close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Рассеяние электромагнитной волны на системе параллельных металлических экранов.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2008
Том 150, кн. 1
УДК 517.958
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ
НА СИСТЕМЕ ПААЛЛЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
ЭКАНОВ
А.Н. ордеева, Д.Н. Тумаков
Аннотация
Исследована задача диракции плоской T E -поляризованной электромагнитной волны на металлических пластинах, расположенных в двух параллельных плоскостях. Исходная задача сведена к системе интегральных уравнений с логаримической особенностью
в ядрах относительно скачков напряженности магнитного поля при переходе через металлические экраны. Полученная система решена численно методом алеркина с базисными
ункциями полиномами Чебышева. Построены граики плотности энергии рассеянного
поля для задач рассеяния на двух пластинах, расположенных рядом и друг над другом.
2
Доказана теорема единственности решения задачи рассеяния в пространстве Hloc
1 (R ) .
Ключевые слова: диракция, T E -поляризованная электромагнитная волна, уравнение с логаримической особенностью, метод алеркина, полиномы Чебышева, теорема
единственности.
Введение
В работе исследована задача рассеяния (диракции) плоской T E -поляризованной электромагнитной волны на металлических пластинах, расположенных
параллельно. История развития подходов к решению задач диракции электромагнитных волн на идеально проводящих тонких экранах подробна рассмотрена
в [1?. Заметим, что частным случаем является задача диракции электромагнитной волны на одном экране, которая относится к числу классических в электродинамике. При решении данной задачи применялись в основном метод моментов,
метод конечных элементов и метод алеркина с выбором простейших базисных и
пробных ункций (подробный обзор см. в [2?). Задачи диракции на периодических решетках, в том числе и многослойных, исследованы с использованием задачи
имана ильберта в [3?.
В настоящей работе задача сормулирована в виде краевой задачи для уравнения ельмгольца с граничными условиями ѕна металлеї, решения которой ищутся
в классе уходящих на бесконечность волн [4?. Уравнение ельмгольца рассмотрено отдельно в плоском слое, в верхней и нижней полуплоскостях [5?, разделенных
прямыми, проходящими через плоскости, в которых расположены экраны. Образы Фурье следов на границах каждой из областей нормальных производных и
самой искомой ункции связаны соотношениями, полученными в [6? и [7?. Эти
соотношения использованы при анализе исходной задачи.
Исследуемая задача сведена к системе интегральных уравнений с логаримической особенностью в ядрах относительно скачков магнитной напряженности при
переходе через металлические экраны. Полученная система решена численно методом алеркина с базисными ункциями полиномами Чебышева. ассмотрены
39
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
z
6
R
@
a
R
@
@
u1 , vR
1
R
@
D1
R
@
R
@
a
+
u+
2 , v2
D2
?
u?
2 , v2
-
a
0
u3 , v3
x
D3
ис. 1
частные случаи: задачи рассеяния на одной пластине и на двух пластинах, расположенных рядом и друг над другом. Приведены граики распределения плотности
энергии поля для задач рассеяния на двух пластинах.
Обоснование существования решения задачи рассеяния на металлических экранах выходит за рамки данной статьи и может быть доказано стандартными методами (см., например, [8?). Доказательство единственности решения задачи приведено
в последнем пункте. Для удобства рассуждений рассмотрены не классические, а
2
обобщенные решения из класса Hloc
1 (R ) с дополнительными условиями на бесконечности.
1.
Постановка задачи
Перед тем, как перейти к постановке задачи, заметим, что рассеяние волны происходит в трехмерном пространстве, а бесконечные тонкие пластины представляют
собой бесконечные полосы.
Пусть в плоскостях z = 0 и z = a декартовой системы координат размещены параллельно оси y идеально проводящие бесконечно тонкие пластины (в каждой плоскости их конечное число). Сверху (из области z > a ) набегает плоская
электромагнитная волна вида u0 (x, z) = A0 exp (ik sin ?x + ik cos ?z) , где ? угол,
отсчитываемый от оси z . Нужно найти электромагнитное поле, возникающее при
ее диракции. Ограничимся случаем, когда вектор E падающей волны также параллелен оси y ( T E -поляризация поля). Поэтому можно искать решение задачи
диракции, не зависящее от координаты y .
Ненулевые компоненты электромагнитного поля в случае T E -поляризации выражаются [5? через потенциальную ункцию u(x, z) = Ey (x, z) , которая является
решением двумерного уравнения ельмгольца
?2u ?2u
+ 2 + k 2 u = 0.
?x2
?z
(1)
ассматриваемая задача может быть сормулирована как задача сопряжения
для этого уравнения. Плоскость x0z разобьем на три области (см. рис. 1): первая
верхняя полуплоскость D1 = {(x, z) : z > a} , вторая полоса D2 = {(x, z) : 0 <
< z < a} , расположенная между рядами пластин и, наконец, третья нижняя
полуплоскость D3 = {(x, z) : z < 0} .
раницу сопряжения верхней полуплоскости и полосы z = a разобьем на части:
обозначим через M1 проекцию на ось x части, соответствующей металлическим
40
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
пластинам, и через N1 проекцию части без металлических пластин ( M1 ? N1 =
= R ). Будем называть пластинами отрезки, соответствующие множеству M1 . Аналогично поступим и с границей сопряжения нижней полуплоскости и полосы: обозначим через M2 часть линии z = 0 , соответствующую металлическим пластинам,
а через N2 часть без металлических пластин.
Обозначим через u1 (x) предельные значения искомой ункции Ey (x, z) при
стремлении z к a сверху, а через v1 (x) предельные значения Hx (x, z) (или, как
следует из системы Максвелла, с точностью до постоянного множителя нормальной производной ?Ey (x, z)/?z ). Для предельных значений ункции и нормальной
производной при подходе к оси x из нижней полуплоскости введем обозначения
+
?
?
u3 (x) и v3 (x) . Парами ункций u+
2 (x) , v2 (x) и u2 (x) , v2 (x) обозначим предельные значения Ey (x, z) и Hx (x, z) на верхней и нижней границах полосы соответственно.
В областях D1 , D2 и D3 нужно найти решения уравнения (1) из класса распределений медленного роста на бесконечности, удовлетворяющие следующим условиям при z = 0 и z = a . Вне металлических пластин должны быть непрерывны
касательные составляющие векторов E и H . В нашем случае эти условия имеют
вид
v1 (x) = v2+ (x), u1 (x) = u+
2 (x) при x ? N1 ,
(2)
при
x
?
N
.
v2? (x) = v3 (x), u?
(x)
=
u
(x)
2
3
2
Касательные составляющие напряженности электрического поля E на идеально
проводящих металлических пластинах равны нулю, что эквивалентно следующим
условиям:
u1 (x) = u+
2 (x) = ?u0 (x, a) при x ? M1 ,
(3)
u?
(x)
=
u
(x)
=
?u
(x,
0)
при
x
?
M
.
3
0
2
2
Условия на бесконечности определим следующим образом [4?: ункция u(x, z)
должна быть ограничена на бесконечности или распространяться как волна (порождать волну, переносящую энергию) при x2 + z 2 ? ? .
Задача (1)(3) вместе с условиями на бесконечности представляет собой математическую модель процесса рассеяния на металлических экранах T E -поляризованной электромагнитной волны, описываемой ункцией u0 (x, z) .
2.
Сведение задачи диракции к системе интегральных уравнений
Образы Фурье нормальных производных и самой искомой ункции на границах
полуплоскостей связаны соотношениями (см. [6?):
V1 (?) ? i? (?) U1 (?) = 0,
(4)
V3 (?) + i? (?) U3 (?) = 0,
а в полосе системой (см. [7?)
eia?(?) [V2+ (?) ? i? (?) U2+ (?)] ? [V2? (?) ? i? (?) U2? (?)] = 0,
где
?eia?(?) [V2? (?) + i? (?) U2? (?)] + V2+ (?) + i? (?) U2+ (?) = 0,
n p
o
p
? (?) = ? k 2 ? ? 2 , |?| < k, i ? 2 ? k 2 , |?| > k .
(5)
41
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
Уравнения (4) и (5) для вещественных ? актически заменяют собой уравнение
(1). Таким образом, переходим от системы (1)(3) к системе (2)(5), которую и
будем в дальнейшем решать.
При решении задач диракции достаточно отыскать либо граничные значения
самой ункции, либо граничные значения нормальной производной [57?. ассмотрим в качестве неизвестной граничные значения нормальной производной vn (x) .
Сведем исходную задачу (2)(5) к системе интегральных уравнений относительно
vn (x) .
2.1.
? i?
V2+
ассмотрим выражение V2+ (?) ?
(?) . Из уравнения (4) и условия (2) следует, что
Первое
(?) U2+
(?) ? i?
уравнение
(?) U2+ (?)
?
1
= ? ?
2?
Z
+
M1
1
= ?
2?
Z
M1
Z
N1
1
= ?
2?
системы.
+?
+?
Z
Z
1
+
ix?
ix?
v2 (x) e dx ? ? i?(?)
u+
dx =
2 (x)e
2?
??
??
?
?
? v2+ (x)eix? dx ? i?(?) ?1 ?
2?
Z
M1
1
v2+ (x) ? v1 (x) eix? dx ? i? (?) ?
2?
+
Z
Z
N1
M1
?
ix?
? u+
dx =
2 (x)e
+
u2 (x) ? u1 (x) eix? dx.
С учетом условия ѕна металлеї (3) получим
Z
+
1
V2+ (?) ? i? (?) U2+ (?) = ?
v2 (x) ? v1 (x) eix? dx.
2?
(6)
M1
Тогда из первого уравнения системы (5) имеем
Z
+
1
V2? (?) = i? (?) U2? (?) + ? eia?(?)
v2 (x) ? v1 (x) eix? dx.
2?
(7)
M1
Применив обратное преобразование Фурье к (7), получим
1
2?
v2? (x) =
где
1
?1 (x) = ?
2?
+?
+?
Z
Z
u?
(?
)
i? (?) ei(? ?x)? d? d? + ?1 (x),
2
??
+?
Z
??
??
1
? eia?(?)
2?
Z
M1
Введем ункцию
1
K0 (?, x) =
2?
v2+ (? ) ? v1 (? ) ei? ? d? e?ix? d?.
+?
Z
i? (?) ei(? ?x)? d?.
??
Воспользуемся условием (2) и вторым уравнением (4). Получим
Z
?
?
v2 (x) =
u2 (? ) ? u3 (? ) K0 (?, x) d? ? v3 (x) + ?1 (x).
M2
(8)
42
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
Из условия ѕна металлеї (3) следует, что интеграл в правой части полученного
выражения равен нулю. Таким образом,
при x ? N2 .
2v3 (x) = ?1 (x)
(9)
Из второго уравнения системы (4) получим
+?
Z
u3 (x) = ?
v3 (? ) K1 (?, x) d?
??
где ядро
1
K1 (?, x) =
2?
+?
Z
при x ? M2 ,
(10)
1
ei(? ?x)? d?.
i? (?)
(11)
??
Преобразуем уравнение (10), используя (3) и (9):
+?
Z
? u0 (x, 0) = u3 (x) = ?
v3 (? ) K1 (?, x) d? =
=?
??
Z
v3 (? ) K1 (?, x) d? ?
1
2
Z
N2
=?
Z
v3 (? ) K1 (?, x) d? =
M2
?1 (?) K1 (?, x) d? ?
N2
Z
v3 (? ) K1 (?, x) d?,
x ? M2 . (12)
M2
Подставим в первое слагаемое правой части (12) выражение (8) для ?1 (x) и
поменяем пределы интегрирования:
Z
Z
+
1
1
?
?1 (?) K1 (?, x) d? = ?
v2 (? ) ? v1 (? ) K2 (?, x) d?.
2
2
N2
M1
Здесь
1
K2 (?, x) =
2?
+?Z
Z
?? N2
1
2?
+?
Z
??
1 i(??x)t
e
dt e?i?? d? ei? ?+ia?(?) d?.
i? (t)
(13)
Запишем (12) как интегральное уравнение относительно ункций v1 (? ) , v3 (? )
и v2+ (? )
Z
Z
+
1
? v3 (? ) K1 (?, x) d? ?
v2 (? ) ? v1 (? ) K2 (?, x) d? = ?u0 (x, 0) , x ? M2 . (14)
2
M2
M1
2.2.
Второе уравнение системы.
нении системы (5) к виду
Преобразуем множитель во втором урав-
1
V2? (?) + i? (?) U2? (?) = ?
2?
Z
M2
?
v2 (x) ? v3 (x) eix? dx.
(15)
43
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
Здесь сначала использовано условие (2), далее интегралы от v3 (x) и u3 (x) были дополнены до бесконечных и использовано второе уравнение (4). Наконец, из
условия ѕна металлеї (3) следует, что u?
2 (x) = u3 (x) .
Второе уравнение (5) с учетом (15) приведем к виду
Z
?
1 ia?(?)
+
+
V2 (?) = ?i? (?) U2 (?) + ? e
v2 (x) ? v3 (x) eix? dx.
(16)
2?
M2
Применим обратное преобразование Фурье к (16). Используя (2), (4), получим следующее выражение для ункции v2+ (x) :
Z
+
+
v2 (x) = ?
u2 (? ) ? u1 (? ) K0 (?, x) d? ? v1 (x) + ?2 (x),
M1
где
1
?2 (x) = ?
2?
+?
Z
??
1
? eia?(?)
2?
Z
M2
v2? (? ) ? v3 (? ) ei? ? d? e?ix? d?.
(17)
Воспользуемся условиями (2), (3) и перейдем к ункции v1 (x) . Получим
v1 (x) = ?v1 (x) + ?2 (x) или
2v1 (x) = ?2 (x),
x ? N1 .
Из (3), (4) и (18) следует уравнение
Z
Z
1
?u0 (x, a) =
v1 (? ) K1 (?, x) d? +
?2 (? ) K1 (?, x) d?.
2
M1
(18)
(19)
N1
Второе слагаемое в правой части (19) в силу (17) будет иметь вид
Z
Z
?
1
1
?2 (?) K1 (?, x) d? =
v2 (? ) ? v3 (? ) K3 (?, x) d?.
2
2
N1
M2
Здесь через K3 (?, x) обозначен интеграл
1
K3 (?, x) =
4? 2
+?
+?
Z Z
Z
1 i(??x)t
ia?(?) i? ? ?i??
e
e
e
d?
e
dt d?.
i? (t)
N1 ??
??
Уравнение (19) перепишем так:
Z
Z
?
1
v1 (? ) K1 (?, x) d? +
v2 (? ) ? v3 (? ) K3 (?, x) d? = ?u0 (x, a) ,
2
M1
M2
оно и будет вторым в системе уравнений.
(20)
x ? M1 ,
(21)
2.3.
Другие уравнения системы. Для того чтобы получить третье уравнение, проведем рассуждения, аналогичные использованным при выводе уравнения
(9). С учетом того, что в данном случае x ? M2 , получим
Z
+
?
v2 (x) = ?v3 (x) +
v2 (? ) ? v1 (? ) K4 (?, x) d?, x ? M2 ,
(22)
M1
44
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
где
1
K4 (?, x) =
2?
+?
Z
eia?(?) ei(? ?x)? d?.
??
Четвертое уравнение выводится как и уравнение (18), но при x ? M1 . В этом
случае
Z
?
v2+ (x) = ?v1 (x) +
v2 (? ) ? v3 (? ) K4 (?, x) d?, x ? M1 .
(23)
M2
Таким образом, построение системы уравнений завершено.
Теорема 1. Задача (2)(5) эквивалентна системе интегральных уравнений
(14), (21), (22) и (23) относительно предельных значений нормальной производной
+
?
на металлических экранах v1 (x) , v2 (x) , v2 (x) и v3 (x) .
Доказательство. анее было показано, что решения системы (14), (21)(23)
соответствуют решениям уравнений (2)(5). При этом были использованы невырожденные преобразования. Следовательно, из системы (14), (21)(23) обратными
преобразованиями можно получить уравнения (2)(5), таким образом, решения
этих двух систем уравнений будут эквивалентными.
3.
Анализ системы интегральных уравнений
Полученная система уравнений для численных расчетов очень неудобна, так
как уравнения (14) и (21) под интегралами содержат ядра K2 (?, x) и K3 (?, x) ,
которые определены как повторные интегралы (см. ормулы (13) и (20)).
Запишем систему в другом виде, воспользовавшись ормулами (12), (19), а
также (22) и (23), выраженными через ?1 (x) и ?2 (x) соответственно:
Z
Z
1
v3 (? ) K1 (?, x) d? +
?1 (? ) K1 (?, x) d? = u0 (x, 0) , x ? M2 ,
2
M2
Z
N2
1
v1 (? ) K1 (?, x) d? +
2
M1
Z
?2 (? ) K1 (?, x) d? = ?u0 (x, a) ,
v2? (x) = ?v3 (x) + ?1 (x) ,
v2+
x ? M1 ,
(24)
N1
(x) = ?v1 (x) + ?2 (x),
x ? M2 ,
x ? M1 .
Сложим первое и третье уравнения полученной системы, предварительно умножив первое на 2, а третье на K1 (x, z) и проинтегрировав его по x по множеству
M2 . Получим
Z
M2
+?
Z
v3 (? ) K1 (?, x) d? +
?1 (? ) K1 (?, x) d? =
??
=
Z
M2
v2? (? ) K1 (?, x) d? + 2u0 (x, 0) ,
x ? M2 . (25)
45
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
Преобразуем второе слагаемое в левой части (25):
+?
R
?1 (? ) K1 (?, x) d? =
??
1
=
2?
Z
M1
v2+
(t) ? v1 (t)
+? Z
+?
Z
1
2?
?? ??
+?
Z
ei(???)? d?
1 ?ix?
e
d? eia?(?)+it? d? dt.
i?(?)
??
Внутренний интеграл выразим через дельта-распределение. Воспользовавшись
свойством дельта-распределения, получим
+?
+?
Z
Z
Z
+
1
1 i(t?x)? ia?(?)
v2 (t) ? v1 (t)
e
e
d? dt.
?1 (? ) K1 (?, x) d? =
2?
i?(?)
??
??
M1
Введем ункцию
+?
Z
1
K5 (?, x) =
2?
1 i(? ?x)? ia?(?)
e
e
d?.
i?(?)
??
Тогда уравнение (25) примет вид
Z
M2
v3 (? ) ? v2? (? ) K1 (?, x) d? +
Z
M1
v2+ (? ) ? v1 (? ) K5 (?, x) d? =
= 2u0 (x, 0) ,
x ? M2 . (26)
Теперь сложим второе уравнение системы (24), умноженное на 2, и интеграл по
M1 от произведения четвертого уравнения на K1 (x, ? ) . Получим
Z
v1 (? ) K1 (?, x) d? +
+?
Z
?2 (? ) K1 (?, x) d? =
??
M1
=
Z
v2+ (? ) K1 (?, x) d? ? 2u0 (x, a) ,
x ? M1 . (27)
M1
Преобразуем слагаемое, содержащее ?2 (? ) :
+?
+?
Z
Z
Z
?
1
1 i(t?x)? ia?(?)
?2 (? ) K1 (?, x) d? =
v2 (t) ? v3 (t)
e
e
d? dt.
2?
i?(?)
??
??
M2
Таким образом, уравнение (27) преобразовано к виду
Z
M1
v1 (? ) ? v2+ (? ) K1 (?, x) d? +
Z
M2
v2? (? ) ? v3 (? ) K5 (?, x) d? =
= ?2u0 (x, a) ,
x ? M1 . (28)
Уравнения (26), (28), (22) и (23) дают новую систему уравнений, в которой ядра
не содержат повторных интегралов.
46
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
Введем две вспомогательные ункции
w? (? ) = v3 (? ) ? v2? (? ) ,
(29)
w+ (? ) = v2+ (? ) ? v1 (? ) .
Тогда уравнения (26) и (28) образуют независимую подсистему.
Теорема 2. Задача диракции
T E -поляризованной
электромагнитной волны
на параллельных металлических экранах эквивалентна системе интегральных
уравнений
Z
w+ (? )K5 (?, x) d? = 2u0 (x, 0) , x ? M2 ,
M2
Z
M1
Z
Z
w? (? )K5 (?, x) d? = 2u0 (x, a) , x ? M1
w? (? )K1 (?, x) d? +
w+ (? )K1 (?, x) d? +
M1
(30)
M2
относительно скачков магнитной напряженности
w? (? )
и
w+ (? )
при переходе
через металлические экраны.
Доказательство теоремы 2 основано на взаимно однозначном соответствии системы (14), (21)(23) и системы (30). Заметим, что искомые ункции v1 , v3 и v2±
определяются из (29) и уравнений (22) и (23).
4.
Численное решение
ассмотрим частные случаи общей задачи: рассеяние T E -поляризованной электромагнитной волны на отдельной пластине и на двух пластинах, расположенных
рядом или друг над другом.
4.1.
ассеяние на одной пластине. В случае, если рассеяние происходит
на одной металлической пластине с концами ? и ? , система уравнений (30) превращается в одно интегральное уравнение
Z?
? ? (? ) K1 (?, x) d? = 2u0 (x, 0),
?
x ? [?, ?] .
(31)
Ядро данного уравнения, определенное ормулой (11), выражается через ункцию Ханкеля второго рода (см. [5?):
i
1
(2)
K1 (?, x) = ? ?
H0 (k |? ? x|) ,
2
2 ?
где k волновое число. Известно [9?, что
K1 (?, x) = ? ln
1
+ r (?, x) .
|? ? x|
Здесь ункция r (?, x) представляет собой регулярную часть интегрального уравнения.
Искомую ункцию ? ? (x) будем искать в виде разложения по полиномам Чебышева на отрезке [?, ?]
N
X
1
? ? (x) ? p
an Ten?1 (x),
(? ? x)(x ? ?) n=1
x ? [?, ?] ,
(32)
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
47
они выражаются через классические полиномы Чебышева по ормуле
2
?+?
e
Tn (x) = Tn
x?
, n = 0, 1, . . .
???
???
Интегралы будем вычислять по квадратурной ормуле аусса
Z?
?
с узлами
M
f (t)
? X
p
f (xm )
dt ?
M m=1
(? ? t)(t ? ?)
(33)
???
2m ? 1
?+?
cos
?+
, m = 1, . . . , M.
2
2M
2
Задача диракции T E -поляризованной электромагнитной волны на отдельной
металлической пластине сводится к СЛАУ
xm =
N
X
an (?kn + rkn ) = fk ,
k = 1, . . . , N
(34)
n=1
относительно коэициентов разложения искомой ункции ? ? (x) по полиномам
Чебышева an , где
?
2
?
?? ln(? ? ?), k = n = 1,
?kn = ? 2 /(2k),
k = n 6= 1,
?
?
0,
k 6= n,
rkn = ?
с правой частью
Z? Z?
? ?
Tek?1 (x)
Ten?1 (t)
p
dt dx,
r (?, x) p
(? ? t)(t ? ?) (? ? x)(x ? ?)
fk =
Z?
?
Tek?1 (x)
f (x) p
dx.
(? ? x)(x ? ?)
Таким образом, если решена система (34), то согласно приближенной ормуле (32) может быть найдена ункция ? ? (x) . Для вычисления fk воспользуемся
ормулой (33), а для вычисления rkn ормулу (33) применим дважды.
Искомое поле найдем по ормуле
Z?
i
u(x, z) =
4?
?
? ? (? )
+?
Z
ei?(?)z+i?(? ?x)
d? d?,
?(?)
??
где внутренний интеграл есть
+?
Z
??
p
ei?(?)z+i?(? ?x)
(2)
d? = ??H0
k z 2 + (? ? x)2 .
?(?)
(2) ?
Введем ункцию G(z, x) = H0 (k z 2 + x2 ) . Тогда из (32) получим приближенную ормулу для вычисления значения u(x, z) в виде
?
Z
N
1
i X
p
u(x, z) ? ?
an
Ten?1 (? ) G(z, ? ? x) d?.
4 n=1
(? ? ? )(? ? ?)
?
48
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
4.2.
ассеяние на двух смежных пластинах. ассмотрим задачу рассеяния T E -поляризованной электромагнитной волны на двух металлических пластинах, расположенных в плоскости z = 0 . Обозначим L(?, x) = ? ln |? ? x| ? r (?, x) .
Тогда система уравнений (30), так же как и в предыдущем случае, вырождается в
одно уравнение
Z?1
?1 (? )L(?, x) d? +
?1
Z?2
?2 (? )L(?, x) d? = f (x),
?2
x ? [?1 , ?1 ] ? [?2 , ?2 ] .
Здесь ?1 (x) = ? ? (x), x ? [?1 , ?1 ] и ?2 (x) = ? ? (x), x ? [?2 , ?2 ] . Правая часть
уравнения есть f (x) = ?2?u0 (x, 0) .
Для каждого интервала (?j , ?j ) , соответствующего металлической пластине с
номером j , j = 1, 2 , рассмотрим базисные ункции
2
?j + ?j
Ten(j) (x) = Tn
x?
, n = 0, 1, . . .
?j ? ?j
?j ? ?j
Введем вектор
cn =
(
(1)
an ,
n = 1, . . . , N,
(2)
an?N , n = N + 1, . . . , 2N.
Задача диракции T E -поляризованной электромагнитной волны на двух
смежных металлических пластинах сводится к СЛАУ
2N
X
cn (?kn + rkn ) = fk ,
k = 1, . . . , 2N,
n=1
где
?kn
?
?
? 2 ln(?1 ? ?1 ),
?
?
?
?
?
?
? 2 ln(?2 ? ?2 ),
?
?
= ? 2 /(2k),
?
?
?
?
? 2 /(2(k ? N )),
?
?
?
?
?0,
k = n = 1,
k = n = N + 1,
k = n < N + 1,
k = n > N + 1,
k 6= n,
а rkn представляют собой двойные интегралы, содержащие r (?, x) .
ешение уравнения (1) имеет вид
i
u(x, z) = ?
4
Z?1
?1
i
? (? ) G(z, ? ? x) d? ?
4
?
Z?2
?2
? ? (? ) G(z, ? ? x) d?
или приближенно
?1
Z
N
i X (1)
1
(1)
p
u(x, z) ? ?
an
Ten?1 (? ) G(z, ? ? x) d? ?
4 n=1
(?1 ? ? )(? ? ?1 )
?1
?2
Z
N
1
i X (2)
(2)
p
?
a
Ten?1 (? ) G(z, ? ? x) d?.
4 n=1 n
(?2 ? ? )(? ? ?2 )
?2
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
)
б
)
г
49
)
а
)
в
ис. 2. ассеяние на двух смежных пластинах ( ?1 = ?1.5, ?1 = ?0.5, ?2 = 0.5, ?2 = 1.5 ):
?
?
?
?
а) ? = 0 , ? = 2, б) ? = 90 , ? = 2, в) ? = 0 , ? = 10, г) ? = 90 , ? = 10
Пусть на две пластины, расположенные в плоскости z = 0 падает плоская
T E -поляризованная волна вида u0 (x, z) = exp (ik cos ?x + ik sin ?z) с единичной
амплитудой. На рис. 2 изображено распределение плотности энергии при различных углах падения ? . Более темные участки соответствуют большей плотности
энергии.
4.3.
ассеяние на двух параллельных пластинах. ассмотрим еще один
частный случай задачи диракции, когда одна пластина расположена параллельно
над другой. Система (30) примет вид
Z?1
?1
? (? )L(?, x) d? ?
Z?2
?2
+
?
Z?2
?2
? (? )L(?, x) d? ?
? ? (? )?G(a, ? ? x) d? = f(1) (x),
Z?1
?1
? + (? )?G(a, ? ? x) d? = f(2) (x),
x ? [?1 , ?1 ] ,
x ? [?2 , ?2 ]
с правыми частями f(1) (x) = ?2?u0 (x, a) и f(2) (x) = ?2?u0 (x, 0) .
Как и в предыдущих случаях, исходная задача сводится к отысканию коэициентов разложения ункций ? + (? ) и ? ? (? ) по полиномам Чебышева.
Задача диракции T E -поляризованной электромагнитной волны на двух параллельных металлических пластинах сводится к СЛАУ
2N
X
n=1
cn (?kn + rkn ) = fk ,
k = 1, . . . , 2N,
50
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
)
б
)
)
г
а
)
в
ис. 3. ассеяние на двух параллельных пластинах ( ?1 = 0 , ?1 = 1 , ?2 = ?1 , ?2 = 0 ,
a = 3 , ? = 2 ): а) ? = 0? , б) ? = 90? , в) ? = 45? , г) ? = 135?
коэициенты и правые части которой определены таким же образом, что в п. 4.1
и 4.2.
Потенциальная ункция рассеянного поля находится по ормуле
i
u(x, z) = ?
4
Z?2
?2
i
? (? ) G(z, ? ? x) d? ?
4
?
Z?1
?1
? + (? ) G(z ? a, ? ? x) d?.
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим падение плоской T E -поляризованной
волны, но уже на пластины, расположенные друг над другом. На рис. 3 изображено
распределение плотности энергии для случая длины волны ? = 2 .
5.
Единственность решения задачи диракции
Будем искать решение двумерного уравнения ельмгольца (1) в пространстве
2
loc
2
1
Hloc
1 (R ) [1, гл. 1?. Как известно, если u(x, z) ? H1 (R ) , то u(x, z0 ) ? H1/2 (R )
и ?u/?n(x, z0 ) ? H?1/2 (R1 ) для любого иксированного z0 . ешение уравнения
ельмгольца будет бесконечно диеренцируемым, поэтому можно искать это решение не как распределение, а как обычную ункцию.
2
Если решение уравнения ельмгольца принадлежит пространству Hloc
1 (R ) , то
в любой ограниченной области ограничена энергия электромагнитного поля. Поэтому при исследовании диракции на незамкнутых металлических экранах не
нужно включать в постановку задач условие ѕна ребреї.
Обозначим D2? = {(x, z) : z ? (0+, a ? 0)} . При Q ? ? области D2?Q =
= {(x, z) : |x| < Q, z ? (0+, a ? 0)} стремятся к D2? . Запишем для области
51
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
D2?Q вторую ормулу рина
ZZ
Z
(u?u ? u?u) d? =
D2?Q
?D2?Q
?u
?u
?u
ds.
u
?n
?n
(35)
Здесь ?D2?Q граница области D2?Q . Перейдем в ормуле (35) к пределу при
Q ? ? и получим
ZZ
(u?u ? u?u) d? =
D2?
+?
Z
??
?
?
?
u?
2 (x)v 2 (x) ? u2 (x)v2 (x) dx?
?
+?
Z
??
где
I?
+
+
+
u+
2 (x)v 2 (x) ? u2 (x)v2 (x) dx + I? , (36)
Za ?u
?u
= ? lim
u(?Q, z) (?Q, z) ? u(?Q, z) (?Q, z) dz+
Q??
?x
?x
0
Za ?u
?u
+ lim
u(Q, z) (Q, z) ? u(Q, z) (Q, z) dz. (37)
Q??
?x
?x
0
Выразим из уравнений (5) образы Фурье граничных значений нормальной производной через образы Фурье граничных значений искомой ункции:
V2+ (?) = h1 (?)U2+ (?) ? h2 (?)U2? (?),
V2? (?) = ?h1 (?)U2? (?) + h2 (?)U2+ (?),
где
(38)
i2?(?)
eia?(?) + e?ia?(?)
, h2 (?) = ia?(?)
.
ia?(?)
?ia?(?)
e
?e
e
? e?ia?(?)
Преобразуем интегралы из правой части (36), воспользовавшись ормулой Парсеваля и выражениями (38). В результате получим
h1 (?) = i?(?)
+?
Z
?
u?
2 (x)v 2 (x)
??
=
+?
Z
??
?
?
u?
2 (x)v2 (x)
dx ?
+?
Z
??
+
+
+
u+
2 (x)v 2 (x) ? u2 (x)v2 (x) dx =
+?
Z
?
?
+
+
U2? (x)V 2 (x) ? U 2 (x)V2? (x) dx ?
U2+ (x)V 2 (x) ? U 2 (x)V2+ (x) dx =
??
+?
+?
Z
Z
i
h
h
2 + 2 i
+
?
=
i2Im [h1 (?)] U2 (?) + U2 (?) d? ?
i4Im [h2 (?)]Re U2? (?)U 2 (?) d?.
??
??
Тогда уравнение (36) примет вид
i (4Re k Im k)
Z Z
D2?
2
|u| d? = i2
+?
Z
h
2 2 i
Im [h1 (?)] U2? (?) + U2+ (?) d??
??
+?
Z
h
i
+
Im [h2 (?)]Re U2? (?)U 2 (?) d? + I? . (39)
? i4
??
52
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
Так как k вещественное число, то левая часть уравнения (39) равна нулю,
а ункции h1 (?) и h2 (?) также будут вещественными. Таким образом, для вещественного k получим, что I? = 0 . В представлении (37) для I? значение a
является произвольным, поэтому справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Если ункция
u
удовлетворяет уравнению ельмгольца с посто-
k в полосе, то
?u
?u
lim u(Q, z) (Q, z) ? u(Q, z) (Q, z)?
Q??
?x
?x
?u
?u
?u(?Q, z) (?Q, z) + u(?Q, z) (?Q, z) = 0.
?x
?x
янным вещественным коэициентом
ассмотрим область D2+ = {(x, z) : z ? (0?, a + 0)} , ограниченную по переменной z , и области D2+Q = {(x, z) : |x| < Q, z ? (0?, a + 0)} . ассуждая так же,
как в случае области D2?Q , запишем вторую ормулу рина для области D2+Q и
перейдем к пределу при Q ? ? . Получим
ZZ
D2+
+?
Z
(u?u ? u?u) d? =
(u3 (x)v 3 (x) ? u3 (x)v3 (x)) dx?
??
+?
Z
?
(u1 (x)v 1 (x) ? u1 (x)v1 (x)) dx + I? + IM , (40)
??
где
IM =
Z
+
+
+
u1 (x)v 1 (x) ? u1 (x)v1 (x) ? u+
2 (x)v 2 (x) + u2 (x)v2 (x) dx+
M1
+
Z
M2
=
Z
M1
?
?
?
u3 (x)v 3 (x) ? u3 (x)v3 (x) ? u?
2 (x)v 2 (x) + u2 (x)v2 (x) dx =
+
?u0 (x, a) v 1 (x) ? v +
dx+
2 (x) + u0 (x, a) v1 (x) ? v 2 (x)
+
Z
M2
?
u0 (x, 0) v 3 (x) ? v ?
dx = 0
2 (x) ? u0 (x, 0) v3 (x) ? v 2 (x)
в силу граничных условий. Преобразуем интегралы (40), использовав (4). Тогда
+?
+?
Z
Z
(u3 (x)v 3 (x) ? u3 (x)v3 (x)) dx ?
(u1 (x)v 1 (x) ? u1 (x)v1 (x)) dx =
??
??
+?
Z
h
i
2
2
=
i2Re [?(?)] |U1 (?)| + |U3 (?)| d?.
??
Следовательно,
Z+kp
h
i
2
2
k 2 ? ? 2 |U1 (?)| + |U3 (?)| d? = 0.
?k
Из уравнения (41) и ормулы (4) следует
(41)
53
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
Лемма 2. Образы Фурье граничных значений искомых ункций и их нормальных производных, определенных в областях
D1
и
D3 ,
равны нулю в интервале
(?k, k) :
U1 (?) ? U3 (?) ? 0,
V1 (?) ? V3 (?) ? 0.
Потенциальная ункция в области D1 имеет вид [10?
1
u(x, z) = ?
2?
+?
Z
V1 (?)ei?(?)z?i?x d?.
??
Таким образом, в силу леммы 2 получим при R > 0 :
Z
?2 2
1
u(x, R) = ?
V1 (?)e? ? ?k R?i?x d?.
2?
|?|>k
Оценим квадрат модуля ункции u(x, R) , воспользовавшись теоремой Коши Буняковского. Имеем
+?
Z
Z
?2 2
2 ?1/2
2
|u(x, R/2)| ?
(1 + ? )
|V1 (?)| d?
(1 + ? 2 )1/2 e? ? ?k R d? ?
2
??
|?|>k
? 2 kv1 (x)kH?1/2
+?
Z
?2 2
(1 + ? 2 )1/2 e? ? ?k R d?.
k
Для последнего интеграла
+?
+?
Z
Z
?
p
p
1
1
2 1/2 ? ? 2 ?k2 R
??R
(1+? ) e
d? ? max(1, k)
(?+k)e
d? = max(1, k)
+
.
R2
R
0
k
Таким образом, получили оценку
2
|u(x, R/2)| ? 2
p
max(1, k) kv1 (x)kH?1/2
1
1
+
2
R
R
при любом R > 0 . Аналогичное неравенство выполняется для |u(x, R)| . Из оценки
следует
Лемма 3. При больших
ункции
R
справедливо асимптотическое представление для
u(x, R)
u(x, R) = O
1
?
R
.
Из леммы 3 следует, что lim u(x, R) = 0 . Таким образом, при достаточно
R??
больших z получим, что в открытой области u(x, z) = 0 и, следовательно, в силу
аналитичности, u(x, z) ? 0 в R2 [11, с. 148?. Окончательный результат сормулируем в следующей орме.
Теорема 3. Задача диракции
T E -поляризованной
электромагнитной волны
на системе металлических экранов, расположенных параллельно, может иметь
только одно решение.
54
А.Н. ОДЕЕВА, Д.Н. ТУМАКОВ
Summary
A.N. Gordeeva, D.N. Tumakov.
Parallel Metal Sreens.
Diration of the Eletromagneti Wave on System of
The paper views the problem of diration of the two-dimensional T E -polarised
eletromagneti wave on the metal plates loated in two parallel planes. The initial problem is
redued to a system of integral equations with logarithmi singularity in kernels as related to
jumps of the magneti eld at transition through metal sreens. The reeived system is solved
numerially by a Galerkin method with basi funtions Chebyshev polynoms. Graphis of
sattered eld energy density have been onstruted for diration problems on two plates
posed nearby and one over the other. The uniqueness theorem of the problem of diration in
2
spae Hloc
1 (R ) is proved.
Key words: diration, T E -polarised eletromagneti wave, equation with logarithmi
singularity, Galerkin method, Chebyshev polynoms, uniqueness theorem.
Литература
1.
Ильинский А.С., Смирнов Ю..
2.
Miller E.K., Medgyesi-Mitshand L., Newman E.H.
3.
Шестопалов В.П.
4.
Плещинский И.Н., Плещинский Н.Б.
5.
6.
7.
Диракция электромагнитных волн на проводящих
тонких экранах (Псевдодиеренциальные операторы в задачах диракции). М.:
ИПЖ, 1996. 176 с.
Computational eletromagnetis:
Frequeny-domain method of moments. N. Y.: IEEE Press, 1992. 508 p.
Метод задачи имана ильберта в теории диракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 400 с.
Интегральные уравнения задачи сопряжения
полуоткрытых диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 2007. ќ 5. С. 6380.
Плещинский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач диракции электромагнитных волн в классах обобщенных ункций. Препринт ПМФ-2000-01. Казань: Казан. матем. о-во, 2000. 50 с.
Уравнение ельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи диракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах. Препринт
ПМФ-03-02. Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2003. 34 с.
Плещинский Н.Б.
Махер А., Плещинский Н.Б. Задача о скачке для уравнения ельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 2002. ќ 1. С.4556.
8.
Хјнл Х., Мауэ А., Вестпаль К.
9.
Плещинский Н.Б.
10.
11.
Теория диракции. М.: Мир, 1964. 428 с.
Об интегральных уравнениях первого рода с логаримической
особенностью в ядре и методах их регуляризации // Тр. Матем. центра им.
Н.И.Лобачевского. Т. 17. Задачи диракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах. Казань: Казан. матем. об-во, 2002. С. 90120.
Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории диракции волн // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2005. Т. 147,
кн. 3. С. 432.
Берс Л., Джон Ф., Шехтер М.
Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1966. 352 с.
Поступила в редакцию
24.10.07
АССЕЯНИЕ ЭЛЕКТОМАНИТНОЙ ВОЛНЫ. . .
ордеева Анастасия Николаевна
ственного университета.
E-mail: myangel86mail.ru
55
студент акультета ВМК Казанского государ-
Тумаков Дмитрий Николаевич кандидат изико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.. Чеботарева Казанского
государственного университета.
E-mail: dtumakovksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
543 Кб
Теги
металлических, волна, система, экранов, рассеяния, параллельное, электромагнитная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа