close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере.

код для вставкиСкачать
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253).
Физика. Вып. 11. С. 50–60.
О. Н. Дементьев
Устойчивость движения вращающегося шара
в шероховатой камере
Работа посвящена малоизученному (см. [1–4]) влиянию погрешности формы заполненной жидкостью камеры на характер движения и устойчивость вращающегося в ней шара. Определено влияние погрешностей формы камеры на силы и моменты, действующие на шар-ротор, в двух случаях.
Первый случай — ограничения на смещение ротора не налагаются, но возмущения формы камеры
имеют специальный вид, а именно, они задаются сферическими гармониками не выше первого порядка. В этом случае камера возмущённой формы в аспекте сил реакции жидкости и их моментов
не отличается от близкой сферической камеры. Во втором случае возмущения формы камеры произвольны (но малы), зато смещение ротора также предполагается малым. В этой ситуации сила,
действующая на ротор, зависит только от его смещения, а момент не зависит от смещения. Причём
касательно момента, действующего на ротор, камера любой формы эквивалентна некоторому эллипсоиду. Возникающий при этом уводящий момент стремится направить вектор угловой скорости
вдоль малой оси эллипсоида, т. е. возникает устойчивое положение ротора.
Ключевые слова: шероховатость, устойчивость, несжимаемая жидкость, вращающийся шар.
I. Рассмотрим декартову систему координат,
начало которой помещено в центре вращающегося шара-ротора, а в остальном произвольную.
Направление вектора угловой скорости Ω задано углами α (между осью OZ и Ω) и β (между
осью OX и проекцией Ω на плоскость x, y). Будем
рассматривать также сферические координаты
(r, θ, φ), связанные с декартовыми формулами:
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.
Введём характерную толщину зазора δ = (R2–
– R1)/ R1, где R2 — радиус камеры. Перейдём к
безразмерным переменным, выбирая в качестве единицы измерения расстояния радиус
ротора R1, а в качестве единицы времени –1/Ω
Уравнение поверхности ротора имеет вид r = 1,
а уравнение внутренней поверхности камеры
r = r(θ, φ). Задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между ротором и камерой в приближении Стокса, вне поля массовых
сил имеет вид [5]
∆ω = 0, ω = rotv; divv = 0. (1)
Граничные условия
v |r =1 = − sin α sin ( ϕ − β ) eθ −
− sin α cos ( ϕ − β ) − cos α sin θ eϕ ,
v|r = r ( θ,ϕ) = 0.
Используем теперь предположение о малой
толщине зазора между границами слоя. Для
этого введём новую радиальную переменную
ξ, т. е. в случае, когда внутренняя поверхность
камеры есть сфера радиуса R2, полагаем
ξ =
( r − 1) / δ.
Уравнение поверхности ротора приобретет
вид ξ = 0, а уравнение внутренней поверхности
камеры —
ξ = h ( θ, ϕ ) , h ( θ, ϕ ) = ( r ( θ, ϕ ) − 1) / δ.
В уравнениях движения (1) и граничных условий сохраним только главные члены их асимп­
тотик при δ → 0, тогда с точностью до членов
порядка δ уравнения (1) перепишутся так:
∂ 2 ωr
= 0,
∂ξ2
∂ 2 ωθ
= 0,
∂ξ2
∂ 2 ωϕ
∂ξ2
= 0; (2)
1 ∂vr
1 ∂
1 ∂vϕ
= 0; (3)
+
( sin θvθ ) +
sin θ ∂ϕ
δ ∂ξ sin θ ∂θ
ωr =
∂v 
1 ∂
sin θvϕ ) − θ  ; (

sin θ  ∂θ
∂ϕ 
(4)
1 ∂vϕ
1 ∂vθ
, ωϕ = −
.
δ ∂ξ
δ ∂ξ
(5)
ωθ = −
Теперь граничные условия:
vr |= 0, vθ |ξ = 0 = − sin α sin ( ϕ − β ) ;
vϕ |ξ = 0 = − sin α cos θ cos ( ϕ − β ) + cos α sin θ; (6)
vr |ξ = h = vθ |ξ = h = vϕ |ξ = h = 0,
а решения уравнений (2):
ωθ = A ( θ, ϕ ) ξ + B ( θ, ϕ ) ,
ωϕ = C ( θ, ϕ ) ξ + D ( θ, ϕ ) .
Используя уравнения (4), (2) и полученные решения для ωθ и ωφ, получим уравнение
51
Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере
∂C
∂
( A sin θ ) + = 0. ∂ϕ
∂θ
(7)
Тогда компоненты поля скоростей vθ и vφ, выраженные через введённые коэффициенты A, B,
C, D, примут вид
vθ = − sin α sin ( ϕ − β ) + δ ( C ξ2 / 2 + Dξ ) ; (8)
vϕ = − sin α cos θ cos ( ϕ − β ) +
+ cos α sin θ − δ ( Aξ2 / 2 + Bξ ) .
D=
θ
E ( θ, ϕ ) = − ∫ C ( θ, ϕ )d θ,
0
так, чтобы
sin θA =
(9)
Рассматривая эти компоненты скорости и условия на поверхности камеры, получим:
лить коэффициенты A и C, а затем по формулам
(11)–(13) найти поле скоростей.
Вводя новую функцию E = E(θ, φ)
1
Ch
sin α sin ( ϕ − β ) −
; δh
2
∂ 
∂  h3 ∂E 
3 ∂E 

 =
 sin θh
 +
∂θ 
∂θ 
∂ϕ  sin θ ∂ϕ 
=
1
Ah
B = − sin α cos θ cos ( ϕ − β ) − cos α sin θ  −
,
δh
2
т. е. угловые компоненты скорости:
 ξ 
vϕ =  − 1 sin α cos θ cos ( ϕ − β ) −
 h 
δ

− cos α sin θ − Ahξ  .
2

(12)
Из уравнения неразрывности и условия
vr |ξ= 0 = 0 найдём
vr =
+
δ ξ2  sin α  ∂h
[ 
 sin θ sin ( ϕ − β ) +
sin θ 2  h 2  ∂θ
 cos α ∂h
∂h
cos θ cos ( ϕ − β )  − 2
sin θ +
∂ϕ
h ∂ϕ


∂
δ ∂
+  ( sin θhC ) − ( hA )   −
∂ϕ
2  ∂θ

∂A 
ξ3 δ  ∂
−
 ( sin θC ) −
.
∂ϕ 
6  ∂θ
6 sin α  ∂h
sin θ sin ( ϕ − β ) +
δ  ∂θ

∂h
+ cos θ cos ( ϕ − β )  −
∂ϕ

−
Используя оставшееся условие vr |ξ= h = 0 , придём к ещё одному уравнению для коэффициентов A и C:
∂
∂
sin θh3C ) − ( h3 A ) =
(
∂ϕ
∂θ
6 sin ε ∂h
[ sin θ sin ( ϕ − β ) +
=−
δ ∂θ
6 cos α ∂h
∂h
sin θ, (14)
+ cos θ cos ( ϕ − β )] +
δ ∂ϕ
∂ϕ
решая которое совместно с (7), можно опреде-
6 cos α ∂h
sin θ.
δ ∂ϕ
(16)
Требуется найти решение уравнения (16), непрерывное на единичной сфере и удовлетворяющее условию нормировки E |θ= 0 = 0 , вытекающему из определения этой функции. Заметим,
что значение E(θ, φ) при θ = π определено однозначно, т. е. E(π, φ) не зависит от φ. Найдя функцию E, можно по формулам (15) вычислить A и
C, а затем по (11)–(13) определить всё поле скоростей.
II. Рассмотрим случай, когда форма камеры
мало отличается от сферической. Зададим сферическую форму камеры в виде h0 = 1 + λ cos θ
(ось OZ по линии центров), тогда форму, мало
отличающуюся от сферической, зададим функцией
h = h0 + εh1 ,
(13)
(15)
получим из (14):
(10)
δ

 ξ 
vθ =  − 1 sin α sin ( ϕ − β ) + Chξ  ; (11)
h
2



∂E
∂E
, C=−
, ∂θ
∂ϕ
| ε |<< 1
и будем искать решение уравнения (16) в виде
E ( θ, ϕ ) = E0 ( θ, ϕ ) + εE1 ( θ, ϕ ) + O ( ε 2 ) .
Теперь из уравнения (19) получим уравнения
для определения E0 и E1:
E0 ( θ, ϕ ) =
6 sin α λ  1 1 
 +  sin θ sin ( θ − β ) ;(17)
δ λ 2 + 4  h0 h02 
∂E  ∂  h03 ∂E1 
∂ 
sin θh03 1  +

=

∂θ 
∂θ  ∂ϕ  sin θ ∂ϕ 
= −3
∂E
∂ 
sin θh02 h1 0

∂θ 
∂θ
∂  h02 h1 ∂E0

−
3


∂ϕ  sin θ ∂ϕ


 +

52
О. Н. Дементьев
+
+
6 sin α  ∂h1
sin θ sin ( ϕ − β ) +
δ  ∂θ
∂h1
 6 cos α ∂h1
sin θ. (18)
cos θ cos ( ϕ − β )  −
δ ∂ϕ
∂ϕ

Правая часть уравнения (18) полностью известна, и так как она линейно зависит от функции h1, которую можно разложить в ряд по сферическим функциям, то достаточно рассмотреть
в качестве h1 сами сферические функции:
cos 
h1 = Pnm ( cos θ )   mϕ, 0 ≤ m ≤ n, n = 0, 1, 2, ...(19)
sin 
Здесь Pnm — присоединённые функции
Лежандра I рода. Подставим функцию h1 и её
производные в правую часть (18) и разложим
эту часть уравнения в ряд Фурье по переменой
φ. Если
E1 ( θ, ϕ ) =
a0 ( θ )
2
∞
+ ∑  am ( θ ) cos mϕ + bm ( θ ) sin mϕ,
m =1
то уравнение (18) распадается на конечную (так
как для функций (17), (19) в правой части (18)
сохраняется конечное число ненулевых Фурьекомпонент) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем искать непрерывные при 0 ≤ θ ≤ π решения этой системы в виде
ряда Фурье по ортогональной с соответствующим весом системе присоединённых функций
Лежандра с фиксированным верхним индексом.
Выясним, что получается при малых значениях
n, т. е. в первых гармониках по азимутальному
углу φ. Если m = 0, то h1 = const и уравнение поверхности камеры примет вид


λ
h = 1 + λ cos θ + εh1 = (1 + εh1 ) 1 +
cos θ .
 1 + εh1

Если n = 1, то для m возможны два значения:
m = 0,1. При m = 0 получаем
h1 = cos θ, h = 1 + λ cos θ + ε cos θ = 1 + ( λ + ε ) cos θ,
и функция h сводится к h0 заменой λ→ λ + ε. При
m = 1, h1 = sinθ cosφ или h1 = sinθ sinφ.
Таким образом, для возмущения формы внут­
ренней поверхности камеры, задаваемого сферической функцией h1 нулевого или первого порядка, имеется точное решение уравнения (16),
получающееся из (17) простой заменой парамет­
ров. Геометрически нулевой порядок h1 означает малое растяжение или сжатие камеры, а первый порядок означает малое смещение с малым
поворотом, так что сферическая форма камеры
не меняется, хотя камера испытывает некоторую деформацию и перемещение. Поэтому для
любого возмущения формы камеры сферической функцией h1 порядка не более единицы
существует эффективная сферическая камера
с близкими значениями относительного зазора
δ и относительного смещения λδ, дающая те же
значения главного вектора сил реакции жидкости на ротор и главного вектора момента этих
сил и, следовательно, приводящая к тем же уравнениям движения ротора и тому же уводящему моменту. В частности, центральное положение равновесия ротора при малых возмущениях
формы камеры вида εh1 остаётся неустойчивым,
как и в задаче со сферической камерой.
III. Камера произвольной формы, мало отличающаяся от сферической. Учитывая, что уравнение внутренней поверхности камеры произвольной формы r = r(θ, φ) > 1 (предполагается
отсутствие соприкосновения вращающегося
шара и камеры), в качестве меры величины относительного зазора δ выберем среднюю относительную толщину слоя по сфере:
δ=
2π
π
1
d ϕ∫  r ( θ, ϕ ) − 1 sin θd θ, ξ = ( r − 1) / δ.
4π ∫0
0
Тогда внутренняя поверхность камеры задаётся уравнением ξ = ( r ( θ, ϕ ) − 1) / δ = h ( θ, ϕ ).
Будем предполагать функцию r(θ, φ), а вместе с
ней и h(θ, φ) дважды непрерывно дифференцируемыми и разложим ξ в равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям:
∞
n
h ( θ, ϕ ) = ∑ ∑ Pnm ( cos θ ) ( anm cos mϕ + bnm sin mϕ ), (20)
n=0 m=0
где Pnm ( cos θ ) — присоединённые функции
Лежандра [6]
m d m+n x2 − 1
( ) , 0 ≤ m ≤ n.
−1m
2 2
P ( x ) = n (1 − x )
2 n!
dx m + n
Из соотношений ортогональности функций
Лежандра и тригонометрических функций следует, что среднее значение функции h(θ, φ) по
сфере
n
m
n
h=
2π
π
2
1
d ϕ∫ a00  P00 ( cos θ )  sin θd θ = a00 ,
∫
4π 0
0
но из определения ξ и δ следует, что h = 1 , т. е.
a00 = 1 и
53
Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере
h ( θ, ϕ ) = 1 +
∞ n
+ ∑ ∑ Pnm ( cos θ ) ( anm cos mϕ + bnm sin mϕ ). (21)
n =1 m = 0
Подставим h(θ, φ) в уравнение (16) и решим
его в предположении, что камера мало отличается от сферы, концентричной ротору.
Геометрически это означает не только, что форма камеры близка к сферической, но и то, что
центр ротора близок к центру камеры, т. е. коэффициенты anm , bnm малы. В качестве меры отклонения камеры от сферы, концентричной ротору, выберем функцию h – 1, равную нулю тогда
и только тогда, когда камера сферична и центр
её совпадает с центром ротора. Под величиной
этой функции будем понимать её норму в гильбертовом пространстве L2 функций, квадратично интегрируемых на сфере:
h −1 =
2π
π
0
0
ские функции, т. е. все члены ряда (22), причём
функции вида (19) соответствуют собственным
значениям λ kn = −n ( n + 1) для любого k, 0 ≤ k ≤ n.
Непрерывное на сфере решение уравнения (22)
имеет вид
Enm = −
×Pnm −1 ( cos θ ) sin ( ( m − 1) ϕ + β ) +
+ Pnm +1 ( cos θ ) sin ( ( m + 1) ϕ − β )] −
−
A=−
2
2π
π
0
0
+ 1) ( n − m )!}
2π
( n + m )!
−
×
( 2n + 1) ( n − m )!
2π ( n + m )!
∂Enm
1 ∂ 
sin
θ

sin θ ∂θ 
∂θ

1 ∂ 2 Enm
+
=

2
2
 sin θ ∂ϕ
3 sin α
[( m + n ) ( n − m + 1) ×
δ
×Pnm −1 ( cos θ ) sin ( ( m − 1) ϕ + β ) +
=
+ Pnm +1 ( cos θ ) sin ( ( m + 1) ϕ − β )] +
6 cos α
+
mPnm ( cos θ ) sin mϕ.
δ
d
3 sin α
[( n + m ) ( n − m + 1) ×
dθ
δn ( n + 1)
×Pnm −1 ( cos θ ) sin ( ( m − 1) ϕ + β ) +
+
h −1 ,
т. е. каждый коэффициент anm — малая не ниже
первого порядка относительно h – 1. Обозначая
решение с anm = 1 через Enm , получим
6 cos α
m 2 Pnm ( cos θ ) cos mϕ; (24)
δn ( n + 1) sin θ
C=
то, оценивая последний интеграл при помощи
неравенства Коши—Буняковского, получим
3 sin α
[( m − 1) ( n + m ) ( n − m + 1) ×
δn ( n + 1) sin θ
+ ( m + 1) Pnm +1 ( cos θ ) cos ( ( m + 1) ϕ − β )] −
× ∫ d ϕ∫  h ( θ, ϕ ) − 1 Pnm ( cos θ ) coss mϕ sin θd θ,
| anm |≤
(23)
×Pnm −1 ( cos θ ) cos ( ( m − 1) ϕ + β ) +
Так как
( 2n
6 cos α
mPnm ( cos θ ) sin mϕ.
δn ( n + 1)
Для определения поля скоростей жидкости в
зазоре по формулам (11)–(13) вычислим по (15)
коэффициенты A и C:
∫ d ϕ∫ h ( θ, ϕ) − 1 sin θd θ.
anm =
3 sin α
[( n + m ) ( n − m + 1) ×
δn ( n + 1)
d m +1
Pn ( cos θ ) sin ( ( m + 1) ϕ − β )] +
dθ
d m
6 cos α
Pn ( cos θ ) siin mϕ.
m
+
δn ( n + 1) d θ
IV. Перейдём к расчёту сил и их моментов,
действующих на ротор в тонком слое вязкой
жидкости.
Сила dF, действующая со стороны жидкости
на элемент площади R12 sin θd θd ϕ сферы радиуса R1, равна



dF = R12 ( σrr er + σrθ eθ + σrϕ eϕ ) sin θd θd ϕ. (25)
Выберем в качестве безразмерных переменных (обозначены штрихом) следующие:
(22)
Оператор в левой части уравнения (22)
представляет собой угловую часть оператора
Лапласа в сферических координатах. Его собственными функциями являются все сфериче-
r'=
vϕ
v
v
p
r
, v 'r = r , v 'θ = θ , v 'ϕ =
, p' = 2 2
R1
ΩR1
ΩR1
ΩR1
Ω R1
и используя условия прилипания к вращающейся сфере, получим при r′ = 1:
σrr = − µΩRep ';
54
О. Н. Дементьев

 ∂v '
σrθ = µΩ  θ + sin α sin ( ϕ − β )  ; '

∂ r
µΩR12
2δ
(26)
Fz =

 ∂v ' ϕ
σrϕ = µΩ 
+ sin α cos θ cos ( ϕ − β ) − cos α sin θ  ,
 ∂ 'r

2
ΩR1
Re =
,
ν
2π
π
0
0
где μ — коэффициент динамической вязкости
жидкости (v = ρ/μ); Re — число Рейнольдса.
Учитывая, что относительная толщина слоя
жидкости δ << 1, в терминах ξ = ( r '− 1) / δ, сохраняя главные члены разложения компонент тензора вязких напряжений, получим на поверхности ротора (ξ = 0)
σrθ =
µΩ ∂v 'ϕ
µΩ ∂v 'θ
= µΩD, σrϕ =
= −µΩB,
δ ∂ξ
δ ∂ξ
где B и D — функции, задаваемые соотношениями (10). Из стационарного уравнения Стокса
p

-νΩv + grad  + u  = 0,
ρ

1
1 ∂
1
∂
C,
A.
( p '+ u ') =
( p '+ u ') = −
∂θ
δRe
sin θ ∂ϕ
δRe
Тогда
1
σrr = −µΩRep ' | _ ξ = 0 = µΩ ⋅ O   .
δ
Поэтому в выбранном приближении касательными напряжениями σrθ , σrθ следует пренебречь по сравнению с σrr. В этом случае формула (25) примет вид

dF |r = R1 = −µΩR12 Rep ' |ξ = 0 er sin θd θd ϕ.
После интегрирования по частям по сфере получим
Fx = −
µΩR12
δ
2
1
µΩR
Fy =
2π
π
3
∫ sin ϕd ϕ∫ A sin θd θ +
0
0
2π
π
1
1
∫ cos ϕd ϕ∫ u ' |
ξ=0
µΩR12
δ
2π
sin θd θ,
(27)
π
3
∫ cos ϕd ϕ∫ A sin θd θ +
0
0
2π
π
0
0
+µΩR Re ∫ sin ϕd ϕ∫ u ' |ξ = 0 sin θd θ,
2
1
2
2
(28)
π
0
0
2
∫ d ϕ∫ C sin θd θ +
+µΩ R Re ∫ d ϕ∫ C sin θd θu ' |ξ = 0
2
1
2
cos θ sin θd θ. (29)
Вторые слагаемые полученных формул представляют собой архимедовы силы выталкивания
ротора в поле постоянных по пространственным координатам массовых сил. Архимедовы
силы не зависят от формы камеры, поэтому в
дальнейшем не будут учитываться (предположение отсутствия массовых сил [5]).
Вычислим теперь моменты M сил, действующих со стороны жидкости на ротор. На элемент
площади поверхности ротора действует момент


dM = R13 ( −σrϕ eθ + σrθ eϕ ) sin θd θd ϕ =


= µΩR13 ( Beθ + Deϕ ) sin θd θd ϕ.
Интегрируя по сфере, получим
2π
записанного в безразмерных переменных, с выбранной выше степенью точности следует при
ξ = 0 ( u = Ω 2 R12u ' — потенциальная энергия массовых сил)
2π
π
M x = µΩ R13 ∫ d ϕ∫ ( B cos θ cos ϕ − D sin ϕ ) sin θd θ,
0
0
2π
π
0
0
M y = µΩR13 ∫ d ϕ∫ ( B cos θ sin ϕ − D cos ϕ ) sin θd θ,(30)
2π
π
0
0
M z = −µΩR13 ∫ d ϕ∫ B sin 2 θd θ.
Силы и моменты сил, действующие на ротор,
зависят только от коэффициентов A, B, C, D, из
которых A и C находятся по формулам (15) из
решения E уравнения (16), а B и D выражаются
через них по формулам (10).
V. Рассмотрим влияние формы камеры на
силы, действующие со стороны жидкости на
ротор. Во втором разделе было выяснено, что в
первом приближении по степеням малой величины h – 1 функция E, а тем самым и коэффициенты A, C линейно зависят от сферических гармоник, входящих в разложение функции h – 1.
Эти коэффициенты были вычислены для всех
гармоник вида h − 1 = Pnm ( cos θ ) cos mϕ , которые
задаются формулами (24). Заменой в них mφ на
π
mϕ +
получаются формулы для остальных
2
гармоник вида h − 1 = Pnm ( cos θ ) sin mϕ.
Найдём вклад каждой гармоники в главный
вектор сил реакции жидкости на ротор. Для гармоники h − 1 = Pnm ( cos θ ) cos mϕ достаточно использовать выражения (24) для A и C только при
π
α = 0 и при α = . Общий результат получится
2
55
Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере
умножением первого из них на cos α, второго —
на sin α и сложением полученных величин.
Пусть α = 0. Подставляя значение A из (24) в
(27) и (28), получим
Fx = −
2π
µΩR12
δ
π
3
∫ sin ϕd ϕ∫ A sin θd θ +
0
0
2π
π
1
1
+µΩR12 ∫ cos ϕd ϕ∫ u ' |ξ = 0 sin 2 θd θ,
Fy = −
2π
π
0
0
 0 при m ≠ 1 или n ≠ 1

=  4πµΩR12
при m = n = 1.

 δ2
Подставив C из (24) в (29), получим
2π
π
0
0
× ∫ d ϕ∫ sin 2 θ
0
d m
Pn ( cos θ ) sin mϕd θ = 0.
dθ
π
0
0
π
. Подставляя соответству2
µΩ R12
3
×
δ δn ( n + 1)
( cos θ ) cos ( ( m − 1) ϕ + β ) +
+ ( m + 1) Pnm +1 ( cos θ ) cos ( ( m + 1) ϕ − β )].
Так как sin θ sin ϕ = − P11 ( cos θ ) sin sin ϕ , то
из соотношений ортогональности функций
Лежандра и тригонометрических функций следует, что этот интеграл может быть отличным
от нуля только при n = 1, m = 0. Компонента Fy
получается заменой в предыдущей формуле sinφ
на cosφ и по тем же соображениям равна 0 при
n ≠ или m ≠ 0. Далее,
0
π
m −1
∫ sin ( ( m − 1) ϕ + β ) d ϕ∫ Pn+1 ( sin θ) sin θd θ;
0
×P
0
0
2π
0
π
0
2π
µΩR12 6m 2
×
2δ δn ( n + 1)
m −1
n
2π
π
m −1
∫ sin ( ( m − 1) ϕ + β ) d ϕ∫ Pn−1 ( cos θ) sin θd θ;
0
π
Fz =
2π
π
× ∫ sin ϕd ϕ∫ sin 2 θd θ[( m − 1) ( n + m ) ( n − m + 1) ×
0
то Fz представляет собой линейную комбинацию интегралов
0
ющие значения A и C в (27)–(29), получим
2π
( n + m ) ( n + 1)
d m
Pn ( cos θ ) = −
×
dθ
2n + 1
n ( n − m + 1) m
×Pnm−1 ( cos θ ) +
Pn +1 ( cos θ ) ,
2n + 1
sin θ
2π
Пусть теперь α =
Fx =
Так как
µΩ R12 6m 2
×
δ δn ( n + 1)
× ∫ cos ϕd ϕ∫ sin 2 θPnm ( cos θ ) cos mϕd θ =
Fz =
d m −1
Pn ( cos θ ) sin ( ( m − 1) ϕ + β ) −
dθ
d m +1
Pn ( cos θ ) sin ( ( m + 1) ϕ − β )]..
−
dθ
×
µ ' ΩR12
3
×
2δ δn ( n + 1)
× ∫ d ϕ∫ sin 2 θd θ[( n + m ) ( n − m + 1) ×
∫ sin ( ( m + 1) ϕ − β ) d ϕ∫ P ( sin θ) sin θd θ;
m +1
n −1
∫ sin ( ( m + 1) ϕ − β ) d ϕ∫ P ( cos θ) sin θd θ.
m +1
n +1
Из соотношений ортогональности функций
Лежандра следует, что первый из этих интегралов может быть отличным от нуля только при
n = m = 1, а остальные три всегда равны нулю.
Можно сделать вывод о том, что вектор силы
реакции жидкости на ротор в первом приближении по степеням h – 1 определяется только по
гармоникам с n = 1 в разложении (21). Но этот
случай был разобран во втором разделе, причём в
более общей ситуации: тогда не требовалось малости смещения, а «отклонение от сферической
формы» в гармониках с n = 1 является просто дополнительным смещением и поворотом сферы.
Таким образом, в аспекте определения главного вектора силы F , действующей на ротор, камера произвольной формы, мало отличающаяся
от сферы с центром в центре ротора, в первом
приближении по h – 1 не отличается от сферической камеры с тем же значением относительной
толщины зазора δ, центр которой смещён относительно центра ротора на подходящую величину
в подходящем направлении. В частности, подбором формы камеры нельзя сделать устойчивым
положение равновесия ротора, которое было неустойчивым для сферической камеры.
56
О. Н. Дементьев
Вычислим вклад каждой гармоники в главный вектор момента сил. Согласно формулам
(30) компоненты момента сил выражаются через
коэффициенты B и D, определённые равенствами (10). Выделим в этих коэффициентах главные
члены разложений по степеням h – 1 и получим
1
( − sin α cos θ cos ( ϕ − β ) + cos α sin θ) −
δ
h −1
−
( − sin α cos θ cos ( ϕ − β ) + cos α sin θ) −
δ
A
2
− + O ( h − 1) ,
2
1
D = sin α sin ( ϕ − β ) −
δ
h −1
C
2
sin α sin ( ϕ − β ) − + O ( h − 1) .
−
2
δ
B=
(
)
(
)
Первые слагаемые в B и D, имеющие нулевой
порядок по h – 1, не зависят от h (т. е. от формы
камеры) и дают вклад в вектор момента сил реакции жидкости на ротор, равный
M 0 = −
8 πµR13
Ω. 3 δ
(31)
Это выражение получается из формул (30)
подстановкой вместо B и D их первых слагаемых. Оно совпадает с главным членом асимптотики по степеням λ для случая сферической камеры, где h – 1 = λcosθ (см. [5]). Таким образом,
М0 полностью входит в тормозящий момент и
не влияет на уводящие моменты. Поэтому далее
мы будем вычислять только добавку M '0 к вектору М0, который вычисляется по тем же формулам (30) с подстановкой в них вместо B и D
только их слагаемых B′, D′ порядка h – 1:
B' = −
h −1
A
− sin α cos θ cos ( ϕ − β ) + cos α sin θ ) − ,
(
δ
2
h −1
C
D' = −
sin α sin ( ϕ − β ) − .
δ
2
Возьмём гармонику h − 1 = Pnm ( cos θ ) cos mϕ ,
тогда A и C вычисляются по формулам (24).
Опять случай произвольного α сводится к линейной комбинации случая α = 0 (с коэффициенπ
том cos α) и α = (с коэффициентом sin α).
2
Рассмотрим случай α = 0. Тогда
h −1
A
sin θ − =
2
δ
2

1  3m
− sin 2 θ  Pnm ( cos θ ) cos mϕ,
=

δ sin θ  n ( n + 1)

B' = −
D' = −
C
d m
3m
=−
Pn ( cos θ ) sin mϕ.
2
δn ( n + 1) d θ
Согласно (30)
M 'x =
2π
π
0
0
µΩR13
×
δn ( n + 1)
2
2
m
∫ d ϕ∫ [( 3m − n ( n + 1) sin θ) Pn ( cos θ) ×
× cos θ cos ϕ cos mϕ +
d m
Pn ( cos θ ) sin ϕ sin mϕ]d θ. (32)
+3m sin θ
dθ
Проинтегрировав по φ, учитывая равенство
P21 ( cos θ ) = −3 sin θ cos θ, получим
M 'x
 0 при n ≠ 2 или m ≠ 1,

=  4πµΩR13
(33)
при n = 2, m = 1.

 5δ
Выражение для M ' y получается из (32) заменой cos φ на sin φ, а sin φ на –cos φ и всегда равно
нулю за счёт интегрирования по φ.
Из (30) также получим
π
 3m 2

2
d
ϕ
∫0 ∫0  n ( n + 1) − sin θ ×


m
×Pn ( cos θ ) cos mϕ sin θd θ
M 'z = −
µΩR13
δ
2π
Интегрирование по φ показывает, что при
m ≠ 0 это выражение равно нулю,
а при m = 0
M 'z =
2πµΩR13 π 3 0
∫0 sin θPn ( cos θ) d θ.
δ
2
но т. к. sin 2 θ =  P00 ( cos θ ) − P20 ( cos θ )  и в силу
3
ортогональности полиномов Лежандра при m = 0
 0 при n ≠ 2 или m ≠ 0,

M 'z =  8πµΩR13
(34)
при n = 2, m = 0.
−
15δ

π
Рассмотрим теперь случай α = :
2
h −1
A
B' =
cos θ cos ( ϕ − β ) − ,
δ
2
h −1
C
D' = −
sin ( ϕ − β ) − .
δ
2
После интегрирования по φ выражения для
M 'x и преобразований, аналогичных приведённым выше, сохраняя ненулевые слагаемые,
получим: а) при m = 2
57
Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере
при n ≠ 2,
0

3
= 8
µΩR1
при n = 2;
− π cos β
δ
 5
M 'x
(35)
M 'z =
б) при m = 0
M 'x
0

=4
µΩR13
π
β
cos

δ
5
при n ≠ 2,
при n = 2.
(36)
Для компоненты M ' y :

0

M 'y = 
3
 8 π sin β µΩR1
 5
δ
m = 2,
при n ≠ 2,

0

M 'y = 
3
 4 π sin β µΩR1
 15
δ
m = 0,
при n ≠ 2,
4πµΩR13
−2a20 cos α + 3a12 sin α cos β ) . (39)
(
15δ
( x − x0 )
2
(1 + δ1 )
2
(37)
при n = 2.
при n ≠ 2,
0

3
M 'z =  4
µ ' ΩR1
при n = 2.
 π cos β
δ
5
(38)
Таким образом, вектор момента сил реакции
жидкости, действующих на ротор, в первом приближении по степеням h – 1 равен M = M0 + M′,
где M0 — часть тормозящего момента, не зависящая от формы камеры и задаваемая формулой
(31), а M′ содержит все уводящие моменты и может быть отличным от нуля только для гармоник
h − 1 = Pnm ( cos θ ) cos mϕ при n = 2. Момент M′ не
зависит от смещения ротора, так как смещение
задаётся гармониками с n = 1 и независимо от
формы и размеров траектории, которую может
описывать несбалансированный ротор, момент
M′ сохраняется после усреднения по периоду.
Сведём вместе значения моментов M′ из (33)–
(38) при произвольных значениях α и при всех
гармониках h − 1 = Pnm ( cos θ ) cos mϕ , которые
дают ненулевые вклады в эти моменты. Если
h = 1 + a20 P20 ( cos θ ) +
+ a P ( cos θ ) cos ϕ + a P ( cos θ ) cos 2ϕ,
2 2
2 2
то
M 'x =
4πµΩR13 0
a2 + 6a22 ) sin α sin β, (
15δ
V. Эллипсоидальная камера. Поместим начало декартовой системы координат в центр
сферического ротора. Пусть камера имеет форму эллипсоида, близкого к сфере с полуосями
1 + δ1, 1 + δ2, 1 + δ3. Направим оси координат по
главным осям камеры. Координаты центра камеры обозначим через (x0, y0, z0), тогда уравнение внут­ренней поверхности камеры есть
при n = 2;
Компонента момента сил M 'z отлична от
нуля только при m = 1. В этом случае
1 1
2 2
M 'y =
4πµΩR13
( a20 − 6a22 ) sin α cos β + 3a12 cos α  ,

15δ 
( y − y0 )
+
2
(1 + δ2 )
2
( z − z0 )
+
2
(1 + δ3 )
2
= 1. (40)
Будем считать δ1, δ2, δ3, x0, y0, z0 настолько малыми, чтобы их квадратами и попарными произведениями можно было пренебречь по сравнению с ними самими. Тогда уравнение (40) в
сферических координатах примет вид
r 2 (1 − 2δ1 sin 2 θ cos 2 ϕ − 2δ2 sin 2 θ sin 2 ϕ − 2δ3 cos 2 θ ) −
−2r ( x0 sin θ cos ϕ + y0 sin θ sin ϕ +
)
+ z0 cos θ) = 1 + O ( δ12 + .. + z02 ) .
(41)
Будем искать его приближённое решение, линейное по δ1, δ2, δ3, x0, y0, z0, в виде
r = 1 + δ1r1 + δ2 r2 + δ3 r3 + x0 s1 +
y0 s2 + z0 s3 + O ( δ12 + .. + z02 ) .
Тогда из уравнения (41) с точностью до малых
второго порядка получим
r(θ, ϕ) = 1 + δ1 sin 2 θ cos 2 ϕ +
+δ2 sin 2 θ sin 2 ϕ + δ3 cos 2 θ +
+ x0 sin θ cos ϕ + y0 sin θ sin ϕ + z0 cos θ.
Введём среднюю относительную толщину зазора δ по формуле: δ= (δ1 +δ2 +δ3 )/3 , поэтому
r − 1 1 δ1 + δ2
= [
sin 2 θ +
2
2
δ
+ δ3 cos 2 θ + x0 sin θ cos ϕ +
h=
+ y0 sin θ sin ϕ + z0 cos θ +
δ1 − δ2
sin 2 θ cos 2ϕ].
2
Разложение функции h по сферическим гармоникам имеет вид
+
58
О. Н. Дементьев
1
h = 1 + [ z0 P10 ( cos θ ) −
δ
1
− x0 P1 ( cos θ ) cos ϕ − y0 P11 ( cos θ ) sin ϕ +
8πµΩR13
( δ3 − δ1 ) sin 2 α cos 2 β +
15δ2 
+ ( δ3 − δ2 ) sin 2 α sin 2 β  coss α.
M zp = −
+ ( δ3 − δ ) P20 ( cos θ ) +
δ − δ2 2
P2 ( cos θ ) cos 2ϕ],
+ 1
6
(42)
где P10 ( cos θ ) = cos θ , P11 ( cos θ ) = − sin θ ,
P20 ( cos θ ) = ( 3 cos 2 θ − 1) / 2 , P22 ( cos θ ) = 3 sin 2 θ .
То есть смещение центра камеры относительно
центра ротора, задаваемое параметрами x0, y0, z0,
дает вклад в h только в виде гармоник с n = 1, которые, как было показано в предыдущем пунк­
те, не влияют на момент. Момент, действующий
на ротор в эллипсоидальной камере, форма которой задаётся функцией (42), вычисляется по
формулам (39) при
a20 =
δ3 − δ
δ − δ2
, a12 = 0, a22 = 1
.
δ
6δ
Отсюда
8πµΩR13
sin α cos β + M 'x =
3δ
8πµΩR13
 δ −δ
=−
sin α cos β 1 + 1
,
3δ
5δ 

Mx = −
8πµΩR13
sin α sin β + M ' y =
3δ
δ2 − δ 
8πµΩR13

=−
sin α sin β 1 +
,
3δ
5δ 

My = −
(43)
8πµΩR13
cos α + M 'z =
3δ
8πµΩR13
 δ −δ
=−
cos α 1 3
.
3δ
5δ 

Mz = −
Вычислим уводящий момент Mp, т. е. компоненту момента М, ортогональную вектору угловой скорости Ω:
Mp = M −
1
( M, Ω ) Ω,
Ω2
8πµΩR13
( δ1 − δ2 ) sin 2 α sin 2 β +
15δ2 
β,
+ ( δ1 − δ3 ) cos 2 α  sin α cosβ
M xp = −
8πµΩR13
( δ2 − δ3 ) cos 2 α +
15δ2 
β,
+ ( δ2 − δ1 ) sin 2 α cos 2 β  sin α cosβ
M yp = −
Видно, что в эллипсоидальной камере уводящие моменты возникают уже в первом приближении по малым параметрам
δ1 − δ δ2 − δ δ3 − δ
,
,
,
δ
δ
δ
тогда как для сферической камеры
(δ1 = δ2 = δ3 = δ) они в первом приближении по λ
( h = 1 + λ cos θ ) отсутствуют и возникают лишь
во втором приближении по λ, как известно из
точного решения, описанного в [5]. Кроме того,
в случае сферы уводящий момент зависит от
смещения ротора. Если ротор движется по круговой траектории, то усредненный по периоду
уводящий момент равен нулю. В случае эллипсоидальной камеры уводящий момент в первом
приближении вообще не зависит от положения
ротора.
Выясним эволюцию вектора угловой скорости Ω в простейшем случае изотропного сферического ротора (плотность его материала зависит только от расстояния до центра). В этом случае его тензор инерции шаровой и задаётся одним скаляром I, равным моменту инерции относительно любой оси, проходящей через центр.
Эволюция вектора Ω описывается уравнением
dΩ
моментов I
= M , подставим в него компоdt
ненты момента из формул (43) и получим решение
 8πµR13  δ1 − δ  
Ω x = Ω0x exp  −
1 + 5δ   t ,

 3I δ 
 8πµR13  δ2 − δ  
Ω y = Ω0y exp  −
1 + 5δ   t , (44)

 3I δ 
 8πµR13  δ3 − δ  
Ω z = Ω0z exp  −
1 + 5δ   t.

 3I δ 
Всегда можно предполагать (возможно, переименовав оси), что
0 < δ1 ≤ δ2 ≤ δ3 . Тогда δ3 = 3δ − δ1 − δ2 <3δ , откуда следует
0<
δ1 δ2 δ3
≤
≤ < 3,
δ
δ
δ
(45)
59
Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере
или
в виде
−1 <
δ1 − δ δ2 − δ δ3 − δ
≤
≤
< 2,
δ
δ
δ
α = cos α sin α ( A3 − A2 ) + ( A2 − A1 ) cos 2 β  . (49)
т. е. добавка к декременту затухания вектора Ω
из (44), обусловленная несферичностью камеры, не превышает 20 % в сторону уменьшения
и 40 % в сторону увеличения по сравнению со
сферической камерой с той же относительной
толщиной зазора.
Для изучения эволюции направления Ω запишем определяющую её систему дифференциальных уравнений в сферических координатах,
обозначив для краткости
Ai =
8πµR13  δi − δ 
1+
,
3I δ 
δ 
(i = 1, 2, 3),
(
)
)
= − A2 Ω sin α sin β,
α ( t ) = arctg ctgα 0 exp ( − ( A3 − A2 ) t ) 
и либо α ( t ) ≡ α 0 при A2 = A3, либо α ( t ) →
π
при
2
α ( t ) = arctg ctgα 0 exp ( − ( A3 − A1 ) t )  ,
π
для любого α0.
2
π
В случае A1 < A2, β0 ≠ 0, ± функция β(t) за2
даётся формулой (48). Тогда
 cos α − Ω sin αα = − A Ω cos α.
Ω
3
Найдём из этой системы α и β при условии
(45) (A1 ≤ A2 ≤ A3). Будем рассматривать только
случай несферической камеры, тогда хотя бы
одно из последних неравенств должно быть
строгим:
α = cos α sin α ( A3 − A2 ) sin 2 β + ( A3 − A1 ) cos 2 β  , (46)
β = − ( A2 − A1 ) cos β sin β. чальным условием α ( 0 ) = α 0 , 0<α 0 <π , имеет
вид
и так как A3 > A1, то α ( t ) →
 sin α sin β + Ω cos α sin βα − sin α cos ββ =
Ω
π
, либо β0 = 0. В первых двух
2
случаях α = cos α sin α ( A3 − A2 ) и решение с на-
A2, либо β0 = ±
α = cos α sin α ( A3 − A1 ) ,
 sin α cos β + Ω cos α cos βα − sin α sin ββ =
Ω
= − A1Ω sin α cos β,
π
, то либо A1 =
2
A2 < A3. В третьем случае (β0 = 0)
тогда
(
Если β = β0 — решение, β0 ≤
(47)
Последнее уравнение имеет период π по β и
не меняется при замене β на –β, причём меридиπ
аны β = 0, ± , π являются решениями (47).
2
Поэтому достаточно найти решения этого уравнения, удовлетворяющие начальному условию
π
β ( 0 ) = β0 , 0 < β0 < .
2
Такое решение задаётся формулой
β ( t ) = arctg  tgβ0 exp ( − ( A2 − A1 ) t )  . (48)
Поэтому при A1 = A2 (эллипсоид вращения,
вытянутый вдоль оси OZ) β ≡ β0 , а при A1 < A2
β ( t ) → 0 при t → ∞ .
Для решения уравнения (46) перепишем его
cos 2 β =
1
1
.
=
2
2
1 + tg β 1 + tg β0 exp ( −2 ( A2 − A1 ) t )
Подставляя это значение cos 2β в уравнение
(49) и решая полученное уравнение с разделяющимися переменными, приходим к формуле

1 + tg 2β0
α ( t ) = arcctg ctgα 0
×
exp {2 ( A2 − A1 ) t} + tg 2β0


× exp {− ( A3 − A2 ) t} ,

π
из которой следует, что α ( t ) → при t → ∞.
2
Если конец вектора Ω в начальный момент
π
π
времени находится в полусфере − < β0 <
2
2
с центром в конце самой короткой полуоси эллипсоидальной камеры, то с течением времени
он притягивается к концу этой полуоси, за исключением случая вытянутого эллипсоида вращения, когда он притягивается к экватору вдоль
своего меридиана. В противоположной полусфере происходит то же самое: конец вектора Ω
эволюционирует к концу малой полуоси (либо
60
О. Н. Дементьев
в случае вытянутого эллипсоида вращения —
к экватору, любая точка которого в этом случае
также является концом малой полуоси).
В результате можно сделать вывод о том, что
в случае эллипсоидальной камеры направление
малой полуоси устойчиво для вектора Ω, который под действием уводящего момента притягивается к этому направлению из любого начального положения.
Список литературы
1. Семенюк, Н. Ф. Механика фрикционного контакта шероховатых поверхностей. Площадь контакта / Н. Ф. Семенюк, Н. К. Бачинская, Н. В. Лукьянок // Трение и износ. 1993. № 6.
С. 984–990.
2. Мицуя, Р. Влияние Стоксовской шероховатости на гидродинамическую смазку. Эффекты
скольжения // Проблемы трения и смазки. 1986.
№ 2. С. 9–27.
3. Тейлор, С. Измерение и расчёт влияния неоднородной шероховатости поверхности на коэффициент трения при турбулентном течении
// Соврем. машиностроение. 1989. Сер. А. № 7.
С. 17–33.
4. Уайт, Р. Численное и аналитическое исследование влияния шероховатости движущейся поверхности на газовую смазку // Проблемы трения и смазки. 1988. № 1. C. 148–167.
5. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и
газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.
6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М. : Наука, 1973.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
639 Кб
Теги
шара, вращающегося, движение, камеры, шероховатой, устойчивость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа