close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теплицевы операторы и вопросы факторизации в гельдеровских пространствах аналитических функций.

код для вставкиСкачать
УДК 517.53
ТЕПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ГЕЛЬДЕРОВСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ф.А. Шамоян
Работа поддержана РФФИ (проект №13-01-97508) и Министерства Образования и Науки
РФ (проект №1704. 2014)
В работе получена полная характеризация теплицевых операторов, действующих в гельдеровских
пространствах голоморфных функций в единичном шаре n-мерного комплексного пространства
n
, а также в пространствах голоморфных в односвязных областях функций с квазиконформной
границей.
Ключевые слова: оператор теплица, кривая Карлесона, единичный шар, факторизация, класс
Гельдера.
1. Введение. Работа посвящена исследованию ограниченности теплицевых
операторов в гельдеровских пространствах аналитических функций.
Теплицевы операторы играют существенную роль не только в комплексном и
функциональном анализе, но и в прикладной математике, математической экономике, в
физике (см. [1], [2], [3]). В начале 70-х годов прошлого столетия автор этой статьи(см. [4],
[5]) установил, что теплицевы операторы имеют важные приложения также в теории
факторизации аналитических функций.
Приведем определение теплицевого оператора. Пусть
X – некоторое
функциональное пространство, Y – его замкнутое подпространство,  – мультипликатор
пространства X , P – проектор, отображающий X на Y . Тогда теплицевым оператором
с символом  называется следующий линейный оператор T  f   P  f  , f  X .
Перейдем к изложению основных результатов работы.
Пусть Bn – единичный шар в n – мерном комплексном пространстве
n
, Sn –
единичная сфера. Обозначим через d ( ) – вероятностную меру Лебега на S n ,
инвариантную относительно вращения сферы S n , а через dv( ) – вероятностную меру
Лебега на Bn .
p
Пусть далее H ( Bn ) – множество всех голоморфных функций в Bn , H ( Bn ) ,
0  p   – пространство Харди в Bn (см.[6])

Теплицевым оператором на H ( Bn ) с символом h  L  Sn  является следующий
1
интегральный оператор
Th ( f )( z ) 

Sn
где z   z1...zn   Bn ,
f   h   d  
1   z,  
n
n
   1... n   Sn ,  z,     zk  k
k 1
Обозначим также через  ( Bn ) , 0    1 гельдеровский класс аналитических
a
функций в Bn , то есть класс функций f , таких что для произвольных z1 , z2  Bn
выполняется оценка
Sn
f  z1   f  z2   c  f  z1  z2 *1

1
*Здесь и в дальнейшем
c  c(...) будем обозначать произвольную константу, значение которой не играет особой роли.
В пространстве  вводится естественная норма
a
f
  Bn 
a
 f
 sup

f  z1   f  z2 
z1  z2
z1 , z2Bn

Легко видеть, что a  a  Bn  относительно указанной нормы превращается в
банаховую алгебру.
Определение 1. Пусть J  H   Bn  . Говорят, что J является внутренней
функцией, если
J    1, почти всюду на S n , относительно меры d .
Построению внутренних функций в Bn и изучению их основных свойств
посвящены работы А. Б. Александрова (см. [7], [8])
Определение 2. Пусть заданы внутренние функции J 1 и J 2 . Скажем, что J 1
делит J 2 если
J1
J2
 H   Bn  .
Определение 3. Говорят, что функция   H 1  Bn  делится на внутреннюю
функцию J , если 
J
 H 1  Bn  .
Отметим, что в одномерном случае вопросы деления на внутренние функций в
подклассах класса Р. Неванлинны играет существенную роль в многих вопросах
комплексного и гармонического анализа (см. [9], [10]).

В первой части работы мы получим полное описание тех h  L  Sn  , для которых
теплицев оператор с символом h является ограниченным оператором в пространствах типа
a  Bn  . Во второй части мы исследуем аналогичные вопросы в односвязных областях
G
1
с квазиконформной границей.
2. Теплицевы операторы в классах типа Гельдера аналитических в шаре
функций.
Пусть  – функция типа модуля непрерывности, то есть   t   0 ,
t  R  0,   монотонно растущая функция на R , при этом   0   0 и
возрастает на R . Пусть далее CA  Bn   H  Bn 
 Bn
Sn  .
 t 
t
не
Обозначим через  следующий класс функций
a
a   f  CA  Bn  :  f    c  f    
где
 f   – модуль непрерывности функции f в Bn .
Введем в  – норму
a
f
a

 f    f  z  

 f   sup 

z ,Bn 



z





Ясно, что если
  t   t  , то a  a , 0    1
(1)
Определение 4. Скажем, что функция типа модуля непрерывности

удовлетворяет условию А. Зигмунда, если

 u 
0
u

du  c   , 0    2 .
Основными результатами этого параграфа является доказательство следующего
утверждения.
Теорема 1. Пусть h является граничным значением некоторой плюригармонической
функции из класса Харди h1  Bn  . Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Th – действует в пространстве 
a
h    z,    d  
2
2)

Sn
1   , z 
n 2
c
 1  z 
1  z 
2
,
z  Bn
(2)
Из теоремы 1 непосредственно следует:
Следствие. Пусть h плюригармоническая функция из класса Харди h1  Bn  , причем
h  L1  Sn  ,  – удовлетворяет условию А. Зигмунда. Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) Th – действует в пространстве a  Bn  ,
2) h    h1    h2   ,   Sn где h1 a  Bn  , h2  H   Bn 
(3)
Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть  – функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая
условию А. Зигмунда. Тогда необходимым и достаточным условием принадлежности f
классу  является оценка
a
R 2  f  z   c  f 
 1  z 
1  z 
2
, z  Bn
(4)
где R  f  , радиальная производная функции f (см. [1], стр. 111)
Напомним определение радиальной производной.
Пусть f  H  Bn  и имеет следующее однородное разложение в Bn :


k 0
k 1
f  z    f k  z  , тогда R  f  z  :  kf k  z  , z  Bn .
Доказательство леммы 1 для гельдеровских классов установлено в [1]. (см. [1],
стр.114) В общем случае основные идеи доказательства сохраняются. Поэтому
доказательство мы опускаем.
Доказательство теоремы 1.
Докажем, импликацию 1)  2)
Пусть
Th –
является ограниченным оператором в  . Тогда для f  , функция
a
Th  f  принадлежит классу  a . Положим f  z   1, z  Bn . Тогда
h   d   
, z  Bn
Th 1 z   
n
1


z
,




Sn
Следовательно по лемме 1
a
R 2 Th  f 1   z   c
 1  z 
1  z 
2
,
z  Bn
(5)
Но нетрудно установить, что
h    z,    d  
2
R Th  1 z    n  1 n 
2
1   z,   
Sn
(6)
n2
Отсюда легко следует оценка (2). Импликация 1)  2) установлена. До того как
перейти к доказательству 2)  1) заметим, что из 1) следует, что
h    h1    h2  
,   Sn , где h1 a  Bn  , h2  H   Bn  . Действительно, поскольку h  f1  f 2 , где
f1 , f 2 – аналитические функции из класса H 1  Bn  , то

f1    f 2   d  
1   z,   
Sn
n
 Th 1 z   f1  z  , z  Bn
Поэтому из ограниченности оператора Th в  следует, что функция f1  . Не
a
a
умоляя общности, можно считать, что f 2  0   0 . Поэтому
f 2   d   
 1   z,   
n
0
Sn
при всех z  Bn (см. [6] стр. 25)
Остается положить h1    f1   , h2    f 2   ,   Sn . Следовательно если
выполняется первое условие теоремы, то
f   h2   d  
Th  f  z   f  z  h1  z   
1   z,   
Sn
Но так как пространство 
a
n
, z  Bn
– является банаховой алгеброй, то оператор
M h1  f  z   f  z  h1  z  , z  Bn является непрерывным оператором в a . Поэтому
если выполняется первое условие теоремы, то оператор
Th
2
f   h2   d  
 f  z   
1   z,   
Sn
n
является непрерывным оператором в  . Используя рассуждения приведенные в
a
работе автора [4] легко доказать, что h2  H
Продолжим
доказательство

 Bn  и при этом
импликации
h2
2)  1) .
H   Bn 
 Th2 .
Учитывая,
что
h  h2 , h2  H   Bn  , h2  0   0 , и используя лемму 1, достаточно оценить функцию:
2

R Th
2
f   h2    z,    d  
2
 f    z    n  1 n 
1   z,   
Sn
n 2
, z  Bn
где R – как и прежде радиальная производная функции Th2  f  . Используем
равенство (см. [6] стр. 29), тогда
f   h2    z,    d  
2

Sn
1   z,   
n 2

1
 

Sn 2




f  ei  h2  ei    z,    ei 2
2
1   z,  e 
 i
n 2

d d


(7)
Положим
f  ei  h2  ei    z,    e i 2
2

1
J z 
2

1   z,  e 
 i n 2

d ,
 z,   : reit .
Тогда из условия h2  H   Bn  следует, что




h2  ei ei 2
1  re
 i  t  


d  0
n2

(8)

при всех r  0,1 , t   ,  .
 f  e   f  e   h  e    z ,   

1  re   
i

1
Поэтому J  z  
2





f  ei   f  eit  h2  ei  d d  
1   z,   e
Sn 
  n  1 n h2

f


a
 

i t  
Поэтому


 i n  2
d


 eit  ei d d  
1   z,   e i
Sn 
 1  re 
i t  
(9)
n 2
Заметим теперь, что
eit  ei  1  e 
e i 2
n 2
 i t 
R Th    z    n  1 n 
2
2
2
Следовательно,
2
i
it

, при всех t ,   ,
 

 , r 0,1 .
 

 eit  ei   1  eit     1  reit     1   z,   ei ,
поскольку
 – не убывающая функция. Тогда из (9) получаем
  1   z ,   e  i d d  
 
R 2 Th  f    z    n  1 n h2

f

a
То есть
R 2 Th  f    z    n  1 n h2

f

a

Sn

Sn  


1   z,   e i
  1   z ,    d   
1   z,  
n2
В последнем неравенстве мы снова воспользовались тождеством (7).
Воспользуемся теперь неравенством:
1   z,    1   z,    1  z , при всех z,   Bn .
Поэтому в виду того, что функция   t  – не возрастает, получим
t
  1   z,     1  z 

, z,   Bn
1   z,  
1

z
 
n 2
.
(10)
Из оценки (10) выводим
R 2 Th  f    z    n  1 n f
h2

a
 1  z 

1  z 
d   
 1   z,  
n 1
, z  Bn
Sn
Теперь учитывая хорошо известное неравенство (см. [1] стр. 26),
d   
 1   z,  
n 1

Sn
c
, z  Bn
1  z 
(
11)
приходим к оценке:
R 2 Th  f    z  
c1 1  z 
1  z 
2
, z  Bn .
Из теоремы 1 непосредственно следует.
Теорема 2. Пусть f a , при этом f  z   J f  z    f  z  , z  Bn , где J f –
внутренняя функция, а  f  H
которую делится J f , то f
J
1
 Bn  .
Тогда если
J
другая внутренняя функция на
 a .
Доказательство
Jf
Поскольку
классу Харди H
J
1
f Jf

     z  J f  z  J  z  принадлежит
J
J
 H   Bn  , то
 Bn  . Поэтому
F z 
f z
J z


f   J  d  
Sn
1   z,   
n
.
По теореме 1 F  .
3. Теплицевы операторы в гельдеровских пространствах аналитических
функций в односвязных областях комплексной плоскости с квазиконформной
границей.
Чтобы излагать основной результат этого параграфа введем следующие обозначения.
a
Пусть G – ограниченная односвязная область на комплексной плоскости,  ,   G
его граница.
Кривая  называется квазиконформной или кривой Карлесона, если для
1
произвольной точки
  , mes   K     c0  , где K    – круг с центром в
точке  , mes – линейная мера, указанного множества, c – некоторая константа,
независящая от  .
Теплицевым оператором
интегральный оператор:
с
символом
Th  f  z  
h  L    – называется следующий
f   h   d 
1
, z G .
2 i 
 z
Класс a  G  определяется как в §1. Норма в a  G  вводится аналогичным
образом. Основным результатом этого параграфа является доказательство следующей
теоремы.
Теорема 3. Пусть G – односвязная ограниченная область в
с квазиконформной

границей , h  L    ,  удовлетворяет условию А. Зигмунда.
Th  f  z  
f   h   d 
1
, z G

2 i 
 z
(
12)
Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Th является ограниченным оператором в пространстве a  G 
2) Функция h представима в виде h    h1    h2   ,   ,
(13)
где h1   G  , h2 является граничным значением некоторой функций из класса
a
H
G.
Доказательству теоремы предпошлем следующий вспомогательный результат
(см.[11]).
Обозначим через   z, G  расстояние от точки z до границы G .
Лемма 2. Пусть G – ограниченная односвязная область в
с квазиконформной
границей. Тогда если f принадлежит классу   , то
a
f (2)  z  
c f   z, G 
 2  z, G 
, z G
(
14)
удовлетворяет оценке (14), то f – является
f  H G  и
непрерывной функцией в G  , при этом модуль непрерывности функции f на
множестве G  удовлетворяет оценке

 u 
 f    c1 
du
u
0
Обратно, если
(
15)
при некотором положительном c1 .
Лемма 3. (см. [12], 13]) Пусть h  L
представить в виде
p
   ,1  p   . Тогда функцию
h можно
h    h1    h2   ,   ,
(
16)
где h1 почти всюду относительно меры Лебега совпадает с граничным значением
некоторой функции H1  E p  G  , а функция h2 – почти всюду совпадает с граничным
значением функции H 2  E p 
G  , где E p  G  и E p 
соответствующих областях (см. [14]).
G  классы В. И. Смирнова в
Лемма 4. (см. [12], [13]) Пусть  квазиконформная кривая на комплексной
плоскости. Тогда справедлива следующая оценка:

  z  0
d
 z
1

c  

, z ,  0
где c – некоторая константа, не зависящая от z и  .
Доказательство теоремы 3 проводится по схеме доказательства теоремы 1. Сначала
докажем импликацию 1)  2) . Пусть Th действует в пространстве a  G  . Тогда
функция Th 1 a  G  , то есть
Th 1 z  
1 h  
d , z  G
2 i    z
принадлежит классу a  G  . Теперь воспользуемся леммой 3, согласно которой
h    h1    h2   ,   .
Не ограничивая общность можно предполагать, что H 2     0 . Тогда из (16) легко
вывести, что то Th 1 z   H1  z  , z  G . Поэтому H1 a  G  , то есть h1 имеет
аналитическое продолжение в G , при этом h1  z   H1  z  , z  G , h1 a  G  . Из
условий h  L    и h1 a  G  нетрудно вывести, что функция h2 почти всюду
относительно меры Лебега совпадает с граничными значениями некоторой функции
H 2  H   G  . Импликация 1)  2) установлена.
Докажем обратную импликацию 2)  1) . Из представления (12) и (16) сразу
следует, что если f принадлежит классу a  G  , то
Th  f  z   f  z  h1  z  
где f , h1 a  G 
f   h2   d 
1
, z G
2 i 
 z
Так как a  G  является банаховой алгеброй, то оператор M h1  f   f  h1 является
ограниченным оператором в пространстве a  G  . Поэтому для доказательства теоремы
3 достаточно установить ограниченность оператора
Th2  f  z  
f   h2   d 
1
, z G
2 i 
 z
(
в пространстве   G  , где
условий следует, что
a
17)
h2  H  
G  , h2     0 . Из последних двух
h2   d  
   z  0, z  G
Поэтому учитывая равенство (17) имеем
T  f  z 
h2
(2)

1 f   h2   d 
1  f    f  z   h2   d 

3
3
 i 
 i 
  z 
  z 
Следовательно
Th2 (2)  f  z   c f h2


    z  d
 z

3
(
18)
Перейдем к оценке последнего интеграла. Положим
I ( z)  
    z  d
 z
Ясно, что для произвольных z  G,  ,   z    z,   , поэтому учитывая, что
 t 
функция
– не возрастающая, получаем
t

3
    z      z,   

,   , z  G
 z
  z,  
Следовательно
I z 
    z,   
d
.
  z,      z 2
Применяя лемму 4 приходим к оценке
d
  z
2


c
  z,  
(19)
Объединяя оценки (18) и (19) окончательно получим
Th(2)
 f  z  
2
c      z,   
  z,  
2
, z G
Для доказательства теоремы остается применить лемму 2.
Из теоремы 3 легко вывести следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть f a  G  , причем f  z   J  z    z  , z  G . Тогда если
такая внутренняя функция, что
J
–
f
J
 H   G  , то  a  G  .
J
J
We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is
bounded in the analytic Holder spaces in the ball.
Key words: unit ball, holomorphic function, Holder spaces, Toeplitz operator, radial derivative,
pluriharmonic function.
Список литературы
1. A. Bottcher and B. Silberman. Analysis of Toeplitz operators. Springer – Verlag. Berlin
2006.
2. N. K. Nikolski. Tratise on the shift operator, Springer –Verlag, Berlin 1986.
3. N. K. Nikolski. Operators, Function and System. Vol. I, Hardy, Hankel and Toeplitz.
Amer. Math. Soc. Mathematical Survys and Monographs. Vol. 92,2002 г, 460 pp.,
4. Ф. А. Шамоян. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с
делимостью аналитических функций. Известие АН АРМ ССР, серия математика, т. 8 №6,
1973.
5. Ф. А. Шамоян. Об одном классе операторов, связанных с факторизацией
аналитических функций, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 39, 1974.
n
6. W. Rudin, Function theory in the unit ball of
. New York, Berlin, Springer – Verlag
1980, 438 p.
7. А. Б. Александров. Существование внутренних функций в шаре. Мат. сборник,
1982, т. 118, №2, 147–163.
8. А. Б.Александров. О граничных значениях голоморфных в шаре функций. ДАН
СССР. 1983, т. 274, №4, 777–779.
9. F. A. Shamoyan, A bounded criterion for Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces
of holomorphie functions on the polydisk, Sibirian Math. Journal, Vol. 53, №3б pp. 554-572,
2012.
10. N. Shirokov. Analytic Functions Smooth up to the boandary. Lecture Note in Math, ,
vol. 1312, pp. 1–215, Springer –Verlag, Berlin, 1988.
11. А. Двейрин. Теорема Харди – Литтлвуда в областях с квазиконформной
границей. ДАН УССР, 1982, т. 51, №1.
12. G. David. Operatours Integraux singulary sur cartaines courbes du plan complexe,
Ann. Ski. Ecole norm. super. 1984,17, №1.
13. Е. М. Динькин. Методы теории сингулярных интегралов. Современные
проблемы математики фундаментальные направления, т. 15, стр. 197–293.
14. Г. М. Голузин Геометрическая теория функций комплексного переменного.
Издательство «Наука» 1966.
Об авторе
Шамоян Ф.А. – доктор физико-математических наук, профессор Брянского
государственного университета имени академика И. Г. Петровского, заведующий кафедрой
математического анализа БГУ, shamoyanfa@yandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
775 Кб
Теги
гёльдеровских, аналитическая, вопрос, пространство, оператора, функции, факторизация, теплицевы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа