close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спайны з-многообразий с вложенными 2-компонентами.

код для вставкиСкачать
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ
2-КОМПОНЕНТАМИ
А.Ю. Маковецкий*
Челябинский государственный университет
В работе изучаются специальные спайны 3 -многообразий и их преобразованы,
2—компонента специального спайна называется вложенной, если ее граничная крива/
является простой замкнутой кривой. В статье доказывается, что для любого сщц
ального спайна Р существует такой специальный спайн О, того же многообразия, чт
все 2-компоненты спайна <2 являются вложенными, и от спайна Р к спайну (} можш
перейти с помощью только увеличивающих преобразований М*1.
нов.
Ключевые слова: 5-ммозооброэие, специальный спайн, преобразования сЫ
п
1. Введение
Одним из основных способов задания 3-многообразий является их
задание с помощью специальных спайнов. Каслер в работе [1] доказал,
что любое 3-многсюбразие имеет специальный спайн и по своему специальному спайну многообразие восстанавливается однозначно. Следующий
шаг в развитии теории спайнов сделан Матвеевым. В работе [2] описаны
преобразования М и 1Ь , позволяющие перейти от специального спайна
3-многообразия к любому другому специальному спайну данного многообразия. В работе [4] доказано, что для любых двух специальных спайнов
3-многообразия существует третий спайн этого же многообразия такой,
что от первого спайна к третьему спайну и от второго спайна к третьему
спайну можно перейти только с помощью преобразований М+1 и Ь+1.
При решении таких задач в теории специальных спайнов, как усиленный вариант теоремы из работы [4] и изучение дополнительных структур
на спайнах оказывается необходимым использовать представление спайна
как клеточного комплекса, все 2-компоненты которого являются вложенными. 2-компонента специального спайна называется вложенной, если ее
граничная кривая является простой замкнутой кривой.
В данной работе доказывается следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть Р-специальный спайн. Тогда с помощью только
преобразований М+1 от спайна Р можно перейти к такому спайну (}
что все 2-компоненты спайна (^ являются вложенными.
* Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ №96-01-00847.
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
117
Рис. 1
Ниже приведены необходимые определения.
Класс специальных полиэдров был введен Каслером [1]. В неявном
виде они были известны Бингу и Зиману [5; б].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Компактный полиэдр Р называется специальным полиэдром, если линк каждой его точки гомеоморфен одному из следующих
компактных полиэдров: 1) окружности; 2) окружности с диаметром; 3)
окружности с тремя радиусами.
Типичные окрестности точек специального полиэдра изображены на
рисунке 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Объединение точек типов 2 и 3 специального полиэдра Р называется ее особым графом и обозначается через 5Р.
Особый граф специального полиэдра содержит конечное число точек
типа 3, называемых его вершинами. Его оставшаяся часть распадается в
объединение тройных линий, т.е. связных компонент множества точек второго типа. При этом допускаются замкнутые (т.е. гомеоморфные окружности) тройные линии. Тройные линии будем называть ребрами особого графа.
118
А Ю. Маковецкий
Компоненты связности множества Р \ 8Р будем называть 2-компонентами
специального полиэдра Р.
Опишем преобразование специальных полиэдров, введенное Матвеевым в [2]. Выберем в специальном полиэдре Р ребро е. Рассмотрим регулярную окрестность Е\ ребра е, изображенную на рисунке 2. Пересечение
окрестности $1 с остальной частью специального полиэдра Р гомеоморфно
объединению двух окружностей, соединенных тремя дугами.
Рассмотрим подполиэдр ЕЗ, который представляет собой поверхность
треугольной призмы вместе со средним треугольником и тремя прямоугольниками, которые присоединены к поверхности призмы вдоль трех ее ребер.
Естественная граница подполиэдра Е% гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е\. Если заменить подполиэдр Е\ на подполиэдр В2, то
получим новый специальный полиэдр С^.
Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к
специальному полиэдру (^ обозначается через М. Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра $ к специальному полиэдру Р
обозначается через М"1.
Преобразования М и М"1 изображены на рисуке 2.
Понятие спайна возникло в работе Зимана [6].
Будем говорить, что симплициальный комплекс коллапсируется на
свой подкомплекс, если от комплекса к подкомплексу можно перейти с помо- •
щью последовательности элементарных симплициальных стягиваний, где
каждое такое стягивание состоит в отбрасывании открытого главного симплекса вместе с его открытой свободной гранью.
Полиэдр коллапсируется на свой подполиэдр, если некоторая триан- I
гуляция полиэдра коллапсируется на некоторую триангуляцию его подполиэдра.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Компактный подполиэдр Р С 1пгМ компактного 3многообразия М с непустым краем называется его спайном, если многообразие М коллапсируется на полиэдр Р.
Компактное многообразие М с непустым краем всегда имеет спайн
размерности не более двух.
Под спайном замкнутого 3-многообразия М понимается спайн много3
3
образия М \ /ггШ , где О -трехмерный шар М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Спайн 3-многообразия называется специальным, если он является специальным полиэдром.
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНВНТАМИ
119
Рис. ?
2. Устранение средних и плохих ребер
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть К-вершина особого графа спайна Рассмотрим окрестность этой вершины в особом графе. Части ребер, которые инцидентны данной вершине и попадают в окрестность, будем называть иглами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть .Е-ребро спайна. Рассмотрим окрестность этого ребра в спайне. Части клеток, которые инцидентны данному ребру и
попадают в окрестность, будем называть крыльями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть Р-специальный спайн. Будем называть ребро
спайна Р хорошим, если все три крыла, инцидентные с данным ребром,
принадлежат разным 2-компонентам спайна Р. Если два из трех крыльев,
инцидентных данному ребру, принадлежат одной 2-компоненте, а третье
крыло принадлежит другой 2-компоненте, то такое ребро будем называть
средним. В случае, если все три крыла, инцидентные с данным ребром,
принадлежат одной 2-компоненте, то такое ребро будем называть плохим.
120
А.Ю. Маковецкий
Рис. С
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Ребро спайна называется петлей, если это ребро
цидентно единственной вершине спайна.
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Р-специальный спайн с числом вершин че мей
двух. Тогда, применяя только преобразования М, можно перейти от<а
на Р к такому специальному спайну С}, что в спайне (^ все ребра буя
хорошими и ни одно из ребер не будет являться петлей,
ЛЕММА 2.1. Пусть Р-специальный спайн с числом вершин не менее де
Тогда применяя только преобразования М можно перейти от спайн®
к специальному спайну Р", не содержащему петель.
Доказательство. Обозначим одну из петель спайна Р через Е\. Ё
цидентную ребру Е\ вершину обозначим через VI . Обозначим через V.- од
из соседних (по отношению к вершине VI) вершин. Окрестность вершин»
и Т/2 в спайне изображена на рисунке 3, А. Обозначим две иглы, ина
дентных вершине VI и принадлежащих петле Е\, через N1 и Н% Чер
#3 обозначим третью иглу, инцидентную вершине VI. Через Е±, Е5 и
обозначим три иглы, примыкающие к вершине VI.
Применим преобразование М вдоль ребра, соединяющего верши!
VI и VI. Получим спайн Р'. В окрестности игл Е^-Ее спайна Р', моя.
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
121
только одна петля: содержащая иглы Е$ и Е^. Применим к ребру
.айна Р1, соединяющему вершины, инцидентные иглам Е%, Е$ и Е$, Ев,
«образование М. Получим спайн Р", изображенный на рисунке 3В. В
рестности игл Е^Е^ в спайне Р" петель нет. О
БММА 2.2. При применении к спайну Р преобразования М вдоль ребра
число плохих ребер не меняется, если Е-хорошее или среднее ребро, и
<$ло плохих ребер уменьшается на единицу, если Е-плохое ребро.
юказательство. При выполнении преобразования М вдоль ребра спайна
Ю ребро исчезает и вместо него появляются три новых ребра. Любому
}угому ребру спайна Р соответствует единственное ребро в полученном
Еле применения преобразования спайне. Характер этих ребер в интереюшем нас смысле не изменится. Три новых ребра в полученном спайне
дух не хуже, чем средними, так как каждое из них инцидентно новой
•компоненте полученного спайна. П
ЕММА 2.3. Пусть 5-спайн без петель и плохих ребер и с числом & среди: ребер. Тогда от спайна 3 с помощью последовательности из двадцаи четырех преобразований М можно перейти к спайну 5' без петель и
охих ребер и с числом Н — 1 средних ребер.
Рассмотрим подполиэдр Д, изображенный на рисунке 4. Назовем ребЬподполиэдра К внутренним, если обе вершины, инцидентные этому ребу, принадлежат подполиэдру Д. Остальные ребра под полиэдра Д назовем
вешними. Если 2-компонента инцидентна только вершинам подполиэдра
. то такую 2-компоненту будем называть внутренней. Под крылом здесь
дем понимать часть 2-компоненты.
РЕДЛОЖЕНИЕ 1. Все внутренние ребра подполиэдра К являются хо•ошими, и ни одно из них не является петлей.
Доказательство. На рисунке 4 вершины подполиэдра К пронумерованы числами от единицы до двадцати шести. С помощью записи вида Ег^
удем обозначать внутреннее ребро подполиэдра К, инцидентное вершир! с номерами г и ], с помощью записи вида Ег будем обозначать внешнее
&бро подполиэдра Д, инцидентное вершине с номером г. В подполиэдре К
вкоторые соседние вершины соединены двумя ребрами. Для того, чтобы
различать эти ребра, одно из ребер каждой такой пары на рисунке 4 выделено жирно. Выделенные жирно ребра будем обозначать с помощью записи
вида Е'г , где г и т; номера вершин, инцидентных данному ребру. Два крыла подполиэдра К, помеченные буквами А принадлежат одной и той же
122
А.Ю. Маковецкий
Рис. 4
2-компоненте А спайна 5, подмножеством которого является подполиэдр
Л. Крыло под полиэдра, помеченное буквой В, принадлежит 2-компоненте
В спайна 5.
Опишем все внутренние 2-компоненты Сг подполиэдра К с помощью
перечисления инцидентных им ребер.
С\
^1,2, #2.3,-&3,1.
С-2
Е1^, -Е.7,8. ^8,6- •---'6,2) -^2,1.
Сз
^2,3) ---'3,6) --^6,2,
С-4
-^2,5. ---'б^) ^.Зб) ^25,26) ---^б.З) ЕЗ,З',
С*,
-^6,9| --59,8) -^8,6,
Св
-54,5, ---!'5,12! --^12,21) -521.20, --^20 15, -^15,4- --^4,5;
С^
-53,26, --^26,25, ^25,4- ^4,15| -Е'Хб 11) -5?11,101 -Е'10,14) --^14,13) --^13,9- ----'9,6) -^6,3
С»
^9,6, -^6,2) ---^2,5. -Е?5Д2| -^12,11, ^11,10) -#10,9..
С*9
-.^4,15) ----'15,14, ^4,13, ---'13,8, -^8 6, --^6,31 --^3,1, #1,7) #7,16- ^16,18) -^18,191
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНБНТАМИ
123
--.19,20, -^20,21. --^21,22. --^22,24- #24,4)
Сю '• -^К),!!,---11,101
0ц '• ЕГ$, -^8,13) -^13,16) --^16,7!
С\1 '• #8,9) #9,13, ^13,8!
СтЗ : #14,17, #17,18, -#18,16, #16,13, -#13,14,
Си : #14,15> #15,20, -Е.30,19. -^19,17, #17,14!
^15 : -517,19- $19,18. ^18,17.
С\в '• -^Ю,!!' ^11,15) ^15,14) -^14,10!
С\1 '. ^9,20) -.^2019.
С\8 • ^21,22) ---'22,21;
-^19 : ^11,15- -^15,20) ^20,19» ^19,17- -®17,23| ^23,22, -^22,21, ^21,12) ^12,11;
Си) : ^18,19) -.519,20, -^20,21) -^21,22, -^22,24, ^24,25, ---'25,261 ---'26,18;
-^21 : ^25,26- ---'26,25!
С*22 : -^23,24» -^24,25) --^25,26) ^26,18) ----'18,17, -^17,23.
СзЗ : •---!4,24| •Ё!24,25) -^25,4!
С24 ^ •---'22,23, ^23,24, ^24,22-
Опишем также крьшья подполиэдра Д, не являющиеся внутренними,
...помощью инцидентных им ребер подполиэдра К.
А : Е^2,Е2,1,Е12,П,Е'п<10, Е10$,Ед$, #8,7.
В ' ^23,17) ^17,141 ^14,10. -Ё'тО.Э, -Е^9,13) ^13Дб!
^1 : -51,7;
И^2 : -57,1в;
И^З : ^1,3| ^3,26| -'--'26,18- ---18,16;
И^4 : ^6,125
И^5 : ---'12,211 -Ё?21,22) ----'22,23;
И^6 : -^5,41 -^4,24-
Выясним, является ли каждое внутреннее ребро подполиэдра К плоКим, хорошим или средним. Для этого рассмотрим все три инцидентных
данному ребру крыла и проверим, принадлежат ли они одинаковым или
разным 2-компонентам.
Ребро Е\з инцидентно 2-компонентам Сь С2, .Уз- Поэтому ребро Е-^
является хорошим. Аналогичным образом рассмотрим остальные ребра.
Ребро Е2,з инцидентно 2-компонентам С\,Сз,С^Ребро Е\2 инцидентно 2-компонентам С\,Съ,С$.
Ребро Е!^ инцидентно 2-компонентам С1,С$,УУ\.
Ребро ЕТ$ инцидентно 2--компонентам Сз,^!, А.
Ребро .Е8,б инцидентно 2-компонентам Сз-Сб-Сд.
Ребро Е6>2 инцидентно 2-компонентам С2,С3,С8.
Ребро ^з,б инцидентно 2-компонентам Сз,С-г,С$.
Ребро Ь'2,5 инцидентно 2-компонентам С^, Се, А.
Ребро ^5,4 инцидентно 2-компонентам С4,Сб, И-'б-
124
А.Ю Маковецкий
Ребро -54,25 инцидентно 2-компонентам С^Ст, С^зРебро -...'25,26 инцидентно 2-компонентам С^, СзьС^аРебро ^з 26 инцидентно 2-компонентам С?, С*2о, С-ц.
Ребро ^2б,з инцидентно 2-компонентам С\, Сг, И^зРебро #6.9 инцидентно 2-компонентам Съ,С-;,С&.
Ребро #9,8 инцидентно 2-компонентам Съ,С\г,А.
Ребро -Е?5д2 инцидентно 2-компонентам Се, Се, И^4Ребро #12,21 инцидентно 2-компонентам Се, С\д, И^Ребро ^?21,20 инцидентно 2-компонентам Сб-Сд-С^оРебро ^20,15 инцидентно 2-компонентам Св,Сц, С\$.
Ребро ^15,4 инцидентно 2-компонентам Се, Ст, С$.
Ребро -_?15Д1 инцидентно 2-компонентам Ст,С\ъ,С\$.
Ребро .Епдо инцидентно 2-компонентам Ст-Св^юРебро Е[г 10 инцидентно 2-компонентам С'ю.Сте, -А.
Ребро ^12,и инцидентно 2-компонентам С^С-ад, .А.
Ребро -5ю,д инцидентно 2-компонентам Се, А, В.
Ребро .515,14 инцидентно 2-компонентам Сд,Сц,С1&.
Ребро -514,13 инцидентно 2-компонентам Су, Сэ, С'хзРебро .Ею,14 инцидентно 2-компонентам Ст^С^.В.
Ребро -5/13,9 инцидентно 2-компонентам Ст,С\2,В.
Ребро .Еаз.в инцидентно 2-компонентам С^.Сц.С^.
Ребро Ет,1б инцидентно 2-компонентам Сд,Сц,^2Ребро #16,18 инцидентно 2-компонентам Сд,С\з^^зРебро ---авдэ инцидентно 2-компонентам Сд, С^-С^о•
Ребро -519,20 инцидентно 2-компонентам Сп, С^, С^оРебро Е[920 инцидентно 2-компонентам Сд,Сц,С\т.
Ребро ^21,22 ИНЦИДеНТНО 2-КОМНОНеНТаМ С18, С19, С20-
Ребро Е'21 22 инцидентно 2-компонентам Сд, Схв, УУ$.
Ребро ^22,24 инцидентно 2-компонентам Сд, С^о.С^Ребро -524,4 инцидентно 2-компонентам Сд,Сж, И^еРебро ^гздб инцидентно 2-компонентам Сц-С^з, В.
Ребро ^14,17 инцидентно 2-компонентам С\^С\^ В.
Ребро -.?17,18 инцидентно 2-компонентам С^.С^^С^Ребро -Еадд? инцидентно 2-компонентам С\^С\^^С\^.
Ребро ^17,23 инцидентно 2-компонентам С\$,Сж,В.
Ребро -524,25 инцидентно 2-компонентам 020,^22)^23Ребро -5/23,22 инцидентно 2-компонентам Сю, 6*24) И^5Ребро -523,24 инцидентно 2-компонентам С^^С^л^бРебро ^226,18 инцидентно 2-компонентам 020,^22)^3-
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
125
Таким образом, перечислив все внутренние ребра подполиэдра К мы
цедились, что все они являются хорошими и ни одно из них не является
ятлей.П
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. От подполиэдра Е\, изображенного на рисунке 2, к
подполиэдру К можно перейти с помощью двадцати четырех преобразований М.
Доказательство Леммы 2.8. По Предложению 2.10 заменим окрестность некоторого среднего ребра в спайне 3 на подполиэдр К с помощью
двадцати четырех преобразований М. Характер ребер, не пересекающихся
с подполиэдром К, при этом не изменится. Каждое внешнее ребро подполиэдра К находится во взаимно-однозначном соответствии с некоторым ребром исходного спайна 5. Внешнее ребро инцидентно тем же 2-компонентам,
что и соответствующее ему ребро в спайне 8. Поэтому характер этих ребер
также не изменится. По Предложению 2.9 все внутренние ребра подполиэдра К являются хорошими. Поэтому в полученном спайне плохих ребер не
будет, а число средних уменьшится на единицу.
В полученном спайне среди ребер, не пересекающихся с подполиэдром
К, петель нет, в силу того, что петель нет в исходном спайне 5. По Предложению 2.9 петель нет и среди внутренних ребер подполиэдра К. Внешнее
ребро подполиэдра К, инцидентное вершине 1, петлей являться не может,
так как каждое из трех других ребер, инцидентных вершине 1, инцидентно
и некоторой вершине с другим номером. По этой же причине петлями не
могут быть внешние ребра, инцидентные вершинам 7, 16, 5, 12, 23 соот.ветственно. Поэтому любое ребро в полученном спайне не является петлей.
О
Доказательство Теоремы 2.5. По Лемме 2.6 применением к спайну Р нескольких преобразований М можно получить спайн Р' без петель.
Пусть Е'-некоторое плохое ребро спайна Р' и п-число плохих ребер в спайне Р'. По Лемме 2.7 применение преобразования М вдоль ребра Е даст
спайн Р" числом плохих ребер га — 1. По Леммам 2.6 и 2.7 применением
нескольких преобразований М из спайна Р" можно получить спайн Р'" без
петель и с числом плохих ребер те — 1. Применяя индукцию по числу плохих
ребер, получим, что от спайна Р можно перейти к спайну 5 без петель и
без плохих ребер и с числом т средних ребер. По Лемме 2.8 ох спайна 5
с помощью нескольких преобразований М можно перейти к спайну 5" без
петель и без плохих ребер и с числом средних ребер гга - 1. Применяя индукцию по числу средних ребер получим, что от спайна 5 можно перейти
к спайну ($ без петель, без плохих ребер и без средних ребер.
126
Д.Ю Маковецкий
Рис. 5
3, Устранение плохих вершин
Будем говорить, что 2-компонента спайна п раз проходит через данную
вершину спайна, если при движении по граничной окружности данной 2компоненты пересечем данную вершину п раз. Назовем два крыла, инцидентных данной вершине V, противоположными, если в окрестности вершины V они пересекаются в единственной точке: самой вершине V
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Вершина V спайна Р называется хорошей, если любая 2-компонента спайна Р проходит проходит через вершину V не более
одного раза, и плохой - в противном случае.
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Р-специальный спайн с числом вершин не менее
двух Тогда, применяя только преобразования М, можно перейти от спай-
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
127
Р к такому специальному спайну С}, что в спайне (} все вершины буВ хорошими, все ребра будут хорошими и ни одно из ребер не будет
уетпься петлей.
ЁДЛОЖЕНИЕ 3. Любое ребро, инцидентное вершинам подполиэдра Р,
^ражённого на рисунке 5, не является петлей, является хорошим реЖ, и все вершины подполиэдра Р являются хорошими.
Доказательство. На рисунке 5 вершины подполиэдра Р пронумеро-
И числами от единицы до двадцати трех. С помощью записи вида Е^^
ем обозначать внутреннее ребро подполиэдра Р, инцидентное верши-
с номерами г и у, с помощью записи вида Е{ будем обозначать внешнее
ро подполиэдра Л, инцидентное вершине с номером г. В подполиэдре Л
оторые соседние вершины соединены двумя ребрами. Для того, чтобы
щичать эти ребра одно из ребер каждой такой пары на рисунке 5 выде10 жирно. Выделенные жирно ребра будем обозначать с помощью записи
На $,',,, где г и ^ номера вершин, инцидентных данному ребру. Крылья
1полиэдра, помеченные буквами А, В и С принадлежат сответственно
юмпонентам А, В и С спайна 5.
Опишем все внутренние 2-компоненты С± подполиэдра Р с помощью
ечисления инцидентных им ребер,
С\ : #2,3, #2,з;
Съ : #1,2, #2,3, #3,4, #4,1',
Сг : #3,4, #4,6, #б,з!
Сц: #6,7, #е,?;
СБ : #1,2, #2,9, -#9,1',
Сб '• #2,3, #3,6, #6,7, #7,8, #8,9, #9,2',
С? : #4,18, #18,19, #19,21; #21,22, -^22,5, #5,7, #7,6, #6,4',
С» '• #10.13, #13,12, #12,111 -Бцдо',
Сд : #5,7, #7,6, ^6,4| #4,1, ^1,9, #9,8, #8,14, ^14,16) #16,15, ^15,13, #13,10,
#10,17, #17,18, #18,19, #19,20, #20.23, #23,5)
Сю '• #8,14, #14,8',
Сц '. #14,16, #16,15, #15,13, -#13,9, #9,8, #8,141
С\Ъ '• -#12,13, #13,15, #15,12;
^13 : -^11,12'"^12,1Ь
Си '. #10,11, #11,17, #17,10',
Сл5 '• #17,11, #11,121 #12,15, #15,16, ^16,20, #20,19, -^19,18, #18,17',
С\& '• #15,16' #16,15;
С*17 : #19,18, #18,191
С*18 '• #19,20, #20,21, #21,191
^19 : #21,22, #22,21'
С*20 : #20,23, #23,22, #22,21' #21,205
128
,>
А.Ю. Маковецкий
Сз! : ^5,23) ---'23,22) ---'22,5;
Опишем также крылья подполиэдра Р, не являющиеся внутренним»,
с помощью инцидентных им внутренних ребер подполиэдра Р.
А '• •--'5,22. -Е?22,21, ^21,19) -'--'19,18. •--•18,4) -Ё-1,3, ^3,2) -^2,1.
: ^14,8) ^8,7) --^7,6) -Е'6,3! -^3,2, ^2,9> -"--ЭДЗ- -----13,121 ----'12,111 -•-'11,10;
5
С'
:
-5'23,22) ^22,21. ^21,20) -^20,16, -^16,15) ^"15,12, ---42,11, ••-•'11,17.
И^1
^1,9,-59,13,^13,10;
ИЪ
#10,17.
ТУз
#1,4, -^4,18, #18,17;
И/4
-5б,Г, -^7,8, -'--'8,14;
И^5
--5'14,16- ^16,20) --520,23;
№в
^5,23-
Выясним, является ли каждое внутреннее ребро подполиэдра Р плохим, хорошим или средним. Для этого рассмотрим все три инцидентных
данному ребру крыла и проверим, принадлежат ли они одинаковым или
разным 2-компонентам.
Ребро Е!^ инцидентно 2-компонентам Съ,Сь,А. Поэтому ребро Ец
является хорошим. Аналогичным образом рассмотрим остальные ребра.
Ребро ^?2,з инцидентно 2-компонентам С-, А, В.
Ребро Е'2 3 инцидентно 2-компонентам С^С^-СеРебро Е5>4 инцидентно 2-компонентам С^Сз, А.
Ребро -Е^д инцидентно 2-компонентам Су,Сд,]Уз.
Ребро -54.б инцидентно 2-компонентам Сз,Сг,СэРебро Ебуз инцидентно 2-компонентам С3,Св,В.
Ребро Ее? инцидентно 2--компонентам С$,Ст,В.
Ребро Е'6 7 инцидентно 2-компонентам С$, Се, Сд.
Ребро ^2,9 инцидентно 2-компонентам С5,С^,В.
Ребро 1?9д инцидентно 2-компонентам Сб-Сд,^.
Ребро ^7,8 инцидентно 2-коыпонентам Се, В,^4Ребро Е'вд инцидентно 2-компонентам Се,Сд,Сц.
Ребро ^4,18 инцидентно 2-компонентам Ст, А, В.
Ребро ^18,19 инцидентно 2-компонентам С?,Сд,Сп.
Ребро Е(ь,19 инцидентно 2-компонентам С^^С\т,А.
Ребро -^19,21 инцидентно 2-компонентам Ст, -^18) А.
Ребро Б/21,22 инцидентно 2-компонентам С\э, .4, С.
Ребро #21,22 инцидентно 2-компонентам (7?, С19, Сю.
Ребро ^22,5 инцидентно 2-компонентам Ст,С^1, А.
Ребро Е5>7 инцидентно 2-компонентам Су, Сд, И^4Ребро ^юдз инцидентно 2-компонентам С»,Сд,1^г1.
Ребро -513,12 инцидентно 2-компонентам С8,Сц,В.
Ребро -512,11 инцидентно 2-компонентам Св,В,С.
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2 КОМПОНЕНТАМИ
129
Ребро Е[2 п инцидентно 2-компонентам С&,С\з,С1$.
Ребро Ец^о инцидентно 2-компонентам Съ,С\$,В.
Ребро #8,14 инцидентно 2-компонентам Сю,Сц,В.
Ребро Е'$ 14 инцидентно 2-компонентам С$, С\о, УУ^.
Ребро #14,16 инцидентно 2-компонентам Сд,Сц, И^Ребро #16,15 инцидентно 2-компонентам С\1,С\ъ,С.
Ребро Е[6^5 инцидентно 2-компонентам Сд^С\^С\^.
Ребро $15,13 инцидентно 2-компонентам Сд, С\\^С\^.
Ребро ^ю,17 инцидентно 2-компонентам Сд, С\^ ^2Ребро .2,17,18 инцидентно 2-компонентам Сд, С^, И'з.
Ребро ^19,20 инцидентно 2-компонентам Съ,С\ь,С\ъ.
Ребро ^20,23 инцидентно 2-компонентам Сд,С2о, №$.
Ребро 5/23,5 инцидентно 2-компонентам СГ9,СГ21,И/б.
Ребро ^13,9 инцидентно 2-компонентам Си, В, И^.
Ребро ^15,12 инцидентно 2-компонентам СГ12,СГ15,С'.
Ребро ^цд7 инцидентно 2-компонентам С14,С<15,С'.
Ребро ^16,20 инцидентно 2-компонентам С\ъ,С, И-^.
Ребро 5/20,21 инцидентно 2-компонентам С"^,Сю,С.
Ребро ^23,22 инцидентно 2-компонентам С^о- Сц,С.
Таким образом, перечислив все внутренние ребра подполиэдра Р мы
убедились, что все они являются хорошими и ни одно из них не является
петлей.
Докажем, что все вершины подполиэдра Р являются хорошими. Для
этого опишем для вершины с номером г три пары противоположных крыльев, инцидентных данной вершине, с помощью номеров тех 2-компонент,
которым эти крылья принадлежат.
И-^.С-з);
(С/5,И/з);
(А,С9).
Эта запись означает, что вершине номер 1 инцидентна пара противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам И^ и С?, пара противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам С$ и М^з и пара
противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам А и Сд. Поэтому вершина номер 1 подполиэдра Р является хорошей вершиной.
Проверим остальные вершины подполиэдра Р.
2: (А, Св);
(СьСб);
(С2,В).
3:(СьСз);
(А, Св);
(В,С2).
130
А.Ю. Маковецкий
4:(С2,С7);
(Сз.ЮЪ);
(А, С9).
5:(С21,ИЪ);
(Ст, ИЬ);
(А,С9).
6 : (Сз,С4);
(Св,С7);
(Сэ.В).
7:(С 4 ,Ж 4 );
(Су,(7б);
(С9,В).
8 : (Се, С*ю);
(Си,^);
(С9, В).
9:(С5,Сп);
(Св,^);
(С9,В).
Ю'^.С-м);
(Се, ^2);
(С79,В).
,
11 : (С14, С'гз);
(С8,С);(С1б,В).
12:(С12,С13);
(С8,С);
(С-15,-3).
13:(С 12 ,Ж г );
(Сз^ц);
(О>,3).
14:(<710,И/5);
(Си,^4);
(С-9,5).
15:(<-712,С16);
(Сц-С^);
(С9> С).
16:(С 1б1 И/ 6 );
(Сц,С1б);
(Се, С).
17:(С 14 ,ИЪ);
(С15,^2);
(С9,С).
СПАЙНЫ 3 МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНВНТАМИ
Рис. 6
I* : (СыФз);
(С^С7}(С9,А).
19:(<7г7,<-Л9);
((7-5-Ст);
(С9,А).
20:(<7 15 ,С'2о) )
(С'ав,^);
(С9,С).
21 : (С18, (Лэ);
(С20,Л);
(С-7.С).
22:((77,С);
(С'тэ,^!);
131
132
А.Ю. Маковецкий
(А,С20).
23:(С 2Ь ИЪ);
(Сао.ЮЪ);
(Се, С).
Таким образом, все двадцать три вершины являются хорошими вершинами. П
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. От подполиэдра Е\ из рисунка 2 к подполиэдру Р
можно перейти с помощью двадцати одного преобразования М.
Доказательство Теоремы 3.2. В силу Теоремы 2.5 можно считать,
что спайн Р является спайном с только хорошими ребрами и спайн Р не
имеет петель. Пусть VI-некоторая вершина спайна спайна Р. Если некоторая 2-компонента проходит через вершину VI не менее трех раз, то в
окрестности этой вершины есть ребро, которое является не лучшим, чем ,
средним, что противоречит выбору спайна Р. Поэтому любая 2-компонента
спайна Р проходит через вершину VI либо один раз, либо два раза по паре
противоположных крыльев.
Предположим, что некоторая 2-компонента спайна Р два раза проходит через вершину VI.
Обозначим через У2 некоторую соседнюю по отношению к вершине VI
вершину. Окрестностью этих двух вершин является подполиэдр Е\, изображенный на рисунке 2. По Предложению 3.4 с помощью нескольких пре-
образований М можно заменить в спайне Р подполиэдр Е\ на подполиэдр
Р, изображенный на рисунке 5. По Предложению 3.3 ни одно из внутренних ребер, подполиэдра Р не является петлей, все внутренние ребра подполиэдра Р являются хорошими и все вершины подполиэдра Р являются
хорошими.
Внешнее ребро подполиэдра Р, инцидентное вершине 1, петлей являться не может, так как каждое из трех других ребер, инцидентных вершине 1, инцидентно и некоторой вершине с другим номером. По этой же
причине петлями не могут быть внешние ребра, инцидентные вершинам
10, 17, 5, 14, 23 соответственно. Поэтому любое ребро в полученном спайне
не является петлей.
Таким образом, мы перешли от спайна Р к спайну Р' без петель, без
плохих и средних ребер и с числом плохих вершин на единицу меньше, чем
в спайне Р. Индукцией по числу плохих вершин получаем, что с помощью
преобразований М можно перейти от спайна Р к спайну <3. О
Теорема 1.1 следует из Теоремы 3.2. Тем самым Теорема 1.1 доказана.
Опишем подполиэдр типа О. Подполиэдр типа С представляет собой поверхность цилиндра вместе со средним диском и несколькими прямоугольниками, которые присоединены к поверхности цилиндра вдоль его
СПАЙНЫ 3-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНБНТАМИ
133
Теорема 1.1 следует из Теоремы 3.2. Тем самым Теорема 1.1 доказа-
на.
Опишем подполиэдр типа С. Подполиэдр типа С представляет собой поверхность цилиндра вместе со средним диском и несколькими прямоугольниками, которые присоединены к поверхности цилиндра вдоль его
образующих. Пример подполиэдра типа О изображен на рисунке 6. Окрестность в спайне любой вложенной 2-компоненты устроена аналогично подполиэдру О.
Список литературы
1. Саб1ег В.С. Ап етЪеЛЛтд гНеогет /ог соппесгеЛ 3-тат/о1с1з гтгН Ьоип^агу//
Ргос.Атег.МаеЬ.Зос. 1965. Уо1. 16. Р. 559-566.
2. МаЪуееу 5.У. Тгапз}огта1юпв о/ зресга! зргпез апА Зеетап соп]ес1иге/ / МаУьОЗЗК\г\. 1988. Уо1. 31. Р. 423-434.
3. Масоуе(,8.1су А. Тгапз/огтаНот оп зресю!, зргпез о/ 3-тапг$оЫ апЛ ЬгапсНеЛ
виг$асез// Кпо1в'96 СопГегепсе/^огЬаЬор герог( Гог ЯйЬ М81 1п(егпа.;1опа1 гевеагсЬ
тзШи1е Ьо(, 1Ьеогу, То1{уо, 1996. Р. 126-127.
4. Маковецкий А.Ю. О преобразованиях специальных спайнов и специальных полиэдров//\999. Т. 65, №3. С. 354-361.
5. Вт.§ К.Н. Зоте азрес1з о} Ле 1оро1оду о/ 3 тат/оШ ге!а(сс1 1о Иге Рогпсаге
СощесЫге!I Ьес(,игев он тос!егп Ма4Ь., ес11(.е(1 Ьу Т.Ъ. 8аа1у 1пс. 1964. Уо1.11.
6. 2еетап Е.С. Оп (Не г!ипсе Наг// Торо)о^у. 1963. Уо1. 2. Р. 341-358.
зиммдру
\Уе ь1ис!у йреста! 8р1пее оГЗ-таптГоЫ апс! 1Ье1г ггапзГоппа^олй. 2 сотропеп.;
оГзресла! зртне 1в саНес! етЬеййео!, 1Г Ьоипс1агу сигуе оГ ипа 2 сотропен! 1з
$1юр1е с!озес1 сигуе. 1п 11п8 №ог]< ]§ ргоуес. 1Ьа<; \уе сан разз тгот агЬИгагу
яреста! бртпе 1;о тне арес1а1 зр1пе, \уЫсн паз оп1у етЬес!с!ес1 2-сотропеп.:8, Ьу
1гап$Гогта1;1оп8 М+1 оп!у.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
1 103 Кб
Теги
компонента, вложенные, спайны, многообразие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа