close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Система асимптотических интегральных уравнений задачи определения тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей объемного тела в прямоугольном волноводе.

код для вставкиСкачать
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.3
А. А. Цупак
СИСТЕМА АСИМПТОТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ
ОБЪЕМНОГО ТЕЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Аннотация. Актуальность и цели. Изучена математическая модель рассеяния
электромагнитных волн на объемных анизотропных неоднородных телах, помещенных в прямоугольный волновод. Материалы и методы. Исходная краевая задача для уравнений Максвелла сводится методом векторных потенциалов к системе интегродифференциальных уравнений по области неоднородности (предполагается, что падающее поле гармонически зависит от времени).
Далее выводятся асимптотические уравнения исходя из свойств тензора Грина
на бесконечности. Результаты. Доказана основная лемма о равномерном
стремлении к нулю на бесконечности первой компоненты тензорной функции
Грина. На основе полученного в лемме результата изучено асимптотическое
поведение всех компонент тензора Грина, а также их производных любого порядка. Выведена система асимптотических интегральных уравнений электромагнитного поля для определения тензоров диэлектрической и магнитной
проницаемостей объемного тела по коэффициенту прохождения. Предложен
метод вращений объемного тела для определения всех компонент тензоров
диэлектрической и магнитной проницаемостей. Получены выражения для
преобразованных тензоров проницаемостей в случае поворота тела на произвольный угол вокруг координатных осей. Выводы. Полученные результаты
могут быть успешно применены для решения обратной задачи дифракции в
прямоугольном волноводе.
Ключевые слова: обратная электромагнитная задача дифракции, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, тензорная функция Грина,
асимптотические уравнения, метод вращений.
A. A. Tsupak
SYSTEM OF ASYMPTOTIC INTEGRAL EQUATIONS IN THE
PROBLEM OF PERMITTIVITY AND PERMEABILITY TENSORS
DETERMINATION OF A VOLUMETRIC BODY IN A
RECTANGULAR WAVEGUIDE
Abstract. Background. Objective of the work is to study the mathematical model of
electromagnetic waves scattering on volumetric anisotropic heterogeneous bodies in
a rectangular waveguide. Materials and methods. The initial boundary value problem for Maxwell's equations is reduced using the method of vector potentials to the
system of integro-differential equations on heterogeneity area (the falling field is
supposed to be harmonically time-dependent). Then the asymptotic equations are
derived from the properties of Green’s tensor at the infinity. Results. The main
lemma about uniform tending to zero on infinity of the tensor Green’s function first
component is proved. On the basis of the result received in that lemma the asymptotic behavior of all components of the Green’s tensor as well as their derivatives of
any order are studied. The system of the asymptotic integral equations for definition
of tensors of dielectric and magnetic permeabilities of the volumetric body on pass-
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
105
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ing coefficient is obtained. The method of rotations of the volumetric body for definition of all the components of permittivity and permeability tensors is offered. Expressions for the transformed permittivity tensors in the case of arbitrary turns
around the coordinate axes are received. Conclusions. The results can be successfully applied to solve the inverse problem of diffraction in a rectangular waveguide.
Key words: inverse electromagnetic diffraction problem, permittivity and permeability tensors, tensor Green’s function, asymptotic equations, rotation
method.
Введение
Рассматривается задача восстановления тензоров диэлектрической и
магнитной проницаемостей объемного тела, расположенного в прямоугольном резонаторе, по известным значениям падающего и проходящего полей –
эта задача рассматривалась в ряде работ [1–4]. Краевая задача сводится к интегродифференциальным уравнениям по области неоднородности. В настоя
щей работе (в отличие от [1–4]) предполагается, что тензор μ( x) является неизвестным. Основная цель данной работы – исследование асимптотических
свойств тензорной функции Грина рассматриваемой задачи и вывод системы
асимптотических уравнений электромагнитного поля. Как будет показано,


эти уравнения не содержат всех компонент неизвестных тензоров ε( x), μ( x) .
Описанный в данной статье метод вращений тела позволяет преобразовать
асимптотические уравнения таким образом, чтобы в них входили любые компоненты неизвестных тензор-функций.
1. Постановка задачи. Интегродифференциальные уравнения
Пусть в прямоугольном волноводе P := {x ∈ 3 : x1 ∈ (0, a), x2 ∈ (0, b)}
с идеально проводящей границей ∂P расположено объемное тело V , не
касающееся стенок волновода. V характеризуется неизвестными тензор

функциями диэлектрической и магнитной проницаемостей ε( x), μ(x) .


Предполагаем, что вне V среда однородна и изотропна (ε( x) = ε 0 I ,


μ(x) = μ 0 I ) , а внутри V удовлетворяет ограничениям:




ε( x), μ(x), ε −1 ( x), μ −1 (x) ∈ L∞ (V ) .
Падающее (начальное) электромагнитное поле E0 , H 0 является (известным) решением краевой задачи для уравнений Максвелла в однородном
волноводе и распространяется в направлении возрастания x3 .
Требуется по известным амплитудам приходящего из −∞ поля и поля,
прошедшего в +∞ , определить диэлектрическую и магнитную проницаемости тела V .
Рассмотренная задача сводится методом векторных потенциалов к интегродифференциальным уравнениям электромагнитного поля по области неоднородности [5]:


E( x) = E0 ( x) + (k02 + grad div) GE ( x, y )ξ( y )E( y )dy +

V
106
University proceedings. Volga region
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика


+iωμ 0 rot GH ( x, y )η( y )H ( y )dy;

V


H ( x) = H 0 ( x) + (k02 + grad div) GH ( x, y )η( y ) H ( y )dy −

V


−iωε 0 rot GE ( x, y )ξ( y )E( y )dy ,

V




ε  
μ   
− I , η :=
− I ; ε, μ – неизвестные проницаемости; GE ( x, y ) ,
где ξ :=
ε0
μ0

GH ( x, y ) – тензорные функции Грина (ТФГ), удовлетворяющие уравнению
Гельмгольца и обеспечивающие выполнение краевых условий на ∂P для
электромагнитного поля.
2. Тензорные функции Грина. Асимптотические свойства ТФГ
Тензорные функции Грина имеют диагональный вид [6]:
G1E :=
πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ 2 − δ n0
e
;
cos
sin
cos
sin
ab n =0m =1 γ nm
a
b
a
b
GE2 :=
πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ 2 − δ m0
;
e
sin
cos
sin
cos
ab n =1m=0 γ nm
a
b
a
b
GE2 :=
πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ 2 − δ m0
;
e
sin
cos
sin
cos
ab n =1m=0 γ nm
a
b
a
b
G1H :=
πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ 2 − δ m0
;
e
sin
cos
sin
cos
ab n =1m =0 γ nm
a
b
a
b
2
GH
3
GH
:=




πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ 2 − δ n0
;
e
:=
cos
sin
cos
sin
ab n =0 m=1 γ nm
a
b
a
b

πnx1
πmx2
πny1
πmy2 iγ nm | x3 − y3|
i +∞ +∞ (2 − δ n0 )(2 − δ m0 )
e
cos
cos
cos
cos
.
ab n=0m =0
a
b
a
b
γ nm

Принятая в настоящей работе запись функций Грина отличается от
обозначений в [6] определением γ nm ; а именно полагаем
2
2
 πn   πm 
γ nm := k02 −   − 
 .
 a   b 
Необходимо выбрать ветвь квадратного корня так, чтобы обеспечить
отрицательность показателей экспонент при достаточно больших n, m .
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
107
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Осуществим разрез комплексной плоскости от точки ветвления w0 = 0 вдоль
нижней части мнимой оси. Отображение
φ
φ

 π 3π 
z = w := | w |  cos + i sin  , φ := arg ( w) ∈  − , 
2
2

 2 2 
является однолистным, причем
w ∈  +  w ∈  + ; w ∈  −  w ∈ i + .
Исследуем поведение компонент ТФГ, а также их производных при
x3 → ±∞ , эти результаты будут важны для вывода асимптотических уравнений.
Большинство волноводов, применяемых в исследовании распространения волн и свойств материальных сред, работают в так называемом одномодовом режиме, при котором свободно может распространяться одна волна на
некоторой частоте. Чаще всего используется следующее соотношение ширины и высоты волновода: a = 2b.
π π
Будем предполагать, что частота ω выбирается так, что k0 ∈  ,  .
a b
Тогда
2
2
 + , если (m = n = 0) ∨ (m = 0,n = 1),
 πn   πm 
γ nm = k02 −   − 
 ∈ i в остальных случаях.
 a   b 
 +
Значению
γ10
отвечает
распространяющаяся
в
прямоугольном
волноводе мода; волн, отвечающих паре n = m = 0, не существует [7].
Рассмотрим основное утверждение об асимптотике ТФГ, по аналогии
с которым выводятся и остальные асимптотические свойства.
Лемма. G1E ( x, y ) → 0 при x3 → ∞ равномерно по y ∈V .
Доказательство. Так как суммирование по m ведется начиная
с единицы, то все члены ряда G1E равномерно убывают к нулю при x3 → ∞.
Представим G1E в виде G1E = Σ′ + Σ′′ , причем в первом слагаемом
суммирование будем проводить по n, m таким, что
2
2
4 2
 πn   πm 
  +
 > k0 ,
3
 a   b 
(1)
а во втором – по всем остальным n, m. Оценим каждое из слагаемых.
Во второй сумме содержится лишь конечное число слагаемых N ,
поэтому
*
Σ′′ ≤ CN eiγ nm | x3 − y3|  0,
y ∈V ,
где C – некоторая константа; γ*nm – значение корня, обеспечивающее оценку
сверху.
108
University proceedings. Volga region
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика
Рассмотрим теперь ряд Σ′ . В силу условия (1) для n, m верно
| γ nm |>
2
2
 πn   πm 
−  − 
 ,
 a   b 
1
2
поэтому
Σ′ ≤ C1
e
−
1  πn 2  πm 2
  +
 | x3 − y3 |
2  a   b 
≤ C1

1  πn πm 
−  +
| x3 − y3|
e 4 a b 
.
В силу интегрального признака сходимости знакопостоянного двойного
ряда получим окончательно
+∞+∞
Σ′ ≤ C1
 e
− (u + v )| x3 − y3|
dudv ≤
u0 v0
2
 +∞

C2
−2u | x − y |

−u| x3 − y3| 
≤ C2  e
0,
du  =
e * 3 3
2
| x3 − y3 |
u

x3 →∞
 *



где u0 ,v0 > 0, u* := min{u0 ,v0 }. Лемма доказана.
Аналогично доказывается существование
пределов:
следующих
важных
2
GE3  0, GH
 0,
3
GH
−
GE2 −
πx
πy
i
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3|  0 ,
abγ10
a
a
G1H −
πx
πy
i
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3|  0 ,
abγ10
a
a
πx
πy
i
2i
cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3|  0 .
eiγ00 | x3 − y3| −
abγ 00
abγ10
a
a
(2)
Из полученного следует, что некоторые компоненты ТФГ не имеют
предела при x3 → ∞, однако впредь будем писать, например, так:
GE2 
πx
πy
i
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| ,
abγ10
a
a
понимая предельный переход в смысле формул (2).
Все равномерно убывающие к нулю члены рядов ТФГ имеют
производные по всем переменным любого порядка, также равномерно
исчезающие на бесконечности. Поэтому несложно получить асимптотику для
производных компонент ТФГ. В качестве примеров приведем некоторые из
результатов:
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
109
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3
2
3
∂G1E ∂GE3 ∂GH
∂GE2 ∂GH
∂GH
πx
πy
2πi
,
,
,
,
 0,
−
sin 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3| ,
2
∂xk
∂xk
∂xk
∂x2 ∂x2
∂x1
a
a
a bγ10
3
 eiγ10 | x3 − y3| 2

∂GH
πx
πy
 sign( y3 − x3 ) 
+ cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3|  .
ab
ab
a
a
∂x3


3. Асимптотические интегральные уравнения электромагнитного поля
Запишем представление поля вне области V ( E, H в левых частях
равенств) через значения известных E0 , H 0 и полей в области неоднородности:


E( x) = E0 ( x) + k02 GE ( x, y ) ξ( y )E( y )dy +

V




+ grad div GE ( x, y )ξ( y )E( y ) dy + iω0rot GH ( x, y )η( y )H ( y )dy;


V
V


H ( x) = H 0 ( x) + k02 GH ( x, y )η( y )H ( y ) dy +

V




+grad div GH ( x, y )η( y ) H ( y ) dy − iω0rot GE ( x, y )ξ( y )E( y ) dy.


V
V
В таким образом записанных уравнениях и осуществим предельный
переход при x3 → +∞.
В полученных ниже формулах, вытекающих из доказанной леммы,
предполагается суммирование по повторяющемуся индексу (кроме того, всюду
ниже подразумевается стремление при x3 → ±∞ равномерно по y ∈ V ):
 
GE ξ E 
 
πx
πy
i
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| ξ 2l E l ⋅ e 2 , grad div GE ξ E  0;
abγ10
a
a
(
)
 
sign( x3 − y3 )
πx
πy
rot GE ξ E 
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| ξ 2l E l ⋅ e1 +
ab
a
a
(
+
πi
2
a bγ10
 
GH η H 
cos
(
)
)
πx1
πy
cos 1 eiγ10 | x3 − y3| ξ 2l E l ⋅ e3 ;
a
a
(
)
πx
πy
i
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l ⋅ e1 +
abγ10
a
a
 i

πx
πy
2i
eiγ00 | x3 − y3| +
cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3|  η3l H l ⋅ e3 ;
+
abγ10
a
a
 abγ 00

(
)
 
sign( y3 − x3 )
πx
πy
rot GH η H 
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l ⋅ e2 +
ab
a
a
(
110
)
University proceedings. Volga region
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика
+
2πi
2
a bγ10
sin
(
)
πx1
πy
cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l ⋅ e2 ;
a
a
 
πx
πy
−iπ 2
grad div GH η H 
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l ⋅ e1 +
a
a
a3bγ10
(
+
2πsign( x3 − y3 )
+
2
a b
πsign( y3 − x3 )
2
a b
)
(
)
sin
πx1
πy
cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l ⋅ e1 +
a
a
cos
πx1
πy
sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l ⋅ e3 −
a
a
(
)
(
)
2iγ
πx
πy
 iγ

−  00 eiγ00 |x3 − y3| + 10 cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3|  η3l H l ⋅ e3 .
ab
ab
a
a


Из последних формул вытекают уравнения для компонент поля:
1
3
E∞
= E01 , E∞
= E03 , H ∞2 = H 02 ;
E∞2 = E02 +
ik02
πx
πy
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| ξ 2l E l dy +
abγ10
a
a
(

V
+
)
(
)
iωμ 0sign( y3 − x3 )
πx
πy
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l dy −
ab
a
a

V
−
2πωμ 0
2
a bγ10
1
H∞
= H 01 +
(

V
ik02
πx
πy
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l dy −
abγ10
a
a
(

V
−
+
+
iπ 2
a3bγ10
sin
a b
)
(
)
πx1
πy
sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l dy +
a
a
2πsign( x3 − y3 )
2
)
πx1
πy
cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l dy;
a
a
sin

V
sin
(
)
πx1
πy
cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l dy +
a
a

V
(
)
iωε 0sign( y3 − x3 )
πx
πy
sin 1 sin 1 eiγ10 | x3 − y3| ξ 2l E l dy;
ab
a
a

V
3
H∞
= H 03 +
2ik02
πx
πy
cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l dy −
abγ10
a
a
(

V
−
(
)
)
2iγ10
πx
πy
cos 1 cos 1 eiγ10 | x3 − y3| η3l H l dy +
ab
a
a

V
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
111
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
+
πsign( y3 − x3 )
2
a b
+
cos
(

V
πωε 0
a 2bγ10
cos
)
πx1
πy
sin 1 eiγ10 | x3 − y3| η1l H l dy +
a
a
(
)
πx1
πy
sin 1 eiγ10 |x3 − y3| ξ 2l E l dy .
a
a

V
Для получения асимптотических уравнений в окончательном виде
необходимо определить вид поля E0 , H 0 и поля на бесконечности.
Следуя [7], запишем электрическое поле в виде
T
πx
 iπωμ 0

E0 = 0,
sin 1 eiγ10 x3 ,0  ,
a
a


а соответствующее ему магнитное поле получим из однородных уравнений
Максвелла в полом волноводе:
H0 =
−iπγ10
πx
1
rot E0 =
sin 1 eiγ10 x3 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 +
iωμ 0
a
a
π2
a
2
cos
πx1 iγ10 x3
e
⋅ e3 .
a
Таким образом, компоненты падающего поля определяются следующимим формулами:
E01 = E03 = H 02 = 0, E02 = F ( + )
H 01 = F ( + )
iπωμ 0
πx
sin 1 eiγ10 x3 ,
a
a
−iπγ10
πx
sin 1 eiγ10 x3 ,
a
a
H 03 = F ( + )
π2
a
2
cos
πx1 iγ10 x3
e
.
a
(3)
Здесь коэффициент F ( + ) определяет амплитуду падающей волны и
считается известным.
Прошедшее поле также считается известным; его амплитуда определяется экспериментально – обозначим ее T ( + ) . Учитывая, что поляризация
поля сохраняется – это хорошо видно из ранее выписанных уравнений,
запишем прошедшее поле в виде
3
2
E1+∞ = E+∞
= H +∞
= 0,
2
E+∞
= T (+)
iπωμ 0
πx
sin 1 eiγ10 x3 ,
a
a
H 1+∞ = T ( + )
−iπγ10
πx
sin 1 eiγ10 x3 ,
a
a
3
= T (+)
H +∞
112
π2
a
2
cos
πx1 iγ10 x3
.
e
a
(4)
University proceedings. Volga region
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика
Подставляя (3) и (4) в интегродифференциальные уравнения и сокращая общие множители, получим с учетом поведения компонент ТФГ при
x3 → +∞ окончательный вид асимптотических интегральных уравнений
электромагнитного поля в волноводе с локальной анизотропной неоднородностью:
T (+) = F (+) +
k02
πy
sin 1 e−iγ10 y3 ξ 2l E l dy −
ωμ 0 πγ10
a
(

V
−
(
)

T (+) = F (+) −
π
a
2
 sin
2
bγ10
V
k02

V
)
 sin
2
πbγ10
V
(
(
)
πy1 −iγ10 y3
η1l H l dy −
e
a
)
(
)
πy1 −iγ10 y3
πy
2i
e
η1l H l dy +
cos 1 e−iγ10 y3 η3l H l dy +
a
abγ10
a
+

V
(
)
ωε 0
πy
sin 1 e −iγ10 y3 ξ 2l E l dy;
bπγ10
a

V
T (+) = F (+) +
−
(
πy
πy
1
2i
sin 1 e −iγ10 y3 η1l H l dy +
cos 1 e−iγ10 y3 η3l H l dy;
bπ
a
abγ10
a
V
−
)
2iak02
bπ
2
(
 cos
γ10
V
)
(
)
πy1 −iγ10 y3
e
η3l H l dy −
a
(
)
2iaγ10
πy
πy
1
sin 1 e −iγ10 y3 η3l H l dy +
cos 1 e −iγ10 y3 η1l H l dy +
2
bπ
a
a
bπ

V
+

V
(
)
ωε 0
πy
sin 1 e −iγ10 y3 ξ 2l E l dy.
bπγ10
a

V
 
4. Метод поворотов для восстановления ε, μ
Как видно из последней системы, асимптотические уравнения не
содержат всех компонент искомых тензоров. А именно: в равенствах

отсутствуют компоненты второй строки тензора μ, а также компоненты первой

и третьей строк для ε. Это не позволяет полностью решить рассматриваемую
задачу, за исключением тех случаев, в которых известен (априори) класс тел V
и соответствующая ему конкретная структура тензора: например, могут
рассматриваться только кристаллы фиксированного типа или только
изотропные тела. Эта проблема может быть решена вращением тела V .

Ниже все рассуждения проведены для тензора ε.
При наиболее общих предположениях относительно рассматриваемого
тела V его диэлектрическая проницаемость характеризуется двухвалентным
тензором (типа аффинор):
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
113
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ε11 ε12
 
ε= ε 21 ε 22
 ε31 ε32
ε13 
ε 23  .
ε33 
В записи компонент будем придерживаться принятой в электродинамике (хотя немного неточной и совсем неудобной) двойной индексации
компонент снизу.
Пусть [P] – матрица перехода от старого ортонормального базиса B
к новому B' : B' = B ⋅ [P] , определяющая некоторое преобразование
декартовой системы координат.
Рассмотрим материальное уравнение, связывающее напряженность

электрического поля и электромагнитную индукцию D = ε ⋅ E . Уравнения
в координатах записываются в базисах B, B' соответственно:


[D] = ε ⋅ [E], [D]' = ε' ⋅ [E]' .
Учитывая, что [D] = [P ] ⋅ [D]' и [E] = [P ] ⋅ [E]' , получим



[D] = ε ⋅ [E] = [P ] ⋅ [D]' = [P ] ⋅ ε' ⋅ [E]' = [P] ⋅ ε' ⋅ [ P]−1 ⋅ [E] ,
откуда при возможной неоднородности тела выводим




ε(x) = [P ] ⋅ ε'(x ') ⋅ [ P]−1 , ε'(x ') = [P ]−1 ⋅ ε(x) ⋅ [P ].
В рассуждениях о преобразовании базисов (осей координат) предполагалось, что тело V не меняет своего положения (если же вместе с осями
поворачивается и тело, то компоненты его тензора не меняются). Обратно,
если по отношению к осям изменить положение тела V , то получится новый
набор коэффициентов.
Пусть тело V содержится в Q = {x : x1 ∈ (0, a ), x2 ∈ (0, b), x3 ∈ ( −c, c)}.
Будем рассматривать повороты тела вокруг центра области Q на угол φ
в плоскостях, параллельных осям координат. Такие повороты равносильны
композиции трех преобразований: сдвиг тела на вектор ( −a / 2, − b / 2, 0)T ,
его поворот вокруг начала координат в нужной плоскости и обратный сдвиг;
при этом сдвиги не меняют структуры тензора.

Посмотрим, как преобразуется тензор ε при повороте тела на угол φ
по часовой стрелке вокруг оси Ox3 . Это преобразование равносильно
повороту системы координат тела на угол φ против часовой стрелки и
определяется известной матрицей (преобразования базисов)
[P
[P
114
(3)
(3) −1
 cos φ − sin φ 0 
]=  sinφ cos φ 0  ,
 0
0
1 
] =[P
 cos φ sin φ 0 
] =  −sinφ cos φ 0  .
 0
0
1 
(3) T
University proceedings. Volga region
№ 3 (27), 2013
Физико-математические науки. Математика
Обозначив cos φ =: c, sinφ=:s , вычислим
 ε11c 2 + ε12cs + ε 21cs + ε 22 s 2 −ε11cs + ε12 c 2 − ε 21s 2 + ε 22cs ε13c + ε 23 s 



ε (3) =  −ε11cs − ε12 s 2 + ε 21c 2 + ε 22cs ε11s 2 − ε12cs − ε 21cs + ε 22c 2 −ε13 s + ε 23c  .




ε31c 2 + ε32 s
−ε31s + ε32c
ε33


При повороте тела на угол ϕ = π / 2 вокруг оси Ox3 получим
 ε 22
 (3) 
ε =  −ε12
 ε32
−ε 21 ε 23 
ε11 −ε13  .
−ε31 ε33 
При повороте на угол φ(=π/2) вокруг осей Ox2 и Ox1 матрицы
перехода определяются следующим образом:
[P
(2)
0
0 
 cos φ 0 sinφ 
1


(1) 
]=  0
1
0  , [P ]= 0 cos φ − sin φ  ,
 − sin φ 0 cos φ 
 0 sinφ cos φ 

а тензор ε принимает соответственно вид
 ε33
 (2) 
ε =  −ε 23
 −ε13
−ε32
ε 22
ε12
−ε31 
ε13
 ε11
 (1) 

ε 21  и ε =  ε31
ε33
 −ε 21 −ε 23
ε11 
−ε12 
−ε32  .
ε 22 
Такие преобразования позволяют записать асимптотические уравнения
с вхождением в них всех требуемых компонент. Например, при повороте
вокруг оси Ox3 уравнения будут содержать неизвестные ε1 j и μ 2 j .
Список литературы
1. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной
краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости
наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Метод коллокации решения объемного сингулярного
интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости
материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 71–87.
3. Д е р е в я н ч у к , Е. Д . Решение обратной задачи определения диэлектрической
проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. –
№ 4. – С. 36–44.
4. Г р и ш и н а , Е. Е. Численный метод решения обратной задачи восстановления
эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициентам отражения /
Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2012. – № 2. – С. 75–84.
Physicsal and mathematical sciences. Mathematics
115
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. С а м о х и н , А . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998.
6. М а р к о в, Г . Т. Тензорные функции Грина прямоугольных волноводов и резонаторов / Г. Т. Марков, Б. А. Панченко // Известия вузов СССР. Радиотехника. –
1964. – Т.1, № 1. – С. 34–41.
7. В а й н ш т е й н , Л. А . Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. – М. : Советское радио, 1957.
References
1. Smirnov Ju. G. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 1, pp. 11–24.
2. Smirnov Ju. G., Medvedik M. Ju., Vasjunin D. I. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij.
Povolzhskij region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 3, pp. 71–87.
3. Derevjanchuk E. D. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4, pp. 36–44.
4. Grishina E. E. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 2, pp. 75–84.
5. Samohin A. B. Integral'nye uravnenija i iteracionnye metody v jelektromagnitnom rassejanii [Integral equations and iteration methods in magnetic scattering]. Moscow: Radio i Svjaz', 1998.
6. Markov G. T., Panchenko B. A. Izvestija Vuzov SSSR. Radiotehnika [USSR University
Proseedings. Radio engineering]. 1964, vol. 1, no. 1, pp. 34–41.
7. Vajnshtejn L. A. Jelektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Sovetskoe radio, 1957.
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Tsupak Aleksej Aleksandrovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modelling,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: altsupak@yandex.ru
УДК 517.3
Цупак, А. А.
Система асимптотических интегральных уравнений задачи определения тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей объемного тела в прямоугольном волноводе / А. А. Цупак // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 3 (27). – С. 105–116.
116
University proceedings. Volga region
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа