close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение обобщенной задачи Джонсона с ограничениями на сроки выполнения заданий и времена работы машин. Ч. 2. Приближенные методы решения

код для вставкиСкачать
pb0410.fm Page 12 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћ атематические проблемы управлени¤
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
”ƒ 519.8
–≈Ў≈Ќ»≈ ќЅќЅў≈ЌЌќ… «јƒј„» ƒ∆ќЌ—ќЌј
— ќ√–јЌ»„≈Ќ»яћ» Ќј —–ќ » ¬џѕќЋЌ≈Ќ»я
«јƒјЌ»… » ¬–≈ћ≈Ќј –јЅќ“џ ћјЎ»Ќ.
„. 2. ѕриближенные методы решени¤
ё.ј. «ак
?????????? ??м?л?????? ?лг????м ??ш???? flow-shop problem, ????ль??ю??? ?????????? ?? ???л?ч??? г???????? ????????? ? ?????л? ???д??ч?????. ???дл????? ?????л?
?????????? ???л?д?????ль?????? ????л????? ??д????, ?????л?ю??? ???л????????ь ???л?ч??? ??л???? ?????????? л???ль??? м???м?м??. ????????, ч?? ????????????ь ??????????? ?????????? ????ш????? ?л?г?д??? ???дл??????м? ? ?????? ?лг????м? л???ль???
?????ц??. ???? ????????? ? ????? ??л?ч????м? ??ш????м?, ?????д?? ч??л???? ???м??.
???????? ?????: ????м?ль??? ??????????, ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д????, ?????????,
л???ль??? ?????ц??.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
? ?????? ч???? ?????? [1] ??л? ?????д??? ?????????? ??д?ч?, ???дл????? ? ?????????? ???ч????? ???м?л? дл? ??ч??л???? ?????? г????ц?
??мм????? дл??? ?????????? ? ??????????? ??ч??? ? ????л??????? ?лг????м? ??ш???? ??д?ч?
?? ?????? м???д? Ђ?????? ? г????цї. ?????? ч???ь
????????? ???????ю ????л??????? м???д?? ??ш???? ??д?ч? ? ???д?ц?????? ?????????? (???
?ч??? ?г????ч???? ?? д??????м?? ????? ????л????? ??д???? ? ??????? ?????? ????ч?? ????ц??) ?
??л????? ??льш?? ???м???????.
??? ? 1964 г. ????????м [2, 3] ??л? д???????,
ч?? дл? ч??л? ????ч?? ????ц?? m = 2 м???? ???ь
??л?ч??? ??ч??? ??ш???? ? ??????? ??ш?ю???
?????л? ????м?л????????? ??д?ч?, ???люч?ю????? ? ?л?д?ю??м. ??? м???????? ??д???? I = {1, 2,
..., i, ..., n} м???? ???ь ??????? ?? д?? ??дм???????? I1 = {i : t(i, 1) m t(i, 2)} ? I2 = {i : t(i, 1) > t(i, 2)},
гд? t(i, 1)? t(i, 2) ? ?????????????? дл???ль?????
?????? ? ?????? ?????ц?? (?????) i-г? ?д????. ??л? ??? ??д???? ??дм???????? I1 ?????л????? ?
????д?? ???????????, ? ??дм???????? I2 ? ????д??
???????? дл???ль?????? ?????ц??, ?? ? ????м?ль-
12
??? ???л?д?????ль????? ????л????? ??д???? ???ч?л? ?л?д??? ?????д?ч????? ??дм???????? ??д???? I1, ? ????м ? ?????д?ч????? ??дм???????? I2.
??л? ч??л? ????ч?? ????ц?? ??льш? д???, ??
????м?л????????? ????????м [2, 3] ? ?????????
? ?????? ч???? ????????? ?????? ??????? ??ш?ю??? ?????л? ??? ?? ??????дл???, ?д???? ??? м???? ???ь ????ль?????? дл? ?????????? ???л?ч???
???????? ??? ??????????????? ???л?ч??? ?лг????м?? ??л?ч???? ????л??????? ??ш????.
?? ?????? ??льш?г? ??ч??л???ль??г? ?????
????ш??г? ??ш???? м??г?? ????л?д??? ? ???????? ??д?ч (?м., ?????м??, ?????? [4?6]) м?г??
???ь ????м?л??????? ????????? ???????ч?????
????ц??? ?????????? ??????????? ???л?д?????ль?????? ????л????? ??д????, ? ??????? ? ?????ю ?ч???дь д?л??? ????л???ь?? ??д????, ? ???????:
? Ђ????? м????ї (?????ц?? ? м????м?ль???
???д?л????ль????ью) ?????л????? д?льш? ???? ??
?????? ????ц??;
? ?????? ?????ц?? ?м??? ??м?ю ???????ю ???д?л????ль????ь (???д??ч????? ?????? ?????ц??);
? ??мм????? ???м? ???? ?????ц??, ???люч??
?????ю, ?????л?? дл????? (???д??ч????? ?????ш???? дл????? ?????ц??).
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 13 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
????м?л????????? ???????ч????? ??л??????
л???? ? ?????? м??г?? ???????ч?????, ????????ч????? ? г?????ч????? ?лг????м?? ??ш???? д????г? ?л???? ??д?ч ? ??л????? ??льш?? ???м???????. ??????????? ???м?л? ??ч??л???? ??????
г????ц ????м?ль??г? ??ш????, ?????д????? ?
?????? ч???? ??????, ?????л?ю? ?????????? ???????л????ь ???ц??? ??ш???? ??? ??л?ч???? ???л?д?????ль????? ????л????? ??д???? ? ??мм????? дл???ль????ью, ?д??л??????ю??? ??????л????м ??????????м ??ч?????.
???г?ч??л????? ???????ч????? м???д? ? ?????л? ???д??ч????? [2, 4?16], г?????ч????? ?лг????м? (?м., ?????м??, ?????? [10, 17?19]) ?????л?ю? ??ч????ю ????? ??ш????, ?????дл??????
??л???? гл???ль??г? ?л? ??????????г? л???ль??г? м???м?м?. ?д???? ??????? ?? ???дл???????
???????? ?? г?????????? ????д???? ? ??л???ь гл???ль??г? м???м?м?. ? ????ль???? л???ль??г?
?л?чш???? ???л?д?????ль????? ????л????? ??д???? м???? ? ??д? ?л?ч??? ???????ь ????????????ь ? ????????ь дл??? ??????????г? ??????????. ???дл?г??м?? ? л????????? ?????л? л???ль??г? ?л?чш???? ???л?д?????ль????? ????л?????
??д???? ????м ??м??? м????м? д??? ??д????? [2, 7,
8, 10, 17] ????? л??? л???ль???, л??? ????????ч????? ???????? ? ????м? ?? м?г?? ???ь ???????????????? ??? м???д? л???ль??г? ?????? ? ??л???ь
гл???ль??г? м???м?м?. ? ???? ??ч?? ?????? ???д????л??? ??????? ???д???? г????д??? м???д??, ??????? ?? ?????? ????ш?? ???????? ?????л?ю? ??????ь ? ???? гл???ль??г? м???м?м?, гд? м???д?м?
л???ль??? ???????????? м????м? ??д???? ????????л????? ????? ? ??ч?? л???ль??г? м???м?м?
???? ??л????. ?????м?? ?? ???м???? ??л???м??ль??ю ?л??????ь ? ????????ль?? ????льш?? ????м ??ч??л???? ???д?г? ?? ???????ч????? ?лг????м??, ???д????л??? ??????? ? ????м ??м?л?????м
?лг????м? ????ль?????ь ????? ?????ль?? ?????л??
??????????? ?? ????ль????м ??ч??л???ль??? ???????м????? [9, 10, 17] ????????.
? ?????? ???дл????? ????????? г????д??? ?лг????м? ? ????л??????? м???д? ??ш???? ??д?ч
??льш?? ???м???????, ????ль??ю??? ???л?ч???
????????? ????? ????????? ? ?????л? ???д??ч?????, ? ????? л???ль??? ?л?чш???? ???????????
?? ?????? ???????? ???л?д?????ль??????. ??? ??????л? ??ч??л???ль??? ???????м????, ? ??д?
?л?ч??? ???дл?г??м?? м???д? ?????л?ю? ???????ь ????????????ь ??л?ч??м?? ????????м? ?лг????м?м? ????л??????? ??ш???? ??? ?????ч???ль??м ????м? ??ч??л????.
???дл??????? ? ???л?д??????? ? ?????? м?д?????ц?? м???д? л???ль??? ?????ц?? ??????????г?
д??????м?г? ??ш???? ? ??д? ?л?ч??? ?????л?ю?
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
?л?чш??ь ??????????ю д??????м?ю ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д???? ? м?г?? ????? ???м?????? ? ???л?ч??? ???????ч?????, ????????ч????? ?
г?????ч????? ?лг????м?? ??ш???? ??д?ч?.
? ?????? ч???? ?????? ??л? ???д??? ?????м?
??????ч????, ?????д??? ?????????? ? м???м???ч????? ???м?л?????? ??д?ч?, ? ????? ???м?ль???
????????? дл? ?ц???? ?????? г????ц? дл???
???????г??? ??????????. ? д?ль???ш?м ??л?????? ????ль??ю??? ???д????? ????? ??????ч????,
???????л????? ???????? ? ???м?л?.
??м???ц?? ???м?л ?????? ч???? ?????? ???д?л???? ??м???ц?ю ???м?л ?????? ч????.
1. Ћќ јЋ№Ќџ≈ ѕ–»ќ–»“≈“Ќџ≈ ѕ–ј¬»Ћј
ƒЋя ѕќ—Ћ≈ƒќ¬ј“≈Ћ№Ќќ—“≈… ¬џѕќЋЌ≈Ќ»я «јƒјЌ»…
??л?? ???л?д?ю??? л???ль??? ???????? ???л?д?????ль?????? ????л????? ??д????, ?????л?ю??? ??????????ь ??м?? м????м? д??? ??д?м ??????? ??д????, г????????? ????л????? ?????м? ?г????ч???? ? ??????ч???? ???ч???? ????????
????м?ль????? ?? ????, ч?м ? ????д??? ???л?д?????ль?????.
s
????м????м ????????? ч????ч??? ?л?? P , ?
??????м ????д?л??? ??д???л?д?????ль????ь ??s
s
s
s
s
s
??л????? ??д???? J? = { i , i , ..., i
, i , ..., i }
1
2
l?1
s
l
R
s
? ????ч????? ???ч???? ? (i, k) ? ? (i, k) ????
s
?????ц?? (l, k) ??д???л?д?????ль????? J? . ????м????м ????????ю д??г?ю ??д???л?д?????льs
s
????ь, ? ??????? ??д???? i l ? 1 ? i l ??м????? м??s
s
s
??м?. ??????ч?м ?????????????? ? (i, k| i l ? 1 , i l ),
s
s
s
s
s
s
s
s
s
? (i, k | i l ? 1 , i l ) ? ? (i, k| i l , i l ? 1 ), ? (i, k| i l , i l ? 1 )
???м??? ??ч?л? ? ????ч???? ????л????? ????
?????ц?? дл? ???? д??? ??д???л?д?????ль??????
s
s
s
s
s
s
J? ( i
, i ) ? J? ( i , i
).
l?1
l
l
l?1
s
s
??????????? 1. ???? ??? ???? ??????? i l ? 1 ? i l
s
????????? ????????????????????? J? ???????????
s
s
s
????????? ?s( i l , m) = ?s( i l ? 1 , m) + t( i l , m), ?? ????? ??????? ???? ??????? ? ?????????????????????
s
J? ?? ????? ???????? ? ?????????? ??????????
??????? ?????????? ???? ?????? (?????????? ????????), ? ?????? ? ?????? ????????? ???????? ??????????????? ??? ????????????????. ?
??????д???? 1 ?????л??? ??д?л??ь ? ???л?д?????ль????? ??ль?? ?? ???? ??д????, дл? ???????
s
s
s
s
s
? ( i l , m) > ? ( i l ? 1 , m) + t( i l , m),
(26)
13
pb0410.fm Page 14 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
? ??м?? м????м? ??????? ? д????? ????????????
м???? ??????ь?? ц?л??????????м.
?л?д?ю??? д?л?? ??????д???? ?????л?ю? ????????ь л???ль??ю ????????????ь ????? Ђ?????????????ї ????????????, ??ч????ю ?? ???????д? ???ч??? ???м?? ?????ш???? ????л????? ???? ??д????, ??????? ?? ???? ????? ? ???л?д?????ль?????.
??????????? 2 (??????? ??????????? ????????????). ???? ??????????? ??????? ??????????
?
s
s
( il ? 1 ,
k|l, l ? 1) m ?
s
s
( il ,
k|l ? 1, l),
k = 1, ..., m,
(27)
s
s
s
?? ??д???л?д?????ль????ь J? ( i l , i l ? 1 ) ?м??? ????лю???? ???д??ч????? ????д ??д???л?д?????ль???s
s
s
s
?ью J? ( i , i
). ??л? ??д???л?д?????ль????ь J?
l
l?1
??д????? д??????м?? ?????????? ????л????? ??д????, ?? ???????????? ? ??? м????м? д??? ??д?м
s
il ? 1
s
il
??????? ??д????
?
?? ?????д?? ? ???люч???ю д??????м?? ?л? ??л?? ????????????? ? ????м?ль??? ??????????. ?
??л? дл? ????м???????м?? ??д???л?д?????ль?????? ??????дл??? ???????????
s
s
s
s
? ( i l ? 1 , m|l, l ? 1) > ? ( i l , m|l ? 1, l),
(28)
?? ???????????? м????м? ???? д??? ??д????? м???? ???????? ? ???л?ч???ю дл??? ?????????? ?л?
????ш???ю ?????м? ?г????ч????.
??????? ?????????????? ????????????. ??????ч?м K ? м???????? ???? ????ч?? ????ц??, ? K1 ?
????????? ?г? ??дм????????. ??л? дл? ??д???л?s
s
s
s
s
s
д?????ль?????? J? ( i
, i ) ? J? ( i , i
) ??????дl?1
l
l
l?1
л??? ?????м? ??????????
s
s
? ( i l ? 1 , m|l, l ? 1) m ? ( i l , m|l ? 1, l),
s
s
?s( i l ? 1 , k|l, l ? 1) m ?s( i l , k|l ? 1, l),
k ? K 1;
s
s
(29)
s
s
? ( i l ? 1 , k|l, l ? 1) > ? ( i l , k|l ? 1, l),
k ? K/K1, k ? m;
s
s
? ( i l ? 1 , k|l, l ? 1) +
(30)
? s t(i, k) m Hk,
i ? I2
k = 1, ..., m,
(31)
s
s
s
?? ??д???л?д?????ль????ь J? ( i l , i l ? 1 ) ?м??? ????????ль??? ???д??ч????? ????д ??д???л?д?????льs
s
s
s
s
s
????ью J? ( i , i
) J? ( i
, i ).
l
l?1
l?1
l
? ?л?ч?? ????????ль??г? ???д??ч????? ???????????? д??? ??д?м ??????? ??д????? м????
14
l
??????????? 3. ???? ??? ?????????? ??????? j,
s
????????? ? ????????????????????? J? ????? ????s
??? i l , ??????????? ??????? ??????????? ???????????? ? ????
?s( j, k|l, l ? 1) m ?s( j, k|l ? 1, l),
k = 1, ..., m,
s
(32)
s
?? ????? ??????? ???????? i l ? 1 ? i l ?? ???????? ?
????????? ??????? ??????????? ?? ??????? ??????
??????? ?????? ??? ? ?????????? ????? ??????????.
???? ??? ??????-???? ??????? j, ???????? ? ???s
s
?????????????????? J? ????? ??????? i , ???????
l
(31) ?? ??????????? ??? ????????? ???????? ???????
s
s
(??? k = m), ?? ????? ??????? ???????? i l ? 1 ? i l ???????????????. ?
??? ??? ?????ч?? ?????? ?????ш???? ????л????? ???? ?????ц?? ??д????, ??????? ? ??д???л?s
s
д?????ль????? J? ???л? ??д???? i , ?????? ? ????l
д?л????м ????м?м ??ч??л????, дл? ??????ч?????
???л?????? ????м??д????? ???л????????ь ?? ??s
л?? 2?3 ?л?д?ю??? ?? ??д????м i l ??д????.
2. јЋ√ќ–»“ћ Ћќ јЋ№Ќќ… ¬ј–»ј÷»»
ѕќ—Ћ≈ƒќ¬ј“≈Ћ№Ќќ—“» ¬џѕќЋЌ≈Ќ»я «јƒјЌ»…
(LV-јЋ√ќ–»“ћ)
s
s
???????? ? ????ш???ю ?г????ч???? ?? ?????ш???? ????л????? ??д?ль??? ??д???? ? ?? ???м???
?????? м?ш??, ? ????? ? ???л?ч???ю дл??? ?????????? ????л????? ???г? ??м?л???? ?????. ?????м? дл? ????ч???ль??? ????д?? ? ц?л????????????? ???????????? м????м? ???? д??? ??д?????
??????д?м? ????ч????ь ????? ?????ш???? ? ?л?д?ю??? ??д????, ?????ш?? ? ????д??? ??д???л?д?s
s
????ль????? J? ???л? ??д???? i .
????ь ????????? ????????? д??????м?? ???л?д?????ль????ь ????л????? ???г? м???????? ??д???? L? = {i1, i2, ..., in}. ????м????м, ??? ?? ??????
л???ль??? ???????????? м????м? д??? ??д?м ??????? ? ???л?д?????ль????? ??д????? ????????ь
дл??? ?????????? ????л????? ???г? ??м?л???? ?????. ????д?л?м ?л?д?ю??? ????м???? ?лг????м?:
? ????м??? ? ????д?л??? ч??л? ??????? ? ???л?д?????ль????? ???л? ????м???????м?? ???? ??д????, ??????? ???л?????ю??? ? ???????????? ?
?????л?м? ????лю???г? ? ????????ль??г? ???д??ч?????;
? ????м??? ? ????д?л??? ??????г?ю л???ль??г?
??????: ??? ? = 0 ??м?? м????м ?????л?????? ?
???л?д?????ль????? ???? ??д????? ???????д????
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 15 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
д? ??? ???, ???? ?? ?????ц??ль?? м???? ????????
? ?????????ю дл??? ??????????; ??? ? = 1 ???????????? м????м? д??? ??д?м ??????? ? ???л?д?????ль????? ??д???? ???????д?? д? ??? ???, ????
???ц??? ??м??? ?? д????г??? д??? ??????? ???л?д??м? ? ???л?д?????ль????? L? ??д????? (?д????????? ????м??? ???л?д?????ль????? L? );
? ?ч??ч??? N1, N2 ? N3, ????д?л?ю??? ц?л????????????ь ???д?л????? ??д?ль??? ш?г?? ?лг????м?.
LV-?лг????м ??????? ?? ?л?д?ю??? ш?г??.
??? 0 (???????????????). ???????л???????
N1 = N2 = 0, N3 = n ? 1, ??????д ? ш?г? 1.
??? 1. ??л? N1 = N3 ? N2 = 0, ?? ??????д ?
ш?г? 4. ??л? N1 = N3 ? N2 > 0, ?? ??? ? = 0 ??л?г????? N1 = 0, N2 = 0 ? ??????д ? ш?г? 2, ? ???
? = 1 ? ?лг????м ?????ч????? ??????. ??л? N1 <
< N3, ?? ??????д ? ш?г? 2.
s
s
??? 2. ??л? дл? ???? ??д????? i l ? 1 = N1 ? i l =
= N1 + 1 ????л??ю??? ??л???? (26), ?? ???????ю??? дл? ??? ??л???? ????лю???г? ???д??ч?????
(32). ? ?л?ч?? ?? ????л????? ???????д???? ??м??
м????м? ???? ??д???? ? ???л?д?????ль?????, ?
?ч??ч??? N1 ? N2 д????л????? 1 ? ??????д ? ш?г?
4. ??л? ??л???? (26) ?? ????л??ю???, л??? ???
????л????? ??л???? (26) ??????дл??? ??????????? (28), N1 ???л?ч??????? ?? ?д???ц? ? ??????д ?
ш?г? 1. ??? ????л????? ??л???? (26) ???м????? ?
?????л?м?
????????ль??г?
???д??ч?????
(29)?(31) N1 ???л?ч??????? ?? ?д???ц? ? ??????д
? ш?г? 3.
??? 3. ????д?л??м ч??л? ???л??????м?? ??д????, ?????ш?? ? ???л?д?????ль????? ???л? ??д?s
??? i l , ????? ?????ш???? ??????? д?л??? ???ь
????ч????? дл? ????д?л???? л???ль??? ???????????? ???? д??? ??д?????: ?1 = min(?, R ? N1 ? 1).
s
?л? ??д???? j = i p , p = l
s
s s
д?????ль????? J ( i l , i l ?
3. √»Ѕ–»ƒЌџ≈ ѕ–»ЅЋ»∆≈ЌЌџ≈ » Ё¬–»—“»„≈— »≈
ћ≈“ќƒџ –≈Ў≈Ќ»я FLOW-SHOP PROBLEM
???дл??????? ????????м [3] ??????? ?????л? ???д??ч????? дл? ??л?ч???? ??ч??г? ??ш????
? ?л?ч?? д??? м?ш?? ??шл? ш?????? ???м??????
??? ?????????? ???л?ч??? ???????ч????? ????л??????? ?лг????м?? ??ш???? ??д?ч? ? ?л?ч??,
??гд? ч??л? м?ш?? m > 2. ??л?? ?? ?????? ???дл??????? ????? ??д?ль??? ???????? ?????????????? ????????? ??м?л?????? ?лг????м г????????????, л???ль??г? ?л?чш???? ? ?ц???? ???????
????л?????? ??????????? ?? ?????? ???л?ч???
???????? ?????????? ? ???л?д?ю??м ??????м ???л?чш?г? ?? ???. ??????????? ?????????? м????
???ь ? д?ль???ш?м ?л?чш??? ????????м ? І 2 ?лг????м?м л???ль??? ?????ц??.
? ???????????м?м ?лг????м? ????ль??ю???
?л?д?ю??? ????????? ? ?????л? ???д??ч?????.
????????? [6], ??гл???? ??????? ??? м?ш???
???д?л?ю??? ?? д?? г?????. ?л? ???д?г? ??д???? ??мм???ю??? ???м??? ????????? ?? м?ш???? ???д?? г?????
r
m
k=1
k = r+1
T1(i, r) =
? t(i, k), T2(i, r) = ?
i = 1, ..., n,
2
m
? (m ? k + 1)t(i, k),
T1(i) =
k=1
T2(i) =
s
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
(34)
? д?ль???ш?м ?д????????м ???м??????м ?лг????м? ????????.
?????????? ???????????? ?????л ? ??????????м ???д?м? ??д???ю ????????г? ???г? ? ???????????? ? ?лг????м?м [20] (engl-slope index),
??ч??л??м?г? ?? ???м?л?
V(i) =
m
? (2k ? m ? 1)t(i, k) =
k=1
s
l + R, ????? ??д???л?д?????ль????? J s( i l , i l ? 1 )
?????ч?????ю??? ???м??? ?????ш???? ?????ц??
?? ???д?? м?ш???. ??????д ? ш?г? 1.
m
? kt(i, k)
k=1
s
s
(33)
O(nm + mnlogn) [6].
???дл??????? ? ?????? [7] ????????? ? ??д?
1) ??ч??л?ю??? ????? ??-
??? 4. ?л? ???? ??д???? j = i p , p = l + 1, ...,
r = 0, ..., m,
? ??д?ч? ? д?ль???ш?м ??ш????? ??????????м
?????????? ? ??м??ью ?лг????м? ???????? [3]
дл? ?л?ч?? д??? м?ш??. ?? ????ль????м ??ш????
????? (m ? 1) ????л?м ?????????? ???л?чш??
??ш????. ?л??????ь ????г? ?лг????м? ?????
+ 1, ..., l + ?1, ??д???л?-
???ш???? ???? ?????ц?? ? ( j, k|l, l ? 1), k = 1, ..., m,
? ??????????? ????л????? ??л???? (27) ? (28).
??л? дл? ????г?-л??? j ????л??ю??? ???????????
(27), ?? ???ч???? ?ч??ч??? N2 ???л?ч??????? ?? 1
? ??????д ? ш?г? 1. ??л? ??л???? (28) ????л??ю???, л??? ?? дл? ?д??г? ?? ???? ?1 ??д???? ?? ?д??
?? ?????м ?????????? (27) ?л? (28) ?? ????л??????, ?? ??????д ? ш?г? 1.
t(i, k),
m
=2
?
k=1
kt(i, k) ? (m ? 1)
m
? t(i, k),
(35)
k=1
15
pb0410.fm Page 16 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
????м ??д???? ?????л?г?ю??? ? ???л?д?????ль????? ? ???????????? ? м???????? ?????ю??м
???г?м.
??м???м, ч?? ????д? ? ???м????м?м? м????
?????ль?????ь?? ? д??г?м? ?????л?м? ???????????? ??д????, ???дл??????? ? ??????? [4, 5] ? д?.
?лг????м [11] ?? ?л??????ью O(mn3) ???????? ??
????????? (33) ??? r = 0, ??гд? ??? ??д???? ?????д?ч???ю??? ? ???????????? ? ????????м ???ч???? T2(i, 0).
??л?ч???ль??? ??????????? ???дл?г??м?г? ?лг????м?:
? ???м??????ь ???л??? ????????????? ??л?ч????г? ??ш???? ?? ?????? ??ч??л????? ?? ???м?л? (1) ?л? (12) ?ц???? (?м. ?????ю ч???ь [1] ??????);
? ???ц?д??? л???ль??г? ?л?чш???? ???д?г?
??????????г? ?? ?????? ???л?ч??? ???????? ?????????? ? ??м??ью LV-?лг????м?.
???????????? ????м??????? ????????г? ? І 2
LV-?лг????м? ????????ль?? ????????? ? л????????? (?м., ?????м??, [2, 7, 8, 10, 17]) м???д?? л???ль??? ?????ц?? ??????????? ???л?д?????ль??????
(????????????) ???люч?ю??? ?:
? ц?л???????л??????? ?????? ??д?м ???????
???? ??д????? дл? ??м???;
? ????ль??????? ??ш?ю??? ?????л дл? ?ц???? ???м??????? л???ль??г? ?л?чш???? ??????????, ч?? ??????? ??????????? м??ьш?г? ????м?
??ч??л????;
? д????????? л???ль??г? м???м?м? дл? ????м???????м?? ???л?д?????ль?????.
?л??? ???д?г? ????ь ??????????г? ? л???ль??
?л?чш????г? ?????????? ???????????? ? ?ц?????
?????? г????ц? ????м?ль??г? ??ш????, ??ч??л????? ? ???????????? ? ?????????м (1), ? л?чш?м
??ш????м, ??л?ч????м ?? ????ль????м ?????д????? ??ч??л????. ??? д????????? ??????м?? ??ч????? ??л?ч????г? ????ль???? ???ц??? ??ш????
?????ш?????.
????м???????м?? ??д?ч? м??г???????м?ль???.
?????-?? ?? ????ль???м?? ? ??????????? ?? ???л?ч??? ??????????? ???????? д?л??? ??????ч??ь
????д???? ? ????????ю ??л???ь л???ль??г? ?л?
гл???ль??г? м???м?м? ?? ???ч????м ???????? ????м?ль?????, ?л????м ? дл??? ????м?ль??г? ??????????. ??ль???ш?? ????? ? ??ч?? л???ль??г?
м???м?м? ???? ??л???? м???д?м л???ль??? ?????ц?? ? ??д? ?л?ч??? д?л??? ???????ь ????????????ь ??л?ч????г? ???????ч????м? ?лг????м?м?
??ш????.
3.1. јлгоритм ¬
?лг????м ????л??????г? ??ш???? ??д?ч? ??????? ?? ?л?д?ю??? ш?г??.
16
??? 0 (???????????????). ??л?г????? E = ?,
r = 0. ???????л??????? ??????м?? ??ч????ь ??ш???? ??д?ч? ? l 1 (? ч????????, ??л? ? = 1, ????????
?????????? ??л?ч???? ??ч??г? ??ш????). ???д???? ????????? ????м??? ?лг????м? Z, ????д?л?ю??? л?г?ч????ю ???л?д?????ль????ь ????л?????
ш?г??. ??л?г????? Z = 0. ????ч????????? ??????
г????ц? дл??? ????м?ль??г? ?????????? ?? ???м?л? (1), ?? ???ч???ю ??????? ????д?л????? Fmin,
??????д ? ш?г? 1.
??? 1. ????ч?????ю??? м?д???ц?????????
???м??? ????л????? ???д?г? ?? ??д???? T1(i) ?
T2(i), i = 1, ..., n, ? ???????????? ? ???м?л?? (34).
??????д ? ш?г? 2.
??? 2. ???????? ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д???? ?? ?????? ?лг????м? ????????. ??л?г????? F ? дл??? ??????????г? ??????????. ??????д ? ш?г? 3.
??? 3. ??л? F < E, ?? ??л?г????? E = F ? ????м??????? ??????????? ???л?д?????ль????ь ??? ???л?чш?? ?? ??л?ч????? ? д????м? м?м???? ??ш????. ??л? E m ?Emin, ?? ??л?ч??? ??ш???? ??д?ч?,
? ?лг????м ?????ш??? ??????. ? ????????м ?л?ч??,
??л? Z = 0, ??????д ? ш?г? 4, ??л???? Z = 1. ??л?
Z ? 0, ??????д ? ш?г? (Z + 4).
??? 4. ????л?????? LV-?лг????м л???ль???
?????ц?? ???л?д?????ль????? ????л????? ??д????. ??????д ? ш?г? 3.
??? 5. ???ч?? ???г?? ????л????? ??д???? ? ???????????? ? ???м?л?? (35), ???????? ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д???? ? ???????????? ?
м???????? ?????ю??м ???г?м. ??л?г????? F ?
дл??? ??????????г? ??????????. ??????д ? ш?г? 3,
??л???? Z = 2.
??? 6. ??л? r m m, ????ч?????ю??? м?д???ц????????? ???м??? ????л????? ???д?г? ?? ??д???? T1(i) ? T2(i), i = 1, ..., n, ? ???????????? ? ???м?л?? (33). ??????д ? ш?г? 2, ??л???? r = r + 1. ??л? r > m, ?? ?лг????м ?????ч????? ??????.
????м?????? ? ??м??? ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д???? ? дл???? ?????????? ?????? E ??л????? ??ш????м ??д?ч?. ?
??????????? ???г??мм??? ??????ч????, ?????л?ю??? ??ш??ь ??????ч????? ??д?ч? ???м??????ью д? ?????ль??? д??????? ? д??? ????? ??д????
? ????д??ь ????ль???? ??ш???? ??? ? ???м? ???л?ц, ??? ? ? г????ч????? ???м? ? ? ??д? д??г??мм
?????.
???г?ч??л????? ??ч??л???ль??? ???????м???? ??????л? ????????????ь ???дл?г??м?? ?лг????м??. ??ш???? ? дл???? ??????????, ?? ?????ш?ю??? 1?3 % ??ч??л????? ?? ???м?л?м (1)
?????? г????ц?, ??л? ??л?ч??? ?? ??л???м??ль??? ???м?. ???м? ??г?, ? ???ц???? ??ш???? ч????
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 17 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??л????? ??д???? ???д????л??? ? ???л?ц?? 2 ? 3 ???л. 2.
???л?д?????ль????ь ????л????? ??д????, ????ч??????? дл? ???? ???м?? ?лг????м?м ???????? [3] ? дл???? ?????????? 304, ???д????л??? ? ???л?ц?? 4?8. ??л?? ?? ш?г? 3 ? ??м??ью LV-?лг????м? ??л? ????????л??? л???ль??? ?????ц?? ??????????? ???л?д?????ль?????. ??л??????????м ??л л?шь ??м?? м????м? ??д???? 3 ? 7, 7 ? 2, ? ????? 4 ? 2 (?м. ??л???? (2)). ???
??????л? ?????л? ????лю???г? ? л???ль??г? ?????????? (3) ? (27), (4) ? (28), ?????? д?? ??м??? ?? ?????д??
? ??л?? ??????????м? ????ль????. ??м?? м????м? ??д???? 4 ? 2 ?????л ? ?????????ю, дл??? ??????г? ????? ?????? г????ц?. ?л?д?????ль??, ??? ?????????? ????м?ль??, ? ??????д?м???ь ? ????л????? д?ль???ш??
ш?г?? ????д???.
???дл??????? ? ?????? ?лг????м л???ль??? ?????ц?? ??? ???л? ????л????? ?г? ?????г? ш?г? ?????л?л
??????????? (?? 15 ???м????? ???????л??) ???????ь
????????????ь ??????????г? ?? ?????? ???????ч????? ?????л ??????????.
??м???м, ч?? ??????????? ? ???????????? ? ?????л?м? ???д??ч????? (10) [20] ???л?д?????ль????ь ????л????? ??д???? ? = {10, 1, 9, 6, 8, 7, 3, 2, 4, 5} ?
дл???? ?????????? F = 315, ???????, ??д?ч? ?л?чш??? ?лг????м?м? л???ль??? ?????ц??, ?м??? ??д
? = {10, 1, 9, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5} ??? F = 300, ?????д??
? ?????ш???? д??г?ю ??л???ь л???ль??г? м???м?м?.
? д??г?? ??л???? л???ль??г? м???м?м? ?????д?? ?????????? м?д???ц????????? ???м?? ? ???????????? ?
?????????м? [6, 11] ? д?. (?м. ???м?л? (9)) ? ???л?д?ю??м? ш?г?м? 6 ????????? ?. ?????м??, ? = {6, 2, 7,
1, 10, 8, 9, 3, 4, 5}? F = 313 ??? k = 1; ? = {10, 1, 9, 4,
3, 8, 6, 7, 5, 2} ? F = 320 ??? k = 3; ? = {8, 6, 10, 1, 9,
7, 3, 5, 4, 2} ? F = 309 ??? k = 2. ???л?д??? ?????????? LV-?????????? ????????????????? ? д??г?? ????м?ль??? ??ш????: ? = {8, 6, 10, 1, 9, 3, 7, 5, 4, 2} ?
F = 289.
??????? 1
»сходные данные примера
i
k=1
k=2
k=3
k=4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
12
25
35
40
10
15
18
20
15
18
27
30
5
10
20
35
12
25
18
25
30
40
14
5
30
40
30
30
10
30
5
18
20
5
10
10
15
25
45
?д????? ????????ь ?????ль?? ??????????, ?д??л??????ю??? ??????????м ??ч?????, дл??? ???????
??л?ч????? ?????????????. ??л? ???л?д?????ль????? ????л????? ??д???? ? ????? ???????????
?????ш???? ???л?ч??, ?? ?????л?? ????мл?м?? ??
??? м???? ???????ь?? ?? д??г?? ???????д???????? ??????????? ?л? ??гл???? д??г?м? ???????ю
????м?ль?????.
4. »ЋЋё—“–ј“»¬Ќџ… ѕ–»ћ≈–
???м??? ????л????? ???д?? ?? ч?????? ?????ц??
дл? 10 ??д???? ???д????л??? ? ???л. 1. ?????? г????ц? дл??? ??????????, ??ч??л????? ?? ???м?л? (1) ????д?л????? м?ш???? 4 ? ????? 289. ??ш???? ???м???,
??л?ч????? ? ??м??ью ????????? ?, ???д??? ? ???л. 2.
????ч??????? ?? ш?г? 1 ????????? ? ? ???????????? ? ?????????? [7] м?д???ц????????? ???м??? ??-
??????? 2
Ёффективное и оптимальное решени¤ примера
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T1(i)
194
194
288
203
205
170
255
183
240
179
T2(i)
246
176
277
167
95
180
245
192
260
261
???л?д?????ль????ь
6
10
8
1
9
3
7
2
4
5
???м??? ?????ш????
?????ц?? ? ??д????
k=1
k=2
k=3
k=4
10
25
43
58
78
103
118
130
165
205
30
48
60
78
103
133
168
195
200
215
60
70
100
125
155
195
235
265
279
284
70
115
130
160
185
213
245
270
299
304
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
????м?ль??? ???л?д?????ль????ь
6
10
8
1
9
3
7
4
2
5
???м??? ?????ш????
?????ц?? ? ??д????
k=1
k=2
k=3
k=4
10
25
43
58
78
103
118
153
165
205
30
48
60
78
103
133
168
173
200
215
60
70
100
125
155
195
235
249
279
284
70
115
130
160
185
213
245
269
284
289
17
pb0410.fm Page 18 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
?? д??? ???л?ч??? ????м?ль??? ??ш???? ?1 = {6, 10,
?????д????? ???л?ц? ??????????, ч?? ????????????ь ???д?? ?? ????????? ? л????????? ???????? дл? ???л?ч??? ??д?ч ???л?ч??, ? ??м??ью
???д?? ?? ??? м?г?? ???ь ??л?ч??? ??л?ч?ю????? д??г ?? д??г? ??ш????, ?????дл?????? ???л?ч??м ??л????м ?????????? л???ль??г? м???м?м?. ????д л???ль??? ?????ц?? ?????л??? ??ч????ю
?? 2?6 % ???????ь ????????????ь ??л?ч????г?
???????ч????м? ?лг????м?м? ??ш????. ???ч?м ?
????????? ?л?ч??? ??л?ч????? д??? ???????????
м???? ???????????, ч?м ?? ?????? д??г?? ????????, ??ш???? ???дл??????м? ? ?????? м???д?м?
л???ль??? ?????ц?? м???? ???ь ????????????? ?
??м?? ??????????? ??????????. ?ч??????, ч??
???ч???? ???????? ????м?ль????? ? ??ч??м ??ш???? ??д?ч?, ??? ?????л?, ?? 2?4 % ????????д??
???ч???? ?????? г????ц?, ??ч??л????? ?? ??ч?ль??м ????? ??ш????, ??л?ч????? ????ль????
??ч??л???ль??? ???????м????? ???д???ль????ю?
?? ????????????? ???дл?г??м?? ????л???????
м???д??.
8, 1, 9, 3, 7, 4, 2, 5} ? ?2 = {8, 6, 10, 1, 9, 3, 7, 5, 4, 2},
???л?ч?ю????? ???л?д?????ль?????м? ????л????? ??д????, м???? ???ь ??????? лю??? ?? ???, ??????ч???ю??? л?чш?? ???ч???? ????г?-?? д??г?г? ???????? ?????????????.
?????д????? ч??л???? ???м?? ??гл?д?? ?ллю???????? ц?л????????????ь ????ль??????? ? ?д??м ?лг????м? ?????ль??? ???л?ч??? ???????? ? ???л?д?ю??м л???ль??м ?л?чш????м ???д?г? ?? ??л?ч?????
??ш????.
5. –≈«”Ћ№“ј“џ ¬џ„»—Ћ»“≈Ћ№Ќџ’
Ё ѕ≈–»ћ≈Ќ“ќ¬
??????м ??л ?????д?? ??ч??л???ль??? ???????м??? ?? ??ш???ю ???????? ??д?ч ??льш??
???м???????. ???м??????ь ??д?ч ? ч??л? ??д???? m
? ч??л? м?ш?? n ? ??????л??ь ?л?ч????м ??????м. ?? ???? ????м???????? ???м???? ?г????ч???? ?? ????? ?????ш???? ????л????? ??д???? ?
???м??? ?????? м?ш?? ?? ?ч?????л??ь. ???м???
????л????? ???л?ч??? ?????ц?? ? ???д?м ?? ??д???? ??????л??ь ?л?ч????м ??????м ? д???????? tik ? [5, 25]. ???д?? ?? ???м???? ??л ??ш?? ?
???м??????м ???л?ч??? ????????, ???л? ч?г? ??л?ч????? ?????????? ?????????????л??ь ????????м? ?лг????м?м? л???ль??? ?????ц?? (????? ?
???????????ю??ю ??л???ь л???ль??г? м???м?м?).
????ль???? ??ш???? ????????? ??????????? ???м???? ???д??? ? ???л. 3. ?????м ш?????м ??д?л??? ??л?ч????? ?????л?? ??????????? ????л??????? ??ш????, ? ???????м ? ???л?чш?? ?? ??ш????, ??л?ч????? ???л?ч??м? ???????ч????м
?лг????м?м?.
«ј Ћё„≈Ќ»≈
??????????? м?д???ц????????? ?лг????м?
л???ль??? ?????ц?? ??????????? ???л?д?????ль?????? ????л????? ??д????, г????????ю??? ?????????? ???? ??????????, ??д??????? д??????м?? ? ????м?ль??? ??ш????, ? ????????л?ю???
????? ? ??ч?? л???ль??г? м???м?м?. ???дл??????? ?лг????м? ?????ю? ??????????? м??ьш?г?
????м? ??ч??л???? ?? ????????ю ? ???м????м?м? ?? ???????? ?лг????м?м? л???ль??г? ?л?чш???? ??????????? ??????????.
?л? ???д?ц?????? flow-shop problem (??? ?????????? ?г????ч???? ?? ????? ????л????? ??д?-
??????? 3
–езультаты вычислительных экспериментов: эффективность применени¤ различных эвристик и метода локальных вариаций
?
?/?
1
2
3
4
5
6
7
8
18
???м??????ь
??д?ч?
m
n
25
50
70
85
100
110
120
135
6
7
8
5
7
10
6
5
???л?????? (? ???ц?????) ??л?ч????г? ???л?ч??м? ?лг????м?м? ??ш???? ?? ?????? г????ц?
дл??? ????м?ль??г? ?????????? (д? ? ???л? ???м?????? ?лг????м?? л???ль??? ?????ц??)
[6]
[7]
[20]
[11]
д?
???л?
д?
???л?
д?
???л?
д?
???л?
7,3
6,43
8,56
7,81
9,38
11,19
9,87
10,33
1,88
4,37
3,38
6,43
6,98
7,05
7,28
9,15
8,1
7,12
8,44
8,71
9,67
12,32
11,43
11,01
3,57
4,18
5,66
5,21
6,33
6,89
8,14
8,42
6,4
7,81
10,13
9,05
11,24
9,68
10,77
10,81
2,42
5,23
4,76
5,07
8,43
7,59
7,13
6,98
9,35
5,16
9,64
10,12
10,83
11,82
9,89
11,14
3,26
3,92
6,28
7,32
7,52
8,17
7,93
7,76
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 19 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??? ? ???м??? ?????? м?ш??) ??????????? ??м?л?????? ?лг????м? ??ш????, ????ль??ю??? ?????????? ?? ???л?ч??? г???????? ? ????????? ?
л????????? ????????? ? ?????л? ???д??ч????? ?
?????л?ю??? ??????????ь ????д???? ? ???л?ч???
??л???? ?????????? л???ль??? м???м?м??. ????????????ь ?????? ?лг????м?? ????ш????? ?л?г?д??? ???дл??????м ? ?????? м???д?м л???ль???
?????ц?? ? ????????? дл??? ??????????? ??????????.
??????????? ???г??мм??? ??????ч????, ?????л?ю??? ??ш??ь ??????ч????? ??д?ч? ???м??????ью д? ?????ль??? ????? ??д???? ? ????д??ь ????ль???? ??ш???? ??? ? ???м? ???л?ц, ??? ? ? г????ч????? ???м? ? ? ??д? д??г??мм ?????.
Ћ»“≈–ј“”–ј
1. ??? ?.?. ??ш???? ?????????? ??д?ч? ???????? ? ?г????ч????м? ?? ????? ????л????? ??д???? ? ???м??? ?????? м?ш??. ?. 1. ??ч??? м???д? ??ш???? // ????л?м? ?????л????. ? 2010. ? ? 3. ? ?. 17?25.
2. Johnson S.M. Optimal two- and tree-stage production schedules
with setup times included // Research Logistics Quarterly. ?
1954 ? Vol. 1. ? P. 61?68.
3. Domschke W., Scholl A., Vo? S. Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. ? Berlin: Springer Verlag, 1997. ?
456 p.
4. Hundal T.S., Rajgopal J. An extension of Palmer?s heuristic for
the flow-shop scheduling problem // International Journal of
Production Research. ? 1988. ? Vol. 26. ? P. 1119?1124.
5. Gupta J.N.D. A functional heuristic algorithm for the flow-shop
scheduling problem // Operational Research Quarterly. ?
1971. ? Vol. 2. ? P. 39?47.
6. Cambell H.G., Dudek R.A., Smith M.L. A heuristic algorithm
for the n job, m machine sequencing problem // Management
Science. ? 1970. ? Vol. 16. ? P. 630?637.
7. Dannenbring D.G. A evaluation of flow shop sequencing heuristics // Management Science. ? 1977. ? Vol. 23. ? P. 1174?
1182.
8. Ho J.C., Chang Y.-L. A new heuristic for the n-job, M-machine
problem // European Journal of Operational Research. ?
1991. ? Vol. 52. ? P. 194?202.
9. Ishibuchi H., Misaki S., Tanaka H.: Modived simulated annealing algorithms for the flow shop sequencing problem // European Journal of Operational Research. ? 1995. ? Vol. 81. ?
P. 388?398.
10. Ogbu F.A., Smith D.K. Simulated annealing for the permutation
flow shop problem // OMEGA. ? 1991. ? P. 64?67.
11. Nawaz M., Enscore E.E., Ham I. A heuristic algorithm for the
m-mashine, n-job flow-shop sequencing problem // OMEGA. ?
1983. ? Vol. 11. ? P. 91?95.
12. Brucker P. Scheduling algorithms. ? Berlin: Springer Verlag,
1995.
13. Blazewicz J., Domschke W., Pesch E. The job shop scheduling
problem: Conventional and new solution techniques // European Journal of Operational Research. ? 1996. ? Vol. 93. ?
P. 1?33.
14. Lageweg B.J., Lenstra J.K., Rinnooy Kann A.H.G. A general
bounding scheme for the permutation flow-shop problem //
Operations Research. ? 1978. ? Vol. 26. ? P. 53?67.
15. ?????? ?.?., ??????? ?.?., ?????????? ?.?. ?????? ??????????. ????????? ?????л?г??. ? ?????: ??-? ????. ??????????? ??? ??л?????, 1998. ? 289 ?.
16. ?????? ?.?., ??????? ?.?., ????????? ?.?. ?????? ??????????. ???г????д????? ?????м?. ? ?., URSS, 1989. ?
328 ?.
17. Ogbu F.A., Smith D.K. The application of the simulated annealing algorithm to the solution of the n/m/Cmax flow shop problem // Computer & Operations Research. ? 1990. ? Vol. 17. ?
P. 243?253.
18. Cleveland G.A., Smith S.F. Using genetic algorithms to schedule flow shop releases // Proc. of the third international conference on genetic algorithms, Morgan Kaufmann, San Mateo,
1989. ? P. 160?169.
19. Reeves C.R. A genetic algorithm for flow shop sequenching //
Computer & Operations Research. ? 1995. ? Vol. 22. ?
P. 5?13.
20. Palmer D.S. Sequencing job trough a multi-stage process in the
minimum total time ? a quick method of obtaining a near optimum // Operations Research Quarterly. ? 1965. ? Vol. 16. ?
P. 101?107.
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
?.?. ????????.
??? ???? ????????????? ? д-? ????. ????, ?????????,
???л?д??? м???? ?????? ? ??????????? ц???? ?? м??????????
(European Centre for Mechatronics) г. ?????, ???м????,
+49 (0) 241/543255, yuriy_zack@hotmail.com.
????? ?????
????? ?.?. ?????????? ?????? ? ?????? ??????????: ??????????. ? ?????: ???-?? ?????????? ???. ??????. ????????, 2010. ? 110 ?.
??????????? ?????????????? ?????? ?????????? ??????? ?????? ??????????, ????????? ??? ???????? ??????????? ? ??????????? ??????? ??????????????? ???????? ?????????? ????? ??????. ??? ???????????? ????? ????????-?????????? ??????, ??????????? ???????????? ???????? ? ???????? ? ???? ??????? ?? ???????????? ?????????
? ????????? ???? ??????. ?????????? ?????????????? ??????? ??????????? ??????, ??????????? ????????? ?????????
????????? ????????-?????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????? ??????????. ????????? ????? ?????
?????????? ???????????? ?????????????, ?????? ? ?????? ?????????? ????????? ??????. ????????????? ???????
???????????? ????? ????????? ??????? ?????? ?? ??????????? ??????.
????? ????? ???????? ?? e-mail: f_os@pgta.ru
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
19
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа