close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свойства резольвенты оператора Лапласа на двумерной сфере и формула следов.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1871
Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 22-40.
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
НА ДВУМЕРНОЙ СФЕРЕ И ФОРМУЛА СЛЕДОВ
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
Аннотация.
В работе изучаются свойства резольвенты оператора ЛапласаБельтрами на двумерной сфере  2 . Получена формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами, возмущённого оператором умножения на функцию из класса
21 ( 2 ).
Ключевые слова: резольвента, ядро, оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный
оператор.
Mathematics Subject Classification: 47B10, 47B15, 47A55
1.
Введение
Пусть

1 2
1 
(sin  ) −
0 = −
sin  

sin2  2
– оператор Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере  2 . Работа посвящена исследованию
спектральных свойств возмущения этого оператора  = 0  +  . А именно, доказательству формулы регуляризованного следа Гельфанда-Левитана для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущённого оператором  умножения на функцию (),  ∈  2 . Впервые формула следа для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущённого нечётной функцией
() ∈  ∞ ( 2 ) была получена в 1993–1996 гг. в работах [1], [2](хотя задача была поставлена И.М. Гельфандом в 1962 г.). Отметим, что для метода, применяемого в этих работах, условия нечётности и принадлежности классу  ∞ ( 2 ) для функции () являются
существенными. Следующее продвижение в этой задаче было сделано в работах [3]–[5],
основанных на одном способе суммирования второй поправки теории возмущений. В этих
работах для любой функции (не обязательно нечётной) () конечной гладкости получена классическая формула следа Гельфанда-Левитана, причем в работе [5] требуется лишь
() ∈  2 ( 2 ).
Для дальнейшего ослабления требований на возмущения (), как оказалось, необходимо более подробное исследование свойств ядра 0 (, 0 , ) резольвенты оператора
Лапласа-Бельтрами (теорема 1), ядра 0 (, 0 , ) приведённой резольвенты (теорема 2).
На основе этих исследований и методике работы [5] формула следа для оператора ЛапласаБельтрами получена для возмущений () из класса 21 ( 2 ).
Отметим, что параграфы 2 и 3 посвящены развёрнутому изложению результатов работы [6].
A.I. Atnagulov, V.A. Sadovnichy, Z.Yu. Fazullin, Properties of the resolvent of the Laplace
operator on a two-dimensional sphere and a trace formula.
c Атнагулов А.И., Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. 2016.
○
Работа выполнена при поддержке гранта 01201456408 Минобрнауки РФ.
Поступила 26 июня 2016 г.
22
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
2.
23
Представление ядра 0 (, 0 , ) резольвенты оператора
Лапласа-Бельтрами
Хорошо известно ([7]), что ядро 0 (, 0 , ) резольвенты 0 () = (0 − )−1 оператора
0 (Лапласа-Бельтрами) в 2 ( 2 ) равно
0 (, 0 , ) =
∞
1 ∑︁ (2 + 1) (cos )
,
4 =0 ( + 1) − 
(2.1)
где  – угол между векторами , 0 ∈  2 ,  (cos ) — полином Лежандра, а
2 + 1
 (, 0 ) =
 (cos )
4
– ядро ортогонального проектора  , проектирующего на собственное подпространство,
соответствующее собственному числу  = ( + 1) оператора 0 , причем кратность 
равна (2 + 1).
С другой стороны, известно (см., например, [8, §4.3, 4.5]), что последовательность
√︀
√
 () =  + 1/2 sin  (cos ),  = 0, 1, . . . ,
(2.2)
образует ортнормированный базис из собственных функций задачи Дирихле обыкновенного дифференциального оператора
  () = − ′′ () − (4 sin2 )−1  ()
в пространстве 2 [0, ], причем
  () = ( + 1/2)2  (),
 = ( + 1/2)2 .
Так что, согласно (2.2), ядро (, 0 , ) интегрального оператора
() = ( − )−1
представляется в виде:
√
∞
∞
∑︁
 () (0 ) ∑︁ ( + 21 ) sin  sin 0  (cos ) (cos 0 )
(, 0 , ) =
=
.
1 2

−

(
+
)
−


2
=0
=0
(2.3)
Откуда, полагая,
1
Γ(, 0 , ) = (sin  sin 0 )− 2 (, 0 , ),
и учитывая, что  (1) = 1, получим
Γ(, 0, ) =
∞
∑︁
( + 1/2) (cos )
=0
( + 1/2)2 − 
(2.4)
∞
1 ∑︁ (2 + 1) (cos )
=
.
2 =0 ( + 1) − ( − 1/4)
(2.5)
Сравнивая (2.1) и (2.5) между собой, приходим к следующему утверждению.
Лемма 1. Для всех , 0 ∈  2 и  ∈
/ {( + 1)}∞
=0 ядро 0 (, 0 , ) представляется
в виде:
1
Γ(, 0,  + 1/4).
(2.6)
0 (, 0 , ) =
2
Таким образом, из леммы 1 и равенств (2.3)–(2.6) видно, что ядро 0 (, 0 , ) может
быть представлено посредством решений обыкновенного дифференциального уравнения
′′ + (4 sin2 )−1  +  = 0
на интервале (0, ).
Вначале заметим, что на промежутке (0, /2) справедливо равенство
(4 sin2 )−1 = (42 )−1 + (),
(2.7)
24
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
где () ∈  (2) [0, /2]. Следовательно, линейно независимые решения уравнения (2.7) можно построить с помощью решений уравнения
 ′′ + (42 )−1 +  = 0.
(2.8)
В качестве линейно независимых решений «невозмущенного» уравнения (2.8) возьмем
функции (см., например, [9, §1.8])
√
√
√
√

01 (, ) = 0 ( ), 02 (, ) = 0 ( ) ,
(2.9)
2
√
√
где 0 ( ) и 0 ( ) — функции
√
√ Беселя первого и второго рода соответственно, а ветвь
 выбираем из условия 0 6 arg  < .
Для удобства изучения данной работы приведем различные представления цилиндрических функций, которыми будем часто пользоваться в дальнейшем.
Для функций 0 () и 0 () воспользуемся разложениями ([8, §5.2]):
∞
∑︁
(−1) (︁  )︁2
0 () =
,
(2.10)
2
(!)
2
=0
∞
∑︁
2
 2
(−1) (︁  )︁2
( + 1),
(2.11)
0 () = 0 () ln −

2  =0 (!)2 2
здесь
1
1
+ . . . + , (1) = −,
2

 — постоянная Эйлера; а также асимптотическими представлениями ([8, §5.11]) при
|| >> 1, | arg | 6  −  ( > 0 – сколь угодно малое число):
√︂ {︁
2

 }︁
0 () =
1 () cos( − ) + 2 () sin( − )
(2.12)

4
4
√︂ {︁
2

 }︁
0 () =
1 () sin( − ) − 2 () cos( − ) ,
(2.13)

4
4
где
∞
∞
∑︁
∑︁
(−1) (0, 2)
(−1) (0, 2 + 1)
1 () =
,

()
=
,
2
2
2+1
(2)
(2)
=0
=0
( + 1) = − + 1 +
при этом (, 0) = 1,
(4 2 − 12 )(4 2 − 32 ) · . . . · (4 2 − (2 − 1)2 )
,  ∈ N,
22 !
1
75
9
+ (−4 ), 2 () =
+ (−5 ).
1 () = 1 −
−
2
128
8 10243
Известно, (см. [9, §1.8]), что вронскиан
(, ) =
 (01 , 02 ) = 01 (, )02 ′ (, ) − 01 ′ (, )02 (, ) ≡ 1.
(2.14)
Теперь линейно независимые решения уравнения (2.7) на промежутке (0, 2 ] построим
как решения неоднородных вольтерровых уравнений
∫︁
 (, ) = 0 (, ) + (, , )() (, ),
(2.15)
0
где
(, , ) = 01 (, )02 (, ) − 01 (, )02 (, ).
(2.16)
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
25
Построенные нами на отрезке [0, /2] с помощью интегральных уравнений (2.15) решения  (, ) уравнения (2.7) допускают продолжения на промежуток ( 2 , ], а именно
имеет место
Лемма 2. Решения уравнений (2.7), построенные на отрезке [0, 2 ] как решения вольтерровых уравнений (2.15), продолжаются на промежуток ( 2 , ] по формулам
 (, ) = 1 ()1 ( − , ) + 2 ()2 ( − , ),
где
 = 1, 2,
{︃
11 () = 1 ( 2 , )′2 ( 2 , ) + ′1 ( 2 , )2 ( 2 , ), 22 () = −11 (),
12 () = −21 ( 2 , )′1 ( 2 , ), 21 () = 22 ( 2 , )′2 ( 2 , ).
(2.17)
Доказательство. Легко заметить, что функции

 ∈ ( , ],  = 1, 2,
2
являются линейно независимыми решениями уравнения (2.7) на этом промежутке. Тогда
продолжения  (, ) выражаются как линейные комбинации  (, ) при  ∈ ( 2 , ]:
 (, ) =  ( − , ),
 (, ) = 1 ()1 ( − , ) + 2 2 ( − , ),
где  () — постоянные, зависящие только от .
При  = /2 должны выполняться соотношения:
{︃
 ( 2 , ) = 1 ()1 ( 2 , ) + 2 ()2 ( 2 , )
′ ( 2 , ) = −1 ()′1 ( 2 , ) − 2 ()′2 ( 2 , ).
(2.18)
(2.19)
Очевидно, из соотношений (2.12)–(2.14) непосредственно следует, что
 (1 , 2 ) =  (01 , 02 ) = 1.
(2.20)
Решая системы (2.19) и учитывая (2.20), приходим к соотношениям (2.17). Лемма 2
доказана.
Теперь мы готовы сформулировать основной результат данного параграфа. Имеет место
следующая
Теорема 1. Для всех  ∈ R ∖ {( + 1)}∞
=0 ядро 0 (, 0 , ) представляется в виде
1
0 (, 0 , ) = √
[2 (,  + 1/4) − ( + 1/4)1 (,  + 1/4)],
(2.21)
2 sin 
где
(︂
)︂
1 ′2 ( 2 , ) 2 ( 2 , )
() =
+
.
(2.22)
2 ′1 ( 2 , ) 1 ( 2 , )
Доказательство. Пусть ядро (, , ) равно:
{︃
2 (, )1 (, ),
(, , ) =
2 (, )1 (, ),
 6  6 ,
 6  6 .
Непосредственно используя (2.7) и (2.20), находим, что функция
∫︁
(, ) = (, , )ℎ(),
0
2
где ℎ() ∈  [0, ], является решением дифференциального уравнения
− ′′ (, ) − (4 sin2 )−1 (, ) − (, ) = ℎ().
(2.23)
26
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
Тогда функция
∫︁
(, ) =
(, , )ℎ(),
(2.24)
0
где (, , ) есть ядро оператора () (см. (2.3)), представляется в виде
∫︁
(, ) = (, , )ℎ() + 1 (, ),
(2.25)
0
где учтено, что (, ) должно удовлетворять условию существования конечного предела
lim (, )( − )−1/2 .
(2.26)
→0+
При  < ,  ∼ , правую часть формулы (2.25) можно представить в виде
∫︁
(, ) = 2 (, ) 1 (, )ℎ() + 1 (, ) +  (, ),
(2.27)
0
где
∫︁
∫︁
2 (, )ℎ() − 2 (, )
 (, ) = 1 (, )

1 (, )ℎ(),

причем легко показать, что  (, ) удовлетворяет оценке
| (, )| 6 1 ( − )(1 + | ln( − )|),
где 1 > 0 — постоянная.
Так что  (, ) удовлетворяет условию lim
→−0
 (,)
√
=0.
−
Отсюда следует, что сумма пер-
вых двух слагаемых в правой части (2.27) должна удовлетворять условию (2.26). Согласно
(2.18), эту сумму легко представить в виде
[11 ()1 ( − , ) + 12 ()2 ( − , )]+
∫︁
+ 1 (, )ℎ()[21 ()1 ( − , ) + 22 ()2 ( − , )] =
0
∫︁
1 (, )ℎ()]1 ( − , )+
= [11 () + 21 ()
0
∫︁
1 (, )ℎ()]2 ( − , ).
+ [12 () + 22 ()
0
Так как по определению 1 ( − , ) удовлетворяет условию (2.26) и, из-за наличия
логарифмической особенности,
2 ( − , )
√
= ∞,
→−0
−
lim
то коэффициент при 2 ( − , ) должен обращаться в нуль:
∫︁
12 () + 22 () 1 (, )ℎ() = 0.
0
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
27
Итак, из (2.23), (2.24), (2.25) следует, что
(, , ) = (, , ) −
22 ()
1 (, )1 (, ),
12 ()
где, согласно (2.17),
[︂
]︂
1 ′2 ( 2 , ) 2 ( 2 , )
22 ()
=
+
.
() =
12 ()
2 ′1 ( 2 , ) 1 ( 2 , )
Отсюда, используя (2.4), (2.5) и соотношения
1 (, )
0 (, )
√
= lim 1√
= 1,
→+0
→+0


lim
приходим к утверждению теоремы.
3.
Представление ядра 0 (, 0 , ) приведенной резольвенты
Представление ядра 0 (, 0 , ) в виде (2.21) позволяет вычислить ядро приведенной
резольвенты оператора 0
1 ∑︁ (2 + 1) (cos )
0 (, 0 ,  ) =
4 ̸= ( + 1) − ( + 1)
в терминах функций  (, ), а также их производных по переменной 


 (, ),  (, ) =
 (, ),  = 1, 2,


в точке  = 2 . Поскольку, согласно теореме 1, спектр оператора 0 совпадает с полюсами
функции ( + 14 ) (() см. формулу (2.22)), то есть с нулями функций 1 ( 2 ,  + 14 ) и
′1 ( 2 ,  + 41 ), причем нетрудно убедиться (см. [8, с.74–79]), что
)︂
(︂
1

,  +
1
= 0,  = 2 + 1,  = 0, 1, . . . ,
(3.1)
2
4
)︂
(︂
1

′
,  +
1
= 0,  = 2,  = 0, 1, . . .
(3.2)
2
4
 (, ) =
Пусть также
 0
 0
 (, ), 0 (, ) =
 (, ),  = 1, 2,

 
тогда из (2.15), (2.16) непосредственно следует, что функции  (, ) и  (, ) на отрезке
[0, 2 ] являются решениями вольтерровых уравнений, а именно справедливо следующее
утверждение.
0 (, ) =
Лемма 3. Для всех  = 1, 2 и  ̸= 0 в банаховом пространстве [0, 2 ] существуют
производные
 (,  + ℎ) −  (, )
lim
=  (, ),
ℎ→0
ℎ
 (,  + ℎ) −  (, )
lim
=  (, ),
ℎ→0
ℎ
причем  (, ) есть решение вольтеррова уравнения
∫︁
∫︁
 (, ) = 0 (, ) + 1 (, , )() (, ) + (, , )() (, ),
(3.3)
0
0
28
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
где
1 (, , ) = 01 (, )02 (, ) − 02 (, )01 (, ) + 01 (, )02 (, ) − 02 (, )01 (, )
(3.4)
и
 (, ) =
0 (, )
∫︁
+
∫︁
2 (, , )() (, ) + 2
0
1 (, , )() (, )+
0
∫︁
+
(, , )() (, ), (3.5)
0
где
2 (, , ) =

1 (, , ) = 10 (, )02 (, ) − 20 (, )01 (, ) + 01 (, )20 (, )−

(︀
)︀
− 02 (, )10 (, ) + 2 01 (, )02 (, ) − 02 (, )01 (, ) .
В дальнейшем для представления ядра приведенной резольвенты 0 (, 0 ,  ) понадобится следующая
Лемма 4. Пусть функции  () и () дважды дифференцируемы в окрестности
 =  , причем ( ) = 0,  ′ ( ) ̸= 0, тогда
[︂ ′
]︂
 ()
 ( )
 ( )  ( ) ′′ ( )
= ′
+ ′
−
+ (1).
()
 ( )( −  )
 ( )
 ′2 ( )
Доказательство. Согласно условию леммы справедлива формула Тейлора
() =  ′ ( )( −  ) +
 ′′ ( )
( −  )2 + (( −  )2 ).
2
Откуда имеем
]︂−1
[︂
1
1
 ′′ ( )
= ′
( −  ) + (( −  ))
=
1+ ′
()
 ( )( −  )
2 ( )
[︂
]︂
1
 ′′ ( )
( −  ) + (( −  )) =
= ′
1− ′
 ( )( −  )
2 ( )
1
 ′′ ( )
= ′
−
+ (1).
 ( )( −  ) 2 ′2 ( )
Поскольку из условия леммы следует, что
 ′′ ( )
( −  )2 + (( −  )2 ),
2
то, перемножая между собой две последние формулы, получим, как раз, формулу для
дроби из утверждения леммы. Тем самым, лемма доказана.
 () =  ( ) +  ′ ( )( −  ) +
Поскольку, в силу теоремы 1, полюса ядра 0 (, 0 , ) совпадают с нулями функций
1 ( 2 , ), ′1 ( 2 , ), где  =  + 14 , согласно соотношениям (3.1) и (3.2), рассмотрим отдельно
случаи  = 2 и  = 2 + 1,  = 0, 1, . . .
Итак, пусть  = 2 + 1, тогда, согласно (2.21), (2.22) обозначив

1
1
 (, ) = 2 ( ,  + )1 (,  + ),
2
4
4

1
() = 41 ( ,  + ),
2
4
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
29
в силу леммы 4 имеем
2 ( 2 ,  + 14 )1 (,  + 41 )
 (, )
=−
+
()
41 ( 2 ,  + 14 )( −  )
2 ( 2 ,  + 41 )1 (,  + 14 ) + 2 ( 2 ,  + 14 )1 (,  + 41 )
−
+
41 ( 2 ,  + 14 )
1 ( 2 ,  + 41 )2 ( 2 ,  + 14 )1 (,  + 41 )
+ (1). (3.6)
−
821 ( 2 ,  + 14 )
Отсюда, согласно соотношениям (2.1), (2.4), (2.5)
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 2 ,  + 14 1 ,  + 14
2 + 1
√
(︀ 
)︀
 (, 0 ) =
=
 (cos ).
1
4
4
sin 1 2 ,  + 4
Так как
 (, ) =
2 + 1
,
4
(3.7)
1 (,  + 14 )
√
= 1,
→+0

lim
то при  = 2 + 1
2 ( 2 ,  + 14 )
= 2 + 1
1 ( 2 ,  + 14 )
(3.8)
Замечание 1. Аналогично исследуется случай  = 2.
Таким образом, из теоремы 1 и соотношений (3.6)–(3.8), учитывая замечание 1 заключаем, что справедлива
Теорема 2. Пусть  =  + 14 . Ядра
 (, 0 ) =
(2 + 1) (cos )
4
и 0 (, 0 ,  )
представляются в виде
 (, 0 ) =
(2 + 1)1 (,  )
√
4 sin 
и
]︂
[︂
1
2 + 1
0 (, 0 ,  ) = √
1 (,  ) −  1 (,  ) ,
2 (,  ) −
2
2 sin 
где при  = 2 + 1
 =
(2 + 1)2 ( 2 ,  )) (2 + 1)2 1 ( 2 ,  ))
′2 ( 2 ,  )
+
−
,
2′1 ( 2 ,  ))
22 ( 2 ,  ))
42 ( 2 ,  ))
 =
2 ( 2 ,  )
(2 + 1)′2 ( 2 ,  )) (2 + 1)2 1′ ( 2 ,  ))
+
−
.
21 ( 2 ,  ))
2′2 ( 2 ,  ))
4′2 ( 2 ,  ))
а при  = 2
При вычислении формулы следов для возмущения оператора Лапласа–Бельтрами по
методике работы [5] ключевым моментом является асимптотика второй поправки теории
возмущений
∫︁
1
 =
()(2 + 1) (cos )0 (, 0 ,  ) sin 
4
0
(определение функции () см. [5, c. 435-436]), причем
 ′ (0) =  ′ () = 0.
(3.9)
30
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
Следовательно, согласно представлению функций  (, 0 ) и 0 (, 0 ,  ) в теореме 2, возникает необходимость изучения асимптотического поведения функций  (, ),
 (, ),  (, ) и их производных по переменной , а также чисел  при  → ∞. С этой
целью докажем ряд утверждений.
Лемма 5. Существуют постоянные 0 > 0 и 1 > 0, не зависящие от  и , такие,
что для всех  ∈ [0, 2 ],  > 0,  = 1, 2
 (, ) = 0 (, ) +  (, ).
(3.10)
|0 (, )| 6 0  −1/4 ,
(3.11)
Причем
−3/4
| (, )| 6 1 
.
(3.12)
√
√
Доказательство. Поскольку sup | 0 ()| < ∞ и sup | 0 ()| < ∞ (см.[9, с.172]), нера≥0
≥0
венства (3.11) являются следствием этих соотношений. Равенство (3.10) следует из (2.15),
где
∫︁
(3.13)
 (, ) = (, , )() (, ).
0
Так как, согласно (3.11) и (2.16), при  > 0 будет
|(, , )| < 20  −1/2 ,
(3.14)
то в уравнении (2.15) норма интегрального оператора оценивается сверху числом

220  −1/2
∫︁2
().
0
Следовательно, из уравнения (2.15) вытекает оценка

|| ()|| = max | (, )| 6 20  −1/4 + 220  −1/2
066 2
∫︁2
()|| ()||.
(3.15)
0
1
4
Откуда следует, что sup  || ()|| < ∞. Теперь оценка (3.12) следует из (3.13)–(3.15).
>0
Далее начнем изучение функций
 0
 0
0 (, ) =
 (, ), 0 (, ) =
 (, ),  = 1, 2,

 
и их производных по переменной . При этом мы используем обычные обозначения для
производных по переменной :
 0

0 ′ (, ) =
 (, ), ′ (, ) =
 (, )


 0

0 ′ (, ) =
 (, ), ′ (, ) =
 (, ).


Имеет место следующая
Лемма 6. Для всех  ∈ [0, 2 ],  > 0
0 (, ) =
 0′
1
 (, ) − 0 (, ),
2
4
 = 1, 2.
(3.16)
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
31
Доказательство. Имеем
√
3/2
01 (, ) = √ 0′ ( ),
2 
√
3/2
02 (, ) = √ 0′ ( ).
2 
(3.17)
Далее, для производных по 
√
√
√
1
01 ′ (, ) = √ 0 ( ) + 0′ ( ),
2 
√
√
√
1
20 ′ (, ) = √ 0 ( ) + 0′ ( ),
2 
(3.18)
(3.19)
откуда следует, что
√
1
1
0′ ( ) = √ 01 ′ (, ) − √ 3/2 01 (, ),

2 
√
1
1
0′ ( ) = √ 02 ′ (, ) − √ 3/2 02 (, ).

2 
Теперь из (3.17), (3.18) и (3.19) мы получим (3.16). Тем самым, лемма доказана.
Лемма 7. Для всех вещественных  > 0
max |0 (, )| 6 0 ||−3/4 ,
066 2
 = 1, 2,
(3.20)
где 0 > 0 — постоянная, не зависящая от .
Доказательство. Согласно (3.11), второе слагаемое в (3.16) допускает оценку вида
(||−5/4 ), равномерную относительно  ∈ [0, 2 ], а согласно (3.18), (3.19),
]︂
[︂√︁
√
√
 0′
1 0

′
 (, ) = 1 (, ) + 3/4
0 ( ) ,
2 1
2

]︂
[︂√︁
√
√
 0′
1 0

′
 (, ) = 2 (, ) + 3/4
0 ( ) .
2 2
2

Для производных функций 0 () и 0 () из равенств (2.10)–(2.13) имеем:
∞
∑︁
(−1)  (︁  )︁2−1
0′ () =
,
(3.21)
2
(!)
2
=1
∞
∑︁
2
2
 2
(−1)  (︁  )︁2−1
0′ () =
0 () + 0′ () ln −
( + 1),
(3.22)


2  =1 (!)2
2
а при  >> 1
[︃ 
]︃
√︂
(︁
)︁ ∑︁
1
2

0′ () = − 0 () −
sin  −
(−1) (0, 2)(2)−2 + (−2−2 ) −
2

4
=0
[︃ 
]︃
√︂
(︁
)︁
∑︁
2


−2−3
−2−3
−
cos  −
4
(−1) (0, 2)(2)
+ (
) −

4
=0
[︃ 
]︃ √︂
√︂
(︁
2
 )︁ ∑︁
2
−
cos  −
(−1) (0, 2 + 1)(2)−2−1 + (−2−3 ) +
×

4

=0
[︃ 
]︃
(︁
 )︁ ∑︁
× sin  −
2
(−1) (0, 2 + 1)(2 + 1)(2)−2−2 + (−2−4 ) , (3.23)
4
=0
32
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
0′ ()
{︃ [︃ 
]︃
√︂
(︁
∑︁
1
 )︁
2

−2−1
−2−3
= − 0 () −
sin  −
(−1) (0, 2 + 1)(2)
+ (
) −
2

4
=0
[︃ 
]︃ }︃ √︂
(︁
∑︁
2
 )︁

−2−1
−2−3
− 4
cos  −
×
(−1) (0, 2)(2)
+ (
)
+

4
=0
[︃ 
]︃ √︂
(︁
∑︁
 )︁
2
×
cos  −
(−1) (0, 2)(2)−2 + (−2−2 ) −

4
=0
[︃ 
]︃
∑︁
(−1) (0, 2 + 1)(2 + 1)(2)−2−2 + (−2−4 ) . (3.24)
2
=0
Пусть  — достаточно большое фиксированное число. Тогда из (3.21), (3.22) находим, что
при || 6  справедливы оценки
|0′ ()| 6 1 ,
|0′ ()| 6
2
+ 3 | ln |,

(3.25)
где  ,  = 1, 2, 3 — некоторые положительные постянные.
√Тогда равенства (3.16) и оценки (3.25) приводят нас к следующим неравенствам: при
  6 .
√
1 5/2
1  5/2
0
√
|1 (, )| 6
6 5/4 ,

2 
|02 (, )|
√ √
2 3/2
3 | ln | 3/2
√
6 √ √ +
=
2  
2 
√
√
√
√
3 4
2 
2  3 ( )5/2 | ln |
+
6 5/4 +
,
=
2
2 5/4
2
2
где 4 = max 5/2 | ln |.
066
√
√
√
Если   >  , то для оценки 0′ ( ) и 0′ ( )√мы используем равенства (3.23) и
(3.24), из которых непосредственно видно, что при   >  выполнено (3.20). Лемма 7
доказана.
Лемма 8. При  = 1, 2 для всех  > 0 и  > 0
0 (, ) =
 0
1
2
 (, ) = − 0 (, ) − 0 (, ) =


4
(︂
)︂
1
2

=
−
0 (, ) − 2 0 ′ (, ). (3.26)
2
4
4
4
Доказательство. Согласно (3.17) имеем:
10 (, ) = −
3/2 ′ √
5/2 ′′ √

(
)
+
 ( ),
4 3/2 0
4 0
поскольку 0 () удовлетворяет уравнению
1
0′′ () + 0′ () + 0 () = 0,

(3.27)
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
33
следовательно, используя (3.16), получим
[︂
]︂
√
3/2 ′ √
5/2
1 ′ √
0
√ 0 ( ) + 0 ( ) =
1 (, ) = − 3/2 0 ( ) −
4
4

3/2
5/2
√
√


1
2
= − 3/2 0′ ( ) −
0 ( ) = − 01 (, ) − 01 (, ) =
2
4
4
4 (︂
)︂
 0′
1
2
= − 2 1 (, ) +
01 (, ).
−
2
4 2 4
Аналогичные выкладки верны также для 20 (, ). Таким образом, лемма 8 доказана.
Лемма 9. При  = 1, 2 для всех  > 0 и  > 0
0 ′ (, )
1
 0
 (, ) = − 0 ′ (, ) −
=

4
(︂
1

+
8
2
)︂
0 (, ).
Доказательство. В (3.17) применим дифференцирование по переменной . В результате,
используя (3.16) и (3.27), получим:
 0
3/2 ′′ √
31/2 √
1 (, ) = √ 0′ ( ) +
 ( ) =

2 0
4 
]︂
[︂
√
31/2 ′ √
3/2
1 ′ √
√ 0 ( ) + 0 ( ) =
= √ 0 ( ) −
2
4 

1 0

=
1 (, ) − 01 (, ) =
2
2
(︂
)︂
1

01 ′ (, )
−
+
=
01 (, ).
4
8
2
Аналогичные соотношения верны также для

0 (, ).
 2
Лемма 9 доказана.
Совершенно аналогично, используя (3.26), покажем, что имеет место
Лемма 10. При  = 1, 2 для всех  > 0 и  > 0
(︂
)︂
 0
1

2 0 ′
0′
0
 (, ) =
−
 (, ).
 (, ) =

(,
)
−


16 2 4
4 
Теперь асимптотическое поведение функций  (, ) и  (, ) и их производных легко
изучить, используя эти леммы и уравнения (3.3), (3.5), соответственно.
4.
Оценки, необходимые для вычисления асимптотики приведенной
резольвенты
На основании
формул (2.12), (2.13) и определений функций 0 (, ),  = 1, 2 (см. (2.9)
√
при   >  >> 1 имеем
√︂
√
√
√
2 −1/4 {︁ √

 }︁
0
1 (, ) =

1 ( ) cos(  − ) + 2 ( ) sin(  − )
(4.1)

4
4
√︂
√
√
√
 −1/4 {︁ √

 }︁
0
2 (, ) =

1 ( ) sin(  − ) − 2 ( ) cos(  − )
(4.2)
2
4
4
(︀ 0 )︀2
√
√
√
1
1 (, ) = √ {[12 ( ) + 22 ( )] + [12 − 22 ] sin 2( )−
 
√
√
√
− 21 ( )2 ( ) cos 2( )} (4.3)
34
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
(︀ 0 )︀2
√
√
√

2 (, ) = √ {[12 ( ) + 22 ( )] − [12 − 22 ] sin 2( )+
4 
√
√
√
+ 21 ( )2 ( ) cos 2( } (4.4)
√
√
√
1
0
01 (, ) 2 (, ) = − √ {[12 ( ) − 22 ( )] cos 2( )+
2 
√
√
√
+ 21 ( )2 ( ) sin 2( )} (4.5)
Здесь
1
5
1
+ (−3 ).
+ (−4 ), 12 − 22 = 1 −
+ (−4 ), 1 2 =
2
2
8
32
8
Так как нам нужны значения функций  (, ) и их производных в точке  = 2 , согласно
формулам (2.15), (2.16), то нам потребуются оценки функций
∫︁
∫︁
0
1 (, ) = 2 (, )()1 (, ), 2 (, ) = 01 (, )()1 (, ),
(4.6)
12 + 22 = 1 −
0
∫︁
0
∫︁
02 (, )()2 (, ).
(4.7)
Используя (4.6), (4.7) функции  (, ), согласно (3.10), представим в виде:
∫︁
1 (, ) = 02 (, )()01 (, ) + 1 (, ),
(4.8)
3 (, ) =
02 (, )()2 (, ),
0
4 (, ) =
0
0
∫︁
02 (, )()1 (, )
(4.9)
(︀ 0 )︀2
1 (, )() + 2 (, ),
(4.10)
1 (, ) =
0
∫︁
2 (, ) =
0
∫︁
01 (, )()1 (, )
(4.11)
02 (, )()01 (, ) + 3 (, ),
(4.12)
2 (, ) =
0
∫︁
3 (, ) =
0
∫︁
21 (, )()2 (, )
(4.13)
(︀ 0 )︀2
2 (, )() + 4 (, ),
(4.14)
3 (, ) =
0
∫︁
4 (, ) =
0
∫︁
4 (, ) =
0
02 (, )()2 (, ).
(4.15)
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
35
Лемма 11. Для всех  ∈ [0; /2] и  > 0 справедлива оценка

| (, )| 6 2 ,

 > 0,
 = 1, 2, 3, 4.
Доказательство. Действительно, из определения функций  и оценок (3.11), (3.12) имеем
∫︁

| (, )| 6
,

0
откуда вытекает доказательство леммы.
Лемма 12. Пусть  >> 1, тогда

∫︁2
0 (,  )() (,  ) = (−1 ),
 ̸= ,
,  = 1, 2,
0

∫︁2
01 (,  )()1 (,  )
=
2
1
√
2
(︂

+
1

)︂
,
0

∫︁2
02 (,  )()2 (,  )
1
= √ +
8 
(︂
1

)︂
.
0
Доказательство. Пусть  — достаточно большое фиксированное число, тогда при
√
  6  , поскольку 0 () ≈ 1,  → 0, в силу разложений (2.10), (2.11) имеем, что
01 (,  )|
√
6 1 ,
1
|02 (,  )|
6 2
 2 −

2
|01 (,  )02 (,  )| 6 3

1−

,
(4.16)
2
где 0 <  ,  = 1, 2, 3 — постоянные,  — достаточно малое положительное число. Следовательно,
⃒ 
⃒

⃒ √
⃒
√
⃒ ∫︁ 
⃒
(︂
)︂2−2
(︂ )︂
∫︁ 
⃒
⃒
(︀ 0 )︀2



1
1−2
⃒
√
2 (,  )()⃒⃒ < 

 =
=
.
(4.17)
⃒

(2 − 2)


⃒
⃒ 
0
⃒0
⃒
Аналогично убеждаемся в том, что
√
∫︁ 
√
(︀ 0 )︀2
1 (,  )() = 
(︂
1

0
∫︁ 
)︂
,
01 (,  )02 (,  )()
0
√
Теперь при   >  >> 1 для анализа интегралов

∫︁2
√

0 (,  )0 (,  )()
(︂
=
1

)︂
.
(4.18)
36
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
воспользуемся асимптотическими формулами (4.1)–(4.5). Итак,


∫︁2
∫︁2
01 (,  )02 (,  )()
1
=− √
2 
√

[︂
(︂
)︂]︂
√
1
cos 2   1 + 
() =
 2
√


)︂]︂ ⃒⃒ 2
)︂
[︂
(︂
(︂
∫︁2
√
√
()
1
1
1
⃒
sin 2  
sin 2  1 + 
()+
=−
+
⃒
⃒ 
4
 2
4
 3
√
√


(︂
+
1

)︂
(︂
=
1

)︂
, (4.19)
поскольку  можно подобрать таким образом, что sin 2 = 0 и

∫︁2
√
2∫︁
√
sin 2  
 =
 3

sin 2

3

√

– ограниченная величина. Аналогично используя асимптотические представления функ2
2
ций (01 ) (,  ) и (02 ) (,  ) из (4.1)–(4.5) получим, что:

∫︁2

(︀ 0 )︀2
1
1 (,  )() = √
 
√

(︂
() + 
1

)︂
(4.20)
√


∫︁2
∫︁2

(︀ 0 )︀2

2 (,  )() = √
4 
√

∫︁2
(︂
() + 
1

)︂
.
(4.21)
√

Отметим, что

∫︁2
() =
1
.
2
(4.22)
0
Следовательно, доказательство леммы вытекает из представлений (4.6), (4.7), (4.8)–(4.15),
леммы 11 и соотношений (4.17)–(4.22).
5.
Асимптотика второй поправки теории возмущений и формула следа
Теперь на основании теоремы 2 и лемм 5–12 изучим асимптотику второй поправки теории возмущений  , которая, как отмечалось выше, является ключевым моментом в вычислении формулы регуляризованного следа оператора . А именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть  ∈ 21 [0; ] и  >> 1. Тогда справедлива оценка
(︁ 3 )︁
(︁ 3 )︁
−4
=  − 2 ,
 =  
то есть последовательность  абсолютно суммируема.
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
37
Доказательство. Согласно теореме 2 и (3.9) имеем
1
 =
4
∫︁
(2 + 1)() (cos )0 (, 0 ,  ) sin  =
0
1
=
16 2
∫︁
√
√
()  1 (,  )[2 (,  ) −  1 (,  ) −  1 (,  )]. (5.1)
0
Так как при  ∈
(︀ 
2
;
)︀
 (, ) = 1 ()1 ( − , ) + 2 ()2 ( − , ),  = 1, 2,
)︀
то при  ∈ 2 ;  имеем
(5.2)
(︀ 
1 (, ) = 11 ()1 ( − , ) + 12 ()2 ( − , ) + ′11 ()1 ( − , )+
+ ′12 ()2 ( − , ). (5.3)
Следовательно, для исследования асимптотического поведения  при  >> 1, согласно
(5.1) и (5.2), необходимо изучить асимптотику чисел  ( ), ′11 ( ), ′12 ( ) и  .
Пусть  = 2 + 1, то есть 1 ( 2 ,  ) = 0 (случай  = 2,  = 1, 2, . . . исследуется аналогично). Поскольку  (1 , 2 ) = 1, заметим, что


11 () = 21 ( , )′2 ( , ) − 1.
2
2
Поэтому из формул (2.17), (5.3) при  = 2 + 1 имеем
11 ( ) = −1,
22 ( ) = 1,


21 ( ) = 22 ( ,  )′2 ( ,  ),
2
2


12 () = −21 ( ,  )′1 ( ,  ) = 0.
2
2
(5.4)


′12 ( ) = −21 ( ,  )′1 ( ,  ),
2
2
(5.5)


′11 ( ) = 21 ( ,  )′2 ( ,  ),
2
2
(5.6)
1 (,  ) = −1 ( − ,  ) + ′11 ( )1 ( − ,  ) + ′12 ( )2 ( − ,  ).
(5.7)
Теперь, пользуясь формулами (3.8), (4.1)–(4.5), и на основе лемм 6 и 8 для  >> 1,
 = 2 + 1, получаем
(︃ )︃
(︃ )︃
{︂
(︂
)︂}︂
1
1
1
1
′
′
, 11 ( ) = 
, 12 ( ) = − √
21 ( ) = 
1+ √
.
(5.8)
3
3


2
2
]︂
′2 ( 2 ,  )  2 ( 2 ,  ) 2 1 ( 2 , )
 = ′ 
+
−
=
1 ( 2 ,  )
2 ( 2 , )
2 ( 2 , )
{︂
(︂
)︂}︂
1
1
1
1
−1
−1
−1
= [( ) − √ + ( ) + √ + ( )] = √
1+ √
. (5.9)
4 
2 
4 

[︂
Далее, разобьем интеграл в формуле (5.1) по промежуткам [0; 2 ] и [ 2 ; ]. В интеграле по
второму промежутку, используя соотношения (5.2) и (5.3), произведя замену переменной
 −  =  и учитывая равенства (5.4)–(5.9) для чисел  при  >> 1, из (5.1) получим
38
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
следующее представление
 =
{︃ ∫︁2
1
16 2
√
[() − ( − )]  1 (,  )2 (,  )−
0

∫︁2
[() + ( − )] 1 (,  )1 (,  )−
−
0

2
∫︁
−
1
[() + ( − )] √
4 
{︂
(︂
1+
1
√

)︂}︂
21 (,  )−
0

∫︁2
−
(︁ 3 )︁
√
−
( − )  1 (,  )2 (,  ) +   4
}︃
=
0
(︁ 3 )︁
−
= 1 () + 2 () + 3 () + 4 () +   4 . (5.10)
Изучим асимптотическое поведение  (),  = 1, 2, 3, 4, при  → ∞. Для слагаемого
1 (), вначале проинтегрировав по частям, а затем используя оценки (3.11), (3.12) и (4.18)
и асимптотическое представление (4.5), заключаем, что

∫︁ 
√ ∫︁2

[ ′ () +  ′ ( − )] 1 (,  )2 (,  )  =
1 () = −
16 2
0
0
⎧
⎫




√
√
⎪
 


2
2
⎪
⎪
∫︁ ∫︁
∫︁ ∫︁ ⎪
√ ⎨ ∫︁ ∫︁
⎬

=−
+
+
[ ′ () +  ′ ( − )]1 (,  )2 (,  )  =
⎪
16 2 ⎪
⎪
⎪
⎩0 0
⎭
0 √
√
√



(︁ 3 )︁
−
=   4 , (5.11)
где  — достаточно большое фиксированное число.
Для исследования 2 (), воспользовавшись представлениями (2.15), (3.3) и (3.16) и оценками (3.11), (3.12) и леммой 12, а также асимптотическими представлениями (4.1)–(4.5),
устанавливаем, что

2 () = −
1
16 2
∫︁2

[() + ( − )] 01 ′ (,  )1 (,  )+
2
0

2
1
+
64 2
∫︁
(︁ 3 )︁
(︁ 3 )︁
(︀ )︀2
−
−
(1)
(2)
[() + ( − )] 01 (,  ) +   4 = 2 () + 2 () +   4 . (5.12)
0
(1)
Интеграл 2 () разобьем на два интеграла – по промежуткам [0; √ ] и [ √ ; 2 ]. Затем,
воспользовавшись оценками (3.25), (4.16) получим, что
√
∫︁ 
(︁ 3 )︁
1
 0′
−
−
[()
+
(
−
)]

(,

)
(,

)
=

 4 .
 1

1
2
16
2
0
СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. . .
39
Для второго промежутка, используя асимптотическое представление функции 01 (,  )
из (4.1)–(4.5) и, один раз интегрируя по частям, в силу неравенства Коши-Буняковского
при условии  ∈ 21 (0; ), заключаем, что

1
−
16 2
∫︁2
(︁ 3 )︁
(︁  )︁
1
 0′
−
+   4 .
[() + ( − )] 1 (,  )1 (,  ) =

2
2
64
2
(5.13)
√

Далее, заметим, что
(2)
3 () + 2 () = (−1 ).
(5.14)
Наконец, изучим асимптотическое поведение слагаемого 4 () в формуле (5.10). С этой
целью, интегрируя по частям, имеем

∫︁2
√
 (︁  )︁
4 () = −
1 (,  )2 (,  )−

16 2
2
0
√

−
16 2

∫︁2
 ′ ( − )
0
∫︁ 
1 (,  )2 (,  )  + (−1 ). (5.15)
0
Далее, поскольку

∫︁2
(︀ 0 )︀2
1 (,  )
0
∫︁ 

(︀ 0 )︀2
2 (,  )( )  −
0
∫︁2
(︀ 0 )︀2
2 (,  )
0
∫︁ 
(︁ 3 )︁
(︀ 0 )︀2
−
1 (,  )( )  =   2 ,
0
на оcнове лемм 5 и 12 получим, что


∫︁2
∫︁2
1 (,  )2 (,  ) =
0
(︁ 3 )︁
−
01 (,  )02 (,  ) +   2 .
(5.16)
0
Теперь, воспользовавшись формулой ([10, с. 125]) и aсимптотическими представлениями
(4.1)–(4.5), а также для функций 1 (), 1 () (см. [11, с. 223]), заключаем, что


∫︁2
∫︁2
0
01 (,  )02 (,  ) =

2
√
√
0 (  )0 (  ) =
0
(︁ 3 )︁
√ 
√ 
 √ 
3 √ 
1
−
= 01 (  )02 (  ) + 1 (  )1 (  ) =
+   2 . (5.17)
4
2
2
16
2
2
4
Итак, согласно оценкам (5.11) и (5.16), из равенств (5.15) и (5.17) следует, что
(︁  )︁
(︁ 3 )︁
1
−
4 () = − √ 
+   4 .
64 
2
(5.18)
Следовательно, утверждение теоремы 3 вытекает из формулы (5.10) на основе равенств
(5.11), (5.12), (5.13), (5.14) и (5.18).
Так как доказанная теорема 3 позволяет использовать методику работы [5] по вычислению формулы регуляризованного следа и поскольку из определения функции ()
(см. [5, с.435-436]) вытекает, что гладкости функций () и () совпадают, мы приходим
к основному результату работы.
40
А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
Теорема 4. Пусть () ∈ 21 ( 2 ). Тогда
∫︁ ∫︁
∞ ∑︁

∑︁
1
()(0 )
()
√︀
[ − ( + 1) − 0 ] =
()(0 )−
3
16  2  2 1 − (, 0 )2
=0 =−
1
−
8
∫︁
 2 ()(),
2
()
где  – собственные числа оператора ,
∫︁
1
()(),
0 =
4
2
ряд в левой части формулы сходится абсолютно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере // Докл. АН СССР.
1991. Т. 319. № 1. C. 61–62.
2. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на  2 // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 1. C. 71–77.
3. Фазуллин З.Ю. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам. Тезисы докладов
Нижний Новгород. 1997. C. 80–81.
4. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Формула первого регуляризованного следа для возмущения
оператора Лапласа-Бельтрами. Дифференциальные уравнения 2001 T. 37, № 3. C. 402–409.
5. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере  2 . Матем. заметки 2005 T. 77, выпуск 3. C. 434–448.
6. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.И. Свойства резольвенты оператора
Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере и формула следов // Докл. АН. 2011. Т 441, №2.
C. 174–176.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981. 512 с.
8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: ГИФМЛ. 1963. 358 с.
9. Сёге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ. 1962. 500 с.
10. Ватсон Д.Н. Теория Бесселевых функций. М.: ИЛ. 1949.798 с.
11. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1964. 344 с.
Арсэн Ильгизович Атнагулов,
Башкирский государственный аграрный университет,
ул. 50-летия Октября, 4,
450080, г. Уфа, Россия
E-mail: russtudent1@yandex.ru
Садовничий Виктор Антонович,
Московский государственный университет им. Ломоносова,
ул. 50-летия Октября, 4,
450080, г. Уфа, Россия
Зиганур Юсупович Фазуллин,
Башкирский государственный университет,
ул. Заки Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия
E-mail: fazullinzu@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
592 Кб
Теги
сферы, резольвенты, формула, оператора, свойства, двумерной, лапласа, следов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа