close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Равновесные и парето-оптимальные распределения в экономике обмена с невыпуклыми предпочтениями потребителей.

код для вставкиСкачать
Статистика и математические методы в экономике
РАВНОВЕСНЫЕ И ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ ОБМЕНА
С НЕВЫПУКЛЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
УДК 519.86
Михаил Алексеевич Севодин
Кандидат физико-математических наук,
доцент, доцент кафедры прикладной математики Пермского государственного
технического университета
Тел. (342)2198340,
E-mail: m.sevodin@mail.ru
В работе исследуются модели экономики
обмена. Рассматриваются ситуации, в
которых допускается нарушение выпуклости отношений предпочтения потребителей. Устанавливаются свойства некоторых характеристик таких экономик. Доказывается существование равновесных
цен и равновесных распределений товаров, а также совпадение этих распределений (последних) с Парето-оптимальными распределениями.
Ключевые слова: экономика обмена, отношение предпочтения, выпуклость, равновесие, оптимум.
Mihail Sevodin
candidate of science, mathematics ; associate
Professor; Chair of Applied Mathematics,
associate Professor; Perm State Technical
University
Ph. (342)2198340,
E-mail: m.sevodin@mail.ru
i?
Rklii ? R+l
?
EQUILIBRIUM AND PARETO OPTIMAL
DISTRIBUTIONS IN AN EXCHANGE
ECONOMY
WITH
NONCONVEX
PREFERENCESOF
CONSUMERS
The paper studies exchange economy models.
Consideration is given to cases that admit the
violation of convexity of consumer?s
preference relations. Some specific
characteristics of these economies are
determined. The existence of equilibrium prices
and equilibrium distributions of goods, as well
as the coincidence of these distributions with
Pareto optimal distributions, is proved.
Keywords: exchange economy, preference
relation, convexity, equilibrium, optimum
Понятие выпуклости, которое используется в математических формулировках
моделей многих экономических явлений, играет важную роль в экономической
теории, что отмечалось и обсуждалось различными авторами (см., напр., [1] ?
[4]). В частности, свойство выпуклости потребительских предпочтений неизменно присутствует в классических доказательствах существования конкурентного
равновесия. В то же время требование выпуклости заметно сужает область применения моделей, в которых это требование используется. Различные факты, подтверждающие последнее замечание, можно найти, например, в книгах [2] ? [4].
Мы здесь отметим лишь то, что, приписывая отношению предпочтения свойство
выпуклости, автоматически исключают из анализа «антикомплиментарные» блага, неделимые блага, «взаимоисключающие» товары и т. д.
Потребность в ослаблении некоторых предположений классической экономической теории, гарантирующих существование экономического равновесия, отразилась в исследованиях многих авторов. Попытки снять ограничение выпуклости отношения предпочтения потребителя были связаны в основном с рассмотрением достаточно специальных экономик. В частности, рассматривались ситуации, когда на рынке были один или бесконечно много товаров (или потребителей)
[5], [6]. Обзор исследований в этом направлении можно найти в статье [7].
В данной работе непосредственно ослаблено само требование выпуклости
отношения предпочтения потребителей, прни этом в основном изучаются оптимальные по Парето и равновесные распределения экономики обмена. Цель данной работы: убедиться в том, что потеря выпуклости предпочтений не влияет на
совпадение этих распределений. Точнее, выделен некоторый класс невыпуклых
предпочтений, при рассмотрении которого равновесные распределения существуют и совпадают с Парето-оптимальными распределениями.
1. Модель экономики обмена. Перейдем к описанию на формальном уровне
модели экономики обмена, являющейся одним из вариантов известной модели
Эрроу ? Дебре [8]. Суть рассматриваемой здесь модели заключается в том, что
каждый потребитель, находясь в рамках бюджетных ограничений и имея некоторые заданные предпочтения, стремится получить максимальное удовлетворение
от выбираемого им ассортимента продуктов.
Начнем описание экономики, введя l типов ?элементарных благ? или товаров, которые снабжены единицами измерения так, что можно говорить об xk
единицах элементарного блага, имеющего номер k . Набором товаров (вектоl
ром) x = ( x1 ,K , xl ) из неотрицательного ортанта R+ n -мерного векторного
пространства
мы будем описывать состояние потребителя. Будем считать,
что число потребителей конечно и равно m .
Пусть каждый участник обладает частной собственностью на суммарные ресурсы
, то есть в начальный момент, момент прихода на рынок, участник
имеет набор товаров
. Общие ресурсы экономики при этом получаются
агрегированием всех этих величин, то есть выполняется равенство
(1)
Затем на рынке происходит перераспределение общих ресурсов из (1). Каждый участник стремится улучшить это распределение для себя, и, таким образом,
устанавливается некоторое распределение , для которого также имеет место (1). В
дальнейшем вектор X= ( x 1 , ..., x m ) ? R lm , удовлетворяющий равенству (1), будем называть допустимым распределением.
Участники экономики имеют дело с ценами, заданными извне. Пусть устаноl
вились цены p = ( p1 , ..., p l ) , p ? R+ . Потребитель i оценивает сначала свой
капитал по установленной цене:
k = 1, l , являются компонентами вектора ресурсов ?i , т. е.
) . После этого потребитель может претендовать на любые набоl
ры товаров y ? R+ , которые в сумме стоят не дороже чем ri . Эти возможные
где
?
i
=
(?
,
i
1
, ..., ?
i
l
Экономика, Статистика и Информатика
149
№3, 2011
Статистика и математические методы в экономике
товары образуют бюджетное множество, которое обозначим через I ( ri ) :
I ( ri ) = y ? X i p , y ? ri .
Бюджетное множество не изменяется при умножении всех цен на одну и
ту же постоянную ? > 0 . Это позволяет цены нормировать и рассматривать их только на множестве
{
}
p k ? 0, k = 1, l } . Как обычно, назовем это множество областью цен.
Ставится основной вопрос: могут ли
потребители разделить наличное благо?
При этом считается, что участник i
действует в соответствии со своим отношением предпочтения
(см., напр.,
[3]). Он выбирает то, что предпочитает,
в своем бюджетном множестве, то есть
приступает к поискам такого набора
товаров xi ? I ( ri ) , для которого
xi fi y для любого y ? I ( ri ) . Последнее можно записать также в виде
ui ( xi ) ? ui ( y )
для
любого y ? I ( ri ) , где ui : X i ? R ? функция полезности, описывающая отношение предпочтения i -го потребителя.
Здесь
? множество, задающее возможности потребления i -го
участника экономики (конечно, считается, что
? X i , i = 1, m ). Таким
образом, каждый потребитель i решает следующую экстремальную задачу:
, xi ? X i , p, xi ? ri . (2)
Если цены выбраны произвольно, то
спрос на некоторые продукты может
оказаться больше или меньше имеющихся количеств. Этого не происходит,
если экономика находится в равновесии.
Как обычно, под равновесием понимается совокупность неотрицательных
векторов ( p * , x 1* , K , x *m ) таких, что
каждый вектор x *i , i = 1, m , является
решением соответствующей задачи (2)
при p = p* , и, кроме того, выполнено
равенство (1). При этом вектор
( x 1* , K , x *m ) называют равновесным
распределением.
2. Условия существования равновесия. Введем следующие предположения.
1. Множества X i , i = 1, m , являются замкнутыми выпуклыми множествами и обладают следующим свойством:
при любом z ? K и при любом
xi ? X i точка xi + z принадлежит
множеству X i . Здесь и далее множеl
ство K есть конус, лежаший в R+ и
содержащий вместе с некоторой ее окрестностью точку с единичными координатами.
2. Множества X i , i = 1, m , устрое-
№3, 2011
ны следующим образом: если в последовательности x n ? X i , i = 1, m , неn
которая компонента xk стремится к
бесконечности при n ? ? , то стремятся к бесконечности и все прочие координаты векторов
.
3. Каждое отношение предпочтения
fi является непрерывным, и, более
того, функции ui , задающие отношения предпочтения участников экономики, мы будем считать непрерывно
дифференцируемыми на X i . Отметим
здесь еще раз, что каждая функция ui
определена на X i , то есть функция
полезности любого потребителя зависит лишь от набора товаров, предназначенных только этому потребителю.
4. Каждое отношение предпочтения
является монотонным в конусе направлений K .
5. Каждое отношение предпочтения
является выпуклым в конусе направлений T . Здесь конус T является замыканием множества R l \ ( ± R +l ) .
Определим классы отношений
предпочтений, выделенные в пунктах
4, 5.
Отношение предпочтения f , определенное на множестве
, будем называть монотонным в конусе направлений K , если для любого x ? X для
любого z
вектор
и
выполняется соотношение x z x.
Отношение предпочтения , определенное на выпуклом множестве
,
будем называть выпуклым в конусе направлений T , если для всех ? ? [ 0 , 1 ]
и для всех x,y,z? X имеет место свойство: y x, z x, y?z
влечет
y
z f x.
Остановимся на экономическом
содержании приведенных требований
1 ? 5.
Требования 1, 4 являются условием
отсутствия насыщения. Они говорят о
том, что потребители согласны не с
любыми добавками к уже имеющимся
у них товарам, а лишь только с добавками в определенных пропорциях. Например, поступление только части из необходимого для некоторого производства набора ресурсов вызовет возражения со стороны производителя.
Требование 2 экономически можно сформулировать так: если потребителю требуется слишком много одного
товара, то он хочет и больших количеств
всех остальных интересующих его товаров.
Первая часть требования 3 носит
технический характер. Ее можно интер-
150
претировать как нежелание потребителя придавать существенные различия
близким распределениям товаров, что
выглядит достаточно правдоподобно.
Вторая часть этого требования ограничивает множество рассматриваемых
ситуаций и представляется достаточно
ясным условием. Наконец, говоря о
последнем требовании, вспомним, что
выпуклость предпочтений обычно
трактуется (см., напр., [1], [2]) как возможность смешивать в любых пропорциях любые наборы товаров из множества потребляемых благ. Требование 5
в этом смысле разрешает смешивание
значительно отличающихся друг от друга наборов
и
, таких, что
. Существование или появление комбинаций близких векторов
здесь не гарантируются. Близость векторов и понимается в смысле коллинеарности, то есть если отношения
соответствующих координат векторов и
отличаются друг от друга незначительно, так что . Отметим, наконец, и тот
факт, что определение выпуклости в
конусе предпочтения не запрещает в
случае выполнения , где yz, xz. Таким
образом, можно говорить о том, что
требование 5 выделяет некоторый класс
невыпуклых предпочтений.
Введем в рассмотрение функции
индивидуального спроса потребителей
,
i = 1, m .
Отметим следующие моменты. В
силу предположения 2 о структуре множеств X i , i = 1, m , множества
I ( ri ) , i = 1, m , оказываются ограниченными и замкнутыми. В таком случае функции спроса d i ( p ) являются
определенными на всем множестве цен
p ? ? . В силу предположения 4 каждый потребитель тратит весь свой капитал ri , то есть для любого вектора цен
p ? 0 и любого вектора x ? d i (p )
имеет место равенство p , x = ri . По
предположению 5 множества d i (p)
выпуклы. Действительно, если
x , z ? d i (p ) с некоторым i , то тогда
и, значит, p , x ? z = 0 . Поэтому обязательно должно быть выполненным
включение x ? z ? T . По определению выпуклых в конусе направлений
предпочтений отсюда следует, что
точка вида ? x + (1 ? ? ) z с произвольным ? ? [0,1] должна предпочитаться всем остальным точкам y из множе-
Статистика и математические методы в экономике
ства
венства
. Так как выполняются ра-
p, ? x + (1 ? ? )z = ? p, x +
+ (1 ? ? ) p, z = p, x = ri ,
то точки ? x + (1 ? ? ) z
и,
значит, принадлежат множеству
di (p) . Выпуклость множеств доказана.
Если теперь для всех i и
одноi
временно ?k ? 0 , то ri > 0 ,
,
и в силу непрерывности отношений
предпочтений и компактности I ( ri )
множества d i (p) , , окажутся замкнутыми (см., напр., , с. 350).
Рассмотрим функцию совокупного
m
спроса
d (p ) =
d i (p ) .
(3)
?
i =1
Заметим, что для каждого p множества
являются выпуклыми и
замкнутыми как сумма выпуклых и
замкнутых множеств.
Если теперь
, то существуют x i ? d i ( p ) , i = 1 , m , такие,
что u = x 1 + K + x m . Поэтому для
любого вектора u ? d ( p ) выполняется следующее неравенство
p, u = p, x1 + K + p, x m =
= p, ?1 + K+ p, ?m = p, ? ? 0
.
Таким образом, выполняются условия
известной теоремы об избыточном
o
?
?
o
?
m
m
m
(?
?
?
T
yx
?
2,
uii?
,=
y,p
?r?
+(X
p<
(1
<)K
?pp?,,предложении
)m
y?)}i i > ?ui (x) +(см.,
(1? ?напр.,
)ui (y)[1], с. 343), по
yxkdX
f
?
lI
?
Ijp=
r1,
1iy({iijxd)?
,X
)
m
iG
ii0(?
i lii)ii i
+?
pRip
R
, + y i ? ?i > 0
существует вектор p * ? R+l со
i =1
iкоторой
=1
свойством d (p * ) ? R+l ? ? , что достаточно для существования равновесия.
Итак, обоснована следующая
Теорема 1. В описанной модели экономики обмена существует положение равновесия, если для всех i и
i
одновременно ?k ? 0 .
Установив существование равновесия, получим некоторые его свойства.
3. Парето-оптимальность равновесных распределений. Напомним понятие Парето-оптимальности.
Пусть в рассматриваемой экономике обмена фиксировано множество ?
всех допустимых распределений X. Состояние X
называется эффективным или оптимальным по Парето, если
не существует такого распределения
, с которым одновременно выполняется следующие
условий
, i = 1, m ,
(4)
и хотя бы в одном из этих условий
можно было поставить строгое предпочтение.
Главная цель этого параграфа ? установить, что равновесные распределения являются оптимумами Парето и
?
?
наоборот. Помимо этого в §3 будут получены и некоторые признаки, по которым можно определять равновесные
распределения.
Имеет место
Теорема 2. Любое равновесное распределение X оптимально по Парето и предпочитается начальному распределению
, i = 1, m .
(5)
Доказательство. Адаптируем к нашим условиям известные (см., напр., [1]
? [3]) доказательства этого факта. Пусть
X = ( x 1 , ..., x m ) ? равновесное распределение, соответствующее равновесным ценам p = ( p1 , ..., p l ) . Предположим, что существует распределение Y = ( y 1 , ..., y m ) , для которого
y i f i xi , i = 1, m
(6)
и
существует
номер
j,
, такой, что
y j fj x j .
(7)
В силу определения равновесных
распределений должно выполняться
неравенство p , y j > p , ? j . Для
остальных
i ? j неравенство
невозможно, так как
в этом случае нашлось бы такое ? > 0 ,
что выполнялось бы и неравенство
?
, где y i = y i + ? b
с произвольным вектором b из K .
. С другой
Отсюда следует, что
стороны, b ? K , и, следовательно, по
монотонности отношений предпочтения (предположение 4) y ?i fi y i . Поэтому x i fi y i , что противоречит (6).
Значит p , y i ? p , ? i для всех i ,
причем для
выполняется строгое
неравенство. Сложив все эти неравенства, получим
.
(8)
m
u? ( X) = ? ? i ui (xi ) ,
i =1
гдеm вектор ? = (?1 ,K , ? m ) такой,
что ? ? i = 1 и ? i ? 0 , i = 1, m .
i =1
Известно (см. напр., [2]), что исследование оптимумов функции (9) приводит к установлению искомой связи
между Парето-оптимальными и равновесными распределениями. Воспользуемся этой схемой и сначала докажем,
что для любого оптимума Парето X
существует такая функция вида (9), что
X максимизирует эту функцию. Прежде чем точно сформулировать этот
факт, примем более жесткие требования к модели и введем одно новое понятие.
Заменим требование 5 в нашей модели предположением 6.
6. Все отношения предпочтения в
рассматриваемой экономике обмена
являются строго выпуклыми в конусе
направлений , то есть задающие эти
отношения предпочтения fi функции
полезности ui : X i ? R , i = 1, m ,
удовлетворяют следующему условию:
для любого ? ? (0,1) и для любых
, y ? x ? T , выполняется
неравенство
.
Функции полезности из требования
6, следуя принятой терминологии (см.,
напр., [3]), будем называть вогнутыми
в конусе направлений T .
Будем считать, что допустимое распределение X = ( x 1 , ..., x m ) представляет собой G -распределение (пишем X ? G ), если x i ? G i , i = 1, m ,
а Gi ? множество точек, каждая из которых является решением одной из задач: найти y ? S a , такой, что
p, y = min p, x
Таким образом, распределение
( y 1 , ..., y m ) не может быть допустимым. Итак, показано, что распределение X строго оптимально по Парето.
Формула (5) вытекает из неравенств
u i ( x i ) ? u i ( ? i ) , i = 1, m , которые
выполняются согласно определению
равновесных распределений.
Теорема 2 доказана.
Далее получим результат, обратный
теореме 2, т. е. найдем условия, при которых оптимальное по Парето распределение будет являться равновесным
распределением. Начнем решать эту
задачу с изучения выпуклых комбинаций функций полезности u i ( x i ) ,
i = 1, m , а именно, функций вида
Экономика, Статистика и Информатика
(9)
x?Sa
,
Sa = {x ? X i | ui (x) ? a}
с некоторыми a ? R и
, где
ui ( x ) ? функция полезности, описывающая отношение предпочтения i -го
l
потребителя, а
? внутренность R+ .
Имеет место
Лемма. Среди точек X i рядом с
точками из Gi находятся только точки Gi , или, более точно, для любого
x ? Gi существует ? > 0 , такое,
что из условий
и x-y <?
следует y ? Gi .
Доказательство. Зафиксируем произвольным образом i и
. По
теореме Куна ? Таккера, существует
такое число ?0 ? 0 , с которым выполняется равенство ui? ( x 0 ) = ?0p , где
151
№3, 2011
Статистика и математические методы в экономике
вектор p ? из определения множества
, p o . В силу открытости множества R l существует ? > 0 , такое,
+
что
из
неравенства
будет
следовать
o
включение u ? ( x) ? R l . Возьмем та0
+
так,
кое ? и подберем для него
чтобы
из
следовало
неравенство
ui?(x) ? ui?(x0 ) < ? , что возможно в
силу непрерывной дифференцируемости функции ui ( x) . Множество D
содержит только точки Gi . В самом
деле, для любых точек x ? D ,
,
y ? x ? T , в силу выпуклости в конусе направлений
функции ui ( x) ,
выполняется неравенство
на множестве допустимых распределений ? :
,
Y = ( y1 ,..., y m ) ? ? ? X i .
Доказательство. Для каждого i ,
, по функции ui ( x) построим
функцию u%i ( x) следующим образом.
Рассмотрим для любого a ? R
множество
.
Заметим, что множество Sa выпукло
в конусе направлений T и замкнуто,
так как отношения потребителей непрерывны и выпуклы в конусе направлений T . Обозначим через S%a выпуклую оболочку множества S a . Ясно, что
? . Являясь
S%a ? ? , так как
выпуклой оболочкой замкнутого мноui x + ? ( y ? x) ? ui ( x)
ui ( y) ? ui ( x) ? lim
= жества, множество S%a при любом a
??0+0
?
выпукло и замкнуто. Определим теперь
функцию
как точную верхнюю
?
?
y ?x
ui ? x + ? y ? x
? ? ui ( x) грань множества всех a , при которых
y ?x ?
лежит в
.
= y ? x lim ?
=
??0+0
Отметим некоторые свойства фун? y ?x
кции u%i ( x) . Прежде всего, область оп= ui? ( x) , y - x
ределения u%i ( x) есть X i , так как
U S% a ? U S a =, а обратное включение
Рассмотрим теперь точки гиперпa
a
лоскости H , уравнение которой очевидно. Далее, в точках x ? Gi имеui? ( x ) , y - x = 0 . Из последнего не- ем равенство ui (x) = u%i (x) . В самом
равенства следует соотношение деле, неравенство u i ( x ) ? u i ( x ) выui ( y ) ? ui ( x ) для всех y ? H ? X i . полняется по построению. Докажем
Если допустить здесь в какой-нибудь обратное.
Если x ? Gi , то существует p > 0 ,
точке y равенство, то из определения
для всех
строгой выпуклости в конусе
в лю- такой, что
y ? Su ( x ) . Значит, множество Su ( x ) , а
бой точке отрезка, соединяющего точки x и y, сразу следует неравенство вместе с ним и множество S u ( x ) содерui (? x + (1 ? ? )y ) > ui ( x )
, жатся в полупространстве, для точек y
? ? (0,1) , чего не может быть. Таким которого выполняется условие
. Поэтому x не может
образом, в точках гиперплоскости
,
в которых определена функция ui ( x) , быть внутренней точкой множества
,
и,
следовательно,
имеет
место
неравенство
u i ( y ) < u i ( x ) . Следовательно, точка
u i ( x ) ? u i ( x ) . Нужное равенство доx является решением задачи: найти казано.
Наконец, функция u%i ( x) является
y ? Sa ,
такой,
что
p , y = m in p , x с a = ui ( x ) и
непрерывной.
Дело в том, что если
x? S
p = u i? ( x ) . Итак, x ? Gi . Лемма доui (x) непрерывна, то множество Sa
замкнуто, откуда, как уже отмечалось,
казана.
следует замкнутость множества S%a . Но
Сформулируем теперь теорему 3.
Теорема 3. Пусть в описанной выше тогда для функции u%i ( x) прообраз
модели экономики обмена X ? опти- любого сегмента [ a; b] из R замкнут:
(
)
a
мальное по Парето -распределение.
Тогда существует такой вектор
m
? = (?1 ,K , ? m ) ,
??
? i ? 0 , i = 1, m , что X
максимизи-
i =1
i
рует функцию
№3, 2011
=1,
u%i?1 ([a; b]) = {x | a ? u%i (x) ? b} =
= {x | a ? u%i (x)} I {x | u%i (x) ? b} .
Таким образом, функция u%i ( x)
непрерывна.
По построению множества S%a являются выпуклыми и, следовательно,
функции u%i ( x) должны быть квазивогнутыми. Известно (см., напр., [3]), что
непрерывная и квазивогнутая функция
152
u%i (x) определяет непрерывное и выпуклое отношение предпочтения, кото%i.
рое обозначим через f
Установим теперь, что распределение X из условий теоремы является
оптимумом Парето и для совокупности построенных отношений предпочте% i , i = 1, m . Докажем это от проний f
тивного.
Допустим, что существует распределение Y = ( y 1 , K , y m ) ? ? , с которым одновременно выполняются условия:
y i f% i xi , i = 1, m ,
(7)
причем существует i = i0 , для которого справедливо строгое предпочтение y i0 fi0 xi0 .
Возьмем произвольное распределение Z = ( z 1 , K , z m ) с отрезка, соединяющего распределения X и Y. В силу
выпуклости множества ? , выпуклости построенных предпочтений
и
справедливости (7), Z является допустимым распределением, и выполняют% i x i , i = 1, m .
ся соотношения z i f
Обозначим через [ xi , z i ] отрезки с
концами в точках xi , z i , i = 1, m , и
выберем Z так близко к X, что в каждой
точке [ xi , z i ] функции ui ( x) и u%i ( x)
совпадают. Это осуществимо в силу
выпуклости множеств X i и доказанной
выше леммы. Таким образом, справедливы неравенства
ui (z i ) ? ui (x i ) , i = 1, m , (8)
откуда сразу следует, что z i fi xi ,
i = 1, m .
В связи с неравенствами (8) возможны два случая. Первый случай: существует i = i0 , такое, что неравенство с
номером i0 строгое ( ui0 (zi0 ) > ui0 (xi0 ) ).
Значит, z i0 fi0 xi0 . Второй случай:
каждое неравенство в (9) является равенством: ui ( z i ) = ui ( xi ) , i = 1, m .
Значит, z i i x . Рассмотрим эти ситуации.
В первом случае оказывается, что в
имеется
точка Z, такая, что
,
?
i = 1, m , и z i0 fi0 xi0 . Это противоречит тому, что распределение X является оптимумом Парето.
Во втором случае имеем
,
i = 1, m . Если это нужно, можно для
каждой точки отрезка [ xi , z i ] повторить приведенные рассуждения и получить, что для любого xi ? [ xi , z i ]
выполняется xi i xi , .
Рассмотрим все возможные расположения вектора
z i ? xi . Пусть
0
± ( z i ? xi ) ? R+l . Для любого i в силу
принадлежности точкиo множеству
Gi существует p ? R +l , с которым
Статистика и математические методы в экономике
выполняется равенство ui?( xi ) = ? i p ,
? i ? 0 . Поэтому можно утверждать,
что z i ? xi , ui?( x) ? 0 . Это означает, что производная по направлению
z i ? xi функции ui (x) не может равняться нулю. С другой стороны, на отрезке [ xi , z i ] функция ui ( x) постоянна, и, значит, производная по направлению z i ? xi у этой функции равняется нулю. Это противоречие.
Пусть z i ? xi ? T . Функции ui ( x)
строго выпуклы в конусе направлений
T , т. е. с любым ? ? (0,1) должно
выполняться строгое предпочтение
. Поэтому функции ui ( x) на отрезке [ xi , z i ] не могут
принимать одно и то же значение.
Итак, предположение (7) ( X не является оптимумом Парето для системы
) привеотношений предпочтений
ло к противоречию. Значит, X ? оптимум Парето.
Как известно [3], существует такой
набор неотрицательных коэффициентов
с суммой, равной
единице, что оптимальное по Парето
X = ( x1 ,..., x m )
распределение
максимизирует на ? функцию
(здесь, конечно, учитывается
квазивогнутость каждой функции
u%i (x) ). Таким образом, с любым рас%m?
?uip
k?
>
0
%
?
u
f
?
(i?
x
z
(
=
x
,
=
K
+
(
)
?
0
(1
,
=
?
,
?
K
?
p
)
?
p
?
)
) > xi
?i?=
,
y
=
?
,
x
пределением
Y = ( y 1 , ..., y m ) ? ?
ii1i1,ii mi1 k ii x
m
ii
i = 10
выполняется неравенство
m
m
i =1
i =1
? ?iu%i (xi ) ? ? ? iu%i (y i ) .
(9)
В силу включения S a ? S%a справедливы неравенства u%i ( y i ) ? ui (y i ) ,
i = 1, m . Используя эти соотношения
и равенства ui ( xi ) = u%i ( xi ) , получим
из (9)
m
m
? ? u (x ) = ? ? u (y ) , Y ? ? .
i =1
i i
i
i i
i =1
i
Теорема 3 доказана.
Обсудим некоторые следствия теоремы 3. Пусть ( x1 ,..., x m ) ? оптимум
Парето.
Будем считать, что
°
xi ? X i ? Gi , i = 1, m . Отсюда следует строгая положительность всех
xki , i = 1, m , k = 1, l . По теореме 3 существует такой набор положительных
коэффициентов ? = (?1 ,K? m ) с
суммой, равной единице, что распределение ( x1 ,..., x m ) максимизирует
m
функцию
?? u
i =1
i
i
. Дополнитель-
ное требование положительности ? i ,
i = 1, m , здесь объясняется следующим. Если бы ? i = 0 с некоторым
i = i0 , то предпочтения участника i0
не учитывались бы и, значит, остальные
участники делили бы ? при условии
удовлетворения своих отношений предпочтения. Тогда имело бы место равенство
, что противоречило бы усi
ловиям xk0 ? 0 .
Таким
образом,
вектор
( x1 ,..., xm ) является решением оптимизационной задачи с ml переменными:
max {?1u1 (y1 ) + K + ? mum (y m )} ,
y1 + K + y m = ? ,
yi ? X i ,
,
(10)
i = 1, m
Приведенная переформулировка
теоремы 3 позволяет установить связь
между функциями полезности ui ,
i = 1, m , и равновесной ценой p . В
самом0 деле, возьмем
,
l . В этом случае, как видно из
pi ? R+
доказательства теоремы 3, оптимум
Парето X = ( x1 ,..., x m ) из множества G является решением задачи (10).
Убедимся в том, что все p i коллинеарны. Для этого запишем необходимые
условия оптимальности задачи (10). В
рассматриваемом случае
предполага°
ется, что все x ? X ? G , то есть эти
i
i
i
ограничения не насыщаются на оптимальном значении, и, значит, соответствующие им множители Лагранжа
равны нулю. Оставшиеся ограничения
в (11) имеют вид равенств. Следовательно, необходимые условия оптимальности записываются следующим образом: существуют такие множители Лагранжа ?k ? R , k = 1, l , что для всех i
и выполняются равенства
? ?m
? u xi , K, xli ) +
l ?? i i ( 1
?xk ? i =1
l
m
?
??
+ ? ?k ? ?k ? ? xki ? ? = 0 .
k =1
i =1
?
??
Отсюда
следует, что
m
??
i =1
i
?ui
(xi ) = ?k k = 1, l
,
.
?xki
Эти равенства можно записать иначе, имея в виду, что ui?(xi ) есть вектор
?ui
( x i ) , а ? ? векс компонентами
? x ki
тор
:
m
? ? u ?( x ) = ? .
i =1
i i
i
(11)
Вспомнив, что ui?(x i ) = pi ,
равенство запиi = 1, m , последнее
m
шем в виде ? ? i p i = ? .
му конусу, построенному на векторах
, i = 1, m , если считать началом
каждого начало координат. Значит, все
координаты ?k , k = 1, l , вектора ?
положительны.
Убедимся в том, что все векторы
коллинеарны вектору ? , Очевидно, что
, i = 1, m , есть хотя бы
если среди
пара неколлинеарных, то ? ? ? p i ,
i = 1, m , с любым числом ? . Рассмотрим
гиперплоскости
и спроецируем на них
векторы pi . Более точно, рассмотрим
векторы z i , i = 1, m , начало и конец
которых для каждого i есть проекции,
соответственно, начала и конца вектора
, i = 1, m . По построению имеем p i , z i > 0 , i = 1, m . Значит,
pi, xi + ? zi = pi, xi +
+ ? p i , z i > p i , x i с любым положительным ? . Вспомним о том, что
минимизируют скалярное произведение p i , y при y ? Sui ( xi ) . Поэтому
найдется такое ? ,
, что при любом ,
, точки xi + ? z i будут
принадлежать
множествам
{y i ? R +l | u i ( y i ) ? a i } с ai > ui ( x i ) ,
i = 1, m . Значит, в этих точках выполняются
неравенства
ui (xi + ? z i ) > ui (xi ) , i = 1, m . Последнее противоречит тому, что
X = ( x 1 , ..., x m ) ? оптимум Парето,
если
вектор
(x1 + ??1z 1 ,K , x m + ?? m z m ) является распределением, т. е. если
(x1 + ??1z 1 ,K , x m + ?? m z m ) ? ? .
Последнее же имеет место, так как вектор ?1z1 + K + ? m z m как сумма проекций векторов ? i p i является проекцией вектора ? = ?1 p1 + K + ? m pm ,
который перпендикулярен рассматриваемым гиперплоскостям, и , следовательно, имеет проекцию, равную нулю.
Таким образом, мы убедились, что
если
оптимум
Парето
X = ( x 1 , ..., x m ) ? решение задачи
(10), то векторы ui?(xi ) коллинеарны.
Следовательно, можно ввести вектор
p ? П и удовлетворяющий равенствам
, i = 1, m ,
(12)
где ? i > 0 , i = 1, m . Подставив равенства (12) в соотношение (11), полуm
? ? ? p = ? . Отсюда видно, что
можно положить p = ? ? ? ,
? = ? ? m? , i = 1, m .
чим
i =1
Таким образом, вектор ? как выпуклая линейная комбинация векторов
0
0
из R +l принадлежит R +l . Более того,
вектор ? принадлежит многогранно-
Экономика, Статистика и Информатика
i =1
i i
l
k =1
l
i
k =1
k
k
i
Итак, для каждого участника рынка
имеет место векторное уравнение
153
№3, 2011
Статистика и математические методы в экономике
ui?(xi ) = ? i p . Но оно выражает, что xi
? оптимальное решение, а ? i ? множитель Лагранжа оптимизационной
задачи с l переменными
max ui (y ) , °
(13)
p, y ? ri , y ? X i ,
где число ri определяется уравнением
p, xi = ri .
(14)
Действительно, чтобы это увидеть,
достаточно вернуться к функциям u%i
и рассмотреть аналогичную задачу
max u%i (y ) , °
(15)
p, y ? ri , y ? X i ,
с уже введенными числами ri . В силу
квазивогнутости функций u%i и полоl
жительности xk , видим, что необходимым и достаточным условием оптимальности в задаче (15) будет как раз
равенство u%i?( xi ) = ? i p °, т. е. для всех
Y = ( y 1 , ..., y l ) , y i ? X i , i = 1, m , и
p , y i ? ri имеет место неравенство
u%i (xi ) > u%i (y i ) .
(16)
В силу равенства u%i ( xi ) = ui ( xi )
и неравенства u%i ( y i ) ? ui (y i ) соотношение (16) означает, что xi ? решение задачи (13).
Если теперь взять m задач (13)
(
), то их решениями являются
равновесные распределения, соответ0
ствующие системе цен p ? R+l . Действительно, достаточно взять решение
xi задачи
? ui (xi ) ? ui (y i )
вспомнить, что для него выполняется
равенство p, x i = ri , i = 1, m , и условие допустимости (так как оно оптиm
мально по Парето)
?x
i =1
i
= ? , чтобы
оказались выполненными все условия,
характеризующие равновесие. Они бу-
№3, 2011
дут выполняться для любого начального распределения (?1 ,K , ? m ) , удовлетворяющего
равенствам
p , ? i = ri .
Таким образом, доказана следующая
Теорема 4. Пусть вектор
X = ( x1 ,...,° x m ) оптимален по Парето и x ? X ? G , i = 1, m . Пусть
су0
i
i
i
ществует такой вектор p ? R +l , который пропорционален всем ui?(xi ) ,
т. е. существуют ? i > 0 , i = 1, m , с
которыми выполняются равенства
ui?(xi ) = ? i p , i = 1, m . Тогда для любого начального распределения
(?1 ,K , ? m ) , удовлетворяющего равенству
p, ? i = p, x i , i = 1, m ,
вектор (p; x1 ,K , x m ) является равновесным.
Итак, отказ от выпуклости предпочтений потребителя привел к установлению того, что в некоторых случаях оптимальные по Парето распределения
достижимы с помощью конкурентного механизма цен по известному правилу: вектор цен p стимулирует выполнение Парето-оптимального плана потребления ресурсов.
Литература
1. H. Nikaido. Convex Structures and
economic theory. ? Academic Press, New
York and London, 1968.
2. Полтерович В.М. Экономическое
равновесие и хозяйственный механизм.
? М.: Наука, 1990. ? 256 с.
3. Экланд И. Элементы математической экономики. ? М.: Мир, 1983. ?
248 с.
4. Маленво Э. Лекции по микро-экономическому анализу. ? М.: Наука, 1985.
?391 с.
5. McKenzie L. Demand theory
154
without a utility index // Rev. Econ. Stud.
? 1956. ? V. 24 (3), No 65. ? P. 185-189.
6. Aumann R.J. Existence of
competitive equilibria in markets with a
continuum of traders // Econometrica. ?
1966. ? V. 34. ? P. 1-17.
7. Yamazaki A. An equilibrium
existence theorem without convexity
assumptions // Econometrica. ? 1978. ? V.
46. ? P. 541-555.
8. Debreu G. Four aspects of the
mathematical theory of economic
equilibrium // Proc. Int. Congress of
Mathematicians, Vancouver, 1974. ? 1975.
? V. 1, S. 1. ? P. 65-77.
References
1. H. Nikaido. Convex Structures and
economic theory. ? Academic Press, New
York and London, 1968.
2. V.M. Polterovich Economic equilibrium and economic mechanism. - Moscow:
Nauka, 1990. ? 256 p.
3. I. Eckland, Elements of Mathematical Economics . - Mir, Moscow, 1983. ?
p.248.
4. Malenvo E. Lectures on the microeconomic analysis. - Moscow: Nauka,
1985. p. 391.
5. McKenzie L. Demand theory without a utility index // Rev. Econ. Stud. ?
1956. ? V. 24 (3), No 65. ? P. 185-189.
6. Aumann R.J. Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders // Econometrica. ? 1966. ? V.
34. ? P. 1-17.
7. Yamazaki A. An equilibrium existence theorem without convexity assumptions // Econometrica. ? 1978. ? V. 46. ? P.
541-555.
8. Debreu G. Four aspects of the mathematical theory of economic equilibrium /
/ Proc. Int. Congress of Mathematicians,
Vancouver, 1974. ? 1975. ? V. 1, S. 1. ? P.
65-77.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
534 Кб
Теги
оптимальное, невыпуклых, потребителя, равновесной, парето, предпочтениями, экономика, обмен, распределение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа