close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение некоторых сингулярных интегральных уравнений с помощью асимптотических многочленов.

код для вставкиСкачать
Математика
МАТЕМАТИКА
У
УДК 517.956
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Канд. физ.-мат. наук, доц. ГРИБКОВА В. П., канд. техн. наук, доц. КОЗЛОВ С. М.
Белорусский национальный технический университет
Методы точного и приближенного решений
сингулярных интегральных уравнений с ядром
типа Коши, используемых в теории упругости,
рассматривались в [1, 2]. В данной статье предлагается приближенное решение этой задачи,
основанное на другом подходе. Подынтегральная функция может быть представлена в виде
асимптотического полинома [3], либо бесконечного ряда с использованием полиномов
Чебышева. Одновременно с приближенным
решением будет получен остаточный член, вид
которого позволяет определить степень полинома, дающего приближенное решение с заданной точностью.
Пусть необходимо найти решение интегрального уравнения с сингулярным ядром, вычисляемого вдоль отрезка действительной оси
и приводимого к интегралу типа
I ( x) 
1 x

2 1
f (t )
tx
1
dt
1 t
2
, –1 ≤ x ≤ 1, (1)
и интегральных уравнений с регулярным ядром, приводимых к интегралу
1
E ( x) 
x 2  1 f (t ) dt
, 1 ≤ x < ∞. (2)
 1 t  x 1  t 2
Известно, что интеграл (1) существует в
смысле главного значения по Коши, если f(x)
удовлетворяет в [–1, 1] условию Гёльдера [2]
(аналогично – Lip , 0 <  < 1). Интеграл (2)
является Римановым интегралом при x > 1,
а в точке x = 1 может иметь особенность логарифмического типа. Существование решения
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
для него определяется условиями существования Риманова интеграла.
Известно, что I(x) и E(x) далеко не всегда
можно выразить с помощью элементарных
функций, поэтому возникает необходимость их
замены приближенными решениями.
В дальнейшем понадобятся следующие известные соотношения:
1  х2

1
Tn (t )
 tx
1
dt
1 t2
 Uˆ n ( x), –1 ≤ x ≤ 1; (3)
1
x 2  1 Tn (t ) dt

 1 t  x 1  t 2


n
  x  x 2  1 , 1 ≤ x ≤ ∞,
(4)
где Tn ( x)  cos n arccos x – полиномы Чебышева
первого рода (1) и Uˆ ( x)  sin n arccos х – функn
ции, основанные на полиномах Чебышева второго рода [4]. В дальнейшем рассматривается
равномерное приближение функций, поэтому
за норму принято || f ( x) || max | f ( x) | .
a  x b
Приближенное решение уравнения (1).
Функция f(x) в промежутке –1 ≤ x ≤ 1 может
быть приближенно представлена асимптотическим многочленом Qnf ( x) следующим образом:
f ( x)  Qnf ( x) 
1 n 1 ||
 fk 
n  1 k 0
n


 1  2 Tm  k  Tm  x)   ,
m 1


(5)
77
Математика
k
, k  0, n  1,
n 1
символ « || » означает, что f0 и fn+1 делятся на 2.
Можно ввести линейный оператор QnI ( f | x),
который представляет собой приближенное
решение для интеграла (1)
при этом f k  f (k ), k  cos
Uˆ m ( x), m  (2s  1)(n  1);
(11)
Am( nj ) ( x)  
ˆ
ˆ
U m ( x)  U l ( x), m  2s(n  1)  l , 0  l  n,
получим

ˆ (rn)1 ( x).
I ( x)  QnI ( x)   Lrf 
(12)
r n
I ( x)  QnI ( f | x) 
n 1
 ||
k 0
1  x2

(n  1)
n


1  2 Tm (k )Tm (t ) 
m 1
 dt.
fk   
2
(t  x) 1  t
1
1
(6)
С учетом соотношения (3) выражение (6)
преобразуется к виду
QnI ( f | x) 

n
1 n 1 ||  ˆ

f
U
(
x
)

2
Tm (k )Uˆ m ( x)  


k  0
n  1 k 0 
m 1

2 n 1 || n
 fk Tm (k )Uˆ m ( x), 1  x  1.
n  1 k 0 m 1
(7)
Оценка погрешности для (7) получается при
использовании равенства
(8)
r n
где
Lrf 
(rn)1 (t ) 
1 n 1 ||
(1)k f k ;

n  1 k 0

m j  n 1
ных функционалов Lrf 


f (t )  Qnf (t )   Lrf  (rn)1 (t ),
Будет справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть для оператора (1) получено приближенное решение в виде (7), тогда
при n → ∞ оно будет равномерно стремиться
к точному решению, если функция f(t) принадлежит классу Гёльдера (f(t)  Lip , 0 <  < 1).
ˆ (rn)1 ( x)
Доказательство. Так как функции 
ограничены сверху таким же образом, как и
(rn)1 ( x), то условия сходимости ряда (12) будут
теми же, как и ряда (8), т. е., необходимо, чтобы выполнялось условие: f(t) принадлежала бы
классу Гёльдера (f(t)  Lip , 0 <  < 1).
Скорость сходимости ряда (12) будет определяться дифференциальными свойствами
функции плотности f(t), от которой зависит
быстрота убывания последовательности линей-
(2s j  1) Bm( nj ) (t ),
при этом μ – функция Мёбиуса;
m j  n  1, r  1  (2s j  1)m j ;
Tm (t ), m  (2s  1)(n  1);
(9)
Bm( n ) (t )  
Tm (t )  Tl (t ), m  2s(n  1)  l , 0  l  n.
r n
Для членов этой последовательности справедливы все теоремы [5] о сходимости ряда (12)
для функций, принадлежащих классу f(t)  Lip ,
0 <  < 1, аналитических функций и других.
То есть ряд будет абсолютно сходиться для
всех классов функций, указанных в вышеприведенной работе, в том числе и для функций, указанных в условиях рассматриваемой
теоремы.
Теорема доказана.
Оценка погрешности приближенного решения будет

ˆ (0)
|| I ( x)  QnI ( f | x) || | Lrf |max | 
r 1 ( x) |
Сходимость ряда (8) показана для всех f(x)
из класса Lip , 0 <  < 1 в [5].
Преобразование (3) действует на функции
( n)
Bm (t ). Введем обозначения
ˆ (rn)1 ( x) 


m j  n 1
При условии, что
78
(2s j  1) Am( nj ) ( x).
(10)
.
r n
x

ˆ (rn)1 ||.
  | Lrf ||| 
(13)
r n
ˆ (rn)1 || max | 
ˆ (rn)1 ( x) | . Для вычисления
где || 
x[ 1,1]
ˆ
|| 
|| используем равенства (10), (11) и то,
что | Uˆ n ( x) |  1.
( n)
r 1
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
Математика
В случае n = 0 получается разложение оператора I(x) в ряд по функциям Чебышева (3)
в виде

ˆ (0)
I ( x)  Q0I ( f | x)   Lrf 
r 1 ( x).
(14)
r 0
Можно в качестве приближенного решения
рассматривать конечную сумму
n
ˆ (0)
(15)
I ( x)  I n ( x)  Q0I ( f | x)   Lrf 1
r ( x).
к точному решению, если функция f (t) принадлежит классу Гёльдера.
Доказательство. Доказательство сходимости QnE ( f | x) к E(x) (2) при n → ∞ можно провести способом, аналогичным доказательству
для QnI ( f | x). Разность  f (t )  Qnf (t )  определяется выражением (8). Оно при интегрировании с учетом условия (4) приведет к вычислению остаточного члена в виде ряда:

r 1
Ее остаточный член легко вычисляется.
При аппроксимации функции f(x) на замкнутом промежутке полиномами наилучшего
приближения Pn(x) для наибольшего уклонения
Enf полинома от функции выполняется неравенство [4]

ˆ (rn)1 ||.
| Lnf |  Enf  | Lrf |  || 
(16)
r n
Пусть для интеграла (1) полиномом
наилучшего равномерного приближения является PnI ( x). Величина EnI есть значение наибольшего уклонения полинома от функции I(x).
Тогда, используя свойство (16), можно получить для рассматриваемой задачи неравенство
следующего вида:

ˆ (rn)1 ||.
| Lnf |  EnI  | Lrf |  || 
(17)
r n
Это неравенство важно использовать при
оценке погрешности приближенного решения.
Равенство (14) является способом восстановления оператора I (x) по последовательности линейных функционалов функции f (t).
Приближенное решение уравнения (2).
Приближенное решение для интеграла (2) получится при замене функции f (t) приближенным выражением (5) в промежутке –1 ≤ t ≤ 1,
то есть
QnE ( f | x)  


m
2 n 1 || n
2
f
T
(

)
x

x

1
,
 k
m
k
n  1 k 0
m 1
1 ≤ x < ∞, k  cos
k
, k  0, n  1.
n 1
(18)
Будет справедлива теорема.
Теорема 2. Пусть для оператора (2) получено приближенное решение в виде (18), тогда
оно при n → ∞ будет равномерно стремиться
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
ˆ (rn)1 ||, (19)
|| E ( x)  QnE ( f | x) ||  | Lrf |  || 
r n
ˆ (rn)1 ( x) могут быть определены из
где функции 
соотношений (11) с заменой Uˆ ( x) на функции
x 

m
m
x 2  1 . Так как абсолютная величина
этих выражений в промежутке [1, ∞) не превосходит единицы, то правая часть неравенства (19) представляет собой равномерно сходящийся ряд для всех функций f (t) из класса
Гёльдера. В этом случае будет справедливо
разложение E(x) на асимптотический многочлен и остаточный член в виде абсолютно сходящегося ряда

ˆ (0)
E ( x)  QnE ( f | x)   Lrf 
r 1 ( x).
(20)
r 0
Последовательность
L 

f
r
r n
имеет
все
свойства, рассмотренные для решения уравнения (1), и ряд (20) будет равномерно и абсолютно сходиться для соответствующих классов
функций.
Теорема доказана.
Если положить n = 0, то имеет место равенство

ˆ (0)
E ( x)  Q0E ( f | x)   Lrf 
r 1 ( x).
(21)
r 0
Будет справедливо условие, аналогичное
(17). Выражение (21) можно рассматривать, как
восстановление оператора E(x) по последовательности линейных функционалов
L 
f
r

r n
функции плотности f(t)
n
ˆ (0)
E ( x)  En ( x)  Q0E ( f | x)   Lrf 
(22)
r 1 ( x).
r 0
В качестве примеров можно рассмотреть
следующие задачи.
79
Математика
Пример 1. Найти приближенное решение
QnI ( f | x) задачи
I ( x) 
1  x2

1
1  t sin  1
 ln 1  t sin  t  x
1
dt
1 t2
,
–1 ≤ x ≤ 1,
при n = 3 и n = 4. Оценить погрешность.
Решение. Пусть  = 45°. Функция I (x) является нечетной, поэтому все нечетные линейные
функционалы будут равны нулю. Рассмотрим
решения при n = 3 и n = 4. Они имеют вид:
При n = 4 соответственно
Q4I ( x)  f ( x)  Q4f ( f | x)  L4f 5(4) ( x) 
 Lf  (4) ( x)  ...  Lf Uˆ ( x)  Lf (Uˆ ( x)  Uˆ ( x))  ....
6
7
4
6
7
3
Имеет место двустороннее неравенство
0,0091  || I ( x)  Q4I ( f | x) ||  0,012,
то есть 0,0091  E4I  0,012.
Приближенное решение можно получить
как конечную сумму ряда (14)
Q3I ( f | x)  1,07180  Uˆ1 ( x)  0,02681  Uˆ 3 ( x);
I ( x)  I 3 ( f | x)  Q0f  L0f 1(0) ( x)  L2f 3(0) 
Q4I ( f | x)  1,07175  Uˆ1 ( x)  0,02580  Uˆ 3 ( x).
 1,762747Uˆ1 ( x)  0,009757(Uˆ 3 ( x)  Uˆ1 ( x))
Вычислим последовательность линейных
функционалов Lrf 

r 0
по формуле (9) и функ-
ˆ (rn)1 ( x) по формулам (10) и (11):
ции 
L0f  1,762747, L2f  0,094921, L4f  0,009757,
L6f  0,001195, …
при значительно меньшем количестве вычислений. Используя значения линейных функционалов, получим погрешность в виде
I 3 ( x)  I ( x)  I 3 ( x)  L4f  5(0) ( x) 
 L6f  7(0) ( x)  ...  L4f (Uˆ 5 ( x)  Uˆ1 ) 
 L6f (Uˆ 7 ( x)  Uˆ1 ( x))  ...
функции для n = 3:
ˆ
ˆ (3)
ˆ (3) ˆ
ˆ (3) ˆ

r 1 ( x) :  4  U 4 ( x), 5  U 5 ( x)  U 3 ( x),
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ (3)
ˆ (3) ˆ

6  U 6 ( x)  U 2 ( x), 7  U 7 ( x)  U1 ( x), …;
для n = 4:
ˆ
ˆ (4)
ˆ (3) ˆ
ˆ (3) ˆ

r 1 ( x) : 5  U 5 ( x), 6  U 6 ( x)  U 4 ( x),
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ (3)
ˆ (3) ˆ

7  U 7 ( x)  U 3 ( x), 8  U8 ( x)  U 2 ( x), …;
для n = 0:
ˆ
ˆ (0) ˆ
ˆ (0)
ˆ (0) ˆ

r 1 ( x) : 1  U1 ( x), 3  U 3 ( x)  U1 ( x),
ˆ
ˆ
ˆ 5(0)  Uˆ 5 ( x)  Uˆ1 ( x), 
ˆ (0)

7  U 7 ( x)  U1 ( x),
ˆ  Uˆ 9 ( x)  Uˆ 3 ( x), … .

Следовательно, при n = 3 погрешность приближенного решения может быть представлена
и в итоге I3  0,022.
Приближенные решения Q3I ( f | x) и Q4I ( f | x)
на графике рис. 1 практически сливаются. Поэтому удобнее рассмотреть их погрешности на
всем промежутке x  [–1, 1] (рис. 2). Как видно
из графика, наибольшую погрешность дает решение I3(x). Оценки погрешности достаточно
точно дают наибольшую погрешность соответствующих решений и не являются сильно завышенными.
Отсутствие гладкости на рис. 2 объясняется большим шагом при вычислении погрешности.
2,0
(0)
9
1,5
6
7
4
5
–1,0 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2
и не превосходит
|| I ( x)  Q ( f | x) ||  0,022.
I
3
0,5
0
–0,5
2
3
 L6f (Uˆ 7 ( x)  Uˆ1 ( x))  ...
1
1,0
Q3 ( x)  f ( x)  Q3I ( f | x)  L4f  5(3) ( x) 
 Lf  (3) ( x)  ...  Lf (Uˆ ( x)  Uˆ ( x)) 
80
5
3
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
–1,0
–1,5
–2,0
Рис. 1. Приближенные решения Q3I ( f | x), Q4I ( f | x)
и I3 ( f | x) : 1 – Q3; 2 – Q4; 3 – I3
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
Математика
–0,4 –0,2
Q4E ( f | x)  0,82878  x  x 2  1 
1
0,02
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1,0
–0,02
–0,03
E ( x)  Q3E ( f | x)  Q3E ( x) 
3
 L4f  5(3) ( x)  L6f  7(3) ( x)  ...,
Рис. 2. Погрешности приближенных решений Q3I ( f | x),
Q4I ( f | x) и I3 ( f | x) : 1 – дел. Q3; 2 – дел. Q4; 3 – дел. I3
Пример 2. Найти приближенное решение
Q ( f | x) задачи
I
n
arctg(t  tg ) dt
,
tx
1 t2
–1 ≤ x ≤ 1,
при n = 3 и n = 4. Оценить погрешность.
Решение. Пусть  = 45°. При n = 3 и 4 приближенные решения имеют вид:
I ( x) 
1 x

2

Q3I ( f | x)  0,82832  Uˆ1 ( x)  0,04228  Uˆ 3 ( x);
Q4I ( f | x)  0,82878  Uˆ1 ( x)  0,04778  Uˆ 3 ( x).
Оценки погрешности
где линейные функционалы принимают значения:
L0f  0,785398, L2f  0,047297,
L4f  0,004877, L6f  0,000598 и т. д.,
функции:
0,0050 || I ( x)  Q ( f | x) || 0,0062;

0,0050  E4I  0,0062.
Пример 3. Найти приближенное решение
QnE ( f | x) задачи
1
x 2  1 arctg(t  tg ) dt
E ( x) 
,
 1
tx
1 t2
1 ≤ x < ∞,
при n = 3 и n = 4. Оценить погрешность.
Решение. Пусть  = 45°. Подынтегральная
функция нечетная, следовательно, все нечетные линейные функционалы равны нулю.
Для n = 3 и 4 получаются соответственно приближенные решения

Q3E ( f | x)  0,82832  x  x 2  1 
3
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
3
7

x 2  1 и т. д.
Будет справедлива оценка
I ( x)  Q3Е ( f | x)  0,011.
Погрешность для Q4E ( f | x)
функции:
 L4f  5(4) ( x)  L6f  7(4) ( x)  ...,


5
 5(4) ( x)  x  x 2  1 ,
Следовательно, имеет место неравенство


E ( x)  Q4E ( f | x)  Q4E ( x) 
I
4
 0,04228  x  x 2  1 ;
 
 1   x 
5
 (3)
x2
7 ( x)  x 
|| I ( x)  Q ( f | x) || 0,0112;


 5(3) ( x)  x  x 2  1  x  x 2  1 ,
I
3

3
Погрешность для Q3E ( f | x) на промежутке
1 ≤ x < ∞ можно представить
–0,01
2


 0,04778  x  x 2  1 .
0,01
– 1,0 –0,8 –0,6


0,03

 
7

 (4)
x 2  1  x  x 2  1 и т. д.
7 ( x)  x 
и имеет место двусторонняя оценка погрешности
0,0049  || I ( x)  Q4E ( f | x) ||  0,0069.
Можно получить приближенное решение в
виде частичной суммы (22)
E( x)  E3 ( x)  Q0E ( f | x)  L0f 1(0) ( x)  L2f 3(0) ( x)
и погрешность в виде бесконечного ряда
E( x)  E3 ( x)  E3 ( x)  L4f 5(0) ( x)  L6f 7(0) ( x)  ...,
где Q0f  0,
функции:
L0f  0,785398,

L2f  0,047297,

1(0) ( x)  x  x 2  1 ,

 
3

 3(0) ( x)  x  x 2  1  x  x 2  1 ,
81
Математика
 

 x 
x2  1 , … .

5
 5(0) ( x)  x  x 2  1  x  x 2  1

и  (0)
x2  1
7 ( x)  x 
7
ВЫВОДЫ

В итоге погрешность примет вид
 


5


E3 ( x)  L4f  x  x 2  1  x  x 2  1  


7


 L6f  x  x 2  1  x  x 2  1   ... .


 


Ее оценка | E3 ( x) |  0,011.
Все приближенные решения на рис. 3 практически сливаются, поэтому о погрешности
лучше судить по рис. 4.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,75
1,25
1,75
2,25
Рис. 3. Приближенные решения
2,75
Q3E ( f
3,25
| x),
Q4E ( f
3,75
| x)
и E3 ( f | x) : - -- - – Q3(Е); —— – Q4(Е); – – Е3
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,75
0
–0,001
–0,002
–0,003
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
Рис. 4. Погрешности Q3E ( f | x), Q4E ( f | x)
и E3 ( x) : - - - - - – дел. Q3(Е); —— – дел. Q4(Е);
– дел. Е3
Наибольшую погрешность в начале бесконечного промежутка дает многочлен Q4E ( f | x),
и, рассматривая структуру погрешности, можно
отметить, что это правило будет иметь место
для всех асимптотических многочленов четных степеней. Численные оценки погрешности
для Q3E ( f | x) и E3(x) получились сильно завышенными. Все погрешности Q3E ( x), Q4E ( x) и
E3(x) на всем промежутке укладываются в рамки тех значений, которые вычислены как оценки
сверху, хотя оценки сверху оказываются довольно сильно завышенными.
82
Применение метода асимптотических полиномов к решению интегральных уравнений (1)
и (2) дает возможность:
1) достаточно просто получать приближенные решения в виде асимптотических полиномов (13) для I (x) и (18) для E(x);
2) вычислить оценки погрешности вида (15)
для QnI ( f | x) и (19) для QnE ( f | x) , используя
соответствующие последовательности линейных функционалов для подынтегральных
функций, которые вычисляются простым суммированием ординат, т. е. нет необходимости
прибегать к использованию производных высокого порядка, как во всех других методах;
3) разложить подынтегральную функцию f(x)
в ряд Фурье – Чебышева и получить соответствующие ряды для интегралов (1) – I(x) (15) и
(2) – E(x) (20), которые отличаются от традиционных рядов Фурье тем, что для получения коэффициентов не требуется интегрирование
функций, так как ими являются линейные
функционалы;
4) вычисляя последовательно члены ряда
Фурье – Чебышева (15) и (21), найти необходимый номер N, начиная с которого будет выполняться заданная точность;
5) затем можно построить полиномы QNI ( f | x)
и QNE ( f | x) по формулам (7) и (18), для которых
заданная точность будет выполняться;
6) построить графики как самих многочленов, так и погрешностей на всем изучаемом
промежутке.
Все вычисления очень просто реализуются
с помощью вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные
уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968.
2. Пыхтеев, Г. Н. О некоторых сингулярных интегралах с ядром типа Коши / Г. Н. Пыхтеев // ПММ. –
Т. ХХIII. – Вып. 6. – 1959. – С. 1074–1082.
3. Грибкова, В. П. Равномерные приближения, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова,
С. М. Козлов // Сб. тр. ХХIII Междунар. науч. конф.
ММТТ-24. – Т. 1. – 2011. – С. 31–36.
4. Функции математической физики / Ж. Кампе де
Ферье [и др.]. – М.: ФМЛ, 1963.
5. Этерман, И. И. К вопросу восстановления функции по некоторой характеристической последовательности / И. И. Этерман // Известия вузов. – 1966. – № 2. –
С. 148–157.
Поступила 27.03.2013
Наука
№ 4, 2013
итехника,
Science & Technique
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
604 Кб
Теги
асимптотическое, решение, уравнения, многочлен, интегральная, помощь, некоторые, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа