close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 63-82.
УДК 517.946
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Аннотация. Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических
уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное
уравнение вида
n
X
k−2
(|u| u)t =
(|uxα |pα −2 uxα )xα , pn ≥ . . . ≥ p1 > k, k ∈ (1, 2).
α=1
Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях D = (0, ∞) × Ω,
Ω ⊂ Rn , n ≥ 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной
функцией установлены точные оценки скорости убывания при t → ∞. Ранее такие
результаты были получены авторами для k ≥ 2. Случай k ∈ (1, 2) отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного
уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.
Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной
нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
1.
Введение
Пусть Ω — неограниченная область пространства Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn )}, n ≥ 2. В
цилиндрической области D = {t > 0} × Ω для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача
n
X
(|u|k−2 u)t =
(aα (u2xα )uxα )xα , k ∈ (1, 2), (t, x) ∈ D;
(1)
α=1
u(t, x) = 0,
S = {t > 0} × ∂Ω;
(2)
S
u(0, x) = ϕ(x), ϕ(x) ∈ Lk (Ω), ϕxα (x) ∈ Lpα (Ω), α = 1, n.
(3)
Предполагается, что неотрицательные функции aα (s), s ≥ 0, α = 1, n, подчиняются условиям: aα (0) = 0, aα (s) ∈ C 1 (0, ∞),
as(pα −2)/2 6 aα (s) 6 b
as(pα −2)/2 ,
(4)
p1
aα (s) 6 aα (s) + a0α (s)s 6 bbaα (s),
(5)
2
с положительными константами b
a ≥ a, 2bb ≥ p1 > k (p1 6 p2 6 . . . 6 pn ). Например,
aα (s) = s(pα −2)/2 , α = 1, n, bb = pn /2.
Работа посвящена изучению скорости стабилизации при t → ∞ решения задачи (1)–(3)
с финитной начальной функцией ϕ(x).
L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear
parabolic equation in unbounded domains.
c Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2013.
Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).
Поступила 23 декабря 2011 г.
63
64
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных
параболических уравнений второго и высокого порядков при t → ∞ посвящены работы А.К. Гущина, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой,
Р.X. Каримова и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1], [2], [3].
В изотропном случае, т.е. когда все pα равны между собой и равны p, p ≥ 2, при k = 2
задача (1)–(3) исследовалась в работе [3]. Оценки скорости убывания решения задачи
Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным p-лапласианом и
двойной нелинейностью при k ∈ (1, 2) установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева
[4].
Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart, Ж.Л. Лионса,
A. Bamberger, O. Grange, F. Mignot, H.W. Alt, S. Luckhaus, F. Bernis и других. Однако
для получения оценки снизу убывания решения при t → ∞ нужна его дополнительная
гладкость.
Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова [5] предложили обычный способ построения сильного
решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений, которые в
случае k ∈ (1, 2) и k ≥ 2 строятся различными способами. В работе [6] этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1) при k ≥ 2,
и на основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания
решения в неограниченной области. Настоящая работа является продолжением работы [6]
для случая k ∈ (1, 2).
Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs , s ∈ 1, n (область Ω лежит в полупространстве R+
n [s] = {x ∈ Rn | xs > 0}, сечение γr = {x ∈ Ω | xs = r}
не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано обозначение:
Ωba = {x ∈ Ω | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = ∞ опускаются.
Предполагается, что начальная функция ограничена и имеет ограниченный носитель
так, что
supp ϕ ⊂ ΩR0 , R0 > 0.
(6)
Теорема 1. Пусть область расположена вдоль оси Oxs , s ∈ 1, n и выполнено условие
(6). Тогда найдутся положительные числа κ(ps , k), M(ps , k) и ограниченное решение
u(t, x) задачи (1)–(3) такие, что при всех t > 0, r ≥ 2R0 справедлива оценка
ps 1/(ps −1) !
r
ku(t)kLk (Ωr ) 6 M exp −κ
kϕkLk (Ω) .
(7)
t
На основе неравенства (7) устанавливается оценка снизу убывания решения задачи (1)–
(3) при t → ∞.
Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при k = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [7] для первой
смешанной задачи и N. Alikakos, R. Rostmanian [8] для задачи Коши.
Теорема 2. Пусть область расположена вдоль оси Oxs , s ∈ 1, n и выполнено условие (6). Тогда существует положительное число C(ϕ, k, p1 , b
a, bb) и ограниченное решение
u(t, x) задачи (1)–(3) такие, что при всех t ≥ 0 справедливо неравенство
ku(t)kLk (Ω) ≥ kϕkLk (Ω) (C(ϕ)t + 1)−1/(p1 −k) .
(8)
Определим функцию
n
o
∞
µ1 (r) = inf kgx1 kLp1 (Ωr ) g(x) ∈ C0 (Ω), kgkLk (Ωr ) = 1 ,
r > 0.
(9)
Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие
lim µ1 (r) = 0.
r→∞
(10)
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
65
Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка
ku(t)kLk (Ω) 6 M t−1/(p1 −k) ,
t > 0,
(11)
(см. [6, следствие 2]).
Положим
n
o
ν(r) = inf kgx1 kLp1 (γr ) g(x) ∈ C0∞ (Ω), kgkLp1 (γr ) = 1 ,
r > 0.
Будем считать, что область Ω удовлетворяет условию
Z∞
ν p1 /ps (r)dr = ∞.
(12)
(13)
1
Пусть r(t) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству
 r(t)

Z
(µp11 (r(t))t)−1/(p1 −k) exp κ ν p1 /ps (ρ)dρ ≥ 1, t > 0.
(14)
1
Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (14), (10) следует, что
lim r(t) = ∞.
t→∞
Теорема 3. Пусть область расположена вдоль оси Oxs , s ∈ 2, n и выполнены условия
(6), (10), (13). Тогда найдется положительное число M (ps , p1 , kϕkLk (Ω) ) и ограниченное
решение u(t, x) задачи (1)–(3) такие, что справедлива оценка
ku(t)kLk (Ω) 6 M (tµp11 (r(t)))−1/(p1 −k) ,
t > 0.
(15)
Если выполнены условия:
µ1 (r) ≥ Cr−a ,
1
lim
r→∞ ln r
Zr
r > 1,
a, C > 0,
ν p1 /ps (ρ)dρ = ∞,
1
то можно положить
r(t) = tε/(ap1 ) ,
и оценка (15) принимает вид
t > 0,
ε ∈ (0, 1),
ku(t)kLk (Ω) 6 M t−(1−ε)/(p1 −k) ,
t > 0.
(16)
(17)
Выбор функции r(t) формулой (16) является удовлетворительным, поскольку оценка (17)
имеет показатель степени близкий к показателю 1/(p1 − k) оценки снизу (8). Другие примеры для областей вращения приведены в работе [6].
2.
Вспомогательные утверждения
Пусть k · kp,Q — норма в Lp (Q), p ≥ 1, (·, ·)Q — скалярное произведение в L2 (Q), причем
значения p = 2, Q = Ω опускаются. Через Dab = (a, b) × Ω обозначим цилиндр, значения
a = 0 и b = ∞ могут отсутствовать.
◦
Банахово пространство W k,p1 (Ω) определим как пополнение пространства C0∞ (Ω) по
норме
n
X
kukWk,p1 (Ω) =
kuxα kpα + kukk .
α=1
66
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
◦ 1,1
T
k,p (D )
◦
T
Банаховы пространства W 0,1
k,p (D ), W
T +1
C0∞ (D−1
), соответственно, по нормам
определим как пополнения пространства
kukW 0,1 (DT ) = kukk,DT +
n
X
k,p
kuxα kpα ,DT ,
α=1
kukW 1,1 (DT ) = kukk,DT + kut kk,DT +
n
X
k,p
kuxα kpα ,DT .
α=1
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)–(3) назовем функцию u(t, x) та◦
T
кую, что при всех T > 0 u(t, x) ∈ W 0,1
k,p (D ) и удовлетворяет интегральному тождеству
!
Z
Z
n
X
k−2
2
(18)
−|u| uvt +
aα (uxα )uxα vxα dxdt = |ϕ(x)|k−2 ϕ(x)v(0, x)dx,
α=1
DT
для любой функции v(t, x)
Ω
◦
T
∈W 1,1
k,p (D ),
v(T, x) = 0.
Из условий (5) следуют неравенства
(p1 − 1)aα (s) 6 aα (s) + 2a0α (s)s 6 b
caα (s),
b
c = 2bb − 1,
s ≥ 0,
α = 1, n,
(19)
которые можно переписать в виде
0 6 (aα (z 2 )z)0 6 b
caα (z 2 ),
Положим Aα (s) =
Rs
z ∈ R,
α = 1, n.
(20)
aα (τ )dτ, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства
0
p1
Aα (s) 6 aα (s)s 6 bbAα (s), s ≥ 0, α = 1, n.
(21)
2
Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [9, гл. V, §19.7, теорема 1]).
◦
◦
T
Замечание 1. Пространства W k,1p (Ω), W 0,1
k, p (D ) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами (см. [6, замечание 1]).
Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо
утверждения типа "из последовательности uM можно выделить подпоследовательность uMi , сходящуюся в L2 (Ω) при i → ∞", будем говорить просто "последовательность uM выборочно сходится в L2 (Ω) при M → ∞". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.
Лемма 2. Пусть g M (t, x), M = 1, ∞, g(t, x) — такие функции из Lp (Q), 1 < p < ∞,
что
kg M kp,Q 6 C, g M → g при M → ∞ почти всюду в Q,
тогда g M * g при M → ∞ слабо в Lp (Q) (см. [10, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).
Замечание 3. Лемма 2 сформулирована в [10] для ограниченной области Q, однако она
справедлива и для произвольной неограниченной области. Будем применять лемму 2 для
Q = Ω и для Q = (0, T ) × Ω.
Лемма 3. Пусть система функций ψi (x) ∈ C0∞ (Ω), i = 1, ∞, линейно независима, и
◦
её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве W k,1p (Ω).
L
P
Через PL обозначим совокупность функций
di (t)ψi (x), где di (t) ∈ C ∞ [0, T ]. Тогда множество P =
∞
S
L=1
i=1
◦ 1,1
PL плотно в пространстве W k, p (DT ).
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
67
T +1
). Пусть
Доказательство. Покажем плотность множества P в пространстве C0∞ (D−1
◦
T +1
v(t, x) ∈ C0∞ (D−1
), очевидно v(t, x) ∈ C([−1, T + 1] → W 1k, p (Ω)). Выберем произвольное ε и зафиксируем δ, такое что для любых t, t∗ ∈ [−1, T + 1], таких что |t − t∗ | < 2δ будет
справедливо
kv(t) − v(t∗ )k ◦ 1
< ε.
(22)
W k, p (Ω)
tj ,
Выберем
конечную последовательность точек
N
S
(−1, T + 1) =
(tj − δ, tj + δ) и разбиение единицы
j
=
1, N ,
такую
что
j=1
N
X
wj (t) ∈ C0∞ ((tj − δ, tj + δ)) 0 6 wj (t) 6 1.
wj (t) = 1,
j=1
Из определения системы функций ψk (x) следует, что для каждого j, j = 1, N , найдется
номер Lj (ε) и числа fjk такие, что
kv(tj , x) −
Lj
X
fjk ψk (x)k ◦ 1
W k, p (Ω)
k=1
Lj
N P
P
Покажем, что функции
wj (t)fjk ψk (x) =
j=1 k=1
< ε,
j = 1, N .
L
P
N
P
k=1
j=1
(23)
!
wj (t)fjk
ψk (x), L = max Lj ,
j=1,N
◦
fjk = 0, k > Lj , приближают функцию v(t, x) в норме пространства W 1k,p (Ω) равномерно
по t ∈ [−1, T + 1]. Действительно, применив (22), (23), выводим:
kv(t, x) −
max
Lj
N X
X
t∈[−1,T +1]
=
k
max
t∈[−1,T +1]
6
N
X
j=1
j=1
6
kv(t, x) −
max
N
X
j=1
max
L
X
fjk ψk (x)k ◦
W k,1p (Ω)
=
fjk ψk (x)k ◦
W k,1p (Ω)
kv(t, x) − v(tj , x)k ◦
W k,1p (Ω)
fjk ψk (x)k ◦
W k,1p (Ω)
k=1
Введем обозначение fk (t)
L
X
k=1
[−δ+tj ,δ+tj ]
kv(tj , x) −
wj (t)fjk ψk (x)k ◦
k=1
L
X
L
P
=
W k,1p (Ω)
kwj (t)v(t, x) − wj (t)
[−δ+tj ,δ+tj ]
j=1
+
Lj
N X
X
j=1 k=1
max
j=1
N
X
wj (t)v(t, x) −
[−δ+tj ,δ+tj ]
6
W k,1p (Ω)
j=1 k=1
N
X
N
X
wj (t)fjk ψk (x)k ◦
6
6
6
+
6 N ε + N ε = 2N ε = ε1 .
wj (t)fjk . Возьмем w
∈
T +1
C0∞ (D−1
), положим
k=1
T +1
v(t, x) = wt (t, x) ∈ C0∞ (D−1
). Согласно доказанному, для любого ε1 > 0 найдется L(ε1 )
такое, что
L(ε1 )
X
max kwt −
< ε1 .
(24)
fk (t)ψk (x)k ◦ 1
t∈[−1,T +1]
k=1
W k, p (Ω)
68
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Рассмотрим функцию w(t, x)
Rt
=
wτ (τ, x)dτ
и покажем, что функции вида
−1
L Rt
◦
P
( fk (τ )dτ )ψk (x) приближает функцию w(t, x) в пространстве W k,1p (Ω) равномерно по
k=1 −1
t ∈ [−1, T + 1]. Действительно, при L → ∞
kw(t, x) −
max
t∈[−1,T +1]
L Z
X
k
max
wτ (τ, x)dτ −
t∈[−1,T +1]
Zt
k
max
wτ (τ, x) −
t∈[−1,T +1]
Обозначим dk (τ ) =
Rτ
L Z
X
max
L
X
τ ∈[−1,T +1]
kwτ (τ, x) −
=
t
fk (τ )ψk (x)dτ k ◦
W k,1p (Ω)
=
!
fk (τ )ψk (x) dτ k ◦
W k,1p (Ω)
k=1
−1
6 (T + 2)
W k,1p (Ω)
k=1 −1
−1
=
fk (τ )ψk (x)dτ k ◦
k=1 −1
Zt
=
t
L
X
fk (τ )ψk (x)k ◦
1 (Ω)
W k,p
k=1
6
→ 0.
fk (ρ)dρ, тогда, из неравенства (24) и последних соотношений при
−1
L → ∞ следует
max
τ ∈[−1,T +1]
kwτ (τ, x) −
max kw(τ, x) −
откуда вытекает kw(τ, x) −
d0k (τ )ψk (x)k ◦
W k,1p (Ω)
k=1
[−1,T +1]
L
P
L
X
L
X
dk (τ )ψk (x)k ◦
W k,1p (Ω)
k=1
dk (τ )ψk (x)k ◦ 1,1
T +1
W k, p (D−1 )
k=1
→ 0,
→ 0,
→ 0.
◦
Теорема 4. Пусть ϕ(x) ∈W k,p1 (Ω), p1 ≥ k, k ∈ (1, 2), тогда существует обобщенное
решение u(t, x) задачи (1)–(3), для любого T > 0, удовлетворяющее условиям
◦
u ∈ L∞ ((0, ∞), W k,p1 (Ω));
|u|(k−2)/2 ut ∈ L2 (DT ),
(25)
u ∈ C([0, ∞), Lk (Ω));
(26)
ut ∈ Lk (DT ).
(27)
При этом справедливы неравенства
(k −
1)ku(t)kkk
+ ka
n Z
X
t
kuxα (τ )kppαα dτ 6 (k − 1)kϕkkk ,
t ≥ 0;
(28)
α=1 0
n
X
d
k
(k − 1) ku(t)kk + ka
kuxα (t)kppαα 6 0,
dt
α=1
t > 0.
(29)
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
69
Доказательство. Выберем линейно независимую систему функций ψi (x) ∈ C0∞ (Ω),
i = 1, ∞, такую, что ее линейная оболочка является всюду плотным множеством в про◦
странстве W k,p1 (Ω). Будем считать, что эта система является ортонормированной в L2 (Ω).
S
Положим I M = M
i=1 supp ψi (x), mi = max |ψi (x)|.
x∈I M
Приближенные решения uM (t, x) будем искать в виде uM (t, x) =
M
P
cM
i (t)ψi (x),
i=1
M = 1, ∞. При этом функции cM
i (t), t ∈ [0, ∞), определяются из системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
n
X
2 M
(ω M )k/2−1 uM t , ψj +
aα ((uM
(30)
xα ) )uxα , (ψj )xα = 0,
α=1
(числа εM
k
ω M = (uM )2 + εM , j = 1, M ,
2
> 0 выберем позже) и начальных условий
M
cM
i (0) = ci ,
i = 1, M ,
(31)
подобранных так, что
M
u (0, x) =
M
X
◦
1
cM
i ψi (x) → ϕ(x) в W k,p (Ω) при M → ∞.
(32)
i=1
Отсюда сразу следует, что
1 (Ω) 6 E1 (kϕkW 1 (Ω) ),
kuM (0)kWk,p
k,p
M = 1, ∞.
(33)
Убедимся, что уравнения (30) разрешимы относительно производных
но, что уравнения (30) имеют вид
M
X
d M
c (t). Очевидdt i
d M
M
ci (t) = Fj (cM
j = 1, M ,
1 (t), ..., cM (t)),
dt
i=1


!2 
M
X
k
cl ψl  (ω M )k/2−2 ψi , ψj  =
Aji (c1 , . . . , cM ) = εM + (k − 1)
2
l=1
M
Aji (cM
1 (t), ..., cM (t))
= (ψi , ψj )M , i, j = 1, M , Fj (c1 , . . . , cM ) =
 

!2 
n
M
M
XX
X
=−
c i  aα 
cl (ψl )xα  (ψi )xα , (ψj )xα  ,
α=1 i=1
(34)
j = 1, M .
l=1
Нетрудно проверить, что (g, h)M , g, h ∈ C0∞ (Ω), является скалярным произведением.
M
Следовательно, матрица коэффициентов Aji (cM
1 (t), ..., cM (t)) при каждом t является матрицей Грама системы линейно независимых векторов ψi , i = 1, M , и имеет обратную.
Поэтому, систему (34) можно переписать в виде
M
X
d M
M
M
M
M
ci (t) =
A−1
ij (c1 (t), . . . , cM (t))Fj (c1 (t), . . . , cM (t)),
dt
j=1
i = 1, M .
(35)
Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим j-е уравнение (30)
на cM
j (t), и затем все уравнения сложим по j от 1 до M , в результате получим равенства
M k/2−1 M
(ω )
u
M
t
,u
+
n
X
α=1
2 M
M
aα ((uM
xα ) )uxα , uxα = 0,
M = 1, ∞,
70
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
которые можно переписать в виде


Z
Z
n
X
k
d k − 1
M
2 M
aα ((uM
(ω M )k/2 dx − εM
(ω M )k/2−1  +
xα ) )uxα , uxα = 0,
dt
k
2
α=1
IM
M = 1, ∞.
IM
(36)
После интегрирования от 0 до t будем иметь
Z
n
X
k−1
M 1/2
k
Mk
M
k/2−1
2 M
M
k(ω ) (t)kk,I M − ε
(ω (t, x))
dx +
aα ((uM
xα ) )uxα , uxα Dt =
k
2
α=1
IM
k
k−1
k(ω M )1/2 (0)kkk,I M − εM
=
k
2
Z
(ω M (0, x))k/2−1 dx,
M = 1, ∞.
(37)
IM
Выберем числа εM 6 1/M так, чтобы были справедливы неравенства
mes I M 6 (εM )−k/4 ,
M = 1, ∞.
(38)
Применяя (38), (33), выводим неравенства
1/2
k M
k(ω ) (0)kk,I M 6 k|u (0)| +
ε
kk,I M 6 kuM (0)kk +
2
1/2
1/2
1/2
k
k M
k
M 1/4
M 1/k
ε
(ε ) 6 E1 +
,
+
mes I
6 E1 +
2
2
2
k/2
k/2
k/2
Z
k M
k
k
k M
M
k/2−1
M
M k/4
(ω (t, x))
dx 6
mes I 6
(ε ) 6
.
ε
ε
2
2
2
2
M 1/2
M
(39)
(40)
IM
Учитывая (4), cоединяя (39), (40), (37), для t ≥ 0 получаем
M 1/2
k(ω )
(t)kkk
+
n
X
pα
kuM
xα kpα ,Dt 6 E2 ,
M = 1, ∞.
(41)
α=1
Кроме того, неравенства (4), (41) позволяют установить оценки
n
X
2 M
kaα ((uM
xα ) )uxα kpα /(pα −1),Dt
α=1
≤b
a
n
X
pα −1
kuM
xα kpα ,Dt 6 E3 ,
M = 1, ∞.
(42)
α=1
Здесь и ниже постоянные Ei зависят только от b
a, a, bb, p, kϕkWk,p1 (Ω) .
Покажем, что все возможные решения задачи (31), (35) равномерно ограничены при
t ≥ 0. Действительно, пользуясь (41), для t ≥ 0 выводим
M
X
2
M
2
|cM
j (t)| = ku (t)k =
j=1
Z
=
Ω
2−k
M
X
M
k M
2−k
M
k
M
|u (t)| |u (t)| dx 6 ku (t)kk max cj (t)ψj (x)
6
M
x∈I j=1
6 E2
M
X
j=1
Откуда имеем
!(2−k)/2
2
|cM
j (t)|
M
X
j=1
!(2−k)/2
m2j
.
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
k
|cM
i (t)| ≤
M
X
!k/2
2
|cM
j (t)|
M
X
6 E2
j=1
71
!(2−k)/2
m2j
,
i = 1, M .
j=1
Ввиду непрерывности правой части уравнений (35), существуют абсолютно непрерывные
функции cM
i (t), t ∈ [0, ∞), i = 1, M , которые почти всюду удовлетворяют системе (35) и
начальному условию (31) (см. [11, c. 120]).
d
Умножим теперь j-е уравнение (30) на cM
(t), и затем все уравнения сложим по j от
dt j
1 до M , в результате получим равенства
n
M X
2 M
M
M k/2−1 M
aα ((uM
M = 1, ∞,
(ω )
u t , ut +
xα ) )uxα , utxα = 0,
α=1
которые можно переписать в виде
M 2
Mk
2
(k − 1)k(ω M )k/4−1 uM
k(ω M )k/4−1 uM
t u k +ε
t k +
2
n Z
1d X
2
+
Aα ((uM
M = 1, ∞.
xα (t)) )dx = 0,
2 dt α=1
(43)
Ω
После интегрирования от 0 до t, пользуясь (21), будем иметь
M 2
2
Mk
(k − 1)k(ω M )k/4−1 uM
k(ω M )k/4−1 uM
t u kD t + ε
t kDt +
2
n
1 X
2 M
M
aα ((uM
+
xα (t)) )uxα (t), uxα (t) 6
2bb α=1
6
n
1 X
2 M
M
aα ((uM
xα (0)) )uxα (0), uxα (0) ,
p1 α=1
M = 1, ∞.
Далее, виду справедливости неравенств (k − 1)(uM )2 + εM k2 ≥ (k − 1)ω M , применяя (4),
пользуясь (33), выводим
2
k(ω M )(k−2)/4 uM
t kD t
+
n
X
pα
kuM
xα (t)kpα 6 E5 ,
M = 1, ∞.
(44)
α=1
Пусть T — произвольное положительное число. Из неравенств (41), (44) следует ограT
ниченность последовательности {(ω M )1/2 }∞
M =1 в пространствах C([0, ∞), Lk (Ω)), Lk (D ),
◦
◦
0,1
1
T
последовательности {uM }∞
M =1 в пространствах C([0, ∞), W k,p (Ω)), W k,p (D ) и последо∞
T
вательности {(ω M )(k−2)/4 uM
t }M =1 в L2 (D ). Кроме того, из неравенств (42), следует ограM 2 M
ниченность последовательностей aα ((uxα ) )uxα в пространствах Lpα /(pα −1) (DT ), α = 1, n.
Установленные факты обеспечивают выборочную слабую сходимость указанных последовательностей при M → ∞ в соответствующих пространствах:
uM * u в
2 M
aα ((uM
xα ) )uxα * bα
◦
0,1
T
W k,p (D ),
в Lpα /(pα −1) (DT ),
M
α = 1, n.
M (k−2)/4 M
Кроме того, рассмотрим последовательность v = (ω )
u , M = 1, ∞ и последоваM
M (k−6)/4 M k−2 2
M
тельность ее производных vt = (ω )
ut ( 2 u + ω ), M = 1, ∞. Очевидно, из (44)
следуют неравенства
k
kvtM kDt 6 k(ω M )(k−2)/4 uM
M = 1, ∞,
(45)
t kDt 6 E6 ,
2
72
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
из которых следует выборочная слабая сходимость
vtM * g
в L2 (DT ).
Ниже докажем, что uM выборочно почти всюду в D сходится к u, это позволит установить, что g = (|u|(k−2)/2 u)t .
◦
Последовательность uM ∈ C([0, ∞), W k,p1 (Ω)), M = 1, ∞, ограничена в этом пространстве. Для каждой ограниченной области Q ⊂ Ω c гладкой границей имеем компактность вложения L1 (Q) ⊂ W11 (Q). Поэтому, диагональным процессом можно установить
выборочную сильную сходимость uM (tj , x) → h(tj , x) в L1 (Q) на счетном плотном мно∞
жестве {tj }∞
j=1 ⊂ [0, T ]. Будем полагать, что 0, T ∈ {tj }j=1 . Можно также считать, что
uM (tj , x) → h(tj , x) выборочно почти всюду в Q при каждом tj , j = 1, ∞. Совершенно
аналогично, при k ≤ p1 можно также считать, что последовательность uM (tj , x) → h(tj , x)
сильно в Lk (Q) при каждом tj , j = 1, ∞.
Следуя Ж.-Л. Лионсу [10, гл. I, §12.2] докажем выборочную сильную сходимость последовательности v M = (ω M )(k−2)/4 uM в пространстве C([0, T ], L1 (Q)). Сначала, применяя
(45), установим равностепенную непрерывность по t последовательности v M в L2 (Ω):
t
Zt2
Z 2
M
M
M
6 kvtM (t)kdt 6
v
(t)dt
kv (t2 ) − v (t1 )k = t
t1

6 |t2 − t1 |1/2 
Zt2
t1
1/2
kvtM (t)k2 dt
6 E6 |t2 − t1 |1/2 ,
t1 , t2 ∈ [0, T ],
M = 1, ∞.
(46)
t1
Из неравенств (41) заключаем равномерную по t ∈ [0, T ] ограниченность последовательности v M (t, x) в L2 (Ω):
k/2
kv M (t)k = k(ω M )(k−2)/4 uM (t)k 6 k(ω M )k/4 k = k(ω M )1/2 kk
6 E7 ,
M = 1, ∞.
Ввиду ограниченности последовательности v M (t, x), M = 1, ∞, в пространстве
C([0, T ], L2 (Ω)) она выборочно слабо сходится в L2 (Ω) при тех же tj , что и выше. Из установленной выше выборочной сходимости uM (tj , x) → h(tj , x) почти всюду в Q при каждом
tj следует выборочная сходимость v M (tj , x) → v(tj , x) = |h(tj , x)|(k−2)/2 h(tj , x) почти всюду
в Q. Далее, на основе теоремы Егорова для любого δ > 0 устанавливается равномерная
сходимость v M (tj , x) ⇒ v(tj , x) на Qδ , mes(Q\Qδ ) < δ. Отсюда, ввиду справедливости
неравенств
kv M (tj ) − v(tj )k1,Q 6 mes Q max |v M (tj , x) − v(tj , x)| + kv M (tj ) − v(tj )k1,Q\Qδ 6
x∈Qδ
6 mes Q max |v M (tj , x) − v(tj , x)| + δ 1/2 kv M (tj ) − v(tj )k2,Q\Qδ ,
x∈Qδ
следует сильная сходимость v M (tj , x) → v(tj , x) в L1 (Q) при каждом tj .
Для ограниченной области Q из (46) нетрудно установить равномерную фундаментальность последовательности v M (t, x) по норме L1 (Q):
kv N (t) − v M (t)k1,Q = kv N (t) − v N (tjl ) + v N (tjl ) − v M (tjl ) + v M (tjl ) − v M (t)||1,Q 6
6 2(mes Q)1/2 E6 |t − tjl |1/2 + kv N (tjl ) − v M (tjl )k1,Q .
Выбрав конечный набор чисел tjl с малым шагом и затем увеличивая N, M , добиваемся
равномерной по t малости правой части.
Итак, установлена выборочная сильная сходимость v M → v в C([0, T ], L1 (Q)). Сходимость будет также и в L1 ((0, T ) × Q), поэтому v M → v выборочно сходится почти всюду в
(0, T ) × Q. Благодаря произвольности Q последовательность v M выборочно сходится к v
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
73
почти всюду в DT . Кроме того, ввиду произвольности T , выбирая T = 1, 2, ..., диагональным процессом можно выделить подпоследовательность v M → v почти всюду в D при
M → ∞. Тогда и последовательность uM (t, x) выборочно сходится к h(t, x) почти всюду
в D. Согласно лемме 2, uM (t, x) * h(t, x) в Lk (DT ) при любом T > 0, в силу единственности предела h(t, x) = u(t, x) почти всюду в D. Таким образом, v M выборочно сходится
к v = |u|(k−2)/2 u почти всюду в D.
Согласно лемме 2, v M * v слабо в L2 (DT ). Далее, (vtM , w)DT = −(v M , wt )DT для любой
функции w ∈ C0∞ (DT ), переходя к пределу при M → ∞, получим
(g, w)DT = −(v, wt )DT .
Отсюда следует, что g = vt = (|u|(k−2)/2 u)t . Отметим, что принадлежность v, vt ∈ L2 (DT )
влечет v ∈ C([0, ∞), L2 (Ω)).
T
Покажем, что последовательность uM
t , M = 1, ∞, ограничена в Lk (D ). В самом деле,
из (41), (44) следует

1/k
Z
k
M (2−k)k/4
 (ω M )k(k−2)/4 |uM
kuM
dxdt 6
t kk,DT =
t | (ω )
DT
(2−k)/2
M 1/2
6 k(ω M )(k−2)/4 uM
kk,DT
t k2,DT k(ω )
6 E8 .
M
T
M
M
Из ограниченности kuM
t kk,DT следует, что ut * b в Lk (D ). Тогда (ut , w)DT = −(u , wt )DT ,
для любой функции w ∈ C0∞ (DT ), переходя к пределу при M → ∞, получим
(b, w)DT = −(u, wt )DT ,
значит b = ut . Тогда, можно считать, что uM
* ut слабо в Lk (DT ). Отметим, что из
t
T
принадлежности u, ut ∈ Lk (D ) следует u ∈ C([0, ∞), Lk (Ω)).
С одной стороны, из оценки (33) и сходимости uM (0, x) → u(0, x) почти всюду при
M → ∞, согласно лемме 2, следует слабая сходимость uM (0, x) * u(0, x) в Lk (Ω) при
M → ∞. С другой стороны, согласно выбору (32), uK (0, x) сильно сходится к ϕ(x) в
Lk (Ω). Ввиду единственности слабого предела, u(0, x) = ϕ(x) для почти всех x ∈ Ω.
Докажем, что функция u(t, x) удовлетворяет интегральному тождеству (18). Из (30)
следуют тождества
n
X
2 M
M (k−2)/2 M
M = 1, ∞,
(ω )
u t , w DT +
aα ((uM
(47)
xα ) )uxα , wxα DT = 0,
α=1
S
справедливые для любой функции w(τ, x) ∈ P = ∞
L=1 PL . Первое слагаемое проинтегрируем по частям, получим
t=T
M (k−2)/2 M
(ω )
u , w − (ω M )(k−2)/2 uM , wt DT +
(48)
t=0
+
n
X
2 M
aα ((uM
xα ) )uxα , wxα
α=1
M (k−2)/2
DT
= 0,
M = 1, ∞.
Заметим, что (ω )
|uM | 6 (ω M )(k−1)/2
∈ C([0, ∞), Lk0 (Ω)), так как
M (k−1)/2 0
M 1/2 k−1
k(ω )
kk = k(ω ) kk ограниченная последовательность в C[0, ∞). Следовательно, по лемме 2, последовательность (ω M )(k−2)/2 uM выборочно слабо сходится к |u|k−2 u в
Lk0 (DT ) и (ω M (T ))(k−2)/2 uM (T ) * |u(T )|k−2 u(T ), (ω M (0))(k−2)/2 uM (0) * |u(0)|k−2 u(0) в
Lk0 (Ω). Также можно утверждать, что (ω M (T ))1/2 * |u(T )|, (ω M (0))1/2 * |u(0)| в Lk (Ω).
То, что предельные функции будут именно такими, обосновывается установленной выше
сходимостью подпоследовательности uM почти всюду в DT , а также почти всюду в Ω при
t = 0, T .
74
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
В (48) можно перейти к пределу при M → ∞, в результате придем к тождеству
n
X
t=T
k−2
k−2
− |u| u, wt DT +
(bα , wxα )DT = 0,
|u| u, w t=0
(49)
α=1
которое справедливо для любой функции w ∈ P . Ввиду плотности P в пространстве
◦ 1,1
◦ 1,1
W k,p (DT ) (лемма 3) тождество (49) справедливо для произвольной w ∈W k,p (DT ). При
этом пользуемся тем, что |u|k−2 u ∈ Lk0 (DT ), bα ∈ Lpα /(pα −1) (DT ), α = 1, n. В частности,
для w = u, применяя равенство
t=T
Zt
1
k
k−2
(50)
(|u| u, uτ )dτ = ku(t)kk ,
k
t=0
0
выводим
n
X
α=1
(bα , uxα )DT +
t=T
ku(t)kkk − (|u|k−2 u, ut )DT =
t=T t=0n
X
k−1
=
ku(t)kkk +
(bα , uxα )DT = 0.
k
Докажем, что для любой функции v
n
X
t=0
α=1
◦ 1,1
∈W k,p (DT )
n
X
(51)
справедливо равенство
(aα ((uxα )2 )uxα , vxα )DT .
(bα , vxα )DT =
(52)
α=1
α=1
Вычтем из (37) при t = T равенства (48), для w ∈ P получим соотношения
t=T
M (k−2)/2 M
+ (ω M )(k−2)/2 uM , wt DT +
− (ω )
u , w t=0
+
k−
+
k
n
X
2 M
M
aα ((uM
− w)xα
xα ) )uxα , (u
α=1
t=T
1
M 1/2
k
k(ω ) (t)kk t=0
k
−ε
2
M
Z
M
k/2−1
(ω (t, x))
DT
+
t=T
dx
= 0,
M = 1, ∞,
t=0
IM
из которых, используя условие монотонного неубывания функций aα (z 2 )z, z ∈ R, α = 1, n,
(см. (20)), применяя неравенство (40), выводим неравенства
t=T
M (k−2)/2 M
− (ω )
u , w + (ω M )(k−2)/2 uM , wt DT +
t=0
+
n
X
aα ((wxα )2 )wxα , (uM − w)xα
DT
+
α=1
t=T
k/2
k−1
k
M 1/2
k
M k/4
k(ω ) (t)kk − (ε )
6 0, M = 1, ∞.
+
k
2
t=0
Далее, перейдем к пределу по M → ∞ для фиксированного w ∈ P , при этом используем
установленную выше сходимость.
Таким образом, для произвольной w ∈ P справедливо неравенство
n
X
t=T
k−2
k−2
− |u| u, w + |u| u, wt DT +
aα (wx2α )wxα , (u − w)xα DT +
t=0
(53)
α=1
t=T
k−1
+
ku(t)kkk 6 0.
k
t=0
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
◦
1,1
T
k,p (D ).
Согласно лемме 3 множество P плотно в пространстве W
◦
T
∈W 1,1
k,p (D )
75
Тогда для про-
найдется такая последовательность wl ∈ P , что
извольной функции w
kwl − wkW 1,1 (DT ) → 0 при l → ∞. Запишем (53) для w = wl , затем перейдем к пределу
k,p
при l → ∞. Обоснование предельных переходов при l → ∞
aα ((wxl α )2 )wxl α , (u − wl )xα DT → aα (wx2α )wxα , (u − w)xα DT , α = 1, n,
◦
приведено в [6]. Таким образом, тождество (53) установлено для произвольной w ∈W
1,1
T
k,p (D ).
Из (53) вычтем (51) и прибавим (49), в результате выводим неравенство
n
X
(aα (wx2α )wxα − bα , (u − w)xα )DT ≤ 0,
(54)
α=1
◦
◦
T
справедливое для любого w ∈W 1,1
k,p (D ). В (54) положим w = u + εv, ε > 0, где v ∈W
1,1
T
k,p (D ), получим
n
X
(aα ((uxα + εvxα )2 )(uxα + εvxα ) − bα , vxα )DT ≥ 0.
α=1
Из последнего неравенства при ε → 0 следует соотношение
n
X
(aα (u2xα )uxα − bα , vxα )DT ≥ 0,
α=1
из которого, ввиду произвольности v, будем иметь равенство (52). Из (49) и (52) для
◦
T
v ∈W 1,1
k,p (D ), заключаем справедливость тождества
k−2
− |u|
u, vt
DT
+
n
X
aα (u2xα )uxα , vxα DT
k−2
+ (|u|
t=T
u, v)
= 0.
(55)
t=0
α=1
Таким образом, (18) установлено.
Из (51), (52) следует
t
n Z
X
k−1
k−1
k
ku(t)kk +
(aα (u2xα )uxα , uxα )dτ =
kϕkkk ,
k
k
α=1
t ≥ 0,
(56)
0
дифференцируя которое по t, выводим
n
X
k−1 d
k
ku(t)kk +
(aα (u2xα )uxα , uxα ) = 0,
k dt
α=1
t > 0.
(57)
Далее, применяя (4), из (56), (57) выводим (28), (29).
Предложение 1. Обобщенное решение u(t, x) задачи (1)–(3) с ограниченной начальной
◦
функцией ϕ(x) ∈ L∞ (Ω)∩ W k,p1 (Ω) является ограниченным, т.е.
vrai sup | u(t, x) |6 B < ∞.
(58)
D
Доказательство. Покажем, что если |ϕ(x)| 6 B для почти всех x ∈ Ω, то выполняется
неравенство (58).
76
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Запишем тождество (55) при v = u(B) , где u(B) =max(u − B, 0):
!
Z
n
X
(B)
−|u|k−2 uut +
aα (u2xα )uxα u(B)
dxdt+
xα
α=1
DT
Z
k−2
|u(t, x)|
+
u(t, x)u
(B)
t=T
= 0.
(t, x)dx
t=0
Ω
Применяя (50), учитывая, что u(B) (0) = 0, получим
n Z
X
k − 1 (B)
k
ku (T )kk +
aα (u2xα )uxα u(B)
xα dxdt = 0.
k
α=1
DT
Поскольку
n Z
X
aα (u2xα )uxα u(B)
xα dxdt
=
α=1 T
D
n Z
X
2
aα (u2xα ) u(B)
dxdt ≥ 0,
xα
α=1 T
D
k
то, ввиду произвольности T > 0, ku(B) (t)kk 6 0 для всех t ≥ 0, следовательно u(B) (t, x) = 0
для всех t ≥ 0 при почти всех x ∈ Ω. Отсюда следует, что u(t, x) 6 B.
Выполнив аналогичные действия для функции ũ = −u, установим, что u(t, x) ≥ −B.
Допустимая скорость убывания решения
3.
Поскольку единственность решения задачи (1)–(3) не установлена, фактически будет
получена оценка снизу только для построенного решения.
Доказательство теоремы 2. Сначала предположим, что область Ω является ограниченной, и докажем оценку (8) для галеркинских приближений.
Введем обозначения
n Z
n Z
X
X
M 2
M 2
M
2
M
aα ((uxα ) )(uxα ) dx, H (t) =
Aα ((uM
G (t) =
xα ) )dx,
α=1 Ω
M
Z E (t) =
α=1 Ω
1/2
k−1 M
2
k/2
Mk
M
(k−2)/2
(ω (t)) − ε
(ω (t))
dx +
(εM )k/4 ,
k
2
k
IM
пользуясь (21), получим неравенства
p1 M
H (t) 6 GM (t) 6 bbH M (t),
2
Перепишем равенства (36), (43) в виде
t ≥ 0.
dE M (t)
+ GM (t) = 0, t > 0,
dt
Z k M
1 dH M (t)
M 2
2
(k − 1)(u ) + ε
(ω M )(k−4)/2 (uM
)
+
= 0,
t
2
2 dt
(59)
(60)
t > 0.
(61)
IM
Применяя интегральное неравенство Коши-Буняковского, устанавливаем соотношения

2
M 2
Z k
dE (t)
 6
=
(k − 1)(ω M )(k−2)/2 + εM (2 − k)(ω M )(k−4)/2 uM uM
t dx
dt
2
IM
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .

1/2 

Z

6 (k − 1) 
2
(ω M )(k−4)/2 (uM )2 (uM
t )

+εM
k
2
(ω M )k/2 
+
IM
1/2 

Z
1/2
Z
IM
77
2
(ω M )(k−4)/2 (uM
t )
IM
Z

1/2 2

(2 − k)(ω M )(k−2)/2   .
IM
Используя неравенство Коши-Буняковского для сумм, согласно (61), (40), выводим
M 2 Z dE (t)
M 2
Mk
2
(k − 1)(u ) + ε
6
(ω M )(k−4)/2 (uM
t ) dx×
dt
2
Z IM
M k/2
Mk
M (k−2)/2
(k − 1)(ω ) + (2 − k)ε
×
dx 6
(ω )
2
(62)

 IM
1/2
Z 

2
M
k
2
1 dH (t)
6−
(k − 1)(ω M )k/2 − εM (ω M )(k−2)/2 dx + k
(εM )k/4 =

2 dt 
2
k
IM
k dH M (t)
E(t).
2 dt
Из (62), (60), (59) следуют неравенства
=−
dE M (t) M
p1 dE M (t) M
k M dH M (t)
E (t)
6
G (t) 6
H (t),
2
dt
dt
2
dt
которые перепишем в виде
dH M (t) M
p1 dE M (t) M
/H (t) 6
/E (t).
dt
k
dt
Решая дифференциальное неравенство, применяя (59), получаем оценки
1 M
G (t) 6 H M (t) 6 H M (0)(E M (t))p1 /k /(E M (0))p1 /k , t > 0.
bb
(63)
Далее, соединяя (60), (63), (59), выводим соотношения
dE M (t)
≥ −bbH M (0)(E M (t))p1 /k /(E M (0))p1 /k ≥
dt
2bb
≥ − GM (0)(E M (t))p1 /k /(E M (0))p1 /k ,
p1
которые перепишем в виде
dE M (t)
2bb
/(E M (t))p1 /k ≥ − GM (0)/(E M (0))p1 /k .
dt
p1
Решая дифференциальное неравенство, получаем оценку
!−k/(p1 −k)
2(p1 − k)bb M
M
M
M
G (0)/E (0) + 1
,
E (t) ≥ E (0) t
kp1
t > 0.
(64)
Для фиксированного t > 0 при k ≤ p1 в случае ограниченной области Ω последовательность uM (t, x) выборочно сильно сходится при M → ∞ к u(t, x) в пространстве Lk (Ω).
Очевидно,
1/2
k−1
2
M
M 1/2
k
E (t) 6
k(ω ) (t)kk +
(εM )k/4 , M = 1, ∞,
k
k
78
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
и, согласно (38), выполнено неравенство
k−1
ku(t)kkk = E(t).
k
Кроме того, ввиду (40), справедливы неравенства
!
1/2
2
2 − k M k/4
k−1
k−1 M
k
M
ku (0)kk +
(ε )
=
kϕkkk ,
lim E (0) ≥ lim
M →∞
M →∞
k
k
2
k
lim E M (t) 6
M →∞
M
lim G (0) 6 lim b
a
M →∞
M →∞
n
X
pα
kuM
xα kpα
=b
a
n
X
kϕxα kppαα .
α=1
α=1
После предельного перехода в (64) при M → ∞ получим
−k/(p1 −k)
1 (Ω) )t)
ku(t)kkk ≥ kϕkkk (1 + C(kϕkWk,p
.
(65)
Установим теперь оценку (65) для решения задачи (1)–(3) в неограниченной области Ω.
∞
S
Пусть Ω(l) ⊂ Ω — ограниченные подобласти такие, что Ω(l) ⊂ Ω(l+1) , l = 1, ∞,
Ω(l) = Ω.
l=1
Через u(l) обозначим решения в Ω(l) с финитной начальной функцией (supp ϕ ⊂ Ω(1) ),
можно считать эти решения продолженными нулем вне Ω(l) . Сходимость последовательности u(l) (t, x) к u(t, x) решению задачи (1)–(3) при l → ∞ устанавливается практически
также как в теореме 4.
Свойство (25) обеспечивает оценку
ku(l) kWk,p1 (Ω) 6 C,
l = 1, ∞.
t > 0,
◦
Тогда при фиксированном t > 0 можно считать, что u(l) (t, x) * u(t, x) в W 1k (Ωr ) при
l → ∞. Пользуясь компактностью вложения Wk1 (Ωr ) ⊂ Lk (Ωr ), устанавливаем сильную
сходимость u(l) (t, x) → u(t, x) в Lk (Ωr ) при l → ∞ для любого r > 0. Благодаря оценке (7)
для любого ε существует r такое, что выполнено неравенство
ku(l) (t)kkk,Ωr 6 ε.
Для u(l) справедлива оценка (65), тогда
−k/(p1 −k)
1 (Ω) )t)
ku(l) (t)kkk,Ωr ≥ kϕkkk (1 + C(kϕkWk,p
− ε.
Пользуясь сильной сходимостью в Lk (Ωr ), переходим к пределу при l → ∞, затем по
r → ∞ (ε → 0). Таким образом, оценка (8) установлена в неограниченной области Ω для
произвольного t ≥ 0.
4.
Оценки сверху
В этом параграфе будет доказана теоремы 1, 3 из введения.
Доказательство теоремы 1. Пусть ξ(xs ) липшицева неотрицательная срезающая функция. Положим в (55) v = uξ, пользуясь (50), получим соотношение
τ =t
Z
n Z
X
k−1
k |u| ξ dx +
aα (u2xα )uxα (uξ)xα dxdτ = 0.
k
τ =0
α=1
Dt
Ω
Далее, применяя (4), получаем (с учетом того, что ξϕ = 0)
Z
n Z
X
k−1
k
|u(t, x)| ξ(xs )dx + a
ξ|uxα |pα dxdτ 6
k
α=1
Ω
Dt
(66)
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
Z
6b
a
79
|u||uxs |ps −1 ξ 0 (xs )dxdτ ≡ I t .
Dt
Пусть θ(x), x > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при x ≥ 1, нулю
при x ≤ 0, линейная при x ∈ [0, 1]. В (66) положим ξ(xs ) = θ((xs − r)/ρ), очевидно
1
ξ 0 (xs ) = , x ∈ (r, r + ρ), ξ 0 (xs ) = 0, x 6∈ (r, r + ρ).
(67)
ρ
Оценим интеграл
Zt Z
b
a
t
I =
|u||uxs |ps −1 dxdτ.
ρ
0 Ωr+ρ
r
Используя неравенство Юнга, применяя (58), для любого ε > 0 выводим


t Z
Zt Z
Z
εps ps −k
b
a  ps − 1

|uxs |ps dxdτ +
|u|k dxdτ  .
It 6
B

ερ
ps
ps
0 Ωr+ρ
r
(68)
0 Ωr+ρ
r
Cоединяя (66), (68), получаем неравенство
Z
n Zt Z
X
k−1
|u(t, x)|k dx + a
|uxα |pα dxdτ 6
k
α=1
(69)
0 Ωr+ρ
Ωr+ρ


Zt Z
Zt Z
C1 

|uxs |ps dxdτ + εps
|u|k dxdτ  .
6

ερ
0 Ωr+ρ
r
0 Ωrr+ρ
Введем обозначение
Z
k
|u(t, x)| dx +
Fr (t) =
n Zt Z
X
|uxα |pα dxdτ,
α=1 0
Ωr
Ωr
тогда (69) можно переписать в виде

Fr+ρ (t) 6
C2 
Fr (t) + εps
ερ
Zt

Fr (τ )dτ  .
(70)
0
Далее индукцией по l установим неравенство
( l−1
)−1/ps
l
Y
2C2
FR0 +lρ (t) 6 C
tl/ps
(1 + i/ps )
kϕkkk ,
ρ
i=0
l = 0, ∞.
(71)
В качестве нулевого шага индукции из неравенства (28) для любых t > 0 имеем неравенство FR0 (t) 6 Ckϕkkk . Предположим, что (71) справедливо для некоторого целого l ≥ 0.
h
i1/ps
s)
Подставляя в (70) ε = (1+l/p
, r = R0 + lρ, с учетом (71), получаем
t
( l
)−1/ps
l+1
Y
C2
l
1/ps
FR0 +(l+1)ρ (t) 6 C2
t
(1 + i/ps )
kϕkkk ×
ρ
i=0


( l
)−1/ps
t
l+1
Z


Y
1
+
l/p
2C
s
2
× tl/ps +
τ l/ps dτ = C
t(l+1)/ps
(1 + i/ps )
kϕkkk .


t
ρ
i=0
0
80
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Неравенство (71) доказано.
Положим ρ = (r − R0 )/l. Используя неравенство Стирлинга, из (71) нетрудно получить
l
(r − R0 )ps
Fr (t) 6 C3 exp − ln
kϕkkk .
(72)
ps
C4 tlps −1
1/(ps −1)
(r − R0 )ps
Полагая l равным целой части выражения
, из неравенства (72) полуeC4 t
чим
1/(ps −1) !
(r − R0 )ps
kϕkkk .
(73)
Fr (t) 6 C5 exp −C6
t
В случае, когда l = 0 неравенство (73) следует из соотношения (28). В итоге, при r ≥ 2R0
из (73) следует оценка (7).
Доказательство теоремы 3 проводится на основе следующего утверждения.
Утверждение 1. Пусть область расположена вдоль оси Oxs , s ∈ 2, n и выполнены
условия (13), (6). Тогда найдутся положительные числа κ(ps , k), M(ps , k) такие, что
для построенного ограниченного решения u(t, x) задачи (1)–(3) при всех t ≥ 0, r ≥ 2R0
справедлива оценка


Zr
ku(t)kk,Ωr 6 M exp −κ ν p1 /ps (ρ)dρ kϕkk .
(74)
1
Доказательство. Пусть θ(x), x > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице
при x ≥ r, нулю при x ≤ R0 , линейная при x ∈ [R0 , 2R0 ] и удовлетворяющая уравнению
θ0 (x) = δν p1 /ps (x)θ(x),
x ∈ (2R0 , r),
(75)
(постоянную δ определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что


Zr
1
θ(2R0 )
=
exp −δ
θ0 (x) =
ν p1 /ps (ρ)dρ , x ∈ (R0 , 2R0 ).
(76)
R0
R0
2R0
Для любой функции v(x) ∈
C0∞ (Ω)
из определения функции ν(ρ) следует неравенство
ν(ρ)kvkp1 ,γρ ≤ kvx1 kp1 ,γρ ,
ρ > 0,
из которого следует соотношение
Zr
Zr
ps
p1
p1
θ (ρ)ν (ρ)kvkp1 ,γρ dρ ≤
θps (ρ)kvx1 kpp11 ,γρ dρ.
(77)
2R0
2R0
Применяя (77) для любой функции v ∈ C0∞ (Ω) при s ∈ 2, n выводим
Zr
Zr
p1
ps
ps
ps −p1
ν p1 (ρ)θps (ρ)kvkpp11 ,γρ dρ 6
ν (ρ)θ (ρ)kvkps ,γρ dρ ≤ max |v(x)|
Ω
2R0
2R0
ps −p1
Zr
6 max |v(x)|
Ω
θps (ρ)kvx1 kpp11 ,γρ dρ.
(78)
2R0
◦
Отметим, что неравенства (78) справедливы для любой ограниченной функции v ∈W 1k,p (Ω)
(см. [6, следствие 1]).
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. . .
В (66) положим ξ(xs ) = θps (xs ), получаем
Z
n Z
X
k−1
k ps
θps |uxα |pα dxdτ 6
|u(t, x)| θ (xs )dx + a
k
α=1
81
(79)
Dt
Ω
Zt Z
|u||uxs |ps −1 ps θ0 (xs )θps −1 (xs )dxdτ ≡ b
aI t .
6b
a
0
Ω
Используя неравенство Юнга выводим
Zt Z
I t 6 ε(ps − 1)
|uxs |ps θps dxdτ +
0
Zt Z
1
|u|ps (θ0 (xs ))ps dxdτ.
εps −1
0
Ω
(80)
Ω
a 1
, соединяя (79), (80), получаем неравенство
b
a ps − 1
Z
Z
Z
n
X
k−1
ps
pα
k ps
θ |uxα | dxdτ 6 C7 |u|ps (θ0 (xs ))ps dxdτ.
|u(t, x)| θ (xs )dx + a
k
α=1,α6=s
Выберем ε =
Dt
Ω
(81)
Dt
Пользуясь (75), (76), нетрудно привести (81) к виду
Z
Z
n
X
k−1
k ps
|u(t, x)| θ (xs )dx + a
θps |uxα |pα dxdτ 6
k
α=1,α6=s
(82)
Dt
Ω

1
6 C7 ps exp −δps
R0
Zr

ν p1 /ps (ρ)dρ
Zt Z
|u|ps dxdτ +
0 Ω2R0
R
2R0
0
+C7 δ
ps
Zt
Z
0 Ωr2R
|u|ps ν p1 (xs )θps (xs )dxdτ = I1t + I2t .
0
Используя [6, неравенство (73)], применяя соотношение (28), выводим

 t


Zr
Z
Zr
I1t 6 C8 exp −δps
ν p1 /ps (ρ)dρ kuxs kppss dτ 6 C9 exp −δps
ν p1 /ps (ρ)dρ kϕkkk . (83)
0
2R0
2R0
Применяя (78), получаем
I2t 6 C10 δ ps
Zt Z
0 Ωr2R
Выбирая δ =
a
C10
|ux1 |p1 θps dxdτ.
(84)
0
1/ps
, соединяя (82) – (84), выводим
Zt
n
X
k−1
ku(t)kkk,Ωr + a
k
α=2,α6=s
0

kuxα (t)kpΩαr dτ 6 C9 exp −C11
Zr

ν p1 /ps (ρ)dρ kϕkkk .
1
Неравенство (74) доказано.
Далее, теорема 3 доказывается на основе оценки (74) аналогично доказательству [6, теоремы 3].
82
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t → ∞ решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка
// Матем. сб. Т. 191, №2. 2000. C. 91–131.
2. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, №7. 2005. C. 67–100.
3. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических
уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. Т. 201, №9.
2010. C. 3–26.
4. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. L1 − L∞ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными
данными // Матем. сб. Т. 198, №5. 2007. C. 45—66.
5. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического
уравнения с двойной нелинейностью// Уфимск. матем. журн. Т. 3, №3. 2011. С.3-14.
6. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения
с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №4. 2011. C. 64—85.
7. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. Т. 44, №10. 1992. С. 1441–1450.
8. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy.
Soc. Edinburgh. V. 91, №3-4. 1981/1982. P. 335–346.
9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.
10. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 596 с.
11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИИЛ. Т. 2. 1954.
Лариса Михайловна Кожевникова,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: kosul@mail.ru
Алексей Александрович Леонтьев,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: axe1erat@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа