close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Трехмерные многообразия малой сложности обладающие геометриями S3 и Nil.

код для вставкиСкачать
Е. А. ФОМИНЫХ
ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ МАЛОЙ
СЛОЖНОСТИ, ОБЛАДАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЯМИ
И Nil
S3
В работе построены нижние оценки числа замкнутых ориентируемых многообразий сложности 6 k, обладающих геометриями S 3 и N il. Эти оценки оказались
точными для всех k 6 12, что позволило потенциально точно оценить снизу число
многообразий с геометриями S 3 и N il, имеющих сложность 13.
Kлючевые
многообразия.
слова:
трехмерные
многообразия,
сложность,
геометрические
Введение
Хорошо известно, что для любого k ∈ Z+ существует только конечное число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности k. С. В. Матвеев и В. В. Таркаев табулировали все такие многообразия
до сложности 12 включительно. Оказалось, что более половины (61%) из 36833
табличных многообразий обладают геометрической структурой [4; 7].
Напомним, что трехмерное многообразие называется геометрическим, если
оно допускает полную локально-однородную риманову метрику. У. Терстон классифицировал все трехмерные геометрии, и их оказалось восемь: E 3 , S 3 , S 2 × R,
3
^
H 2 × R, SL
2 R, N il, Sol, H [1; 2]. Трехмерное многообразие может обладать не
более чем одной из них.
Обозначим через Φ(k) и Ψ(k) числа замкнутых ориентируемых многообразий сложности 6 k, обладающих геометриями S 3 и N il, соответственно. Их
значения для 5 6 k 6 12 можно извлечь из теоремы 7.4.1. [7] (см. таблицу).
В данной работе на основе известных верхних оценок сложности многообразий
строятся нижние оценки для чисел Φ(k) и Ψ(k), являющиеся точными для всех
k 6 12. Это позволяет потенциально точно оценить снизу число многообразий с
геометриями S 3 и N il, имеющих сложность 13.
Значения Φ(k) и Ψ(k) для 5 6 k 6 12
k
5
Φ(k) 61
Ψ(k) 0
6
122
7
7
239
17
8
453
31
9
867
46
10
1665
61
11
3247
76
12
6365
91
Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00162) и программой фундаментальных исследований ОМН РАН.
Трехмерные многообразия малой сложности, обладающие геометриями S 3 и N il
99
1. Геометрии на многообразиях Зейферта и верхние оценки
сложности
Все компактные многообразия, обладающие геометриями первых шести типов (из вышеперечисленных 8), являются многообразиями Зейферта. Каждое замкнутое многообразие Зейферта M можно полностью описать при помощи приведенных параметров особых слоев:
¡
¢
M = F, (p1 , q1 ), . . . , (pn , qn ), (1, t) ,
где F — связная замкнутая поверхность, pi > qi > 0 для всех i и t > −n/2.
Приведем топологическую классификацию замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометриями S 2 × R, E 3 , S 3 и N il [1]. Геометрия S 2 × R
наименее интересная из них. Существует ровно два многообразия, обладающих
этой геометрией: S 2 × S 1 и RP 3 #RP 3 .
Существует ровно шесть плоских (т. е. обладающих геометрией E 3 ) замкнутых ориентируемых многообразий:
¡ 2
¢
S , (2, 1), (3, 1), (6, 1), (1, −1) ;
¡ 2
¢
S , (2, 1), (4, 1), (4, 1), (1, −1) ;
¡ 2
¢
S , (3, 1), (3, 1), (3, 1), (1, −1) ;
¡ 2
¢ ¡
¢
S , (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1), (1, −2) = K 2 , (1, 0) ;
¡ 2
¢
T , (1, 0) ;
¡ 2
¢
RP , (2, 1), (2, 1), (1, −1) .
Все эти многообразия имеют сложность 6, а их базами являются поверхности с
неотрицательными эйлеровыми характеристиками: сфера S 2 , проективная плоскость RP 2 , тор T 2 и бутылка Клейна K 2 .
Замкнутое ориентируемое многообразие обладает геометрией S 3 тогда и
только тогда, когда оно является либо линзовым пространством (включая многообразия S 3 и RP 3 ), либо многообразием Зейферта с базой сфера S 2 и тремя
особыми слоями такими, что тройка (p1 , p2 , p3 ) первых параметров особых слоев
содержится в следующем списке: (2, 2, m), где m > 2; (2, 3, 3); (2, 3, 4); (2, 3, 5).
Замкнутое ориентируемое многообразие обладает геометрией N il тогда и
только тогда, когда оно является одним из нижеследующих многообразий.
1) Многообразие Зейферта с базой S 2 и тремя особыми слоями такими, что
тройка (p1 , p2 , p3 ) первых параметров особых слоев совпадает с одной из
трех троек: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3). При этом многообразие не должно
входить в список многообразий с геометрией E 3 .
¡
¢
2) S 2 , (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1), (1, t) , где t > −1.
¡
¢
3) T 2 , (1, t) , где t > 1.
100
Е. А. Фоминых
¡
¢
4) RP 2 , (2, 1), (2, 1), (1, t) , где t > 0.
¡
¢
5) K 2 , (1, t) , где t > 1.
Для потенциально точных нижних оценок чисел Φ(k) и Ψ(k) нам понадобятся верхние оценки сложности многообразий Зейферта, построенные в работах [3;
5; 6]. Обозначим через S(p, q) сумму всех неполных частных в разложении числа
p/q в непрерывную цепную дробь.
Определим на множестве всех замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометриями E 3 , S 3 и N il, целую неотрицательную функцию c∗ . Для
каждого многообразия M мы находим значение c∗ (M ) по следующему правилу:
(i). Если M является линзовым пространством Lp,q , то c∗ (M ) = S(p, q) − 3.
¡
¢
¡
¢
(ii). Если M = T 2 , (1, t) или M = K 2 , (1, t) , где t > 0, то c∗ (M ) = min{5+t, 6}.
¡
¢
(iii). Если M = S 2 , (2, 1), (3, 1), (m, 1), (1, −1) , где m > 5, то c∗ (M ) = m.
¡
¢
(iv). Если M = S 2 , (2, 1), (n, 1), (m, 1), (1, −1) и M не относится к случаям (i)–
(iii), то c∗ (M ) = n + m − 2.
¡
¢
(v). Если M = F, (p1 , q1 ), . . . , (pn , qn ), (1, t) и M не относится к случаям (i)–(iv),
то
n
©
ª
¡
¢ X
¡
¢
c∗ (M ) = max 0, t − 1 + χ(F ) + 6 1 − χ(F ) +
S(pi , qi ) + 1 .
i=1
Обозначим через c(M ) сложность многообразия M . Следующая теорема
описывает два важных свойства функции c∗ .
Теорема 1. Пусть M — замкнутое ориентируемое многообразие, обладающее
геометрией одного из следующих типов: E 3 , S 3 или N il. Тогда c(M ) 6 c∗ (M ).
Более того, если c(M ) 6 12, то c(M ) = c∗ (M ).
Доказательство. Неравенство c(M ) 6 c∗ (M ) было
для
¡ доказано
¢ отдельно
¡ 2
¢ лин2
зовых пространств, многообразий Зейферта вида T , (1, t) и K , (1, t) , и для
всех остальных многообразий Зейферта в работах [6], [3] и [5], соответственно.
Доказательство второго утверждения теоремы было проведено В. В. Таркаевым
путем компьютерного перебора всех 6462 многообразий сложности c 6 12, обладающих геометриями E 3 , S 3 и N il, и сравнения для каждого многообразия M
значений c(M ) и c∗ (M ).
2. Нижние оценки числа многообразий с геометриями
и Nil
S3
Цель этого параграфа состоит в построении нижних оценок числа многообразий с геометриями S 3 и N il, сложность которых не превосходит числа k. В
качестве таких оценок мы возьмем, соответственно, числа ϕ(k) и ψ(k) замкнутых
ориентируемых многообразий с геометриями S 3 и N il, на которых функция c∗
Трехмерные многообразия малой сложности, обладающие геометриями S 3 и N il
101
принимает значение 6 k. Следующая теорема показывает корректность выбранных нами нижних оценок, а также их точность для любого числа k 6 12.
Теорема 2. Для любого натурального числа k справедливы неравенства:
ϕ(k) 6 Φ(k) и ψ(k) 6 Ψ(k).
Более того, если k 6 12, то ϕ(k) = Φ(k) и ψ(k) = Ψ(k).
Доказательство. Пусть M — замкнутое ориентируемое многообразие, обладающее геометрией S 3 . Если c∗ (M ) 6 k, то в силу теоремы 1 справедливо неравенство
c(M ) 6 k. Поэтому ϕ(k) 6 Φ(k).
Далее предположим, что k 6 12. В этом случае из теоремы 1 следует
равенство c(M ) = c∗ (M ). Поэтому неравенство c(M ) 6 k влечет неравенство
c∗ (M ) 6 k. Это означает, что Φ(k) 6 ϕ(k). Таким образом, если k 6 12, то
ϕ(k) = Φ(k).
Неравенство ψ(k) 6 Ψ(k), а также равенство ψ(k) = Ψ(k) для всех чисел
k 6 12 доказываются аналогично.
Далее мы представим явные формулы для вычисления нижних оценок ϕ(k)
и ψ(k) числа многообразий с геометриями S 3 и N il.
Теорема 3. Справедливы следующие утверждения:
1. ϕ(k) = 14k + 3 · 2k−1 − 51 +
1
2
k
P
2[
i+1
]
2
для любого числа k > 8.
i=8
2. ψ(k) = 15k − 89 для любого числа k > 9.
Доказательство. Обозначим через f ∗ (i) число замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометрией S 3 , на каждом из которых функция c∗ принимает значение i. Оказывается, для любого i > 8 число f ∗ (i) задается формулой
f ∗ (i) = 14 + 3 · 2i−2 + 2[
i+1
]−1
2
.
Действительно, проанализировав псевдоминимальные специальные спайны линзовых пространств [7], смоделированные на незамкнутых цепочках, несложно
показать, что число линзовых пространств, параметры которых являются решениями уравнения S(p, q) − 3 = i, для любого i > 1 находится по формуле
i+1
2i−1 + 2([ 2 ]−1) . Аналогично многообразия Зейферта с базой сфера и тремя особыми слоями такими, что тройки (p1 , p2 , p3 ) первых параметров их особых слоев
содержатся в списке: (2, 2, m), где m > 2; (2, 3, 3); (2, 3, 4); (2, 3, 5), для каждого
i > 8 вносят в f ∗ (i) вклад, равный 2i−2 − 1, 3, 4, 8, соответственно для каждой
тройки. Отметим, что ограничение i > 8 нужно лишь для того, чтобы избежать
несущественного усложнения формулы для f ∗ (i).
В силу теоремы 2 и таблицы имеем ϕ(7) = Φ(7) = 239. Теперь можем написать формулу для вычисления числа ϕ(k), справедливую для любого числа
k > 8:
k
k
X
1 X [ i+1 ]
2 2 .
f ∗ (i) = 14k + 3 · 2k−1 − 51 +
ϕ(k) = ϕ(7) +
2
i=8
i=8
102
Е. А. Фоминых
Докажем второе утверждение теоремы. Из классификации многообразий,
обладающих геометрией N il, и определения функции c∗ следует, что для каждого
k > 9 существует ровно 15 замкнутых ориентируемых многообразий с данной
геометрией, на каждом из которых функция c∗ принимает значение k:
¡
¢
1) S 2 , (2, 1), (3, 1), (6, 1), (1, k − 9) ;
¡
¢
2) S 2 , (2, 1), (3, 1), (6, 5), (1, k − 9) ;
¡
¢
3) S 2 , (2, 1), (3, 2), (6, 1), (1, k − 9) ;
¡
¢
4) S 2 , (2, 1), (3, 2), (6, 5), (1, k − 9) ;
¡
¢
5) S 2 , (2, 1), (4, 1), (4, 1), (1, k − 8) ;
¡
¢
6) S 2 , (2, 1), (4, 1), (4, 3), (1, k − 8) ;
¡
¢
7) S 2 , (2, 1), (4, 3), (4, 3), (1, k − 8) ;
¡
¢
8) S 2 , (3, 1), (3, 1), (3, 1), (1, k − 7) ;
¡
¢
9) S 2 , (3, 1), (3, 1), (3, 2), (1, k − 7) ;
¡
¢
10) S 2 , (3, 1), (3, 2), (3, 2), (1, k − 7) ;
¡
¢
11) S 2 , (3, 2), (3, 2), (3, 2), (1, k − 7) ;
¡
¢
12) S 2 , (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1), (1, k − 7) ;
¡
¢
13) RP 2 , (2, 1), (2, 1), (1, k − 6) ;
¡
¢
14) T 2 , (1, k − 5) ;
¡
¢
15) K 2 , (1, k − 5) .
Так как ψ(8) = Ψ(8) = 31, то для любого числа k > 9 справедлива формула
ψ(k) = ψ(8) + 15(k − 8) = 15k − 89.
Теперь мы можем потенциально точно оценить снизу число многообразий с
геометриями S 3 и N il, имеющих сложность 13.
Следствие 3.1. Число замкнутых ориентируемых многообразий сложности
13, обладающих геометриями S 3 и N il, не меньше, чем 6222 и 15, соответственно для каждой геометрии.
Трехмерные многообразия малой сложности, обладающие геометриями S 3 и N il
103
Список литературы
1. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. — М. : Мир,
1986. — 168 c.
2. Терстон, У. Трехмерная геометрия и топология на трехмерных многообразиях /
У. Терстон. — М. : МЦНМО, 2001. — 312 c.
3. Anisov, S. Toward lower bounds for complexity of 3-manifolds:
S. Anisov // arXiv:math.GT/0103169, 2001. — 43 p.
a program /
4. Fominykh, E. Atlas of 3-manifolds / E. Fominykh, S. Matveev, V. Tarkaev. —
available from www.matlas.math.csu.ru.
5. Martelli, B. Complexity of geometric 3-manifolds / B. Martelli, C. Petronio //
Geometriae Dedicata. — 2004. — Vol. 108. — P. 15–69.
6. Matveev, S. V. Tables of 3-manifolds up to complexity 6 / S. V. Matveev // MaxPlanck-Institute for Mathematics. Preprint Series. — 1998. — № 67. — 50 p.
7. Matveev, S. Algorithmic topology and classification of 3-manifolds (Algorithms and
Computation in Mathematics) / S. Matveev. — Springer Berlin Heidelberg, 2007. —
492 p.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
574 Кб
Теги
nil, трехмерная, геометрия, сложности, многообразие, малое, обладающей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа