close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Синтез релейного многопрограммного регулятора для линейных систем.

код для вставкиСкачать
УДК
Вестник СПбГУ. Сер.
517.9
10, 2004,
вып.
4
Н. В. Смирнов
СИНТЕЗ РЕЛЕЙНОГО МНОГОПРОГРАММНОГО
РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.
Введение.
Проблемы построения программных управлений и стабилизации
программных движений представляют собой два наиболее важных направления раз­
вития математической теории управления.
Фундаментальные результаты по теории
линейных управляемых систем, изложенные в работах
[1-5],
нашли широкое примене­
ние в самых разных областях техники и вошли в программы университетских курсов.
Вместе с тем интерес к линейным моделям не исчезает до сих пор, возникают новые
постановки задач [6, 7]. Одной из таких задач является проблема построения много­
программных управлений, впервые сформулированная в [8]. Изложим кратко ее суть.
Рассмотрим линейную управляемую систему
х =Ах+
(1)
Bu + F(t),
где х- п-мерный вектор фазового состояния;
u-
r-мерный вектор управлений; А и В
-постоянные, вещественные матрицы соответствующих размерностей;
венная, непрерывная вектор-функция, заданная при
Задача
1 [8]
t
Е
F(t) -
вещест­
( -оо, +оо).
(Многопрограммная стабилизация). Требуется построить управление
(2)
u = u(x, t),
которое реализует заданные программные движения
Xj
= Xj(t),
j = 1,N,
(3)
Uj
= Uj(t),
j = 1, N.
(4)
при программных управлениях
Кроме того, необходимо, чтобы программные движения
(3)
при управлении
асимптотически устойчивы по Ляпунову. Число программных движений
с размерностью системы
3
а м е ч а н и е
(1)
1.
N
(2)
были
не связано
и размерностью пространства управлений.
В рамках данной задачи не рассматриваются методы по­
строения программных управлений. Для определенности будем полагать, что каждое
управление
uj(t)
и программное движение
Xj(t), j = 1, N,
являются ограниченными
функциями времени и строятся как решение задачи по переводу системы
данного начального состояния Xjo при
t = to + Т.
t = t0
(1)
из за­
в заданное конечное состояние Xjl при
Таким образом, если систему (1) замкнуть программным управлением Uj ( t)
(4), то она будет иметь соответствующее частное решение Xj(t) = Xj(t, t 0, Т, Xjo,xjl)
из семейства (3), отвечающее выбранным начальным и конечным данным. Другими
словами, для каждой пары uj(t), Xj(t) имеет место тождество по t на интервале, где
из
эти функции определены:
©Н. В. Смирнов,
2004
153
Задачу
1 решает следующая теорема.
1 [8]. Пусть выполненъt следующие
Теорема
1)
х
при
u =
= Ax+Bu
Сх .может и.м.еть с-коль угодно большой запас устой-чивости, полу-чающийся
путе.м. въtбора постоянной .матрицы С
2)
условия:
система
програ.м..м.ные движения
(3)
;
разли-чи.м.ъt при
t
~
~ О, ина-че говоря,
to
i -1- j;
тогда существует управление
реализующее програ.м..м.ные движения
(2),
(3),
при это.м.
-каждое из этих програ.м..м.ных движений будет аси.м.птоти-чес-х:и устой-чиво по Ляпу­
нову.
Полное доказательство теоремы
1
можно найти в работе
[9].
Управление
(2)
имеет
следующее представление:
N
u(x, t) =
.
~ ( u;(t) + С(х- x;(t))- 2u;(t)
t
(x;(t) - x,(t)) (х- ~; (t)) )Р;(х, t),
i=l,i#j
(xj(t)- xi(t))
(5)
где
N
Х Xi (t))
Pj (х, t ) = П
i=l,i#j (xj(t)- xi(t))
(
2
-
2'
(6)
j = l,N.
В формулах (5), (6) и далее по тексту выражения (xj(t)-xi(t)) (x-xj (t)), (xj (t)-xi(t))
2
означают скалярное произведение и скалярный квадрат соответствующих векторов.
Для управления
(5)
и скалярных функций
u(xj(t),t)
i -:/- j,
Система
(1),
(6)
выполнены очевидные свойства:
= uj(t), Pj(xj(t),t) = 1,
Pj(xi(t),t) =О,
(7)
i, j = 1, N.
замкнутая управлением
(5), (6),
с учетом свойств
(7)
представляет
собой многопрограммный автомат, способный реализовать произвольное программное
движение из семейства
(3)
в зависимости от выбора начальных данных и обеспечить
его асимптотическую устойчивость.
2.
Постановка задачи релейной многоnрограммной стабилизации.
поставить вопрос о реализации управления
(5), (6)
Если
в конкретной прикладной задаче,
то мы сразу столкнемся с проблемой непрерывного получения информации о векторах
отклонений
Yj(t)
= x(t) -xj(t) для всех программных движений Xj(t) из семейства (3).
Эта проблема исчезает, если построить дискретный или релейный регулятор вместо не­
прерывного. Дискретное многопрограммное стабилизирующее управление было пред­
ложено в работе
[10].
Рассмотрим замкнутую систему
xk(t) из семейства (3).
ние xk(t) из заданного
154
Индексом
(1), (5), (6)
и некоторое ее Программное движение
k фактически выделяется одно программное движе­
набора х 1 (t),
... , XN(t),
т.е. то движение, которое необходимо
реализовать и стабилизировать в конкретной ситуации. Вместе с тем работа системы
управления должна быть универсальна по отношению к исходному семейству
(3)
и
зависеть лишь от начальных данных выбранного движения.
Далее по тексту, в громоздких выражениях и там, где это не мешает пониманию
сути преобразований, мы будем опускать аргумент
Yk · · · ·
Для Xk в
[9]
t
у векторных функций
Xj, xk, Uj,
была построена система в отклонениях
Yk = (А+ BC)yk + G(t, Yk),
(8)
где
N
G(t,y•)=Gk(t,yk)+B _
L
(u;+C(yk+xk-xj)-
1=1 , J=f.k
(9)
Скалярная функция 9k(Yk) представляет собой сумму слагаемых, порядок которых
по компонентам вектора
Yk
не меньше двух.
Заметим, что в силу ограниченности функций
следующее свойство функции
lim IIG(t, Yk)ll
IIYkii~O
IIYkll
равномерно по
t
~ О.
uj(t), Xj(t), j
= 1, N,
имеет место
G(t, Yk):
=0
Это означает, что для системы
(10)
(8), (9)
выполнено основное
условие теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению
Далее, если ввести формальное обозначение vk
= Cyk,
то систему
[11].
(8), (9)
можно
переписать так:
(11)
Определение 1 (12]. Управление
vR(t, у) будем называть допустимым релейным
управлением, если оно представимо в виде vR(t,y) = (vr(t,y), ... ,vf!'(t,y))т,
(12)
где
CJi(t, у) -
управляющие сигналы;
mi -
неотрицательные постоянные параметры,
характеризующие абсолютную величину управляющих воздействий; функции
<fJi(CJi)
определяют знак управляющих воздействий и удовлетворяют соотношениям
<fJi(CJi(t,y)) = sign(CJi(t,y)),
1 (/Ji(CJi(t, y))l ::; 1,
li > о,
CJi(t, y)l > li,
1 CJi(t, Y)l ::; li ,
1
i = Г,Т.
155
Таким образом, функции
'Pi(CJ'i(t, у))
вне промежутков
[-li, Ц
заданы точно, а внутри
их они могут быть заданы произвольно, лишь бы выполнялись условия существования
решений замкнутой системы.
Задача
(Релейная многопрограммная стабилизация).
2
ется построить допустимое релейное управление
значений параметров
(12),
mi, CJ'i, li,
Для системы
т. е.
при которых система
(11)
требу­
указать алгоритм поиска
замкнутая управлением
(11),
будет обладать следующим свойством: все ее решения, выходящие в момент
из д-окрестности начала координат sб
Sc:
(12),
= {Yk IIYkll <
1
= {Yk
1
IIYkll <
t0
6}, попадают в €-Окрестность
е-} и в дальнейшем в ней остаются. Кроме того, необходимо ука­
зать ограничения на вектор нелинейности
G(t,yk, vk)
в правой части системы
(11),
при выполнении которых это возможно.
Решение задачи
2
позволит указать алгоритм построения релейного многопрограм­
много стабилизирующего управления в виде, аналогичном
(5), (6),
что и является ко­
нечной целью данной работы.
3.
Синтез релейного многопрограммного регулятора.
тим, что для любого
k
система линейного приближения в
(11)
Прежде всего отме­
одна и та же:
(13)
y=Ay+Bv,
где у,
v - формальные обозначения для векторов фазовых переменных и управлений
соответственно.
Для системы (13) построим релейное стабилизирующее управление vR(t, у) [3, 12].
При этом будем полагать, что она стабилизируема непрерывным управлением в виде
линейной обратной связи
v
=Су, т.е. по известному алгоритму
[3]
найдена матрица С,
которая обеспечивает асимптотическую (а следовательно, и экспоненциальную) устой­
чивость замкнутой системы
у = (А+ ВС)у.
(14)
В этом случае существуют две положительно-определенные квадратичные формы
v(y) = утVу и w(y) = утWу, связанные соотношеюi:ем
dv(y) 1
--;}1 (14) = -w(y)
и удовлетворяющие неравенствам
в которых · а 1 , а 2 , Ь 1 , Ь 2 -
положительные постоянные.
тельно-определенная матрица
W
Будем считать, что положи­
зафиксирована, а матрица
V
найдена из матричного
уравнения Ляпунова. Таким образом, квадратичные формы построены, а константы
а1' а2' ь1' ь2 определены.
Замкнем систему (13) релейным управлением vR и перепишем в эквивалентном
виде:
(15)
Продифференцируем квадратичную форму
v(y),
в силу системы
(15),
с учетом пред­
ставления (12) для vR:
dv(y)
-d-
t
156
1
(15)
= -w(y)
+ 2утvв(v R -Су)= -w(y)- 2 Lr CJ'i(y)si(y),
.
t=1
где введены обозначения
(о-1(у), ... ,o-r(Y)) = -2утvв,
(16)
(s1(y), ... ,sr(Y))T = (т1<р1(о-1(у)), ... ,тr<pr(O"r(Y)))T- Су.
Введем вспомогательные постоянные величины
lo =
Здесь
Ci -
Ь1а1Е 2 4а2 ~ mю)
(
-l
i-я строка матрицы С.
Теорема
2. Пустъ v =Су -непрерывное управление, стабилизирующее систему
(13) . Тогда управление (12), в котором вектор о-(у) = (о-1(у), ... ,о-r(У))т задается
соотношением (16), при тi ~ тю и li :::; l 0 решает зада 'Чу релейной стабилизации для
заданных е и 8.
Теорема 2 является следствием теоремы 5.3 (см. (12, с. 95]). Далее будем исполь­
зовать построенные квадратичные формы v(y) и w(y) для синтеза релейного стабили­
зирующего управления в нелинейной системе (11). Замкнем ее релейным управлением
vR(Yk) и перепишем в следующем эквивалентном виде:
(17)
Продифференцируем квадратичную форму
представления
(12), (16)
при тi ~тю,
в силу системы
v(y),
(17),
с учетом
li :::; lo:
Рассмотрим вспомогательную функцию
В силу положительной определенности квадратичной формы
ществует постоянная /k >О такая, что для всех Yk Е
S"Yk
w(yk)
и свойства
(10)
су­
= {Yk IIIYkll < /k} выполнено
неравенство
где
bk -
некоторая положительная постоянная.
ливы для любого
k = 1, N.
При этом матрицы
V
же, так как система линейного приближения (13)
ния Ь* = min{b 1, ... , bN }, 1* = min{/1, ... , /N },
r
Приведеиные рассуждения справед­
и
W
квадратичных форм одни и те
общая для всех
l~ = Ь*а1е 2 ( 4а2 ~тю
k. Введем обозначе­
) -1
~=1
Теперь можно сформулировать основной результат.
Теорема 3. Пустъ v =Су -непрерывное управление, стабилизирующее систему
(13), и 8 < 1* J a1fa 2 , тогда управление вида (12), (16), построенное для Ь*, l0, решает
зада'Чу релейной стабилизации для каждой из систем (11) при k = 1, N.
157
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы
так же, как доказательство теоремы
приближения
3 не представляет труда и может быть
5.3 [12]. В отличие от случая системы
проведено
линейного
необходимо построить оценку сверху для полной производной
(13),
(18)
с
учетом сделанных предположений и обозначений. При этом роль квадратичной формы
w(yk) будут играть функции Wk (t, Yk), k = 1, N.
Теорема
Пустъ вътолнены у~
вия существования непрерывного .многопро­
4.
гра.м.много стабилизирующего управле ия
-ч.и.мъt при
~
t
~ О, т . е.
to
полностью управляема.
(5): 1) програ.м.мные движения (3) разли­
Xjll > О, i # j; 2) система х = Ах+ Bu
inft;:::o llxi
Тогда существует релейное .многопрогра.м.мное управление,
реализующее програ.м.мнъtе движения
и обеспе-ч.ивающее их релейную стабилиза­
(3)
цию.
3
а меч а н и е
2.
Теорема
4 является
следствием теорем
1, 3.
Обозначим релейное
стабилизирующее управление, построенное для систем (11), через v~. Теорема 3 дает
достаточные условия его существования.
теоремы
3
Если эти условия выполнены , то для с5 из
релейное многопрограммное управление может быть представлено в виде
N
u(x,t) =
~(щ(t) +v~(t,x-x;(t))-
где величины Pj(x,
3
2 щ(t)
t
(x;(t)- x,(t)) (х- :;(t)) )р;(х, t),
i=l,i#j
(xj(t)- xi(t))
t) задаются формулами (6).
3. Рассмотрим линейную нестационарную
а меч а н и е
х
управляемую систему
= A(t)x + B(t)u + F(t),
(19)
в которой х- п-мерный вектор фазового состояния; u- r-мерный вектор управлений;
элементы (пхп)- и (пхr)-матриц
A(t), B(t) непрерывны при t ~О; F(t) - вещественная,
t ~О. Утверждения теорем 2-4 остаются
непрерывная вектор-функция, заданная при
верны для системы
в сильном смысле
(19),
[12].
если их условия дополнить требованием ее стабилизируемости
Summary
Smirnov N. V. Synthesis of
а
relay multiprogrammed regulator for linear systems.
The proЬlem of relay multiprogrammed stabilization for linear controlled systems is considered.
The theorem on sufficient conditions of existence of relay multiprogrammed control and on its
representation is proved.
Литература
1.
Ка.л..мшн. Р. Е. Об общей теории систем управления
ИФАК. М.,
2.
Т.
2.
С.
1959. 324
Труды
I
Междунар.
конгресса
с.
Зубов В. И. Лекции по теории управления . М.,
1975. 495 с.
1968. 475
Красовс?Сuй Н. Н. Теория управления движением. М.,
с.
Понтрягин Л. С., Волтянс?Сuй В. Г., Гам?Срелидзе Р. В., Мищен?Со Е. Ф. Математическая
теория оптимальных процессов . М.,
158
11
521-546.
Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирова-
ния. л.,
3.
4.
5.
1961.
1969. 384
с.
6.
Пол.я:~е В. Т., Щерба?Сов Л. С. Возможные подходы к решению трудных задач линейной
теории управления
управления>>. М . ,
11
Труды
2004.
С.
111
23-63.
Междунар . конференции <<Идентификация систем и задачи
7. Валашеви-ч. Н. В., Габасов Р., Кири.!/,.1/,ова Ф. М. Численные методы программной и по­
Зиционной оптимизации линейных систем управления
физики.
8.
1991.
9.
2000.
Т.
40, N! 6.
С.
11
Журн. вычисл. математики и мат.
838-859.
Зубов В. И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений
т.
318,
]'(!
2.
с.
Докл.
АН СССР.
Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е. Стабилизация семейства программных движений били­
11 Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика,
1998. Вып. 2 (N! 8). С. 70-75.
Smirnov N. V. Discrete multi programmed staЬilization of linear systems 11 Proc. Ninth
Workshop "Beam Dynamics & Optimization". St. Petersburg, Russia, 2002. Р. 328-332.
Ляпуиов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1935. 386 с.
Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб., 1997. 307 с.
нейной нестационарной системы
астрономия.
10.
Intern.
11.
12.
11
274-277.
Статья поступила в редакцию
19
октября
2004
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
1 040 Кб
Теги
синтез, многопрограммного, система, релейного, линейный, регуляторов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа