close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Управляемость существенно разнотемповых сингулярно возмущенных динамических систем.

код для вставкиСкачать
Математика
Потоковая матрица
Xo
0
0
0
0
0
0
0
рез R, R ={(3, 6), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7)}
имеет пропускную способность, равную 55
единиц и равную величине максимального
суммарного потока из источников S = {1, 2} в
сток T = {6, 7}.
0 5 5 15 0 0
0 10 15 5 0 0
0 0 5 0 10 0
0 0 0 0 10 15 .
0 0 0 0 10 10
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
ВЫВОД
*
Поскольку элементы d ij 0; i 1, 2; j 6, 7,
то величину потока нельзя увеличить, даже
если мощности источников и стоков будут не
ограничены. Это означает, что любой путь,
ведущий из источника в сток, содержит дугу
с нулевой пропускной способностью («насыщенную» дугу). Множество таких дуг образует
минимальный разрез
Разработан новый алгоритм нахождения
максимального потока в многополюсной сети,
который основан лишь на матричном ее описании и не требует графического представления
последней. В силу этого программная реализация данного алгоритма является очень простой, и он может быть использован при решении широкого круга проблем, математические
модели которых могут быть сформулированы
в терминах теории графов.
R, R , отделяющий ис-
точники от стоков. В случае необходимости,
минимальный разрез R, R легко находится с
помощью матрицы D . Действительно, вершины множества S и все вершины j, для которых
*
хотя бы для одного i S , d ij
множеству R, остальные (d
0, относятся к
*
ij
0
i S)
–
к множеству R . В рассматриваемом примере
R = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {6, 7}, минимальный раз-
ЛИТЕРАТУРА
1. Floyd, R. W. Aigorithm 97: Shortest Path. Communication of ACM / R. W. Floyd – 1962. – № 5 (6). – 345 p.
2. Корзников, А. Д. Моделирование и оптимизация
процесса перемещения грузов в логистической транспортной системе / А. Д. Корзников, В. А. Корзников //
Вестник БНТУ. – 2003. – № 6. – С. 54–60.
3. Форд, Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Р. Фалкерсон. – М.: Мир, 1963. – 276 с.
4. Veinott, A. F. Integer Extrime Points / A. F. Veinot,
Jr. and G. B. Dantzig // SIAM. Revjew. – 1968. – No 10 (3). –
Р. 371–372.
Поступила 22.04.2013
УДК 517.977
УПРАВЛЯЕМОСТЬ СУЩЕСТВЕННО РАЗНОТЕМПОВЫХ
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Канд. физ.-мат. наук, доц. КОПЕЙКИНА Т. Б.1), ГРЕКОВА А. В.2)
Белорусский государственный технологический университет,
2)
Белорусский национальный технический университет
1)
В [1] была рассмотрена проблема управляемости разнотемповой сингулярно возмущенной
динамической системы (РСВДС):
Наука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
x
y
2
z
A11 x A12 y A13 z B1u;
A21 x A22 y A23 z B2u;
A31 x
A32 y
(1)
A33 z B3u ,
75
Математика
где µ – малый положительный параметр:
0, 0 , 0
1 ; x R n1 – вектор медленных переменных; y R n2 , z R n3 – векторы
быстрых переменных с различными скоростями
y O 1/ , z O 1 / 2 ; Aij , B j , i, j 1,3 –
заданные постоянные матрицы соответствующих размеров; u R r – вектор-функция управляющих воздействий, выбираемый из класса
кусочно-непрерывных функций, n1 n2 n3 r;
x, y , z – производные соответствующих векторфункций по времени t , t 0.
С помощью перехода в n1 n2 n3 -мерное
пространство состояний системы (1) и применения для нее метода определяющих уравнений [2], состоящего в построении по исходной
системе дифференциальных уравнений системы матричных алгебраических рекуррентных
уравнений, в [1] были получены эффективные
алгебраические условия полной, относительной
управляемости, выраженные в терминах параметров Aij , B j , i, j 1,3 РСВДС (1).
В данной статье проблема управляемости
рас-сматривается для более общего вида РСВДС:
x
A11 x
A12 y
A13 z B1u;
y
A21 x
A22 y
A23 z B2u;
z
A31 x
A32 y
A33 z B3u ,
(2)
где
, α, β – целые положительные числа.
В (2) x – п1-вектор медленных переменных
по сравнению с векторами y R n2 , z R n3 быстрых переменных, входящих в систему (2) с существенно различными скоростями y O 1 /
,
z O 1 /
. Поэтому систему (2) назовем существенно разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системой (СРСВДС).
Отметим, что системами с малым параметром
при старшей производной описывается, например, процесс обтекания затупленного тела
сверхзвуковым потоком вязкого газа; движение
твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость; поведение тонких и гибких пластин и оболочек и др. В [2, 3] обоснована математическая модель движения многоопорной
машины как объекта управления сингулярно
76
возмущенной системой. Рассмотрена модель
половины большегрузного автомобиля [4],
имеющая четыре степени свободы. В системе
активной подвески автомобиля комбинируется классическая пассивная система станины
и кузова автомобиля массой ms с активной системой, состоящей из жестких тел передних
и задних колес массой m f и mr . Для большегрузного автомобиля m f
mf
mr
ms , так что
mr
0,001, в связи с чем модель сиms
стемы активной подвески может быть рассмотрена как динамическая система в двух шкалах
времени: медленной и быстрой, т. е. как сингулярно возмущенная система управления. Многие задачи гидродинамики, динамики полета,
химической кинетики, автоматического управления и регулирования описываются РСВДС,
в которые малый параметр входит в качестве
множителей с различными степенями при переменных состояниях системы.
Впервые проблема управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем
была рассмотрена в [5], где достаточные условия полной управляемости получены на основе
разложения пространства состояний системы
в прямую сумму подпространств меньшей размерности. В данной статье исследование полной и различных видов относительной управляемости СРСВДС (2) с постоянными коэффициентами проводится с помощью метода
пространства состояний и дальнейшего развития метода определяющих уравнений [2] на более общие, чем РСВДС (1), системы вида (2).
Рассмотрим вопрос об управляемости
РСВДС (2) с начальными условиями:
x 0,
x0 ; y 0,
y0 ; z 0,
z0 . (3)
Определение 1. РСВДС (2) полностью
управляема при заданном µ, если для любых
n1 n2 n3 -векторов x0 , y0 , z 0 и x1 , y1 , z1
существует такой момент времени t1 , t1 0 ,
и допустимое управление u (t ) , что соответствующая им в силу (2), (3) траектория
x t; x0 , u(t ), , y t; y0 , u(t ), , z t; z0 , u(t ),
удовлетворяет условиям:
Наука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
Математика
x0 , у(0;0уy00,, u(t ), )
x 0; x0 , u(t ),
z0 , x(t1; x0,u(t), ) = x1,
z 0; z0 , u(t ),
y t1; y0 , u(t ),
Введем
A( ) M
w
y1 , z t1; z0 , u(t ),
вектор
n1 n2 n3
Yki
y0 ,
w R
n1 n2 n3
z1.
матрицы
,
, B( ) M
A11
x
y ; A( )
z
n1 n2 n3
n1 n2 n3
A12
r
:
A13
A21 /
A22 /
A23 /
A31 /
A32 /
A33 /
B2 /
.
;
X ki
Yki
A( )w B( )u
(5)
w0 .
Согласно критерию Калмана [6], система (5)
полностью управляема тогда и только тогда,
когда
rank ( B( ), A( ) B( ), A2 ( ) B( ), ..., An1
n1 n2 n3 .
n2 n3 1
( ) B( ))
(6)
Критерий (5) с матрицами (4) являются
труднопроверяемыми, так как в знаменателях
матриц, входящих в левую часть (6), присутствуют большие степени малого параметра.
Целью исследований является получение необходимых и достаточных условий управляемости РСВДС (2) в терминах ее параметров Aij ,
B j , i, j 1,3.
Пусть p = d/dt – оператор дифференцирования функции по времени t. Тогда система (2)
может быть записана в виде:
px(t )
A11 x(t )
A12 y (t )
A13 z (t ) B1u (t );
A21 x(t )
A22 y (t )
A23 z (t ) B2u (t ); (7)
pz (t )
A31 x(t )
A32 y (t )
A33 z (t ) B3u (t ).
Каждому вектору-функции x(t ), y(t ), z (t ),
u (t ) из (7) поставим в соответствие постоянные
матрицы с двумя индексами i, k:
Наука
№ 5, 2013
Science & Technique
A12Yki
A13 Z ki
B1U ki ;
A21 X ki
A22Yki
A23 Z ki
B2U ki ;
A31 X ki
A32Yki
A33 Z ki
B3U ki ,
(8)
X ki
M
n1 r
,
при k
0 или i
0;
U 00
Er ; U ki
X 0i
0n1
Yki
0n2
r
при k
0 или i 0,1, ...,
1;
Z ki
0n3
r
при k
0 или i
1.
0r
для любого i;
r
0,1, ...,
(9)
Уравнения (8) назовем системой определяющих уравнений для РСВДС (2). Решением (8),
X ki , Yki , Z ki , каж-
(9) является тройка матриц
дую из которых назовем компонентой решения.
Из системы (8) в силу начальных условий (9)
получаем дополнительные свойства компонент
решения X ki , Yki , Z ki :
X кi
0n1 r при i
k 1
1;
Yki
0n2 r при i
k 1
1
Z ki
0n3 r при i
k 1,
;
или, что то же самое:
X кi
0n1 r ; Yki
Z ki
py (t )
итехника,
1
A11 X ki
которые будем решать с начальными условиями:
При этом система (2) принимает вид
с начальным условием w 0,
1
Z ki 1
(4)
B3 /

w
M r r , оператору
дифференцирования p – оператор
сдвига на
единицу нижнего индекса k, малому параметру µ – оператор
сдвига на единицу верхнего
i
Qki Qki 1.
индекса i, т. е. Qk Qki 1 ,
В силу этих соответствий из (7) получаем
систему алгебраических рекуррентных по k и i
матричных уравнений:
B1
B( )
M n3 r , U ki
M n2 r , Z ki
0n3
0n2 r ;
при i
r
k 1
1.
(10)
Доказательство этих соотношений проводится методом математической индукции и в
данной статье опускается.
Лемма. Для любого целого l 0 справедливо равенство
l
Al ( ) B( ) col
X li 1
l l
i
i 0
Yli 1
l
i
i 0
Zli 1
i
. (11)
i 0
77
Математика
Доказательство проведем методом математической индукции. При l 0 из (8) в силу
начальных условий (9) следует, что X10
Y1
B3
B2
имеем B( ) col B1
col X10
B1 ,
Z1
Y ji
j
1
i
Z ij
j
1
i
i 0
. Значит, A0B =
. Равенство (11) для l
X ij
j
A j ( ) B( ) col
B3 . С другой стороны, из (4)
B2 , Z1
Y1
Предположим далее, что равенство (11)
верно для некоторого l = j, т. е.
i
i 0
1
.
i 0
Докажем его для l = j + 1. Рассмотрим произведение
0
доказано.
A j 1 ( ) B( )
A11 X 0j
X 0j 1
A21
A31
1
j
Zj
X 1j
Yj
2
2
1
A13 Z jj
1
1
A32Y j j 1 1
A33 Z jj 1 1
..
...
1
2
1
...
Xj
2
Y j2 2
Zj
Yj
...
2
2
1
2
...
2
1
...
2
1
j
1
j
2
...
1
j
X jj
1
2
Yj
A31 X j
1
A32Y j
...
j
j
j
2
j
1
j
1
j
1
1
j
2
j
Xj
Y j2 2
j
2
j
Zj
...
j
j
1
j
1
...
...
...
1
...
1
A13 Z jj 1
j
...
2
A33 Z j
1
...
1
...
1
A23 Z j
1
1
...
1
A33 Z j
j
2
Zj
A22Y j
...
j
A13 Z j
1
1
A23 Z j
1
A12Y j
1
A21 X j
A13 Z j
1
2
...
...
Z 2j
1
...
2
A11 X j
...
...
1
Xj
...
1
...
1
A23 Z jj
2
1
A32Y j
1
A22Y j j 1 1
1
2
1
Zj
A31 X j
1
...
1
A22Y j
1
1
1
j
A12Y j
1
A21 X j
A12Y j j 1 1
1
1
Yj
2
..
j
A11 X j
1
...
X 0j 1
X 0j 2
1
...
1
A( ) A j ( ) B( )
2
j
Xj
j
2
j
1
A33 Z jj 1
X ij
j
2
i 0
j
j
Z 2j
2
2
i
j
Yj
A23 Z jj
j
2
Y ji
2
i
i 0
j
j
Z ij
,
2
i
i 0
что совпадает с (11) при l = j + 1. Лемма доказана.
Используя равенство (11), необходимое и достаточное условие (6) полной управляемости системы
(2) может быть представлено в виде
s
X sj 1
j
j 0
s
rank
Ys j 1
j
,
s 0, n1
n2
n3 1
n1
n2
n3 .
(12)
i 0
s
Z sj 1
j
i 0
78
Наука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
Математика
Полученное условие затруднительно для проверки, так как в нем присутствуют слагаемые с большими отрицательными степенями малого параметра µ. Выведем условие полной управляемости
РСВДС (2), не содержащее µ. Для этого представим матрицу левой части (12) в виде произведения
трех матриц:
S PQR,
где
En1
0 n1 n2 0 n1 n3
P
Q
X ki
Yki
Z ki
,
k 1, n1
Er
R
0 n2
0 n3
k
diag
, l
k
En2
0 n3 n2
n1
n1
n2
0 n2 n3 , P M
En3
n1 n2 n3
n3 , i 0, k 1 , Q M
0, n1
n2
n3 1
n1 n2 n3
r n1 n2 n3
, R M
n1 n2 n3
;
r n1 n2 n3
n1 n2 n3 1 2
2
n1 n2 n3 1 2
2
r n1 n2 n3
;
.
0, l
Пусть H1 En1 , 0n1 n2 , 0n1 n3 , H 2 0n2 n1 , En2 , 0n2 n3
0 для любого
0,
H 2 0n2 n1 , En2 , 0n2 n3 , H3 0n3 n1 , 0n3 n2 , En3
– заданные
то rankS rank PQR rank QR rank Q, R ,
n1 n1 n2 n3 -, n2 n1 n2 n3 - и n3 n1 n2 n3
т. е. rank S не превосходит rank Q и rank R.
n3 n1 + n2 n3 -матрицы соответственно.
Поскольку rank Q n1 n2 n3 , rank R r (n1
Теорема 2. Для x-управляемости РСВДС (2)
+ n2 n3 ), то rank S rank Q n1 n2 n3 . Та0, 0 , 0
1 необходимо и
при любом
ким образом, доказана следующая теорема.
достаточно, чтобы
Теорема 1. Для полной управляемости
0
0, 0 ,
1
РСВДС (2) при любом
rank X ki , k 1, n1 n2 n3 ; i 0, k 1
n1. (14)
необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Согласно определению 2,
X ki
x-управляемость РСВДС (2) означает относительную H1-управляемость, т. е. управляемость
rank Yki , k 1, n1 n2 n3 ; i 0, k 1
любого начального состояния
x0 , y0 , z0
Z ki
n1 n2 n3
M
этой системы в любое конечное соn1 n2 n3 .
(13)
стояние H1w t1 x1. Необходимое и достаточОпределение 2. РСВДС (2) называется
ное условие H1-управляемости системы (5) соx-управляемой (y-управляемой, z-управляемой)
гласно [7] имеет вид
при заданном µ, если для любого n1 n2 n3 -вектора x0 , y0 , z0 и любого n1-вектора x1 ( n2 -векrank H1B( ), H1 A( ) B( ), ..., H1 An1 n2 n3 1 ( ) B( )
тора y1 , n3 -вектора z1 ) существует такой моrank H1.
(15)
мент времени t1 , t1 0 и допустимое управлеВ силу леммы, теоремы 1, вида матрицы H 1
ние u (t ) , что соответствующая им в силу (2),
и равенства rank H1 n1 условие (15) прини(3) траектория x t; x0 , u (t ), , y t; y0 , u(t ), ,
мает вид (14). Теорема доказана.
удовлетворяет условиям: x(0;
z t; z0 , u (t ),
Аналогично доказываются критерии y-упz0 ,равляемости и z-управляемости РСВДС (2).
y0 , z 0; z0 , u(t ),
x 0; x0 , u (t ),
x0 , y 0; y0 , u(t ),
Теорема 3. Для у-управляемости РСВДС (2)
z 0; z0 , u(t ),
z0 , x t1; x0 , u(t ),
x1 , y t1; y0 , u(t ),
y1 ,
0, 0 , 0
1 необходимо и
при любом
z t1; z0 , u (t ),
z1 .
достаточно, чтобы
Так как det P
Наука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
1
n1
n2
79
Математика
rank Yki , k 1, n1 n2
i 0,
k 1
Определение 3. РСВДС (2) называется
ху -управляемой ( хz -управляемой; уz -управляемой) при заданном µ, если для любого n1 n2 n3 -вектора x0 , y0 , z 0 и любых
n3 ;
(16)
n2 .
Теорема 4. Для z-управляемости РСВДС (2)
0, 0 , 0
1 необходимо и
при любом
достаточно, чтобы
rank Yki , k 1, n1 n2
i 0,
k 1
x t1 ; x0 , u(t ),
Пусть G1 [ E n1
данные n1 n2
n2
n1 n2
n2
уy0, z 0; z0 , u(t ),
0 n3
n3 -, n1 n3
z0 , x(t1; х0,u(t), ) = x1, y t1; y0 , u(t ),
z1 ; y t1 ; y0 , u(t ),
En1 ,
G2 =
n3 ],
существует такой момент времени t1 , t1 0 ,
и допустимое управление u (t ) , что соответствующая им в силу (2), (3) траектория
x t; x0 , u(t ), , y t; y0 , u(t ), , z t; z0 , u(t ),
удовлетворяет условиям:
(17)
n3 .
x1 , z(t
z t11;; z0 , u(t ),
, 0 n1
п3-вектора z1 ; п2-вектора y1 и п3-вектора z1 )
n3 ;
x0 , y(0;
y 0;уy00,, u(t ),
x 0; x0 , u(t ),
п1-вектора x1 и п2-вектора y1 (п1-вектора x1 и
n1
,
( n1
0n1
0n3
,
n2 ,
n2
y1 , zz(tt1; z0,u(t),
, u(t ),
0n1 n3
, G3
En3
n3 - и n2
+ n2
n3
ственно.
Теорема 5. Для ху -управляемости РСВДС (2) при любом
статочно, чтобы
rank
X ki
Yki
k 1, n1 n2
n3 , i 0,
0 n2
n1
0,
0
,
z1 ).
n3
n1 ,
E n2
n3
1 необходимо и до-
n1 n2 .
k 1
– за-
n3 -матpицы соответ-
n2
0
y1 ,
(18)
Доказательство. Согласно определению 3, ху -управляемость РСВДС (2) означает относительную
G1-управляемость, т. е. управляемость любого начального состояния x0 , y0 , z0
M n1
n2 n3
этой си-
x1 , y1 . Необходимое и достаточное условие G1стемы в любое конечное состояние G1w t1
управляемости системы (4) согласно [7] имеет вид
rank G1B( ), G1 A( ) B( ),..., G1 An1
n2 n3 1
( ) B( )
rank G1.
В силу леммы, теоремы 1, вида G1 и равенства rank G1 n1 n2 это условие принимает вид (18).
Теорема доказана.
Аналогично доказываются критерии хz -управляемости и хz -управляемости.
Теорема 6. Для хz -управляемости РСВДС (2) при любом
статочно, чтобы
rank
X ki
Z ki
k 1, n1 n2
n3 , i 0,
0
,
0
1 необходимо и до-
n1 n3 .
k 1
Теорема 7. Для уz -управляемости РСВДС (2) при любом
статочно, чтобы
80
0,
0,
0
,
0
(19)
1 необходимо и доНаука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
Математика
rank
Yki
k 1, n1 n2
Z ki
n3 , i 0,
Следствие 1. Если РСВДС (2) полностью
управляема для некоторого
0,
0
,
0
0,
0
,
0
1,
,
x
2/5
qm ,
np ,
nq
, тогда
РСВДС (2) может быть представлена в виде:
где
и
x
A11 x
A12 y
A13 z B1u;
y
A21 x
A22 y
A23 z B2u;
z
A31 x
A32 y
A33 z B3u ,
nq
z2
0
1:
3u;
x z1 u;
1/ 3
x
2/5
y1 u;
y2
z2
y2
z2 ;
x z1 u.
A13
0
1 ; B1
A23
1
0
0
;
1
1 0
;
0 0
A32
;
1
;
0
B2
A33
5;
1
; A22
0
3 ; A21
0 0
;
1 0
A31
B3
1
;
1
0 0
;
0 1
A32 =
1
. Полагая
1
6, перейдем к целым сте-
пеням малого параметра. Начальные услоy0 ; z 0,
z0 , где
x0 ; y 0,
вия: x 0,
y01
; z0
y02
y0
z01
. Перейдя к определяюz02
щим уравнениям (8) и вычислив компоненты
X ki , Yki , Z ki решения с начальными условиями (9), получим
X ki
rank Yki 5 ,
Z ki
– целые положительные. Следова-
тельно, при достаточно малом
z1
y1
,
Рассматриваемая система принимает вид (2),
y1
z1
2 ; A12 1 0 ;
где y
; z
; A11
y2
z2
15
чаю. Положим
y1
0
0,
2x
1/ 3
Q , т. е. систему с рациональными степе-
m
p
нями малого параметра. Пусть
,
,
q
n
где m, n, p, q – целые положительные числа.
Покажем, что исследование управляемости
РСВДС (2) с такими показателями малого параметра µ можно свести к рассмотренному слу-
(20)
параметра µ,
1 , то она x-уп-
равляема и y-управляема (x-управляема и z-управляема, y-управляема и z-управляема) для
этого же значения малого параметра.
Обратные утверждения места не имеют.
Замечание. Рассмотрим РСВДС (2) с
n3 .
Пример. Рассмотрим РСВДС пятого порядка с двумя рациональными степенями малого
то она x-управляема, y-управляема, z-управляема и ху -управляема, хz -управляема,
уz -управляема для этого же значения малого
параметра.
Доказательство следует из того, что выполнение условия (13) немедленно влечет выполнение условий (14), (16)–(20).
Следствие 2. Если РСВДС (2) ху -управляема ( хz -управляема, уz -управляема)
для некоторого
n2
k 1
все ра-
нее доказанные утверждения справедливы и
для РСВДС с рациональными степенями малого параметра.
k 1,5; i 0,6 k 1
5.
6
Следовательно, по теореме 1 рассматриваемая система полностью управляема при любом
0,
0
,
15
0
1.
ВЫВОД
Впервые исследована проблема управляемости существенно разнотемповых сингулярно
возмущенных динамических систем, т. е. сиНаука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
81
Математика
стем трех дифференциальных уравнений, в которые малый параметр входит с различными
степенями в качестве множителя при производных. Использование метода определяющих
уравнений [7], разработанного в [1, 2] для таких
систем, позволило, не решая сложную систему
дифференциальных уравнений, получить эффективные алгебраические условия полной,
относительной управляемости РСВДС, выраженные непосредственно через их параметры.
Рассмотренный пример РСВДС пятого порядка
с рациональными степенями малого параметра
иллюстрирует эффективность предлагаемого
метода исследования управляемости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Копейкина, Т. Б. Управляемость разнотемповых
сингулярно возмущенных систем дифференциальных
уравнений / Т. Б. Копейкина // Труды БГТУ. Физ.-мат.
науки и информатика. – 2011. – № 6. − С. 7−11.
2. Копейкина, Т. Б. О критериях управляемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем /
82
Т. Б. Копейкина // Труды Института математики НАН
Беларуси. – 2006. – Т. 14, № 2. – С. 71–82.
3. Копейкина, Т. Б. Об управляемости активной подвески большегрузного автомобиля / Т. Б. Копейкина //
Проблемы управления и приложения (техника, пpоизводство, экономика): тез. докл. Междунар. науч.-технич.
конф., Минск, 16–20 мая 2005 г. / Бел. нац. техн. ун-т,
Ин-т математики НАН Беларуси; редкол.: Р. Ф. Габасов
[и др.]. – Минск: БНТУ, 2006. – С. 42–44.
4. Salman, M. A. Reduced order design of active suspension control / M. A. Salman, A. Y. Lee, N. M. Boustany //
Transaction of the ASM. Journal of Dynamics Systems,
Measurement, and Control. – 1990. – Vol. 112, № 4. –
P. 604–610.
5. Курина, Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г. А Курина //
Математические заметки. – 1992. – Т. 52, вып. 4. – С. 56–61.
6. Калман, Р. Е. Об общей теории систем управления / Р. Е. Калман // Труды I Междунар. конгресса ИФАК
по автоматическому управлению. – М.: Наука, Изд-во АН
СССР, 1961. – С. 521–547.
7. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных
процессов / Р. Габасов, Ф. Кириллова. – М.: Наука, 1971. –
508 с.
Поступила 29.06.2012
Наука
№ 5, 2013
итехника,
Science & Technique
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
749 Кб
Теги
существенных, система, возмущенных, разнотемповых, управляемость, динамическое, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа