close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теорема Стокса для дифференциальных форм произвольной суммируемости.

код для вставкиСкачать
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Вещественный анализ
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
УДК 514.76.2
ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
СУММИРУЕМОСТИ
С. К. Водопьянов, А. О. Молчанова
STOKES’ THEOREM FOR DIFFERENTIAL FORMS OF AN ARBITRARY
SUMMABILITY
S. K. Vodopyanov, A. O. Molchanova
Работа посвящена исчислению дифференциальных форм соболевского типа. В работах [2, 3] в ситуации, аналогичной теореме вложения пространства
Wp1 в пространство непрерывных
функций
R
R
R
при условии p > n, определяется интеграл X ω и устанавливается теорема Стокса X ω = ∂X dω.
В данной работе исследован случай, соответствующий вложению пространства Соболева Wp1 в
пространство Lq при условии p ≤ n. В этом случае мы придаем смысл интегралу от k-формы по
k-мерному ориентированному многообразию, чтобы
он
R
R согласовывался с уже имеющейся теорией.
Установлена справедливость формулы Стокса X ω = ∂X dω в модельном случае X ⊂ Rn , dim X = n.
Существование интеграла справа понимается в смысле, описанном в данной работе.
The work is devoted to the calculus of differential forms of Sobolev type. The authors of [2, 3] investigated
1
a situation similar to the
R embedding theorem of Sobolev space WRp into Rthe space of continuous functions
provided p > n, defined X ω and established the Stokes’ theorem X ω = ∂X dω.
In this paper we study the case corresponding to the embedding of Wp1 into the Lq provided p ≤ n. In this
case we give meaning to the integral of k-forms onR k-dimensional
oriented manifold, to be consistent with
R
already existing theory. We set the Stokes’ formula X ω = ∂X dω in the model case of X ⊂ Rn , dim X = n.
The existence of the integral in the right hand side is understood in the sense described in this paper.
Ключевые слова: дифференциальная форма, интеграл дифференциальной формы, теорема Стокса.
Keywords: differential form, integral of differential form, Stokes’ theorem.
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10–01–00662), Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных
школ (НШ-6613.2010.1.)
k
1. Интегрирование форм класса Wp,q
по k-мерным многообразиям
ство:
Z
Z
θ ∧ ϕ = (−1)k+1
1.1. Дифференциальные формы классов Lp
k
и Wp,q
V
ω ∧ dϕ.
V
Этим равенством форма θ определяется однозначно. Форма θ называется внешним дифференциалом dω формы ω.
Предположим теперь, что на D задана гладкая риманова метрика. Эта
порождает в
Vkметрика
каждом слое расслоения
T 0 D скалярное произведение. Поэтому для каждой формы ω почти
всюду на D определена функция |ω(x)|. Положим
ÃZ
! p1
Дифференциальной формой степени k на n-мерном
гладком многообразии D называется произвольное локально-интегрируемое
сечение над D расVk 0
слоения
T D внешней степени кокасательного
расслоения T 0 D. Две формы на D одинаковы, если они совпадают на D почти всюду. Множество
всех дифференциальных форм степени k на D обозначим символом F k (D).
, 1 ≤ p < ∞,
kωkp =
|ω(x)|p dµD
Дифференциальная форма ω степени k на
X
D обобщенно дифференцируема, если существует
kωk∞ = ess sup {|ω(x)| : x ∈ D}.
дифференциальная форма θ степени k + 1 на D,
Здесь µD означает меру на D, порожденную
такая, что для каждой гладкой формы ϕ степени
n − k − 1, носитель которой компактен, не пере- римановой метрикой многообразия D.
Пространство Lkp (D) состоит из дифференцисекается с краем многообразия D и содержится в
ориентируемой области V ⊂ D, выполнено равен- альных форм ω степени k, для которых kωkp < ∞,
239
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
k
пространство Wp,q
(D) = {ω : ω ∈ Lkp (D), dω ∈
k+1
k
Lq (D)}. Пространство Wp,q
(D) является банаховым относительно нормы kωkp,q = kωkp + kdωkq .
Пусть X и Y — римановы многообразия. Рассмотрим отображение ϕ : X → Y , дифференцируемое почти всюду и, кроме того, обладающее свойством: прообраз при отображении ϕ каждого множества меры 0 имеет меру 0. Пусть форма ω ∈ F k (Y ), x ∈ X, ei ∈ Tx X,
тогда ϕ(x) ∈ Y и для почти всех x имеем
dϕ(ei ) ∈ Tϕ(x) Y . Определим перенесенную форму ϕ∗ ω ∈ F k (X) равенством ϕ∗ ω(x, e1 , . . . , ek ) =
ω(ϕ(x), dϕ(e1 ), . . . , dϕ(ek )), которое выполнено почти всюду на X. При таком определении можно
доказать, что ϕ∗ ( ω ∧ θ) = ϕ∗ ω ∧ ϕ∗ θ для любых
форм ω, θ ∈ F k (Y ).
Из [3, лемма 1] можно вывести следующее
утверждение:
Вещественный анализ
гральное представление имеет вид:
Z
Z
1
ω ∧ dy+
i∗ ω =
cm
D
X
1
+(−1)k
mcm
Z
dω ∧
Ãm
X
!
yj (1 − |y|−m ) dj y, (1)
j=1
D
cj ∧ ... ∧ dym .
где dj y = dy1 ∧ ... ∧ dy
Лемма 3. Пусть ω — гладкая k-форма
с компактным носителем на D, q ≤ m, 1 ≤ p,
mq
1 ≤ r ≤ m−q
. Тогда существует константа C,
зависящая только от X, m, k, p, q, такая, что
выполнено неравенство
¯r ! r1
ÃZ ¯ Z
¯
¯
¯
¯
ω ¯ dy
≤ Ckωkp,q .
¯
¯
¯
B m X×{y}
Лемма 1. Если X, Y — римановы многообразия, X — компактно и f : X → Y — диффеоДоказательство. Используя интегральное
морфизм, то для любых p ≥ 1, q ≥ 1 отобра- представление (1) и неравенство Минковского для
k
жение f ∗ переводит Lkp (Y ) в Lkp (X), Wp,q
(Y ) в суммы, получаем:
k
∗
∗
Wp,q (X), причем kf ωkp ≤ C1 kωkp , f dω = df ∗ ω и Ã ¯
¯r ! r1
¯r ! r1
à Z ¯Z
Z ¯ Z
¯
¯
¯
kf ∗ ωkp,q ≤ C2 kωkp,q .
1
¯
¯
¯
¯
≤
ω ¯ dz
¯
¯ ω ∧ dy ¯ dz +
¯
¯
¯
¯
cm
Лемма 2 [3]. Если риманово многообразие
B m X×{z}
Bm D
D полно относительно метрики ρD , то гладкие
¯r ! r1
ÃZ ¯m Z
¯X
¯
на D формы, имеющие компактный носитель,
1
¯
¯
k
+
(yj − zj )dω ∧ dj y ¯ dz +
¯
плотны в Wp,q
(D) при p < ∞, q < ∞.
¯
¯
mcm
j=1
Bm
1.2. Интегрирование
форм
дифференциальных
D
¯r ! r1
à Z ¯Z m
¯ X
¯
1
¯
¯
−m
+
|y −z| (yj −zj )dω ∧dj y ¯ dz .
¯
¯
¯
mcm
j=1
Bm D
Пусть X — k-мерное подмногообразие в (k + m)Используя неравенство Гёльдера и Минковскомерном римановом многообразии D. В [2] установ- го, теорему Фубини, а также оценки на потенциал
лено, что для этой поверхности существуют такие Рисса (см., например, [5, глава 5, теорема 1]), имедифференциальные формы τ степени m и ϕ сте- ем оценку для третьего слагаемого:
пени m − 1, заданные в D, что
¯r ! r1
à Z ¯Z m
Z
Z
Z
¯ X
¯
¯
¯
−m
k
≤
|y − z| (yj − zj )dω ∧ dj y ¯ dz
¯
ω = ω ∧ τ + (−1)
dω ∧ ϕ
¯
¯
X
D
B m D j=1
D
à Z ÃZ Z
для гладких ограниченных форм ω на D.
Из этого интегрального представления в работе [3] (другим способом в [2]) получена оценка
¯Z ¯
¯
¯
¯ ω ¯ ≤ Ckωkp,q ,
p > m + 1, q > m,
¯
¯
≤ C1
R
|dω||y − z|
Bm
dz
!r
! r1
X Bm
1−m
≤ C2
|dω||y − z|
X
Bm
dy
Bm
Z ÃZ ÃZ
X
k
ω ∈ Wp,q
(D).
В настоящей работе исследован другой случай,
аналогичный теореме вложения Wp1 в пространство Lr , 1 ≤ p ≤ n.
Пусть X — k-мерное компактное гладкое ориентируемое многообразие без края, B m — единичный шар в Rm , D = X × B m . В этом случае инте-
X
Bm
Z ÃZ
Bm
|dω|q dy
≤ C4
X
Bm
dz
!q∗
|dω||y − z|1−m dy
≤ C3
ω для всех
! q1
! r1
dy dx
Z ÃZ ÃZ
X
которая позволяет определить
!r
1−m
≤
dx ≤
! q1∗
dz
dx ≤
ÃZ
! q1
|dω|q dx dy
dx ≤ C5
.
D
Первые два слагаемых оцениваются также с
помощью неравенства Гёльдера с учетом соотношения |yj − zj | ≤ |y − z| ≤ 2 :
240
Вестник КемГУ
1
cm
№ 3/1
¯r ! r1
ÃZ
! p1
à Z ¯Z
¯
¯
¯
¯
p
≤ C6
|ω| dz ,
¯ ω ∧ dy ¯ dz
¯
¯
2011
Вещественный анализ
2. Теорема Стокса для дифференциk
альных форм класса Wp,q
В этой главе установлена теорема Стокса для модельного случая: X ⊂ Rn — n-мерное гладкое компактное ориентируемое многообразие с краем ∂X,
совпадающим с границей X, край обладает инду¯r ! r1
ÃZ ¯m Z
¯
¯
цированной ориентацией (другими словами, глад1
¯X
¯
≤
(yj − zj )dω ∧ dj y ¯ dz
¯
кая область с гладкой границей). Для такого мно¯
¯
mcm
j=1
m
гообразия X его край ∂X можно представить как
B
D
ÃZ
! q1
поверхность уровня функции g : Rn → R класса
C 1 такой, что g −1 (0) = ∂X, ∇g(x) 6= 0 в точках
≤ C7
|dω|q dz .
x ∈ ∂X, g < 0 на X \ ∂X и g > 0 вне X. ГраD
диент ∇g(x) перпендикулярен касательной плосНеравенство данной леммы получается выбо- кости Tx ∂X, и направлен вне многообразия X. В
силу непрерывности, градиент ∇g(x) будет также
ром подходящей константы C.
отличным от нуля и в некоторой окрестности мноk
Если форма ω ∈ Wp,q
(D), то в силу лемгообразия ∂X. Для достаточно близких к нулю t
мы 2 существует такая последовательность гладобозначим
ких k-форм с компактными носителями ωj , что
||ωj − ω||p,q → 0. Лемма 3 дает, что
Xt = {x : g(x) ≤ t, ∇g(x) 6= 0 для g(x) = t},
¯r ! r1
ÃZ ¯ Z
¯
¯
¯
¯
при этом граница ∂Xt — многообразие размерно→ 0.
ωj − ωi ¯ dy
¯
¯
¯
сти n − 1.
B m X×{y}
n−1
В такой ситуации,
если форма ω ∈ Wp,q
(Rn ),
R
R
в классическом
R
Таким образом, последовательность X×{y} ωj то интеграл X dω понимается
смысле,
а
интеграл
ω,
определен
формулой
∂X
фундаментальна в Lr (B m
R ), предел этой последо- (2), которую следует понимать следующим обравательности обозначим X×{y} ω. Тогда (вообще
зом:
говоря, для некоторой подпоследовательности ωjk ,
но переобозначив, можно считать, что для ωj ), для
Z
Zr à Z !
Z
1
m
почти всех y ∈ B выполнено:
ω = lim
ω dt = lim
ωj , (3)
r→0 |2r|
j→∞
Z
Z
−r ∂Xt
∂X
∂X
ω = lim
ωj < ∞.
j→∞
где ωj — последовательность гладких k-форм с
X×{y}
X×{y}
компактными носителями, которая фигурирует в
k
Получаем, что для любой формы ω ∈RWp,q (D) определении 1.
и для почти всех y ∈ B m интегралу X×{y} ω
Используя
формулу коплощади можно покаR
можно приписать определенное значение. Опреде- зать, что ∂Xt ω не зависит от выбора функции g.
Для доказательства теоремы нам также поналить Rслои X × {y}, для которых определен интеграл X×{y} ω, можно с помощью теоремы Лебега добится следующее техническое условие. На ∂X
о дифференцируемости интеграла (формулировку выберем счетный набор координатных окрестностей. Потребуем для любой окрестности U из этокоторой можно найти в [5, глава 1, теорема 1]).
k
Таким образом, если ω ∈ Wp,q
(Rn ) и X ⊂ Rn го набора выполнение условия:
— k-мерное гладкое многообразие, то приведенные
!
Z
Zr à Z
Z
вышеR рассуждения позволяют определить инте1
ωj .
ω
dy
=
lim
ω
=
lim
грал X ω следующим образом
r→0 |2r|
j→∞
−r U ∩∂Xt
U ∩∂X
Определение 1. Интегралом от дифферен- U ∩∂X
(4)
k
n
циальной формы ω ∈ Wp,q (R ) по k-мерному гладn
Теорема Стокса.Пусть X ⊂ R — n-мерное
кому ориентируемому многообразию X будем нагладкое компактное ориентируемое многообразие
зывать совпадающие пределы
с краем ∂X, совпадающим с границей X, край об!
Z
Z Ã Z
ладает индуцированной ориентацией, форма ω ∈
1
ωj (2) W n−1 (Rn ), и выполнены условия (3) и (4). Тогда
ω dy = lim
lim
r→0 |B m (r)|
j→∞
p,q
X
B m (r) X×{y}
Z
Z
ω
=
dω.
(5)
при условии, что они существуют и конечны. Общее значение
пределов в (2) называется интеграX
∂X
R
лом X ω.
Bm D
D
241
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Вещественный анализ
Z0
Доказательство. Для отрицательных t, достаточно близких к нулю, имеем
=
ds
t
Xt ⊂ X,
Z
g −1 (s)
n
X
∂g
dHn−1 (x)
(x)ai (x)
∂xi
|∇g(x)|
i=1
(9)
(|∇g(x)| не равен нулю на X \ Xt при t, достаточно
где многообразие Xt определено выше. Рассмот- близком к 0).
n−1
Обозначая символом η(x) = (η1 (x), . . . , ηn (x)) =
рим форму ω ∈ Wp,q
(Rn ). Имеем
³
´
∂g
∂g
d((g − t)ω) = dg ∧ ω + (g − t)dω.
(6) = |∇g(x)|−1 ∂x
(x),
.
.
.
,
(x)
нормированный
∂xn
1
градиент, из (8) и (9) получаем:
Лемма 4. В условиях теоремы верно равенство
Z
Z0
Z X
n
d((g − t)ω) = 0.
(7)
1
−
ds
ηi (x)ai (x) dHn−1 (x) =
Xt
t
i=1
t
g −1 (s)
Z
Z
1
Доказательство. Форма ω ∈
для
(g − t) dω.
= dω +
t
нее существует такая последовательность гладких
X
X\Xt
(n − 1)-форм с компактными носителями ωj , что
n−1
n
ωj → ω в Wp,q (R ). Обозначим θ = (g − t)ω и
Переходя в последней формуле к пределу при
θj = (g − t)ωj , возьмем компактно вложенную об- t → 0, имеем:
ласть U ⊂ Rn . Тогда
Z
Z X
n
¯Z
¯ Z
Z
dω =
ηi (x)ai (x) dHn−1 (x).
(10)
¯
¯
¯
¯
i=1
¯ dθ − dθj ¯ ≤ |dg ∧ (ω − ωj )|+
X
g −1 (0)
¯
¯
U
U
U
Z
Для доказательства теоремы остается
R прове+ |(g − t)(dω − dωj )| ≤ Ckω − ωj kp,q → 0.
рить, что правая часть (10) совпадает с ∂X ω.
Если ω — непрерывная форма, то интеграл от
U
формы ω по многообразию ∂X определяется с поR
R
Таким образом, dθj → dθ. Остается заметить, мощью разбиения единицы, подчиненного некотоU
U
рому конечному покрытию
многообразия ∂X, и
что θj — гладкая форма и на X
R
R t верна классиче- равенству R ω =
∗
ψ
ω, для системы коская теорема Стокса, то есть
dθ = 0. Отсюда
n−1
Wp,q
(Rn ),
j
U ∩∂X
Xt
получаем утверждение леммы, положив U = Xt .
R
R
Из (6) и (7) выводим dg ∧ ω = − g dω =
X
XR
R
R
R
= − (g − t) dω − t dω и dg ∧ ω = − (g − t) dω.
X
X
Xt
X
Вычитая из первого равенства второе, получаем:
Z
Z
dg ∧ ω = −
X\Xt
Z
(g − t) dω − t
X\Xt
dω.
(8)
X
Z
Запишем форму ω в следующем виде:
n
P
ci ∧ ... ∧ dxn .
ω=
(−1)i−1 ai (x) dx1 ∧ ... ∧ dx
i=1
n
X
∂g
(x)ai (x) dx1 ∧ ... ∧ dxi ∧ ... ∧ dxn .
∂xi
i=1
Z
Z
dg ∧ ω =
g −1 (t,0)
Zr Ã
1
= lim lim
r→0 j→∞ |2r|
−r
242
U ∩(∂X×{y})
Zr Ã
!
Z
ωj
−r
Zr Ã
dy =
U ∩(∂X×{y})
!
Z
ψ ∗ ωj
−r
1
= lim
r→0 |2r|
n
X
∂g
(x)ai (x) dx =
∂x
i
i=1
!
Z
ω dy =
1
= lim lim
r→0 j→∞ |2r|
Преобразуем левую часть (8) по формуле коплощади (см. [6, п. 3.2.12]), где Hn — n-мерная
мера Хаусдорфа (подробнее см., например, [6, п.
2.10.2])
X\Xt
1
ω = lim
r→0 |2r|
U ∩∂X
Тогда
dg ∧ ω =
ϕ(U ∩∂X)
ординат (U ∩ ∂X, ϕ) (см., например, [4]).
Равенство (10) устанавливается с помощью выбора подходящей системы координат на ∂X и
свойств дифференциальных форм (подробнее см.
[1]).
n−1
В случае произвольной формы ω ∈ Wp,q
(Rn )
по лемме 2 выберем последовательность {ωj } гладких форм с компактными носителями, сходящуюn−1
ся к ω в Wp,q
(Rn ).
Используя (4) и лемму 1 получаем:
dy =
ϕ(U ∩(∂X×{y}))
Zr Ã
!
Z
∗
ψ ω dy
−r
ϕ(U ∩(∂X×{y}))
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Z
ψ ∗ ω.
=
ϕ(U ∩∂X)
Таким образом, выбрав на ∂X конечное покрытие и разбиение единицы, подчиненное этому
покрытию, получаем (5).
Вещественный анализ
[3] Гольдштейн, В. М. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы /
В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Функциональный анализ и математическая
физика.– Новосибирск: Ин-т математики СО АН
СССР, 1985. – С. 53 – 87.
[4] Спивак, М. Математический анализ на
многообразиях / М. Спивак. – М.: Мир, 1968. –
[1] Водопьянов, С. К. Интегрирование по Ле- 164 с.
[5] Стейн, И. М. Сингулярные интеграбегу: учебное пособие / С. К. Водопьянов. – Новолы и дифференциальные свойства функций /
сибирск: НГУ, 2011. – 144 с.
[2] Гольдштейн, В. М. Дифференциальные фор- И. М. Стейн. – М.: Мир, 1973. – 344 с.
Литература
мы на липшицевом многообразии / В. М. Гольд[6] Федерер, Г. Геометрическая теория меры
штейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. / Г. Федерер. – М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит.,
мат. жур. – 1982. – Т. 23, 2. – С. 16 – 30.
1987. – 760 с.
УДК 517.988.2, 514.763.2
ИЗОМЕТРИИ НА ГРУППЕ ПОВОРОТОВ - СДВИГОВ
Д. В. Исангулова
ISOMETRIES ON ROTO - TRANSLATION GROUP
D. V. Isangulova
Описана группа C 2 -гладких изометрий на контактном субримановом многообразии — группе
поворотов-сдвигов. Найдены условия, при которых векторное поле порождает локальную однопараметрическую группу контактных или локально билипшицевых преобразований группы поворотовсдвигов.
We describe the group of C 2 -smooth isometries on contact sub-Riemannian manifold, precisely on rototranslation group. We find the conditions providing for a vector field to generate the local one-parameter
group of contact or local biLipschitz transformations of roto-translation group.
Ключевые слова: группа поворотов-сдвигов, изометрия, однопараметрическая группа преобразований.
Keywords: roto-translation group, isometry, one-parameter group of transformations.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 11–01–00819) и
Совета по грантам Президента РФ по поддержке Ведущих научных школ (НШ–6613.2010.1).
1. Введение
являются левоинвариантными. При этом выполняются следующие коммутационные условия:
В настоящей работе мы исследуем изометрические
и билипшицевые отображения группы поворотов[A, B] = −C, [C, B] = A, [A, C] = 0.
сдвигов RT (roto-translation group). Группа
поворотов-сдвигов — это трехмерное топологиче- Заметим, что алгебра Ли группы RT не является
ское многообразие, диффеоморфное R2 × S 1 , с нильпотентной.
координатами (x, y, θ) и умножением
На группе поворотов-сдвигов можно ввести
субриманову структуру, то есть выделить гори(x0 , y0 , θ0 ) · (x, y, θ) =
зонтальное подрасслоение H = span{A, B} в касательном расслоении, которое своими коммута= (x0 + x cos θ0 − y sin θ0 , y0 + x sin θ0 + y cos θ0 ,
торами порождает все касательное расслоение и
θ0 + θ).
определяет субримановую метрику (метрику КарВекторные поля
но — Каратеодори). Метрика Карно — Каратеодори d задается как инфимум длин всех го∂
∂
∂
ризонтальных кривых, соединяющих две точки
+ sin θ , B =
,
A = cos θ
∂x
∂y
∂θ
(кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если ее касательный вектор принадлежит H
∂
∂
C = − sin θ
+ cos θ
почти всюду). Для измерения длин горизонталь∂x
∂y
243
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
537 Кб
Теги
теорема, дифференциальной, произвольный, стокса, суммируемости, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа