close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уклонение от группы инерционных объектов в игре четвертого порядка.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и инорматики УдУ. 2013. Вып. 2 (42)
УДК 517.934
Л. С. Чиркова
УКЛОНЕНИЕ ОТ УППЫ ИНЕЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ
1
В ИЕ ЧЕТВЕТОО ПОЯДКА
ассматривается задача о конликтном взаимодействии одного убегающего с группой преследователей при
равных динамических возможностях всех игроков. Движение каждого из них описывается диеренциальным
уравнением четвертого порядка. В начальный момент времени заданы начальные условия. Доказано, что если
ноль не принадлежит выпуклой оболочке, натянутой на векторы начальных условий, то в игре происходит
уклонение от встречи.
Ключевые слова :
диеренциальные игры, групповое преследование, азовые ограничения, уклонение от
встречи.
Введение
В [1? были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей
одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями всех участников. Показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей.
В работе [2? исследована задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследователей, скорости которых
также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Доказано, что
в игре происходит уклонение от встречи из любых начальных позиций.
В [3? рассматривается задача простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью убегающего, так и участники, у которых
максимальные скорости строго меньше максимальной скорости убегающего, и при этом убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены условия, при
которых преследователи с меньшими возможностями не влияют на разрешимость задачи уклонения.
Задачи уклонения, в которых возможности убегающего превосходят возможности преследователей, рассматривались В. Л. Заком. В работе [4? доказана возможность уклонения из любых
начальных позиций в диеренциальных играх второго порядка при условии, что возможности убегающего больше возможностей преследователей.
В работах [5, 6? рассматривалась задача преследования группой преследователей одного
убегающего при условии, что все участники обладают равными возможностями, а закон движения каждого из них диеренциальное уравнение второго порядка с постоянными коэициентами. Было получено достаточное условие уклонения от встречи при дискриминации
преследователей.
Нестационарная задача уклонения в диеренциальных играх второго порядка расматривалась в работах [7, 10?.
В [8? рассматривалась задача о преследовании одного убегающего группой преследователей. Уравнение движения участников игры диеренциальное уравнение третьего порядка.
Получены достаточные условия уклонения от встречи в игре с равными возможностями участников.
В данной работе найдены достаточные условия уклонения от встречи при условии, что
все участники обладают равными возможностями, преследователи дискриминированы, закон
движения каждого из участников диеренциальное уравнение четвертого порядка.
Стратегия уклонения убегающего имеет определенное сходство со стратегией уклонения
из работы [8? и строится следующим образом. До сближения с очередным преследователем
1
абота поддержана ФФИ (грант ќ 120100195).
58
и далее, после того как данный преследователь будет оставлен позади, убегающий выбирает
постоянное управление. При сближении с очередным преследователем либо строится специальное управление, позволяющее уклониться от встречи на достаточно малом отрезке времени,
либо управление убегающего выбирается равным управлению преследователя. Если убегающий встречается с несколькими преследователями, то маневр ѕобходаї совершается по очереди, подпуская следующего преследователя ближе, чем предыдущего. Так как преследователей
конечное число, то такой маневр позволяет избежать поимки.
абота примыкает к исследованиям [9, 11, 12?.
џ 1. Постановка задачи
В пространстве Rk (k > 2) рассматривается диеренциальная игра n + 1 лиц: n преследователей P1 , . . . , Pn и убегающий E . Закон движения каждого из преследователей имеет вид
xiv
i = ui ,
xi (0) =
x0i ,
x?0i ,
x?i (0) =
kui k 6 1,
x?i (0) = x?0i ,
(1)
...
...
x i (0) = x 0i .
Закон движения убегающего имеет вид
y iv = v,
y(0) = y 0 ,
y?(0) = y? 0 ,
kvk 6 1,
...
...
y (0) = y 0 .
(2)
z?i (0) = z?i0 = x?0i ? y? 0 ,
...
...
...
...
z i (0) = z 0i = x 0i ? y 0 ,
(3)
y?(0) = y? 0 ,
Вместо систем (1), (2) рассмотрим систему:
ziiv = ui ? v,
zi (0) = zi0 = x0i ? y 0 ,
z?i (0) =
z?i0
=
x?0i
0
? y? ,
полученную заменой zi = xi ? y .
Пусть N множество натуральных чисел, Nq = {1, . . . , q}, Qrm = {r + 1, . . . , r + m}. Обозначим через Int X , ?X , co X соответственно внутренность, границу и выпуклую оболочку
множества X ? Rk . И пусть S = {x ? Rk | kxk 6 1}.
О п р е д е л е н и е 1. оворят, в диеренциальной игре (3) возможно убегание из началь...
...
ного состояния z 0 = (z10 , z?10 , z?10 , z 01 , . . . , zn0 , z?n0 , z?n0 , z 0n ), если по любым измеримым ункциям
ui (t), 0 6 t < +?, ui (t) ? S, i ? Nn , можно построить такую измеримую ункцию v(t),
6 0 ? i ? Nn , t > 0.
0 6 t < +?, v(t) ? S, что kzi (t)k =
При этом в момент t > 0 управление убегающего ормируется на основе инормации о со...
...
стоянии z 0 = (z1 (s), z?1 (s), z?1 (s), z 1 (s), . . . , zn (s), z?n (s), z?n (s), z n (s)) при s 6 t и о значениях
ui (t), i ? Nn в тот же момент времени. Управление преследователей в момент t > 0 ормируется на основе инормации о состоянии z(t) диеренциальной игры (3). Обозначим данную
игру через ?.
џ 2. ешение задачи
n ...
S
z 0i }, тогда в диеренциальной
0 ?
/ co {
i=1
...
...
z 0 = (z10 , z?10 , z?10 , z 01 , . . . , zn0 , z?n0 , z?n0 , z 0n ) возможно убегание.
Т е о р е м а 1.
состояния
Пусть
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0 ?
/ co {
игре
?
из начального
n ...
S
z 0i }. На основании теоремы об отделимости вы-
i=1
пуклых множеств существуют вектор p ? ?S и число ? > 0 такие, что
...
max ( z 0i , p) 6 ?2?.
16i6n
(4)
Введем обозначения:
?1 (t) = min (kz?i (t)k),
16i6n
?2 (t) = min (kz?i (t)k), ?3 (t) = min (kzi (t)k),
16i6n
16i6n
p
p
p
? = min{1, ?, ?1 (0), ?2 (0), ?3 (0)}.
59
(5)
Случай 1.
Пусть max (zi0 , p) 6 0, max (z?i0 , p) 6 0, max (z?i0 , p) 6 0. Зададим управление
16i6n
16i6n
16i6n
убегающего следующим образом: v(t) = p, t ? [0, +?). Тогда
Z t
t3 ...
(t ? ? )3
t2
· (ui (? ) ? p) d?,
zi (t) = zi0 + t · z?i0 + · zЁi0 + · zi0 +
(6)
2
3!
3!
0
Z t
(t ? ? )3
t3 ...0
t2
0
0
0
· (ui (? ) ? p, p) d? < 0,
(zi (t), p) = (zi , p) + t · (z?i , p) + · (z?i , p) + · ( z i , p) +
2
3!
3!
0
...
так как (zi0 , p) 6 0, (z?i0 , p) 6 0, (z?i0 , p) 6 0 в силу предположения, ( z 0i , p) 6 ?2? в силу неравенства (4), (ui (? ) ? p, p) 6 0 из определения вектора p. В случае 1 убегание доказано.
0
Случай 2. Предположим, что неравенство (z?l , p) > 0 справедливо для некоторого l ? Nn
0
0
и (z?i , p) 6 0 ?i ? Nn \{l}. При этом max (z?i , p) 6 0, max (zi0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения,
16i6n
16i6n
гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 . Пусть
?
?1 = ,
4
?1 = ?
?1 (?1 )2
+
.
3
12
(7)
Справедливы неравенства ?1 (0) > ?1 , ?2 (0) > ?1 , ?3 (0) > ?1 . Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ),
где t1 либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо +?. Пусть t1 < +?, тогда
на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(t) будем выбирать специальным образом, а при
t > t1 + ?1 опять положим равным p. При выбранном таким образом управлении убегающего E
преследователь Pi , i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры. Действительно, из
определения числа ?1 и неравенства (4) следует, что
Z t
(t ? ? )3
t3 ...
t2
· (ui (? ) ? v(? ), p) d? =
(zi (t), p) = (zi0 , p) + t · (z?i0 , p) + · (z?i0 , p) + · ( z 0i , p) +
2
3!
3!
0
Z t
(t ? ? )3
t3 ...0
t2
0
0
0
· (ui (? ) ? p, p) d? < 0
= (zi , p) + t · (z?i , p) + · (z?i , p) + · ( z i , p) +
2
3!
3!
0
при любом t > 0 и любых управлениях ui (s), s ? [0, +?), v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ). На основе
6 0 при t > 0, i ? Nn \ {l}. Так
рассуждений, приведенных в случае 1, заключаем, что kzi (t)k =
...
как (z?l (t1 ), p) > 0, ( z l (t1 ), p) < ??, то при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t1 , t1 + ?1 ]
? 3 ...
?2
(zl (t1 + ?1 ), p) = (zl (t1 ), p) + ?1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · ( z l (t1 ), p)+
2
3!
Z t1 +?1
?12
?13
?4
(t1 + ?1 ? ? )3
(ul (? ) ? v(? ), p) d? <
· ?1 ? ? ? 1 = 0.
+
3!
2
3!
4!
t1
Следовательно, в момент t = t1 + ?1 состояние диеренциальной игры (3) соответствует
рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению ul (s) можно
6 0 при t ? [t1 , t1 + ?1 ], то
построить управление v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ), такое, что kzl (t)k =
0
разрешимость задачи убегания из начального состояния z будет доказана. Предположим, что
(zl (t1 ), z?l (t1 )) = ?kzl (t1 )k · kz?l (t1 )k.
(8)
Векторы zl (t1 ), z?l (t1 ) линейно зависимы, поэтому существует вектор ? ? ?S такой, что
(zl (t1 ), ?) = (z?l (t1 ), ?) = 0. Пусть ?1 ? (0, ?1 ) некоторое число такое, что при произвольных
управлениях ul (s), v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ], справедливо неравенство (z?l (t1 + ?1 ), p) > 0. Покажем,
что если на отрезке [t1 , t1 + ?1 ] управление v(s) выбирать так, чтобы
(
1, если (ul (s), ?) 6 0,
(v(s), ?) =
(9)
?1, если (ul (s), ?) > 0,
то существует такое число ?1 ? [0, ?1 ), что
(zl (t1 + ?1 ), z?l (t1 + ?1 )) 6= ?kzl (t1 + ?1 )k · kz?l (t1 + ?1 )k.
60
(10)
При t > t1 введем в рассмотрение ункции f1 (t), f2 (t), f3 (t) и f4 (t).
Z t
...
z
(ul (s) ? v(s), ?) ds.
f4 (t) = ( l (t), ?) =
(11)
t1
Функции f1 (t), f2 (t), f3 (t), f4 (t), t1 6 t 6 t1 + ?1 , удовлетворяют системе уравнений
f?1 (t) = f2 (t), f?2 (t) = f3 (t),
f?3 (t) = f4 (t), f?4 (t) = (ul (t) ? v(t), ?).
(12)
Причем f1 (t1 ) = f2 (t1 ) = f3 (t1 ) = f4 (t1 ) = 0. Из уравнений (12) следует, что f4 (t) 6? 0 на отрезке
[t1 , t1 + ?1 ].
Множество G = {t ? (t1 , t1 + ?1 ) | f4 (t) 6= 0} непусто и открыто, поэтому представимо
S
в виде G = (?j , ?j ), где {(?j , ?j )} взаимно не пересекающаяся не более чем счетная система
j
интервалов. Пусть (?j , ?j ) некоторый интервал из этой системы. Тогда f4 (?j ) = f4 (?j ) = 0,
f4 (t) 6= 0 на (?j , ?j ). Если f3 (?j ) 6= 0, то f?3 (t) = f4 (t) 6= 0, f?2 (t) = f3 (t) 6= 0 на (?j , ?j )
(в силу определения управления v ) и f3 (?j ) 6= 0, f2 (?j ) 6= 0. Следовательно, соотношение (10)
выполнено при t1 + ?1 = ?j . Если (zl (t1 ), z?l (t1 )) 6= ?kzl (t1 )k · kz?l (t1 )k, то полагаем ?1 = 0.
Итак, управление v(s) убегающего E на [t1 , t1 + ?1 ) выбираем в соответсвии с правилом (9),
и в момент t1 + ?1 выполнено (10). Далее полагаем v(s) = ul (s) при s ? [t1 + ?1 , t1 + ?1 ). Тогда
Z t?t1 ??1
z?l (t1 + ?1 ) ds
zl (t) = zl (t1 + ?1 ) + (t ? t1 ? ?1 ) · z?l (t1 + ?1 ) +
0
при t1 6 t 6 t1 + ?1 , следовательно, kzl (t)k =
6 0.
Таким образом, по любой измеримой ункции ul (s), ul (s) ? S, можно построить такое
6 0 при t ? [t1 , t1 + ?1 ], и возможность убегания в случае 2
управление v(s) ? S , что kzl (t)k =
доказана.
0
0
0
Случай 3. Пусть (z?l , p) > 0 для некоторого l ? Nn и (z?i , p) 6 0 ?i ? Nn \{l}, max (zi , p) 6 0,
16i6n
max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
16i6n
такого начального состояния z 0 . Определим ?1 , ?1 следующим образом:
?1 =
?
,
4
?1 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
.
3!
4!
(13)
Справедливы неравенства ?1 (0) > ?1 , ?2 (0) > ?1 , ?3 (0) > ?1 . Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ),
где t1 либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо +?. Пусть t1 < +?, тогда
на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(t) будем выбирать специальным образом, а при
t > t1 + ?1 опять положим равным p. При выбранном таким образом управлении убегающего E
преследователь Pi , i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры. Действительно, из
определения числа ?1 и неравенства (4) следует, что
Z t
t2
(t ? ? )3
t3 ...0
0
0
0
(zi (t), p) = (zi , p) + t · (z?i , p) + · (z?i , p) + · ( z i , p) +
· (ui (? ) ? v(? ), p) d? =
2
3!
3!
0
Z t
(t ? ? )3
t3 ...0
t2
0
0
0
z
· (ui (? ) ? p, p) d? < 0
= (zi , p) + t · (z?i , p) + · (z?i , p) + · ( i , p) +
2
3!
3!
0
при любом t > 0 и любых управлениях ui (s), s ? [0, +?), v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ). На основе
6 0 при t > 0, i ? Nn \ {l}.
рассуждений, приведенных в случае 1, заключаем, что kzi (t)k =
...
Так как (z?l (t1 ), p) > 0, ( z l (t1 ), p) < ??, то при любых управлениях ul (s), v(s) на [t1 , t1 + ?1 ]
?2
? 3 ...
(zl (t1 + ?1 ), p) = (zl (t1 ), p) + ?1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · ( z l (t1 ), p) +
2
3!
Z t1 +?1
?13
?4
(t1 + ?1 ? ? )3
+
(ul (? ) ? v(? ), p) d? < ?1 · ?1 ? ? ? 1 = 0.
3!
3!
4!
t1
61
Следовательно, в момент t = t1 + ?1 состояние диеренциальной игры (3) соответствует
рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению ul (s) можно
построить управление v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ), такое, что kzl (t)k =
6 0 при t ? [t1 , t1 + ?1 ], то
разрешимость задачи убегания из начального состояния z 0 будет доказана. Предположим, что
(14)
(zl (t1 ), z?l (t1 )) = ?kzl (t1 )k · kz?l (t1 )k.
Векторы zl (t1 ), z?l (t1 ) линейно зависимы, поэтому существует вектор ? ? ?S такой, что
(zl (t1 ), ?) = (z?l (t1 ), ?) = 0. Пусть ?1 ? (0, ?1 ) некоторое число такое, что при произвольных
управлениях ul (s), v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ], справедливо неравенство (z?l (t1 + ?1 ), p) > 0. Покажем,
что если на отрезке [t1 , t1 + ?1 ] управление v(s) строится в соответствии с правилом (9), то
существует такое число ?1 ? [0, ?1 ), что
(15)
(zl (t1 + ?1 ), z?l (t1 + ?1 )) 6= ?kzl (t1 + ?1 )k · kz?l (t1 + ?1 )k.
При t > t1 введем в рассмотрение ункции (11), удовлетворяющие системе уравнений (12),
f4 (t) 6? 0 на отрезке [t1 , t1 + ?1 ], поэтому можно использовать введенное в случае 2 множество G. Для интервала (?j , ?j ) из этого множества будут выполняться те же самые условия,
что и в случае 2, следовательно, соотношение (15) выполнено при t1 + ?1 = ?j .
Если (zl (t1 ), z?l (t1 )) 6= ?kzl (t1 )k · kz?l (t1 )k, то полагаем ?1 = 0.
Итак, управление v(s) убегающего E на [t1 , t1 +?1 ) выбираем в соответствии с правилом (9),
и в момент t1 + ?1 выполнено (15). Далее полагаем v(s) = ul (s) при s ? [t1 + ?1 , t1 + ?1 ). Тогда
Z t?t1 ??1
z?l (t1 + ?1 ) ds
zl (t) = zl (t + ?1 ) +
0
при t1 6 t 6 t1 + ?1 , следовательно, kzl (t)k =
6 0.
Таким образом, по любой измеримой ункции ul (s), ul (s) ? S, можно построить такую
измеримую ункцию v(s) ? S , что kzl (t)k =
6 0 при t ? [t1 , t1 + ?1 ], и возможность убегания
в случае 3 доказана.
0
0
0
Случай 4. Пусть (zl , p) > 0 для некоторого l ? Nn , (zi , p) 6 0 ?i ? Nn \{l}, а max (z?i , p) 6 0,
16i6n
max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
16i6n
такого начального состояния z 0 . Пусть
?
?1 = ,
4
?1 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
(16)
Справедливы неравенства ?1 (0) > ?1 , ?2 (0) > ?1 , ?3 (0) > ?1 . Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ),
где t1 либо момент, в который kzl (t1 )k = ?1 и (zl (t1 ), p) > 0, либо +?.
Пусть t1 < +?, тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(t) будем выбирать специальным образом, а при t > t1 + ?1 опять положим равным p. При выбранном таким образом
управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход
игры.
...
Так как (zl (t1 ), p) > 0, ( z l (t1 ), p) < ??, то при любых управлениях ul (s), v(s) на [t1 , t1 + ?1 ]
?2
? 3 ...
(zl (t1 + ?1 ), p) = (zl (t1 ), p) + ?1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · ( z l (t1 ), p) +
2
3!
Z t1 +?1
?13
?4
(t1 + ?1 ? ? )3
(ul (? ) ? v(? ), p) d? < ?1 ? ? ? 1 = 0.
+
3!
3!
4!
t1
Следовательно, в момент t = t1 + ?1 состояние диеренциальной игры (3) соответствует
рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению ul (s) можно
6 0 при t ? [t1 , t1 + ?1 ], то
построить управление v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ), такое, что kzl (t)k =
0
разрешимость задачи убегания из начального состояния z будет доказана.
Пусть выполнено (14). Векторы zl (t1 ), z?l (t1 ) линейно зависимы, поэтому существует вектор
? ? ?S такой, что (zl (t1 ), ?) = (z?l (t1 ), ?) = 0. И пусть ?1 ? (0, ?1 ) некоторое число такое,
62
что при произвольных управлениях ul (s), v(s), s ? [t1 , t1 + ?1 ], неравенство (zl (t1 + ?1 ), p) > 0
выполнено. Покажем, что если на отрезке [t1 , t1 + ?1 ] управление v(s) строится в соответствии
с правилом (9), то существует такое число ?1 ? [0, ?1 ), что выполнено (15).
При t > t1 введем в рассмотрение ункции (11), удовлетворяющие системе уравнений (12),
и проведем рассуждения, аналогичные случаю 3. Убегание в случае 4 доказано.
0
Случай 5a. Предположим, что неравенство (z?l , p) > 0 справедливо для некоторого l ? Nn ,
0
0
(z?j , p) > 0 для некоторого j ? Nn \ {l} и (z?i , p) 6 0 ?i ? Nn \ {l}, (z?i0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {j}.
При этом max (zi0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи
16i6n
убегания из такого начального состояния z 0 . Пусть
?
?1 = ,
4
?1 = ?
?1 (?1 )2
+
,
3
12
?2 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
.
3!
4!
(17)
Справедливы неравенства ?1,2,3 (0) > ?1 , ?1,2,3 (0) > ?2 . Определим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1
либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо +?.
Пусть t1 < +?, тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(s) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Pj . Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 )
не выполнено равенство kz?j (t)k = ?2 , то управление нужно выбирать как в случае 2. Затем
положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор пока s < t2 , где t2 момент, в который выполнено
kz?j (t2 )k = ?2 и (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать таким же
образом, что и в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (17). Далее полагаем
v(s) = p, s > t2 + ?1 .
ассмотрим ситуацию, когда сближение с j -м преследователем происходит раньше чем с
l-м. Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который kz?j (t1 )k = ?2 и (z?j (t1 ), p) > 0.
Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 , то управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (17).
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , t2 момент, в который выполнено
kz?l (t2 )k = ?1 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление в этом случае нужно выбирать таким же
образом, как и в случае 2. Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 .
Пусть t2 ? (t1 , t1 + ?1 ), тогда положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который
kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так,
как это сделано в случае 2, до момента t2 , в который выполнено kz?j (t2 )k = ?3 и (z?j (t2 ), p) > 0.
Управление v , после того как настал момент t2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1 взять ?3 такое, что
?2 =
?1
,
2
?3 = ?
(?2 )2 (?2 )3
+
.
3!
4!
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем, затем
полагаем управление v равным p.
Если поменять j и l местами, то все маневры по обходу j -го преследователя нужно делать
?2
в соответствии со случаем 3. Затем за время ?2 =
нужно обойти l-ого преследователя, для
4
?2
(?2 )2
чего управление нужно взять как в случае 2, но вместо ?1 взять ?4 = ? +
. После того
3
12
как маневр с l-ым преследователем будет завершен, управление v выбираем как в случае 3,
затем полагаем управление равным p.
Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент,
в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 +?1 ) управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента t? 2 , в который выполнено kz?j (t? 2 )k = ?5
и (z?j (t? 2 ), p) > 0. Управление v , после того как наступил момент t? 2 , нужно выбирать таким же
(? ? )2
(? ? 2 )3
,
образом, как и в случае 3, только вместо ?1 нужно взять ?5 такое, что ?5 = ? 2 +
3!
4!
?
2
а сам маневр осуществим за время ? ? 2 = .
4
63
Когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, выбираем управление v в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем. Далее положим
v равным p. Остальные преследователи (кроме l-ого и j -го) при выбранном таким образом
управлении не влияют на исход игры.
Случай 5б. Начальные условия здесь такие же, что и в случае 5а, только l = j . Пусть
вначале управление v(t) = p, t < t1 = t2 . Для доказательства убегания в данном случае
возьмем такие ?1 , ?2 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ,
· ? +
2
3
12
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
?2 =
1 (?1 )2 (?1 )3 .
· ?
+
2
3!
4!
(18)
?2
? 3 ...
(zl (t1 + ?1 ), p) = (zl (t1 ), p) + ?1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · (z?l (t1 ), p) + 1 · ( z l (t1 ), p) +
2
3!
Z t1 +?1
3
(t1 + ?1 ? ? )
?1
(?1 )3 (?1 )4
(ul (? ) ? v(? ), p) d? < ?1 ?2 + (?1 )2 ·
??·
?
=
+
3!
2
3!
4!
t1
1 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
1 (?1 )2 (?1 )3 + (?1 )2 · · ? +
??·
+
?
= 0.
= ?1 · ?
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
В случае t1 6= t2 применим маневр, описанный в случае 2 или 3, в зависимости от того,
какой момент наступит раньше t1 или t2 . Доказательство убегания здесь будет таким же как
и в случае 5а. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pi ,
i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры.
0
Случай 6a. Предположим, что неравенство (z?l , p) > 0 справедливо для некоторого l ? Nn ,
(zj0 , p) > 0 для некоторого j ? Nn \ {l} и (z?i0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {l}, (zi0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {j}.
При этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи
16i6n
убегания из такого начального состояния z 0 . Пусть
?1 =
?
,
4
?1 = ?
?1 (?1 )2
+
,
3
12
?2 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
(19)
Справедливы неравенства ?1,2,3 (0) > ?1 , ?1,2,3 (0) > ?2 . Определим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1
либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо +?.
Пусть t1 < +?, тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(s) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Pj . Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 )
не выполнено равенство kzj (t)k = ?2 , то управление нужно выбирать как в случае 2. Затем
положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который выполнено
kzj (t2 )k = ?2 и (zj (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать таким же
образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?2 из (19). Далее полагаем
v(s) = p, s > t2 + ?1 .
ассмотрим ситуацию, когда сближение с j -ым преследователем происходит раньше, чем
с l-ым. Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который kzj (t1 )k = ?2 и (zj (t1 ), p) > 0.
Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 , то управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?2 из (19).
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , t2 момент, в который выполнено
kz?l (t2 )k = ?1 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление в этом случае нужно выбирать таким же
образом, как и в случае 2. Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 .
Пусть t2 ? (t1 , t1 + ?1 ), тогда положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который
kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так,
как это сделано в случае 2, до момента t2 , в который выполнено kzj (t2 )k = ?3 и (zj (t2 ), p) > 0.
Управление v , после того как настал момент t2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 взять ?3 такое, что
?2 =
?1
,
2
?3 = ?
64
(?2 )3 (?2 )4
+
.
3!
4!
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем, затем
полагаем управление v равным p.
Если поменять j и l местами, то все маневры по обходу j -го преследователя нужно делать
?2
в соответствии со случаем 4. Затем за время ?2 =
нужно обойти l-го преследователя, для
4
(?2 )2
?2
чего управление нужно взять как в случае 2, но вместо ?1 взять ?4 = ? +
. После того
3
12
как маневр с l-ым преследователем будет завершен, управление v выбираем как в случае 4,
затем полагаем управление равным p.
Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент,
в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 +?1 ) управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента t? 2 , в который выполнено kzj (t? 2 )k = ?5
и (zj (t? 2 ), p) > 0. Управление v , после того как наступил момент t? 2 , нужно выбирать таким же
(? ? )3
(? ? 2 )4
,
образом, как и в случае 4, только вместо ?1 нужно взять ?5 такое, что ?5 = ? 2 +
3!
4!
?2
а сам маневр осуществим за время ? ? 2 = .
4
Когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, выбираем управление v в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем. Далее положим v
равным p. Остальные преследователи (кроме l-го и j -го) при выбранном таким образом управлении не влияют на исход игры.
Случай 6б. Начальные условия здесь такие же, как и в случае 6а, только l = j . Пусть
вначале управление v(t) = p, t < t1 = t2 . Для доказательства убегания в данном случае возьмем
такие ?1 , ?2 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ,
· ? +
2
3
12
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 )
(zl (t1 + ?1 ), p) <
?2 =
1 (?1 )3 (?1 )4 .
· ?
+
2
3!
4!
(20)
1 (?1 )3 (?1 )4 (?1 )2 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
В случае t1 6= t2 применим маневр, описанный в случае 2 или 4, в зависимости от того, какой момент наступит раньше t1 или t2 . Доказательство убегания здесь будет таким же, как
и в случае 6а. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pi ,
i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры.
0
Случай 7a. Предположим, что неравенство (z?l , p) > 0 справедливо для некоторого l ? Nn ,
0
0
(zj , p) > 0 для некоторого j ? Nn \ {l} и (z?i , p) 6 0 ?i ? Nn \ {l}, (zi0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {j}.
При этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи
16i6n
убегания из такого начального состояния z 0 . Пусть
?
?1 = ,
4
?1 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
,
3!
4!
?2 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
(21)
Справедливы неравенства ?1,2,3 (0) > ?1 , ?1,2,3 (0) > ?2 . Определим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1
либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо +?.
Пусть t1 < +?, тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление v(s) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Pj . Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 )
не выполнено равенство kzj (t)k = ?2 , то управление нужно выбирать как в случае 3. Затем
положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который выполнено
kzj (t2 )k = ?2 и (zj (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать таким же
образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?2 из (21). Далее полагаем
v(s) = p, s > t2 + ?1 .
ассмотрим ситуацию, когда сближение с j -ым преследователем происходит раньше, чем
с l-ым. Положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который kzj (t1 )k = ?2 и (zj (t1 ), p) > 0.
65
Если на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 , то управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?2 из (21).
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , t2 момент, в который выполнено
kz?l (t2 )k = ?1 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление в этом случае нужно выбирать таким же
образом, как и в случае 3. Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 .
Пусть t2 ? (t1 , t1 + ?1 ), тогда положим v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент, в который
kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так,
как это сделано в случае 3, до момента t2 , в который выполнено kzj (t2 )k = ?3 и (zj (t2 ), p) > 0.
Управление v , после того как настал момент t2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 взять ?3 такое, что
?2 =
?1
,
2
?3 = ?
(?2 )3 (?2 )4
+
.
3!
4!
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 3, что позволит избежать поимки l-ым преследователем, затем
полагаем управление v равным p.
Если поменять j и l местами, то все маневры по обходу j -ого преследователя нужно делать
?2
нужно обойти l-ого преследователя, для
в соответствии со случаем 4. Затем за время ?2 =
4
(?2 )2 (?2 )3
+
чего управление нужно взять как в случае 3, но вместо ?1 взять ?4 = ?
. После того
3
4!
как маневр с l-ым преследователем будет завершен, управление v выбираем как в случае 3,
затем полагаем управление равным p.
Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 момент,
в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 +?1 ) управление нужно
выбирать так, как это сделано в случае 3, до момента t? 2 , в который выполнено kzj (t? 2 )k = ?5
и (zj (t? 2 ), p) > 0. Управление v , после того как наступил момент t? 2 , нужно выбирать таким же
(? ? )3
(? ? 2 )4
образом, как и в случае 4, только вместо ?1 нужно взять ?5 такое, что ?5 = ? 2 +
,
3!
4!
?
2
а сам маневр осуществим за время ? ? 2 = .
4
Когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, выбираем управление v в соответствии со случаем 3, что позволит избежать поимки l-ым преследователем. Далее положим v
равным p. Остальные преследователи (кроме l-ого и j -ого) при выбранном таким образом
управлении не влияют на исход игры.
Случай 7б. Начальные условия здесь такие же, что и в случае 7а, только l = j . Пусть
вначале управление v(t) = p, t < t1 = t2 . Для доказательства убегания в данном случае
возьмем такие ?1 , ?2 , что
?
1 (?1 )3 (?1 )4 1 (?1 )2 (?1 )3 ?1 = , ?1 = · ?
(22)
, ?2 = · ?
.
+
+
4
2
3!
4!
2
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 )
1 (?1 )3 (?1 )4 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )3 (?1 )4
(zl (t1 + ?1 ), p) <
?
+
?
??
+
+
?
= 0.
2
3!
4!
2
3!
4!
3!
4!
В случае t1 6= t2 применим маневр, описанный в случае 3 или 4, в зависимости от того, какой
момент наступит раньше t1 или t2 . Доказательство убегания здесь будет таким же, как и
в случае 7а. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pi ,
i ? Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры.
0
0
Случай 8. Предположим, что (z?l , p) > 0 справедливо для некоторого l ? Nn , (z?j , p) > 0
0
0
для некоторого j ? Nn \ {l}, (zm , p) > 0 для некоторого m ? Nn \ {l, j} и (z?i , p) 6 0 ?i ? Nn \ {l},
(z?i0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {j}, (zi0 , p) 6 0 ?i ? Nn \ {m}. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 . Пусть
?
?1 = ,
4
?1 = ?
?1 (?1 )2
+
,
3
12
?2 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
,
3!
4!
66
?3 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
(23)
Справедливы неравенства ?1,2,3 (0) > ?1 , ?1,2,3 (0) > ?2 , ?1,2,3 (0) > ?3 . Определим v(t) = p,
t ? [0, t1 ).
8.1. Пусть t1 момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pj и Pm . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?j (t)k = ?2 или kzm (t)k = ?3 , то управление
нужно выбирать как в случае 2.
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kz?j (t2 )k = ?2 и (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23).
Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kzm (t3 )k = ?3 и (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно
выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3
из (23). И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.2. Пусть t1 момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pj и Pm . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?j (t)k = ?2 или kzm (t)k = ?3 , то управление
нужно выбирать как в случае 2.
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kzm (t2 )k = ?3 и (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно
выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая нужно взять ?3
из (23).
Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kz?j (t3 )k = ?2 и (z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23). И снова
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.3. Пусть t1 момент, в который kz?j (t1 )k = ?2 и (z?j (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pm . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 или kzm (t)k = ?3 , то управление
нужно выбирать как в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23).
Далее полагаем v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kz?l (t2 )k = ?1 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 2.
Затем положим v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kzm (t3 )k = ?3 и (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно
выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая нужно взять ?3
из (23). И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.4. Пусть t1 момент, в который kz?j (t1 )k = ?2 и (z?j (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pm . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 или kzm (t)k = ?3 , то управление
нужно выбирать как в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23).
Далее полагаем v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kzm (t2 )k = ?3 и (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно
выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1 из случая нужно взять ?3
из (23).
Затем положим v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kz?l (t3 )k = ?1 и (z?l (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 2. И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.5. Пусть t1 момент, в который kzm (t1 )k = ?3 и (zm (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pj . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 или kz?j (t)k = ?2 , то управление
нужно выбирать как в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3 из (23).
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kz?l (t2 )k = ?1 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
67
таким же образом, как и в случае 2.
Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kz?j (t3 )k = ?2 и (z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23). И снова
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.6. Пусть t1 момент, в который kzm (t1 )k = ?3 и (zm (t1 ), p) > 0, t1 < +?. Управление v(t)
будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pj . Если на
полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) не выполнено равенство kz?l (t)k = ?1 или kz?j (t)k = ?2 , то управление
нужно выбирать как в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3 из (23).
Затем положим v(s) = p, s > t1 + ?1 , до тех пор, пока s < t2 , где t2 момент, в который
выполнено kz?j (t2 )k = ?2 и (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23).
Далее полагаем v(s) = p, s > t2 + ?1 , до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который
выполнено kz?l (t3 )k = ?1 и (z?l (t3 ), p) > 0, t3 < +?. Управление v в этом случае нужно выбирать
таким же образом, как и в случае 2. И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.7а. Пусть во время маневра обхода преследователя Pl происходит сближение с Pj или Pm .
Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, либо
+?. Пусть t1 < +?, тогда управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом
поведения преследователей Pj и Pm .
8.7а.1. Выбираем управление v(s) как в случае 2 до момента t2 , t2 момент, в который
kz?j (t2 )k = ?4 и (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Начиная с момента t2 , управление v следует выбирать
как в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?4 такое, что
?2 =
?1
,
2
?4 = ?
(?2 )2 (?2 )3
+
.
3!
4!
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kzm (t3 )k = ?3
и (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 4, только вместо ?1
из случая 4 нужно взять ?3 из (23). Когда маневр по обходу m-ого преследователя завершен,
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.7а.2. Пусть теперь t2 момент, в который kzm (t2 )k = ?5 , (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?. После
того как момент t2 наступил, управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ?1 из
случая 4 взять ?5 такое, что
?5 = ?
(?2 )3 (?2 )4
+
,
3!
4!
?2 =
?1
.
2
Далее, когда встречи с m-ым преследователем удалось избежать, управление v следует
выбирать в соответствии со случаем 2, что позволяет избежать поимки l-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?j (t3 )k = ?2 ,
(z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3,
только вместо ?1 из случая 3 возьмем ?2 из (23). Когда маневр по обходу j -ого преследователя
завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.7б. Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо
момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0.
8.7б.1. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до тех пор, пока не наступит момент t?2 такой, что kz?j (t?2 )k = ?6 и (z?j (t?2 ), p) > 0.
Управление v , после того как наступил момент t?2 , нужно выбирать как в случае 3, только
(? ? )3
(? ? )2
вместо ?1 из случая 3 взять ?6 такое, что ?6 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за
3!
4!
?2
время ?2? = .
4
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v
в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем.
68
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kzm (t3 )k = ?3
и (zm (t3 ), p) > 0. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 4, только
вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3 . Когда маневр по обходу m-ого преследователя завершен,
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
?
?
?
8.7б.2. Пусть теперь t2 такой, что kzm (t2 )k = ?7 и (zm (t2 ), p) > 0. Управление v , после того
?
как настал момент t2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1
?2
(? ? )3 (? ? )4
взять ?7 такое, что ?7 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за время ?2? = .
3!
4!
4
Далее, когда встречи с m-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v
в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки l-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?l (tj )k = ?2
и (z?l (t3 ), p) > 0. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3, только
вместо ?1 из случая 3 взять ?2 из (23). Когда маневр по обходу j -ого преследователя завершен,
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.7в. Пусть как в 8.7а во время маневра обхода преследователя Pl происходит сближение
с преследователем Pj или Pm и t1 = t2 , где t1 момент, в который kz?l (t1 )k = ?1 , (z?l (t1 ), p) > 0,
t1 < +?; t2 момент, в который происходит сближение с Pj и Pm .
8.7в.1. Пусть t2 момент, в который kz?j (t2 )k = ?2 , (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?, l = j . Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ? +
,
2 3
12
?2 =
1 (?1 )2 (?1 )3 ?
,
+
2
3!
4!
?3 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zl (t1 +?1 ), p) < ?2 ?1 +
?12
?3
?4
?1 (?1 )2 (?1 )3 ?12 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
?1 ? 1 ?? 1 =
+
?
= 0.
2
3!
4!
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
Маневр обхода Pm осуществим так же, как в 8.7а. Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ). На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен применить тот же самый маневр, что и в случае 2 или 3,
но при этом подпустить преследователя Pl ближе. Далее, когда встречи с преследователем Pl
удалось избежать, полагаем v(t) = p, t 6 t3 , где t3 момент времени такой, что kzm (t3 )k = ?3 ,
(zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 4,
только вместо ?1 из случая 4 берем ?3 , v(t) = p, t > t3 + ?1 .
Если l = j , но t1 6= t2 , то уклонение от встречи доказывается как в 8.7а. При выбранном
таким образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {l, m}, по существу,
не влияет на исход игры.
8.7в.2. Пусть t2 момент, в который kzm (t2 )k = ?3 , (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?, l = m. Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ? +
,
2 3
12
?2 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
,
3!
4!
Тогда на полуин??ервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zl (t1 + ?1 ), p) <
?3 =
1 (?1 )3 (?1 )4 ?
.
+
2
3!
4!
1 (?1 )3 (?1 )4 ?12 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
Маневр обхода Pj осуществим так же, как в 8.7а. Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ). На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен применить тот же самый маневр, что и в случае 2 или 3,
но при этом подпустить преследователя Pl ближе. Далее, когда встречи с преследователем Pl
удалось избежать, полагаем v(t) = p, t 6 t3 , где t3 момент времени такой, что kz?j (t3 )k = ?2 ,
(z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3,
только вместо ?1 из случая 3 берем ?2 , v(t) = p, t > t3 + ?1 .
Если l = m, но t1 6= t2 , то уклонение от встречи доказывается как в 8.7а. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {l, j}, по существу,
не влияет на исход игры.
69
Пусть во время маневра обхода преследователя Pj происходит сближение с Pl или Pm .
Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо момент, в который выполнено kz?j (t1 )k = ?2
и (z?j (t1 ), p) > 0, либо +?. Пусть t1 < +?, тогда управление v(t) будем выбирать специальным
образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pm .
8.8а.1. Выбираем управление v(s) как в случае 3 до момента t2 , t2 такой момент времени,
что kz?l (t2 )k = ?4 и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Начиная с момента t2 , управление v следует
выбирать как в случае 2, только вместо ?1 из случая 2 нужно взять ?4 такое, что
8.8а.
?2 =
?2
,
2
?4 = ?
?2 (?2 )2
+
.
3
12
Далее, когда встречи с l-ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23), что
позволит избежать поимки j -ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kzm (t3 )k = ?3
и (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 4,
только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3 из (23). Когда маневр по обходу m-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.8а.2. Пусть теперь t2 момент, в который kzm (t2 )k = ?5 , (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?. После
того как момент t2 наступил, управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ?1 из
случая 4 взять ?5 такое, что
?5 = ?
(?2 )3 (?2 )4
+
,
3!
4!
?2 =
?2
.
2
Далее, когда встречи с m-ым преследователем удалось избежать, управление v следует
выбирать в соответствии со случаем 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23),
что позволяет избежать поимки j -ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?l (t3 )k = ?1 ,
(z?l (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 2.
Когда маневр по обходу l-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p,
s > t3 + ? 1 .
8.8б. Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо
момент, в который kz?j (t1 )k = ?2 и (z?j (t1 ), p) > 0.
8.8б.1. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так, как это
сделано в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 взять ?2 из (23), до тех пор, пока не наступит
момент t?2 такой, что kz?l (t?2 )k = ?6 и (z?l (t?2 ), p) > 0.
Управление v , после того как наступил момент t?2 , нужно выбирать как в случае 2, толь(? ? )2
??
ко вместо ?1 из случая 2 взять ?6 такое, что ?6 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за
3
12
?2
время ?2? = .
4
Далее, когда встречи с l-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v в соответствии со случаем 3, только вместо ?1 из случая 3 взять ?2 из (23), что позволит избежать
поимки j -ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kzm (t3 )k = ?3
и (zm (t3 ), p) > 0. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 нужно взять ?3 . Когда маневр по обходу m-ого преследователя завершен, возвращаемся
к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
?
?
?
8.8б.2. Пусть теперь t2 такой, что kzm (t2 )k = ?7 и (zm (t2 ), p) > 0. Управление v , после того,
как настал момент t?2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ?1
?2
(? ? )3 (? ? )4
взять ?7 такое, что ?7 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за время ?2? = .
3!
4!
4
Далее, когда встречи с m-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v
в соответствии со случаем 3, только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23), что позволит
избежать поимки j -ым преследователем.
70
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?l (t3 )k = ?1
и (z?l (t3 ), p) > 0. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 2. Когда маневр по обходу
l-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.8в. Пусть как в 8.8а во время маневра обхода преследователя Pj происходит сближение
с преследователем Pl или Pm и t1 = t2 , где t1 момент, в который kz?j (t1 )k = ?1 , (z?j (t1 ), p) > 0,
t1 < +?; t2 момент, в который происходит сближение с Pl и Pm .
8.8в.1. Пусть t2 момент, в который kz?l (t2 )k = ?1 , (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?, l = j . Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ? +
,
2 3
12
?2 =
1 (?1 )2 (?1 )3 ?
,
+
2
3!
4!
?3 = ?
(?1 )3 (?1 )4
+
.
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zl (t1 + ?1 ), p) <
?1 (?1 )2 (?1 )3 ?12 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ). На [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен применить тот же самый
маневр, что и в случае 2 или 3, но при этом подпустить преследователя Pl ближе. Далее, когда
встречи с преследователем Pl удалось избежать, полагаем v(t) = p, t 6 t3 , где t3 момент
времени такой, что kzm (t3 )k = ?3 , (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 )
управление выбираем как в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 берем ?3 , v(t) = p, t > t3 +?1 .
Если l = j , но t1 6= t2 , то уклонение от встречи доказывается как в 8.8а. При выбранном
таким образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {j, m}, по существу,
не влияет на исход игры.
8.8в.2. Пусть t2 момент, в который kzm (t2 )k = ?3 , (zm (t2 ), p) > 0, t2 < +?, j = m. Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
?
?1 = ,
4
?1 = ?
?1 (?1 )2
+
,
3
12
?2 =
1 (?1 )2 (?1 )3 ?
,
+
2
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zm (t1 + ?1 ), p) <
?3 =
1 (?1 )3 (?1 )4 ?
.
+
2
3!
4!
(?1 )3 (?1 )4
1 (?1 )3 (?1 )4 ?1 ?12 ?13 ?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
2
3!
4!
3!
4!
Маневр обхода преследователя Pl осуществим так же, как в 8.8а. Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ).
На [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен поступить как в случае 3 или 4, но при этом подпустить
преследователя Pm ближе. Далее, когда встречи с преследователем Pm удалось избежать, полагаем v(t) = p, t > t1 + ?1 , до момента t3 , где t3 : kz?l (t3 )k = ?1 , (z?l (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На
полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 2. Потом v(t) = p, t > t3 + ?1 .
При m = j , t1 6= t2 , уклонение от встречи доказывается как в 8.8а. При выбранном таким
образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {l, j}, по существу, не влияет на
исход игры.
8.9а. Пусть во время маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с Pl или Pj .
Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо момент, в который выполнено kzm (t1 )k = ?3
и (zm (t1 ), p) > 0, либо +?. Пусть t1 < +?, тогда управление v(t) будем выбирать специальным
образом и с учетом поведения преследователей Pl и Pj .
8.9а.1. Определим управление v(s) как в случае 4 до момента t2 такого, что kz?l (t2 )k = ?4
и (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?. Начиная с момента t2 , управление v следует выбирать как в случае 2,
только вместо ?1 из случая 2 нужно взять ?4 такое, что
?2 =
?3
,
2
?4 = ?
?2 (?2 )2
+
.
3
12
Далее, когда встречи с l-ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 4, только вместо ?1 из случая 4 возьмем ?3 из (23), что позволит
избежать поимки m-ым преследователем.
71
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?j (t3 )k = ?2
и (z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3, только вместо ?1
из случая 3 нужно взять ?2 из (23). Когда маневр по обходу j -ого преследователя завершен,
возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.9а.2. Пусть теперь t2 момент, в который kz?j (t2 )k = ?5 , (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. После
того как настал момент t2 , управление нужно выбирать как в случае 3, только вместо ?1 из
случая 3 взять ?5 такое, что
?5 = ?
(?2 )2 (?2 )3
+
,
3!
4!
?2 =
?3
.
2
Далее, когда встречи с m-ым преследователем удалось избежать, управление v следует
выбирать в соответствии со случаем 2, что позволяет избежать поимки l-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?j (t3 )k = ?2 ,
(z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3,
только вместо ?1 из случая 3 нужно взять ?2 из (23). Когда маневр по обходу j -ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.9б. Покажем маневр уклонения в случае t1 = t2 . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 либо
момент, в который kzm (t1 )k = ?3 и (zm (t1 ), p) > 0.
8.9б.1. Сначала на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) управление нужно выбирать так, как это
сделано в случае 4, только вместо ?1 из случая 4 взять ?3 из (23), до тех пор, пока не наступит
момент t?2 такой, что kz?l (t?2 )k = ?6 и (z?l (t?2 ), p) > 0.
Управление v , после того как наступил момент t?2 , нужно выбирать как в случае 2, толь??
(? ? )2
ко вместо ?1 из случая 2 взять ?6 такое, что ?6 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за
3
12
?2
?
время ?2 = .
4
Далее, когда встречи с l-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v в соответствии со случаем 4, только вместо ?1 из случая 4 взять ?3 из (23), что позволит избежать
поимки m-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?j (t3 )k = ?2
и (z?j (t3 ), p) > 0. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 3, только вместо ?1 из
случая 3 нужно взять ?2 . Когда маневр по обходу j -ого преследователя завершен, возвращаемся
к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
?
?
?
8.9б.2. Пусть теперь t2 такой, что kz?j (t2 )k = ?7 и (z?j (t2 ), p) > 0. Управление v , после того
как настал момент t?2 , нужно выбирать таким же образом, как и в случае 3, только вместо ?1
(? ? )2 (? ? )3
?2
взять ?7 : ?7 = ? 2 + 2 , а сам маневр осуществим за время ?2? = .
3!
4!
4
Далее, когда встречи с j -ым преследователем удалось избежать, выбрать управление v
в соответствии со случаем 4, только вместо ?1 из случая 4 возьмем ?3 из (23), что позволит
избежать поимки m-ым преследователем.
Затем полагаем v равным p до тех пор, пока s < t3 , где t3 момент, в который kz?l (t3 )k = ?1
и (z?l (t3 ), p) > 0. На [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 2. Когда маневр по обходу
l-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(s) = p, s > t3 + ?1 .
8.9в. Пусть как в 8.9а во время маневра обхода преследователя Pm происходит сближение
с преследователем Pl или Pj и t1 = t2 , где t1 момент, в который kzm (t1 )k = ?3 , (zm (t1 ), p) > 0,
t1 < +?; t2 момент, в который происходит сближение с Pl и Pj .
8.9в.1. Пусть t2 момент, в который kz?l (t2 )k = ?1 , (z?l (t2 ), p) > 0, t2 < +?, l = m. Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
?
?1 = ,
4
?1 =
1 ?1 (?1 )2 ? +
,
2 3
12
?2 = ?
(?1 )2 (?1 )3
+
,
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zl (t1 + ?1 ), p) <
?3 =
1 (?1 )3 (?1 )4 ?
.
+
2
3!
4!
1 (?1 )3 (?1 )4 ?12 ?1 (?1 )2 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
4
3
12
3!
4!
72
Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ). На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен применить тот
же самый маневр, что и в случае 4 или 2, но при этом подпустить преследователя Pl ближе.
Далее, когда встречи с преследователем Pl удалось избежать, полагаем v(t) = p, t 6 t3 , где t3 момент времени такой, что kz?j (t3 )k = ?2 , (z?j (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На полуинтервале [t3 , t3 + ?1 )
управление выбираем как в случае 3, только вместо ?1 из случая 3 берем ?2 , v(t) = p, t > t3 +?1 .
Если l = m, но t1 6= t2 , то уклонение от встречи доказывается как в 8.9а. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {j, l}, по существу,
не влияет на исход игры.
8.9в.2. Пусть t2 момент, в который kz?j (t2 )k = ?2 , (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?, j = m. Для
доказательства убегания в данном случае возьмем такие ?1 , ?2 , ?3 , что
1 (?1 )3 (?1 )4 ?1 (?1 )2
1 (?1 )2 (?1 )3 ?
?
, ?3 =
?
.
, ?2 =
+
+
?1 = , ?1 = ? +
4
3
12
2
3!
4!
2
3!
4!
Тогда на полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) выполнено
(zm (t1 + ?1 ), p) <
1 (?1 )3 (?1 )4 ?1 ?12 ?13 (?1 )3 (?1 )4
?
+
? +
??
+
?
= 0.
2
3!
4!
2
3!
4!
3!
4!
Маневр обхода преследователя Pl осуществим также как в 8.9а. Итак, v(t) = p, t ? [0, t1 ).
На [t1 , t1 + ?1 ) убегающий E должен поступить как в случае 4 или 3, но при этом подпустить
преследователя Pm ближе. Далее, когда встречи с преследователем Pm удалось избежать, полагаем v(t) = p, t > t1 + ?1 , до момента t3 , где t3 : kz?l (t3 )k = ?1 , (z?l (t3 ), p) > 0, t3 < +?. На
полуинтервале [t3 , t3 + ?1 ) управление выбираем как в случае 2. Потом v(t) = p, t > t3 + ?1 .
При m = j , t1 6= t2 , уклонение от встречи доказывается как в 8.9а. При выбранном таким
образом управлении убегающего E преследователь Pi , i ? Nn \ {l, m}, по существу, не влияет
на исход игры.
8.10. Пусть во время маневра обхода преследователя Pl происходит сближение с преследователями Pj и Pm . Полагаем v(t) = p, t ? [0, t1 ), где t1 : kz?l (t1 )k = ?1 и (z?l (t1 ), p) > 0, t1 < +?.
На полуинтервале [t1 , t1 + ?1 ) будем выбирать управление v специальным образом и с учетом
поведения преследователей Pj и Pm . Выбираем управление v как в случае 2 до момента t2 .
Пусть t2 момент, в который kz?j (t2 )k = ?4 и (z?j (t2 ), p) > 0, t2 < +?. После того, как
настал момент t2 , управление нужно выбирать как в случае 3, только вместо ?1 нужно взять
(?2 )2
?1
(?2 )3
?4 : ?4 = ?
, ?2 = , до момента t3 : kzm (t3 )k = ?5 и (zm (t3 ), p) > 0, t3 < +?. После
+
3!
4!
2
того как настал момент t3 , управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ?1 взять
(?3 )3 (?3 )4
+
?5 : ?5 = ?
, ?3 = ?42 .
3!
4!
Когда маневр обхода m-ого преследователя будет завершен, продолжим маневр обхода j -ого
преследователя, t > t3 + ?3 , как в случае 3, только вместо ?1 возьмем ?4 , до момента t = t2 + ?2 .
При t > t2 + ?2 завершаем маневр обхода преследователя Pl и v(t) = p, t > t1 + ?1 .
Если l, j и m поменяются местами, то управление будем применять как в случаях 2, 3 и 4
?
?i?1
соответственно. Пусть ?1 = , ?i =
, i = 2, 3,
4
4
?1 (? ) = ?
?
?2
+ ,
3 12
?2 (? ) = ?
?2 ?3
+ ,
3!
4!
?3 (? ) = ?
?3 ?4
+ .
3!
4!
(24)
Предположим, что (zi0 , p) > 0 для некоторого i ? Nr , 1 < r 6 n, и (zi0 , p) 6 0
для всех i из множества Nn \ Nr . При этом max (z?i0 , p) 6 0, max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр
Случай 9.
16i6n
16i6n
уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент t? > 0 для
некоторого l ? Nr kzl (t? )k = ?j , (zl (t? ), p) > 0, то (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ].
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая
73
общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kzi (ti )k = ?i и (zi (ti ), p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Примем
v(t) = p,
t ? [0, +?) \
q
[
(25)
[ti , ti + ?i )
i=1
?
, ?i = ?3 (?1i ).
2i+2 1
Числа ?i , i = 1, . . . , q , будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q , поэтому
i ?
i
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 по правилу ?1 =
q
X
i=1
q q
X
(?1i )3 (?1i )4 X
?4
?4
247?4
?
?i < ?1 =
=
+
+
.
<
3!
4!
3!(2i+2 )3 4!(2i+2 )4
6! · 128
i=1
i=1
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства (z?i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ Nr , не может произойти. Не ограничивая
общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем. Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nn выполняются соотношения
...
kzi (t? )k = ?1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
[t? , t? + ?1i ] (zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?
3!
4!
Полагаем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 . Отметим, что t1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0,
l ?
определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i . Число ?i ограничивает сверху
суммарное время, в течение которого будут ѕобходитьсяї преследователи Pi , . . . , Pn .
Допустим, что (zi (ti ), z?i (ti )) = ?kzi (ti )k · kz?i (ti )k. Тогда существует число 0 < ?i < ?i такое, что при произвольных ul (s), l = i, . . . , n, v(s), s ? [ti , ti + ?i ], справедливы неравенства
min kzl (?i + ? )k > ?ii+1 ? l ? Nn \ Nr , (zi (ti + ?i ), p) > 0. Векторы zi (ti ), z?i (ti ) линейно зависимы,
? ?[0,?i ]
поэтому существует вектор ?i ? ?S такой, что (zi (ti ), ?i ) = (z?i (ti ), ?i ) = 0. На полуинтервале
[ti , ti + ?i ) управление v(s) выбираем так, чтобы
(
1, если (ul (s), ?i ) 6 0,
(v(s), ?i ) =
(26)
?1, если (ul (s), ?i ) > 0.
Здесь ti + ?i некоторый момент из отрезка [ti , ti + ?i ], в который
(zi (ti + ?i ), z?i (ti + ?i )) = ?kzi (ti + ?i )k · kz?i (ti + ?i )k.
Если же (zi (ti ), z?i (ti )) 6= ?kzi (ti )k · kz?i (ti )k, то полагаем ?i = 0.
Управление убегающего v(s) на полуинтервале [ti + ?i , ti + ?i ) необходимо положить равным ui (s). Однако если i < n, то на [ti + ?i , ti + ?i ) возможны сближения с преследователяn
S
ми Pl , l = i + 1, . . . , n. Поэтому v(s) = ul (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ) \
[tj , tj + ?j ), если i < n,
j=i+1
и s ? [ti + ?i , ti + ?i ), если i = n.
Предположим, что i < n и v(s) = ui (s), tl ? [ti + ?i , ti + ?i ), l = i + 1, . . . , n. Убегающий будет
сближаться с преследователями Pl , l = i + 1, . . . , n, настолько близко и обходить их за столь
малое время, что для траектории zi (t) на отрезке [ti + ?i , ti + ?i ] при любом управлении ui (s),
s ? [ti + ?i , ti + ?i ], выполнялись следующие соотношения:
(zi (ti + ? ), z?i (ti + ? )) = ?kzi (ti + ? )k · kz?i (ti + ? )k
для любого ? ? [?i , ?i ],
min
t?[ti +?i ,ti +?i ]
kzi (t)k > ?i+1 .
74
(27)
(28)
Из неравенства (27) следует, что сближение убегающего с каждым преследователем может
наступать не более одного раза. Обозначим через Hi (? ), ? > 0, кривую, заданную параметрически:
?3
? 2 ...
+ z i (ti + ?i ) ,
2
3!
?2
...
y(? ) = z?i (ti + ?i ) + z?i (ti + ?i ) · ? + z i (ti + ?i ) .
2
x(? ) = zi (ti + ?i ) + z?i (ti + ?i ) · ? + z?i (ti + ?i )
Можно считать, что ункция f (? ) =
min kxk > 0. Функция f (? ) : [0, +?) ? (0, +?)
x?Hi (? )
непрерывна. В момент t = ti + ?i определим число
(29)
?i = min{?ii+1 , min f (? )}.
? ?[0,?i ]
Если v(s) = ui (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ], то соответствующая траектория при t ? [ti + ?i , ti + ?i ]
задается как zi0 = x(t ? ti ? ?i ), z?i0 = y(t ? ti ? ?i ). Для любого t ? [ti + ?i , ti + ?i ] справедливы
неравенства
kzl0 (t)k > ?i , kz?l0 (t)k > ?i .
(30)
Теперь предположим, что на множестве [ti + ?i , ti + ?i ) задана такая счетная система полуинтервалов [tr , tr + ? r ), r = 1, 2, . . . , что
(
)
r
?
X
?
?
i
i
(31)
? r < ?i+1 , ?i+1 = min ?, ??i + ?12 + ,
,
2 4
r=1
4 + 2? 3 ? + ? 2 ? 2 + ?
3
? сумма всех корней уравнения ?i+1
i+1 ?i ?
i+1 i
i+1 i
?i
2
= 0.
Далее покажем, что если управление v(s) = ul (s), при s ? [ti + ?i , ti + ?i ) \
?
S
[tr , tr +
r=1
? r ), а на множестве
?
S
[tr , tr + ? r ) управление убегающего произвольно, то соответствующая
r=1
траектория zil (t), t ? [ti + ?i , ti + ?i ], такова, что
kzil (t) ? zi0 (t)k <
?i
,
2
(32)
kz?il (t) ? z?i0 (t)k 6
?i
2
(33)
для любого управления ui (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ].
Пусть l = 1. Понятно, что zi1 (t1 ) = zi0 (t1 ). В точке t = t1 +? 1 kzi1 (t1 +? 1 )?zi0 (t1 +? 1 )k 6 (? 1 )4 .
Тогда при t ? [t1 + ? 1 , ti + ?i ] выполнено kzi1 (t) ? zi0 (t)k 6 (? 1 )4 + 2(? 1 )3 ?i + (? 1 )2 ?i2 + ? 1 ?i3 .
Поэтому для всех t из [ti + ?i , ti + ?i ] kzi1 (t) ? zi0 (t)k < (? 1 )4 + 2(? 1 )3 ?i + (? 1 )2 ?i2 + ? 1 ?i3 . Проводя
аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться, что для натурального l, t ? [ti + ?i , ti + ?i ]
справедливо неравенство
4
3
2
kzil (t) ? zi0 (t)k 6 ?i+1
+ 2?i+1
?i + ?i+1
?i2 + ?i+1 ?i3 6
?i
.
2
Таким образом, неравенство (32) доказано. Неравенство (33) сразу следует из определения
числа ?i+1 .
Покажем теперь, что для всех ? ? [?i , ?i ]
(zil (ti + ? ), z?il (ti + ? )) 6= ?kzil (ti + ? )k · kz?il (ti + ? )k.
(34)
Предположим противное. Пусть существуют такие числа ?0 ? [?i , ?i ], q > 0, что справедливо
соотношение zil (ti +?0 ) = ?q· z?il (ti +?0 ). В силу неравенств (32), (33) векторы zi0 (ti +?0 ), z?i0 (ti +?0 )
75
представимы в виде zi0 (ti + ?0 ) = zil (ti + ?0 ) + x, z?i0 (ti + ?0 ) = z?i0 (ti + ?0 ) + y, где x, y ?
?i S
. Пусть
2
L = {? | ? = (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 ? R1 , ?1 + ?2 = 1}.
1
Согласно (29), min k?1 (zil (ti + ?0 ) + x) + ?2 (z?il (ti + ?0 ) + y)k > ?i . Однако при ??1 = 1+q
,
??L
q
??2 =
справедливо неравенство k??1 (zil (ti + ?0 ) + x) + ??2 (z?il (ti + ?0 ) + y)k 6 ?2i . При1+q
шли к противоречию. Следовательно неравенство (32) выполняется при любом ? из [?i , ?i ].
В момент t = ti по ормулам (29),(31) определяем числа ?i , ?i+1 и строим последовательноi+l ?
i+l ?
}l=1 , {?i+1
}l=1 следующим образом:
сти {?i+1
i+l
?i+1
=
i+1
Понятно, что ?i+1
< ?ii+1 ,
?
P
l=1
?i+1
,
2l
i+l
i+l
?i+1
= ?3 (?i+1
).
i+l
?i+1
= ?i+1 .
i+1
i+1
Полагаем ?i+1 = ?i+1
, ?i+1 = ?i+1
. Если на интервале (ti + ?i , ti + ?i ) происходит сближение
с преследователями Pi+1 , . . . , Pn , то убегающий обходит их за столь малое время, что
min
t?[ti +?i ,ti +?i ]
kzi (t)k >
?i
.
2
?i
i+1
Поскольку ?i+1 < ?i+1
6 , то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего
8
на полубесконечном интервале ормируется следующим образом:
v(s) = p, s ? [0, +?) \
?
[
[tl , tl + ?l ),
l=1
v(s) = ui (s), s ? [ti , ti + ?i ) \
n
S
[tl , tl + ?l ), если i < n, и v(s) = ui (s), s ? [ti , ti + ?i ), если i = n.
l=1
Уклонение от встречи в случае 9 доказано.
0
0
Случай 10. Предположим, что (z?i , p) > 0 для некоторого i ? Nr , 1 < r 6 n, и (z?i , p) 6 0
для всех i из множества Nn \ Nr . При этом max (zi0 , p) 6 0, max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр
16i6n
16i6n
уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент t? > 0 для
некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ].
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая
общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
?
i ?
i
i
i
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 по правилу ?1 = i+2 , ?1 = ?2 (?1 ).
2
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
q
q X
?3
(?1i )2 (?1i )3 X
?3
117?3
?
=
?i < ?1 =
+
+
.
<
3!
4!
3!(2i+2 )2 4!(2i+2 )3
5! · 448
i=1
i=1
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства (z?i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ Nr , не может произойти. Не ограничивая
общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем.
76
Заметим также, что если в момент t = t? для некоторого i ? Nn выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
?(?1i )3 (?1i )4
[t? , t? + ?1i ] выполнено (zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?1i ?
?
= 0.
3!
4!
1
1
Полагаем ?1 = ?1 , ?1 = ?1 . Отметим, что t1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом.
Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены
l ?
числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное
время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pn .
Допустим, что (zi (ti ), z?i (ti )) = ?kzi (ti )k · kz?i (ti )k. Тогда существует число 0 < ?i < ?i такое, что при произвольных ul (s), l = i, . . . , n, v(s), s ? [ti , ti + ?i ], справедливы неравенства
min kz?l (?i + ? )k > ?ii+1 ? l ? Nn \ Nr , (z?i (ti + ?i ), p) > 0. Векторы zi (ti ), z?i (ti ) линейно зависимы,
? ?[0,?i ]
поэтому существует вектор ?i ? ?S такой, что (zi (ti ), ?i ) = (z?i (ti ), ?i ) = 0. На полуинтервале [ti , ti + ?i ) управление v(s) строим по ормуле (26). Доказательство уклонения от встречи
поэтому полностью повторяет доказательство убегания в случае 9.
В момент t = ti по ормулам (29), (31) определяем числа ?i , ?i+1 и строим последова?i+1 i+l
i+l
i+l ?
i+l ?
i+l
= ?2 (?i+1
). Понятно, что
}l=1 следующим образом: ?i+1
тельности {?i+1
}l=1 , {?i+1
= l , ?i+1
2
?
P
i+l
i+1
?i+1
= ?i+1 .
?i+1
< ?ii+1 ,
l=1
i+1
i+1
Полагаем ?i+1 = ?i+1
, ?i+1 = ?i+1
. Если на интервале (ti + ?i , ti + ?i ) происходит сближение
с преследователями Pi+1 , . . . , Pn , то убегающий обходит их за столь малое время, что
min
t?[ti +?i ,ti +?i ]
kzi (t)k >
?i
.
2
?i
i+1
Поскольку ?i+1 < ?i+1
6 , то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего
8
на полубесконечном интервале ормируется следующим образом:
v(s) = p, s ? [0, +?) \
?
[
[tl , tl + ?l ),
l=1
v(s) = ui (s), s ? [ti , ti + ?i ) \
n
S
[tl , tl + ?l ), если i < n, и v(s) = ui (s), s ? [ti , ti + ?i ), если i = n.
l=1
Уклонение от встречи в случае 10 доказано.
0
0
Случай 11. Предположим, что (z?i , p) > 0 для некоторого i ? Nr , 1 < r 6 n, и (z?i , p) 6 0
0
0
для всех i из множества Nn \ Nr . При этом max (zi , p) 6 0, max (z?i , p) 6 0. Опишем маневр
16i6n
16i6n
уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент t? > 0 для
некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ].
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая
общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
?
i
i
i ?
i
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 по правилу ?1 = i+2 , ?1 = ?1 (?1 ).
2
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 =
q
q X
?2 27?2
?1 (? i )2 X ?2
=
.
+
<
? + 1
3
12
3 · 2i+2 12 · 4i+2
320
i=1
i=1
77
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства (z?i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ Nr , не может произойти. Не ограничивая
общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем.
Заметим также, что если в момент t = t? для некоторого i ? Nn выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
(? i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i 1 ?
?
= 0.
2
3!
4!
Полагаем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 . Отметим, что t1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0,
l ?
определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей
Pi , . . . , Pn .
Допустим, что (zi (ti ), z?i (ti )) = ?kzi (ti )k · kz?i (ti )k. Тогда существует число 0 < ?i < ?i такое, что при произвольных ul (s), l = i, . . . , n, v(s), s ? [ti , ti + ?i ], справедливы неравенства
min kz?l (?i + ? )k > ?ii+1 ? l ? Nn \ Nr , (z?i (ti + ?i ), p) > 0. Векторы zi (ti ), z?i (ti ) линейно зависимы,
? ?[0,?i ]
поэтому существует вектор ?i ? ?S такой, что (zi (ti ), ?i ) = (z?i (ti ), ?i ) = 0. На полуинтервале
[ti , ti + ?i ) управление v(s) определяем как в (26).
Здесь ti + ?i некоторый момент из отрезка [ti , ti + ?i ], в который
(zi (ti + ?i ), z?i (ti + ?i )) = ?kzi (ti + ?i )k · kz?i (ti + ?i )k.
Если же (zi (ti ), z?i (ti )) 6= ?kzi (ti )k · kz?i (ti )k, то полагаем ?i = 0.
Управление убегающего v(s) на полуинтервале [ti + ?i , ti + ?i ) необходимо положить равным ui (s). Однако если i < n, то на [ti + ?i , ti + ?i ) возможны сближения с преследователяn
S
[tj , tj + ?j ), если i < n,
ми Pl , l = i + 1, . . . , n. Поэтому v(s) = ul (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ) \
j=i+1
и s ? [ti + ?i , ti + ?i ), если i = n.
Предположим, что i < n и v(s) = ui (s), tl ? [ti + ?i , ti + ?i ), l = i + 1, . . . , n. Убегающий будет
сближаться с преследователями Pl , l = i + 1, . . . , n, настолько близко и обходить их за столь
малое время, что для траектории zi (t) на отрезке [ti + ?i , ti + ?i ] при любом управлении ui (s),
s ? [ti + ?i , ti + ?i ], выполнялись следующие соотношения
(zi (ti + ? ), z?i (ti + ? )) = ?kzi (ti + ? )k · kz?i (ti + ? )k
(35)
для любого ? ? [?i , ?i ], а также соотношение (28). Обозначим через Hi (? ), ? > 0, кривую,
заданную параметрически:
?3
? 2 ...
x(? ) = zi (ti + ?i ) + z?i (ti + ?i ) · ? + z?i (ti + ?i ) + z i (ti + ?i ) ,
2
3!
...
y(? ) = z?i (ti + ?i ) + z i (ti + ?i ) · ?.
Можно считать, что ункция f (? ) =
min kxk > 0. Функция f (? ) : [0, +?) ? (0, +?)
x?Hi (? )
непрерывна. В момент t = ti + ?i определим число ?i , заданное в (29).
Если v(s) = ui (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ], то соответствующая траектория при t ? [ti + ?i , ti + ?i ]
задается как zi0 = x(t ? ti ? ?i ), z?i0 = y(t ? ti ? ?i ). Для любого t ? [ti + ?i , ti + ?i ] справедливы
неравенства
kzl0 (t)k > ?i , kz?l0 (t)k > ?i .
(36)
Теперь предположим, что на множестве [ti + ?i , ti + ?i ) задана такая счетная система полуинтервалов [tr , tr + ? r ), r = 1, 2, . . . , что выполнено (31).
78
Далее покажем, что если управление v(s) = ul (s), при s ? [ti + ?i , ti + ?i ) \
?
S
[tr , tr + ? r ), а на
r=1
множестве
?
S
[tr , tr +? r )
управление убегающего произвольно, то соответствующая траектория
r=1
zil (t), t ? [ti + ?i , ti + ?i ] такова, что (32) и
kz?il (t) ? z?i0 (t)k 6
?i
2
(37)
для любого управления ui (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ]. Заметим, что (32) доказывается аналогично
тому, как это сделано в случае 9. Неравенство (37) сразу следует из определения числа ?i+1 .
Покажем теперь, что для всех ? ? [?i , ?i ]
(zil (ti + ? ), z?il (ti + ? )) 6= ?kzil (ti + ? )k · kz?il (ti + ? )k.
(38)
Предположим противное. Пусть существуют такие числа ?0 ? [?i , ?i ], q > 0, что справедливо
соотношение zil (ti +?0 ) = ?q· z?il (ti +?0 ). В силу неравенств (32), (37) векторы zi0 (ti +?0 ), z?i0 (ti +?0 )
?i S
. Пусть
представимы в виде zi0 (ti + ?0 ) = zil (ti + ?0 ) + x, z?i0 (ti + ?0 ) = z?i0 (ti + ?0 ) + y, где x, y ?
2
L = {? | ? = (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 ? R1 , ?1 + ?2 = 1}.
1
Согласно (29), min k?1 (zil (ti + ?0 ) + x) + ?2 (z?il (ti + ?0 ) + y)k > ?i . Однако при ??1 =
,
??L
1+q
q
?i
. Пришли
??2 =
справедливо неравенство k??1 (zil (ti + ?0 ) + x) + ??2 (z?il (ti + ?0 ) + y)k 6
1+q
2
к противоречию. Следовательно, неравенство (32) выполняется при любом ? из [?i , ?i ]. В момент t = ti по ормулам (29), (31) определяем числа ?i , ?i+1 и строим последовательности
i+l ?
i+l ?
i+l
i+l
i+l
}l=1 следующим образом: ?i+1
{?i+1
}l=1 , {?i+1
= ?i+1
, ?i+1
= ?1 (?i+1
). Понятно, что
2l
i+1
?i+1
< ?ii+1 ,
?
X
i+l
?i+1
= ?i+1 .
l=1
i+1
i+1
Выбираем ?i+1 = ?i+1
, ?i+1 = ?i+1
. Если на интервале (ti + ?i , ti + ?i ) происходит сближение с преследователями Pi+1 , . . . , Pn , то убегающий обходит их за столь малое время, что
?i
min
kzi (t)k > .
2
t?[ti +?i ,ti +?i ]
?i
i+1
Поскольку ?i+1 < ?i+1
6 , то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего
8
на полубесконечном интервале ормируется следующим образом:
v(s) = p, s ? [0, +?) \
?
[
[tl , tl + ?l ),
l=1
v(s) = ui (s), s ? [ti , ti + ?i ) \
n
S
[tl , tl + ?l ), если i < n, и v(s) = ui (s), s ? [ti + ?i , ti + ?i ), если
l=1
i = n. Уклонение от встречи в случае 11 доказано.
0
0
Случай 12а. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
0
0
для некоторого m ? Nn \ Nr и (zi , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m (t? )k = ?j , (z?m (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kzl (t? )k = ?j ,
(zl (t? ), p) > 0, то (z?m (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях um (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае и (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
79
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kzi (ti )k = ?i и (zi (ti ), p) > 0. А если kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, то m = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том
порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим
соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?3 (?1i ), ??1i = ?2 (?1i ).
(39)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
7?
q
q
?3 17 ? 30
X
X
?3 (?1i ) + ?2 (?11 ) <
?i < ?1 6
.
3! · 162
i=1
i=2
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, слеi=1
довательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти. Не
ограничивая общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым
преследователем.
Заметим также, что если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kzi (t? )k = ?1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ] (zi (t? + ?1i ), p) < ??1i · ?1i ?
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ti
выполнены соотношения kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены
l ?
l ?
числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Pm не
происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со случаем 9.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \{i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm .
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 9.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит момент t?i
?m
такой, что kz?m (t?i )k = ?2 ( m ).
2
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 10. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 9, чтобы завершить
80
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 12а
доказано.
Случай 12б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 12а, только m ? Nr . Тогда
0 , p) > 0 и (z? 0 , p) > 0, m ? N , а q 6 r.
(zm
r
m
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 12а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m
m
m и kz? (t)k = ?? m . Пусть ?m = ?3 (?m ) , ?
? m = ?2 (?m ) .
времени t = tm такой, что kzm (t)k = ?m
m
m
m
m
2
2
Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 7б, только вместо ?1
m
?m
возьмем ?
m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 7б ?m .
0
0
Случай 13а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (zm , p) > 0
0
0
для некоторого m ? Nn \ Nr и (z?i , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (zi , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kzm (t? )k = ?j , (zm (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j ,
(z?l (t? ), p) > 0, то (zm (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях um (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i и kzm (ti )k = ?i ,
(zm (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. А если kzm (ti )k = ?i ,
(zm (ti ), p) > 0, то m = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том
порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим
соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?2 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
(40)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?2 (?1i ) + ?3 (?11 ) <
i=2
117?3
11?4
+ 15 .
5! · 448
2
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, слеi=1
довательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти. Не
ограничивая общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым
преследователем.
Заметим также, что если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?1i ?
?
= 0.
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kzi (t? )k = ??1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
?(?1i )3 (?1i )4
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ] (zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ti
выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, определены
81
l ?
l ?
числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kzm (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Pm
не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со
случаем 10.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm .
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 10.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит мо?m
мент t?i такой, что kzm (t?i )k = ?3 ( m ).
2
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 9. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 10, чтобы завершить
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 13а
доказано.
Случай 13б. Пусть начальные условия такие же как в случае 13а, только m ? Nr . Тогда
0
0 , p) > 0, m ? N , q 6 r.
(zm , p) > 0 и (z?m
r
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 13а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m
m
m и kz? (t)k = ? m . Пусть ?m = ?2 (?m ) , ?
? m = ?3 (?m ) .
времени t = tm такой, что kzm (t)k = ??m
m
m
m
m
2
2
Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же как в случае 7б, только вместо ?1
?m
возьмем ?m
m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 7б ?m .
0
0
Случай 14а. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n и (zi , p) 6 0 для
0
r
всех i из множества Nn \ Nr При этом (z?i , p) > 0 для любого i ? Qm , r < m < n, и (z?i0 , p) 6 0
для любого i ? Nn \ Qrm , r < m < n, а также max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения,
16i6n
гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + m, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется для некоторого l ? Qrm , kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, или для некоторого
l ? Nr kzl (t? )k = ?j , (zl (t? ), p) > 0, то (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на
отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Qrm , в первом случае, и (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Nr , во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и существует
l ? Qrm такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i
и существует l ? Nr такой, что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения.
Не уменьшая общности полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком
происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу (39).
i
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1 , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
r
X
i=1
?3 (?1i )
+
q
X
i=r+1
?2 (?1i ) <
?3
247?4
+
.
5! · 448 8! · 16
Тогда сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? Qrm ), не может произойти. Заметим
также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения kzi (t? )k = ?1i ,
82
...
(zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
?(? i )3
(? i )4
1
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ? 3!1 ? 4!
...
?
А если в момент t = t выполнено kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ] (zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?1i ?
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Нетрудно
видеть, что t1 > 0.
Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, или
l ?
l ?
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i .
Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут ѕобходитьсяї преследователи Pi , . . . , Pr+m .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим исходя из инормации о том,
какое равенство в момент t = ti выполнено: kzi (ti )k = ?i или kz?i (ti )k = ?i . В первом случае
нужно руководствоваться правилами случая 9, во втором случая 10.
Если существуют номера i, j ? Nn , i 6= j, такие, что ti = tj , то сначала обходим i-того
?jj
преследователя, а затем, подпустив j -ого на расстояние ?3 ( ), применяем управление для
2
?j
обхода преследователя Pj за время . Таким образом, управление в случае 14а построено.
2
Случай 14б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 14а, только существует
номер i ? Nr такой, что (zi0 , p) > 0 и (z?i0 , p) > 0.
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 14а, за
исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент вре?3 (?ii ) ? i
?2 (?ii )
мени t = ti такой, что kzi (t)k = ?ii и kz?i (t)k = ??ii . Пусть ?ii =
, ?i =
. Тогда
2
2
стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 7б, только вместо ?1 возь? i , вместо ?2 возьмем ?i , а вместо ?1 из случая 7б ?i .
мем ?
i
i
0
0
Случай 15а. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
для некоторого m ? Nn \ Nr и (zi0 , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m (t? )k = ?j , (z?m (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kzl (t? )k = ?j ,
(zl (t? ), p) > 0, то (z?m (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае и (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kzi (ti )k = ?i и (zi (ti ), p) > 0. Содержательно это
означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения
с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?3 (?1i ), ??1i = ?1 (?1i ).
(41)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?3 (?1i ) + ?1 (?11 ) <
i=2
11?2
23?4
+
.
4! · 1792
256
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
83
[0, t]
q
T S
i=1
...
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следо-
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kzi (t? )k = ?1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0,
l ?
или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i ,
{??il }?
l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен
маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Pm не
происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со случаем 9.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \{i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm .
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 9.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит момент t?i
?m
такой, что kz?m (t?i )k = ?1 ( m ).
2
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 11. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 9, чтобы завершить
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 15а
доказано.
Случай 15б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 15а, только m ? Nr . Тогда
0
0 , p) > 0, m ? N , q 6 r.
(zm , p) > 0 и (z?m
r
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 15а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m
m
m = ?1 (?m ) .
m и kz? (t)k = ?? m . Пусть ?m = ?3 (?m ) , ?
?
времени t = tm такой, что kzm (t)k = ?m
m
m
m
m
2
2
Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 6б, только вместо ?1
m
?m
возьмем ?
m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 6б ?m .
0
0
Случай 16а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (zm , p) > 0
0
0
для некоторого m ? Nn \ Nr и (z?i , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (zi , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент
84
времени t? > 0 выполняется kzm (t? )k = ?j , (zm (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j ,
(z?l (t? ), p) > 0, то (zm (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях um (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i и kzm (ti )k = ?i ,
(zm (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. А если kzm (ti )k = ?i ,
(zm (ti ), p) > 0, то m = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том
порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим
соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
, ?i = ?1 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
2i+2 1
(42)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?1 (?1i ) + ?3 (?11 ) <
i=2
27?2
11?4
+
.
5 · 43
85
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
(? i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i 1 ?
2
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kzi (t? )k = ??1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
?(?1i )3 (?1i )4
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ] (zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0,
l ?
или kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i ,
l
?
{??i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен
маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kzm (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm
не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со
случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \{i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm
(случай 9).
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит мо?m
мент t?i такой, что kzm (t?i )k = ?3 ( m ).
2
85
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 9. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 11, чтобы завершить
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 16а
доказано.
Случай 16б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 16а, только m ? Nr . Тогда
0 , p) > 0 и (z? 0 , p) > 0, m ? N , q 6 r.
(zm
r
m
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 16а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m)
m
?3 (?m
m и kz? (t)k = ? m . Пусть ?m = ?1 (?m ) , ?
?m
.
времени t = tm такой, что kzm (t)k = ??m
m
m =
m
m
2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 6б, только вместо ?1
?m
возьмем ?m
m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 6б ?m .
0
0
Случай 17а. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, и (zi , p) 6 0 для
всех i из множества Nn \ Nr . При этом (z?i0 , p) > 0 для любого i ? Qrm , r < m < n, и (z?i0 , p) 6 0
для любого i ? Nn \ Qrm , а также max (z?i0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + m, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется для некоторого l ? Qrm kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, или для некоторого
l ? Nr kzl (t? )k = ?j , (zl (t? ), p) > 0, то (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на
отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Qrm , в первом случае, и (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Nr , во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и существует
l ? Qrm такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?3 (t) = ?i
и существует l ? Nr такой, что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-го сближения.
Не уменьшая общности, полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком
происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу (41).
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
r
X
?3 (?1i )
+
i=1
q
X
i=r+1
?1 (?1i ) <
247?4
27?2
.
+
1260 · 83
320
Тогда сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? Qrm ), не может произойти. Заметим
также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения kzi (t? )k = ?1i ,
...
(zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Нетрудно
видеть, что t1 > 0.
Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, или
l ?
l ?
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i .
Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр
обхода преследователей Pi , . . . , Pr+m .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим исходя из инормации о том,
какое равенство в момент t = ti выполнено: kzi (ti )k = ?i или kz?i (ti )k = ?i . В первом случае
нужно руководствоваться правилами случая 9, во втором случая 11.
86
Если существуют номера i, j ? Nn , i 6= j, такие, что ti = tj , то сначала обходим i-того
?jj
преследователя, а затем, подпустив j -ого на расстояние ?1 ( ), применяем управление для
2
?j
обхода преследователя Pj за время . Таким образом управление в случае 17а построено.
2
Случай 17б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 17а, только существует
номер i ? Nr такой, что (zi0 , p) > 0 и (z?i0 , p) > 0.
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 17а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
?1 (?ii ) ? i ?3 (?ii )
, ?i =
. Стратегия
времени t = ti такой, что kzi (t)k = ?ii и kz?i (t)k = ??ii . Пусть ?ii =
2
2
убегания и доказательство будут такими же как в случае 6б, только вместо ?1 возьмем ?ii ,
? i , а вместо ?1 из случая 6б ?i .
вместо ?2 возьмем ?
i
0
0
Случай 18а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
0
0
для некоторого m ? Nn \ Nr и (z?i , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (zi0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m (t? )k = ?j , (z?m (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j ,
(z?l (t? ), p) > 0, то (z?m (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях um (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае, и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. А если kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, то m = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том
порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим
соотношением (25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?1 (?1i ), ??1i = ?2 (?1i ).
(43)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?1 (?1i ) + ?2 (?11 ) <
i=2
27?2
11?3
+ 4 .
320
8
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
(? i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i 1 ?
2
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i · ?1i ?
87
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0,
l ?
или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i ,
{??il }?
l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен
маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm
не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со
случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm .
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит мо?m
мент t?i такой, что kz?m (t?i )k = ?2 ( m ).
2
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 10. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 11, чтобы завершить
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 18а
доказано.
Случай 18б.
0 , p)
(z?m
>0и
Пусть начальные условия такие же, как в случае 18а, только m ? Nr . Тогда
> 0, m ? Nr , q 6 r.
0 , p)
(z?m
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 18а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m
m)
?2 (?m
m и kz? (t)k = ? m . Пусть ?m = ?1 (?m ) , ?
?m
времени t = tm такой, что kz?m (t)k = ??m
.
m
m
m
m =
2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 5б, только вместо ?1
?m
возьмем ?m
m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 5б ?m .
0 , p) > 0
Предположим, что (z?i0 , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m
для некоторого m ? Nn \ Nr и (z?i0 , p) 6 0 для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для
любого i ? Nn \ {m}, при этом max (zi0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
Случай 19а.
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 1, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m (t? )k = ?j , (z?m (t? ), p) > 0, или для некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j ,
(z?l (t? ), p) > 0, то (z?m (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях um (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ]
в первом случае и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i и kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и существует l ? Nr такой,
что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности,
полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0. А если kz?m (ti )k = ?i ,
(z?m (ti ), p) > 0, то m = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том
порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим
соотношением (25).
88
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?2 (?1i ), ??1i = ?1 (?1i ).
(44)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?2 (?1i ) + ?1 (?11 ) <
i=2
39?3
11?5
+
.
70 · 45
28
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m}), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i · ?1i ?
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ·
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Отметим,
что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0,
l ?
или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i ,
l
?
{??i }l=i . Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен
маневр обхода преследователей Pi , . . . , Pr+1 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m (t)k = ?m , то управление
убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время ?m . Затем
вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Pm
не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со
случаем 10.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm .
В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время ?m , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 10.
Если же tm = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит мо?m
мент t?i такой, что kz?m (t?i )k = ?1 ( m ).
2
?m
Маневр уклонения от преследователя Pm осуществим за время
по алгоритму, описан2
ному в случае 11. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 10, чтобы завершить
маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 19а
доказано.
Случай 19б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 19а, только m ? Nr . Тогда
0
0 , p) > 0, m ? N , q 6 r.
(z?m , p) > 0 и (z?m
r
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 19а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
89
m
m
m и kz? (t)k = ? m . Пусть ?m = ?2 (?m ) , ?
m = ?1 (?m ) .
?
времени t = tm такой, что kz?m (t)k = ??m
m
m
m
m
2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 5б, только вместо ?1
? m , вместо ?2 возьмем ?m , а вместо ?1 из случая 5б ?m .
возьмем ?
m
m
0
0
Случай 20а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n и (z?i , p) 6 0 для
всех i из множества Nn \ Nr . При этом (z?i0 , p) > 0 для любого i ? Qrm , r < m < n, и (z?i0 , p) 6 0
для любого i ? Nn \ Qrm , а также max (zi0 , p) 6 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий
16i6n
разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + m, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется для некоторого l ? Qrm kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, или для некоторого
l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s), v(s) на
отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Qrm , в первом случае и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ], l ? Nr , во втором.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство ?2 (t) = ?i и существует l ? Qrm такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, или впервые выполняется равенство ?1 (t) = ?i
и существует l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения.
Не уменьшая общности, полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением
(25).
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу (43).
i
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1 , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
r
X
?2 (?1i ) +
i=1
q
X
i=r+1
?1 (?1i ) <
39?3
27?2
+
.
70 · 44
80
Тогда сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? Qrm ), не может произойти. Заметим
также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения kz?i (t? )k = ?1i ,
...
(z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?1i ?
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?i (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?i (t1 )k = ??11 . Нетрудно видеть,
что t1 > 0.
Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или
l ?
l ?
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, определены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i .
Число ?i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр
обхода преследователей Pi , . . . , Pr+m .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti +?i ) строим исходя из инормации о том,
какое равенство в момент t = ti выполнено: kz?i (ti )k = ?i или kz?i (ti )k = ?i . В первом случае
нужно руководствоваться правилами случая 11, во втором случая 10.
Если существуют номера i, j ? Nn , i 6= j, такие, что ti = tj , то сначала обходим i-того
?jj
преследователя, а затем, подпустив j -ого на расстояние ?1 ( ), применяем управление для
2
?j
обхода преследователя Pj за время . Таким образом, управление в случае 20а построено.
2
Случай 20б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 20а, только существует
номер i ? Nr такой, что (z?i0 , p) > 0 и (z?i0 , p) > 0.
90
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 20а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
?1 (?ii ) ? i ?2 (?ii )
времени t = ti такой, что kz?i (t)k = ?ii и kz?i (t)k = ??ii . Пусть ?ii =
, ?i =
. Стратегия
2
2
убегания и доказательство будут такими же, как в случае 5б, только вместо ?1 возьмем ?ii ,
? i , а вместо ?1 из случая 5б ?i .
вместо ?2 возьмем ?
i
0
0
Случай 21а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
1
0
для некоторого m1 ? Nn \ Nr , (zm2 , p) > 0 для некоторого m2 ? Nn \ (Nr ? {m1 }) и (z?i0 , p) 6 0
для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }, (zi0 , p) 6 0 для любого
i ? Nn \ {m2 }. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 2, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m1 (t? )k = ?j , (z?m1 (t? ), p) > 0, или kzm2 (t? )k = ?j , (zm2 (t? ), p) > 0, или для
некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?m1 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях
um1 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в первом случае, (zm2 (t? + ?j ), p) 6 0, при любых управлениях
um2 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в третьем.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется ?2 (t) = ?i и kz?m1 (ti )k = ?i ,
(z?m1 (ti ), p) > 0, или ?3 (t) = ?i и kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, или ?1 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0, а если
kz?m1 (ti )k = ?i , (z?m1 (ti ), p) > 0, то m1 = i. Если kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, то m2 = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
, ?i = ?1 (?1i ), ??1i = ?2 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
2i+2 1
(45)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?1 (?1i ) + ?2 (?11 ) + ?3 (?12 ) <
i=3
27?2
11?4
65?3
+ 5 +
.
320
8
4! · 163
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m1 , m2 }), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
(? i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i 1 ?
?
= 0.
2
3!
4!
...
Если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kzi (t? )k = ??1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?1i ?
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?
91
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 , ?1 = ??11 , если kz1 (t1 )k = ??11 . Отметим, что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, опреl ?
l ?
l ?
делены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает
сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей
Pi , . . . , Pr+2 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti + ?i ) строим с учетом поведения преследователей Pm1 и Pm2 . Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kz?m1 (t)k = ?m1 , то
управление убегающего до момента t = tm1 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Pm1 нужно осуществить за
время ?m1 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm1 не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление
в соответствии со случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm1 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm1 .
В случае если преследователь Pm1 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время ?m1 , а с момента
t = ti руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm1 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит
? m1
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( m1 ).
2
?m1
Маневр уклонения от преследователя Pm1 осуществим за время
по алгоритму, опи2
санному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Преследователь Pm2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Pm2 в соответствии со случаем 9.
Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kzm2 (t)k = ?m2 , то управление убегающего до момента t = tm2 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии
со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm2 нужно осуществить за время ?m2 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm2 не
происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm2 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm2 .
В случае если преследователь Pm2 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время ?m2 , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит моm2
?m
мент t?i такой, что kzm2 (t?i )k = ?3 ( 2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуществим
2
?m2
за время
по алгоритму, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от
2
преследователя Pi . Преследователь Pm1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения
от преследователя Pm1 в соответствии со случаем 10.
Если tm1 ? [ti , ti + ?i ) и tm2 ? [ti , ti + ?i ), то управление убегающего до момента t = tm , где
m = m1 или m = m2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Pm1 или
Pm2 , нужно выбирать как в случае 11, а затем управление должно быть выбрано в соответствии
со случаем 10, если m = m1 , или случаем 9, если m = m2 . Маневр обхода преследователя Pm
нужно осуществлять за время ?m . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11 до
момента t = tm? , где m? ? {m1 , m2 } номер преследователя, который не встречался ранее. После
того как наступил момент t = tm? , управление выбираем как в случае 10, если m? = m1 , или как
92
в случае 9, если m? = m2 . Маневр обхода преследователя Pm? нужно осуществлять за время ?m? .
Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm (Pm? ) происходит сближение
с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода
преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm (Pm? ): как в случае 9, если m(m?) = m2 , или как в случае 10, если m(m?) = m1 .
В случае если преследователь Pm (Pm? ) встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr ,
тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9, если m(m?) = m2 , или со
случаем 10, если m(m?) = m1 , за время ?m (?m? ), а с момента t = ti руководствоваться правилами
случая 11.
Если же tm (tm? ) = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит
m1
m2
?m
?m
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( 1 ) (kzm2 (t?i )k = ?3 ( 2 )). Маневр уклонения от пре2
2
?m1 ?m2
следователя Pm1 (Pm2 ) осуществим за время
(
) по алгоритму, описанному в случае 10
2
2
(в случае 9), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 10, чтобы завершить маневр
уклонения от преследователя Pi .
Если же tm1 = tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не на? m1
ступит момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( m1 ). Маневр уклонения от преследователя Pm1
4
?
осуществим за время m4 1 по алгоритму, описанному в случае 10, до тех пор, пока не наступит
m2
?m
момент t??i такой, что kzm2 (t??i )k = ?3 ( 2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуще4
?m2
ствим за время
по алгоритму, описанному в случае 9, а затем вернемся к управлению,
4
описанному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 21а доказано.
Случай 21б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 21а, только m1 (m2 ) ? Nr .
0 , p) > 0 ((z 0 , p) > 0) и (z? 0 , p) > 0 ((z? 0 , p) > 0), m (m ) ? N , а q 6 r + 1.
Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 21а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m1 (kz?
m2
m1
времени t = tm1 (t = tm2 ) такой, что kz?m1 (t)k = ?m
m2 (t)k = ?m2 ) и kz?m1 (t)k = ??m1
1
m2 ). Пусть
(kzm2 (t)k = ??m
2
1
?m
m1 =
m1 )
m2 )
?1 (?m
?1 (?m
1
2
2
(?m
=
),
m2
2
2
m1
m2
? m1 = ?2 (?m1 ) (?
? m2 = ?3 (?m2 ) ).
?
m1
m2
2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 5б (6б), только вместо ?1
m2
1
? m1 ? m2
возьмем ?m
m1 (?m2 ), вместо ?2 возьмем ?m1 (?m2 ), а вместо ?1 из случая 5б (6б) ?m1 (?m2 ).
Случай 21в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 21а, только существует
0 , p) > 0, (z 0 , p) > 0, (z? 0 , p) > 0, (z? 0 , p) > 0, m , m ? N ,
номер m1 , m2 ? Nr . Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
а q 6 r.
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случаях 21а
и 21б, за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует моm1 , kz?
m2
m1
мент времени t = tm1 = tm2 такой, что kz?m1 (t)k = ?m
m2 (t)k = ?m2 , kz?m1 (t)k = ??m1 ,
1
m
kzm2 (t)k = ??m22 . Пусть
1
?m
m1 =
m1 )
?1 (?m
1
,
4
2
?m
m2 =
m2 )
?1 (?m
2
,
4
m1
? m1 = ?2 (?m1 ) ,
?
m1
4
m2
? m2 = ?3 (?m2 ) .
?
m2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 5б и 6б, только вместо ?1
m2
1
? m1
? m2
возьмем ?m
m1 и ?m2 , вместо ?2 возьмем ?m1 и ?m2 , а вместо ?1 из случая 5б ?m1 , вместо ?1
из случая 6б ?m2 соответственно.
0
0
Случай 22а. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
1
0
для некоторого m1 ? Nn \ Nr , (zm2 , p) > 0 для некоторого m2 ? Nn \ (Nr ? {m1 } и (z?i0 , p) 6 0
для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }, (zi0 , p) 6 0 для любого
93
i ? Nn \ {m2 }. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 2, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m1 (t? )k = ?j , (z?m1 (t? ), p) > 0, или kzm2 (t? )k = ?j , (zm2 (t? ), p) > 0, или для
некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?m1 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях
um1 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в первом случае, (zm2 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях
um2 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в третьем.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется ?1 (t) = ?i и kz?m1 (ti )k = ?i ,
(z?m1 (ti ), p) > 0, или ?3 (t) = ?i и kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, или ?2 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0, а если
kz?m1 (ti )k = ?i , (z?m1 (ti ), p) > 0, то m1 = i. Если kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, то m2 = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?2 (?1i ), ??1i = ?1 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
(46)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?2 (?1i ) + ?1 (?11 ) + ?3 (?12 ) <
i=3
65?4
39?3
11?2
+
+
.
28
4! · 164
70 · 45
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m1 , m2 }), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?1i ?
?
= 0.
3!
4!
...
Если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kzi (t? )k = ??1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 , ?1 = ??11 , если kz1 (t1 )k = ??11 . Отметим, что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, опреl ?
l ?
l ?
делены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает
сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей
Pi , . . . , Pr+2 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti + ?i ) строим с учетом поведения преследователей Pm1 и Pm2 . Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kz?m1 (t)k = ?m1 , то
94
управление убегающего до момента t = tm1 нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Pm1 нужно осуществить за
время ?m1 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Pm1 не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление
в соответствии со случаем 10.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm1 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm1 .
В случае если преследователь Pm1 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время ?m1 , а с момента
t = ti руководствоваться правилами случая 10.
Если же tm1 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит
m1
?m
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( 1 ).
2
?m1
Маневр уклонения от преследователя Pm1 осуществим за время
по алгоритму, опи2
санному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Преследователь Pm2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Pm2 в соответствии со случаем 9.
Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kzm2 (t)k = ?m2 , то управление убегающего до момента t = tm2 нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии
со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm2 нужно осуществить за время ?m2 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Pm2 не
происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со случаем 10.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm2 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm2 .
В случае если преследователь Pm2 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время ?m2 , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 10.
Если же tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит
? m2
момент t?i такой, что kzm2 (t?i )k = ?3 ( m2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуще2
?m2
ствим за время
по алгоритму, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения
2
от преследователя Pi . Преследователь Pm1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Pm1 в соответствии со случаем 10.
Если tm1 ? [ti , ti + ?i ) и tm2 ? [ti , ti + ?i ), то управление убегающего до момента t = tm , где
m = m1 или m = m2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Pm1 или
Pm2 , нужно выбирать как в случае 10, а затем управление должно быть выбрано в соответствии
со случаем 11, если m = m1 , или случаем 9, если m = m2 . Маневр обхода преследователя Pm
нужно осуществлять за время ?m . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10 до
момента t = tm? , где m? ? {m1 , m2 } номер преследователя, который не встречался ранее. После
того как наступил момент t = tm? , управление выбираем как в случае 11, если m? = m1 , или как
в случае 9, если m? = m2 . Маневр обхода преследователя Pm? нужно осуществлять за время ?m? .
Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm (Pm? ) происходит сближение
с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода
преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm (Pm? ): как в случае 9, если m(m?) = m2 , или как в случае 11, если m(m?) = m1 .
В случае если преследователь Pm (Pm? ) встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr ,
тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9, если m(m?) = m2 , или со
95
случаем 11, если m(m?) = m1 , за время ?m (?m? ), а с момента t = ti руководствоваться правилами
случая 10.
Если же tm (tm? ) = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит
m1
m2
?m
?m
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( 1 ) (kzm2 (t?i )k = ?3 ( 2 )). Маневр уклонения от пре2
2
?m1 ?m2
следователя Pm1 (Pm2 ) осуществим за время
(
) по алгоритму, описанному в случае 11
2
2
(в случае 9), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 10, чтобы завершить маневр
уклонения от преследователя Pi .
Если же tm1 = tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не на? m1
ступит момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( m1 ). Маневр уклонения от преследователя Pm1
4
?m1
осуществим за время
по алгоритму, описанному в случае 11, до тех пор, пока не наступит
4
m
? 2
момент t??i такой, что kzm2 (t??i )k = ?3 ( m42 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуще?
ствим за время m4 2 по алгоритму, описанному в случае 9, а затем вернемся к управлению,
описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом уклонение от встречи в случае 22а доказано.
Случай 22б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 22а, только m1 (m2 ) ? Nr .
0 , p) > 0 ((z 0 , p) > 0) и (z? 0 , p) > 0 ((z? 0 , p) > 0), m (m ) ? N , а q 6 r + 1.
Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случае 22а, за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует
m1 (kz
m2
m1
момент времени t = tm1 (t = tm2 ) такой, что kz?m1 (t)k = ??m
m2 (t)k = ??m2 ) и kz?m1 (t)k = ?m1
1
m2 ). Пусть
(kzm2 (t)k = ?m
2
1
?m
m1 =
m1 )
m2 )
?2 (?m
?2 (?m
1
2
2
(?m
=
),
m2
2
2
m1 )
m2 )
?1 (?m
?3 (?m
m2
1
2
1
?m
?
?
=
(
?
=
).
m1
m2
2
2
1
Тогда убегание будет доказываться так же, как в случае 5б (7б), только вместо ?1 возьмем ?m
m1
2
? m1 ? m2
(?m
m2 ), вместо ?2 возьмем ?m1 (?m2 ), а вместо ?1 из случая 5б (7б) ?m1 (?m2 ).
Случай 22в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 22а, только существует
0 , p) > 0, (z 0 , p) > 0, (z? 0 , p) > 0, (z? 0 , p) > 0, m , m ? N ,
номер m1 , m2 ? Nr . Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
а q 6 r.
Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случаях 22а и 22б, за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существуm1 , kz?
m2
m1
ет момент времени t = tm1 = tm2 такой, что kz?m1 (t)k = ?m
m2 (t)k = ?m2 , kz?m1 (t)k = ??m1 ,
1
m2 . Пусть
kzm2 (t)k = ??m
2
1
?m
m1 =
m1 )
?2 (?m
1
,
4
2
?m
m2 =
m2 )
?2 (?m
2
,
4
m1
? m1 = ?1 (?m1 ) ,
?
m1
4
m2
? m2 = ?3 (?m2 ) .
?
m2
2
1
Тогда убегание будет доказываться так же, как в случае 5б и 7б, только вместо ?1 возьмем ?m
m1
m
m
m
? m1 и ?
? m2 , а вместо ?1 из случая 5б ?m , вместо ?1 из случая 7б и ?m22 , вместо ?2 возьмем ?
1
1
2
?m2 соответственно.
0
0
Случай 23а. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
1
0 , p) > 0 для некоторого m ? N \ (N ? {m }) и (z 0 , p) 6 0
для некоторого m1 ? Nn \ Nr , (z?m
2
n
r
1
i
2
для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }, (z?i0 , p) 6 0 для любого
i ? Nn \ {m2 }. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 2, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент
времени t? > 0 выполняется kz?m1 (t? )k = ?j , (z?m1 (t? ), p) > 0, или kz?m2 (t? )k = ?j , (z?m2 (t? ), p) > 0,
или для некоторого l ? Nr kzl (t? )k = ?j , (zl (t? ), p) > 0, то (z?m1 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых
управлениях um1 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в первом случае, (z?m2 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых
управлениях um2 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором и (zl (t? + ?j ), p) 6 0 при любых
управлениях ul (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в третьем.
96
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется ?1 (t) = ?i и kz?m1 (ti )k = ?i ,
(z?m1 (ti ), p) > 0, или ?2 (t) = ?i и kz?m2 (ti )k = ?i , (z?m2 (ti ), p) > 0, или ?3 (t) = ?i и существует l ? Nr такой, что kzl (ti )k = ?i , (zl (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kzi (ti )k = ?i и (zi (ti ), p) > 0, а если
kz?m1 (ti )k = ?i , (z?m1 (ti ), p) > 0, то m1 = i. Если kz?m2 (ti )k = ?i , (z?m2 (ti ), p) > 0, то m2 = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
2i+2
, ?1i = ?3 (?1i ), ??1i = ?1 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
(47)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?3 (?1i ) + ?1 (?11 ) + ?2 (?12 ) <
i=3
11?2
23?4
65?3
+
+
.
256
4! · 1792 4! · 163
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m1 , m2 }), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kzi (t? )k = ?1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i ?
3!
4!
...
Если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(?1i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
?
?
= 0.
2
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?1i ?
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 , ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 . Отметим, что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения
kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, опреl ?
l ?
l ?
делены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает
сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей
Pi , . . . , Pr+2 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti + ?i ) строим с учетом поведения преследователей Pm1 и Pm2 . Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m1 (t)k = ?m1 ,
то управление убегающего до момента t = tm1 нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Pm1 нужно осуществить
за время ?m1 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Pm2 не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление
в соответствии со случаем 9.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm1 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm1 .
97
В случае если преследователь Pm1 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время ?m1 , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 9.
Если же tm1 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит мо? m1
мент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( m1 ).
2
?m1
Маневр уклонения от преследователя Pm1 осуществим за время
по алгоритму, опи2
санному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Преследователь Pm2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Pm2 в соответствии со случаем 10.
Если на полуинтервале [ti , ti + ?i ) выполнено равенство kz?m2 (t)k = ?m2 , то управление убегающего до момента t = tm2 нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Pm2 нужно осуществить за время ?m2 .
Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем
Pm2 не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии
со случаем 9.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm2 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm2 .
В случае если преследователь Pm2 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время ?m2 , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 9.
Если же tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит мо? m2
мент t?i такой, что kz?m2 (t?i )k = ?2 ( m2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуществим
2
?m
за время 2 по алгоритму, описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от пре2
следователя Pi . Преследователь Pm1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения
от преследователя Pm1 в соответствии со случаем 11.
Если tm1 ? [ti , ti + ?i ) и tm2 ? [ti , ti + ?i ), то управление убегающего до момента t = tm , где
m = m1 или m = m2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Pm1 или
Pm2 , нужно выбирать как в случае 9, а затем управление должно быть выбрано в соответствии
со случаем 11, если m = m1 , или случаем 10, если m = m2 . Маневр обхода преследователя Pm
нужно осуществлять за время ?m . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9 до
момента t = tm? , где m? ? {m1 , m2 } номер преследователя, который не встречался ранее.
После того как наступил момент t = tm? , управление выбираем как в случае 11, если m? = m1 ,
или как в случае 10, если m? = m2 . Маневр обхода преследователя Pm? нужно осуществлять за
время ?m? . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm (Pm? ) происходит сближение
с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода
преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm (Pm? ): как в случае 10, если m(m?) = m2 , или как в случае 11, если m(m?) = m1 .
В случае если преследователь Pm (Pm? ) встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr ,
тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10, если m(m?) = m2 , или со
случаем 11, если m(m?) = m1 , за время ?m (?m? ), а с момента t = ti руководствоваться правилами
случая 9.
Если же tm (tm? ) = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит
? m1
? m2
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( m1 ) (kz?m2 (t?i )k = ?2 ( m2 )). Маневр уклонения от пре2
2
?m1 ?m2
следователя Pm1 (Pm2 ) осуществим за время
(
) по алгоритму, описанному в случае 11
2
2
(в случае 10), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 9, чтобы завершить маневр
уклонения от преследователя Pi .
98
Если же tm1 = tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наm1
?m
ступит момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?1 ( 1 ). Маневр уклонения от преследователя Pm1
4
?m1
осуществим за время
по алгоритму, описанному в случае 11, до тех пор, пока не наступит
4
m
? 2
??
момент ti такой, что kz?m2 (t??i )k = ?2 ( m42 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуще?m2
ствим за время
по алгоритму, описанному в случае 10, а затем вернемся к управлению,
4
описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Таким образом, уклонение от встречи в случае 23а доказано.
Случай 23б. Пусть начальные условия такие же, как в случае 23а, только m1 (m2 ) ? Nr .
0 , p) > 0 ((z? 0 , p) > 0) и (z 0 , p) > 0 ((z 0 , p) > 0), m (m ) ? N , а q 6 r + 1.
Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 23а,
за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует момент
m1 (kz?
m2
m1
времени t = tm1 (t = tm2 ) такой, что kz?m1 (t)k = ??m
m2 (t)k = ??m2 ) и kzm1 (t)k = ?m1
1
m2 ). Пусть
(kzm2 (t)k = ?m
2
1
?m
m1 =
m2 )
m1 )
?3 (?m
?3 (?m
2
1
2
(?m
=
),
m2
2
2
m1 )
m2 )
?1 (?m
?2 (?m
m2
1
2
1
?m
?
?
=
(
?
=
).
m1
m2
2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 6б (7б), только вместо ?1
m2
1
? m1 ? m2
возьмем ?m
m1 (?m2 ), вместо ?2 возьмем ?m1 (?m2 ), а вместо ?1 из случая 6б (7б) ?m1 (?m2 ).
Случай 23в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 23а, только существует
0 , p) > 0, (z? 0 , p) > 0, (z 0 , p) > 0, (z 0 , p) > 0, m , m ? N ,
номер m1 , m2 ? Nr . Тогда (z?m
1
2
r
m2
m1
m2
1
а q 6 r.
Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случаях 23а
и 23б, за исключением варианта построения управления убегающего E , когда существует моm1 , kz
m2
m1
мент времени t = tm1 = tm2 такой, что kzm1 (t)k = ?m
m2 (t)k = ?m2 , kz?m1 (t)k = ??m1 ,
1
m2 . Пусть
kz?m2 (t)k = ??m
2
1
?m
m1 =
m1 )
?3 (?m
1
,
4
2
?m
m2 =
m2 )
?3 (?m
2
,
4
m1 )
?1 (?m
1
1
?m
?
=
,
m1
4
m2 )
?2 (?m
2
2
?m
?
=
.
m2
2
Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 6б и 7б, только вместо ?1
m2
1
? m1
? m2
возьмем ?m
m1 и ?m2 , вместо ?2 возьмем ?m1 и ?m2 , а вместо ?1 из случая 6б ?m1 , вместо ?1
из случая 7б ?m2 соответственно.
Промежуточный итог. Итак, перебрав различные варианты сочетаний начальных условий, мы рассмотрели 23 случая. Случай 1 когда сближения с преследователями не происходит, в остальных случаях происходят сближения трех разных видов.
Сближением первого вида назовем сближение в обычном смысле, то есть такое, когда расстояние между убегающим и преследователем сокращается.
Сближением второго вида, или сближением по первой производной, назовем сближение
преследователя Pi и убегающего E , когда выполняется kz?i (t)k = ?, где i номер преследователя, t некоторый момент времени, ? некоторое заданное положительное достаточно малое
число.
Сближением третьего вида, или сближением по второй производной, назовем сближение
преследователя Pi и убегающего E , когда выполняется kz?i (t)k = ?, где i номер преследователя, t некоторый момент времени, ? некоторое заданное положительное достаточно малое
число.
В этих терминах в случаях 24 рассматриваются такие варианты начальных условий, когда
возможно одно сближение одного вида: в случае 2 одно сближение третьего вида (по второй
производной), в случае 3 одно сближение второго вида (по первой производной), в случае 4
одно сближение первого вида (в обычном смысле).
Обозначим сближение первого вида как z, сближение второго вида как z?, третьего вида
как z?. В случаях 57 рассматриваются варианты начальных условий, когда возможны два
99
сближения двух разных видов, в случае 8 три разных сближения по одному каждого вида. Используя введенные обозначения, сведем инормацию о том, какие начальные условия
рассматриваются в этих случаях, в таблицу.
1
2
3
4
5
6
7
8
z
нет
нет
нет
1
нет
1
1
1
z?
нет
нет
1
нет
1
нет
1
1
z?
нет
1
нет
нет
1
1
нет
1
В случаях 911 рассматриваются начальные условия такие, что возможно несколько сближений одного вида: в случае 9 несколько сближений первого вида, в случае 10 несколько сближений второго вида, в случае 11 несколько сближений третьего вида.
В случаях 1220 рассматриваются начальные условия такие, что возможно несколько сближений двух разных видов. Сведем инормацию о том, какие начальные условия рассматриваются в этих случаях, в таблицу, при этом в столбцах таблицы будем указывать количество
возможных сближений.
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
z
неколько
нет
нет
несколько
1
несколько
несколько
1
несколько
нет
нет
нет
z?
нет
несколько
нет
1
несколько
несколько
нет
нет
нет
1
несколько
несколько
z?
нет
нет
несколько
нет
нет
нет
1
несколько
несколько
несколько
1
несколько
В случаях 2123 рассматриваются такие начальные условия, когда одного вида сближений
несколько, а двух других видов по одному. Занесем эти данные таким же образом в таблицу.
21
22
23
z
1
1
несколько
z?
1
несколько
1
z?
несколько
1
1
Осталось рассмотреть случаи 2427, начальные условия которых схематично заданы таблицей
ниже, чтобы получился полный перебор.
24
25
26
27
z
несколько
несколько
1
несколько
z?
несколько
1
несколько
несколько
Предположим, что (z?i0 , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 6 r 6 n, (zi0 , p) > 0,
0 , p) > 0, m ? N \ (Qr ? N ), (z? 0 , p) 6 0 для любого i ? N \ N ,
r < m < n, (z?m
1
n
r
n
r
m
i
1
Случай 24.
i ?
Qrm ,
z?
1
несколько
несколько
несколько
100
(zi0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Qrm , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }. Управление в этом
случае выбираем в соответствии со случаем 22 или 23 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания,
описанные в случаях 22 и 23, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от
встречи в случае 24 будет построено.
0
0
Случай 25. Предположим, что (zi , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 6 r 6 n, (z?i , p) > 0,
r
0
r
0
i ? Qm , r < m < n, (z?m1 , p) > 0, m1 ? Nn \ (Qm ? Nr ), (zi , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Nr ,
(z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Qrm , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }. Управление в этом
случае выбираем в соответствии со случаем 21 или 23 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания,
описанные в случаях 21 и 23, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от
встречи в случае 25 будет построено.
0
0
Случай 26. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 6 r 6 n, (z?i , p) > 0,
0
0
r
r
i ? Qm , r < m < n, (zm1 , p) > 0, m1 ? Nn \ (Qm ? Nr ), (z?i , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Nr ,
(z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Qrm , (zi0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }. Управление в этом
случае выбираем в соответствии со случаем 21 или 22 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания,
описанные в случаях 21 и 22, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от
встречи в случае 26 будет построено.
0
0
r
Случай 27. Предположим, что (z?i , p) > 0 для любого i ? Nr , 1 6 r 6 n, (z?i , p) > 0, i ? Qm ,
0
0
m
0
r < m < n, (zi , p) > 0, i ? Qn , (z?i , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Nr , (z?i , p) 6 0 для любого
i ? Nn \ Qrm , (zi0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ Qm
n . Сочетание стратегий из случаев 8, 2126 дает
нам построение стратегии убегания в случае 27. Теорема доказана.
Список литературы
1.
Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. ќ 3. С. 145
146.
2. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 1.
С. 1424.
3. Петров Н.Н., Щелчков К.А. К задаче Черноусько // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 6267.
4. Зак В.Л. Задача уклонения от многих преследователей, управляемых по ускорению // Известия
АН ССС. Техническая кибернетика. 1981. ќ 2. С. 5171.
5. Прокопович П.В., Чикрий А.А. Одна диеренциальная игра убегания // ДАН УСС. Серия А.
1989. ќ 1. С. 7174.
6. Чикрий А.А., Прокопович П.В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов // Диеренциальные уравнения. 1994. Т. 30. ќ 6. С. 9981004.
7. Петров Н.Н. К нестационарой задаче группового преследования с азовыми ограничениями //
Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. ќ 4. С. 7483.
8. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов // Известия АН. Теория и системы
управления. 2007. ќ 3. С. 4553.
9. Сахаров Д.В. О двух диеренциальных играх простого группового преследования // Вестник
Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 1. С. 5059.
10. Банников А.С. Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 1. С. 310.
11. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и инорматики УдУ. 2013. Вып. 1 (41). С. 346.
12. Благодатских А.И. Петров Н.Н. Конликтное взаимодействие групп управляемых объектов.
Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.
Поступила в редакцию 01.08.2013
101
REFERENCES
1. Pshenihnyi B.N. Simple pursuit by several objets, Kibernetika, 1976, no. 3, pp. 145146.
2. Chernous'ko F.L. One problem of evasion from many pursuers, Prikl. Mat. Mekh., 1976, vol. 40, no. 1,
pp. 1424.
3. Petrov N.N., Shhelhkov K.A. To the problem of Chernous'ko, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh.
Komp'yut. Nauki, 2012, no. 4, pp. 6267.
4. Zak V.L. Problem of evasion from many pursuers ontrolled by aeleration, Izvestiya Akademii Nauk
SSSR. Tekhniheskaya Kibernetika, 1981, no. 2, pp. 5171.
5. Prokopovih P.V., Chikrii A.A. An evasion dierential game, Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR. Ser. A,
1989, no. 1, pp. 7174.
6. Chikrii A.A., Prokopovih P.V. The problem of evasion from a group for inertial objets of the same
type, Dier. Uravn., 1994, vol. 30, no. 6, pp. 9981004.
7. Petrov N.N. On the nonstationary problem of group pursuit with phase onstraints, Mat. Teor. Igr
Prilozh., 2010, vol. 2, no. 4, pp. 7483.
8. Chirkova L.S. Evasion from a group of inertial objets, Journal of Computer and Systems Sienes
International, 2007, vol. 46, no. 3, pp. 377385.
9. Sakharov D.V. On two dierential games of simple group pursuit, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh.
Komp'yut. Nauki, 2012, no. 1, pp. 5059.
10. Bannikov A.S. Evasion from group of non-stationary inertial objets, Vestn. Udmurt. Univ. Mat.
Mekh. Komp'yut. Nauki, 2010, no. 1, pp. 310.
11. Bannikov A.S. Some non-stationary problems of group pursuit, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos.
Univ., 2013, no. 1 (41), pp. 346.
12. Blagodatskikh A.I., Petrov N.N. Koniktnoe vzaimodeistvie grupp upravlyaemykh obektov (Conit
interation of groups of ontrolled objets), Izhevsk: Udmurt State University, 2009, 266 p.
Reeived 01.08.2013
L. S. Chirkova
Evasion from a group of inertial objects in fourth order game
We consider the problem of conflict interaction of one evader with a group of pursuers with equal dynamic capabilities
of all players. The motion of each player is defined by fourth order differential equation. The initial conditions are
given at the initial time. We prove that if zero does not belong to convex hull spanned by the vectors of the initial
conditions, then evasion from capture is possible.
Keywords: differential games, group pursuit, state constraints, evasion from capture.
Mathematical Subject Classifications: 49N75, 91A23, 49N70, 91A06
Чиркова Любовь Сергеевна, научный сотрудник, Институт математики и инорматики, Удмуртский государственный университет, 426034, оссия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: lmvstkgmail.om
Chirkova Lyubov Sergeevna, Researcher, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.
E-mail: lmvstk@gmail.com
102
? Nr , 1 < r 6 n, (z?m , p) > 0
1
0
для некоторого m1 ? Nn \ Nr , (zm2 , p) > 0 для некоторого m2 ? Nn \ (Nr ? {m1 }) и (z?i0 , p) 6 0
для всех i из множества Nn \ Nr , (z?i0 , p) 6 0 для любого i ? Nn \ {m1 }, (zi0 , p) 6 0 для любого
i ? Nn \ {m2 }. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из
такого начального состояния z 0 .
В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ?j , ?j ,
j = 1, . . . , q, q 6 r + 2, что ?j > ?j+1 , ?j > ?j+1 , j = 1, . . . , q ? 1, причем если в момент времени
t? > 0 выполняется kz?m1 (t? )k = ?j , (z?m1 (t? ), p) > 0, или kzm2 (t? )k = ?j , (zm2 (t? ), p) > 0, или для
некоторого l ? Nr kz?l (t? )k = ?j , (z?l (t? ), p) > 0, то (z?m1 (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях
um1 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в первом случае, (zm2 (t? + ?j ), p) 6 0, при любых управлениях
um2 (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] во втором и (z?l (t? + ?j ), p) 6 0 при любых управлениях ul (s),
v(s) на отрезке [t? , t? + ?j ] в третьем.
Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется ?2 (t) = ?i и kz?m1 (ti )k = ?i ,
(z?m1 (ti ), p) > 0, или ?3 (t) = ?i и kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, или ?1 (t) = ?i и существует
l ? Nr такой, что kz?l (ti )k = ?i , (z?l (ti ), p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено kz?i (ti )k = ?i и (z?i (ti ), p) > 0, а если
kz?m1 (ti )k = ?i , (z?m1 (ti ), p) > 0, то m1 = i. Если kzm2 (ti )k = ?i , (zm2 (ti ), p) > 0, то m2 = i. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят
их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).
i ?
i ?
i ?
При t = 0 построим последовательности {?1i }?
i=1 , {?1 }i=1 , {??1 }i=1 , {??1 }i=1 по правилу:
?1i =
?
, ?i = ?1 (?1i ), ??1i = ?2 (?1i ), ??1i = ?3 (?1i ).
2i+2 1
(45)
Числа ?i , i = 1, . . . , q, будут определены так, что ?i 6 ?1i , i = 1, . . . , q, поэтому
q
X
i=1
?i < ?1 6
q
X
?1 (?1i ) + ?2 (?11 ) + ?3 (?12 ) <
i=3
27?2
11?4
65?3
+ 5 +
.
320
8
4! · 163
Тогда при любых управлениях ui (s), i = 1, . . . , n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве
q
T S
...
[0, t]
[ti , ti + ?i ) справедливы неравенства ( z i (t), p) < ??, t ? [0, +?), i = 1, . . . , n, следоi=1
вательно, сближения с преследователем Pi , i ? Nn \ (Nr ? {m1 , m2 }), не может произойти.
Заметим также, если в момент t = t? для некоторого i ? Nr выполняются соотношения
...
kz?i (t? )k = ?1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых управлениях ui (s), v(s) на отрезке
[t? , t? + ?1i ]
(? i )2 ?(?1i )3 (?1i )4
(zi (t? + ?1i ), p) < ?1i 1 ?
?
= 0.
2
3!
4!
...
Если в момент t = t? выполнено kz?i (t? )k = ??1i , (z?i (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
...
А если в момент t = t? выполнено kzi (t? )k = ??1i , (zi (t? ), p) > 0, ( z i (t? ), p) < ??, то при любых
управлениях ui (s), v(s) на отрезке [t? , t? + ?1i ]
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?1i ?
(zi (t? + ?1i ), p) < ??1i ?
91
?(?1i )3 (?1i )4
?
= 0.
3!
4!
Выбираем ?1 = ?11 , ?1 = ?11 , если kz?1 (t1 )k = ?11 , и ?1 = ??11 , если kz?1 (t1 )k = ??11 , ?1 = ??11 , если kz1 (t1 )k = ??11 . Отметим, что t1 > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения
kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kz?i (ti )k = ?i , (z?i (ti ), p) > 0, или kzi (ti )k = ?i , (zi (ti ), p) > 0, опреl ?
l ?
l ?
делены числа ?i , ?i и последовательности {?il }?
l=i , {?i }l=i , {??i }l=i , {??i }l=i . Число ?i ограничивает
сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей
Pi , . . . , Pr+2 .
Управление убегающего E на полуинтервале [ti , ti + ?i ) строим с учетом поведения преследователей Pm1 и Pm2 . Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kz?m1 (t)k = ?m1 , то
управление убегающего до момента t = tm1 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Pm1 нужно осуществить за
время ?m1 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm1 не происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление
в соответствии со случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm1 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm1 .
В случае если преследователь Pm1 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время ?m1 , а с момента
t = ti руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm1 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит
? m1
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( m1 ).
2
?m1
Маневр уклонения от преследователя Pm1 осуществим за время
по алгоритму, опи2
санному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pi . Преследователь Pm2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Pm2 в соответствии со случаем 9.
Если на полуинтервале [ti , ti +?i ) выполнено равенство kzm2 (t)k = ?m2 , то управление убегающего до момента t = tm2 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии
со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm2 нужно осуществить за время ?m2 . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm2 не
происходит, то на всем полуинтервале [ti , ti + ?i ) выбираем управление в соответствии со случаем 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm2 происходит сближение с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm2 .
В случае если преследователь Pm2 встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr , тогда
нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время ?m2 , а с момента t = ti
руководствоваться правилами случая 11.
Если же tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит моm2
?m
мент t?i такой, что kzm2 (t?i )k = ?3 ( 2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуществим
2
?m2
за время
по алгоритму, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от
2
преследователя Pi . Преследователь Pm1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения
от преследователя Pm1 в соответствии со случаем 10.
Если tm1 ? [ti , ti + ?i ) и tm2 ? [ti , ti + ?i ), то управление убегающего до момента t = tm , где
m = m1 или m = m2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Pm1 или
Pm2 , нужно выбирать как в случае 11, а затем управление должно быть выбрано в соответствии
со случаем 10, если m = m1 , или случаем 9, если m = m2 . Маневр обхода преследователя Pm
нужно осуществлять за время ?m . Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11 до
момента t = tm? , где m? ? {m1 , m2 } номер преследователя, который не встречался ранее. После
того как наступил момент t = tm? , управление выбираем как в случае 10, если m? = m1 , или как
92
в случае 9, если m? = m2 . Маневр обхода преследователя Pm? нужно осуществлять за время ?m? .
Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11.
Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm (Pm? ) происходит сближение
с преследователем Pj , j ? Nr \ {i}, то за время ?j необходимо осуществить маневр обхода
преследователя Pj , руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm (Pm? ): как в случае 9, если m(m?) = m2 , или как в случае 10, если m(m?) = m1 .
В случае если преследователь Pm (Pm? ) встретится раньше, чем преследователь Pi , i ? Nr ,
тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9, если m(m?) = m2 , или со
случаем 10, если m(m?) = m1 , за время ?m (?m? ), а с момента t = ti руководствоваться правилами
случая 11.
Если же tm (tm? ) = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит
m1
m2
?m
?m
момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( 1 ) (kzm2 (t?i )k = ?3 ( 2 )). Маневр уклонения от пре2
2
?m1 ?m2
следователя Pm1 (Pm2 ) осуществим за время
(
) по алгоритму, описанному в случае 10
2
2
(в случае 9), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 10, чтобы завершить маневр
уклонения от преследователя Pi .
Если же tm1 = tm2 = ti , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не на? m1
ступит момент t?i такой, что kz?m1 (t?i )k = ?2 ( m1 ). Маневр уклонения от преследователя Pm1
4
?
осуществим за время m4 1 по алгоритму, описанному в случае 10, до тех пор, пока не наступит
m2
?m
момент t??i такой, что kzm2 (t??i )k = ?3 ( 2 ). Маневр уклонения от преследователя Pm2 осуще4
?m2
ствим за врем
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
518 Кб
Теги
инерционные, игре, четвертое, группы, объектов, уклонения, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа