close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свободные крутильные колебания конического стержня.

код для вставкиСкачать
??????????? ?????
?????????????? ? ?????????
??????? ?.?.
????????? ??????????
????????? ??????????? ???????
???????????? ???????? ??????? ?????????? ?????????
??????? ? ???? ?????????? ?????? ? ??????????? ???????
? ????????? ??????? ???????????. ??????? ????????????? ????????? ????????? ??????? ???????? ? ???? ?????????? ? ??? ?? ???????? ???????.
Часто на ответственных гребных валах,
валах мощных приводов имеются конические участки. При необоснованном назначении размеров таких участков снижается надежность работы и ухудшаются эксплуатационные характеристики машины в целом.
При этом большую роль играют крутильные
колебания валов. В настоящее время задачу
расчета вала с переменным сечением на крутильные колебания осуществляют приближенно, заменяя вал системой элементов с конечным числом степеней свободы /5/. Расчет
таким способом сложен и громоздок. Предлагается более простой и точный аналитический способ расчета крутильных колебаний для случая валов конической формы. В
силу ранее сказанного поставленная задача
весьма актуальна
Рассмотрим стержень (рис. 1), защемлённый у левого большего основания радиуса
R1, свободный у меньшего радиуса R 2, имеющий длину l
R1
лярный момент инерции текущего сечения
стержня, а r = r ( z) , (рис. 2), z – текущая координата, r – радиус текущего сечения стержня, t – время, G – модуль сдвига, ?=?(z,t) –
угол скручивания в некотором сечении стержня.
R2
z
l
Рис. 2
На рисунке 2 показана половина осевого сечения стержня, здесь х=R1-r
Определим r как функцию от z. Из рис. 2
следует, что
x=
но
tga =
Далее (рис. 2)
j
r = R1 - x = R1 -
z
,
tga
l
.
R1 - R2
lR - z( R1 - R2 )
z
= 1
tga
l
(2)
и
dJ p
dz
=
dJ p dr p4r 3 й ж R1 - R2 ц щ
2 p( R1 - R2 ) 3
Ч =
-з
Чr .
чъ = к
и
ш
l
l
¶r dz
2 л
ы
(3)
Перепишем (1) в виде
rJ p
Рис. 1 Уравнение свободных крутильных колебаний конического стержня берём в виде /1/:
rJ p ( z )
¶2j ¶ й
¶j щ
=
GJ p ( z ) ъ ,
¶z ы
¶t 2 ¶z кл
здесь ? - плотность материала, J p =
104
??????? ??? 3`99
(1)
pr 4
- по2
¶J p ¶j
¶ 2j
¶ 2j
G
GJ
=
Ч
+
.
p
¶z ¶z
¶z 2
¶t 2
(4)
Решение уравнения (1) ищем в виде
(5)
j = Q( z ) sin(w t + e ) .
Подставим (2), (3), (5) в (4), получим
4( R1 - R2 )
d 2Q
dQ rw 2
Ч
+
Q=0
2
lR1 - z ( R1 - R2 ) dz
G
dz
Это дифференциальное уравнение для функции формы колебаний ?=?(z).
?.?.???????
????????? ?????????? ????????? ??????????? ???????
Обозначим
R1 - R2 = a ,
В новых обозначениях это будет:
2
rw
= p 2 a 2 , lR1 = b ,
G
dQ
= 0.
dy
при y = lR2
тогда уравнение (6) примет вид:
(11)
Подставим (9) в (10) и (11), получим
2
d Q
4 a dQ
Ч
+ a 2 p 2Q = 0.
dz 2 b - az dz
3
3
м
(12)
пС1 (lR1 ) 2 J 3 ( plR1 ) + C2 ( lR1 ) 2 J 3 ( plR1 ) = 0
п
2
2
п
5
3
й
щ
3
п
нC1 к( R1 - R2 ) (lR2 ) 2 J 3 ( plR2 ) - ( R1 - R2 )(lR2 ) 2 J 3ў ( plR2 ) Ч pъ +
2
ъы
п кл
2
2
п
5
3
п+ C й R - R 3 lR - 2 J plR - R - R lR - 2 J ў plR Ч pщ = 0.
п 2 кк( 1 2 ) 2 ( 2 ) - 3 ( 2 ) ( 1 2 )( 2 ) - 3 ( 2 ) ъъ
л
ы
2
2
о
Сделаем замену переменных.
y = b - az , тогда
dQ dQ dy dQ
=
Ч =
( -a) ,
dz dy dz dy
'
d 2 Q ж dQ ц dy
d 2Q 2
a .
=
a
=
(
)
з
ч
dz 2 и dy ш y dz
dy 2
Окончательно
d 2 Q 4 dQ
+ Ч
+ p 2Q = 0
2
y
dy
dy
(7)
или
yQўў + 4Qў + p 2 yQ = 0 .
(8)
Полученное уравнение есть уравнение,
приводящееся к уравнению Бесселя /2/.
Его решение имеет вид:
Q = С1 y
-
3
2J
3 ( py ) + С2 y
-
2
Здесь
J 3 ( py )
2
рода, порядка
3
2J
-
3 ( py )
2
(9)
- функция Бесселя первого
3 J 3
3
, - она же, порядка - .
2
2
2
Функция Q должна удовлетворять следующим граничным условиям /3/.
Первое: на левом защемлённом конце
отсутствуют перемещения и, следовательно,
j = 0.
при z = 0
Так как
y = lR1 - zR1 + zR2 ,
то при
буде иметь
Чтобы задача имела решение, нужно,
чтобы определитель системы (12) был равным нулю, тогда получим
5
3
й
щ
3
J 3 ( plR1 ) Ч к(R1 - R2 ) (lR2 ) 2 J 3 ( plR2 ) - (R1 - R2 )(lR2 ) 2 pJ ў 3 ( plR2 )ъ -(13)
2
л
ы
2
2
2
-J
й
-
3
2
2
ы
соответствует значение формы колебаний Q k
и, следовательно,
Ґ
j = е Q k ( y ) sin(w k t + e k ) ,
k =1
(14)
где
Q k = C1k y
-
3
2J
3 ( p k y ) + C2 y
-
2
3
2J
-
3
2
( pk y)
(15)
и
w k = pk ( R1 - R2 )
G
r.
Из первого уравнения системы (12) имеем
В новых обозначениях это граничное условие будет иметь вид:
(10)
при y = lR1 Q = 0 .
Второе: на правом свободном конце отсутствует крутящий момент.
Значит
¶j
= 0.
¶z
Т.к. J p (l ) не равно 0, то должно быть
¶j
=0.
¶z
2
3
Уравнение (13) является уравнением частот для данной краевой задачи, его корни
p1 , p2 ,..., pk ... - характеристические числа, определяющие частоты колебаний стержня.
Каждому характеристическому числу pk ,
lR2 Ј y Ј lR1 .
M k = GJ p
5
л
2
0Ј zЈl
при z = l
щ
( plR1 ) Ч к( R1 - R2 ) 3 (lR2 ) - 2 J 3 ( plR2 ) - ( R1 - R2 )(lR2 ) - 2 J ў3 ( plR2 ) p ъ = 0
J 3 ( p k lR1 )
C2 k = - C1k
J
2
-
3
2
( pk lR1 ) .
С2k подставим в (15), получим
-
3
щ
C1k y 2 й
Qk =
к J 3 ( pk y ) J - 3 ( pk lR1 ) - J 3 ( pk lR1 ) J - 3 ( pk y )ъ
J 3 ( pk lR1 ) кл 2
ъы
2
2
2
-
2
или
3
- й
щ
Q k = H k y 2 к J 3 ( pk y ) J 3 ( pk lR1 ) - J 3 ( pk lR1 ) J 3 ( pk y )ъ . (16)
кл 2
ъы
2
2
2
??????? ??? 3`99
105
?.?.???????
????????? ?????????? ????????? ??????????? ???????
В выражении (16) обозначим квадратную
скобку, умноженную на
3
y 2,
через
С учётом граничных условий (10) и (11),
имеем
(p
zk ( pk y ) .
Тогда
Ґ
j = е zk ( p k y )H k sin(w k t + e k ) .
(17)
k =1
Постоянные H k и e k определяются из
начальных условий
j = j 0 ( y) ь
п
э
¶j
= y ( y )п .
¶t
ю
при t = 0
(18)
lR1
м
4
п
т y j 0 ( y ) zk dy
п
lR2
= Bk
п H k sin e k = lR1
4 2
п
т y zk dy
пп
lR2
н
lR1
п
4
т y Y( y) zk dy
п
lR2
п H k cos e k =
= Dk
lR1
п
4 2
w k т y zk dy
п
lR 2
оп
=0
3
на y , получим
y 4 znўў + 4 y 3 znў + pn2 y 4 zn = 0
n
ў
мH = B 2 + D2
k
k
п k
н
Bk
пe k = arctg
Dk
о
+ pn2 y 4 zn = 0 .
м 4 ў
zm
2 4
п y znў + pn y zn = 0
н
,
п y4 zў ў + p2 y 4z = 0 z
m
m
m
n
о
)
)
)
)
м y 4 znў zm + pn2 y 4 zn zm = 0
п
н 4
.
2 4
по y zmў zn + pm y zm zn = 0
Из второго уравнения полученной системы вычтем первое, тогда
ў
ў
y 4 pm2 - pn2 zm zn = y 4 zmў zn - y 4 znў zm .
(
)
(
)
(
)
Умножим это равенство на dy и проинтегрируем от lR2 до lR1 , правую часть проинтегрируем по частям, получим
(
pm2 - pn2
106
lR1
)т y z
4
m zn dy
= zn zmў y 4
lR2
??????? ??? 3`99
lR1
lR2
(20)
.
(21)
.
(22)
Ряды, определяющие функции Бесселя
первое уравнение которой умножим на zm, а
второе на zn, получим
(
(
(19)
От к у д а
Рассмотрим систему
(
(
= 0 при m № n
Из (20) с учётом (19) получим
замене p на pk .
Произведя соответствующую замену,
умножим это уравнение
4
m zn dy
lR2
ь
п
п
k =1
э
Ґ
.
y ( y ) = е zk ( pk y ) H k Ч w k cos e k п
пю
k =1
z k ( pk y ) удовлетворяет уравнению (8) при
( y zў )
4
Ґ
[lR2 , lR1 ].
или
lR1
)тy z
j 0 ( y ) = е z k ( pk y ) H k sin e k
функций {z k ( pk y )} ортогональна на отрезке
yznўў + 4 znў +
- pn2
Что и доказывает ортогональность данной системы функций.
Для определения постоянных H k и e k , (17)
подставим в (18), получим
Но прежде нужно доказать, что система
pn2 yzn
2
m
- zm znў y 4
lR1
lR2 .
J 3 ( y ) и J 3 ( y ) сходятся при любом y и до?
2
2
пускают двукратное почленное дифференцирование /4/, этими же свойствами обладает и
их линейная комбинация (14), следовательно,
(14) есть решение уравнения (1), если вернуться к прежней переменной z . Полнота решения
следует из того, что оно разложено по полной
ортогональной системе функций, выражающихся через функции Бесселя. В работе /3/ доказана однозначность решений общей задачи
о колебаниях упругих тел, которые удовлетворяет данным начальным условиям для смещений и скоростей. Рассмотренная задача является частным случаем этой общей задачи.
Поскольку ряды, членами которых являются Бесселевы функции, сходятся достаточно быстро, то, с учетом возможного использования ЭВМ для суммирования ряда, решение задачи можно получить с любой степенью точности.
??????????? ?????
?????????????? ? ?????????
Список использованной литературы
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 500 с.
2. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1965. - 273 с.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: Объединённое научно- техническое издательство НКТП СССР, 1935. - 676 с.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1965. - 424 с.
5. Терских В.П. Расчет крутильных колебаний силовых установок. – М.: Машгиз, 1953.
Статья поступила в редакцию 6.12.99г.
??????? ??? 3`99
107
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
597 Кб
Теги
стержне, свободных, колебания, крутильных, конического
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа