close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства x и x х C.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 24–31
Математика
УДК 515.12
Равенство размерности по модулю
симплициальных комплексов компактного
пространства X и X × C ∗
Е.В. Осипов
Аннотация. Для компакта X доказывается равенство
tr-K-dim(X × C) = tr-k-dimX, где C — канторово совершенное
множество, а K — симплициальный комплекс.
Ключевые слова: симплициальный комплкес, компактное пространство, канторово совершенное множество.
В 2009 году Федорчук [6] рассмотрел понятие K-wid-пространства (соответственно S-K-wid-пространства). Напомним его.
Пусть дан симплициальный комплекс K. Семейство замкнутых множеств
{F1 , . . . , Fk } будем называть K-системой, если нерв этой системы (как комплекс) ∗ вкладывается в K. Окрестностью K-системы Φ = {F1 , . . . , Fk } будем
называть такое открытое семейство OΦ = {OF1 , . . . , OFk }, что Fi ⊂ OFi
и N (OΦ) ⊂ N (Φ), соответственно перегородкой K-системы Φ будем называть такое замкнутое множество P , что X \ P есть тело некоторой
K-окрестности Ψ.
Из леммы о раздутии (см. например, [2]) следует, что у любой K-системы
существует K-окрестность.
Через ExpK (X) будем обозначать множество всех K-систем в X.
Определение 1 [6]. Последовательность ϕ = {Φ1 , . . . , Φr }, Φi ∈
∈ ExpK (X), называется несущественной,
если существуют такие пеTr
P
=
∅,
в противном случае такую
регородки Pi систем Φi , что
i
i=1
последовательность назовем несущественной .
Определение 2 [6]. Нормальное пространство X называется K-widпространством (соответственно S-K-wid-пространством), если всякая последовательность {Φi }i∈ω K-систем несущественна (соответственно, существует
такое N , что последовательность {Φi }N
i=1 несущественна).
*
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНП 2.1.1. 7988.
Нервом системы u мы называем такой комплекс N (u), вершины которого однозначно
соответствуют элементам u, т.е. N (u) = {aU :U ∈ u}
T и различные вершины aU1 , . . . , aUn ∈
∈ N (u) образуют симплекс комплекса N (u), если n
i=1 Ui 6= ∅.
∗
Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов
25
Из определения легко вытекает следующее включение:
S-K-wid ⊂ K-wid.
При K = S 0 = {0, 1} класс K-wid-пространств (соответственно S-K-widпространств) совпадает с классом слабо бесконечномерных пространств, которые еще в 1948г в Предисловии к русскоязычному переводу монографии
Гуревича и Волмэна [1] рассмотрел П.С. Александров (соответственно спустя
10 лет Ю.М. Смирнов).
В своей работе Борст [5], основываясь на построенном им методе, распространил лебегову размерность dim на трансфинитный случай. Оказалось,
что эта размерность корректно определена для всех S-слабо бесконечномерных пространств. Данный метод оказался универсальным, и можно размерность определять для S-K-wid-пространств (см. [6]).
Напомним конструкцию Борста [5]. Пусть L — произвольное множество.
Обозначим семейство всех непустых конечных подмножеств L через FinL.
Пусть M ⊂ FinL. Для σ ∈ {∅} ∪ FinL. Полагаем
M σ = {τ ∈ FinL и σ ∪ τ ∈ M : σ ∩ τ = ∅}.
Для a ∈ L множество M {a} будем обозначать M a .
Определение 3. [5] Порядковое число Ord M определяется по индукции.
1) Ord M = 0, если M = ∅.
2) Ord M 6 α, если Ord M a < α для любого a ∈ L.
3) Ord M = α, если Ord M 6 α и неравенство Ord M < α не выполняется.
3) Ord M = ∞, если Ord M > α, для любого α.
В дальнейшем нам понадобится следующие леммы.
Лемма 1. [5] Пусть даны отображение γ : L → L0 , а также множества
M ⊂ FinL и M 0 ⊂ FinL0 , такие, что для любого σ ∈ M имеем:
(1) γ(σ) ∈ M 0 ;
(2) |γ(σ)| = |σ|.
Тогда Ord M 6 Ord M 0 .
Лемма 2. [5] Пусть L — множество и пусть M , M1 и M2 — подмножества FinL, такие что M ⊂ M1 ∪ M2 . Тогда
Ord M 6 max{Ord M1 , Ord M2 }.
Также напомним определение нижней суммы ординалов. Пусть α, β
ординалы. Представим их в виде α = α0 + p и β = β 0 + q, где α0 , β 0 предельные
ординалы, а p и q целые положительные числа.
26
Е.В. Осипов
Определение 4. [5] Нижняя сумма ординалов α и β определяется следующим образом:

если α0 > β 0 ,
α,
α ⊕ β = α + q = β + p, если α0 = β 0 ,

β,
если α0 < β 0 .
Пусть α и β — ординалы. Если α > β, то полагаем Φ(α, β) = α ⊕ (β +
+ 1), если же α 6 β, то полагаем Φ(α, β) = β ⊕ (α + 1). Очевидно, при α = β
функция Φ корректно определена.
Теперь, через Fin ExpK (X) обозначим семейство всех непустых конечных
множеств K-систем в X и рассмотрим его подмножество
TK (X) = {σ ∈ Fin ExpK (X): σ существенно}.
Воспользуемся теперь конструкцией Борста, положим L = Fin Expm (X)
и M = TK (X). Тогда определена ординальнозначная функция Ord TK (X)
(может быть принимающая значение ∞). Полагаем
tr-k-dim(X) = Ord TK (X).
В.В. Федорчук доказал [6], что tr-k-dimX < ∞ тогда и только тогда, когда
X является S-K-wid-пространством. Аналогично тому, как это делается в
статье [4], можно доказать теорему суммы для размерности tr-k-dim. Именно,
если X = X1 ∪ X2 , где X1 и X2 замкнуты в X, то
tr-k-dim2 X 6 max{tr-k-dim2 X1 , tr-k-dim2 X2 } ⊕
⊕ (tr-k-dim2 (X1 ∩ X2 ) + 1).
Данные результаты хорошо согласуются с той картиной, которую мы
имели при K = S 0 (и как увидим позднее, что функция tr-k-dim также
монотонна по замкнутым множествам), так как tr-S0 -dim = dim.
Хорошо известен классический результат о размерности произведения
компактных конечномерных пространств. Размерность произведения не превосходит суммы размерностей множителей (см. [2]). Для трансфинитой размерности dim Борст доказал, что dim2 (X × C) = dim2 X, где X — компактное
пространство, а C — канторово совершенное множество. Цель данной работы
доказать, что для размерности tr-k-dim верен аналогичный результат.
Теорема 1. Если X компакт, то
tr-k-dimX = tr-k-dim(X × C).
Неравенство
tr-k-dim(X × C) > tr-k-dim(X)
можно получить если мы докажем монотонность функции tr-k-dim по замкнутым множествам. Действительно, X ' X × {0} ⊂ X × C.
Доказательство монотонности предварим несколькими леммами и определением.
Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов
27
Пусть F замкнуто в X. Определим отображение γF : ExpK (X) →
→ ExpK (F ) следующим образом. γF ({F1 , . . . , Fm }) = {F1 ∩ F, . . . , Fm ∩ F }.
Положим ExpK (X)|F = γF (ExpK (X)). Сужением последовательноi }, назовем последовательность
сти σ = {Φi }ni=1 , где Φi = {F1i , . . . , Fm
n
σ|F = {γF (Φi )}i=1 . Также, пусть
½
T ExpK (X)|F = σ ∈ Fin ExpK (X): σ = {Φi }ni=1 и для любых перегородок
Pi (в X) K-систем Φi имеем F ∩
µ\
n
¶
Pi
¾
6 ∅ .
=
i=1
Лемма 3. Пусть X представляется в виде дизъюнктной суммы замкнутых подпространств X1 и X2 . Тогда ∀τ ∈ {∅} ∪ ExpK (X) имеем
τ
τ
Ord TK (X)τ 6 max{Ord T ExpK (X)|X1 , Ord T ExpK (X)|X2 }.
Доказательство. Воспользуемся леммой 2. Лемма будет доказана, если мы покажем, что
τ
τ
TK (X)τ ⊆ T ExpK (X)|X1 ∪ T ExpK (X)|X2 .
Фиксируем σ ∈ TK (X)τ . Тогда γ = σ ∪ τ ∈ TK (X), т.е. γ существенно.
i }.
Пусть γ = {Φi }ni=1 , где Φi = {F1i , . . . , Fm
i ∩ X }}n
В этом случае либо {{F1i ∩ X1 , . . . , Fm
1 i=1 ∈ TExpK (X)|X1 , либо
i
i
n
{{F1 ∩ X1 , . . . , Fm ∩ X1 }}i=1 ∈ TExpK (X)|X2 , в противном случае γ несущеτ
ственна, т.е. γ 6∈ TK (X). Отсюда следует, что либо σ ∈ T ExpK (X)|X1 , либо
τ
σ ∈ T ExpK (X)|X2 .
Лемма 4. Пусть в топологическом пространстве даны замкнутое множество H и последовательность K-систем σ = {Φ1 , . . . , Φn }. Пусть также известно, что система σ|H несущественна в H. Тогда существуют
такие перегородки Pi для Φi , i = 1. . . n, в X, что
µ\
¶
n
H∩
Pi = ∅.
i=1
Доказательство. Фиксируем перегородки Si для K-систем
{F1i ∩ H, . . . , Fki ∩ H}
T
S
в H такие, что ni=1 Si = ∅ и пусть H \ Si = kj=1 Oji , где системы {O1i , . . .
. . . , Oki } являются K-окрестностями семейств {F1i ∩ H, . . . , Fki ∩ H} в H. По
лемме о раздутии
существуют такие открытые в H множества OSi , что
T
Si ⊂ OSi и ni=1 OSi = ∅. Кроме того, можно дополнительно потребовать,
S
чтобы OSi ∩ ( kj=1 Fji ) = ∅, i = 1, . . . , n. Очевидно,
[Oji ]H ⊂ Oji ∪ Si ,
i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , k.
28
Е.В. Осипов
Полагаем
Gij = [Oji ] \ OSi ,
i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , k.
Очевидно, Gij ⊂ Oji , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k, поэтому система
Φ0i = {F1i ∪ Gi1 , . . . , Fki ∪ Gik }
является K-системой в X для любого i = 1, . . . , n. Возьмем произвольную
перегородку Pi для Φ0i (хотя бы одна такая перегородка существует, так как
существует окрестность для Φ0i ). Легко видеть, что Pi искомые. Действительно,
µ\
¶ µ\
¶
n
n
H∩
Pi ⊂
OSi = ∅.
i=1
i=1
Следующая лемма очевидна.
0 } две K-системы,
Лемма 5. Пусть Φ = {F1 , . . . , Fm } и Φ0 = {F10 , . . . , Fm
0
и Fi ⊂ Fi , i = 1, . . . , m. Тогда
1) последовательность (Φ, Φ0 ) несущественна;
0
2) TK (X)Φ ⊂ TK (X)Φ .
Лемма 6.
T ExpK (X)|F = {σ ∈ FinExpK (X) : σ|F существенно и |σ|F | = |σ|}.
Доказательство. Включение ⊂ следует из предыдущих двух лемм.
i } — KДокажем включение ⊃. Пусть σ = {Φi }ni=1 , где Φi = {F1i , . . . , Fm
i
i
система в X, такая что последовательность {{F1 ∩ F, . . . , Fm ∩ F }}ni=1 несуi } — произвольная K-окрестность
щественна в F . Пусть OΦ = {OF1i , . . . , OFm
S
системы Φi для i = 1, . . . , n, соответственно, Pi = X \ m
i=1 OFi — перегородi ∩
ки. Тогда Pi0 = Pi ∩ F является перегородкой K-системы {F1i ∩ F, . . . , Fm
i
i
n
∩ F }. По условию последовательность {{F1 ∩ F, . . . , Fm ∩ F }}i=1 существенна, а значит,
n
n
\
\
∅ 6=
Pi0 = F ∩
Pi ,
i=1
i=1
следовательно, σ ∈ T ExpK (X)|F .
Теорема 2. Пусть F замкнуто в X. Тогда
tr-k-dimF = Ord T ExpK (X)|F 6 tr-k-dimX.
Доказательство. Очевидно, T ExpK (X)|F ⊂ TK (X) откуда следует, что
Ord T ExpK (X)|F 6 Ord TK (X) = tr-k-dimX.
Аналогично TK (F ) ⊂ T ExpK (X)|F , поэтому
Ord TK (F ) = tr-k-dimF 6 Ord T ExpK (X)|F .
Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов
29
Очевидно, для каждого σ ∈ T ExpK (X)|F имеем
γF (σ) ∈ TK (F ) и |σ| = |γF (σ)|.
Из леммы 1 следует, что
Ord T ExpK (X)|F 6 Ord TK (F ) = tr-k-dimF.
Итак, монотонность для tr-k-dim, а следовательно и неравенство
tr-k-dim(X × C) > tr-k-dim(X),
установлено.
Лемма 7. Пусть {F1 , . . . , Fm } является K-системой в X × C. Тогда
существует дизъюнктное покрытие {D1 , . . . , Dp } пространства C, состоящее из открыто-замкнутых множеств, а также набор из p K-систем
S
j
Φj = {F1j , . . . , Fm
} в X, таких, что Fi ⊂ pj=1 (Fij × Dj ).
Доказательство. В силу компактности пространства X × C, существуют открытое покрытие {Ui }ki=1 пространства X и дизъюнктное покрытие
{Di }pi=1 , состоящих из открыто-замкнутых множеств (в силу нульмерности
пространства C), такое, что для любого Uj × Dl выполнено следующее условие:
l
\
если
Fis = ∅, то существует такое 1 6 s0 6 l, что Fis0 ∩ ([Uj ] × Dj ) = ∅.
s=1
(1)
В силу нульмерности C, можем считать что покрытие {D1 , . . . , Dp } состоит
из открыто-замкнутых дизъюнктных множеств.
Для i = 1, . . . , m и j = 1, . . . , p полагаем
Fij = π(Fi ∩ (Dj × X)),
где π : X × C → X — проекция на первый сомножитель.
j
Проверим, что для любого j = 1...p, система {F1j , . . . , Fm
} является Kсистемой. T
T
T
Пусть ls=1 Fis = ∅. Если ls=1 Fijs 6= ∅, то для x ∈ ls=1 Fijs существует
такое i0 , что x ∈ Ui0 . Но тогда Fis ∩ ([Ui0 ] × Dj ) 6= ∅, для любых is , s =
j
= 1, . . . , l, а это противоречит (1). Итак {F1j , . . . , Fm
}, является K-системой.
Sp
j
Включение Fi ⊂ j=1 (Fi × Dj ) очевидно.
Лемма 8. Пусть даны компакт X, последовательность K-систем
τ = {Φ1 , . . . , Φn } ∈ {∅} ∪ Fin ExpK (X),
i }. Пусть Φ0 = {F i × C, . . . , F i × C} и τ 0 = {Φ0 , . . . , Φ0 }.
где Φi = {F1i , . . . , Fm
m
n
1
1
i
0
Тогда τ ∈ {∅} ∪ Fin ExpK (X × C) и
0
Ord TK (X)τ = Ord TK (X × C)τ .
30
Е.В. Осипов
Доказательство. Докажем неравенство
0
Ord TK (X)τ > Ord TK (X × C)τ .
Доказательство проведем индукцией по α = Ord TK (X × C). При α = 0
неравенство выполняется, так как Ord TK (X)τ > 0 = α. Пусть неравенство
выполняется при всех β < α. Рассмотрим случай, когда α — непредельный
ординал, т.е. α = β + 1. Тогда существует K-система Φ = {G1 , . . . , Gm } ∈
∈ ExpK (X × C), такая, что
0
Φ 6∈ τ 0 и Ord TK (X × C){Φ}∪τ = β.
Для j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n положим через Gij = Fji × C. По предыдущей
лемме существует открытое покрытие {D1 , . . . , Dp } и существуют K-системы
k }, k = 1, . . . , p в X, такие, что
{H1k , . . . , Hm
Gj ⊂
p
[
(Hjk × Dj ),
j = 1, . . . , m.
k=1
Для k = 1, . . . , p определим следующие множества
Yk = X × Dk и Tk = T ExpK (X×C)|Yk .
В силу леммы 3 существует k0 ∈ {1, . . . , p}, такое, что
{Φ}∪τ 0
Ord Tk0
Заметим, что
Gj ∩ Yk0 ⊂ Hjk0 × C,
= β.
j = 1, . . . , m.
(2)
Полагаем Fjn+1 = Hjk0 и Gn+1
= Fjn+1 × C, j = 1, . . . , m. Пусть
j
n+1
Φ0 = {F1n+1 , . . . , Fm
} и Ψ = {Gn+1
, . . . , Gn+1
m }.
1
Включения (2) можно переписать в виде
Gj ∩ Yk0 ⊂ Gn+1
∩ Yk0 ,
j
j = 1, . . . , m.
(3)
Так как τ 0 ∪ {Φ} ∈ Tk0 , то из леммы 5 и включений (3) следует, что τ 0 ∪ {Ψ} ∈
∈ Tk0 а значит Ψ 6∈ τ 0 . Из той же леммы 5 следует, что Φ0 6∈ τ и TkΦ0 ⊂ TkΨ0 ,
поэтому
0
{Ψ}∪τ 0
Ord TK (X × C){Ψ}∪τ > Ord Tk0
{Φ}∪τ 0
> Ord Tk0
> β.
0
По индуктивному предположению имеем Ord TK (X){Φ }∪τ > β, следовательно
Ord TK (X)τ > α,
так как Φ0 6∈ τ.
Осталось доказать неравенство для предельных α. Пусть α — предель0
ный ординал. Так как для любого β < α имеем Ord TK (X × C)τ > β, то
Ord TK (X)τ > β, следовательно, Ord TK (X)τ > α.
Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов
31
Обратно, X ⊂ X × C, и X ≡ X × {0}. Мы можем считать, что Fji ⊂ Fji ×
τ
τ 0 (X × C). С другой
× C, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n, поэтому T ExpK (X×C)|X ⊂ TK
τ (X) ⊂ T τ
стороны TK
ExpK (X×C)|X . Откуда следует требуемое неравенство
0
Ord TK (X)τ 6 Ord TK (X × C)τ .
Теперь неравенство tr-k-dim(X × C) 6 tr-k-dim(X) легко следует из предыдущей леммы, если положить τ = τ 0 = ∅. Теорема 1 доказана.
Список литературы
1. Александров П.С. Предисловие к русскому переводу. В кн. В. Гуревич, В. Волмен, Теория размерности. М., 1948. 232 c.
2. Александров П.С., Пасынков Б.А. Теория размерности. М.: Наука, 1973. 576 c.
3. Левшенко Б.Т. О бесконечномерных пространствах // ДАН СССР. 1961. Т.139,
№5. С.286–289.
4. Осипов Е.В. Теорема суммы для dimm // Сб. Современные проблемы математики и механики. Математика. Геометрия и топология. М.: МГУ, 2009. Т.3. Вып.2.
C.164–167.
5. Borst P. Classification of weakly infinite-dimensional spaces. I. A transfinite extension
of covering dimension // Fund. Math. 1988. V.130, №5. P.1–25.
6. Fedorchuk V.V. Questions on dimensions modulo simplicial complexes III. Transfinite
dimension // Questions Answers Gen. Topology. 2010. V.28, №2. P.25–52.
Осипов Евгений Вячеславович (evosipov@yandex.ru), аспирант, кафедра общей топологии и геометрии, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.
The equality of dimension modulo simplicial complexes
for compacta X and X × C
E.V. Osipov
Abstract. For compacta X we prove equality tr-k-dim(X × C) = tr-k-dimX,
where C — the Cantor set, and K — simplicial complexes.
Keywords: simplicial complex, compact space, Cantor set.
Osipov Evgeniy (evosipov@yandex.ru), postgraduate student, department of
general topology and geometry, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 05.06.2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
691 Кб
Теги
комплекс, симплициальных, пространство, размерность, компактной, равенства, модуль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа