close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Распределение некорректных втулочных связей для орисферического круга в конформно евклидовых пространствах типа.

код для вставкиСкачать
Раздел I. Алгебра и геометрия
2.
S
3. S
α Υ
Sα
0 при
S
4. S
S
S ◦
5. S
S
0
.
при ◦
при ◦ =
.
.
Обозначим через M класс нулевых расширений группоидов класса M, т.е. M – класс тех
инверсных полугрупп S, являющихся 0 – объединением полугрупп Брандта, для которых ограничение эквивалентности & на множестве S\ 0 является конгруэнцией.
Следствие. Полугруппа S принадлежит M тогда и только тогда, когда S – идемпотентный
коммутативный группоид полугрупп Брандта.
В заключении отметим, что идея исследования полугруппы с нулѐм при помощи нулевых ограничений была впервые высказана В.Т. Куликом на коллоквиуме по теории полугрупп в г. Кишинѐве, 1971 г.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
. Мальцев А. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. ж. 1967. 8. № 2. С. 346-365.
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.
3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Изд-во «Мир», 1972.
. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматтиз. 1960.
. Арапина-Арапова Е.С., Кожевников О.Б. О разложении инверсных категорийных в нуле полугрупп.
Современная алгебра: Межвузов. сб. науч. тр. 4 (24), Ростов-н/Д., 1999. С. 3-5.
. Кожевников О.Б. Категорийные частично упорядоченные множества частичных группоидов. ДЕП.
№ 334. 2005. С. 13.
Е.А. Кульчинская
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЕЙ
ДЛЯ ОРИСФЕРИЧЕСКОГО КРУГА В КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА L
Рассмотрим трехмерное конформно евклидово риманово пространство с внутренними координатами
( X , Y , Z ) и метрикой ds 2
E ( Z )( dX 2
dY 2
dZ 2 ) , E (Z )
К числу таких пространств относится пространство Лобачевского
Эти пространства будем называть пространствами типа
0 , E (Z )
L3 , для которого E ( Z )
0.
1
.
Z2
L . Координатные поверхности
const имеют плоскую метрику и являются ортогональными траекториями геодезических
линий X const , Y const , поэтому Z const будем называть орисферическими поверхностями в пространствах типа L .
Z
Назовем кусок орисферической поверхности
F: X
x, Y
y, Z
Z0 , Z0
const ,
( x, y )
D
D
{( x, y ) : x 2
y2
1}
(1)
орисферическим кругом. Пусть орисферический круг F подвергнут бесконечно малому изгибанию с изгибающим полем
{ , , } . Уравнения бесконечно малых изгибаний произвольной по-
верхности в конформно евклидовом пространстве типа L в дифференциалах имеют вид:
11
Вестник ТГПИ
dXd
dYd
заданного
dxd
Естественные науки
E (Z )
(dX 2
2E (Z )
dZd
соотношением
dyd
dY 2
(1),
E (Z 0 )
(dx 2
2E (Z 0 )
dy 2 )
dZ 2 )
0 . Для орисферического круга F ,
это
уравнение
принимает
вид:
0 . Перепишем это уравнение в виде однородной сис-
темы дифференциальных уравнений в частных производных:
E (Z 0 )
2E (Z 0 )
x
y
0,
0,
x
E (Z 0 )
2E (Z 0 )
y
(2)
0.
Будем считать, что при бесконечно малом изгибании орисферический круг вдоль края
подчинен втулочной связи, порожденной втулкой
изгибании точки края
n
. Это означает, что при бесконечно малом
F смещаются по поверхности
, оставаясь на ней. Пусть
{cos s, sin s, tg ( s)} - векторное поле нормалей к
заданная функция,
( s ) C 1, , 0
1,
F
вдоль
( s)
2
2
,
F , s [0,2 ] ,
(s) –
0 . Аналитически условие
втулочной связи записывается в виде:
cos s
где
sin s
(s) , на F
tg (s)
(s) – известная функция, определяемая деформацией втулки
(3)
вдоль
F . Для абсолют-
но твердой втулки имеем
0 на F . Кроме того, будем считать, что при бесконечно малом
изгибании орисферический круг F подчинен условию стержневого закрепления в точке
O(0,0, Z 0 ) , то есть имеют место следующие соотношения:
y
|o
| o 0,
|o
x
(4)
| o 0.
Внешнюю связь будем называть корректной, если краевая задача
x
E (Z 0 )
2E (Z 0 )
y
y
cos s
12
x
0,
0,
E (Z 0 )
0,
E (Z 0 )
sin s tg ( s )
|0
| 0 0,
0,
y |0
x |0
(5)
( s),
Раздел I. Алгебра и геометрия
имеет единственное решение для любой функции
(s) , и малое изменение (в смысле некоторой
нормы) функции
(s) влечет малое изменение решения задачи (5). В частности, при
0 задача (5) для корректной связи имеет только нулевое решение и потому поверхность F не допускает отличных от нулевого изгибающих полей, совместных с этой связью.
Внешнюю связь будем называть некорректной, если неоднородная (
0 ) задача (5) до-
пускает решение при выполнении некоторых условий, налагаемых на функцию
.
Теорема 1:
Пусть
– втулка, где
(0; )
2
(
2
(arcctg
; arcctg
E (Z 0 )
; ) , если E ( Z 0 )
2E (Z 0 ) 2
E (Z 0 )
)
2E (Z 0 )
0;
(0; ) , если E ( Z 0 )
2
Тогда втулочная связь, порожденная втулкой
стержневой связью в точке
0.
,
(s) , s [0;2 ] , вместе со
O(0,0, Z 0 ) является корректной внешней связью для орисферическо-
го круга F в конформно евклидовом пространстве типа L .
Теорема 2:
Пусть
E ( Z 0 )ctg
где
1
1
C 1, , 0
– заданная функция класса
1, вдоль края
F , причем
arcctg ( ctg 1 ) – однопараметрическое семейство функций
0;
- действительный параметр,
R . Тогда среди втулок
R , существует точно счетное множество { k }k
рых втулочные связи, порожденные втулками
1
значений
на
F,
, определяемых функциями
,
k
0, k
1,2.. , для кото-
, вместе с условием стержневого закрепления в
k
точке
O(0,0, Z 0 ) , являются некорректными для ориферического круга F в конформно евклидо-
вых пространствах типа L .
Доказательство результатов:
1. Запишем систему бесконечно малых изгибаний (2) в комплексном виде:
z
Re
где
z
( z)
0,
E (Z 0 ) ,
2E (Z 0 )
( z)
(6)
i ,
x iy , ( x, y )
Так как
z
( z)
D
D {( x, y ) : x 2
y2
1} .
(z ) – аналитическая функция, то (согласно книге [1]) имеем место представле-
ние:
( z)
0
z
1
( z)
(7)
13
Вестник ТГПИ
где
0
c0
0
Полагая
Естественные науки
const ,
ic0 ; c0 , c 0 – вещественные постоянные;
( z ) – аналитическая функция.
iV и учитывая (7), запишем систему (6) в виде:
U
1
1
U
Ux
Vy
0,
Uy
Vx
0,
E (Z 0 )
2E (Z 0 )
xU x
Отсюда следует, что функция
yU y
U
в D
(8)
U ( x, y) является гармонической в области D , то есть
удовлетворяет уравнению:
0.
U xx U yy
Зная функцию
U
темы (8) найти функцию
U ( x, y) , ( x, y)
в D
(9)
D , в силу односвязности области D , можно из сис-
V ( x, y) с точностью до вещественной постоянной c1 по формуле:
V
( x, y )
V ( x, y )
(( U y )dx U x dy) c1 ,
(10)
( x0 , y 0 )
где
( x0 , y 0 ) – фиксированная точка области D , а интегрирование ведется по произвольной кри-
вой, соединяющей точки
( x0 , y 0 ) и ( x, y) . Из соотношений (6), (7), (8) по известным функциям
U и V изгибающее поле { , , } восстанавливается с точностью до двух вещественных постоянных
c0 , c 0 с помощью формул:
c0
xU
c0
yU
(11)
Таким образом, по известной функции
U изгибающее поле { , , } восстанавливается
(U
xU x
yV ,
xV ,
2E (Z 0 )
yU y )(
).
E (Z 0 )
с точностью до трех вещественных постоянных. В случае, когда орисферический круг подчинен
стержневой связи (4) в точке
O(0,0, Z 0 ) , изгибающее поле { , , } восстанавливается единст-
венным образом. В самом деле, из соотношений (11) имеем:
|
y O
14
|
x O
(c 0
xU
( xU y
V
yV ) y |O (c0
yV y
yU x
V
yU
xV ) x |O
xV x ) |O
2V |O .
Раздел I. Алгебра и геометрия
Отсюда следует, что
получаем:
c0
0
ic0
V |O 0 , то есть c0
0 . Из формулы (7) и условия
|O
|O 0
0.
Рассмотрим граничное условие, порожденное втулочной связью (3). Используя соотноше-
2.
ния (11) при условии стержневого закрепления в точке
O(0,0, Z 0 ) , запишем условие (3)
в следующем виде:
U
где
E (Z 0 )
ctg )U
2E (Z 0 )
(1
,
(12)
– производная по направлению внешней нормали кривой
D : x2
y2
1.
Нахождение бесконечно малых изгибаний при внешней связи (5) сводится к решению следующей краевой задачи:
U xx U yy 0,
E (Z 0 )
(1
ctg )U
2E (Z 0 )
U
где
1
вD ,
1,
(13)
на D ,
E (Z 0 )
ctg ) .
2E (Z 0 )
(
Краевая задача (13) является третьей краевой задачей для уравнения Лапласа. Эта задача
имеет единственное решение для любой функции
при условии
E (Z 0 )
ctg
2E (Z 0 )
1
решая это неравенство и учитывая, что
(0; )
2
(
2
(arcctg
; arcctg
[
0,
; ],
2 2
E (Z 0 )
; ) , если E ( Z 0 )
2E (Z 0 ) 2
E (Z 0 )
)
2E (Z 0 )
(14)
0 получаем:
0;
(0; ) , если E ( Z 0 )
2
0.
Решение краевой задачи (13) при условии (14) удовлетворяет априорной оценке Шаудера:
U
2,
C
1,
,
Покажем, что малое изменение функции
изменение
( , , ) 1,
изгибающего
поля
C
const .
в норме
(15)
C 1, ( F ) , 0
{ , , } в норме C
2
2
2
1,
1,
1,
1,
(F
F) ,
1 , влечет малое
0
1 , считая
.
15
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Из соотношения (10), в силу стержневой связи, находим:
V
CU
2,
2,
C
,
const
(16)
Из системы (11) и соотношения (16) получаем следуют оценки:
C( U
1,
1,
C( U
1,
V
1,
V
1,
CU
1,
)
1,
C( U
)
xU x
2,
C( U
yVy
V
2,
1,
2,
V
~
CU
)
CU
~
CU
)
2,
2,
2,
,
C
,
2,
~
C
,
const ;
~
C
const ;
const .
(17)
(18)
(19)
Таким образом, из соотношений (15), (17), (18), (19) получаем:
1,
1,
1,
C
C
C
1,
1,
,
C
const ;
,
C
const ;
,
C
const ,
1,
что означает ( , , )
C
1,
1,
. Таким образом, теорема 1 доказана.
Рассмотрим однородную задачу, соответствующую задаче (13). Будем считать, что
3.
ctg ( s)
ctg 1 ( s) , где
– вещественный параметр,
R,
1
( s) – известная
функция, удовлетворяющая условию
ctg 1 ( s) E ( Z 0 )
0.
(20)
Нахождение бесконечно малых изгибаний при однородной внешней связи (5) сводится
к решению следующей краевой задачи:
U xx U yy 0,
вD
U
2
U
b U , на D
где
b2
(21)
E (Z 0 )
ctg 1 . В силу предыдущих рассуждений задача (21) при
2E (Z 0 )
нулевое решение. Рассмотрим случай, когда
0 имеет только
0.
2
Предположим, что правая часть краевого условия b U нам известна, тогда задача (21)
имеет единственное решение при любом выборе правой части. Воспользуемся функцией Грина
G( x, y; , ) уравнения Лапласа в области D , которая на границе удовлетворяет краевому условию:
16
G
G
0 . Тогда решение имеет вид:
Раздел I. Алгебра и геометрия
G ( x, y; , )b 2 ( , )U ( , )d ,
U ( x, y )
(22)
D
где
( x, y)
D
D, ( , )
D.
Если воспользоваться параметрическими уравнениями кривой
D:
D:
x
cos s,
y
sin s,
~
s [0;2 ] , то функция G( x, y; , ) обратиться в функцию G ( s, ) двух параметров:
~
~
G ( s, ) G (cos s, sin s; cos , sin ) . Полагаем, далее, U (cos s, sin s) U ( s) , тогда из соот~
ношения (22) получаем интегральное уравнение относительно функции U :
~
~
G ( s, )b 2 ( )U ( )d .
~
U (s)
(23)
D
Так как определение функции
~
U ( x, y) по функции U ( s ) требует только решения краевой
задачи Дирихле для уравнения Лапласа, то интегральное уравнение (23) эквивалентно задаче (21).
s логарифмически бесконечИсследуем разрешимость задачи (22). Так как ядро только при
но, то к этому ядру применима общая теория разрешимости интегральных уравнений. В частности, уравнение (22) разрешимо не более чем для счетного числа положительных
причем
k
, при
k
k
(k
1,2..) ,
.
Покажем (методом, описанным в книге[2]), что уравнение (23) является уравнением
с симметризуемым ядром, то есть приводится к уравнению с симметричным ядром.
Умножим обе части уравнения (23) на
~
комую функцию U 1 ( s )
b(s)
~
0 и введем вместо функции U ( s ) новую ис-
~
b( s)U ( s) . Мы приходим к интегральному уравнению:
~
U 1 ( s)
~
L( s, )U 1 ( )
(24)
D
с ядром L( s,
G( s, )b( s )b( ) . Ядро L(s, ) симметрично в силу симметрично-
)
~
сти функции Грина G ( s, ) [3] (здесь использована самосопряженность задачи (21)).
Так как задача (21) имеет только нулевое решение при
уравнения (23) положительны и потому ядро
0 , то собственные значения
L(s, ) положительно определенное, то есть
2 2
L( s, ) p ( s ) p ( )dsd
0
для
любой
функции
p(s) .
Кроме
того,
уравнение
0 0
L( s, ) ( )
0 имеет только нулевое решение. В самом деле, если бы существовало ненуле-
D
вое решение этого уравнения, то оно было бы решением однородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Последняя же имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что ядро
L(s, ) –
полное и потому система собственных функций ядра бесконечна.
Таким образом, установлено, что ядро
L(s, ) является симметризуемым, положительным,
s и потому интегральное уравнение имеет счетполным, логарифмически бесконечным при
ное число собственных чисел. Отсюда следует, что задача (5) является некорректной (согласно
17
Вестник ТГПИ
Естественные науки
книге [3]) для счетного числа внешних связей, порожденных втулками
, вместе с условием
k
стержневого закрепления в точке
O(0,0, Z 0 ) .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959.
2. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1949.
3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1957.
В.В. Сидорякина
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

r
В
настоящей

r u1 , u 2
,
работе
1
u ,u
2
рассматривается
поверхность
D . Будем считать, что поверхность
F , заданная уравнением
F является минимальной (т.е.
для такой поверхности средняя кривизна Н тождественно равна нулю) [1].
*
Для нее построим поверхность F , присоединенную к F . Под присоединенной поверхностью понимают поверхность, обладающую следующими свойствами:
*
1) поверхность F изометрична поверхности F ;
2) в соответствующих по изометрии точках касательные плоскости параллельны;
3) соответствующие по изометрии направления в соответствующих точках ортогональны.
*
Если поверхность
F
задать уравнением
*
r
*
r u1 , u 2
D , то эти свойства можно за-
писать так:
 
dr , dr
1)
2)
3)
* *
d r,d r
 
 
r1 , r2
r1* , r2*
 *
dr , d r
0.
;
;
Теорема. Данная минимальная поверхность
F
допускает непрерывные изгибания в поверх-
*
ность
F.
Доказательство. Рассмотрим семейство поверхностей

Ft : rt

r cos t
Ft , заданных уравнением:
*
r sin t , t
R.
*
Покажем, что
Ft
изометрична
 
drt , drt
18
F
и
F

dr cos t
для любого
t . Имеем
*

d r sin t , dr cos t
*
d r sin t
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа