close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теплопроводность композита с нетеплопроводными шаровыми включениями.

код для вставкиСкачать
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Электрон. журн. 2015. № 5. С. 205{217.
DOI: 10.7463/0515.0776224
Представлена в редакцию:
Исправлена:
30.04.2015
19.05.2015
c МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 536.21
Теплопроводность композита
с нетеплопроводными шаровыми включениями
Пугачев О. В.1,* , Хан З. Т.1
*
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Рассмотрена задача оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с шаровыми включениями из материала с нулевой теплопроводностью, расположенными либо упорядоченно, либо хаотически. Разработанный метод нахождения эффективного коэффициента
теплопроводности композитов применим для включений произвольного размера и формы. Процесс теплопроводности моделируется при помощи диффузионных процессов, т.е. случайных
блужданий частиц тепла. Сформулирована удобно вычисляемая оценка теплопроводности, которая теоретически известна для однородного материала, и она статистически оценивается для
композитного материала. Проведен вычислительный эксперимент, моделирующий теплопроводность слоя композита, к одной стороне которого приложен источник тепла, а на противоположной
стороне тепло поглощается. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами аналитических методов.
Ключевые слова: композит, вычислительный эксперимент, эффективная теплопроводность,
диффузионный процесс
Введение
Теплопроводность | одно из основных свойств материалов, используемых в технике. От
значения коэффициента теплопроводности зависит температурное состояние технического
устройства и его работоспособность.
В качестве конструкционных и строительных материалов, а также функциональных материалов в различных устройствах широко применяются композиты, состоящие из матрицы
и включений различной формы. К композитам относится большинство применяемых в
технике материалов, являющихся гетерогенными твердыми телами. Исследованию теплопроводности таких материалов посвящены многие работы 60-80-х годов прошлого века
[1, 2, 3, 4, 5]. Расчетные формулы в этих работах получены, как правило, либо путем обработки экспериментальных данных применительно к конкретным материалам, либо путем
априорного задания распределения температуры и теплового потока в моделях структуры
гетерогенных тел.
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
205
Если включения в композите имеют близкие размеры во всех направлениях, то в первом
приближении их можно рассматривать как шаровые. Форму, близкую к шару, имеют и некоторые наноструктурные элементы (в том числе фуллерены), которые в последнее время
применяются как включения для композитов различного назначения [6]. Для композита с
шаровыми включениями удается построить адекватные математические модели, достаточно
достоверно прогнозирующие зависимость его эффективного коэффициента теплопроводности от теплопроводности матрицы и включений и от объемной концентрации включений.
В работах [7, 8, 9] были применены новые подходы к задаче оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с включениями определенной формы из другого
материала. Использовались методы вариационного исчисления, при этом рассматривалась
упрощенная модель окрестности включения. Из современных работ по этой теме отметим
также [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].
Возросшая мощность современных компьютеров позволяет применить принципиально
другой подход к решению задачи об эффективной теплопроводности. Процесс теплопроводности можно моделировать при помощи диффузионных процессов, т.е. случайных блужданий частиц тепловой энергии. Идея состоит в том, чтобы сформулировать удобно вычисляемую оценку температуропроводности, которая теоретически известна для однородного
материала, и статистически оценивать ее для композитного материала.
В данной работе рассмотрен случай композита с шаровыми включениями нулевой теплопроводности. Проводится вычислительный эксперимент, моделирующий теплопроводность сквозь слой композита, если к одной стороне слоя приложен источник тепла, а на
противоположной стороне тепло поглощается. Результаты сравниваются с полученными
аналитическими методами.
1. Теплопроводность и винеровские процессы
Пусть пространство заполнено изотропным материалом с объемной теплоемкостью C
(Дж/м3 K) и коэффициентом теплопроводности ? (Вт/м К), тогда уравнение теплопроводности имеет вид
(1)
u? = a?2 u,
где u = u(t, x, y, z) | температура (отсчитываемая от некоторого выбранного нуля, не
обязательно абсолютного); a = ?/C (м2 /c) | коэффициент температуропроводности.
Если известно начальное распределение температуры u0 (x, y, z), то можно получить [17]
распределение температуры через время t при помощи свертки
u(t, x, y, z) = u0 ? pt (x, y, z),
(2)
где функция
pt (x, y, z) = ?
1
x2 + y 2 + z 2
3 exp ?
4?at
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
4at
(3)
206
есть плотность нормального распределения с нулевым средним, дисперсиями Dx = = Dy =
Dz = 2at и нулевыми корреляциями.
Одномерный случайный процесс {w? }? >0 называется стандартным винеровским [18],
если w? ? N (0, ? ), и его приращения
w?2 ? w?1 ,
...,
w?k ? w?k?1 ,
0 6 ? 1 < ? 2 < . . . < ?k
независимы. Параметр ? имеет размерность квадрата расстояния.
Если компоненты ?t , ?t , ?t трехмерного случайного процесса | независимые винеровские процессы с распределением N (0, 2at), то плотность распределения случайной величины (?t , ?t , ?t ) при заданном t > 0 выражается формулой (3). Следовательно, решение
уравнения теплопроводности по формуле (2) может быть получено с использованием винеровского процесса: пусть трехмерная случайная величина (X0 , Y0 , Z0 ) имеет плотность
распределения u0 (x, y, z), тогда трехмерная случайная величина c координатами
Xt = X0 + ?t ,
Yt = Y0 + ?t ,
Zt = Z0 + ?t
(4)
будет иметь плотность распределения u(t, x, y, z). В данной математической модели процесс
теплопроводности представляется как случайное блуждание <частиц тепловой энергии>,
хотя сами эти <частицы> не имеют физического смысла: они рассматриваются как специальные формальные объекты, используемые при моделировании процесса распространения тепла. А именно, частицы представляют собой выборку из распределения, плотность которого
в каждый момент времени пропорциональна плотности тепловой энергии, т.е. температуре,
отсчитываемой от некоторого выбранного нуля, умноженной на объемную теплоемкость.
Если рассматривается ограниченное тело U , и на его поверхности нет теплообмена с
окружающей средой путем теплопроводности или излучения, то к уравнению теплопроводности добавляется граничное условие
?u · ~n = 0,
где ~n | единичный вектор внешней нормали. Начальное распределение u0 (x, y, z) задается только внутри тела U . Решение уравнения теплопроводности при помощи случайных
процессов также можно модифицировать для такой ситуации: траектории случайных точек
(Xt , Yt , Zt ) должны отражаться от теплоизолируемой поверхности. Скажем, если имеется
полупространство {(x, y, z): x > 0}, то можно взять случайный процесс (Xt , Yt , Zt ) для всего
пространства, полученный по формуле (4), а затем заменить его на процесс
(|Xt |, Yt , Zt ).
(5)
При сложной форме поверхности тела U не удастся задать случайный процесс явной формулой, но при его компьютерном моделировании проблема легко решается: нужно запрещать
случайной точке при выборе очередного шага покидать область U .
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
207
2. Теплопроводность слоя
Для того чтобы найти эффективную теплопроводность композитного материала, проводится вычислительный эксперимент, результат которого сопоставляется с теорeтически
известным результатом для однородного материала.
Будем рассматривать неограниченный слой
{(x, y, z): 0 < x < b} .
В качестве критерия теплопроводности рассмотрим вероятность P того, что частица тепла,
стартующая на поверхности {x = 0}, дойдет за время, меньшее T , до поверхности {x = b}.
Рассчитаем эту вероятность для однородного материала с коэффициентом температуропроводности a.
Пусть {wt }t>0 | стандартный винеровский процесс. Будем обозначать символом ?b
первый момент достижения значения b 6= 0, т.е.
?b = min {t > 0: wt = b} .
Согласно принципу отражения [18], процесс {Rb wt }, полученный отражением {wt } от точки
b при первом попадании в нее, т.е.
Rb wt =
?
?
?
wt ,
?
? 2b ? wt ,
t ? [0, ?b ];
t ? (?b , ?),
также будет стандартным винеровским. Пользуясь этим свойством винеровских процессов,
найдем распределение случайного момента
Tb = min {t > 0: |wt | = b} ,
b > 0.
Сначала заметим, что при T > 0 и b > 0
P{?b < T } = P{wT + Rb wT = 2b} = P{wT > b} + P{Rb wT > b} =
?
2 Z ?u2 /2
b
b
=?
e
du = 2 ? 2? ?
= 2? ? ? ,
2? ?
T
T
b/ T
где ? | функция стандартного нормального распределения, так как события {wT > b} и
{Rb wT > b} несовместны. Очевидно,
P{??b < T } = P{?b < T }.
Следовательно, по формуле сложения совместных событий
P{Tb < T } = P{?b < T } + P{??b < T } ? P{?b < ??b < T } ? P{??b < ?b < T } =
b
= 4? ? ?
T
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
? 2P{?b < ??b < T }.
208
Вычислим последнюю вероятность. Как получена следующая формула, можно понять из
рис. 1:
n
o
P{?b < ??b < T } = P min {t: Rb wt = 3b} < T ?
n
o
? P min {t: Rb wt = 3b} < T, ??b < ?b < T =
3b
= 2? ? ?
T
n
o
? P min {t: Rb R?b wt = ?5b} < T ?
n
? P min {t: Rb R?b wt = ?5b} < T, ?b < ??b < T
o
= ...
Рис. 1
В итоге получаем
?
X
(2k + 1)b
T
= F1 2 ,
P{Tb < T } = 4 (?1) ? ? ?
b
T
k=0
k
где функция F1 задана формулой
?
X
2k + 1
.
F1 (t) = 4 (?1) ? ? ?
t
k=0
k
Для слоя {(x, y, z): 0 < x < b} из однородного материала с коэффициентом температуропроводности a, в котором рассматривается движение частицы до первого попадания на
поверхность {x = b}, важно лишь отражение от поверхности {x = 0}, применим процесс
(5). Поскольку Xt ? N (0, 2at), получаем
(
b
P = P min {t: |Xt | = b} < T = P min t: |wt | = ?
2a
n
o
)
<T
= F1
2aT
.
b2
Пусть теперь имеется слой {0 < x < b} из композита, эффективную темпратуропроводность a? которого нужно оценить. Частицы будут стартовать с поверхности {x = 0},
их начальные координаты y, z распределены равномерно. Проведем n > 1000 вычислительных экспериментов, и пусть в m из них частица успела за время, меньшее T , дойти
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
209
до поверхности {x = b}. Физический смысл такого эксперимента | приложив к поверхности {x = 0} равномерный источник тепла, оценить, насколько быстро оно доходит до
поверхности {x = b}. Обозначим q = m/n. Согласно центральной предельной теореме [19]
95%-доверительный интервал для P имеет вид
s
s
q(1 ? q)
q(1 ? q)
P1 = q ? 1,96
< P < q + 1,96
= P2 ,
n
n
следовательно, 95%-доверительный интервал для a? имеет вид
b2 ?1
b2 ?1
F1 (P1 ) < a? <
F (P2 ).
2T
2T 1
Эффективную теплопроводность найдем, умножив эффективную температуропроводность на среднюю объемную теплоемкость:
?? = a? C1 (1 ? ?) + C2 ? ,
(6)
где ? | доля объема композита, занимаемая включениями. В случае нетеплопроводных
включений следует считать C2 = 0.
3. Результаты вычислительных экспериментов
Рассматривается композит, состоящий из матрицы | материала с объемной теплоемкостью C и коэффициентом теплопроводности ? | и шарообразных включений из нетеплопроводного материала. Mожно заменить эти включения полостями, но лишь с оговоркой,
что при рассматриваемых температурах теплообмен путем излучения пренебрежимо мал.
Нужно получить отношение эффективной теплопроводности ?? композита к теплопроводности ? материала матрицы. Поскольку это отношение не будет зависеть от конкретных
значений C и ?, можно положить C = 1 Дж/м3 K и ? = 1 Вт/м К.
Рассмотрим шаровые включения одинакового размера, расположенные в узлах кубической решетки, и будем оценивать эффективную теплопроводность вдоль одной из осей
решетки, которую примем за ось Ox. Искомый безразмерный результат будет зависеть от
единственного параметра | отношения r = R/D радиуса включения к шагу кубической решетки, 0 < r 6 0,5. От самого значения D результат не будет зависеть, так что в вычислениях
можем положить D = 1 м.
Смоделируем диффузионный процесс (Xt , Yt , Zt ), описанный в параграфе 2. Толщина
слоя должна быть намного больше расстояний между центрами включений. Возьмем толщину слоя b = 4 м (рис. 2).
Выберем время T так, чтобы для однородного материала матрицы (т.е. в случае r = 0)
вероятность прохождения <частицы тепла> сквозь слой составляла F1 (2aT /b2 ) = F1 (1) =
0,629. Для этого нужно взять T = b2 /2a = 8 c.
При сериях из n = 4300 блуждающих частиц с шагом времени ?t = 5 · 10?4 c нами
были получены результаты, представленные в табл. 1. Здесь для вероятности P того, что
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
210
Рис. 2
<частица> пройдет сквозь слой за время менее T , дан 95%-доверительный интервал
q
q
q ? 0,03 q(1 ? q) < P < q + 0,03 q(1 ? q);
для отношения a?/a | доверительный интервал, полученный из него применением функции
F1?1 ; наконец, отношение ??/? получено по формуле (6): ?? = a? C(1 ? ?), где ? =
4?r3
, т.е.
3
a?
??
= (1 ? 4,189 r3 ).
?
a
Случай r = 0, для которого известен точный ответ P = 0,629, ?? = ?, рассмотрен как
тестовый.
Таблица 1
r
P
a?/a
??/?
0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,626 . . . 0,654
0,601 . . . 0,630
0,604 . . . 0,633
0,542 . . . 0,572
0,452 . . . 0,481
0,99 . . . 1,06
0,94 . . . 1,00
0,95 . . . 1,01
0,83 . . . 0,88
0,68 . . . 0,73
0,99 . . . 1,06
0,91 . . . 0,97
0,84 . . . 0,90
0,61 . . . 0,64
0,32 . . . 0,35b
Чтобы проверить, что дискретный процесс не сильно отличается от непрерывного,
сравним результаты, полученные при шаге времени ?t = 5 · 10?4 c, с результатами при
?t = 10?3 c.
Теперь пусть включения радиусом R 6 0,5D расположены хаотически с плотностью
1/D3 (рис. 3).
Рис. 3
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
211
Для каждой частицы заново задается в достаточно широком фрагменте слоя случайное
расположение шариков, при этом не допускается их наложение одного на другой и на начало
координат, из которого стартует частица.
Результаты вычислительных экспериментов для такой модели представлены в табл. 2.
Таблица 2
r
P
a?/a
??/?
0,2
0,3
0,4
0,5
0,603 . . . 0,632
0,583 . . . 0,612
0,564 . . . 0,594
0,519 . . . 0,549
0,94 . . . 1,00
0,90 . . . 0,96
0,87 . . . 0,93
0,79 . . . 0,84
0,91 . . . 0,97
0,80 . . . 0,86
0,64 . . . 0,68
0,38 . . . 0,40
Сравним полученные нами результаты с результатами работы [8]. Согласно формуле
3?
??
=1?
,
?
2+?
(7)
где ? | объемная концентрация теплоизолирующих включений. В данной ситуации ? =
4?r3 /3. В табл. 3 сопоставлены величины ??/? из табл. 1, 2 и по формуле (7).
Таблица 3
r
0,2
0,3
0,4
0,5
Табл. 1
0,91 . . . 0,97
0,84 . . . 0,90
0,61 . . . 0,64
0,32 . . . 0,35
Табл. 2
0,91 . . . 0,97
0,80 . . . 0,86
0,64 . . . 0,68
0,38 . . . 0,40
(7)
0,95
0,84
0,65
0,38
В случае хаотического расположения включений результаты вычислительных экспериментов согласуются с полученными аналитически [8]. Нетрудно заметить, что в случае
упорядоченных включений больших размеров эффективная теплопроводность получается
меньше, это объясняется узкими проходами между теплоизолирующими шариками, лежащими упорядоченным слоем.
Заключение
Разработанный метод позволяет находить эффективные коэффициенты теплопроводности для композитов с включениями произвольной формы. В случае шаровых включений
результаты согласуются с полученными другими методами. Открываются широкие возможности, ограниченные лишь мощностью компьютера.
В дальнеших работах планируется рассмотреть композиты с включениями различной
теплопроводности и формы, а также включения из нескольких материалов.
Работа поддержана грантом Министерства образования и науки Российской Федерации,
номер темы 1.2640.2014.
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
212
Список литературы
1. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов.
Л.: Энергия, 1974. 264 с.
2. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций: пер. с
франц. М.: Мир, 1968. 464 с.
3. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.
4. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.
5. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. Киев: Наукова думка, 1984. 111 с.
6. Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей.
М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 296 с.
7. Головин Н.Н., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита, модифицированного фуллеренами // Композиты и наноструктуры. 2012. № 4. C. 15{22.
8. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями // Тепловые процессы в технике. 2012.
№ 10. С. 470{474.
9. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композита, армированного волокнами // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2013. № 5.
С. 75{81.
10. Зарубин В.С., Котович А.В., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями // Известия РAH.
Энергетика. 2012. № 6. С. 118{126.
11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита
с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. № 3. С. 76{85.
12. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с шаровыми включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 7. С. 299{318. DOI:
10.7463/0713.0569319
13. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и
образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 9. С. 435{444. DOI:
10.7463/0913.0601512
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
213
14. Янковский А.П. Численно-аналитическое моделирование процессов теплопроводности
в пространственно армированных композитах при интенсивном тепловом воздействии
// Тепловые процессы в технике. 2011. Т. 3, № 11. С. 500{516.
15. Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites // Carbon. 2002.
Vol. 40, no. 3. P. 359{362. DOI: 10.1016/S0008-6223(01)00112-9
16. Nan C.-W., Birringer R., Clarke D.R., Gleiter H. Effective thermal conductivity of particulate
composites with interfacial thermal resistance // Journal of Applied Physics. 1997. Vol. 81,
no. 10. P. 6692{6699. DOI: 10.1063/1.365209
17. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ,
1999. 799 с.
18. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. 320 с.
19. Печинкин А.В., Тескин О.И., Цветкова Г.М., Бочаров П.П., Козлов Н.Е. Теория вероятностей / под ред. В.С Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2004. 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Т. XVI.).
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана
214
Science and Education of the Bauman MSTU,
2015, no. 5, pp. 205{217.
DOI: 10.7463/0515.0776224
Received:
Revised:
30.04.2015
19.05.2015
c Bauman Moscow State Technical University
Heat Conductivity of Composite Materials
with Included Balls of Zero Heat Conductivity
Pugachev O. V.1,* , Han Z. T.1
*
1
Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: composite, computer simulation, effective thermal conductivity, diffusion process
The problem under consideration is to estimate the effective coefficient of heat conductivity
of a material with included balls of zero heat conductivity, being either in a cubic lattice order or
chaotically.
The solution of heat conductivity equation can be obtained using a Wiener process. In this
mathematical model, the process of heat conduction is represented by random motion of \heat
particles", although these \particles" do not exist in a physical sense: they are special formal
objects, they represent a sample of a distribution the density of which is proportional to the density
of heat energy in each time moment. If one has a solid without heat exchange on its surface, the
trajectories of randomly moving particles must reflect from the surface.
Consider a non-bounded flat layer of a composite with its effective heat conductivity to be
evaluated. As a criterion of heat conductivity, consider the probability P, which may be that a heat
particle, starting from one side of the layer reaches its other side for the time less than T. For a
homogeneous isotropic material, this probability is calculated analytically.
Having performed a series of computing experiments simulating heat conductivity through the
layer of a composite (the source of heat is applied to its surface, and on the opposite surface is heat
absorbing) and processed the experiments' results statistically, one obtains confidence intervals
for P, wherefrom appear the confidence intervals for the effective temperature conductivity (under
what temperature conductivity a homogeneous material yields the same value of P ). Finally, the
effective coefficient of heat conductivity is calculated by multiplying the effective coefficient of
temperature conductivity with the average volume heat capacity.
Various ratios of the inclusion radius to the cube lattice period (or the corresponding space
densities of chaotic inclusions) were considered. For series of 4,300 randomly moving particles,
the obtained results appear to agree with those obtained by analytical methods.
Our method allows finding the effective coefficient of heat conductivity for composites with
inclusions of arbitrary shapes.
Science and Education of the Bauman MSTU
215
References
1. Dul'nev G.N., Zarichniak Iu.P. Teploprovodnost' smesei i kompozitsionnykh materialov [Heat
conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad, Energiia Publ., 1974. 264 p. (in
Russian).
2. Missenard A. Conductivite thermique des solides, liquides, gaz et de leurs melanges. Paris,
Editions Eyrolles, 1965. (In French). (Russ ed. Missenard A. Teploprovodnost' tverdykh tel,
zhidkostey, gazov i ikh kompozitsiy. Moscow, Mir Publ., 1968. 464 p.).
3. Shermergor T.D. Teoriia uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of microheterogeneous media]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 400 p. (in Russian).
4. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniia zadach teploprovodnosti [Engineering methods
of solving problems of heat conductivity]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1983. 328 p. (in
Russian).
5. Khoroshun L.P., Soltanov N.S. Termouprugost' dvukhkomponentnykh smesei [Thermoelasticity of two-component mixtures]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985. 109 p. (in Russian).
6. Kats E.A. Fullereny, uglerodnye nanotrubki i nanoklastery. Rodoslovnaya form i idey
[Fullerens, carbon nano-tubes and nano-clusters. The family-tree of form and ideas]. Moscow,
LKI Publ., 2008. 296 p. (in Russian).
7. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Estimation of effective heat conductivity coefficient of fullerene-modified composite material. Kompozity i nanostruktury = Composites and
Nanostructures, 2012, no. 4, pp. 15{22. (in Russian).
8. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. The Effective Coefficients of Thermal Conductivity of Composites with Spherical Inclusions. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes
in Engineering, 2012, no. 10, pp. 470{474. (in Russian).
9. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Thermal Conductivity of Composite Reinforced
with Fibers. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Mashinostroenie = Proceedings of Higher
Educational Institutions. Machine Building, 2013, no. 5, pp. 75{81. (in Russian).
10. Zarubin V.S., Kotovich A.V., Kuvyrkin G.N. Estimates of the effective coefficient of heat
conductivity of a composite with anisotropic ball inclusions. Izvestiya RAN. Energetika =
Proceedings of RAS. Energetics, 2012, no. 6, pp. 118{126. (in Russian).
11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite
with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki =
Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural sciences, 2012, no. 3,
pp. 76{85. (in Russian).
12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Comparative analysis of estimations of heat
conduction of a composite with ball inclusions. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. BauScience and Education of the Bauman MSTU
216
mana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 7, pp. 299{318. DOI:
10.7463/0713.0569319 (in Russian).
13. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Evaluation of effective thermal conductivity of
composites with ball inclusions by the method of self-consistency. Nauka i obrazovanie MGTU
im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 9, pp. 435{444.
DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).
14. Yankovskii A.P. Numerically-Analytical Modelling of Processes of Thermal Conductivity in
Spatially Reinforced Composites at Intensive Thermal Action. Teplovye protsessy v tekhnike
= Thermal Processes in Engineering, 2011, no. 11, pp. 500{516. (in Russian).
15. Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites. Carbon, 2002,
vol. 40, no. 3, pp. 359{362. DOI: 10.1016/S0008-6223(01)00112-9
16. Nan C.-W., Birringer R., Clarke D.R., Gleiter H. Effective thermal conductivity of particulate
composites with interfacial thermal resistance. Journal of Applied Physics, 1997, vol. 81,
no. 10, pp. 6692{6699. DOI: 10.1063/1.365209
17. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical
physics]. Moscow, MSU Publ., 1999. 799 p. (in Russian).
18. Venttsel' A.D. Kurs teorii sluchainykh protsessov [Course of the theory of random processes].
Moscow, Nauka Publ., 1975. 320 p. (in Russian).
19. Pechinkin A.V., Teskin O.I., Tsvetkova G.M., Bocharov P.P., Kozlov N.E. Teoriia veroiatnostei [Probability theory]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2004. 456 p. (Ser. Matematika v
tekhnicheskom universitete [Mathematics in Technical University], vol. 16). (in Russian).
Science and Education of the Bauman MSTU
217
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
526 Кб
Теги
шаровыми, нетеплопроводными, теплопроводность, включениями, композитор
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа