close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Суммирование многопараметрических асимптотических рядов в теории критических явлений методом конформного отображения.

код для вставкиСкачать
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 69–72.
УДК 539.612
П.В. Прудников, В.К. Кормилов
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
СУММИРОВАНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ В ТЕОРИИ
КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДОМ
КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ*
Проведено суммирование многопараметрических асимптотических рядов методом
конформного отображения.
Ключевые слова: фазовые переходы и критические явления, методы суммирования
асимптотических рядов, ренормгруппа, неупорядоченные системы.
Построение теории критического поведения неупорядоченных
систем является весьма сложной задачей современной физики, тесно
связанной с квантовой теорией поля. При изучении критических явлений большое внимание уделяется определению значений совокупности степенных показателей, называемых критическими индексами,
которые описывают особенности аномального поведения термодинамических функций вблизи критической точки. Ренормгрупповые функции, входящие в выражения для критических индексов, могут быть получены в виде рядов по степеням вершин взаимодействия флуктуаций
параметра порядка. Данные ряды являются асимптотическими и характеризуются факториальной сходимостью, определяемой асимптотикой
Липатова. Поэтому с целью извлечения из них необходимой физической
информации применяются специальные методы суммирования, одним
из которых является метод конформного отображения. Однако при описании критического поведения неупорядоченных систем возникающие
ряды являются многопараметрическими и традиционные методы суммирования не применимы. Целью данной работы является реализация
алгоритма суммирования многопараметрических асимптотических рядов методом конформного отображения.
В рамках теоретико-полевого подхода асимптотическое критическое поведение систем во флуктуационной области определяется ренормгрупповым уравнением Каллана–Симанчика для вершинных частей неприводимых функций Грина:
⎡ ∂
∂
N ⎤ ( L, N )
= 0, (1)
⎢ m ∂m + β g ∂g − L γ ϕ 2 − γ ϕ − 2 γ ϕ ⎥ Γ
⎦
⎣
(
)
* Работа поддержана грантами 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы» и
02.740.11.0541 программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», грантами РФФИ 10-0200507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2..
© П.В. Прудников, В.К. Кормилов, 2010
70
П.В. Прудников, В.К. Кормилов
где Г(L,N) – вершинная функция с N внешними линиями поля φ и L линиями взаимодействия, γφ и γφ2 – ренормгрупповые
(скейлинговые) функции, βg – функция
Гелл–Манна–Лоу (β-функция), представляемая в виде асимптотического степенного ряда по вершине взаимодействия
флуктуаций параметра порядка g.
В общем случае, ряд может быть представлен в виде:
∞
W(g) = ∑ Wn g n .
(2)
n =0
Получаемые ряды являются асимптотическими: N
W ( g ) − ∑ Wn ≤ Cσ N +1 [( N + 1)!] g
σ
N +1
⎡
⎛ 1 ⎞⎤
Wn ≈ C (−a) n N ! ⎢1 + O⎜ ⎟⎥ .
⎝ n ⎠⎦
⎣
b
(3)
(4)
Под суммированием понимается борелевское определение суммы ряда:
∞
W ( g ) = ∫ exp(− x) x b0 −1 B( gx)dx ,
(5)
0
∞
WN
zN ,
N =0 Γ ( N + b0 )
B( z ) = ∑
∞
∞
N =0
N =0
B( z ) = ∑ BN z N |z= f (u ) → B(u ) = ∑U N u N . (7)
4 u
.
a (1 − u ) 2
Связь U и B выражается как:
z=
Природа критического поведения определяется существованием неподвижных
устойчивых точек ренормгрупповых преобразований, удовлетворяющих ренормгрупповому уравнению:
β ( g *) = 0.
Рис. 1. Конформное отображение
Переразложение B (z ) в ряд по u всегда дает сходящийся ряд. Конформное
отображение определяется формулами:
,
n =0
n
преобразования и гомотетии. Таким образом, плоскость с разрезом отображается в
единичный круг (рис.):
(6)
где B(z) – борелевский образ функции
W(g), определяемый преобразованием Бореля–Леруа (модифицированным преобразованием Бореля), переходящим при β0
в преобразование Бореля, которое было
использовано в настоящей работе.
Для борелевского образа B(z) предполагается аналитичность в комплексной
плоскости z с разрезом от − 1 a до − ∞ .
Ряд B(z) сходится в круге |z|, и для интегрирования требуется его аналитическое продолжение. Одним из таких аналитических продолжений является конформное отображение (лат. сonformis –
подобный), отображающее область D в D*,
так, что в окрестности любой точки области D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального
U 0 = B0 ,
(8)
K
N
⎛4⎞
U N = ∑ BK ⎜ ⎟ C NN+−KK−1 ,
K =1
⎝a⎠
N!
C NK =
.
K !( N − K )!
Таким образом, сумма ряда
принимает вид:
∞
∞
N
⎡
W ( g ) = ∫ exp( − x ) ⎢ B 0 + ∑ ∑ B K C NN +−KK −1 ×
N =1 K =1
⎣
0
1
⎤
K
b
⎛ 4 ⎞ (1 + agx 0 ) 2 − 1 ⎥
×⎜ ⎟
dx .
1
⎥
⎝a⎠
b0 2
(1 + agx ) + 1 ⎥⎦
(9)
(5)
(10)
Однородная модель Изинга
Метод конформного отображения был
применен к трехмерной однородной модели Изинга, ряды для которой были
представлены в работе [1]:
η (g) = 0.0109739368g 2 +
+ 0.000914223g 3 + 0.0017962229g 4 −
− 0.000653698g 5 + 0.0013878101g 6 −
− 0.0016697694g 7 + …
(11)
71
Суммирование многопараметрических асимптотических рядов…
1
2 2
g −
3
27
− 0.0443102531g 3 + 0.0395195688g 4 −
5
10 2
g+
g − 0.0525519564g 3 +
11
121
(19)
+ 0.0399640005g 4 − 0.0413219917g 5 +
η 2 (g) = −
η 2 (g) = - g +
(12)
− 0.444003474g 5 + 0.060363441g 6 −
+ 0.0490929344g 6 − 0.0670863g 7 + …
− 0.09324948g 7 + …
Значения критических индексов, рассчитанных для модели Гейзенберга представлены в табл. 2.
Ренормгрупповые функции позволяют
вычислить критический индекс η=η(g*),
определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием x при
критической температуре Tc (13) и критический индекс ν
(14), определяющий
температурную
зависимость
корреляционной длины (15):
G ( 2) ( x, Tc ) ~ 1
x
d − 2+η ,
v = ( 2 + η 2 − η ) −1 ,
ξ ~ T − Tc
−v
.
(15)
−γ
(16)
(17)
Значения критических индексов, рассчитанных методом конформного отображения, представлены в табл. 1.
Таблица 3
1.4185(25)
0.0318(3)
–0.3832(8)
0.6306
1.2411
1.39288
0.03224
–0.55033
0.70550
1.38826
1.393(2)
0.033(3)
–0.5507(12)
0.7060(7)
1.3876(9)
Неупорядоченная модель Изинга
Для неупорядоченной модели Изинга
с некоррелированными дефектами структуры в ренормгрупповых функциях возникает второй параметр – вершина v, характеризующая дополнительное взаимодействие флуктуаций параметра порядка
через поле дефектов [2]:
1
4
2
+ 0.05324ν − 0.012642g 3 − 0.041167g 2ν −
γ λ (g,ν ) = − ν + 0.0084g 2 - 0.030862gν +
τ rel ~ T − Tc
Однородная модель Гейзенберга
Ренормгрупповые функции для трехмерной однородной модели Гейзенберга
имеют вид [1]:
(20)
− zv
.
(22)
Двухпараметрический
ряд
может
быть просуммирован следующим образом:
∞
W ( g ,ν ) = ∑ C (ν ) g i ;
(23)
Ci (ν ) = ∑ Wijν j .
(24)
i =0
∞
η (g) =
+ 0.0010883237g 6 − 0.001111499g 7 + …
Работа [1]
Функция γλ позволяет рассчитать значение критического динамического индекса z; (21), определяющего критическое
замедление времени релаксации системы
(22):
z = 2 + γλ ;
(21)
Работа [1]
40 2
g + 0.00102g 3 +
3267
+ 0.0017919257g 4 − 0.0005040977g 5 +
Настоящая
работа
− 0.152964gν 2 − 0.049995ν 3 + …
Критические индексы для трехмерной
однородной модели Изинга
1.423339
0.030920
–0.384890
0.6312
1.2429
g*
η
η0
ν
γ
(14)
χ (T ) ~ T − Tc ;
γ = v(2 − η ).
g*
η
η0
ν
γ
Критические индексы для модели Гейзенберга
(13)
Критический индекс γ, определяющий
закон изменения восприимчивости (16),
может быть определен из соотношения
Фишера (17):
Настоящая
работа
Таблица 4
j =0
(18)
Значения критических индексов для
неупорядоченной модели Изинга представлены в табл. 3.
Та б л и ц а 5
Коэффициенты di для функции γλ [3]
a
d1
d2
d3
72
3.0
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
П.В. Прудников, В.К. Кормилов
0.053241
0.039378
0.027685
0.017380
0.007825
–0.001561
–0.011391
–0.022405
–0.035632
–0.052685
–0.076400
0.106481
0.091971
0.078734
0.066463
0.054903
0.043828
0.033033
0.022323
0.011501
0.000362
–0.011315
–0.092593
–0.074149
–0.055764
–0.037191
–0.018174
0.001568
0.022341
0.044494
0.068425
0.094608
0.123604
∞
C 'j (u, w) = ∑ Cij ( w)u i . (27)
i =0
Система с дальнодействующей корреляцией дефектов структуры
В общем случае ряды для данной системы являются трехпараметрическими и
имеют вид:
W(u,ν , w) =
∞
∑W
i, j, k =0
u ν w . (25)
i
ijk
j
k
Поступая по аналогии с двухпараметрическим случаем, имеем:
∞
W (u ,ν , w) = ∑ C 'j (u , w)ν j . (26)
j =0
Ренормгрупповая функция γλ для системы с дальнодействующей корреляцией
дефектов имеет следующий трехпараметрический вид [4]:
1
1
γ λ (u,ν , w, ) = ν + (f1 - f 2 )w +
4
2
m + 2 2 23 2
(28)
+ 0.226777
u +
ν + d1 w 2 +
(m + 8) 2
432
+ d 2νw + d 3
m+2
5 m+2
uw uν + …
m +8
54 m + 8
(a − 2)(a − 4) , f = (a − 2)(a − 3)(a − 4) , (29)
2
⎛ πa ⎞
⎛ πa ⎞
48sin⎜ − π ⎟
2 sin⎜ ⎟
⎝2
⎠
⎝ 2 ⎠
где w – вершина характеризующая пространственную корреляцию дефектов, а –
параметр корреляции, m – число компонент параметра порядка, di – коэффициенты, представленные в табл. 4.
f1 =
Таблица 6
Критический динамический индекс z для системы с дальнодействующей корреляцией дефектов
рассчитанный в данной работе методом конформного отображения (КМ) в сравнении
с результатами работы [3], полученные методом Паде–Бореля (ПБ)
z (модель Изинга)
a
3.0
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
КМ
2.1958
2.2492
2.2909
2.3255
2.3553
2.3815
2.4048
2.4253
2.4427
2.4562
2.4638
ПБ [3]
2.1712
2.2120
2.2486
2.2837
2.3184
2.3532
2.3879
2.4215
2.4524
2.4780
2.4949
z (XY-модель)
КМ
2.0031
2.1276
2.1438
2.1609
2.1784
2.2095
2.2372
2.2616
2.2824
2.2991
2.3103
Рассчитанные значения критического
индекса z для различных значений a приведены в табл. 5.
Таблица 7
Критические индексы для неупорядоченной
трехмерной модели Изинга
g
ν
z
Настоящая
работа
2.3350
–0.6997
2.1940
Работа [2]
2.2514
–0.7049
2.1786
ПБ [3]
2.0000
2.1315
2.1510
2.1736
2.1988
2.2338
2.2684
2.3013
2.3301
2.3522
2.3649
z (модель
Гейзенберга)
КМ
ПБ [3]
2.0011
2.0217
2.0011
2.0217
2.1060
2.1128
2.1158
2.1269
2.1288
2.1443
2.1417
2.1633
2.1536
2.1827
2.1736
2.2078
2.1945
2.2315
2.2117
2.2514
2.2242
2.2644
В данной работе был проведен рассчет
значений критических индексов для
структурно-неупорядоченных систем методом конформного отображения. Данный метод для суммирования трехпараметрических асимптотических рядов системы с дальнодействующей корреляцией
дефектов был применен впервые. Полученные значения критических индексов
деменстрируют хорошее согласие с результатами, полученными другими методами.
Суммирование многопараматрических асимптотических рядов…
ЛИТЕРАТУРА
[1] Суслов И. М. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. № 6. С.
1277–1289.
73
[2] Прудников В. В., Прудников П. В., Криницын А.
С. // ТМФ. 2006 Т. 147. № 1. С. 137–153.
[3] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A.
// Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа