close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде.

код для вставкиСкачать
УДК 517.13:004.052.42
РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ
ПО СКОРОСТИ С КОНТРОЛЕМ НАЧАЛЬНЫХ
СКОРОСТЕЙ НЕЛИНЕАРИЗОВАННЫХ
МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
К. С. Лапин
В работе введено понятие равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части
переменных с контролируемой частью начальных условий. Как следствие, получен
достаточный признак равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой
среде. Приведены примеры применения этого достаточного признака к конкретным
механическим колебательным процессам.
В работе Т. Йосидзавы была развита
теория
различных видов ограниченности
решений систем дифференциальных уравнений [4]. Исследования различных видов
ограниченности решений по части переменных были проведены В. В. Румянцевым и
А. С. Озиранером [3]. В работе В. И. Воротникова и Ю. Г. Мартышенко недавно
было разработано новое направление в теории устойчивости по Ляпунову относительно
части переменных, а именно: была развита
теория частичной устойчивости частичного
положения равновесия [1].
В данной работе введено определение
равномерной ограниченности решений системы дифференциальных уравнений по части
переменных с контролируемой частью начальных условий. Это определение является
родственным определению частичной устойчивости частичного положения равновесия
[1]. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий (теорема 1). Далее получен достаточный признак (теорема 2) равномерной
ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой среде. Приведены примеры применения
теоремы 2 к конкретным нелинеаризованным механическим колебательным процессам, т. е. к реальным механическим колебательным процессам, в вязкой среде. Перейдем теперь к точным определениям и формулировкам.
Пусть задана произвольная система
дифференциальных уравнений от n переменных:
46
dx
= F t, x , F t, x =
dt
= F1 t, x , ..., F n t, x ,
(1)
правая часть которой задана и непрерывна
в области W = {(t, x) О R + ґ Rn }, где R+ =
= {t О R t і 0}. Далее везде будет предполагаться, что каждое решение системы (1) продолжимо на всю полуось R+.
Для любого вектора
x = (y, z) О Rn =
= Rk ґ Rn -k , где 1 Ј k Ј n, обозначим через
x k число
x k = y = (x1)2 + L + (xk )2 .
Кроме того, для произвольной дифференцируемой функции V(t,x) обозначим через
V& (t, x) производную функции V(t,x) в силу
системы (1).
Определение 1. Будем говорить, что решения системы (1) равномерно ограничены
1
k
по части переменных y = (x , ..., x ) c контролируемой частью начальных условий y0 =
1
k
= (x0 , ..., x0 ) или, более кратко, равномерно
y-ограничены с y0-контролем, если для каж-
дого неотрицательного числа a О R существует такое положительное число b(a) О R,
(t0, x0 ) О W,
что
для
любой
точки
x0 k Ј a выполнено условие x t, x0, t0 k Ј b
© К. С. Лапин, 2012
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
при t і t0, где x = x(t, x0, t0 ) — произвольное решение системы (1), проходящее через
точку (t0, x0 ).
Стоит отметить, что если в определении 1
1
n
1
n
положить y = (x , ..., x ) и y0 = (x0, ..., x0 ),
то получим определение равномерной ограниченности решений системы (1) из работы [4]. Если же в определении 1 поло1
n
жить y0 = (x0, ..., x0 ), то получим определение равномерной y-ограниченности решений
системы (1) из работы [3]. Легко видеть, что
из равномерной ограниченности решений системы (1) следует их равномерная y-ограниченность. Также легко видеть, что из равномерной y-ограниченности с y0-контролем решений системы (1) следует их равномерная
y-ограниченность.
Сформулируем и докажем достаточный
признак равномерной y-ограниченности с
y0-контролем решений системы (1).
Теорема 1. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная дифференцируемая
функция V(t,x), определенная в области
t і 0,
x = (y, z) О Rn , y О Rk, y і R0,
где
R0 > 0 — некоторое фиксированное число,
для которой выполнены следующие условия:
1) b y Ј V t, x Ј a y , где a r > 0 и
b r і 0
— непрерывные
возрастающие
функции и b r ® Ґ при r ® Ґ;
2) V& t, x Ј 0 внутри
области
t і 0,
x О Rn , x k і R0.
Тогда решения системы (1) равномерно
y-ограничены с y0-контролем.
Доказательство. Требуется доказать, что
для каждого a > 0 существует такое чисn
ло b(a) > 0, что для любых t і 0, x О R ,
x0 k Ј a выполнено условие x(t, x0, t0 ) k Ј b
при всех t і t0. Сразу отметим, что без
ограничения общности доказательство достаточно провести только для тех решений
x = x(t, x0, t0 ), которые при x k і R0 удовлетворяют условию x(t, x0, t0 ) і R0, и для
k
тех a > 0, которые удовлетворяют условию
Серия «Физико-математические науки»
a > R0. Приступим теперь к доказательству.
Пользуясь условием 1 из формулировки доказываемой теоремы, получаем, что для любого
решения x = x(t, x0, t0 ) системы (1) имеет место
неравенство b( x(t, x0, t0 ) Ј V(t, x(t, x0, t0 )) .
k
Из условия 2 доказываемой теоремы следует,
что для любого решения x = x(t, x0, t0 ) системы (1) функция V(t, x(t, x0, t0 )) от переменной t является невозрастающей.
Из этого при t і t0 получаем неравенство
V(t, x(t, x0, t0 )) Ј V(t0, x0 ) . Так как при
справедливо
неравенство
x0 k = y Ј a
V(t0, x0 ) Ј a(a), то имеем неравенства:
b( y(t, x0, t0 )) Ј V(t, x(t, x0, t0 )) Ј
Ј V(t0, x0 ) Ј a(a).
Пользуясь теперь условием b(r) ® Ґ
при r ® Ґ выберем такое число b, которое зависит от a, но не зависит от t0, что
a(a) < b(b). Из этого получаем неравенство b y t, x0, t0 < b b . Так как функция
b(r) является непрерывной и возрастающей,
то для этой функции имеется обратная функция, которая также является возрастающей
функцией. Применяя эту обратную функцию
к неравенству b y t, x0, t0 < b b , получим
неравенство x(t, x0,t0 ) k Ј b. Таким образом,
показано, что решения системы (1) равномерно y-ограничены с y0-контролем. Теорема доказана.
Рассмотрим применение теоремы 1 к исследованию равномерной ограниченности по
скорости с контролем начальных скоростей
нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде.
Хорошо известно, что математическая
модель параметрического механического
колебательного процесса без линеаризации,
т. е. реального механического параметрического колебательного процесса, в некоторой вязкой среде описывается дифференциальным уравнением:
&& + f (t, x, x& )x& + g(t)sin x = 0
x
(2)
или, что эквивалентно, системой уравнений:
м x& = y
н
о y& = - f (t, x, y)y - g(t)sin x,
(3)
где f (t, x, x& ) і 0 — коэффициент вязкости
среды и g(t) — некоторый параметр колебательного процесса, которые являются непрерывными функциями.
47
Исследуем при помощи теоремы 1 решения системы (3) на равномерную ограниченность по переменной y c y0-контролем.
Теорема 2. Пусть в уравнении (2) параметр колебательного процесса g(t) является
дифференцируемой функцией, которая при
t і 0 удовлетворяет условию 0 Ј g(t) Ј M ,
где M О R, и, кроме того, удовлетворяет
либо условию gў(t) Ј 0 при всех t і 0, либо
условию g '(t) і 0 при всех t і 0. Тогда решения системы (3) равномерно ограничены
по переменной y c y0-контролем.
Доказательство. Исследуем сначала
случай, когда при t і 0 функция g(t) удовлетворяет условиям 0 Ј g(t) Ј M и gў(t) Ј 0.
Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию
ж1 ц
V(t, x, y) = y2 + 4 g(t) sin2 з x ч .
и2 ш
Легко видеть, что имеет место двойное
неравенство
где
b( y ) Ј V(t, x, y) Ј a( y ),
b(r) = r 2 и a(r) = r 2 + 4 M. Ясно, что
b(r) і 0, a(r) > 0 являются непрерывными
возрастающими функциями и b(r ) ® Ґ при
r ® Ґ. Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, x, y) выполнено. Для производной V& (t, x, y) в силу системы (3), пользуясь условиями f (t, x, y) і 0 и g '(t) Ј 0, получаем:
ж1 ц
V& (t, x, y) = 4gў(t)sin2 з x ч + 2y(- f (t, x, y)y и2 ш
ж1 ц
ж1 ц
- g(t)sin x) + 4 g(t)sin з x ч cos з x ч y =
и2 ш
и2 ш
ж1 ц
= 4gў(t)sin2 з x ч - 2f (t, x, y)y2 Ј 0.
и2 ш
Таким образом, условие 2 из теоремы 1
для V(t,x,y) выполнено и, следовательно,
решения системы (3) в рассматриваемом
случае являются равномерно ограниченными
по переменной y c y0-контролем.
Исследуем теперь случай, когда при
t і 0 функция g(t) удовлетворяет условиям
0 Ј g(t) Ј M и gў(t) і 0. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию
48
ж1 ц
V(t, x, y) = y2 + 4g(t)sin2 з x ч + 4(M - g(t)).
и2 ш
Очевидно, что имеет место двойное
неравенство b y Ј V(t, x, y) Ј a y , где
2
b(r) = r 2 и a(r) = r + 4 M. Ясно, что
b(r) і 0, a(r ) > 0 являются непрерывными
возрастающими функциями и b(r ) ® Ґ при
r ® Ґ. Таким образом, условие 1 из теоремы 1
для V(t, x, y) выполнено. Для производной V& (t, x, y) в силу системы (3), пользуясь
условиями f (t, x, y) і 0 и gў(t) і 0 , получаем:
ж1 ц
V& (t, x, y) = 4 gў(t)sin2 з x ч - 4gў(t) + 2y ґ
и2 ш
ж1 ц
ґ (-¦(t, x, y)y - g(t)sin x) + 4 g(t)sin з x ч ґ
и2 ш
ж1 ц
ж1 ц
ґ cos з x ч y = 4gў(t)sin2 з x ч - 4 gў(t) и2 ш
и2 ш
ж1 ц
- 2 f (t, x, y)y2 = - 4 gў(t) cos з x ч и2 ш
- 2 f (t, x, y) Ј 0.
Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для
V (t, x, y) выполнено и, следовательно, решения системы (3) в рассматриваемом случае являются равномерно ограниченными по
переменной y c y0-контролем. Теорема доказана.
Таким образом, все механические параметрические колебательные процессы без линеаризации, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в
некоторой вязкой среде, поведение которых
описывается уравнением (2), где параметр
колебательного процесса g(t) удовлетворяет
условиям теоремы 2, всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.
Простейшим частным случаем уравнения (2) является уравнение колебаний физического маятника в среде без сопротивления
&& + sin x = 0.
x
Из теоремы 2 следует, что колебания физического маятника в среде без сопротивления всегда будут равномерно ограниченными
по скорости с контролем начальных скороВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
стей. В связи с этим важно и интересно
метить, что если рассмотреть уравнение
лебаний математического маятника, т. е.
лебаний маятника в малом, в среде без
противления
откокосо-
&& + x = 0,
x
то оказывается, что решения этого уравнения
не являются равномерно ограниченными по
скорости с контролем начальных скоростей.
Действительно,
перепишем
уравнение
&& + x = 0 в виде системы
x
м x& = y
н
о y& = - x.
Фазовыми кривыми заданной системы
являются концентрические окружности радиуса R і 0 с центром в начале системы координат переменных x и y. Пусть
(x(t), y(t)) —произвольное решение данной
системы, проходящее при t = t0 через точку
(x0, y0). Тогда имеем неравенство
y(t) Ј R, где R2 = (x0 )2 + (y0 )2,
справедливое при каждом t і 0, поскольку
решение (x(t), y(t)) лежит на окружности
радиуса R с центром в начале системы координат. Важно отметить, что указанное выше
неравенство y(t) Ј R при некоторых t превращается в строгое равенство и, следовательно, число R в этом неравенстве не может
быть уменьшено. Предположим теперь от
противного, что решения заданной системы
являются равномерно ограниченными по переменной y с y0-контролем. Тогда по определению 1 любого a і 0
существует такое
b = b(a) > 0, что для всех t і t0 имеет место
неравенство y(t) Ј b(a). Так как в указанном выше неравенстве y(t) Ј R, справедливом для всех t О R, число R не может быть
уменьшено, то получаем двойное неравенство
y(t) Ј R Ј b(a). Однако неравенство
x0 2 + y0 2
= R Ј b(a)
не может быть справедливым для любых
( x0, y0 ) .
Действительно, выбирая
Серия «Физико-математические науки»
x0
до-
статочно большим, получим для таких x0 неравенство
R = (x0 )2 + (y0 )2 > b(a),
которое
противоречит
R = (x0 )2 + (y0 )2 Ј b(a).
неравенству
Таким образом,
сделанное выше предположение о том, что
решения заданной системы равномерно ограничены по переменной y с y0-контролем, неверно и, следовательно, решения рассматриваемой системы не являются равномерно ограниченными по переменной y
с y0-контролем.
Напомним теперь, что в работе [2] была
рассмотрена математическая модель вертикальных колебаний в малом железнодорожного экипажа, которая описывается дифференциальным уравнением
&& + p(t)f1(x)f2 (x& )x& + gx = 0, (g > 0) О R,
x
где p(t)f1(x)f2 (x& )x& — сила реакции демпфера рессорного подвешивания; gx — сила реакции листовой рессоры ( g —коэффициент
p(t), f1(x), f (x& ) —
упругости рессоры);
неотрицательные непрерывные функции.
Легко видеть, что если рассматривать вертикальные колебания железнодорожного экипажа без линеаризации, т. е. физические
вертикальные колебания железнодорожного
экипажа, то математическая модель таких
колебаний будет описываться уравнением
&& + p(t)f1(x)f2 (x& )x& + g sin x = 0,
x
(g > 0) О R.
Так как это уравнение является частным
случаем дифференциального уравнения (2),
то из теоремы 2 получаем, что вертикальные
колебания железнодорожного экипажа без
линеаризации, т. е. физические вертикальные колебания этого экипажа, поведение
которых описывается уравнением (4), всегда
являются равномерно ограниченными по
скорости с контролем начальных скоростей.
Рассмотрим теперь уравнение Хилла, а
именно: рассмотрим дифференциальное ура&& + g(t)x = 0, где g(t) — некоторая
внение x
непрерывная функция. Ясно, что это уравнение описывает механические параметрические колебательные процессы в малом в среде без сопротивления. Легко видеть, что если
49
рассматривать нелинеаризованные механические параметрические колебательные процессы, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в среде
без сопротивления, то математическая модель таких колебательных процессов описывается, так сказать, физическим уравнением
Хилла
&& = g(t) sin x = 0.
(5)
x
Так как уравнение (5) получается из
уравнения (2), если положить f (t, x, x& ) = 0,
то при выполнении условий теоремы 2 на
функцию g(t) решения физического уравнения Хилла (5) всегда является равномерно
ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.
В заключение для полноты картины рассмотрим уравнение, которое получается из
уравнения (2), если положить g(t) = 0, т. е.
рассмотрим дифференциальное уравнение
&& + f (t, x, x& )x& = 0.
x
(6)
Ясно, что это уравнение описывает уже
не колебательный процесс, а моделирует
процесс свободного движения тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде с
коэффициентом вязкости f (t, x, x& ) і 0. Так
как уравнение (6) является частным случаем
уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что
свободное движение тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде, которое описывается уравнением (6), всегда является
равномерно ограниченным по скорости с
контролем начальных скоростей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воротников В. И. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем /
В. И. Воротников, Ю. Г. Мартышенко // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2010. —
№ 5. — С. 23—31.
2. Голечков Ю. И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем,
моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка /
Ю. И. Голечков. — М. : РГОТУПС МПС РФ, 2003. — 212 с.
3. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных /
В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. — М. : Наука, 1987. — 254 с.
4. Yoshizawa T. Liapunovs function and boundedness of solutions / T. Yoshizawa // Funkcialaj
Ekvacioj. — 1959. — Vol. 2. — P. 95—142.
Поступила 27.01.2012.
УДК 517.928.1
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
СИСТЕМ
М. В. Козлов
В работе рассматриваются сингулярно возмущенные системы, для которых получены достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального
решения при достаточно малых значениях параметра.
В связи с широким применением в теории гороскопов сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений и их систем
задача об устойчивости по Ляпунову их тривиального решения имеет большое значение.
Этому вопросу посвящено немало работ, которые базируются на применении второго
метода Ляпунова [1—4; 6]. При этом зачастую ищется «общая» функция Ляпунова,
т. е. не зависящая от параметра. В данной
статье предлагается подход, который позволяет свести поиск функции Ляпунова, зависящей от параметра, к поиску другой функции.
© Козлов М. В., 2012
50
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа