close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свойства колебательности и стационарности решений сингулярных дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010
УДК 517.927
СВОЙСТВА КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ И СТАЦИОНАРНОСТИ РЕШЕНИЙ
СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© С.В. Исраилов, А.А. Сагитов
Ключевые слова: квазилинейное сингулярное дифференциальное уравнение второго порядка; условия разрешимости; краевая задача; осцилляция решений.
Рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть которого содержит
сингулярности в одной или нескольких точках. Получены условия существования решения периодической краевой задачи, обращающегося в нуль в точках сингулярности.
1. В теории управления при решении задач с экстремумами, в исследовании колебаний, при математическом моделировании различных физических явлений
и процессов в технике встречаются дифференциальные
уравнения второго порядка с особенностями в одной
или нескольких точках (которые называются точками
сингулярности). Это, например, известные уравнения
Бесселя, Римана, Хейни, Гаусса, Эмдена – Фаулера [1]
и др. Для подобных дифференциальных уравнений в
приложениях часто возникает необходимость исследования краевых задач с широким диапазоном граничных
условий, выделенных в соответствии с изучаемыми
проблемами и спецификой точек сингулярности [2–3].
Рассматриваемые сингулярные уравнения в ряде случаев могут быть записаны в виде следующего квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка
y" = Φ( х, у, у ' ) y '+ f ( x, y, y ' ) , x ∈ [a, b] .
(1)
Здесь функции Φ, f имеют точки сингулярности
x j ∈ (a, b) ( j = 1, n) , непрерывны по x и по фазовым
координатам
y, y '
в
области
D = { ( x, y, y ′):
(i )
x ∈ [a, b] \ σ, | y |≤ d i , i = 0,1} σ = {x1 , x2 ,K xn } .
Решением уравнения (1) будем считать любую функцию y ( x) , непрерывно дифференцируемую на [a, b ] , с
непрерывной при x ∈ [a, b] \ σ второй производной
y′′( x) . Некоторые результаты о разрешимости переопределенных краевых задач для уравнения (1) получены
в работах [4–6] методом ступенчатых операторов [2].
Когда порядок дифференциального уравнения совпадает с количеством граничных условий, качественные
характеристики решений сингулярных уравнений даны
в работах [3, 7] с помощью функций Грина. Здесь использованы нетрадиционные приемы для выделения
экстремально-колебательных свойств решений, порожденных точками сингулярности правой части уравнения (1).
526
2. Сформулируем основные результаты. Для простоты изложения и большей наглядности будем считать, что σ = {x ∗} , т. е. ограничимся рассмотрением
одной точки сингулярности x ∗ ∈ ( a , b ) .
Те о р е м а 1 . Пусть в области D функции Φ, f
удовлетворяют условиям:
| f ( x, y, y′) ≤ ψ( x), x ∈ [a, b],
(1)
(2)
∗
'
ψ ( x) ≤ Ф( x, y, y ) sign( x − x ) ≤ ψ
∗
( 0)
( x ),
∗
x ∈ Ι = [a, x ) U ( x , b],
(3)
где функция ψ (x) ≥ 0 интегрируема на [a, b ] , функции
ψ ( k ) ( x) > 0 (k = 0,1) интегрируемы на [a, α ], [β, b] ,
для любых α ∈ [a, x∗ ), β ∈ ( x∗ , b] , но
x∗
∫
ψ
(k )
β
(t )dt = +∞ ,
α
∫ψ
x
(k )
(t )dt = ∞ ,
(4)
∗
Пусть, далее, M ≥ Lλ(d1 − L) −1, где
M = min{M a M b } ≠ 0,
t
x*
∫
( 0)
∫
( 0)
M a = ∫ exp(− ψ
a
a
b
b
M b = ∫ exp(− ψ
x∗
( s )ds )dt ,
( s )ds )dt ,
(5)
t
L = max{La , Lb } , L
∗
x
x
b
= ∫ ψ (t )dt , Lb = ∫ ψ (t )dt ,
x*
a
∗
λ = max{( x − a ), (b − x )} ≤
d 0 d1−1 .
(6)
Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010
Тогда дифференциальное уравнение (1) на сегменте
имеет решение y (x) с нулями в точках
[a, b]
Ф( x, y, y ' ) sign( x − x* ) ≥ ψ ( x), x ∈ [a, b] ,
(7)
a, x∗ , b , и точка x ∗ является еще точкой стацио-
где функция ψ (x) для любого δ > 0 интегрируема на
нарности.
Те о р е м а 2 . Пусть в области D выполнено условие (2). Пусть, далее, имеют место неравенство (3),
отрезках [ a, x∗ − δ] , [ x* + δ, b] , но
если x ∈ [ a, x* ) , и неравенство
x* − δ
∫
ψ (t )dt =
[ ]
∫ ψ(t )dt = +∞.
(8)
*
a
Ф( x, y, y ' ) ≤ ψ ∗ ( x), если x ∈ ( x∗ , b] ,
b
x +δ
Тогда при выполнении неравенств
где функция ψ (x ) интегрируема на x , b . Если,
кроме того, справедливы неравенства
L ≤ d1 ,
M a ≥ λL(d1 − L) −1 ,
дифференциальное уравнение (1) имеет решение y ( x ) ,
∗
∗
∗
∗
λ = max{( x − a), (b − x )} ≤
∗
для которого x* является нулем, а точки a, x, b –
точками стационарности.
Те о р е м а 6 . Пусть в области D выполнены усло-
d 0 d1−1 ,
b
K b = exp( ∫ ψ ∗ (t )dt ),
L ≤ d1K b−1 ,
λ ≤ d 0 d −1
вие (2) и неравенство (7) при x ∈ [ a, x* ) с учетом
x∗
то уравнение (1) имеет решение y ( x ) , для которого
∗
точки a, x являются нулями, а точка x ∗ является
точкой стационарности.
Те о р е м а 3 . Пусть в области D выполнено условие (2). Пусть, далее, имеют место неравенство (3),
предположения (8), а при x ∈ ( x * , b] – неравенство
Ф( x, y, y ' ) ≤ ψ* ( x ),
(9)
если x ∈ ( x , b] , и неравенство
где функция ψ* ( x ) интегрируема на [ x* , b] . Тогда
при выполнении неравенств
Ф( x, y, y ' ) ≥ −ψ ∗ ( x), если x ∈ [a, x ∗ ),
K a ≤ d1, LK b ≤ d1 , λ ≤ d 0 d1−1
где функция ψ ∗ (x) интегрируема на [ a, x* ) . Если при
этом справедливы неравенства
уравнение (1) имеет решение y (x ) , для которого x*
∗
M b ≥ λL(d1 − L) −1 ,
λ ≤ d 0 d1−1 ,
x∗
∗
является нулем, а точки x , a – точками стационарности.
Те о р е м а 7 . Пусть в области D выполнены усло-
( ]
вие (2) и неравенство (7) при x ∈ x∗ , b
[ )
∗
с учетом
L ≤ d1 K a , , K a = exp( ∫ ψ (t )dt ),
предположения (8), а при x ∈ a, x∗ – неравенство
то уравнение (1) имеет решение y (x ) , для которого
Ф ( x, y , y ' ) ≥ −ψ * ( x ) ,
точки x* , b являются нулями, а точка x* – точкой
стационарности.
Те о р е м а 4 . Пусть в области D выполнены условие (2) и неравенства
где функция ψ * ( x) интегрируема на a, x∗ . Тогда
при выполнении неравенств
a
уравнение (1) имеет решение y (x ) с нулем в точке x* ,
L ≤ d1K , λ ≤ d 0 d1−1 , K = max{K a , Kb } ,
где функция ψ ( x) интегрируема
на
[ )
K b ≤ d1 , LK a ≤ d1 , λ ≤ d 0 d −1
Ф( x, y, y ' ) sign( x − x* ) ≤ ψ* ( x) , x ∈ [a, b] ;
*
(10)
[a, b] .
Тогда
уравнение (1) имеет решение y (x ) , для которого точ-
ка сингулярности x* является одновременно нулем и
точкой стационарности.
Те о р е м а 5 . Пусть в области D выполнено условие (2) и неравенство
и для этого решения x* , b будут точками стационарности.
Те о р е м а 8 . Пусть в области D выполнены условия (2), (9), (10) и неравенства
LK ≤ d1 ,
λ ≤ d 0 d1−1 .
527
Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010
Тогда уравнение (1) имеет решение y (x ) , для ко*
торого x является нулем и точкой стационарности.
3. Для доказательства сформулированных теорем
строятся специальные ступенчатые операторы, определенные в пространстве непрерывно дифференцируемых функций C ′( a, b) . Введем обозначения
⎛x
⎞
A(a, x, Φ) y = exp⎜⎜ ∫ Φ( s, y ( s ), y′( s ))ds ⎟⎟ ,
⎝a
⎠
B ( a , x, Φ , f ) y =
x
( A25 y )( x) = ∫ ( A15 y )(t )dt , x ∈ [a, b];
(19)
⎧⎪ B (a, x, Φ, f ), x ∈ [a, x* ),
( A16 y )( x) = ⎨
⎪⎩ B ( x* , x, Φ, f ), x ∈ ( x* , b],
(20)
x*
( A26 y )( x) = ∫ ( A16 y )(t )dt , x ∈ [a, b];
(21)
⎧⎪ B ( x* , x, Φ, f ), x ∈ [a, x* ),
( A17 y )( x) = ⎨
⎪⎩ B (b, x, Φ, f ), x ∈ ( x* , b],
(22)
x*
⎛x
x
( A27 y )( x) = ∫ ( A17 y )(t )dt , x ∈ [a, b];
(23)
( A18 y )( x) = B( x* , x, Φ, f ), x ∈ [a, b],
(24)
x*
и, имея в виду теорему 1, систему операторов
⎧
−1 *
⎪ A(a , x, Φ ) B ( x , a, Φ ,1) ∫ B(a , t , Φ, f )dt + B(a, x, Φ, f ),
a
⎪
⎪⎪ x ∈ [ a, x * ),
( A11 y )( x) = ⎨
x*
⎪ A(b, x, Φ ) B −1 ( x * , b, Φ ,1) ∫ B(b, t , Φ, f )dt + B(b, x, Φ, f ),
⎪
b
⎪
⎪⎩ x ∈ ( x * , b],
x*
(11)
x
( A28 y )( x) = ∫ ( A18 y )(t )dt , x ∈ [a, b] .
x*
(25)
Все теоремы доказываются по одной схеме. Поэтому подробно остановимся на доказательстве только
теоремы 1. Решения будем искать в пространстве непрерывно дифференцируемых функций C ′( a, b) с
1
x
( A21 y )( x) = ∫ ( A11 y )(t )dt ,
нормой || y ||= max ∑ y (i ) ( x) или с другой эквива-
x ∈ [a, b].
a ≤ x ≤b i = 0
x*
лентной нормой. В этом пространстве рассмотрим
При доказательстве теоремы 2 будем рассматривать операторы
⎧⎪( A y )( x), x ∈ [a, x* ),
( A12 y )( x) = ⎨ 11
⎪⎩ B ( x* , x, Φ, f ) y, x ∈ ( x* , b];
x
( A22 y )( x) = ∫ ( A12 y )(t )dt ,
x*
x ∈ [a, b].
(12)
(13)
⎧⎪ B ( x* , x, Φ, f ), x ∈ [a, x* ),
( A13 y )( x) = ⎨
⎪⎩( A11 y )( x), x ∈ ( x* , b];
x*
(14)
(15)
(16)
x
( A24 y )( x) = ∫ ( A14 y )(t )dt , x ∈ [a, b].
x*
lim ϕi ( x) = 0,
x→ x*
| ϕi ( x) |≤ d i , i = 0,1
(26)
∀δ > 0 ∃ N δ < +∞ ∀x1 , x2 ∈ [a, x* − δ], [ x* + δ, b]
| y (i ) ( x1 ) − y (i ) ( x2 ) |≤ N δ x1 − x2
считать, что операторы A11 , A21 определены на
этом множестве. С помощью неравенств (2), (3) и чисел
из (5) и (6) получаем оценки
| ( A11 y )( x) |≤
λL ˆ
A( x, a, ψ (1) ) + Bˆ (a, x, ψ,(1) ψ ) ,
M
x ∈ [ a , x* ) ,
Теорема 4 доказывается с помощью операторов
( A14 y )( x) = B ( x* , x, Φ, f ), x ∈ [a, b],
| y (i ) ( x) |≤ ϕi ( x),
Множество C ' ( a, b) компактно [2]. Будем
x
( A23 y )( x) = ∫ ( A13 y )(t )dt , x ∈ [a, b] .
~
множество функций C ' ( a, b) , удовлетворяющих условиям:
~
Теореме 3 будут соответствовать операторы:
(17)
При доказательстве теорем 5-8 строятся следующие операторы:
528
(18)
x
⎞
= ∫ exp⎜⎜ ∫ Φ( s, y ( s ) y ′( s ))ds ⎟⎟ f (t , y (t ), y ' (t ))dt
a
⎝t
⎠
x
⎧⎪ B(a, x, Φ, f ), x ∈ [a, x* ),
( A15 y )( x) = ⎨
⎪⎩ B(b, x, Φ, f ), x ∈ ( x* , b],
| ( A11 y )( x) |≤
(27)
λL ˆ
A(b, x, ψ (1) ) − Bˆ (b, x, ψ,(1) ψ ) ,
M
x ∈ ( x* , b ] ,
где Aˆ (b, x, ψ
(1)
⎛x
⎞
) = exp⎜⎜ ∫ ψ (1) ( s )ds ⎟⎟ ,
⎝a
⎠
x
⎛x
⎞
Bˆ (b, x, ψ,(1) ψ) = ∫ exp⎜⎜ ∫ ψ,(1) ( s )ds ⎟⎟ ψ (t )dt .
a
⎝t
⎠
Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010
C учетом (26) положим
имея ввиду (28) и первое равенство из (29), получим
тождество:
⎧⎪ϕ11 ( x), x ∈ [a, x* ),
ϕ1 ( x) = ⎨
⎪⎩ϕ12 ( x), x ∈ ( x* , b],
y '' = Φ ( x, y ( x), y ' ( x)) y ' ( x ) + f ( x, y ( x), y ' ( x)) .
где
Из приведенных построений достаточно очевидно,
∗
что точки a, x , b являются нулями этого решения, а
ϕ11 ( x) = λLM Aˆ ( x, a, ψ (1) ) + Bˆ (a, x, ψ (1) ψ ) ,
−1
точка x ∗ еще точкой его стационарности. Теорема 1
доказана.
Аналогично доказываются теоремы 2–8 (с использованием операторов, определенных равенствами (12) –
(25)).
*
x ∈ [ a, x ) ,
ϕ12 ( x) = λLM −1 Aˆ (b, x, ψ (1) ) − Bˆ (b, x, ψ (1) , ψ ) ,
x ∈ ( x* , b].
4. Если дифференциальное уравнение (1) имеет m
сингулярных точек x1 , x2 , x3 .., xm на интервале (a, b ) ,
то можно разбить этот интервал на m интервалов
(ak −1 , ak ), k = 1,..., m, точками
Из оценки (27) получаем
| A11 y ( x) |≤ ϕ1 ( x).
Тогда за ϕ0 ( x) в формуле (26) примем
x
ϕ 0 ( x) =| ∫ ϕ1 (t )dt |,
x*
a = a0 < x1 < a1 < x2 < a2 < x3 < ... < xm < am = b .
x* ∈ [a, b],
Тогда xk ∈ ( ak −1 , ak ) , и каждую из приведенных
теорем можно сформулировать в отношении интервала
(ak −1 , ak ) при фиксированном k . Если в каждой из
областей
Dk = { ( x, y, y′) : x ∈[ ak −1ak ] \ {xk }, | y (i ) |≤ d i , i = 0,1} ,
и для A21 y ( x) из (11) получим оценку
| A21 y ( x) |≤ ϕ0 ( x), x ∈ [a, b] .
Нетрудно доказать на основании (2),(4) – (6) следующие соотношения:
k = 1, m , выполняются условии теоремы 1, то уравнеy (x) с 2m + 1 нулями в
нии (1) будет иметь решение
точках
a, x1 , a1, x2 ,K, xm , b ,
и
все
точки
lim ϕi ( x) = 0, | ϕi ( x) |≤ d i , i = 0,1 ,
x1 , x 2 , K, x m
A11 y ( x) ≤ d1 , A21 y ( x) ≤ d 0 ,
сти. На различных интервалах ( ak −1 , ak ) при k = 1, m ,
могут выполняться условия различных теорем 1–8 и
количество точек, являющихся нулями решения или
точками стационарности, будут колебаться в различных соотношениях. Минимальное количество нулей и
точек стационарности равняется числу m .
Φ, f
в
сингулярных
точках
Функции
x → x*
lim Ak 1 y ( x) = 0,
x→ x*
k = 1,2 .
Аналогично доказывается выполнения второго из
условий (26) (см, также [2]). Следовательно, операторы
~
A11 , A21 отображают множество C ' (a, b) в себя. Их
непрерывность следует из свойств функцией Φ, f в
области D . Из (11) следует, что
( A11 y )( x) = ( A21 y )′( x),
x ∈ [a, b].
(28)
~
Согласно принципу Шаудера в множестве C ' ( a, b)
имеется по крайней мере одна неподвижная точка, что
y ( x) ,
равносильно
существованию
решения
x ∈ [a, b] , системы интегральных
⎧ y ( x) = ( A21 y )( x),
⎨
⎩ y′( x) = ( A11 y )( x).
уравнений.
(29)
Причем функция ( A11 y )( x) дифференцируема при
x ∈ [a, b] \ {x*} , и после вычисления ее производной,
для него будут точками стационарно-
x = xk , k = 1, m , терпят неограниченные разрывы,
но в других точках a0 , a1 , a2 ,K, am непрерывны, поэтому в силу уравнения (1) в тех точках из них, где
производная решения равняется нулю, т. е. в точках
стационарности, можно установить вид экстремумов.
Действительно, пусть точка
a m является такой точкой.
y (am ) = y ' (am ) = 0 имеем
′
′
′
y (am ) = f (am , y (am ), y (am ) = f (am ,0,0) , и в точке
am
решение
y ( x)
имеет
максимум
при
f (am ,0,0) < 0 и минимум при f (am ,0,0) > 0 .
При определенных ограничениях на функции Φ, f
Тогда из (1) в случае
(см., например, [8]) уравнение (1) имеет решения с
ограниченными производными второго порядка на
всем интервале, включая и точки сингулярности. В
таких случаях выполнено y′′( xk ) = f ( xk ,0,0) при
529
Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010
y ( xk ) = y′( xk ) = 0 , и в зависимости от знака чисел
y′ ≠ 0,
Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные
краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нальчик: Издат. центр «Эльфа», 2004. С. 445.
Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во
Тбилис. ун-та, 1975. С. 352.
Исраилов С.В., Черкасов И.Д. и др. Переопределенные весовые
сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения.
Сб. науч. тр. Грозный, 1990. С. 46-53.
Исраилов С.В., Юшаев С.С. Переопределенные краевые задачи для
сингулярных дифференциальных уравнений второго порядка //
Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения:
Третья междунар. науч. конф. Махачкала, 2007. С. 46-48.
Исраилов С.В. Точки сингулярности в ОДУ порождают переопределенность граничных условий // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы III Междунар. науч. конф. Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. Воронеж, 2009. С. 90-92.
Покорный Ю.В. О нулях функции Грина задачи Валле Пуссена //
Математический сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 105-136.
Исраилов С.В., Джабраилов А.Л. О решениях сингулярных краевых задач ОДУ с ограниченными производными // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Третья междунар. науч. конф. Махачкала, 2007. С. 49-51.
y′ = 0,
Поступила в редакцию 24 февраля 2010 г.
f ( xk ,0,0) устанавливаем виды экстремумов.
Можно рассматривать сингулярное уравнение второго порядка традиционного вида
y′′ = f ( x, y, y ' )
5.
6.
7.
⎧
⎪ f ( x, y, y′) − f ( x, y,0)
,
⎪
y′
Ф ( x, y , y ' ) = ⎨
⎪
f y′ ( x, y,0),
⎪
⎩
уравнение (30) запишем в
8.
квазилинейной форме
y ' ' = Φ( x, y, y ' ) y '+ f ( x, y,0), позволяющей воспользоваться приведенными результатами.
ЛИТЕРАТУРА
530
4.
∂f
, обладающую теми же свойствами. То∂y
гда, положив,
1.
3.
(30)
в предположении, что функция f в области D непрерывна по совокупности переменных, исключая точки сингулярности xk , k = 1, m , и имеет частную производную
2.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.
Israilov S.V., Sagitov A.A. Qualities of variability and stationarity of singular differential equation solutions.
Quasilinear differential equation of the second order is considered, the right part of which has the singularity in one or several
points. The circumstances of solution existence of periodic boundary task, referring to zero in points of singularity, is given.
Key words: Quasilinear singular differential equation of the
second order; solution conditions; boundary task; solution oscillation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
590 Кб
Теги
стационарности, решение, уравнения, дифференциальной, колебательного, свойства, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа