close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
НАУЧНЫЙ
ЖУРНАЛ
«СИМВОЛ НАУКИ»
№11-4/2016
ISSN 2410-700Х
В примере 2, как видим, ротор векторного поля равен нулю, поэтому данное поле является
безвихревым. Если вычислять дивергенцию в конкретной точке, то можно делать вывод о наличии в этой
точке источника или стока поля.
К рассмотрению векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики,
механики и других технических дисциплин. Поэтому важно уметь применять программные продукты,
например, MathCAD, для облегчения расчётов характеристик векторных полей и их наглядного
изображения. MathCAD – система, позволяющая решать задачи, поставленные перед студентами в рамках
технических дисциплин.
Список использованной литературы:
1. MathCAD — это просто! Часть 8. Графики векторных полей и анимированные графики: [Электронный
ресурс] // URL: http://www.nestor.minsk.by/kg/2008/20/kg82007.html. (Дата обращения: 23.11.2016).
2. Волченко
Ю.М.
Работа
и
циркуляция:
[Электронный
ресурс]
//
URL:
http://yura.volchenko.com/Education/WorkCirc.pdf. (Дата обращения: 22.11.2016).
© Ершова И.В., Минеева Т.А., 2016
УДК 517.968
Каденова Зууракан Ажимаматовна - к.ф.-м.н., доцент,
Заместитель министра труда, миграции и молодежи
Кыргызской Республики
e-mail: Kadenova71@mail.ru
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Аннотация
В настоящей статье доказана теорема о оценки устойчивости решений систем линейных интегральных
уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях.
Ключевые слова
Линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.
Kadenova Zuurakan Ajimamatovna
the candidate of physical and mathematical sciences,
associate professor, Deputy ministry of labor, migration
and youth of the Kyrgyz Republic
STABILITY OF THE SYSTEMS LINEAR INTEGRAL
EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO VARIABLES
In the present article the theorem about an assessment of stability of solutions of systems of the linear integral
equations of the first t with two independent variables in unlimited areas is proved.
Key words and phrases
linear integral equations, first kind, two variables, solution and uniqueness.
Постановка задач. В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм для
систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в
13
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
НАУЧНЫЙ
ЖУРНАЛ
«СИМВОЛ НАУКИ»
№11-4/2016
ISSN 2410-700Х
неограниченных областях получены оценки устойчивости решений.
Рассмотрим систему уравнений
b
t
b
a
t0
t0 a
Ku   K t , x, y u t , y dy   H t , x, s u s, x dx    C t , x, s, y u s, y dy 
 f t , x , t , x   G, G  t , x  R 2 ,
где

t0  t  , a  x  b ,
(1)
 At , x, y , t0  t  , a  y  x  b;
K t , x, y   
Bt , x, y , t0  t  , a  x  y  b,
At , x, y , Bt , x, y , H t , x, s , Ct , x, s, y  -
известные
(2)
n  n -мерные
определенные соответственно в области
матричные функции,
G1  t , x, y  : t0  t  , a  y  x  b,
G2  t , x, y  : t0  t  , a  x  y  b,
G3  t , x, s  : t0  s  t  , a  x  b, G 2  G  G,
f t , x  -известная, ut , x  -неизвестная n -мерные вектор-функции.
Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в
[1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены
регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В данной работе получены оценки устойчивости
решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в
неограниченных областях в классе L2 G  .
Введем следующие обозначения:
1) Совокупность всех матриц, действующих в
Rn
обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в
n  n - мерной матрицы А  (aij )  М и n - мерного вектора u
n
, т.е. для любых u  u1 , u 2 , ..., u n ,   1 ,2 , ...,n   R
R n , А , и - нормы соответственно
u,  u11  u 22  ...  u nn ,
1/ 2
 n n
2
A    aij   ;
 i 1 j 1

u  u , u  ,
L2 (G) , 
2) L2,n (G) - пространство n – мерных векторов с элементами из
т.е. для любого
ut , x   L2,n (G)
1
2


u t , x  L    u t , x  dxdt  ;
2
t a

0

2
b

L2 -норма в
 ; M  - пространство n  n - мерных матриц с элементами из L (G ) ,
 L -норма в L G ; M  - т.е. для любого At , x, s, y   L G  ; M 
3) L2 G
2
2
2
2
2
2
1
At , x, s, y  L
2
  b b
2
2

     At , x, s, y  dydxdsdt  .
t t a a

0 0

14
2
2
L2,n (G) -
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
НАУЧНЫЙ
ЖУРНАЛ
«СИМВОЛ НАУКИ»
 
№11-4/2016
ISSN 2410-700Х
Предполагается, что ядро C t , x, s, y   L2 G 2 и C t , x, s, y   C s, y, t , x , t , x, s, y  G , где
С  - сопряженная матрица к матрице С
сходимости в норме пространстве
2

. Тогда матричное ядро C t , x, s, y  разлагается в ряд в смысле
 
L2,n G 2 :
 1i  t , x 


.


m
 i 

i 
C t , x, s, y    i  .
 1 s, y ,..., n s, y  , l  m  ,
i 1

.

 i 
  n t , x 

где

(3)
   t, x     t, x - ортонормированная последовательность собственных вектор i
функций из L2,n G  ,

i
i  -
последовательность соответствующих ненулевых собственных значений
интегрального оператора С, порожденного матричным ядром
C t , x, s, y  , причем элементы i 
расположены в порядке убывания их модулей т.е.
1  2  ... .
Обозначим
Ps, y, z   As, y, z   B s, z, y ,
где B  s, z, y   сопряженная матрица и матрице Bs, z, y .
Потребуем выполнения следующих условий:
s, y, z   G1.
(4)
1) P s, y, z   Ps, y, z , s, y, z   G1.
2) Матрицы Ps, b, a , lim H t , y, t0 , Pzs, b, z , lim H t , y,   - неотрицательны
t 
соответственно при всех значениях
t 
s  t0 , , y  a, b, s, z ,  , y   G,
Ps, b, a   Ct 0 , , lim H t , y, t 0   Ca, b, Pzs, b, z   C G , lim H t , y,   C G ;
3)Матрицы Py
t 
s, y, a,
t 
H s s, y, t0 , Pzy s, y, z , Hs s, y,  - неположительны при всех
s, y  G, s, y, z  G1 , s, y,  G3 ,
Py s, y, a   C G , H s s, y, t0   C G , Pzy s, y, z   C G1 ,
значениях соответственно
Hs s, y,   C G3 ;
4) Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:
а) при почти всех
б) при почти всех
в) при почти всех
г) при почти всех
s, y   G матрица Py s, y, a  - отрицательны;
s, z  G матрица Pzs, b, z  - положительны;
s, y   G матрица H s s, y, t0  - отрицательны;
H , y,  - положительны
 , y   G матрица lim
t 
и для любого
v(t , x)  L2,n G ,
x
b
t
a
x
t0
 A(t, x, y)v(t, y)dy,  B(t, x, y)v(t, y)dy,  H (t, x, s)v(s, x)ds  L
2,n
15
(G),
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
где
НАУЧНЫЙ
ЖУРНАЛ
«СИМВОЛ НАУКИ»
№11-4/2016
ISSN 2410-700Х
Ct0 , , CG , CG1  и C G3  -пространство всех непрерывных и ограниченных функций
соответственно в области
t0 , , G , G1
и G3 ;
 1i  t , x 


.


n
 i 

i 
C t , x, s, y    i  .
  n s, y ,..., n s, y 
i 1

.

 i 



t
x
,
n



где
функций

(5)
   t, x     t, x - ортонормированная последовательность
из L G  ,   - последовательность соответствующих ненулевых
i

2
2
i
i
интегрального оператора С, порожденного матричным ядром
собственных вектор собственных значений
C t , x, s, y  , причем элементы i 
1  2  ... .
расположены в порядке убывания их модулей
Будем считать, что все собственные значения
 , матричного ядра Ct, x, s, y  положительны.
В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора С, порожденного матричным ядром
C t , x, s, y 
ортонормированная
последовательность
собственных
вектор
 t, x     t, x- полна в L G  . Очевидно, что если ut, x L G , то

i

2, n

где u t , x  L   u v  , u
2
2
2
v 1
 
2, n
  u t , x ,   t , x  dtdx ,   1,2, ... .
a t0
M
выделим следующим образом:

2


M   u t , x   L2,n G  :   u    c, где c  0,
 1


u
функций
b
Семейство множеств корректностей
 
–
0    ,
 b
   u t , x  ,    t , x  dxdt , v  1,2,....
t0 a
Обе части системы (1) скалярно умножим на
формулы Дирихле и учитывая (3), имеем
b

u t , x  и интегрируем по области G. Далее, используя
b
y
y
b
1
1






P
s
,
b
,
a
u
s
,

d

,
u
s
,

d

ds


  Py s, y, a  us, d ,  us, d dyds 
a
a
2 t0
2t a
a
a
0
 b
b
b

1
Pzs, b, z  u s, d ,  u s, d dzds 
2 t0 a
z
z

1
Pzy s, y, z  u s, d ,  u s, d dzdyds 
2 t0 a a
z
z
 b y
y
y
b


1
  lim H t , y, t0  u  , y d , u  , y d dy 
2 a t 
t0
t0
b 
s
s
1
   H s s, y, t0  u  , y d ,  u  , y d dsdy 
2 a t0
t0
t0
16
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
b 
НАУЧНЫЙ

ЖУРНАЛ
«СИМВОЛ НАУКИ»
1
lim H t , y,  u  , y d ,  u  , y d ddy 
2 a t0 t 



1
Hs s, y,  u  , y d ,  u  , y d ddsdy 
2 a t0 t0



   u
 1
s
v 
2
ISSN 2410-700Х


b  s
№11-4/2016
s
b 
   f t , x , u t , x  dtdx.
a t0
Отсюда, используя неравенства Гельдера, имеем

Если
 u  


(6)
то из (6) имеем ut , x   0 t , x   G.

u  


2
1
Пусть
 f t , x  u t , x  .
1
f t , x   0 t , x   G,
С другой стороны
2
2

   u   
  1



1
ut , x   M  . Тогда, учитывая (6), из (7) имеем

u


 
2
1
  u   2  1


    .
 1



  f t , x  u t , x  

1
c
1
1
(7)
.
(8)
1
Из (8) получим следующую оценку устойчивости:
1

u t , x  L  С 2 f t , x  L2 .
2
Таким образом, теорема доказана.
Теорема. Пусть выполняются условия 1)-2),
Тогда на решение системы (1) единственно
(9)
2
K M    L2,n G  - образ M 
L2,n G 
и множестве
K M  
при отображении К.
существует равномерно
непрерывный оператор К , обратный к К, т.е. справедлива оценка (9).
Список использованной литературы:
1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и
анализа. М.: Наука, 1980.
© Каденова З.А., 2016
-1
УДК 621.373.826
Стаценко Павел Анатольевич
младший научный сотрудник, г. Новосибирск, РФ
МОЩНАЯ СО2 ЛАЗЕРНАЯ СИСТЕМА ГЕНЕРАТОР-УСИЛИТЕЛЬ ДЛЯ ЛАЗЕРНОПЛАЗМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Аннотация
Создана лазерная система генератор-усилитель (СГУ) с пространственной фильтрацией луча
генератора на основе самофильтрующего неустойчивого резонатора. СГУ обладает большей устойчивостью
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
1 296 Кб
Теги
первого, рода, двумя, решение, независимых, уравнения, интегральная, система, линейный, устойчивость, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа