close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10.

код для вставкиСкачать
Физико-математические науки
ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С10
А. Р. Рустанов
Аннотация. На основе дополнительных свойств на тензор римановой кривизны в
работе выделены классы почти контактных метрических многообразий класса
С10. Получена полная классификация выделенных классов, а также некоторые
тождества тензора римановой кривизны.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор римановой кривизны.
Summary. The article singles out classes of almost contact metric varieties of the С10 class
for the tensor of the Riemannian curvature on the basis of additional properties. The author presents a full classification of the allocated classes, as well as some identities of the
tensor of the Riemannian curvature.
Keywords: almost contact metric varieties, cosymplectic diversity, tensor of the Riemannian curvature.
данной работе мы рассматриваем интересный класс почти контактных метрических структур, который является естественным обобщением косимплектических структур. Этот класс многообразий в классификации Чинея и
Гонзалеза [1] обозначается как АС-многообразия класса С10 и характеризуется
тождеством:
В
∇ X (Ω)(Y , Z) = −η (Z)∇Y (η)(ΦX ) − η (Y)∇ΦX (η)Z ; X , Y , Z ∈ X (M ) .
(1)
Поскольку
∇X (Ω)(Y , Z) = − < ∇X (Φ) Y , Z >, ∇X (η) Y = < Y , ∇X ξ >
и η (X ) =< ξ , X >,
то тождество (1) можно переписать в виде:
∇ X (Φ)Y = ξ∇Y (η)ΦX + η (Y)∇ ΦX ξ ; X , Y ∈ X (M ) .
(2)
Положим в (2) Х = ξ, тогда
∇ξ (Φ)Y = 0, ∀Y ∈ X (M )
(3)
В частности, ∇ξ (Φ) ξ = 0. А значит, шестой структурный тензор для данного
класса многообразий равен нулю G = Φ ∇ξ (Φ) ξ = 0 [2], [3]. С учетом (3) для
третьего структурного тензора имеем
4 / 2010
Преподаватель XX
ВЕК
199
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
D(X ) =
{
}
1
2Φ ∇ 2 (Φ) ξ − 2Φ 2 ∇ ΦX (Φ) ξ =
Φ X
4
1
=
Φ ∇ 2 (Φ) ξ − Φ 2 ∇ ΦX (Φ) ξ = F (X ),
Φ X
2
{
}
то есть D(X ) = F (X ).
Теперь положим в (2) Y = ξ, тогда
∇ X (Φ) ξ = ξ∇ξ (η) ΦX + ∇ ΦX ξ = ξ ΦX , ∇ξ ξ + ∇ ΦX ξ,
то есть
∇X (Φ) ξ = ∇ ΦX ξ , ∀X ∈ X (M ).
(4)
В (2) сделаем замену Y → ФY, тогда получим
∇ X (Φ)(ΦY) = ξ∇ΦY (η) ΦX , ∀X , Y ∈ X (M ).
(5)
Подействуем оператором Ф на обе части тождества (5). Тогда получим
Φ ∇X (Φ)(ΦY) = 0, ∀X , Y ∈ X (M ).
(6)
Из (6) и аналитических выражений структурных тензоров АС-структуры [2;
3] следует, что первый и второй структурные тензоры данного класса многообразий нулевые, то есть
200
{
{
{
{
}
}
}
}
1
Φ ∇ 2 (Φ) (Φ 2X ) + Φ ∇ ΦY (Φ)(ΦX ) −
Φ Y
8
1
− Φ 2 ∇ ΦY (Φ) (Φ 2 X ) − Φ 2 ∇ 2 (Φ )(ΦX ) = 0;
Φ Y
8
1
C (X , Y) = − − Φ ∇ 2 (Φ) (Φ 2 X ) + Φ ∇ ΦY (Φ )(ΦX ) −
Φ Y
8
1
− Φ 2 ∇ ΦY (Φ) (Φ 2 X ) + Φ 2 ∇ 2 (Φ )(ΦX ) = 0.
Φ Y
8
B(X , Y) = −
Вычислим компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма. На пространстве присоединенной G-структуры тождество (2) примет вид:
(7)
Φ ij, k = ξi ηl, j Φ lk + η j ξ i,l Φ lk .
Из (7) имеем:
1 ) Φ aˆ = Φ baˆ, cˆ = 0;
b, c
4) Φ 0ˆ = −Φ 0 ˆ ;
b, aˆ
aˆ , b
6) Φ aˆ = Φ baˆ,0 = 0;
b ,0
2) Φ baˆ, c = Φ aˆ = 0;
b, cˆ
3) Φ 0a,b = −Φ b0, a ;
5) Φ 0a,0 = Φ 0aˆ ,0 = Φ 0aˆ,0 = Φ 0a,0 = 0;
7) Φ 0a,b = Φ aˆ ˆ = 0;
0, b
(8)
8) Φ 0 ˆ = Φ 0aˆ ,b = 0.
a,b
Проводя обратные рассуждения, убеждаемся в справедливости следующих
предложений.
Преподаватель XX
ВЕК
4 / 2010
Физико-математические науки
Предложение 1. На пространстве присоединенной G-структуры компоненты
ковариантного дифференциала структурного оператора AC-структуры класса С10
имеют вид:
1 ) Φ aˆ = Φ baˆ, cˆ = Φ baˆ, c = Φ aˆ = Φ 0a,0 = Φ 0aˆ ,0 = Φ 0aˆ,0 = Φ 0a,0 = 0;
b, c
b, cˆ
2) Φ aˆ = Φ baˆ,0 = Φ 0a,b = Φ aˆ ˆ = Φ 0 ˆ = Φ 0aˆ ,b = 0;
b ,0
a,b
0, b
3) Φ 0a,b = −Φ b0, a ;
4) Φ 0ˆ = −Φ 0 ˆ .
b, aˆ
aˆ , b
Предложение 2. Пусть S = (Φ, ξ, η, g) – AC-структура класса С10 на многообразии
М. Тогда справедливы следующие тождества:
1 ) ∇ξ (Φ) X = 0;
2) ∇ξ (Φ) ξ = 0;
4) ∇X (Φ) ξ = ∇ΦX ξ ;
6) Φ ∇
Φ2 X
7) Φ 2 ∇
3) ∇ξ ξ = 0;
5) ∇ΦX ξ = − Φ ∇X ξ ;
(Φ) ξ = − Φ 2 ∇ ΦX (Φ) ξ ;
Φ 2Y
(Φ)(ΦX ) = Φ ∇Φ 2Y (Φ) (Φ 2 X ) + Φ ∇ΦY (Φ)(ΦX ) +
+ Φ 2 ∇ΦY (Φ) (Φ 2 X);
8) Φ ∇
Φ 2Y
(Φ) (Φ 2 X) = Φ ∇ΦY (Φ)(ΦX ) + Φ 2 ∇ΦY (Φ) (Φ 2 X) +
+ Φ2 ∇
(Φ)(ΦX );
X , Y ∈ X (M ).
Φ 2Y
9) ∇ΦX (Φ) ΦY + ∇ΦY (Φ) ΦX = 0;
0
a
aˆ
Приведем доказательство свойства (9). Поскольку Φ ˆ = 0, Φ ˆ = 0, Φ ˆ = 0 ,
b, c
b, c
b, c
i
то есть Φ ˆ = 0 , то есть ∇ ε c (Φ) ε bˆ = 0. Так как {ε a} и {ε â} являются базисами подb, c
−1
− −1
пространств DΦ
и DΦ
, а проекторами на эти подпространства являются про-
екторы
∇
Φ 2 X + −1ΦX
(
)
(
)
1 2
1
Φ + − 1Φ
− Φ 2 + − 1Φ , соответственно, то
и π =
2
2
(Φ) (− Φ 2Y + − 1ΦY) = 0. Выделяя действительную и мнимую части,
π =−
получим равенства, эквивалентные следующему:
∇
Φ2 X
(Φ) Φ 2Y + ∇ ΦX (Φ) ΦY = 0;
X , Y ∈ X (M )
(9)
.
Применяя описанную процедуру восстановления тождества [3; 4] к равенству
Φ 0 = −Φ 0 , получим
a,b
b, a
(Φ) Φ 2Y + ∇Φ 2Y (Φ) Φ 2 X =
.
= ∇ΦX (Φ) ΦY + ∇ΦY (Φ) ΦX ; X , Y ∈ X (M )
∇
Φ2 X
4 / 2010
(10)
Преподаватель XX
ВЕК
201
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
Из (9) и (10) следует ∇ ΦX (Φ) ΦY + ∇ΦY (Φ) ΦX = 0; X , Y ∈ X (M ). Что и требовалось доказать.
Предложение 3. Пусть S = (Φ, ξ, η, g) – AC-структура на многообразии М.
Тогда следующие утверждения равносильны:
(1) S – AC-структура класса С10;
(2) В = С = D0 = E = F0 = G = 0;
(3) S – AC-34-структура.
Согласно сказанному структурный тензор F имеет вид:
F (X ) = Φ ∇
Φ2 X
(Φ) ξ = −Φ ∇ ΦX ξ = − ∇X ξ ;
X ∈ X (M ).
(11)
Назовем тензор F (X ) = − ∇X ξ ; X ∈ X (M ) структурным тензором АСструктуры класса С10. Этот тензор обладает свойствами:
2) F (X ), Y = − X , F (Y) ;
1) Φ F = − F Φ;
3) Φ 2 F (X ) = − F (X ); 4) η F = 0; X , Y ∈ X (M ). .
Матрица структурного
G-структуры имеет вид:
тензора
()
на
⎛0
0
0
⎜ 0 Fab
⎝
⎜
F ji = ⎜ 0
пространстве
(12)
присоединенной
0 ⎞
⎟
F ab ⎟.
0 ⎟
⎠
Предложение 4. AC-структура класса С10 является косимплектической
структурой тогда и только тогда, когда Fa b = F ab = 0, то есть F (X ) = 0 , то есть
202
∇ X ξ = 0.
Предложение 4 дает примеры АС-многообразий класса С10. Пример 3-х мерного АС-многообразия класса С10 приведен в работе [1].
С учетом вышеизложенного первая группа структурных уравнений АСмногообразий класса С10 на пространстве присоединенной G-структуры примет вид:
1 ) dω = Fa b ω a ∧ ω b + F abω a ∧ ωb ;
2) dω a = − θ ba ∧ ω b + F abω a ∧ ω ;
(13)
3) dω a = θ ab ∧ ωb + Fab ω b ∧ ω ,
F a b = − 1Φ 0 ˆ , Fab = − − 1Φ 0a,b , F ab = Fab ,
aˆ , b
где
F ab = − F ba , Fab = − Fba .
(14)
Стандартная процедура дифференциального продолжения дает нам вторую
группу структурных уравнений АС-многообразия класса С10:
Преподаватель XX
ВЕК
4 / 2010
Физико-математические науки
1 ) d θ ba + θ ca ∧ θ bc + F ad Fbc ω c ∧ ω d = Abadc ω c ∧ ω d ;
2) dFab − Fc b θ ac − Fac θ bc = 0.
(15)
Таким образом, имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Структурный тензор АС-многообразия класса С10 параллелен в первой
канонической связности.
Дифференцируя внешним образом (15:1), получим:
d A bacd + A bhcd θ ha + A bach θ hd − A hacd θ bh − A bahd θ ch =
ad h
= Abch
ω + Abadh
c ωh .
(16)
При этом получим следующее тождество:
(Aba[hc − F ah Fb[c) F h d] = 0.
(17)
Назовем тождество (17) первым фундаментальным тождеством АС-многообразий
класса С10.
Теорема 2. Полная группа структурных уравнений АС-структуры класса С10 на
пространстве присоединенной G-структуры имеет вид:
1 ) dω = Fa b ω a ∧ ω b + F abω a ∧ ωb ;
2) dω a = − θ ba ∧ ω b + F ab ω a ∧ ω ;
3) dω a = θ ab ∧ ωb + Fab ω b ∧ ω ;
(
(18)
)
4) d θ ba + θ ca ∧ θ bc = Abacd − F ad Fbc ω c ∧ ω d ;
5) dF ab + F c b θ ca + F ac θ cb = 0;
6) dFab − Fc b θ ac − Fac θ bc = 0;
203
ad h
ω + A badh
7) dA bacd + A bhcd θ ha + A bach θ hd − A hacd θ bh − A bahd θ ch = A bch
c ωh ,
{ }
где A ad – глобально определенная система функций на пространстве приbc
соединенной G-структуры, симметричная по верхним и нижним индексам.
Для тензорных компонент формы римановой связности на пространстве
присоединенной G-структуры имеют место следующие соотношения [3]:
−1 a k
− 1 aˆ
1 ) θ aˆ =
Φ ˆ ω ; 2) θ baˆ = −
Φ b, k ω k ; 3) θ 0a = − 1Φ 0a, k ω k ;
b
b, k
2
2
(19)
4) θ 0aˆ = − − 1Φ 0aˆ, k ω k ; 5) θ a0 = − − 1Φ 0a, k ω k ; 6) θ a0ˆ = − 1Φ 0aˆ , k ω k .
4 / 2010
Преподаватель XX
ВЕК
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
Для АС-многообразий класса С10 соотношения (19) примут вид:
1 ) θ aˆ = 0; 2) θ baˆ = 0; 3) θ a0ˆ = − θ 0a = F abωb ;
b
4) θ a0 = − θ 0aˆ = Fabω b .
(20)
Продифференцировав внешним образом соотношения (20), с учетом (18)
получим:
1 ) d θ aˆ = 0; 2) d θ baˆ = 0;
b
(21)
3) d θ a0ˆ = −d θ 0a = − F c b θ ca ∧ ωb + F ac Fc b ω b ∧ ω ;
4) d θ a0 = −d θ 0aˆ = Fc b θ ac ∧ ω b + Fac F c b ωb ∧ ω.
Напомним, что вторая группа структурных уравнений римановой связности имеет вид [3]:
1
d θ ij = − θ ki ∧ θ kj + R ijkl ω k ∧ ω l,
(22)
2
i
где R jkl ⊂ C ∞ (BM ) – компоненты тензора Римана-Кристоффеля.
{ }
Расписывая (22) на пространстве присоединенной G-структуры, с учетом
(21) и (18), получим:
1) R 0 ˆ = Fac F c b; 2) R a ˆ = Abacd ;
bcd
ab 0
aˆ
3) R aˆ ˆ = − F ab F c d ; 4) Rbcd
= − Fab Fc d ,
bcˆd
204
(23)
плюс соотношения, полученные с учетом классических свойств симметрии тензора R. Остальные компоненты этого тензора – нулевые.
Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной G-структуры вычисляются по формуле
k , которая на пространSi j = − Rijk
стве присоединенной G-структуры АС-многообразия класса С10, в силу (23), принимает вид:
1) S 0 0 = −2 F a b Fba ; 2) S abˆ = Sbˆa = Aabcc − Fac F c b ,
(24)
остальные компоненты нулевые.
Скалярная кривизна
(25)
χ = g i j Sij = 2 Aaabb − 4 F ab Fab.
Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам:
ˆ
1)
R000a = R0b0a = 0, R0b0a = F bc Fab;
2)
R00a b = R0cab = R0cˆab = 0;
Преподаватель XX
ВЕК
4 / 2010
Физико-математические науки
3)
4)
R 0 ˆ = R c ˆ = R cˆ ˆ = 0 ;
0 ab
0ab
0ab
0
c
Ra 0b = Ra 0b = Racˆ0b = 0 ;
R 0 ˆ = − Fad F dbξ 0 , R c ˆ = − Fad F dbξ c , R cˆ ˆ = − Fad F dbξ cˆ;
a 0b
a 0b
a 0b
ˆ
d
d
0
6) R
;
abc = − F0a Fbc , Rabc = − Fdˆa Fbc , Rabc = − Fda Fbc
5)
ˆ
ˆ
7)
Ra0bcˆ = Aa0bñ , Radbcˆ = Aadbc , Radbcˆ = Aadbc;
8)
R 0 ˆ = 0, R d ˆ = 0, R d ˆ = 0 , получим следующую теорему.
abcˆ
abcˆ
abcˆ
ˆ
Теорема 3. Тензор Римана-Кристоффеля
удовлетворяет следующим тождествам:
АС-многообразия
класса
С10
1) R(ξ , X ) ξ = F 2 (X ) ;
2) R(X , Y) ξ − R(ΦX , ΦY) ξ = η (X )F 2 (Y) − η (Y)F 2 (X );
3) R(X , Y) ξ + R(ΦX , ΦY) ξ = η (X )F 2 (Y) − η (Y)F 2 (X );
4) R(ξ , X ) Y − R(ξ , ΦX ) ΦY = η (Y)F 2 (X );
5) R(ξ , X ) Y + R(ξ , ΦX ) ΦY = η (Y)F 2 (X ) + 2ξ F (Y), F (X ) ;
6) R(X , Y) Z − R(ΦX , ΦY) Z − R(X , ΦY)ΦZ − R(ΦX , Y)ΦZ =
2
= η (X ) η (Z)F (Y) − η (Y)η(Z)F
7)
8)
2
(X ) −
− 2 F (Z) X , F (Y) + 2ΦF (Z) X , ΦF (Y) ;
R(X , Y)Z + R(X , ΦY)ΦZ − R(ΦX , Y) ΦZ + R(ΦX , ΦY) Z =
= 4 A(Z , X , Y) + η (X )η(Z)F 2 (Y) − η (Y)η(Z)F 2 (X ) +
+ 2ξη (X ) F (Y), F (Z) ;
R(X , Y)Z + R(X , ΦY)ΦZ + R(ΦX , Y)ΦZ − R(ΦX , ΦY)Z =
= 2ξη (X ) F (Y), F (Z) − 2ξη (Y) F (X ), F (Z) +
+ η (X )η(Z)F 2 (Y) − η (Y)η(Z)F 2 (X ); ∀X , Y , Z ∈ X (M ).
(26)
205
Назовем тождество (26:1) первым тождеством кривизны АС-многообразий
класса С10.
Определение 1. Скажем, что АС-многообразие класса С10 является
многообразием класса R1, если R(ξ , X ) ξ = 0; ∀X ∈ X (M ).
Теорема 4. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R1 тогда
и только тогда, когда F 2 (X ) = 0 ; ∀X ∈ X (M ).
Теорема 5. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R1 тогда
и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием.
4 / 2010
Преподаватель XX
ВЕК
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
Доказательство. Пусть М – АС-многообразие класса С10, являющееся многообразием класса R1. Тогда F 2 (X ) = 0 ; ∀X ∈ X (M ). С другой стороны,
2
F (X ), Y = − X , F (Y) , значит F (X ), F (Y ) = − F (X ), Y = 0. В частности,
F 2 (X ) = 0, ∀X ∈ X (M ), то есть F (X ) = 0 , то есть ∇ X ξ = 0, ∀X ∈ X (M ). Кроме того, согласно (8) имеем ∇Φ = 0 , то есть ∇Φ = 0, ∇ξ = 0 . Итак М – косимплектическое многообразие.
Обратно, если М – косимплектическое многообразие, то ∇ξ = 0 , а значит
F (X ) = 0 , то есть F 2 (X ) = 0 ; ∀X ∈ X (M ). Тогда по теореме 1, М – многообразие класса R1. Ч.т.д.
При выводе тождества (26:5) мы получаем промежуточный результат:
R (ξ , Φ 2 X) Φ 2Y = R (ξ , ΦX) ΦY = ξ F (Y), F (X ) ; X , Y ∈ X (M ).
(27)
Назовем тождество (27) вторым тождеством кривизны АС-многообразий
класса С10.
Определение 2. С10-многообразие назовем многообразием класса R2, если
выполнено
R(ξ , Φ 2 X)Φ 2Y = R(ξ , ΦX) ΦY = 0; ∀X , Y ∈ X (M ).
Пусть АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R2 тогда
согласно определению 2 F (Y ), F (X ) = 0; ∀X , Y ∈ X (M ), то есть с учетом (12),
2
F 2 (Y ), X = 0; ∀X , Y ∈ X (M ), то есть F = 0 . Таким образом, многообразие
206
согласно теореме 1 является многообразием класса R1.
Очевидно, что всякое многообразие класса R1 является многообразием
класса R2, то есть мы доказали следующую теорему.
Теорема 6. С10-многообразия класса R1 и класса R2 совпадают.
При выводе тождества (24:6) мы получим промежуточный результат:
R (Φ 2 X , Φ 2Y) Φ 2 Z − R (Φ 2 X , ΦY) ΦZ − R (ΦX , Φ 2Y) ΦZ −
− R(ΦX , ΦY) Φ 2 Z = 2 F (Z) X , F (Y) +
(28)
+ 2ΦF (Z) ΦX , F (Y) ; X , Y , Z ∈ X (M ).
Тождество (28) назовем третьим тождеством кривизны АС-многообразий
класса С10.
Определение 3. С10-многообразие назовем многообразием класса R3, если
выполнено следующее тождество
R(Φ 2 X , Φ 2Y)Φ 2 Z − R(Φ 2 X , ΦY)ΦZ −
− R(ΦX , Φ 2Y) ΦZ − R(ΦX , ΦY) Φ 2 Z = 0; X , Y , Z ∈ X (M ).
(29)
Предложение 5. АС-многообразий класса С10 является многообразием класса R3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры
Fa b Fc d = 0.
Преподаватель XX
ВЕК
4 / 2010
Физико-математические науки
Пусть теперь АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R3
тогда согласно предложению 5 Fa b Fc d = 0, то есть Fa b F c d = 0. Из последнего равенства получим, в частности, что
2
∑ Fa b = Fab F ab = 0, откуда следует, что
a,b
Fa b = 0. И согласно предложению 4 многообразие является косимплектическим
многообразием. Легко видеть, что косимплектическое многообразие является С10многообразием класса R3. Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 7. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R3 тогда
и только тогда, когда оно является косимплектическим. А значит, АС-многообразие
класса С10, являющееся многообразием класса R3, также является многообразием
класса R1.
Используя известную классификацию косимплектических многообразий,
можно сформулировать следующую основную теорему, дающую полную классификацию АС-многообразий класса С10, являющихся многообразиями класса R1.
Основная теорема. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса
R1 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих
многообразий:
1) произведению комплексного евклидова пространства на вещественную
прямую;
2) произведению комплексного проективного пространства на вещественную
прямую;
3) произведению комплексного гиперболического пространства на вещественную
прямую;
4) произведению двумерного многообразия на вещественную прямую.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica
pura ed applicata (IV). – CLVI. – 1990. – P. 15–36.
Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. – Т. 80. – Вып. 2. – 2006. – С. 209–
219.
Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – М.:
МПГУ, 2003. – 495 с.
Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. – Т. 193. – № 8. – С. 71–100.
Kiritchenko V. F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // Acad C. R.
Sci. – Paris. Sér. I. Math. 1982. – V. 295. – P. 673–676.
4 / 2010
■
Преподаватель XX
ВЕК
207
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 367 Кб
Теги
почта, с10, кривизна, класс, многообразие, контактные, метрические, тождества
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа