close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Существование и единственность решения начально-краевой задачи электромагнитоупругости для неоднородных сред характеризуемых нелинейным законом Гука.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2012, том 55, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517:948.9:669.548.55
Член-корреспондент АН Республики Таджикистана И.Курбонов, Х.П.Сайдалиев
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ
НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ
ГУКА
Российско-Таджикский (Славянский) университет
Изучаются
решения
уравнения
электромагнитоупругости
в
области
Доказаны теоремы существования и единственности указанных задач в пространствах с весом
,
. При доказательстве теоремы существования
используются свойства связанных полей и неравенство Гронуолла-Беллмана.
Ключевые слова: электромагнитоупругость – априорные оценки – неравенство Гронуолла-Беллмана
– свойства связанных полей.
Многие задачи теории упругости и электромагнитных полей, встречающиеся в природе,
взаимосвязаны. Такие задачи приводят к следующей нелинейной системе уравнений в одномерном
случае:

 2u
p
 f  x, t  ,
x
t

H D  E 

 J  E   J ст  x, t  ,
x
t
(1)
B  H 
E

,
x
t
при граничных и начальных условиях
с определяющими уравнениями вида
 x  E   x 
p2
 x   E ,  x 
u
, p  2,
x
Адрес для кореспонденции: Курбонов Икром. 734031, Республика Таджикистан, г. Душанбе,ул. М.Турсунзода,
30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail:hudsоn90@mail.ru
695
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №9
 x,
D  E     x  E  
(2)
B  H     x H ,
J E   E .
Теорема 1. Предположим, что
постоянная,
непрерывные неотрицатель-
ные функции в области , кроме того
0 1
u0 W p, Ω , u1  L2 Ω , H 0  L2   x  ,  ,
E0  L2   x , Ω , J ст  x, t  , f  x, t   L2 Q .
Тогда существует тройка функций
и
(3)
удовлетворяющих следующим
условиям:
Доказательство. Из системы (1) с помощью определяющих уравнений вида (2) приходим к
системе уравнений вида
  u 
E  
x  x 

p 1
 
E
 2u
 p 2  f  x, t  ,
x
t
H
E
 2u
   x
 
  E  J ст  x, t  ,
x
t
tx
(4)
E
H
   x 
.
x
t
Умножая первое уравнение на
u
, второе на E , третье на H и суммируя, находим:
t
p 1
u   u  
u E
u  2u

E
p

    
t x  x  
t x
t t 2
E
H
E
E
 2u
H
   x E
  E

x
x
t
xt
696
(5)
Математика
И.Курбонов, Х.П.Сайдалиев
H
u
 E2 
f  x, t   EJ ст  x, t  .
t
t
  x  H
Интегрируя обе стороны (5) по , от
t l
E
00
до по , от
до и замечая, что
H
E
dxdt  H
dxdt  0,
x

x
00
t l
 2u
E u
E
dxdt  
dxdt  0,

tx
x t
00
00
t l
t l
(6)
находим равенство
 
  2 E u
0 t  p x

u
t
t
t
2  E
p
L(pΩ)
 E
L2(Ω)
2
L
 ( x ) ,( Ω)
 H
u
f  x, t  dtdx  2EJ ст  x, t  dtdx.

t
00
00
t l
L2(Ω )

 dt 
L  ( x ) ,( Ω)


2
t l
dt  2
0
поскольку в силу неравенства Пуанкаре норма  2
a  u, u   u ,
p
где
 u 
a  u, u     
x 
0 
l
Эквивалентно норме
, на
u
dx.
x
, получим

2 E u
p x
p 1
p
L(pΩ)
t
c
0
u
t
u
t
 E
L2(Ω)
L2 
 x  ,(Ω)
 H
L2 
 x  ,( Ω)

t
L2(Ω)
dt  1  2   E
L2(Ω)
dt ,
0
где
t
c   f ( x, t )
t
L2( Ω )
dt   J ст ( x, t )
0
L2( Ω )
dt.
0
Усиливая неравенство (7) и используя неравенство Гронуолла-Белмана, находим оценку
697
(7)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2 E u
p x
p
LpΩ
u
t
t 
u
 c  exp  
t
0

2012, том 55, №9
 E
L2 Ω
L2 
 x  ,( Ω)
 H
L2 
 x  ,( Ω )


 dt.
L2 Ω

 1  2  E
L2 Ω
(8)
Неравенство (8) приводит к априорным оценкам
,
,
.
Теорема 2.(единственность) Пусть в условиях теоремы 1 выполняются условия (3). Тогда
решение
и
полученное в теореме 1, единственно.
Доказательство. Покажем, что это решение единственно. Если
ния, то
ние
и
и
и
два реше-
удовлетворяют уравнениям (1). Подставляя выраже-
в систему уравнений (4) и вычисляя их разность, приходим к системе уравнений,
p 1
  u  
E
 2u


E     
 p 2  0,
x  x  
x
t

H
E
 2u
E
   x
 
 E
,
x
t
tx
x
E
H
   x 
.
x
t
Умножая первое уравнение на
u
, второе на E и третье на H , и суммируя, находим:
t
p 1
u   u  
u E
u  2u
H
E

E
p
—E
H

    
2
t x  x  
t x
t t
x
x
  x  E
E
 2u
H
  E
—   x H
  E 2  0.
t
xt
t
Интегрируя обе стороны (9) по x , от 0 до l по t , от 0 до t и замечая (6), имеем
698
(9)
Математика
И.Курбонов, Х.П.Сайдалиев
2 E u
p x
p
L(pΩ )
u
t
 E
L2(Ω )
L2  ( x ) ,( Ω )
 H
L2  ( x ) ,( Ω )

t
2  E
L2(Ω )
dt  0.
0
Положим
  u 
A  u     
x  x 
1
p 1
u 
.
x 
1
1
Оператор u  A  u  отображает Wp1,(Ω) в W p| , Ω  ,  |  1.
p p
Без труда проверяется, что
 A(u1   A u2  , u1  u2 )  0.
(10)
Учитывая условие монотонности (10) и из неравенстваГронуолла–Белмана 3, 4 , следует, что
p
u
t
 E
L2(Ω )
L2  ( x ) ,( Ω )
 H
L2 
 x  ,( Ω )
 0,
следовательно
u  0, H  0, E  0 или u1  u2 , E1  E2 , H1  H 2
Поступило 24.07.2012 г.
Л И Т Е РА Т У РА
1. Курбанов И. – Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметрам. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1991, с. 71-78.
2. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972, 587 с.
3. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Метод интегральных неравенств – Киев: Наукова.
думка, 1989, 271с.
4. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория колебания линейных упругих
сред. – Ташкент: Фан, 236 с.
699
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №9
И.Ќурбонов, Њ.П.Сайдалиев
МАВЉУДИЯТ ВА ЯГОНАГИИ ЊАЛЛИ МАСЪАЛАЊОИ КАНОРИ ОИДИ
ЧАНДИРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТЇ БАРОИ МУЊИТЊОИ
ЃАЙРИЯКЉИНСАИ ЊОЛАТИ ЃАЙРИХАТТИ ЌОНУНИ ГУК
Донишгоњи (Славянии) Россияю Тољикистон
Дар мақола њал доштани муодилањо оиди чандири электромагнитї дар соњаи
дида мешавад. Теоремаи мављудият ва ягонагии њалдоштани
масъалањои дар боло овардашуда дар фазоњои вазндоштаи
,
исбот карда шуда,
инчунин хосиятњои майдонњои алоќаманд ва нобаробарии Грануал Беллман истифода шудааст.
Калимањои калидї: чандири электромагнитї – муњитњои ѓайриякљинса – бањоњои априорї – нобаробарии Грануал Беллман – хосиятњои майдонњои алоќаманд.
I.Kurbonov, H.P.Saydaliev
EXISTENCE AND UNIQUENESS DECISIONS OF THE INITIAL MARGINAL
PROBLEM ELECTROMAGNET-BOUNCE FOR LUMPY AMBIENCES
CHARACTERIZED NONLINEARLAW GUK
Russian-Tajik (Slavonic) University
The decisions of the equation of the electromagnet-bounce are studied in the field of
. The proved theorem existence and uniqueness specified problems, in
space with weight
,
. At proof of the theorem existence is used characteristic bound by flap and
inequality Gronuoll-Bellman.
Key words: electromagnet-bounce – an a priori estimations-inequality Gronuoll-Bellman – characteristic
bound by flap.
700
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа