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Управление устойчивым развитием иерархических систем в условиях коррупции.

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√.ј. ”гольницкий, ј.Ѕ. ”сов
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19
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1. ѕќ—“јЌќ¬ ј «јƒј„»
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2. ћј“≈ћј“»„≈— јя ѕќ—“јЌќ¬ ј «јƒј„»
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20
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CONTROL SCIENCES є 6 ? 2010
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
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0
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0
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0
0
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? sKS i ( t ) ( ( 1 ? P i ( t ) )W i ( t ) ? W2 ),
?
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?
? 0, ??л? ( 1 ? P i ( t ) )W i ( t ) ? W2.
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0
0
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0
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0
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0
K S i (t)
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ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2010
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??; Ri (?i) ? д???д i-г? ?? ?? ???л???ц?? ???????д????? ???д??ц?? ??? ???????д????????
???д?? ?i; VKi(?i) ? ??люч??м?? ? ????????м???ь
??д????? ???????г? ???????д????; Hi(?i) ? ??мм????? ?????????? ?л??? ???????г? ? ?????д????????г? ???????д???; VSi(Wi, Pi) ? ??д????? ?????д????????? д????ль?????, ????????? ?? ????м?
?????????м?? ??г???????? ? ??????? ?ч????? ???ч??? ??д; Gi(t) ? д?л? ???д???, ??л?ч??м?? ? i-г?
?? ?? ????? ??г???????? ? ??л????? ??????ц??,
??????? ???????? ? ??; f1(z), f2(z) ? ????ц?? ш????? ?? ??? ??л?ч???? ?м? ?????? ? ?? ??? д?ч?
??????; f3(z) ? ????ц?? ш????? ??, ??гд? ???
???дл?г?ю? ?? ??????, ?? ?? ?? ????? ? ??????ю?
?? ???м ??; Li(t) ? Ђм??ш??????ї ??????ц?????
дл? ????ц?? ш????? ?? ?????? (??? ?????л?ю? ???ь??????ь ???м?? ????????? ?? ??????); hi(Li(t)) ?
????ц?? ?????? ?? ?? ????д?л???? Ђм??ш??????ї
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???д???, ???????ю??? ? ??м ?? ?? ? ??д? ??????
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???м????? ?????? ? ????????? ?? ???, ?м??? ??д
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0
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(2)
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21
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??????л???? ???????????г? ???л???д?.
0
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? max{Pi, bi}, i =1, 2, ..., N.
(3)
? 0, ??л? x ? x i ; i = 1, 2, ..., N,
0
P (x, t) = ?
? P i ( t ) ? ????????м ?л?ч??;
????м??? ???????д???????? ???д?? ?? ??????????? ?????????м?
d?
----------i = ?ki?i + Yi,
dt
i = 1, 2, ..., N,
????ь ??л?ч????? ?????????м?? ??г????????
(д? ?ч?????) ??????? ?? ??л?ч????? ???????д?????
???д??ц?? л?????? ? ??????ц?????м? ??????ц????ль????? ?i, i = 1, 2, ..., N, ? ???????д???????? ????ц?? ?м?ю? ??д
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i = 1, 2, ..., N,
?------------------B ( x, t )
? B ( x, t )
1 ? EA ?------------------B ( x, t )
+ vx ------------------- = --?t
?x
A ?x
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?
0
W ( x, t ) ( 1 ? P ( x, t ) )
? kcB(x, t) + ------------------------------------------------------- ;
A
o
o
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2, ..., N.
????м???ц?????? ??д?ч? (1) ? (3) ??ш?ю???
??? ?л?д?ю??? ?г????ч????? ?? ?????л????:
0 m Pi(t)m 1 ? ?;
(6)
o
?--------------------B ( x, t )- = --1 ? EA ?--------------------B ( x, t )B ( x, t )- + v ?--------------------x
?t
?x
A ?t
?x
?
0 m bi(t) m bmax;
0 m t m ?;
(8)
0 m KNi(t) m KNmax; KNi(t) m KSi(t) m KSmax;
?i = 0 ?л? 1; 0 m t m ?;
(9)
0 m Hi(t) m 1;
?i = const. (5)
???????? ?????????????? ??ч????? ??ч??? ??д? ? ???ц?????ц?? ??г?????ю??? ??????? B(x, t)
? ???ц?????ц?? ???????????г? ? ??д? ???л???д?
B o(x, t) ? ???????ю??? ? ?л?ч?? ????????????????
???д????д????? ??ль?? ?д?ль ???л? ???? ?????????м? [12]:
0
? 0, ??л? x ? x i ; i = 1, 2, ..., N,
0
W (x, t) = ?
?W i ( t ) ? ????????м ?л?ч??.
(4)
гд? ki ? ??????ц???? ?м??????ц?? ???????д???????? ???д??, Yi ? ???????ц?? ? ???????д????.
0
????ц?? W , P ??????ю? ??л?ч?? ????ч?????
??г???????? ? ????д?л?ю??? ???м?л?м?
0 m Li(t) m Lmax;
i = 1, 2, ..., N
0 m t m ?;
(10)
? ???м?? ???д??? ?? ??????ль ?? ?? ? ??
N
C0 +
? hi(Li)(1 ? Pi)Wi m Cmax,
(11)
i=1
гд? C0 ? ??ч?ль??? ???м?? ???д??? ?? ??????ль;
???ч???? ??л?ч?? KSmax, KNmax, Cmax, bmax ? Lmax
??д???; 0 < ? < 1 ? ??????????, ????д?л??м?? ?????л?г?ч????м? ???м???????м? ?ч????? ???ч???
??д ?? ???д????????.
?????????? ?????ч???г? ???????? ?????м?,
??люч?ю??? ? ???? ??д????, ??????? ? ??????д?м???? ???люд???? ??? ??г?????ю??? ??????? ?
??ч??? ? ???ч??? ??д??, ?. ?.
o
o
? kc B(x, t) + Ko[ B ??? ? B (x, t)] + F0 ? F1 ? F2,
o
Ko[ B ???
o
? B (x, t)] + F0 ? F1 ? F2,
0 m B(x, t) m Bmax,
(7)
o
B min m B o(x, t);
0 m x m L;
0 m t m ?;
(12)
гд? x ? ???????????????? ????д?????; 0 m x m L;
L ? дл??? ????; E ? ??????ц???? д????????;
A ? ?л???дь ??????ч??г? ??ч???? ????; vx ? ???-
Wi ( t ) [ 1 ? Pi ( t ) ]
---------------------------------------- m Qmax; 0 m t m ?;
0
Qi ( t )
i = 1, 2, ..., N,
????ь ??д? ? ????; kcB(x, t) ? ??м?????? ?? ???м??? ?????м?ч????г? ??????л???? ???л???д? ??-??
гд? Q i (t) ? ?????д ??д? ?? i-м ??; ??л?ч??? Bmax,
o
o
?????д?; Ko[ B ??? ? B (x, t)] ? д?????? ?????????-
22
(13)
0
o
B min , Qmax ??д???.
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2010
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
??л???? (12) ??????? ? г???д?????????м? ????д????м? ??ч????? ??ч??? ??д?, ? ??л???? (13) ? ??
????д????м? ??????л???? ??г???????? ? ?ч??????? ???ч??? ??д?? дл? ???д?? ??ч?? ?????? [5].
? ??ч????? м???д? ???????ч????г? ?????л????
? м?д?л? (1)?(13) ???л?????? м???д ?????д????.
? ???м ?л?ч?? ??? ???????? ?????л???? ???д??????ю? ?? ц?л???? ????ц?? ??????????? ?????????. ???????? ц?ль ?? ??????? ? ????л????? ??л???? (12), (13) ??? ??л?ч?? ??????ц??.
3. ћ≈“ќƒ ѕќЅ”∆ƒ≈Ќ»я ¬ ”—Ћќ¬»я’ ќ––”ѕ÷»»
??? ?????д???? ?? ?????ч?ю? ???м?? ?л???
?? ?????л?м????? ? ????????м??????? ????? ?? ?
??ш?ю?, ??г?д?? л? ?м ????ь ???дл?г??м?? ??
??????.
?лг????м ?????????? ?????????? ?????д???? ?
??л????? ??????ц?? ??????? ? ?л?д?ю??м:
1. ? ????ль???? м???м???ц?? ????ц????л? (3)
??? ?г????ч????? (8) ????д?л?ю??? ????м?ль???
??????г?? ?? ? ??????м???? ?? ?????л???? ??:
P i* = P i* (KNi, KSi, ?i); b *i = b *i (KNi, KSi, ?i);
i = 1,2, ..., N.
2. ???д????? ? ?. 1 ?лг????м? ??????г?? ??
??д????л?ю??? ? ц?л???ю ????ц?ю (2). ???л? ???г? ?????д???? ?? м????м???ц?? ??? ?г????ч?????
(9). ? ????ль???? ????д?л?ю??? ????м?ль??? ?????л???? ?? ? ??????м???? ?? ??????г?? ??:
{K N i* = K N i* (Gi, Li); K S i* = K S i* (Gi, Li);
N
? *i = ? *i (Gi, Li) } i = 1 .
3. ??ш????? ??д?ч? (1), (10)?(13) ? ?ч???м, ч??
Pi = P i* (K N i* , K S i* , ? *i ); bi = b *i (K N i* , K S i* , ? *i );
i = 1, 2, ..., N,
KNi = K N i* (Gi, Li);
KSi = K S i* (Gi, Li);
?i = ? *i (Gi, Li).
????м?ль??м? дл? ?? ??л?ю??? ??л?ч???
N
{ G i*; L *i } i = 1 , ?????????? ?? м????м?ль??? д???д ??? ????л?????? ??л????? (12), (13).
4. ?????????? ?????д???? ????д?л?м ??? ?????
??л?ч??
N
{G i* ; L *i ; (KNi)*; (KSi)*; (?i)*; (Pi)*; (bi)* } i = 1 ,
гд? (KNi)* = K N i* (G i* , L *i ); (KSi)* = K S i* (G i* , L *i );
(?i)* = ? *i (G i* , L *i ); (Pi)* = P i* ((KNi)*, (KSi)*, (?i)*);
(bi)* = b *i (KNi)*, (KSi)*, (?i)*).
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2010
? ????м ?л?ч?? ?????????? ?????д???? ???????? ?? ?????? м???д?? ?м???ц?????г? м?д?л????????.
4. »ћ»“ј÷»ќЌЌќ≈ ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»≈ ѕќ¬≈ƒ≈Ќ»я
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23
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..., KSi, M ? 1; ?i, 0, ?i, 1, ..., ?i, M ? 1);
{ G i*, j ; L *i, j ; K N i*, j ; K S i*, j ; ? *i, j ; P i*, j ; b *i, j } i, j = 1 ( 0 ) ,
G i*, j = G i*, j ;
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K N i*, j ( G i*, 0 , G i*, 1 , ..., G i*, M ? 1 ; L *i, 0 , L *i, 1 , ..., L i*, M ? 1 );
K N i*, j = K N i*, j ( G i*, 0 , G i*, 1 , ..., G i*, M ? 1 ;
L *i, 0 , L *i, 1 , ..., L i*, M ? 1 );
b *i, j = b *i, j (KNi, 0, KNi, 1, ..., KNi, M ? 1; KSi, 0, KSi, 1,
..., KSi, M ? 1; ?i, 0, ?i, 1, ..., ?i, M ? 1);
? *i, j = ? *i, j ( G i*, 0 , G i*, 1 , ..., G i*, M ? 1 ;
i = 1, 2, ..., N; j = 0, 1, ..., M ? 1,
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Gi, 1, ..., Gi, M ? 1;
Li, 0, Li, 1, ..., Li, M ? 1);
K S i*, j = K S i*, j (Gi, 0, Gi, 1, ..., Gi, M ? 1;
Li, 0, Li, 1, ..., Li, M ? 1);
? *i, j = ? *i, j (Gi, 0, Gi, 1, ..., Gi, M ? 1;
Li, 0, Li, 1, ..., Li, M ? 1);
i = 1,2, ..., N;
j = 0, 1, ..., M ? 1.
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j = 0, 1, ..., M ? 1.
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24
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L *i, 0 , L *i, 1 , ..., L i*, M ? 1 );
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K S i*, 0 , K S i*, 1 , ..., K S i*, M ? 1 ; ? *i, 0 , ? *i, 1 , ..., ? i*, M ? 1 );
b *i, j = b *i, j (K N i*, 0 , K N i*, 1 , ..., K N i*, M ? 1 ;
K S i*, 0 , K S i*, 1 , ..., K S i*, M ? 1 ; ? *i, 0 , ? *i, 1 , ..., ? i*, M ? 1 ).
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?1
6
3
2
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9
o
= 0,4 (??? ?. ?.)/мг; ?0 = 5?10 ?. ?.; B ??? = 22 мг/л;
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2010
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W1 = 0,25?1?1(?0)
1/2
; W2 = 0,5?1?1(?0)
1/2
; Qmax = 60;
o
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7
?1
?1
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Cmax = 400 W(0) (??? ?. ?.)/мг; bmax = 2 (??? ?. ?.)/мг;
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L* = 0;
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5
6
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Jy = ?29,79 ?. ?. ?
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J? = 4,07?105 ?. ?.;
Jy= ?29,79 ?. ?. ?
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(P(t1))*= 0,495;
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) = 1;
2
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?*(t2) = 1;
L*(t2) = 0.
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6
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6
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?????? 5. ? ?л?ч?? д????? ???м??? 1 ? ?м??ьш???? ???м?????? ?????? ??г????????, ?. ?. ??? W1 =
1/2
1/2
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6
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5
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J1 = 9,95?10 ?. ?.;
5
Jy = 6,57?10 ?. ?. ?
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(KN(t))* = (KS(t))* = 10;
(P(t))* = 0,7425;
b* = 100 (??? ?. ?.)/мг;
7
J? = 1,23?10 ?. ?.;
G * = 0,5;
L* = 0;
?* = 0;
J1 = ?1,26?106 ?. ?.;
6
Jy = 4,27?10 ?. ?. ?
?????? 7. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ?
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(P(t))* = 0,7425;
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G * = 1;
5
L* = 0;
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6
J? = 5,83?10 ?. ?.; J1 = 1,68?10 ?. ?.;
Jy = ?29,27 ?. ?. ?
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?1 = 0,01; ?2 = 0,01 ???д??????ю ?????????? ??г?д??
д??ь ??????, ? ?? ?? ??????ь:
(KN(t))* = 0;
(KS(t))* = 1;
(P(t))* = 0,495;
b* = 100 (??? ?. ?.)/мг;
5
J? = 2,34?10 ?. ?.;
G * = 1;
L* = 0;
?* = 1;
6
J1 = 5,73?10 ?. ?.;
5
Jy = 7,62Ј10 ?. ?. ?
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??л????? ??м?? ?????д?? ????? ?????м. ???????? ????????? ?????л???? ???м?????ч??? ??????? ?? ?????д?ю?, ? ????? ? ???м? ?????????л???? ????????м ???????? ?????л???? ??????г?
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usov@math.rsu.ru,
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26
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