах. Отмечается слабое влияние VV[_2_3- и VV^_3-обменов на ход релаксационных процессов, что
является следствием недостаточной точности SSH-теории [9] при описании вероятностей межмодовых переходов. В связи с
этим
предлагается
провести
дополнительное
исследо
вание коэффициентов скорости межмодовых обменов, основанное на экспериментальных данных. Показано также, что в
рассмотренных условиях роль ангармоничности в релаксационных процессах оказывается малой.
Summary
A. M. Kozhapenko, E. V. Kustova. Spatially homogeneous vibrational relaxation of CO2 in the four-temperature approximation.
Numerical investigation of a system of stiff ordinary differential equations, which describes spatially homogeneous vibrational relaxation of
CO2 is performed. The influence of non-equilibrium excitation of various CO2 modes on the relaxation processes is studied. An-harmonic effects
are found to be weak under conditions considered.
Литература
1. Егоров Б. В., Комаров В.Н. Особенности колебательной релаксации в системе нижних уровней молекулы CO2 // Прикл. мат. техн.
физ., 1983. №6. C. 11-16.
2. Cenian A. A numerical model for calculations of population inversions formed in the channels of CW gas-dynamic lasers // Infrared Phys.,
1985. Vol. 25. N1/2. P. 111-114.
3. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. State-to-state theory of vibrational kinetics and dissociation in three-atomic gases // Rarefied Gas
Dynamics / Ed. T. J. Bartel and M. A. Gallis. 2001. Vol. 585 of AIP Conference Proceedings, P. 620-627.
4. Ликальтер А.А. О колебательных распределениях многоатомных молекул // Прикл. мех. техн. физ., 1976. №4. С. 3-10.
5. Нагнибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Колебательная релаксация в смесях с быстрым обменом между колебательными модами //
Проблемы физической газодинамики. Труды ЦАГИ. М., 1982. С. 17-29.
6. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. Nonequilibrium distributions in CO2 and their influence on the transport and thermodynamic properties //
Rarefied Gas Dynamics / Ed. R. Brun. 1999. Vol. 2. P. 289-296.
7. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Колебательная кинетика и перенос тепла в смесях CO2/N2 // Аэродинамика / Под ред. Р.Н.Мирошина.
СПб., 2002. C.54-81.
8. Герцберг Г. Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул. М.: ИЛ, 1949. 648 с.
9. Шварц Р. Н., Славский З. И., Герцфельд К. Ф. Расчет времени колебательной релаксации в газах // Газодинамика и теплообмен при
наличии химических реакций. М.: Наука, 1962. C. 399-420.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
589 Кб
Теги
релаксация, однородные, приближение, колебательный, пространственной, четырехтемпературном
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа