close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой.

код для вставкиСкачать
Математика
УДК 519.4
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ВХОЖДЕНИЯ В ПАРАБОЛИЧЕСКУЮ
ПОДГРУППУ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
О. Ю. Платонова, В. Н. Безверхний
Доказывается, что в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу.
Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.
Пусть G – конечно порожденная группа Артина с копредставлением
G  a1 , a2 ,..., an ; ai a j
mij
 a j ai
m ji
, где ai a j
mij
 ai a j ai ... - слово длины
mij , состоящее из mij чередующихся букв a i и a j , i  j , mij - число, соответ-
ствующее симметрической матрице Кокстера, mij  2 при i  j .
Каждой конечно порожденной группе Артина G Г соответствует
конечный граф Г * , между вершинами которого и образующими группы
можно установить соответствие такое, что если a i и a j являются вершина*
mij
m ji
ми ребра е, то ребру соответствует соотношение вида ai a j  a j ai
группы G Г .
В графе Г * можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г  Г * .
Будем говорить, что группа Артина G Г имеет древесную структуру,
если между вершинами конечного дерева - графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если a i и a j являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение виm
m
да ai a j  a j ai .То есть максимальное дерево-граф Г соответствует
группе, имеющей древесную структуру.
Тогда группа G Г отображается с помощью гомоморфизма  на

GГ .
группу G Г , т. е. G Г 
Пусть ai и a j вершины некоторого ребра е дерева – графа Г. Группа, порожденная образующими a i и a j , имеет копредставление
*
ij
ji
*
*
Gij  a i , a j ; a i a j
mij
 a j ai
m ji
. Обозначим через Rij множество всех нетри-
виальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных
единице в группе Gij . Тогда копредставление группы Gij запишем через
Gij  a i , a j ; Rij . Пусть группа G порождена более чем двумя образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана
представлением G  a1 , a 2 ,..., a n ; R , R  Rij . Рассмотрим свободную группу
11
Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.2
n
F   * ai
, пусть w F , обозначим через w длину, а через
w - слоговую
i 1
n
длину слова w в свободном произведении  *
ai
.
i 1
Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F   * ai и равно единице в G . Тогда на основании теоремы ван Камn
i 1
пена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы над R.
Введем следующие преобразования диаграммы (*):
1) пусть области D1 , D2 пересекаются по ребру  (D1  D2 ) , имеющей слоговую длину  (D1  D2 )  1 ,  (D1 )  G ab ,  (D 2 )  G ab , тогда, стирая
это ребро, объединяем D1 и D2 в одну область D . Если метка полученной
области D равна единице в свободной группе F , то удалив эту область,
склеиваем ее границу.
2) если две области D1 , D2 , где  (D1 )  G ab ,  (D 2 )  G ab , имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и, если метка полученной области D равна единице в свободной
группе F , то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не
равна единице, но сократима, то проводим сокращения.
Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы специально особой точкой, если d (v)  3 и все ребра, исходящие из нее, имеют
одинаковые метки.
Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется особой.
1
2
Определение 3. Область D назовем деновской, если i( D)  d ( D) ,
где i(D) - число внутренних ребер, d(D) – число ребер в граничном цикле
для D.
Определение 4. Область с граничным контуром ee 1 , склеенная по
ребру е и с меткой из R назовем S-i областью.
Рассмотрим произвольное слово w G , G - группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свободn
ной группе F   * ai и равно единице в G. Тогда на основании теоремы
i 1
ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы M
над R. Рассмотрим граничную область D карты M . Обозначим через
 внешнюю границу диаграммы M . Если D является деновской областью,
то D    D \ (D   ) . Удаление деновской области D диаграммы M ,
то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением
диаграммы M или R - сокращением. Будем говорить, что M является R приведенной, если она не содержит деновских областей.
12
Математика
Определение 5. Слово w G , G - группа Артина с древесной структурой, называется R - приведенным, если w свободно приведено в F и не
содержит подслово s , являющееся подсловом некоторого соотношения
1
r . Назовем w циклически R - приведенным, если все
2
его циклические перестановки являются R - приведенными словами.
Предложение 1 [2]. Пусть связная односвязная R -диаграмма М с
r, r  s  t , где s 
граничной меткой w, где w не равно единице в свободной группе F и равно
единице в G, не содержит S-i областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.
Предложение 2 [2]. Пусть связная односвязная R -диаграмма M с
граничной меткой w G , не равной единице в свободной группе F и равной
единице в G, не содержит S-i областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум
три деновские области;
Предложение 3 [2]. Связная односвязная диаграмма M над R не
содержит S-i области;
Следствие 1 [2]. Пусть связная односвязная диаграмма М с граничной меткой w, где w - циклически R - приведенное слово, не равное единице в свободной группе F и равное единице в G, не содержит специально
особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.
Из предложений 1,2 и следствия 1 следует, что диаграмма М является однослойной.
Предложение 4.[2]. Если связная кольцевая диаграмма M над группой G с граничными циклами  и  , где  ( ), ( ) - циклически R  несократимые слова, тогда, если M содержит хотя бы одну S-i область, то все
области данной диаграммы будут являться S-i областями.
Теорема 1. [2]. В группе Артина с древесной структурой разрешима
проблема равенства слов;
Предложение 5. [2]. Пусть слова w, v сопряжены в группе G . Тогда,
если w  1 и v циклически R  несократимо в G , то v  1 .
Теорема 2 [2]. В конечно порожденной группе Артина с древесной
структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1 ([1]). Группа Артина Gij при mij  2k  1 изоморфна группе
x, y; x 2 k 1  y 2 , а при mij  2k - группе t , x; tx k t 1  x k .
Лемма 2 ([1]). Пусть Gij  ai , a j ; ai a j
mij
 a j ai
mij
- группа Артина и
слово w  Gij циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую
длину, равную 2mij и равно единице в Gij . Тогда при mij  2k  1 w имеет вид
а)ai m a j ai ...ai a j m ai1...a j 1 , либо
б )ai a j ai ...ai m a j 1ai1...a j m , либо им обратные;
13
Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.2
а при mij  2k
а)ai m a j ...ai a j ai m a j 1...a j 1 , либо
б )ai a j ...ai a j m ai1...a j m , либо им обратные, m {Z \{0}}. ;
Лемма 3 [1]. Пусть M - связная приведенная R, R - приведенная
кольцевая диаграмма над группой Gij ,  , - граничные циклы M и
 ( )  x p . Тогда  ( )  y p , где x, y {ai1 , a j 1} .
Данная лемма сформулирована и доказана для групп Артина большого типа. Легко видеть, что она справедлива и для групп Артина с древесной структурой
n
Определение 6. Поддиаграмма П  i 1 Di образует полосу в Rприведенной диаграмме М с граничным циклом M     , где  есть путь
AB  ,   АA1B1B , AB  П   , А1 В1  П   (Рис.1), если
1. i, i  1, n  1 Di  Di1  ei , где еi - ребро;
2. i, i  1, n Di     i , где  i - связный путь, причем  i  1 ;
D1    D1 \ (D1   ) и Dn    Dn \ (Dn   ) ;
3.
4. j, j  2, n  1 D j   2  D j \ (D j  ) .
В слове w есть R -сокращение, если в приведенной диаграмме М,
граничной меткой которой является слово w, содержится полоса. При этом
подслово  (АВ) слова w, соответствующее пути  заменяется словом
 ( АА1 В1 В) в приведенной диаграмме М.
A,
A
B
D1
A1,
B’
Dn
B1
A1
B’1
Рис. 1. R - сокращение
Определение 7. Слово u называется циклически R - несократимым, если любая его циклическая перестановка u * не содержит R - сокращения.
Теорема 2. [3]. Группа Артина с древесной структурой свободна от
кручения.
Теорема 3. [4]. В группе Артина с древесной структурой разрешима
проблема вхождения в циклическую подгруппу.
14
Математика
Определение 8. Пусть w, v  G и w  v . Будем говорить, что в группе G разрешима проблема слабой степенной сопряженности, если существует целое число n такое, что слова w и v n сопряжены в группе G .
Рассмотрим связную кольцевую приведенную R - диаграмму M ,
где  - внешняя, а  - внутренняя границы диаграммы, M     .
Определение 9. Область D назовем областью первого типа, если
D    D   , где d ( D)  D    D    2 .
Определение 10. Область D назовем областью второго типа, если
D    2  D   , где d ( D)  D    D    2 .
Определение 11. Область D назовем областью третьего типа, если
D    D    2 , где d ( D)  D    D    2 .
Рассмотрим связную кольцевую приведенную R - диаграмму M
сопряженности слов v и w . Пусть  ( )  w ,  ( )  v , где  - внешняя граница диаграммы M , а  - внутренняя.
Предположим, что диаграмма M состоит из областей первого типа
и одной области второго (или третьего) типа. Но тогда v  w  2 , или
наоборот w  v  2 . В этом случае переход с помощью сопряжения от
слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной
назовем кольцевым сокращением.
Определение 12. Циклически R и R - несократимое слово w в
группе Артина G назовем тупиковым, если к нему нельзя применить
кольцевое сокращение.
Лемма 4. Пусть w, v - тупиковые слова из G , и пусть w, v сопряжены в G . Тогда w  v , и никакое слово u  G такое, что u  v не сопряжено с w .
Доказательство. Пусть w, v - тупиковые слова, сопряженные в G .
Если слоговая длина хотя бы одного из слов равна единице, то заключение
леммы следует из предложения 5.
Пусть w, v  G ab . При mij  2k имеет место G  t , x; tx k t 1  x k , при
mij  2k  1 группа G изоморфна группе x, y; x 2 k 1  y 2 , заключение леммы
непосредственно следует из [5].
Пусть w, v  G , слова w, v - циклически R , R несократимы, и не сопряжены ни с какими элементами из групп вида Gab . И пусть w  1, v  1.
Тогда существует связная приведенная кольцевая диаграмма M сопряженности слов w, v . Будем рассматривать диаграммы сопряженности вида
рис. 2.
Пусть M - связная, приведенная кольцевая R - диаграмма сопряженности слов w, v вида рис. 2.а. Диаграмма является однослойной. Пусть
15
Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.2
 ( )  w ,  ( )  v , где  начинается и заканчивается в точке О, а путь  - в
точке О1. Разрежем диаграмму M по ребру, которому соответствует путь
OO1 . Получили связную односвязную приведенную R - диаграмму M1 .
а
б
Рис. 2. Кольцевая диаграмма
1. Пусть диаграмма состоит только из областей первого типа. В силу того, что метка каждого ребра есть буква или степень образующего, и
области пересекаются по ребру, то для любой области D выполняется
 (D   )   (D   ) . Таким образом, w  v .
2. Пусть диаграмма M1 содержит одну область второго или третьего
типа. Это невозможно, так как в этом случае нарушается условие: w и v
являются тупиковыми словами.
3. Пусть диаграмма M1 содержит области второго и третьего типа,
разделенные в общем случае областями первого типа. Так как диаграмма
должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, иначе в диаграмме выделится полоса, то w  v .
В случае, когда диаграмма M сопряженности слов w, v имеет вид
рис. 2.б доказательство проводится аналогично.
Следствие 2 (из леммы 4). Пусть G – конечно порожденная группа
Артина с древесной структурой; w, v - тупиковые слова, сопряженные в
группе G ; M - кольцевая связная приведенная R - диаграмма сопряженности слов w, v . Тогда диаграмма M не может содержать одну область второго или третьего типа.
Непосредственно следует из доказательства леммы 4.
Пусть G – конечно порожденная группа Артина с копредставлением
m
m
G  a1 , a2 ,..., an ; ai a j
 a j ai , i  I1 , j  I 2 , I1  , I 2   . Группе G
ij
ji
соответствует конечный дерево - граф Г. Выделим в этом дерево – графе
связный подграф Г j , где j - количество вершин, принадлежащих дерево графу Г j , Г j  Г , Г j  Г .
16
Математика
Определение 13. Подгруппу группы G , порожденную образующими, соответствующие вершинам дерево – графа Г j , назовем параболической подгруппой группы G .
Обозначим через G j подгруппу группы G , соответствующую дерево – графу Г j . Полученная таким образом подгруппа G j является группой
Артина с древесной структурой.
Лемма 5. Пусть G - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой с множеством образующих А, А   . И пусть w G ,
w  R и R - несократимое слово не равное единице в G . Слово w равно некоторому слову v  G j , где G j - параболическая подгруппа группы G с
множеством образующих Aj , Aj  A . Тогда w - слово на образующих A j .
Доказательство. Допустим, что слово w , в записи которого содержатся буквы из множества Aj  A \ Aj , равно некоторому элементу v  G j ,
w  v . Пусть w  w1w0 w2 , где w1 , w2  G j , а слово w0 начинается и заканчивается на буквы из A j . Слово w0 является R и R - приведенным в группе G ,
w0  v01 , где v01  w11vw21 , v01 является R и R - приведенным. Слово w0 v0 является циклически приведенным и w0 v0  1 в группе G . Тогда существует
связная односвязная R - диаграмма M с граничной меткой w0 v0 .
Допустим, что M состоит из одной области D . В этом случае очевидна справедливость утверждения.
Пусть диаграмма M состоит из n областей. Так как диаграмма не
содержит внутренних точек, следовательно, M содержит деновские области. Пусть  ,  - граничные циклы диаграммы M ,  ( )  w0 ,  ( )  v0 . Так
как w является R - несократимым словом, то среди областей, граничащих
с  , нет деновских областей. Следовательно, деновские области могут
быть на границе слов w0 , v0 или среди областей, граничащих с  . Выполним все деновские сокращения на пути  . Таким образом, получим связную односвязную диаграмму M1 видов, представленных на рис. 3.
w0
А
В
С
v0
В
А
Dn
D1
D
а
б
Рис. 3. Диаграммы равенства слов
1. Рассмотрим случай, когда диаграмма M1 имеет вид рис. 3, а, причем пути  соответствует путь АВ, пути  - BDCA. Полученная диаграмма
M 1 содержит две деновские области D1 , Dn .
17
Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.2
Пусть D1 - область первого типа. Так как w0 начинается и заканчивается на буквы из A j , следовательно, граничная метка области D1 содержит элементы из A j , а значит и слово v0 содержит элементы из A j , что
противоречит условию леммы.
Пусть D1 - область второго типа, d ( D1 )  2k , k  2 , так как при k  2
D1 является деновской областью на пути  . Далее аналогично предыдущему случаю, граничная метка D1 содержит элементы из A j , следовательно, и v0 содержит элементы из A j .
Пусть D1 - область третьего типа и пусть d ( D1 )  4 ,  (D1   )  x m a kj ,
где x  Aj , тогда  (D1  D2 )  x m . Для того чтобы w0 было R - несократимо,
области третьего типа должны быть разделены областями второго типа и
первого (в общем случае). Если все области Di , i  2, n  1, d Di   4 и, учитывая, что, согласно условию, слово w0 заканчивается на буквы из A j , то обязательно найдется хотя бы одна область второго типа Di* среди областей
Di , i  2, n  1 и  (Di*   ) содержит « x » в некоторой степени, т.е. v0 содержит элементы из A j . Если хотя бы одна область Di* среди областей первого типа Di , i  2, n  1 имеет d Di*   4 , то  (Di*   ) содержит « x » в некоторой
степени. Если d ( D1 )  2k , k  2 и в записи  (D1   ) содержится « x m », то хотя бы одна из меток  (D1   ) или  (АС ) содержит « x » в некоторой степени. (Заметим, что показатель степени образующего « x » зависит от того
d Di   2mij или d Di   2mij , i  1, n ).
2. Пусть диаграмма M1 имеет вид рис. 3, б. Верхний путь АВ обозначим  , а нижний путь АВ – через  ,  ( )  w0 ,  ( )  v0 . Пути  ,  можно
представит в виде    1 2 ... m и   1 2 ... m , причем i  1, m  1 если
  i     i  , то  ( i 1 )    i 1  ,   i   wi ,   i   vi , где wi , vi - подслова w0 , v0 соответственно. Ясно, что подслова wi , vi содержат в своей записи одни и те
же образующие. Рассмотрим участки диаграммы, где соответствующие
участки пути  i и  i не совпадают.
Выделим поддиаграммы M s , s  1, m  1 диаграммы M вида Рис. 4.
Диаграммы M s являются связными односвязными диаграммами равенства
слов ws и v s . Здесь верхний путь CD есть  s , а нижний путь CD -  s ,
 ( s )  ws ,  ( s )  vs , где ws и v s - подслова w0 , v0 соответственно. Слово ws
является R, R - несократимым и принадлежит G , т. е. по предположению
содержит в своей записи элементы из A j . Слово ws равно слову v s . Дальнейшие рассуждения проводим аналогично первому случаю.
18
Математика
D
C
Рис. 4. Структура поддиаграммы
Лемма 6. Пусть G - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой, с множеством образующих А, А   . И пусть w G ,
w  циклически R и R - несократимое, тупиковое слово, не равное единице
в G . Слово w сопряжено некоторому слову v  G j , то есть существует
слово z  G такое, что z 1 wz  v, v  2 , G j - параболическая подгруппа
группы G с множеством образующих Aj , Aj  A . Тогда w, z - слова на образующих A j .
Доказательство. Будем полагать, что слова w, v являются тупиковыми. Предположим, что слово w содержит в своей записи элементы множества Aj  A \ Aj . Пусть M - кольцевая связная односвязная приведенная R
- диаграмма сопряженности слов w, v вида рис. 2, а, v  2 . Диаграмма M
не содержит S-i области, является однослойной. Пусть  ,  - граничные
циклы диаграммы M ,  ( )  w ,  ( )  v ,  начинается и заканчивается в
точке О, а путь  - в точке О1. Разрежем диаграмму M по ребру, которому
соответствует путь OO1 . Получили связную односвязную приведенную R диаграмму M1 .
Пусть диаграмма M1 состоит только из областей первого типа, число областей M 1  n . Рассмотрим некоторую область Di , d Di   2k , k  2 ,
Di     i , i  1, n , пусть   i  содержит элемент x m , x  A j , m  1 . Тогда слово
v содержит в своей записи x из A j .(Вновь отметим, что показатель степе-
ни образующего « x » зависит от того d Di   2mij или d Di   2mij , i  1, n ).
Слова w, v тупиковые, по лемме 4, w  v , и по следствию 2 диаграмма M не может содержать одну область второго или третьего типа.
Пусть теперь диаграмма M1 содержит области первого, второго и
третьего типа. Причем диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго типа должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в
диаграмме выделится полоса.
Пусть области Di и D s , где i  s - области второго и третьего типа
соответственно, разделенные в общем случае областями первого типа, и
пусть d ( Di )  d Ds   4 ,  (Di   )  x m a kj , где x  Aj , тогда  (Di  Di1 )  x m .
Если s  i  1 или все D j , j  i  1, s  1 такие, что d D j   4 , то  (Ds   ) со19
Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.2
держит элемент « x m ». Если же среди D j , j  i  1, s  1 найдется хотя бы одна
область D *j , d D *j   2k , k  3 , то  (D *j   ) содержит « x » в некоторой степени.
Случай, когда хотя бы одна из областей Di или D s имеет степень
больше 4, тривиален. Следовательно, если диаграмма M1 содержит области первого, второго и третьего типа, то слово v также содержит в своей
записи элемент « x » в некоторой степени.
Для кольцевых связных приведенных R - диаграмм M сопряженности слов v и w вида рис. 2, б доказательство проводится аналогично.
Покажем, что слово z также принадлежит подгруппе G j . Предположим противное. Так как кольцевая связная приведенная R - диаграмма
M 1 однослойная, то достаточно рассмотреть случай, когда z  1 . Пусть
z  x m , x  Aj ,  (OO1 )   (Dn  D1 )  x m .
Пусть диаграмма M1 состоит из областей только первого типа. Если
среди D j , j  2, n найдется хотя бы одна область D *j , d D *j   2k , k  3 , то
 (D j 1  D *j ) , а, следовательно, и  (D *j   ), (D *j   ) содержат « x » в некоторой степени, т. е.  ( )  w и  ( )  v содержат в своей записи « x », что
невозможно.
Если все области диаграммы M1 состоят из областей только первого
d D j   4 .
типа
и
выполнено
Пусть
 (OO1 )   (Dn  D1 )  x m ,
 (Dn )  Gxa , (D1 )  Gxa . Тогда фрагмент дерево-графа имеет вид: из вершины, которой соответствует элемент « x », выходят ребра e1 , e2 ,..., ek такие,
 (e1 )   (e2 )  ...   (ek )  x ,
 (e1 )  a1 ,  (e2 )  a 2 ,...,  (ek ) a k ,
что
x  Aj ,
a1 , a2 ,..., ak  A j .То есть элемент « x », не принадлежащий подгруппе G j , и соответственно вершина данного образующего не принадлежит графу Г j .
Остальные вершины рассматриваемого фрагмента принадлежат дерево –
графу Г j . Таким образом, нарушается условие связности графа Г j , что невозможно.
Пусть диаграмма M1 состоит из областей первого, второго и третьего типа. Вновь, если хотя бы одна область диаграммы M1 имеет степень
больше 4, то рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Пусть теперь
все области имеют степень 4, и Di - область второго (или третьего типа)
такая, что  Di1  Di   x m , d Di   4 , тогда  Di    (или  Di    ) содержат элемент « x m », т. е. и  ( )  w и  ( )  v содержат в своей записи « x ».
Таким образом, z  G j .
Для диаграмм вида рис. 2, б доказательство проводится аналогично.
n
1
20
Математика
Список литературы
1. Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности
слов в группах Артина большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Том 5. №1. С. 1-38.
2. Безверхний В.Н. Проблема равенства и сопряженности слов в
группах Артина с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю.
Карпова // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12. Вып. 1. С. 67-82.
3. Безверхний В.Н. О кручении в группах Артина с древесной
структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю. Карпова // Известия Тульского
государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2.
С. 6-17.
4. Безверхний В.Н. Проблема вхождения в циклическую подгруппу
в группах Артина с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю.
Карпова // Чебышевский сборник. 2008. Tом 9. Вып. 1(25). С. 30-50.
5. Линдон Р. Комбинаторная теория групп [Текст]: монография /
Линдон Р. Шупп П. М.: Мир,1980. 448 с.
Платонова Оксана Юрьевна, roksana_2012@rambler.ru, старший преподаватель кафедры высшей математики, Россия, Новомосковск, НИ (ф) РХТУ им.
Д.И. Менделеева,
Безверхний Владимир Николаевич, vnbezv@rambler.ru, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Академия гражданской защиты МЧС России»
THE PROBLEM OF OCCURRENCE IN THE PARABOLIC SUBGROUP IN ARTIN
GROUPS WITH ARBOREAL STRUCTURE
O.U. Platonova. , V.N. Bezverhny
In this paper we have proved that an Artin groups with arboreal structure have solvable problem of occurrence in the parabolic subgroup.
Kew words: Artin group with arboreal structure, diagram area.
Platonova Oksana, roksana_2012@rambler.ru, senior lecturer, department of higher mathematics, Russia, Novomoskovsk, The Novomoskovsk’s Institute (subdivision) of the
Mendeleyev Russian Chemical-Technological University,
Besverhny Vladimir, vnbezv@rambler.ru, professor, department of higher athematics, Academy of civil defense of EMERCOM of Russia
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
564 Кб
Теги
подгруппа, решение, структура, древесно, группа, проблемы, вхождения, параболические, артина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа