close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спектральные задачи теории диэлектрических волноводов.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2008
Том 150, кн. 4
УДК 517.958:621.372.8
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОИИ
ДИЭЛЕКТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
Е.М. Карчевский
Аннотация
Предложены новые постановки задач спектральной теории диэлектрических волноводов, на основе которых доказано существование собственных волн, изучены качественные
свойства спектра. Построены и теоретически обоснованы новые эективные численные
методы решения этих задач.
Ключевые слова: спектральные задачи, диэлектрические волноводы, численные методы, интегральные уравнения.
Введение
В работе дается обзор результатов, полученных на каедре прикладной математики Казанского государственного университета в области исследования и
численной реализации математических моделей спектральной теории диэлектрических волноводов. Основное внимание уделяется задачам о собственных волнах
волноводов, находящихся в однородной окружающей среде.
абота состоит из пяти разделов. Первый раздел посвящен изучению качественных свойств решений общих задач о собственных волнах волноводов с постоянным
показателем преломления путем сведения их методом потенциалов простого слоя к
нелинейным спектральным задачам для редгольмовых голоморных операторункций. Во втором разделе изучаются качественные свойства решений общих
задач о собственных волнах волноводов с переменным показателем преломления и
размытой границей. Они сводятся методом интегральных уравнений по области к
нелинейным спектральным задачам для редгольмовых голоморных операторункций. Третий раздел посвящен изучению вопросов существования и качественных свойств решений задач о поверхностных собственных волнах путем сведения
их методом точных нелокальных граничных условий к параметрическим задачам
на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов с нелинейным вхождением спектральных параметров. В четвертом разделе изучаются
свойства оператора двумерного сингулярного интегрального уравнения, к которому сводится задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой окружающей среде. Пятый раздел посвящен разработке
и теоретическому исследованию численных методов решения задач спектральной
теории цилиндрических диэлектрических волноводов.
1.
Общие задачи о собственных волнах волноводов
с постоянным показателем преломления
1.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. ассмотрим скалярную задачу о собственных волнах слабонаправляющего
114
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
ис. 1. Схематическое изображение поперечного сечения диэлектрического волновода в
однородной окружающей среде
волновода [1?. Ненулевая ункция u ? U называется собственной ункцией задачи, отвечающей собственному значению ? ? ? , если
?u + ?+ 2 u = 0,
?u + ?2? u = 0,
?
X
(1)
x ? ?? ,
(2)
?u+
?u?
=
,
??
??
u+ = u? ,
u(r, ?) =
x ? ?,
(1)
a l Hl
x ? ?,
(?? r) exp(il?),
|x| ? R0 .
(3)
(4)
l=??
Здесь ? двумерный оператор Лапласа; ? область на плоскости R2 , ограниченная дважды непрерывно диеренцируемым контуром ? , целиком лежащая в
круге радиуса R0 (см. рис. 1), ?? = R2 \? ; U множество ункций, непрерывных
и непрерывно диеренцируемых в ? и ?? , дважды непрерывно диеренцируемых в ? и ?? ;
q
?+/? = k 2 n2+/? ? ? 2 ,
где k 2 = ? 2 ?0 µ0 , ? > 0 заданная круговая частота электромагнитных колебаний; ?0 , и µ0 диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства соответственно; n+ и n? постоянные показатели преломления волновода
(1)
и окружающей среды соответственно, причем такие, что 0 < n? < n+ ; Hl (z) ункции Ханкеля первого рода порядка l ; символом ? обозначено пересечение
римановых поверхностей ункций ln ?+ (?) и ln ?? (?) .
(1)
Теорема 1 (см. [1?). На пересечении ?0
главных (ѕизическихї) листов поверхностей ?+ и ?? собственные значения задачи (1)(4) могут принадлежать
лишь множеству
G = {? ? R : kn? < |?| < kn+ } .
Вещественным ? ? G соответствуют поверхностные волны ( u экспоненциально
убывает при |x| ? ? ). Теорема 1 обобщает хорошо известные результаты о локализации спектра собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода
кругового сечения, полученные на основе элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных [2?.
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
115
В статье [1? задача (1)(4) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы слабосингулярных интегральных уравнений по контуру ? на основе представления ункции u в областях ? и ?? в виде потенциалов простого слоя с
непрерывными по ельдеру плотностями и ядрами в виде удовлетворяющих соответствующим ѕпарциальнымї условиям излучения (условиям вида (4), см., например, [3?) ундаментальных решений уравнений ельмгольца (1) и (2). Построенная
система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида
A(?)w ? (I + B(?))w = 0
(5)
в банаховом пространстве W = C 1,? Ч C 0,? . Оператор B(?) вполне непрерывен
при любых ? ? ? [1?.
Сведение системы интегральных уравнений первого рода, возникающей в результате применения метода потенциалов простого слоя и содержащей непрерывно
обратимые операторы L : C 0,? ? C 1,? вида
1
Lp = ?
2?
Z2?
0
t ? ? ln sin
p(? )d?,
2 t ? [0, 2?],
(6)
к редгольмовому операторному уравнению (5) проведено на основе известной
процедуры регуляризации с использованием результатов Б.. абдулхаева [4?.
Теорема 2 (см. [1?). егулярное множество оператор-ункции A(?) , опре(1)
деленной в (5), непусто, а именно ?0 \ (D ? G) ? ?(A) . Характеристическое
множество оператор-ункции A(?) может состоять лишь из изолированных
точек, являющихся характеристическими значениями оператор-ункции A(?) .
Каждое характеристическое значение ? оператор-ункции A(?) непрерывно зависит от параметров (?, n+ , n? ) ? R+ 3 . Кроме того, с изменением параметров (?, n+ , n? ) ? R+ 3 характеристические значения оператор-ункции A(?) могут появляться и исчезать только на границе ? , то есть в точках ±kn+ , ±kn?
и на бесконечности.
Здесь R+ = {? ? R : ? > 0} , D множество, состоящее из мнимой
оси и примыкающего к ней, не пересекающегося с G интервала вещественной
оси {? ? R : |?| < kn? } .
Теорема 2 обобщает хорошо известные результаты о зависимости постоянных
распространения собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей
среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных.
Доказательство теоремы 2 основано на применении теоремы охберга Крейна
[5? об изолированности характеристических значений редгольмовой голоморной
оператор-ункции A(?) при наличии в области ее голоморности хотя бы одной
регулярной точки и теоремы С. Стейнберга [6? о поведении характеристических
значений ? такой оператор-ункции в зависимости от изменения вещественного
параметра ? в случае, если оператор-ункция A(?, ?) является совместно непрерывной ункцией параметров ? и ? . Отметим, что теорема С. Стейнберга справедлива для частного случая, когда оператор-ункция имеет вид A(?, ?) = I+B(?, ?) ,
где B(?, ?) вполне непрерывный оператор.
В статье [1? изучены свойства оператор-ункции A(?) и доказаны утверждения относительно спектральной эквивалентности задач (1)(4) и (5). Во-первых,
116
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
установлено, что если w ? W является собственной ункцией оператор-унк(1)
ции A(?) , отвечающей характеристическому значению ?0 ? ?0 \D , то ункция u ,
представленная в виде потенциалов простого слоя с плотностями, определяемыми
вектором w , принадлежит множеству U и является собственной ункцией задачи (1)(4), отвечающей собственному значению ?0 . Во-вторых, любая собственная
(1)
ункция u ? U задачи (1)(4), отвечающая собственному значению ?0 ? ?0 \ D ,
может быть представлена в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по
ельдеру плотностями; при этом ункция w , вычисленная по явным ормулам
по этим плотностям, принадлежит W и является собственной ункцией операторункции A(?) , отвечающей характеристическому значению ?0 .
1.2.
Векторная задача в полной электродинамической постановке.
ассмотрим общую векторную задачу о собственных волнах волновода в полной
электродинамической постановке [7?. Ненулевой вектор {E, H} ? U 6 называется
собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению ? ? ? , если
rot? E =i?µ0 H,
rot? H = ? i??0 n2 E,
x ? R2 \ ?,
(7)
x ? ?,
(8)
? Ч H+ = ? Ч H? , x ? ?,
? X
E
Al
(1)
=
Hl (?? r) exp (il?) ,
H
Bl
(9)
? Ч E+ = ? Ч E? ,
|x| ? R0 .
(10)
l=??
Здесь символом rot? обозначена векторная операция, которая получается из обычной операции rot заменой производной по x3 умножением на i? ; n кусочнопостоянная ункция, равная n+ в ? и n? в ?? .
(1)
Теорема 3 [7?. Мнимая и вещественная оси листа ?0 , за исключением мно-
жества G , не содержат собственных значений задачи (7)(10).
Вещественным ? ? G соответствуют поверхностные волны. Комплексным зна(1)
(1)
чениям ? ? C0 отвечают комплексные собственные волны. Символом C0 обо(1)
значена часть листа ?0 без мнимой и вещественной осей. Теорема 3 обобщает
известные результаты о локализации спектра собственных волн диэлектрического
волновода кругового сечения, полученные на основе метода разделения переменных в векторном случае.
В статье [7? задача (7)(10) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы сингулярных интегральных уравнений по контуру ? . При этом использованы выражения собственных векторов {E, H} задачи (7)(10) через потенциальные ункции E3 , H3 , удовлетворяющие уравнениям (1), (2), и представления этих
ункций в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по ельдеру плотностями и ядрами в виде ундаментальных решений уравнений елмгольца (1) и (2),
удовлетворяющих соответствующим ѕпарциальнымї условиям излучения.
Вследствие наличия в условиях сопряжения, которым удовлетворяют ункции E3 и H3 на контуре ? , касательных производных построенная система уравнений содержит сингулярный интегральный оператор S : C 0,? ? C 0,? , определяемый равенством
1
Sp =
2?
Z2?
0
? ?t
i
ctg
p(? ) d? +
2
2?
Z2?
0
p(? ) d?,
t ? [0, 2?].
(11)
117
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
Этот линейный непрерывный оператор, как известно, непрерывно обратим (см.,
например, [8?). Построенная система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида
(12)
A(?)w ? (I + B(?))w = 0
в банаховом пространстве W = (C 0,? )4 . Установлено [7?, что оператор B(?) вполне
непрерывен при любых ? ? ? .
Теорема 4 [7?. егулярное множество оператор-ункции A(?) , определенной
в (12), непусто, а именно
(1)
(1)
?0 \ D ? G ? C0
? ?(A).
Характеристическое множество оператор-ункции A(?) может состоять
лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-ункции A(?) . Каждое характеристическое значение ? операторункции A(?) непрерывно зависит от параметров (?, n+ , n? ) ? R+ 3 . Кроме того, с изменением параметров (?, n+ , n? ) ? R+ 3 характеристические значения
оператор-ункции A(?) могут появляться и исчезать только на границе ? , то
есть в точках ±kn+ , ±kn? и на бесконечности.
Теорема 4 обобщает известные результаты о зависимости постоянных распространения собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате анализа характеристического уравнения
метода разделения переменных в векторном случае. В ходе доказательства этой
теоремы в [7? изучены свойства оператор-ункции A(?) и установлена спектральная эквивалентность задач (12) и (7)(10).
2.
Общие задачи о собственных волнах
волноводов с размытой границей
2.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. ассмотрим скалярную задачу в приближении слабонаправляющего волно-
вода [9?. Ненулевая ункция u ? C2 (R2 ) называется собственной ункцией этой
задачи, отвечающей собственному значению ? ? ? , если
? + k 2 n2 ? ? 2 u = 0, x ? R2 ,
(13)
u(r, ?) =
?
X
(1)
a l Hl
(?? r) exp(il?),
|x| ? R0 .
(14)
l=??
Здесь n вещественная ункция, удовлетворяющая условиям:
n = n? = const,
x?
/ ?,
n+ = max n(x) > n? > 0;
x??
символом ? обозначена поверхность имана ункции ln ?? (?) .
Всюду во втором разделе предполагается, что волновод имеет размытую границу, а именно, что n ? C2 (R2 ) . Это предположение существенно используется в п. 2.2
при решении векторной задачи о собственных волнах. езультаты п. 2.1 справедливы для более общего случая [10?: n ? C1 (?) , граница ? области ? липшицева
кривая, на ? ункция u ? U удовлетворяет условиям сопряжения (3). Однако
в целях единства изложения материала предположение n ? C2 (R2 ) делается и в
п. 2.1.
118
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
(1)
Теорема 5 [9?. На главном (ѕизическомї) листе ?0
римановой поверхности ? собственные значения задачи (13), (14) могут принадлежать лишь множеству G .
В статье [9? задача (13), (14) сведена к нелинейной спектральной задаче для
интегрального уравнения по области ? на основе представления ункции u в виде интеграла по области ? ядром в виде ундаментального решения уравнения
елмгольца (2), удовлетворяющего ѕпарциальнымї условиям излучения. Построенное интегральное уравнение трактуется как операторное уравнение вида
(15)
A(?)v ? (I ? B(?))v = 0
в пространстве L2 (?) . При любых ? ? ? оператор B(?) является вполне непрерывным, при ? ? G самосопряженным и положительно определенным [9?.
В статье [9? доказано, что если u ? C2 (R2 ) является собственной ункцией
задачи (13), (14), отвечающей собственному значению ?0 ? ? , то ункция v , вычисленная по явной ормуле по u , принадлежит пространству L2 (?) и является
собственной ункцией оператор-ункции A(?) , отвечающей характеристическому значению ?0 . С другой стороны, если v ? L2 (?) является собственной ункцией оператор-ункции A(?) , отвечающей характеристическому значению ?0 ? ? ,
то ункция u , построенная по v с помощью определенного интегрального представления, принадлежит пространству C 2 (R2 ) и является собственной ункцией
задачи (13), (14), отвечающей собственному значению ?0 .
Теорема 6 [9?. егулярное множество оператор-ункции A(?) , определен(1)
ной в (15), непусто, а именно ?0 \ G ? ?(A) . Характеристическое множество
оператор-ункции A(?) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-ункции A(?) . Каждое характеристическое значение ? оператор-ункции A(?) непрерывно зависит от
параметров (?, n? ) ? R+ 2 . Кроме того, с изменением (?, n? ) ? R+ 2 характеристические значения оператор-ункции A(?) могут появляться и исчезать
только на границе поверхности ? , то есть в точках ±kn? и на бесконечности.
Теорема 7 [9?. Задача (13), (14) имеет по крайней мере одно простое положительное собственное значение ? , принадлежащее множеству G ; ему отвечает
положительная собственная ункция.
2.2.
Векторная задача в полной электродинамической постановке.
ассмотрим общую векторную задачу о собственных волнах волновода с размытой границей в полной электродинамической постановке [11?. Ненулевой век
6
тор {E, H} ? C2 (R2 ) называется собственным вектором задачи, отвечающим
собственному значению ? ? ? , если
rot? E =i?µ0 H,
rot? H = ? i??0 n2 E,
? X
E
Al
(1)
=
Hl (?? r) exp (il?) ,
H
Bl
x ? R2 ,
(16)
|x| ? R0 .
(17)
l=??
(1)
Теорема 8 [11?. Мнимая и вещественная оси листа ?0 , за исключением
множества G , не содержат собственных значений задачи (16), (17).
В статье [11? задача (16), (17) сведена к нелинейной спектральной задаче для
интегрального уравнения по области ? с помощью предложенного К. Мюллером
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
119
(C. M
uller) метода сведения трехмерной задачи диракции электромагнитных волн
на неоднородном теле с размытой границей к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по области неоднородности. Построенное интегральное уравнение
трактуется как операторное уравнение вида
A(?)F ? (I ? B(?))F = 0
(18)
в пространстве [L2 (?)]3 . При любых ? ? ? оператор B(?) вполне непрерывен [11?.
В статье [11? доказано, что если вектор {E, H} ? [C2 (R2 )]6 является собственным вектором задачи (16), (17), отвечающим собственному значению ?0 ? ? ,
то F = E ? [L2 (?)]3 есть собственный вектор оператор-ункции A(?) , отвечающий характеристическому значению ?0 . Если F ? [L2 (?)]3 является собственным вектором оператор-ункции A(?) , отвечающим характеристическому значению ?0 ? ? , и это число ?0 не является собственным значением задачи (13), (14), то
вектор {E, H} , построенный по F с помощью определенного интегрального представления, принадлежит [C 2 (R2 )]6 и является собственным вектором задачи (16),
(17), отвечающим собственному значению ?0 .
Теорема 9 [11?. егулярное множество
оператор-ункции
A(?) , определен
(1)
(1)
ной в (18), непусто, а именно ?0 \ G ? C0
? ?(A) . Характеристическое
множество оператор-ункции A(?) может состоять лишь из изолированных
точек, являющихся характеристическими значениями оператор-ункции A(?) .
Каждое характеристическое значение ? оператор-ункции A(?) непрерывно зависит от параметров (?, n? ) ? R+ 2 . Кроме того, с изменением параметров (?, n? ) ? R+ 2 характеристические значения оператор-ункции A(?) могут появляться и исчезать только на границе поверхности ? , то есть в точках ±kn? и на бесконечности.
3.
Задачи о поверхностных собственных волнах
3.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. ассмотрим скалярную задачу о поверхностных собственных волнах слабо-
направляющего волновода в вариационной постановке [12?: найти все такие пары
чисел (? 2 , k 2 ) ? ? , при которых существуют ненулевые ункции u ? W21 (R2 ) ,
удовлетворяющие для любой ункции v ? W21 (R2 ) тождеству
Z
Z
(?u · ?v + ? 2 uv)dx = k 2 n2 uvdx.
(19)
R2
R2
Здесь ? = (? 2 , k 2 ) : ? 2 /n2+ < k 2 < ? 2 /n2? , ? 2 > 0 ; n вещественная ункция,
принадлежащая пространству C(?) , такая, что n = n? > 0 в ?? ,
min n(x) ? n? , n+ = max n(x) > n? .
x??
x??
Область ? является ограниченной, не обязательно связной, каждая связная компонента ее границы ? является липшицевой кривой.
В статье [12? задача (19) эквивалентным образом сведена к параметрической задаче на собственные значения в круге ?R ? ? , которая ормулируется следующим
образом: найти все (? 2 , k 2 ) ? ? , при которых существуют ненулевые ункции u ?
? W21 (?R ) , удовлетворяющие уравнению
A(? 2 , k 2 )u = k 2 Bu,
(20)
120
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
ис. 2. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн слабонаправляющего волновода с показателем преломления, изменяющимся в ограниченной области (на
примере волновода кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)
где A(? 2 , k 2 ) и B ограниченные линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве W21 (?R ) ; кроме того, A(? 2 , k 2 ) неотрицательный оператор
для любых (? 2 , k 2 ) ? ? , а B вполне непрерывный положительный оператор.
Сведение задачи (19) к задаче (20) основано на построении точного нелокального
условия на границе ?R области ?R с использованием условия сопряжения на ?R
и явной ормулы для метагармонического продолжения искомого решения с ?R
в R2 \ ?R .
В статье [12? доказано, что при любом ? 2 > 0 задача (20) имеет по крайней мере
одно решение, а число всех ее решений увеличивается с ростом ? 2 и стремится
к бесконечности при ? 2 ? ? . Для каждого конечного значения ? 2 существует
конечное число решений (? 2 , kl2 (? 2 ); ul (? 2 )) задачи (20). Это число определяется
решениями ?l2 вспомогательной линейной задачи на собственные значения для
ограниченных самосопряженных операторов (уравнения отсечки).
В статье [12?, кроме того, доказано, что ункции k 2 = kl2 (? 2 ) , определенные
на (?l2 , ?) , при всех l ? 1 являются локально липшицевыми, возрастающими,
2
и kl2 (? 2 )/? 2 ? n?2
+ при ? ? ? .
Приведенные выше результаты статьи [12? обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн слабонаправляющего цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным
показателем преломления (см. рис. 2), полученные на основе метода разделения
переменных.
3.2. Векторная задача в вариационной постановке. ассмотрим векторную задачу о поверхностных собственных волнах в вариационной постановке [13?:
найти все такие (?, k) ? ? , при которых существуют ненулевые векторы H ?
?
? [W21 (R2 )]3 , удовлетворяющие для любого вектора H ? [W21 (R2 )]3 тождеству
Z Z
1
1
?
?
2
rot
H
·
rot
H
+
div
H
div
H
dx
=
k
H · H? dx.
(21)
?
?
?
?
n2
n2?
R2
R2
Здесь ? = {(?, k) : ?/n+ < k < ?/n? , ? > 0} , символом div? обозначена векторная операция, которая получается из обычной операции div заменой производной
по x3 умножением на i? .
На основе метода точных нелокальных граничных условий задача (19) эквивалентным образом сводится к параметрической задаче на собственные значения
121
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
в круге ?R , которая ормулируется следующим образом [13?: найти все (?, ?) ?
? R+ 2 , при которых существуют ненулевые векторы H ? [W21 (?R )]3 , удовлетворяющие уравнению
A(?, ?)H = ?? 2 BH,
(22)
p
где ? = ? 2 ? k 2 n2? поперечное волновое число, A(?, ?) и B ограниченные
линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве [W21 (?R )]3 ,
кроме того, B компактный положительный оператор.
В статье [13? доказано, что при любом ? > 0 задача (22) имеет по крайней
мере два решения: (?, ?1 (?); H1 (?)) и (?, ?2 (?); H2 (?)) . Число всех решений увеличивается с ростом ? и стремится к бесконечности при ? ? ? . Для каждого
конечного значения ? существует конечное число решений (?, ?l (?); Hl (?)) задачи (22). Это число определяется значениями точек отсечки ?l , квадраты которых
являются решениями уравнения отсечки, представляющего собой линейную задачу
на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов.
Кроме того, в статье [13? доказано, что ункции ? = ?l (?) , определенные
на (?l , ?) , при
p всех l ? 1 являются локально липшицевыми, неубывающими,
и ?l (?)/? ? 1 ? (n? /n+ )2 при ? ? ? .
Приведенные выше результаты статьи [13? обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления (см. рис. 3), полученные в векторном случае на основе метода разделения
переменных.
4. Задача о собственных волнах цилиндрического
диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде
ассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического
волновода в плоско-слоистой среде [14?. Предполагается, что показатель преломления n является положительной вещественной ункцией, кроме того, существует
ограниченная область ? такая, что n(x) = n? (x2 ) при x ? ?? = R2 \ ? , где
ункция n? (x2 ) зависит только от координаты x2 :
?
?
n , x ? ?1 = {x : ? < x1 < ?, x2 > d},
?
? 1
n? (x2 ) = n2 , x ? ?2 = {x : ? < x1 < ?, 0 < x2 < d},
?
?
?
n , x ? ? = {x : ? < x < ?, x < 0}.
3
3
1
2
Предполагается, что ? ? ?2 , и n является непрерывной ункцией в области ?2 . Другими словами, предполагается, что волновод имеет размытую границу. Ненулевой вектор {E, H} ? U6 называется собственным вектором задачи,
b (1) , если выполнены условия:
отвечающим собственному значению ? ? ?
0
2
rot? H = ?i??0 n E,
+
?
? ЧE =? ЧE ,
(1)
(1)
(23)
x ? R2 \ (?1 ? ?2 ) ,
rot? E = i?µ0 H,
(24)
2
x ? R \ (?1 ? ?2 ) ,
+
?
? ЧH =? ЧH ,
x ? ?j ,
j = 1, 2.
(25)
b
Здесь ?
= {? ? ?0 : Im? = 0, |?| > kn2 } множество, принадлежащее
0
вещественной
оси главного (ѕизическогої) листа римановой поверхности ункp
ции ln k 2 n22 ? ? 2 ; n+ > n2 ? n3 ? n1 > 0 ; через ?1 и ?2 обозначены границы
области ?2 ; U множество ункций, непрерывных и непрерывно диеренцируемых в ?1 , ?2 и ?3 , дважды непрерывно диеренцируемых в ?1 , ?2 и ?3 ,
122
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
ис. 3. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода с показателем преломления, изменяющимся в ограниченной области (на примере волновода
кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)
экспоненциально убывающих при |x| ? ? по любому направлению, не параллельному прямым ?j , и ограниченных при |x| ? ? по направлениям, параллельным
прямым ?j .
В работе [14? задача (23)(25) сведена к нелинейной спектральной задаче для
двумерного сингулярного интегрального уравнения на основе представления собственных векторов в виде интегралов по области ? с ядрами, выражающимися
через известную тензорную ункцию рина для поляризационного потенциала.
Построенное интегральное уравнение представляется в операторном виде
A(?)F = 0
(26)
b (1) ядро оператора A(?) сильно сингулярв пространстве [L2 (?)]3 . Для всех ? ? ?
0
но [14?.
b (1) оператор A(?) редгольмов.
В работе [14? доказано, что для любого ? ? ?
0
Доказательство основано на общих результатах теории многомерных сингулярных
интегральных операторов, построенной в работах С.. Михлина (см., например,
[15?).
В случае, когда показатель преломления волновода совпадает с показателем
преломления того слоя, в котором он находится, направляющая структура представляет собой планарный диэлектрический волновод. Свойства постоянных распространения и собственных волн такого волновода хорошо изучены (см., например, [16?).
5.
5.1.
Численные методы решения задач спектральной теории
диэлектрических волноводов
Метод алеркина решения общих задач о собственных волнах.
В этом пункте предлагается и обосновывается метод алеркина решения нелинейных спектральных задач для систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные интегралы с логаримической особенностью ядра (6) и ядром ильберта
(11). При исследовании численного метода эти системы удобно трактовать как
операторные уравнения (5) и (12) в гильбертовых пространствах W21 Ч L2 и (L2 )4
соответственно. В качестве базисных используются тригонометрические ункции,
которые являются собственными ункциями, отвечающими известным собственным значениям, указанных сингулярных интегральных операторов. В соответствии
с методом алеркина приближенные значения ?n постоянных распространения ?
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
123
ис. 4. Дисперсионные кривые для комплексных и поверхностных собственных волн волноводов кругового и квадратного поперечных сечений
определяются как характеристические значения соответствующих конечномерных
операторов An (?) : Hn ? Hn , где n количество базисных ункций.
В статье [17? обоснована сходимость метода алеркина решения задачи (5), а в
работе [18? задачи (12), а именно: доказано, что если ?0 ? ?(A) (символом ?(A)
обозначено характеристическое множество оператора A ), то существует такая последовательность ?n ? ?(An ) , что ?n ? ?0 . Если {?n } некоторая последовательность точек из ? такая, что ?n ? ?(An ) , ?n ? ?0 ? ? при n ? ? , то ?0 ? ?(A)
при n ? ? . Если {?n } некоторая последовательность точек из ? и {xn } некоторая последовательность нормированных векторов ( kxn k = 1 ) таких, что имеют
место соотношения ?n ? ?(An ), An (?n )xn = 0, ?n ? ?0 ? ?, xn ? x0 при n ? ? ,
то ?0 ? ?(A) и A(?0 )x0 = 0 , kx0 k = 1 . Исследование сходимости метода алеркина опирается на результаты .М. Вайникко, О.О. Карма о проекционных методах
решения нелинейных спектральных задач для редгольмовых операторов [19?.
В работе [20? приведены результаты численных экспериментов поиска собственных векторов задачи (12), отвечающих комплексным собственным значениям ? ?
(1)
? C0 . Для волновода кругового поперечного сечения результаты сопоставлены с
точными решениями, полученными методом разделения переменных, и с результатами работы Т. Яблонского [21?, в которой для решения задачи в исходной диеренциальной постановке применялся специальный проекционно-итерационный
метод.
езультаты вычислений [20? представлены на рис. 4 слева. На этом рисунке построены дисперсионные кривые для комплексных собственных значенийq зависимости вещественной и мнимой части параметра ?e = ?/(kn? ) от V = kR n2+ ? n2?
при иксированном значении (n2+ ? n2? )/(2n2? ) = 30 . Здесь R радиус волновода. Непрерывными линиями изображены точные решения, полученные как корни
характеристического уравнения (верхний граик Im ?e , нижний Re ?e ). Кружочками на рис. 4 слева отмечены результаты вычислений по методу алеркина,
которые с граической точностью совпали с результатами работы Т. Яблонского.
Помимо комплексных собственных волн волновода кругового поперечного сечения,
для демонстрации эективности предлагаемого метода в работе [20? разыскивались также комплексные собственные волны диэлектрического волновода квадратного поперечного сечения со стороной, равной 2R (на рис. 4 слева квадратиками
e . При этом использовалась аппроксимация квадотмечены значения Im ?e и Re ?)
рата гладкими кривыми. В [20? исследовалась скорость сходимости метода при
124
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
ис. 5. Дисперсионные кривые для девяти собственных волн и линии уровня квадратов
собственных ункций волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного
сечения
использовании различных кривых. На рис. 4 справа непрерывными линиями построены дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода
квадратного поперечного сечения (со стороной, равной 2a ), полученные методом
алеркина в статье [22?. Квадратиками на этом рисунке обозначены результаты
изических экспериментов.
5.2. Метод конечных элементов решения задач о поверхностных
собственных волнах. В статье [23? описан метод конечных элементов реше-
ния задачи (20). Использованы простейшие пространства лагранжевых конечных
элементов, удобные для практического применения метода. Предложен простой
метод аппроксимации точного нелокального граничного условия, выписанного в
явном виде на основе метода разделения переменных. Установлено, что свойства
спектра конечно-элементной аппроксимации в точности соответствуют свойствам
спектра исходной диеренциальной задачи. Приведены результаты численных
экспериментов решения ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов. Полученные результаты сопоставлены с известными точными
решениями и решениями, полученными другими авторами. Исследована скорость
сходимости метода в зависимости от точности аппроксимации граничного условия
и максимального размера элементов.
СПЕКТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . .
125
В качестве примера, демонстрирующего возможности метода [23?, приведем результаты расчетов для новой волноведущей структуры. Область ? состояла из
трех касающихся друг друга кругов центрами в вершинах равностороннего треугольника со сторонами ? . Показатель преломления n(x) = n+ при x ? ? . адиус
R окружности ?R был выбран равным 1.3? . На рис. 5 в левом верхнем
углу построp
2 ? (?/k)2 от
ены дисперсионные
кривые,
показывающие
зависимость
U
=
?k
n
+
p
V = ?k n+ 2 ? n2? , для первых девяти собственных волн. Дисперсионные кривые
для U2 и U3 , U5 и U6 , U8 и U9 совпали с граической точностью. Вероятно, соответствующие собственные значения ? являются кратными. На рис. 5 построены
также линии уровня квадратов собственных ункций u2 в расчетной области ?R
для V = 3 .
Summary
E.M. Karhevskii. Spetral Problems of the Theory of Dieletri Waveguides.
New statements of spetral problems of the theory of dieletri waveguides are proposed.
Existene of the eigenwaves is proved and properties of the spetrum are investigated. New
eetive numerial methods for alulation of the eigenwaves are onstruted and theoretially
grounded.
Key words: spetral problems, dieletri waveguides, numerial methods, integral
equations.
Литература
1.
Карчевский Е.М. К исследованию спектра собственных волн диэлектрических волноводов // Журн. вычисл. матем. и матем. из. 1999. Т. 39, ќ 9. С. 15581563.
2.
Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: адио и связь, 1987. 656 с.
3.
Ильинский А.С., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 184 с.
4.
абдулхаев Б.. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1994. 288 с.
5.
охберг И.Ц., Крейн М.. Основные положения о деектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // Усп. матем. наук. 1957. Т. 12, Вып. 2. С. 44118.
6.
Steinberg S. Meromorphi families of ompat operators // Arh. Rat. Meh. Anal. 1968. V. 31, No 5. P. 372379.
7.
Карчевский Е.М. Исследование задачи о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов // Диеренц. уравнения. 2000. Т. 36, ќ 7. С. 998
999.
8.
абдулхаев Б.. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1995. 231 с.
9.
Карчевский Е.М., Носич А.И., Соловьев С.И. Собственные моды диэлектрических
волноводов с размытой границей // Задачи диракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах: Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000. C. 79114.
10. Карчевский Е.М., Соловьев С.И. Исследование спектральной задачи для оператора
ельмгольца на плоскости // Диеренц. уравнения. 2000. Т. 36, ќ 4. С. 563
565.
126
Е.М. КАЧЕВСКИЙ
11. Karthevski E.M., Nosih A.I., Hanson G.W. Mathematial Analysis of the Generalized
Natural Modes of an Inhomogeneous Optial Fiber // SIAM J. Appl. Math. 2005. V. 65, No 6. P. 20332048.
12. Даутов .З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной
задачи теории диэлектрических волноводов // Журн. вычисл. матем. и матем. из. 2000. Т. 40, ќ 8. С. 12501263.
13. Даутов .З., Карчевский Е.М. О решении векторной задачи о собственных волнах
цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия // Журн. вычисл. матем. и матем. из. 2002. Т 42, ќ 7. C. 10511066.
14. Karthevski E.M., Hanson G. Mathematial Analysis of the Guided Modes of Integrated
Optial Guides // The Sixth Intern. Conf. on Mathematial and Numerial Aspets of
Wave Propagation, Jyvaskyla, Finland, June 30 July 4, 2003: Proeedings. 2003. P. 445450.
15. Mikhlin S.G., Pr
ossdorf S.P. Singular integral operators. Berlin: Springer-Verlag, 1986. 528 p.
16. Плещинский Н.Б. Модели и методы волноводной электродинамики. Казань: Казан.
гос. ун-т, 2008. 104 с.
17. Карчевский Е.М. Исследование численного метода решения спектральной задачи
теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 1999. ќ 1. С. 1017.
18. Karhevskii E.M. Mathematial Analysis and Numerial Modeling of the Guided Modes of
the Step-Index Optial Fibers // SIAM Pro. Appl. Math. 2000. V. 102. P. 414419.
19. Вайникко .М., Карма О.О. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. из. 1974. Т. 14, ќ 4. С. 828837.
20. Karhevskii E., Trifonov E. Computing Complex Propagation Constants of Dieletri
Waveguides // Intern. Conf. on Mathematial Methods in Eletromagneti Theory, Kharkov, Ukraine, 1215 September 2000: Proeedings. 2000. P. 636537.
21. Jablonski T.F. Complex modes in open lossless dieletri waveguides // J. Opt. So.
Am. A. 1994. V. 11, No 4. P. 12721282.
22. Карчевский Е.М. Об определении постоянных распространения собственных волн
диэлектрических волноводов методами теории потенциала // Журн. вычисл. матем.
и матем. из. 1998. Т. 38, ќ 1. С. 132136.
23. Даутов .З., Карчевский Е.М. Вопросы существования и численные методы в спектральной теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов // Задачи диракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах: Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000. С. 5578.
Поступила в редакцию
26.08.08
Карчевский Евгений Михайлович доктор изико-математических наук, доцент
каедры прикладной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Evgenii.Karhevskiiksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
969 Кб
Теги
спектральная, диэлектрических, волноводов, задачи, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа