close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость инвариантных множеств периодических систем.

код для вставкиСкачать
УДК 517.912
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
С. В. Зубов
В настоящей статье изучаются свойства инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика
свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений,
оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия
устойчивости таких множеств.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
x& s = fs ( x1, K, xk, z1, K, zn -k ) ,
z& j = g j ( x1, K, xk, z1, K, zn -k ) ,
(1)
*
X = x1, K, xk ,
Здесь
и
далее
*
X = ( x1, K, xn -k ) .
По теореме единственности справедливо
равенство
Условия существования и единственности решений системы (1) будем считать выполненными. Пусть правые части системы
(1) являются периодическими функциями
z1, ..., zn–k с периодом 2p. Пусть решения
системы (1) являются уходящими по z1, ...,
zn–k т. е.:
1) существует неограниченная последовательность
{tn } :
tn ® Ґ,
n ®Ґ
значений
параметра
выполнено xs(tn) ® xs О
О (–Ґ; +Ґ);
2) для любой неограниченной последовательности
z j (tn ) ® Ґ.
{tn} : tn
® Ґ
n ®Ґ
выполнено
Рассмотрим решение системы (1) с начальными данными:
x10, x20, K, xk0,
z0j = x0j + 2pm j ,
j = 1, K, n - k,
x0j О [0, 2 p],
где mj целые. Если в системе (1) сделать замену переменных z j = x j + 2pm j , то правые
части не изменятся, система перейдет «сама
в себя».
x& s = fs X, X ,
x& j = g j X, X ,
s = 1, K, k,
j = 1, K, n - k.
z j t, X 0, Z0 = x j t, X 0, x10 + 2pm1, K,
s = 1, K, k, j = 1, K, n - k.
x0n -k + 2pmn -k .
Следовательно,
z j t, X 0, x10 + 2pm1, K, x0n -k + 2pmn -k =
= x j t, X 0, X 0 + 2pm j .
Пусть {tn} — неограниченная последовательность значений параметра такая, что
X tn, X 0, Z0 ® X. Указанным выше способом каждому Zn = Z tn, X 0, Z0 можно по-
ставить соответствие Xn О [0;2p скольку Xn лежат в компакте
n -k
. По-
0;2p ґ K ґ [0;2p ,
[0;2p n-k = [1444
424444
3
n -k
из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность
X, X О En
Точку
{Xm} : Xm ® X, X О En-k.
назовем w — предельной
)
точкой
движения
X = X t, X 0, Z0 ,
0 0
Z = Z t, X , Z .
Определение 1. Будем говорить, что в
(
пространстве En = Ek ґ En -k задана динамическая периодическая система относительно
En -k,
если
задана
векторная
функция
Y = Y Y0, t , удовлетворяющая условиям:
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).
© Зубов С. В., 2012
Серия «Физико-математические науки»
61
1) для любого Y0 О En определена единственная кривая Y(Y0, t) такая, что Y = Y0
при t = 0;
2) Y(Y0, t) — непрерывная функция
своих аргументов;
3) для любых значений параметра t1, t2
выполнено условие Y(Y(Y0,t1)t2) = Y(Y0,
t1 + t2) (условие группы);
4) для первых k компонент x1, ..., xk
вектора Y = ( x1, K, xk, z1, K, zn -k ) выполнено условие
xs x10, K, xk0, z10 + 2pm1, K, zn0-k +
+ 2pmn -k, t = xs x10, K, xk0, z10, K, zn0-1 ,
где t О -Ґ; Ґ , m1, K, mn -k — произвольные целые.
Предположим, что существует последовательность {tn} такая, что tn ® Ґ при n ® Ґ и
ской системе Y = Y Y0, t , если из Y0 О M
следует X (Y0, t ) О MEk , где
MEk = M З Ek =
= {X О Ek : $Z О En -k, ( X, Z ) О M} .
Замечание 1. Понятие Ek — инвариантного множества является некоторым расширением понятия инвариантного множества.
Действительно, все инвариантные множества
и Ek — инвариантны, а из Ek — инвариантности в общем случае не следует инвариантность.
Замечание 2. Аналогичные определения
можно ввести и при t ® -Ґ.
Теорема 1. Множество WY0 w — пре-
дельных точек движения Y = Y Y0, t Ek —
инвариантно и замкнуто.
Доказательство. Пусть (X, Z) — w-пре-
xs Y0, tn ® xs О -Ґ; Ґ . Наряду с кривой
Y(Y0), рассмотрим кривую с начальными
данными
дельная точка движения Y = Y Y0, t , следовательно, существует последовательность
значений
параметра
{tn} : tn ® Ґ, и
Y0ў = x10,K, xk0, z10 + 2pm1, K, zn0-k + 2pmn -k .
X (Y0, tn ) ® X, X Z Y0, tn ® Z. По свой-
(
В силу свойства 4 эти кривые будут
совпадать, следовательно, если сделать замену z j = x j + 2pm j ( j = 1, K, n - k), то кривая
системы
X,
Z
с
начальными
данными
ству 4) имеем
Поэтому
X X, Z, t = lim X Y Y0, tn , t =
x10, K, xk0, z10, K, zn0-k будет совпадать с
кривой системы X, X с начальными данными x10, K , xk0, x10, K, x0n -k, но xj уже будут
лежать в компакте. Значение xj, сопоставленное указанным выше способом значению zj,
будет обозначать xj(zj).
Определение 2. Точка Y = ( x1, K, xk,
z1, K, zn -k ) называется w-предельной точкой
движения Y = Y Y0, t , если существует неограниченная последовательность значений
параметра {tn } : tn ® Ґ такая, что последова-
тельности xs Y0, tn , x j z j Y0, tn к конечным значениям:
xs Y0, tn ® xs ,
x j z j Y0, tn ® z j ,
сходятся
s = 1, K, k,
j = 1, K, n - k.
Определение 3. Множество M М En =
= Ek ґ En -k называется Ek — инвариантным
по отношению к динамической периодиче-
62
X X 0 , Z0 , t є X X 0 , X Z 0 , t .
n ®Ґ
= lim X Y0, tn + t ,
n ®Ґ
следовательно,
X ( X, Z, t ) О WY0 З Ek = WY0Ek "t,
т. е. множество WY0 является Ek-инвариантным.
Покажем, что WY0 замкнуто. Пусть
(X, Z) — предельная точка множества WY0 , т. е.
существует последовательность
Еn такая, что
{( X , Z )}
n
n
в
Xn, Zn ) О WY0 , Xn ® X, Zn ® Z.
По свойству метрического расстояния
имеем
(
) (
)
r ( Z (Y0, t ) , X ) Ј r X (Y0, t ) , X n + r X n, X ,
(
)
(
)
r X ( Z (Y0, t ) ), Z Ј r X ( Z (Y0, t ) ), Zn +
(
n
)
+r Z , Z .
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Отсюда видно,
что
можно выбрать такую
последовательность значений параметра {tn } ,
которая будет удовлетворять определению 2,
т. е. точка X, Z О WY0 . Теорема доказана.
Определение 4. Замкнутое Еk-инвариантное множество M М En называется устойчивым по Ляпунову, если по любому e > 0
можно указать величину d > 0, такую, что
при r Y0, M < d выполняется r ( X (Y0, t ) ,
M З Ek ) < e "t і 0.
Замечание 3. Под множеством M З Ek
мы понимаем следующее множество: M З Ek =
= {X О Ek : $Z О En -k, ( X, Z ) О M} .
Теорема 2. Для того чтобы замкнутое
Ek-инвариантное множество было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно,
чтобы существовал функционал V(Y), заданный в некоторой r-полосе S M З Ek, r ґ
ґ En -k r > 0 , удовлетворяющий условиям:
1) "c1 > 0$c2
> 0 : V Y > c2
при
r X, M З Ek > c1;
2) "g 2
> 0$g1 > 0 : V (Y ) Ј g 2 Ы
Ы r ( X, M З Ek ) < g 2;
Покажем, что имеет место условие 2. По
величине g2 > 0 в силу определения 4 можно
указать величину g1 > 0, такую, что при
r Y0, M < g1
r ( X (Y0, t ) , M З Ek ) <
будет
< g 2 "t і 0. Следовательно,
sup r ( X (Y0, t ) , M З Ek ) Ј g 2,
t і0
(
)
а тогда V Y Ј g 2 при r X 0, M З Ek < g1,
)
0
так как r X , M З Ek Ј r Y0, M ) . Значит,
функционал V(Y) удовлетворяет условию 2.
Покажем справедливость условия 3.
Пусть Y0 О S M, d . Тогда X Y0, t О S M З
З Еk , e и определено значение функционала
в любой точке Y Y0, t , t О 0; T . Очевидно, что
V Y Y0, t = sup r X Y Y0, t , t , M З Ek =
t і0
= sup r X Y0, t + t , M З Ek =
t і0
= sup r X Y0, t , M З Ek Ј
t іt
Ј sup r X Y0, t , M З Ek = V Y0 .
t і0
3) V (Y (Y0, t ) ) является невозрастающей
функцией t при t і 0, Y0 О S M, d пока
Y Y0, t О S.
Доказательство. Необходимость. Пусть
замкнутое Еk-инвариантное множество М
устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы выполнены. Возьмем некоторое
e > 0. Ему, согласно определению 4, отвечает величина d > 0, такая, что при
(
)
Итак, V Y (Y0, t ) Ј V ( Y0 ) . Этим доказана необходимость.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности множества M З Ek ґ En -k существует функционал со свойствами 1—3.
Покажем, что замкнутое Ek-инвариантное
множество М устойчиво.
Возьмем e > 0 (e < r) и, следуя [1], положим
l = inf V Y при r X, M З Ek = e.
r Y0, M < d будет r ( X (Y0, t ) , M З Ek ) < e.
Положим
В силу свойства 1) l > 0. В силу свойства 2 по величине l можно указать величи-
V Y0 = sup r X Y0, t , M З Ek .
ну d такую, что при r X 0, M З Ek < d бу-
t і0
Этим функционал определен в S ( M З Ek,
r ґ En -k. Функционал удовлетворяет условию 1), так как V (Y ) і r ( X, M З Ek ) , откуда
следует,
что
при
r X, M З Ek > c1,
r (Y0, M ) < d будет V (Y ) > c2 (c1 = c2 ).
Серия «Физико-математические науки»
)
дет V (Y0 ) < l. Покажем, что найденная
величина d соответствует взятому e в определении 4, т. е. при
r (Y0, M ) < d
будет
r X Y0, t , M З Ek < e "t і 0.
Предположим противное: пусть существует
точка Y0 О S M, d , такая, что при некото-
63
ром t
(
имеет место равенство r X (Y0, t ) ,
(
)
M З Ek = e; тогда имеем V Y (Y0, t ) і l,
но в силу свойства 3
(
)
V Y (Y, t ) Ј V ( Y0 ) < l.
Таким образом, получили противоречие,
окончательно доказывающее теорему.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубова А. Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий / А. Ф. Зубова. — СПб. : СПбГУ, 2004. — 472 с.
Поступила 15.06.2012.
УДК 517.91
ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО
РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
В. Н. Щенников, А. Н. Наумкина, Т. Н. Явкина,
Ю. И. Голечков, И. Г. Башмаков
Дано развитие первого метода Ляпунова в части исследования окрестности нулевого решения обыкновенных аналитических дифференциальных уравнений.
Настоящая статья связана с результатами работ А. М. Ляпунова [3], Брио и Буке
[5], А. Пуанкаре [7], Э. Пикара [6], а также
с работами Н. П. Еругина [1], А. А. Шестакова [4], В. И. Зубова [2] и дает их дальнейшее развитие.
Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений
dxk
=
dt
n
е akj x j + Fk (x1, K, xk ),
i =1
k = 1, ..., n,
(1)
в которой akj — постоянные; Fk (x1, K, xn ) —
степенные ряды относительно переменных
x1, K, xn, сходящиеся в заданной окрестности точки x1 = K = xn = 0 и разложение
которых не содержит ни постоянных, ни линейных членов. Система (1) предполагается
действительной и будут исследоваться действительные решения
xk = xk (t), k = 1, K, n,
(2)
которые асимптотически сходятся к началу
при t ® +Ґ, т. е. действительные решения,
для которых
lim (x12 + K + xn2 ) = 0.
(3)
t ®+Ґ
Решения, обладающие свойством (3), называются O+-кривыми. В дальнейшем их будем называть асимптотическими решениями.
При n = 2 известные результаты [3; 5—
7] могут быть сформулированы в виде теорем
1 и 2.
Теорема 1. Пусть характеристические
числа постоянной матрицы A = akj
n,n
1,1
си-
стемы (1) являются либо отрицательными и
при этом ни одно из них не является целым
кратным других, либо сопряженными комплексными числами с отрицательными вещественными частями. Тогда все решения в
окрестности нуля есть действительные
асимптотические решения уравнения (1) при
t ® +Ґ. Если характеристические числа являются вещественными и противоположных
знаков, то решение в достаточно ограниченной окрестности начала координат принад-
© Щенников В. Н., Наумкина А. Н., Явкина Т. Н.,
Голечков Ю. И., Башмаков И. Г., 2012
64
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
651 Кб
Теги
инвариантная, множества, система, устойчивость, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа