close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точная константа в оценках рядов из коэффициентов Фурье Хаара через вариацию как максимум некоторой функции.

код для вставкиСкачать
Математика
Вестник Нижегородского университета
им.
Н.И.Галкина
Лобачевского, 2010, № 6, с. 138–142
О.Е. Галкин,
С.Ю.
138
УДК 517.518.24, 517.518.3
ТОЧНАЯ КОНСТАНТА В ОЦЕНКАХ РЯДОВ
ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ – ХААРА ЧЕРЕЗ ВАРИАЦИЮ
КАК МАКСИМУМ НЕКОТОРОЙ ФУНКЦИИ
© 2010 г.
О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
galkin@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 08.09.2010
1/ γ
⎞
⎛ ∞
Показано, что точная константа cγ в оценке ⎜ ∑ | an ( f ) |γ ⎟ ≤ cγ ⋅V01 f , где {an ( f )}∞
n =1 – коэффи⎟
⎜
⎠
⎝ n =2
циенты Фурье – Хаара функции f, равна максимуму в степени 1 / γ некоторой непрерывной функции
Lγ на отрезке [0; 1]. Приведен пример функции положительной вариации, на которой в этой оценке
достигается равенство.
Ключевые слова: система функций Хаара, коэффициенты Фурье – Хаара, функции ограниченной
вариации.
Введение
Пусть функция f принадлежит пространству V [0, 1] всех функций ограниченной вариации на отрезке [0,1] , {a n ( f )}∞
n =1 — коэффициенты Фурье этой функции по системе Хаара, и
V01 f — полная вариация функции f на отрезке [0,1] .
П.Л. Ульянов (см. [1, стр. 533], теорема 5') до∞
казал, что ряд ∑ | a n ( f ) |γ сходится при любом
n=2
γ > 2 / 3 , а также показал, что для функции
∞
f 0 ( x ) = x ∈ V [0, 1] будет ∑ | a n ( f 0 ) |2 / 3 = ∞ .
n=2
Настоящая статья посвящена вычислению
точной константы cγ в оценке
∞
1/ γ
⎛
⎞
⎜ ∑ | a n ( f ) |γ ⎟
⎜
⎟
⎝ n=2
⎠
≤ cγ ⋅ V01 f .
(1)
Основной результат статьи содержится в
теореме 1 и заключается в том, что при γ ≥ 1
константа cγ равна максимуму в степени 1 / γ
некоторой вещественной непрерывной функции
Lγ на отрезке [0,1]. Кроме того, приведен пример функции положительной вариации, на которой в оценке (1) достигается равенство. Ос-
новная теорема 1 предваряется рядом вспомогательных лемм.
Ограничение γ ≥ 1 возникает из метода доказательства.
Основные определения
Определение 1 (см. [2, стр. 381]). Разбиением
отрезка [a, b] называется конечный набор точек
T = {ti }in= 0 , таких что a = t0 < t1 < K < t n = b .
Обозначим через τ([a , b]) семейство всех разбиений отрезка [a, b] . Функция f , определенная на отрезке [a, b] и принимающая действительные значения, называется функцией с ограниченной вариацией на отрезке [a, b] , если найдется такое число K, что для всякого разбиения
T = {ti }in= 0 отрезка [a, b] выполняется неравенство
n
∑ | f (ti ) − f (ti −1 ) |≤ K .
Величина
i =1
Vab f =
sup
n
∑ | f (ti ) − f (ti −1 ) |≤ K
T ∈τ ([ a , b ]) i =1
называ-
ется (полной) вариацией функции f на отрезке
[a, b] . Класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке [a, b] , обозначается через V [a, b] .
Определение 2 (см. [3, стр. 77]). Система
Хаара – это ортонормированная система функ-
Точная константа в оценках рядов из коэффициентов Фурье – Хаара через вариацию
ций
χ = {χ n (t )}∞
n =1 ,
χ1 (t ) ≡ 1 ,
а
t ∈ [0, 1] ,
в
которой
i = 1,K, 2 k ,
n = 2k + i ,
при
139
k = 0, 1, K , функция χ n (t ) = χ ik (t ) определяется следующим образом:
⎧
⎪0
⎪
⎪2 k / 2
⎪
⎪
⎪
χ n (t ) = ⎨ − 2 k / 2
⎪
⎪ lim χ n (δ)
⎪δ→+0
χ n (1 − δ)
⎪δlim
→ +0
⎪1 / 2 lim (χ (t + δ) + χ (t − δ) )
n
n
⎪
δ →0
⎩
Определение 3. Пусть функция f принад1
лежит множеству L [0, 1] всех функций, интегрируемых по Лебегу на отрезке [0; 1]. Тогда ее
коэффициенты Фурье – Хаара определяются
формулой
1
an ( f ) = ∫ f (t )χ n (t )dt , n ∈ N.
(2)
0
Определение 4. Многочленом Хаара порядка
M , где M ∈ N , будем называть любую функM
цию вида P = ∑ an χ n , где a1 ,..., a M ∈ R . Если
n =1
an = a n ( f ) при n = 1, K , M , то будем называть P многочленом Хаара функции f . Множество всех многочленов Хаара порядка 2 N ,
отличных от постоянной, обозначим PN . Кроме
∞
того, положим P = U PN .
N =1
Замечание 1. Многочлен Хаара PN порядка
2 N — это ступенчатая функция, имеющая
скачки величиной
b j = PN j / 2 N + 0 − PN j / 2 N − 0
(
)
N
(
только в точках j / 2 , j = 1, K , 2
чения в этих точках
)
N
− 1 , и зна-
⎛ j ⎞ 1⎛ ⎛ j
⎞
⎛ j
⎞⎞
PN ⎜ N ⎟ = ⎜⎜ PN ⎜ N − 0 ⎟ + PN ⎜ N + 0 ⎟ ⎟⎟.
⎠
⎝2
⎠⎠
⎝2 ⎠ 2⎝ ⎝2
⎡i −1 i ⎤
при t ∉ ⎢ k , k ⎥;
⎣2 2 ⎦
⎛ i − 1 2i − 1 ⎞
при t ∈ ⎜ k , k +1 ⎟;
2
⎠
⎝ 2
⎛ 2i − 1 i ⎞
при t ∈ ⎜ k +1 , k ⎟;
2 ⎠
⎝2
при t = 0;
при t = 1;
при остальных t ∈ [0,1].
Замечание 2. Вариация многочлена Хаара
PN порядка 2 N вычисляется по формуле
V01PN
=
2 N −1
∑
j =1
| bj | .
(3)
Замечание 3. Коэффициенты Фурье – Хаара
an ( PN ) многочлена Хаара PN порядка 2 N при
n > 2 N равны нулю.
Замечание 4. У всякого многочлена P ∈ P
полная вариация положительна.
Определение 5. При всяком k = 0, 1, K зададим на отрезке [0,1] ломаную l k (t ) формулами:
p
⎧
k
⎪0 при t = 2k , p = 0,K, 2 ;
⎪
p
1
⎪2−k / 2−1 при t = k + k +1 ,
2 2
⎪
⎪
lk (t ) = ⎨
k
p = 0,K, 2 − 1;
⎪
⎪линейна на каждом отрезке ⎡ s − 1 , s − 1⎤,
⎢⎣ 2k +1 2k +1 ⎥⎦
⎪
⎪
k +1
⎪
⎩s = 1,K, 2 .
Определение 6. Для всякого γ > 0 зададим
на отрезке [0,1] функцию Lγ равенством
Lγ (t ) =
∞
∑ (lk (t ))γ ,
k =0
где функции l k (t ) , k = 0, 1, 2, K , описаны в определении 5.
140
О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина
Замечание 5. Из определения 5 видно, что
данный функциональный ряд составлен из непрерывных функций и при γ > 0 мажорируется
сходящимся числовым рядом
∞
∑ 2( − k / 2−1) γ .
k =0
Значит, согласно признаку Вейерштрасса, ряд
∞
∑ (lk (t ) )γ сходится равномерно, а его сумма
k =0
Lγ (t ) есть непрерывная функция, ограниченная
ка 2 N . Тогда справедливо неравенство
V01PN ≤ V01 f .
Доказательство вытекает из равенства (3) в
замечании 2 и леммы 1. □
Лемма 3. Пусть t ∈ [0, 1] и k = 0, 1, K . Тогда выполнено равенство
1
ке (1) ) равенством
⎫
⎪
⎪
f ∈V [0,1],V01 f ≠ 0⎬.
⎪
⎪
⎭
⎧ ∞
( ∑ | a ( f ) |γ )1/ γ
⎪
⎪ n =2 n
cγ = sup⎨
V01 f
⎪
⎪
⎩
Определение 8. Для каждого N ∈ N и
γ > 2 / 3 зададим величину c N , γ равенством
cN , γ
классу V [0, 1] , PN – ee многочлен Хаара поряд-
2− γ / 2
.
2γ / 2 − 1
Определение 7. При каждом γ > 2 / 3 зададим величину cγ (точную константу в оценвеличиной
Лемма 2. Пусть функция f принадлежит
⎧ ∞
( ∑ | a ( P ) |γ )1 / γ
⎪
⎪ n =2 n N
= sup ⎨
V01PN
⎪
⎪
⎩
⎫
⎪
⎪
PN ∈ PN ⎬.
⎪
⎪
⎭
Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Пусть функция f интегрируема
по Лебегу на отрезке [0,1] , и PN — ее многоN
член Хаара порядка 2
⎛ i −1 i
i = 1, K , 2 N и x ∈ ⎜ N , N
2
⎝2
PN ( x ) = 2 N ⋅
1/ 2N
∫
0
. Тогда для всех
⎞
⎟ верно равенство
⎠
⎛ i −1⎞
f ⎜ t + N ⎟ dt.
2 ⎠
⎝
Доказательство. Известно (см. [3, стр. 78],
формула (8) ), что выполняется равенство
N
PN ( x ) = 2 ⋅
i / 2N
∫
f (t )dt
(i −1) / 2 N
⎛ i −1 i ⎞
при x ∈ ⎜ N , N ⎟.
⎝2 2 ⎠
Сделав линейную замену переменной, получим доказываемую формулу. □
−∫
2 k +1
∑
t m = 2 k +1
χ m ( x )dx = lk (t ),
где функция l k (t ) задана в определении 5.
Доказательство этой леммы приведено в [4,
стр. 44].
Лемма 4. Пусть N ∈ N , PN – многочлен
Хаара порядка 2 N , и b j – его скачки в точках
j / 2 N , j = 1,K, 2 N − 1 . Тогда при n = 2,K, 2N коэффициенты Фурье – Хаара многочлена PN
можно записать в следующем виде:
a n ( PN ) =
2 N −1
∑
j =1
1
∫
bj ⋅
j/2
N
χ n (t )dt.
Доказательство следует из замечания 1 и
формулы (2) в определении 3. □
При p ≥ 1 будем обозначать через R M
p про-
RM
странство
с нормой
x = ( x1 ,K, x M ) положим
при p < ∞ , и x
p
M
L(R M
p , Rr
M
p
= ( ∑ | x j | p )1 / p
j =1
= sup | x j | при p = ∞ .
p, r ≥ 1
При
x
x p , где для
j =1,..., M
обозначим
символом
) множество всех линейных ограни-
M
ченных операторов A : RM
p → Rr . Через A
обозначим норму оператора
M
A ∈ L(R M
p ,Rr
p, r
).
Лемма 5. Пусть γ ≥ 1 и A : R1M → R γM –
линейный оператор с матрицей ( a nj ) nM, j =1 . Тогда
норма оператора A вычисляется по формуле
A 1, γ =
M
sup ( ∑ | a nj |γ )1 / γ .
j =1,K, M n =1
Доказательство вытекает из равенства норм
оператора A и сопряженного к нему оператора
(см. [2, стр. 266]), а также из формулы вычисле-
Точная константа в оценках рядов из коэффициентов Фурье – Хаара через вариацию
ния нормы линейного функционала в R γM (см.
1/ γ
⎞
⎛ 2N
⎜ ∑ | a ( P ) |γ ⎟
n N
⎟
⎜ n=2
⎠
⎝
[2, стр. 216]). □
Лемма 6. При γ ≥ 1 , N ∈ N величины c N , γ
вычисляются по формуле
cN , γ
⎞
⎛ 2 N −1
sup ⎜ ∑ | a nj |γ ⎟
=
⎟
⎜
j =1,K, 2 N −1⎝ n =1
⎠
1
∫ N χ n +1 (t )dt,
где anj =
1/ γ
,
141
≤ c N , γ ⋅ V01 PN .
Если же V01PN = 0 , то PN — постоянная
функция, и это неравенство превращается в равенство. Применяя формулу (4) и лемму 2, получаем:
1/ γ
⎛ 2N
⎞
⎜ ∑ | a ( P ) |γ ⎟ ≤ c∗ ⋅ V 1P ≤ c∗ ⋅V 1 f
n N
γ
0 N
γ
0
⎜ n =2
⎟
⎝
⎠
при всех N ∈ N.
n, j = 1, K , 2 N − 1.
j/2
Доказательство леммы следует из леммы 4,
определения 8, равенства (3) и леммы 5. □
Учитывая, что при n = 1,K, 2 N коэффициенты Фурье – Хаара функции f и многочлена
Лемма 7. При γ ≥ 1 , N ∈ N , величины c N , γ
PN совпадают, и переходя к пределу при
N → ∞ , получим:
вычисляются по формуле
1/ γ
1/ γ
⎛ ⎛ j ⎞⎞
⎜⎜ Lγ ⎜ N ⎟ ⎟⎟ .
⎝ 2 ⎠⎠
j =1,K, 2 N −1⎝
Доказательство леммы вытекает из леммы
6, определения функций Хаара и леммы 3. □
cN , γ =
sup
Лемма 8. При γ ≥ 1 константа cγ , заданная определением 7, вычисляется по формуле
cγ = sup cN , γ , причем cγ ≤
N ∈N
2( 2
γ/2
2
.
− 1)1 / γ
Доказательство. Обозначим cγ∗ = sup c N , γ .
N ∈N
В замечании 2 отмечено, что функция Lγ ограничена сверху при γ > 0 :
2−γ / 2
Lγ ( t ) ≤
при t ∈ [0, 1].
2γ / 2 − 1
Тогда, в силу леммы 7, при γ ≥ 1 последовательность {c N , γ }∞
N =1 ограничена сверху величиной
2
(2
−1 / 2
γ/2
1/ γ
− 1)
N ∈N
Докажем, что cγ =
2 . Если
V01PN
2
1/ γ
.
(4)
2( 2
γ/2
c ∗γ .
Пусть f — произ-
− 1)
> 0 , то из определения 8 вели-
чин c N , γ следует неравенство
⎧ ∞
⎫
γ 1/ γ
⎪⎪ ( ∑ | an ( f ) | )
⎪⎪
∗
1
[
0
,
1
],
0
= sup⎨ n=2
f
∈
V
V
f
≠
⎬ ≤ cγ .
0
1
V0 f
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎭
С другой стороны, верна оценка
cγ =
⎧ ∞
( ∑ | a ( f ) |γ )1/ γ
⎪
⎪ n =2 n
= sup ⎨
V01 f
⎪
⎪
⎩
⎫
⎪
⎪
f ∈V [0,1],V01 f ≠ 0⎬ ≥
⎪
⎪
⎭
∞
≥ sup
P∈P
( ∑ | an ( P ) |γ )1/ γ
n =2
V01P
= sup cN , γ = cγ∗.
N∈N
∗
вольная функция с ограниченной ненулевой
вариацией, PN — ее многочлен Хаара порядка
N
cγ =
Таким образом, cγ = cγ . Лемма доказана. □
. Поэтому
cγ∗ = sup c N , γ ≤
⎛ ∞
⎞
⎜ ∑ | a n ( f ) |γ ⎟ ≤ c γ∗ ⋅ V01 f .
⎜
⎟
⎝ n=2
⎠
Поскольку это неравенство верно для произвольной функции f с ограниченной ненулевой вариацией, то
Основная теорема
Теорема 1. При γ ≥ 1 выполняется следующее:
а) величина cγ , заданная определением 7,
вычисляется по формуле
1/ γ
⎛
⎞
cγ = ⎜ max Lγ (t ) ⎟
⎝ t∈[0, 1]
⎠
;
142
О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина
б) равенство в оценке (1) достигается, например, на функции
⎧0 при 0 ≤ t ≤ t γ ,
f γ (t ) = ⎨
⎩ 1 при t γ < t ≤ 1,
где t γ — любая из точек, в которых функция
| j0 2 N 0 − t γ |< δ . Поэтому
⎛ ⎛ j0
⎜⎜ Lγ ⎜ N
⎝ ⎝2 0
Lγ (t ) принимает наибольшее значение на отрезке [0,1] .
Доказательство. Докажем утверждение
пункта а). Обозначим через α γ величину
1/ γ
⎛
⎞
α γ = ⎜ max Lγ (t ) ⎟
t
∈
[
0
,
1
]
⎝
⎠
(5)
и покажем, что cγ = α γ . По леммам 7 и 8 при
γ ≥ 1 величина c N , γ вычисляется по формуле
N ∈N
1/ γ
⎛ ⎛ j ⎞⎞
где c N , γ = sup ⎜⎜ Lγ ⎜ N ⎟ ⎟⎟ .
⎝ 2 ⎠⎠
j =1,K, 2 N −1⎝
Очевидно, что c N , γ ≤ α γ . Переходя в этом
неравенстве к супремуму по N ∈ N , получаем:
cγ ≤ α γ .
(6)
Покажем, что верно и обратное неравенство.
Как отмечено в замечании 5, функция Lγ непрерывна на отрезке [0,1] . Поэтому найдется
число t γ ∈ [0, 1] , такое что Lγ (t γ ) = max Lγ (t ) .
Тогда
(
α γ = Lγ (t γ )
)
1/ γ
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
− α γ < ε.
Отсюда α γ < c N 0 , γ + ε. А из леммы 8 следует, что α γ < cγ + ε . В силу того, что ε можно
взять сколь угодно малым, имеем
α γ ≤ cγ .
Из последнего неравенства и из (6) получаем, что cγ = α γ . Тогда по (5) выполняется ра1/ γ
⎛
⎞
cγ = ⎜ max Lγ (t ) ⎟ . Утверждение
t
∈
[
0
,
1
]
⎝
⎠
пункта а) доказано.
Утверждение пункта б) теоремы следует из
определения функций Хаара и леммы 3. □
венство
cγ = sup cN , γ ,
1/ γ
1
< δ . Тогда
2N0
найдется номер j0 ∈ {1, 2,K, 2 N 0 − 1} такой, что
ральное число N 0 так, что
t∈[0, 1]
. Зафиксируем произ-
вольное ε > 0 . В силу непрерывности функции
Lγ в точке t γ , найдется δ > 0 такое, что для
всех t ∈ [0, 1] при | t − t γ |< δ выполняется неравенство | ( Lγ (t ))1 / γ − α γ |< ε . Возьмем нату-
ëÚ‡Ú¸fl ÔÓ‰„ÓÚÓ‚ÎÂ̇ ÔË ÙË̇ÌÒÓ‚ÓÈ ÔÓ‰‰ÂÊ͠θÌÓÈ ˆÂ΂ÓÈ ÔÓ„‡ÏÏ˚ «ç‡Û˜Ì˚Â Ë Ì‡Û˜ÌÓ-Ô‰‡„ӄ˘ÂÒÍË ͇‰˚ ËÌÌÓ‚‡ˆËÓÌÌÓÈ
êÓÒÒËË» ̇ 2009–2013 „Ó‰˚ (ÔÓÂÍÚ çä-13è-13,
ÍÓÌÚ‡ÍÚ è945).
Список литературы
1. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара //
ДАН СССР. 1963. Т. 149. Вып. 3. С. 532–534.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,
1989. 624 с.
3. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. 496 с.
4. Галкина С.Ю. О коэффициентах Фурье – Хаара от функций с ограниченной вариацией // Матем.
заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 42–54.
SHARP CONSTANT IN ESTIMATIONS OF SERIES OF FOURIER – HAAR COEFFICIENTS
VIA VARIATION AS A MAXIMUM OF SOME FUNCTION
O.E. Galkin, S.Yu. Galkina
⎛
∞
1/ γ
⎞
It is shown that the sharp constant cγ in the estimation ⎜ ∑ | an ( f ) |γ ⎟
⎟
⎜
⎝ n =2
⎠
∞
≤ cγ ⋅V01 f , where {an ( f )}n =1 are
the Fourier – Haar coefficients of function f, is equal to 1 / γ power of the maximum of some continuous function
Lγ on the interval [0; 1]. As an example, a positive variation function is presented that provides an equality in this
estimation.
Keywords: Haar function system, Fourier – Haar coefficients, functions of bounded variation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
887 Кб
Теги
оценка, хаара, некоторой, точная, фурье, функции, рядом, максимума, коэффициента, через, константин, вариаций
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа