close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость установившихся плоско-параллельных сдвиговых течений идеальной стратифицированной жидкости в поле силы тяжести.

код для вставкиСкачать
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 532.5.013.4
А. А. Гаврильева, Ю. Г. Губарев
УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Исследована задача линейной устойчивости стационарных плоско-параллельных сдвиговых течений невязкой непрерывно
стратифицированной жидкости, находящейся в поле силы тяжести между двумя неподвижными непроницаемыми твердыми
параллельными бесконечными пластинами.
Прямым методом Ляпунова показано, что данные течения абсолютно неустойчивы относительно малых плоских
возмущений (на полубесконечных интервалах времени). А именно построена априорная оценка снизу, которая свидетельствует
об экспоненциальном во времени нарастании рассматриваемых возмущений. А также прямым методом Ляпунова получены
достаточные условия практической (на конечных временных промежутках) неустойчивости данных течений по отношению
к малым плоским возмущениям.
Ключевые слова: идеальная жидкость, стратифицированная жидкость, установившиеся течения, прямой метод Ляпунова,
априорная оценка, условия неустойчивости.
A. A. Gavrilyeva, Yu. G. Gubarev
Stability of steady plane-parallel shear flow of ideal stratified fluid
in a gravity field
The problem of linear stability of stationary plane-parallel shear flows of an inviscid continuously stratified fluid in a gravitational
field between two fixed impermeable solid parallel infinite plates is studied.
The Lyapunov direct method shows that the data flow is absolutely unstable with respect to small plane perturbations (in the
semi-infinite time intervals). Namely, a priori estimate below has been constructed, which shows an exponential increase in time under
consideration of the perturbations. As well as sufficient conditions for the practical (on finite time intervals) instability of these flows
with respect to small perturbations of the flat has been found by the direct Lyapunov’s method.
Key words: ideal fluid, stratified fluid, steady flow, the direct Lyapunov method, a priori estimate, the conditions of instability.
ГАВРИЛЬЕВА Анна Андреевна – ведущий инженер
отдела материаловедения Института физико-технических
проблем Севера им. В. П. Ларионова СО РАН.
E-mail: gav-ann@yandex.ru
ГУБАРЕВ Юрий Геннадьевич – к. ф.-м. н., доцент,
с. н. с лаборатории вихревых движений жидкости и газа
Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.
Е-mail: Yu.G.Gubarev@mail.ru
Проблема устойчивости стационарных плоскопараллельных
сдвиговых
течений
идеальной
непрерывно стратифицированной жидкости в поле
силы тяжести по отношению к малым плоским
возмущениям является одной из фундаментальных
задач гидродинамики, физики атмосферы, океанологии
и других родственных областей науки [1], которая не
утратила своей актуальности и в настоящее время.
Основные результаты изучения устойчивости
установившихся
плоско-параллельных
сдвиговых
течений невязкой непрерывно стратифицированной
жидкости, находящейся в поле силы тяжести
относительно
малых
плоских
возмущений,
15
ВЕСТНИК СВФУ, 2012, том 9, № 3
получены спектральным методом с использованием
интегральных соотношений [2-4]. К сожалению, эти
результаты справедливы лишь для возмущений в
форме нормальных волн [1, 4]. Кроме того, следствием
применения интегральных соотношений служит то, что
реально исследуются не все возможные возмущения
в виде нормальных волн, а только удовлетворяющие
дополнительному требованию к дифференциальному
оператору Тейлора-Гольдштейна [2-4].
Наконец, как вытекает из выполненных в работе
[5] энергетических рассуждений, устойчивы лишь
состояния покоя, у которых плотность рассматриваемой жидкости возрастает в направлении нижней
пластины, причем по отношению к такому классу
малых возмущений, что для него малые возмущения
плотности на границе равны нулю. Наложение же
сколь угодно слабого сдвига скорости дестабилизирует данные состояния покоя. Более того, за исключением описанных здесь состояний покоя, отыскать
условия устойчивости каких-либо иных стационарных
течений изучаемой жидкости относительно малых
возмущений типа [5] с помощью энергетических
соображений нельзя.
Все это дает возможность предположить, что
имеется абсолютная неустойчивость установившихся
плоско-параллельных сдвиговых течений идеальной
непрерывно стратифицированной жидкости в поле
силы тяжести по отношению к малым плоским
возмущениям. Данное предположение может быть
проверено прямым методом А. М. Ляпунова [6-8] –
самым мощным аналитическим методом современной
математической
теории
гидродинамической
устойчивости. Однако главная трудность при
использовании этого метода заключается в том, что
до сих пор неизвестны регулярные способы построения функционалов А. М. Ляпунова. Поэтому нами
развивается новая аналитическая методика [6],
позволяющая или демонстрировать теоретическую
абсолютную неустойчивость, или получать теоретические и практические достаточные условия
неустойчивости тех либо других исследуемых
течений жидкости, газа или плазмы относительно
малых возмущений. Суть новой методики состоит в
алгоритмическом
конструировании
функционалов
А. М. Ляпунова, которым, с одной стороны, характерен монотонный рост со временем в силу соответствующих начально-краевых задач для малых
возмущений, а с другой – такая форма зависимости
от малых возмущений, что из нарастания данных
функционалов во времени следует рост малых
возмущений со временем в согласии с определением
неустойчивости. При этом возникающие условия
нарастания во времени функционалов А. М. Ляпунова
как раз и будут достаточными условиями неустойчивости рассматриваемых течений по отношению к
16
малым возмущениям. Практическая значимость
работы заключается в том, что для получения сведений об устойчивости исследуемых течений не нужно
применения сложного и трудоемкого теоретического
анализа свойств как самой исследуемой математической модели, так и знать явный вид решений краевых и/либо смешанных задач, описывающих изучаемые течения и возмущения.
Таким образом, в работе прямым методом
А. М. Ляпунова [6-8] будет показана абсолютная
неустойчивость стационарных плоско-параллельных
сдвиговых
течений
невязкой
непрерывно
стратифицированной жидкости, которая находится
в поле силы тяжести между двумя неподвижными
непроницаемыми твердыми параллельными бесконечными пластинами, относительно малых плоских
возмущений. Кроме того, будет построена априорная
оценка снизу, говорящая об экспоненциальном росте
со временем исследуемых возмущений, и получены
достаточные условия практической неустойчивости
данных течений по отношению к малым плоским
возмущениям.
Нами рассмотрены плоские течения идеальной
несжимаемой неоднородной по плотности жидкости
между двумя покоящимися непроницаемыми твердыми
параллельными неограниченными стенками в поле
силы тяжести.
Данные течения характеризуются эволюционными
решениями начально-краевой задачи вида [1-3]
ρDu = − p x , ρDv = − p y − ρg , Dρ = 0 , u x + v y = 0 τ ; (1)
v=0
∂τ
v=
∂τ ;
u ( x, y, 0 ) = u 0 ( x(, y ), v( x), y, 0 ) = v0 ( x, y ),
(
(
(
(
)
)
) (
)
где ρ ( x, y, t ) – плотность жидкости; u( x, y, t ), v( x, y, t )
( скорости
)
– составляющие
жидкости;
( p()x, y, t ) –
( ( ) ) ) поля
(
поле давления;
потенциальное поле силы тяжести
(
)
( )(
(
)
∇Φ = (0, g )(, g ≡)const ; D( ≡ ∂ )/ ∂t + u∂ / ∂x + v∂ / ∂y
(
– дифференциальный
оператор; x, y – декартовы
координаты;τ ≡ { x, y : − ∞ < x < +∞, 0 < y < H }
–
область
течения
жидкости;
∂τ ≡ { x, y : − ∞ < x < +∞, y = 0, H } – граница
t
области течения; u 0 , v 0 – начальные
компоненты поля
скорости жидкости; t – время; H ≡ const – ширина
зазора между стенками. Нижними индексами из
независимых переменных обозначаются частные
производные искомых функций. Предполагается, что
начальные составляющие u 0 и v0 поля скорости
жидкости обращают в тождество четвертое соотношение смешанной задачи (1). Более того, считается, что
начальная компонента v0 удовлетворяет пятому равенству этой задачи.
Начально-краевая задача (1) обладает интегралом
энергии в форме
(
(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
( ( )
( (
)
(
(
( )
( )
( )( )
(
А. А. Гаврильева, Ю. Г. Губарев. УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
+∞ H
u2 + v2
ρ
+ρ
2
E1 ≡
dydx = const
, (2)
когда ее решения либо периодичны, либо локализованы
вдоль оси абсцисс.
Также у смешанной задачи (1) имеется еще
один сохраняющийся на эволюционных решениях
функционал. Действительно, если ввести функцию
λ x, y, t , сохраняющую свои значения в любой
жидкой
λ =частице при ее движениях ( Dλ = 0 ), то
+∞ H
интеграл
(3)
I ≡ F λ dxdy = const,
−∞ 0
(
)
(
)
( )
( )
−∞
−∞ 0
где F( λ) – произвольная функция своего аргумента, будет сохраняться на решениях начально-краевой задачи
(1).
Смешанная
задача
(1)
обладает
точными
стационарными решениями вида
( )
( )
( )
ρ = ρ 0 ( y ), u = U ( y ), v = 0,
y
dΦ
0, p = P( y ) ≡ p0 − ρ 0 ( y1 )
dy1
dy1
0
(где ρ 0 , U – некоторые функции ординаты, p 0
(4)
– постоянная величина, y1 – переменная интегрирования).
Данные
решения
соответствуют
стационарным
плоско-параллельным сдвиговым течениям невязкой
непрерывно стратифицированной жидкости между
двумя неподвижными непроницаемыми твердыми
параллельными бесконечными пластинами в поле
силы тяжести.
Цель дальнейшего рассмотрения состоит в том,
чтобы выяснить, могут ли стационарные решения (4)
быть неустойчивыми по отношению к малым плоским возмущениям.
Для достижения данной цели производим
линеаризацию смешанной задачи (1) около точных
стационарных решений (4), приводящую к начальнокраевой задаче вида
ρ 0 u 't +Uu ' x +v'
ρ0
dU
= − p' x
dy
,
u ' x +v' y = 0
, в
τ;
v'= 0
∂τ ;
(
) ) ( () ( )
)( ( )
) (
( )) ) (( ())
) (
)
( ) ()
( ) ) ( )( () ( ) ()
(
(
) (
(
) (
ξ1t = u '−Uξ1 x + ξ 2
)
dU
, ξ 2 t = v'−Uξ 2 x .
dy
Посредством
соотношений
начально-краевую задачу (5) в виде
(6)
(6)
перепишем
ρ 0 (ξ1tt + 2Uyξ1tx + U 2ξ1xx ) = − p' x , ξ1x + ξ 2 y = 0, (7)
ρ 0 (ξ 2tt + 2Uξ 2 xt + U 2ξ 2 xx ) = − p'(y + ρ 0 y gξ 2 ,
( 2tt
0
2
ξ( =
)
на
∂
τ
;
ξ2 = 0
∂τ ;
ξ1 ( x(, y, 0) =) ξ10 ( x(, y ), )ξ1t (x(, y(, 0) (=) (ξ1(t )0)()x,( y ),
(
(где
– малые плоские возмущения полей скоростей,
возмущения
плотности, возмущения давления;
u '0 , v'0 - начальные составляющие возмущенного
)
(
(
2
, (5)
v'= 0 на
0
u ' ( x, y, 0 ) = u ' 0 ∂( xτ0, y ), v' ( x,(y, 0 ) = v' 0 ( x, y(),
где ( u ' ( x, y
) , t ), v'( x,( y,)t ), ρ (' ((x(, y, t)),) p(' (x, y, )t()
(
)( (
(
(
)((
(
) ((
(
(
) )(
(( )) (
(
)
(
( (
ξ(((x(, y, )0)) =) ξ( ((x(,)y )), )ξ( ((x,( y), 0))=)((ξ ( )) ((x) ,(y ).)
∂v'
∂v'
+U
= − p' y − ρ ' g
∂t
∂x
dρ
∂ρ '
+ Uρ ' x + v' 0 = 0
∂t
dy
поля скорости жидкости. Полагается, что функция
v'0 , с одной стороны, превращает в тождество
пятое равенство смешанной задачи (5), а с другой –
вместе с функцией u '0 удовлетворяет четвертому
соотношению этой же задачи.
К сожалению, линейный аналог интеграла
энергии для начально- краевой задачи (5) для любых
малых плоских возмущений с помощью энергетических соображений найти нельзя.
Далее прямым методом А. М. Ляпунова будет
показано, что стационарные течения (4) абсолютно
неустойчивы относительно малых плоских возмущений. Для того чтобы продемонстрировать неустойчивость какого-либо стационарного решения (4)
смешанной задачи (1) по отношению к малым
плоским возмущениям, нужно суметь выделить
среди этих возмущений всего только одно, но за то
экспоненциально быстро нарастающее во времени
возмущение.
Исходя из данного обстоятельства, поиск требуемого возмущения осуществляется ниже в подклассе
плоских течений, для него малые плоские возмущения (5) являются отклонениями траекторий движения
жидких частиц от соответствующих линий тока
установившихся течений (4). Эти возмущения могут
0
быть описаны
с помощью поля лагранжевых смещений
x, y, t = ξ1 , ξ 2 [9], которые определяются
уравнениями
(
20
)
ξ10 , ξ 20
t
t 0
2t
2t 0
( () (
) t 0 поля лагран– начальные составляющие
( )
( )
( ) ( )
)
( )
)
жевых смещений
, а ξ1t 0 и
ξ 2t 0 – начальные
компоненты его частной производной
поряд( первого
)
ка по времени). Предполагается, что функции ξ10 , ξ 20
( )
обращают в тождество второе уравнение из системы (7).
( Этому
)
подклассу линейным аналогом интеграла
( ) для начально-краевой задачи (7) служит
энергии
функционал вида
(( (
((
)() ) )
)( ) )
(
(
(
(
(
( (
(
)) )
17
)
(
ВЕСТНИК СВФУ, 2012, том 9, № 3
ρ 0 ((ξ1t + Uξ1 x ) + (ξ 2 t + Uξ 2 x )
− 2 ρ 0U (ξ1 xξ1t + ξ 2 xξ 2 t )
2
E=
1 + ∞H
2 −∞ 0
− 2 ρ 0U
2
((ξ
2
)
2
1x
Для произвольной постоянной величины λ заметим, что функционал
)
dydx.
)
2Tλ ≡ 2T − λ
+ (ξ 2 x ) − ρ 0 y g (ξ 2 )
2
2
(8)
δ Непосредственной проверкой можно убедиться, что
первая вариация δJ интеграла J ≡ E1 + I (2), (3)
J ≡E +
1 лишь тогда,
зануляется на стационарных решениях (4)
когда выбирается связь функции
, и вариация
возмущения плотности на границе равна нулю δρ ∂τ =δ0.
В то же время вторая вариация δ 2 J функционала J
совпадает по форме с интегралом E (8) [5].
Знакоопределенность подынтегрального выражения
(8) имеется только на состояниях покоя и при
следующемEраспределении плотности рассматриваемой
жидкости: dρ 0 / dy < 0. Наложение же сколь угодного
слабого
сдвига
скорости
«дестабилизирует»
течение в смысле нарушения знакоопределенности
подынтегрального выражения (8). В результате условий устойчивости точных стационарных решений
(4) относительно малых плоских возмущений нет.
Особо следует заметить, что в коэффициентах формы
подынтегрального выражения (8) локальное число
−2
Ричардсона Ri ≡ −( g / ρ 0 )(dρ 0 / dy )(dU / dy ) не появляется. Этотфакт говорит о том, что локальное число
Ричардсона как критерий устойчивости из энергетических соображений не возникает [5].
Таким образом, осталось исследовать неустойчивость стационарных решений (4) смешанной задачи (1)
по отношению к малым плоским возмущениям.
Ниже интеграл E (8) будет использоваться в форме
E ≡ T + T1 +
= const,
(9)
+ ∞H
ρ 0 ((ξ1t + Uξ1 x − λξ1 ) + (ξ 2 t + Uξ 2 x − λξ 2 ) )dydx ≥ 0 (12)
2
=
2
−∞ 0
неотрицателен.
функционала
Используя
соотношение
(11)
для
T и для положительной величины
dρ 0 / dy
из неравенства (12) можно
α ≡ g max
0≤ y≤ H
ρ0
извлечь дифференциальное неравенство
d 2M
dM
− 2λ
+ 2(λ2 + α ) M ≥ 0.
2
dt
dt
(13)
В самом деле,
d 2M
dM
2
− 2λ
+ 2λ2 M ≥ −4 ≥ − 2α ρ 0 (ξ 2 ) dxdy ≥
dt 2
dt
2
2
− 2α ρ 0 (ξ 2 ) dxdy − 2α ρ 0 (ξ1 ) dxdy = − 2αM. (14)
Откуда и вытекает искомое дифференциальное
неравенство (13).
Оказывается, если постоянную величину λ подчинить требованию
λ > 0 и добавить дополнительные условия [10] к неравенству (13)
)(
(
M( πn / 2 λ2 +)2α > 0; n = 0, 1, 2, ... ;
(
)
(
dM
πn / 2 λ2 + 2α ≥ 2(λ + α / λ )M πn / 2 λ2 + 2α ;
dt
(
((
dM
)
))
(
)
((
))
M πn / 2 λ2 + 2α ≡ M (0 )exp πnλ / 2 λ2 + 2α , (15)
где
+∞ H
≡
[
]
1
2
2
ρ 0 (ξ1t + Uξ1x ) + ρ 0 (ξ 2 t + Uξ 2 x ) dydx ≥ 0,
2 −∞ 0
+∞ H
1
dM
+ λ2 M =
dt
=−
[ρ U (ξ
0
]
ξ + ξ 2 xξ 2 t ) + ρ 0U 2 ((ξ1x ) + (ξ 2 x ) ) dydx,
1 x 1t
2
2
−∞ 0
1
ρ 0 y gξ 22 dydx.
2 −∞ 0
В интересах последующего изучения удобно
ввести в рассмотрение вспомогательный функционал
вида
+∞ H
ρ 0 (ξ12 + ξ 22 )dydx.
M≡
(10)
−∞ 0
Если дважды продифференцировать функционал M (10) по его аргументу t и сделать несколько преобразований получившегося в результате
интеграла, используя связи (6), (7) и (9), то несложно
прийти к вириальному равенству в виде
2
d M
= 4(T −
d 2t
18
t
).
)
λ2 + 2α ≡
dM
(0)exp πnλ / 2 λ2 + 2α ;
dt
(11)
((
)
dM
(0) ≥ 2(λ + α / λ )M (0) ,
dt
M
( (0) > 0,
(
)
(( )
(
)
)
(
то из него в силу этих условий будет вытекать искомая
()
( времени
)
априорная
по
оценка снизу
( )( ) экспоненциальная
вида
M (t ) ≥ C exp(λt ),
(16)
(
)
()
где C – известная положительная постоянная
величина.
( ) неравенство (13) может быть
( () )
Действительно,
()
формально проинтегрировано
на полуинтервалах
(
+∞ H
=−
dt
(πn / 2
( )( )
)
( () )
( ) t ≤( t) < π
n
(
(2 λ2 + 2α ) + t n
(
( t n ≡ 2π n λ + 2α ; n = 0, 1, 2, ... ),
)
( замен
(0,)1,надо
( )
для
несколько( упрощающих
n =чего
2, ... выполнить
искомого функционала M :
2
() ()
а) M
( 1)(t ) ≡ (exp) (−( λt))M( (t )):
( )
б) M (t ) ≡ M (t ) cos ( t λ
1
2
1
M 1′′(t ) + (λ2 + 2α )M(1 ≥ 0;
2
)
+ 2α : :
)(
(
(
(
(
(
( (
)
)(
()
)
)
(
А. А. Гаврильева, Ю. Г. Губарев. УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
()
f (t ) = (M (0 )cos (t
′
[M ′ (t )cos (t λ + 2α( ))] (t ) − λ + 2α M ′ (t ) ×
× sin (t( λ + 2α ))≥ 0; (
(
) в) M (t ) ≡ M ′ (t )cos ((t λ + 2α ): M ′ (t ) ≥ 0.
Интегрирование
и
) выполнение
( обратных
) неравенства
(
(( ))(( замен
(последнего
приводят к неравенству
M (t ) ≥ (C cos ( t λ + 2α ) + C
( ( (()) ) + C sin ( t λ + 2α ))exp(λ t ),
(17)
2
2
2
2
2
λ2 + 2α ) + [M ′(0 ) − λ
1
2
3
2
2
3
2
1n
)
− λM (0 )]sin (t λ2 + 2α )
2
λ2 + 2α exp(λt ).
(
Аналогичные рассуждения могут быть проведены
и в том случае, когда соотношение (13) надо будет
интегрировать на остальных временных полуинтервалах. Учитывая этот факт, далее итоги
интегрирования неравенства (13) на промежутках
2
2n
()
(
)
((
()
()
(
(
(
( () )
(
(
)
(
)
) + [M ′(t( ) − λ M (t )]sin (t λ +( 2α ) ) λ +
( 2α )×
( λ (t − t(().
(
× exp
Для
того
чтобы
процедуру
( )) обосновать
интегрирования неравенства
(13) на промежутках
( n = 0, 1, 2, ... ),
t ≤ t < π( (2 λ + 2α ) + t
приведшую
в результате к нижней
оценке (17), нужно
(
)
(())
вычислить производную первого
(( порядка
( ) функции
)( её (аргументу
t
f по
:
t
:
( ) ( ))
(
(
t:
f ′(t ) = (M ′(t )cos (t λ + 2α ) + (
(
)
( (( )) ( ( ) ( ( )
) ( (() ))
) +(( ()λ) [M ′(t )(−)ν M (t )] ( λ) + 2α( −) λ + 2α M (t ))×
()
( ))) (( )) ( ( ) ( )
(
)
(
(
()
( (λ (t − t )). (19)
× sin (t λ + 2α ) )exp
f (t ) ≡ M (t n )cos ( t λ2 + 2α ) +
2
n
2
n
t kn ≤ t < π 2 λ2 + 2α + t kn
(t
kn
≡ π k 2 λ2 + 2α + 2π n
n = 0, 1, 2, ...
k = 1, 2, 3;
2)
]′
λ2 + 2α ) (t ) − λ2 + 2α M 2′ (t ) ×
2
()
× sin (t λ2 + 2α ) ≥ 0;
3)
M 3 (t ) ≡ M 2′ (t )cos 2 (t λ2 + 2α ):
( )
M 3′ (t )(≤ 0 (k = 1, 2 ), M 3′ (t ) ≥ 0 (k = 3);
n
2
n
2
n
n
2
()
n
(Принимая
) ( ((()) ( )во )внимание
( )
(( ) (18)
( ) и (19),
() ( ) ( соотношения
(
(
)
можно
сделать
заключение,
что
функция
(
(
)
(
)
( )
( ) ( ((( ))) ( (( ))) (( ))
( )
( ) f (t() будет
положительной
и
строго
возрастающей
(
)
( ) + t) ( ) на полу)) ((
))( (() )(() )) (
t ≤ t(< )π(( )2) (λ()(+ 2α
интервалах
( ( ) ( n)(= 0(, 1,) 2, ... )
()
)
(
)
) ((истинны
((()если
в случае,
неравенства
( ) (
( ) ( ) ((( ))( n) 0(,(1((,(((2),())...) ( ) ( ( )(() ) ()( ((
) )
(
)
(
)
(
(
)( ) (
)
(
)
( ()( ))( M
( (t ()(>()) 0( ,))( M
( )′)(t ) ≥ 2((λ)+ α( λ )M (t ).
(20)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
Эти
неравенства
как
раз
и
служат
требуемыми
(
)
(
)
() )
( ) ((( )) ( ) ( ()() ) (
()
(
)
(
гарантиями
правомерности
осуществлённой
( () ) ( выше
(
)
(
)
(
(
(
) (
)(()() ) интегрирования
( (() )) ( ) ( (соотношения
)
(
)
процедуры
(13).
(
(
)
(
)
) ( ) ( )(t ≤()t < π 2( )λ +( 2)α + t
( ( ) (промежутки
Поскольку
)) ) (( ()) ) (( ))
( )( ) (
)
(( n) =( )0, 1,(2(), (...)(()((()друг
)
(
)
(
( ) (=) 0, 1
(
)
(
)
(
)
с
другом
не
пересекаются,
( )(( ))
(( )) = (((
) ) ))nзначения
(
(
(
) (
)
(
)
: и его
функционала
M(′(t ) на
( )первой
( ( (производной
( ) ( ()( ()M
) ) ( )могут
))настоящих
(
(
левых
промежутков
(((( ( )концах
( () зада)
( )( ) (
( ) ( ) В (частности,
(
ваться любыми, безо
всяких
ограничений.
(
)
(
)
()
(
()
их( можно
( ( )( ( ()
M (t ) взять в форме(
(
()
(
)
(λ t ), M ′(t ) ≡ M ′((0)exp(λ t ). (
( M ((t ()) ≡(M(( (0)exp
′((20)
( выполнены,
) ( ( ) если
(
() будут
Тогда неравенства
(M
) (0) > 0, M ′(0) ≥ 2(λ + α λ )M (0).
(
Функция
( ( () же f (t ) предстанет
( в виде
)
(
4)
(
(( ) () )( )
M (t ) ≥ C3 n cos (t λ2 + 2α ) + C
()
) + C(4 n)sin (t (( λ))2 + 2(α ) exp(λt );
)
(( ) )( () ) ( )
( ((( ))
C , C (―) const;
(
()
5) M (t ) (≥( f (t ): (
3n
4n
3n
)
4n
(
k
(
)
(
f (t ) ≡ (M(((t )sin (t λ + 2α ) − [M ′(t ) − λ
(
(
((
( ( )
) −( λ M (t (()]cos((t λ +) 2α ) λ + 2α )×
) t ))) ,
(
)
×
exp
(
λ
(
t
−
( )
(( (
(
(
) ( f ′(t ) = (M ′((t( )(sin ((t)( λ + 2α ) − (λ( [M ′(t ) − ν
( ( (
) ( (
(
) − ν M (t )(] ( λ +) 2α −) λ + 2α M (t ))×
()
( × cos( (t ( (λ( +(2α ))exp(λ (t − t ));
( (
(
(
(
б)
) ( ′)(t ) − λ
( )
(
(
f (t ) ≡ (− (M( ((t )cos (t λ +) 2α )(+ [M
)(
(( (
) ) − λ M ((t(( ()]sin (t λ( +) 2)α ) λ (+ 2α )×
( ((λ )(t − (t )), ) ( )
(
(
(
(
×
exp
(
)
(
(
( )
(
( ( ( ) ( ((( (( ) ( ) ( ) ( )
( (( ( ( ( ) )
( ( ( () ) (
) 19
) (
(
)
)
(
)
( ( )
)
( ) ( ) ) ( )(( (())() (
(
( ) ( ( ) ((( (() ))( ( )(( (
)
(( )( ) ( ( ) ) ( ) ( (( ) ) ( ()( )( )() ( )
)
а)
2
n
1n
1
2
n
1n
n
n
n
2
2
1n
1n
n
2
1n
1
1n
2
n
n
n
n
n
(
(
(
2
2
n
n
n
(
)
(
n
2
) )) (
)
M 2 (t ) ≡ M 1 (t ) cos (t λ2 + 2α ):
[M ′ (t )cos(t
2
n
(
(
n
(
λ2 + 2α ;
представляются в форме кратких иллюстрирующих
выкладок, без подробных комментариев:
1) M 1 (t ) ≡exp(− λ t )M (t ): M 1′′(t ) + λ2 + 2α M 1 ≥ 0;
n
)
)(
где C1n и C 2 n – произвольные постоянные величины.
Учитывая (нестрогость
оценки (17), постоянные
()
C1n (и C 2 n нетрудно связать со значениями
(()) (((M
)) : (10) и его первой производной
функционала
M ′(t() в моменты времени t n ( n = 0, 1, 2, ... ). В
( ) окончательно может быть
( ) ( ) (17)
итоге соотношение
(
)
(
)
n
= 0, 1, 2, ...
( )в виде
записано
(
()
(18)
( M (t)) ≥ f (t );
1n
1n
2
1n
2
2n
2
2n
n
n
2
2
2n
2n
ВЕСТНИК СВФУ, 2012, том 9, № 3
в)
2n
(
(
f 2′(t ) = − M ′(t 2 n )cos (t λ + 2α ) + λ [M ′(t 2 n ) − λ
(
2
) − λ M (t )] λ + 2α − λ + 2α ×
)
× M (t 2 n ))sin (t λ2 + 2α ) )exp(λ (t − t 2 n ));
2
2
2n
(
f ′(t ) = (−(M ′(t
() ()
3n
3
(
3n
)sin (t λ
2
( )
+ 2α ) + λ [M ′(t 3 n ) − ν
) (− ν M (t )] λ + 2α − λ +(2α ×
)
(
(
×
M
(
t
))
cos
(
t
λ
+
2
α ) )exp()λ (t( − )t ));
(
(
)
(
)
(
)
(t)(kn ) )> 0( , ) M ′((t kn )) ≥)2(((λ) +) α λ))(M)((t kn) );
(
) ( 6)) M
(
( )
( ) (
) ( )
(
)
(
)
(
)
()
(
(
)
(
7)
′
M
t
)
≡
M
(
0
)
exp
λ
t
,
M
(
t
)
()
( ≡)M) ′(0()(exp)) λ t
( ) ) ( )( ) ( ( )
(M ()0) > 0,( )M ′(0) ≥ 2(λ + α( λ))M (0);( )
( ) (( ( ( )
( )
( )
()
) ()
2
(
2
3n
2
3n
3n
kn
kn
kn
kn
;
( ((( ( ((
) )
(( (((
)
(
− ν M (0 )]cos
(t λ + 2α ) λ + )2α )exp(λt ),
( ((
) )
f (t ) = − (M (0 )cos (t λ + 2α ) + [M ′(0 ) −
)
) − ν M (0()]sin (t λ + 2α ) λ + 2α )exp(λt ),
)
f (t ) = (− M (0 )sin (t λ + 2α ) + [M ′(0 ) − ν
) − ν M (0)]cos (t λ + 2α ) λ + 2α )exp(λt ).
f1 (t ) = M (0 )sin (t λ2 + 2α ) − [M ′(0 ) − ν
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
2
Если проанализировать финальные выражения для
функций f (t ), f k (t ) (k = 1, 2, 3),
то несложно увидеть, что графиками данных функций на отвечающих
им полуинтервалах времени
( ) будут
( ) являться кривые,
которые лежат
полуполосы,
экспоненциально
( ) поперёк
(
быстро уходящей на бесконечность, причём их левые
концы опираются сверху на нижнюю границу этой
()
полуполосы
(
g (t ) ≡ M (0 )exp(λt ),
а правые примыкают к её верхней границе
()
g 2 (t ) ≡ [M ′(0 ) − λ M (0)]exp(λt )
λ2 + 2α .
Что говорит о том, что интеграл M (10) растет
( ) мере,
( ) не медленнее, чем
со временем, по крайней
экспоненциально. Тем самым продемонстрировано,
что при наличии условий (15) из( )соотношения
(14)
()
( ) ( )вытекает
действительно
) экспоненциальная
( ) ( априорная
оценка снизу (16).
Таким образом, путем выбора
специальных
(
начальных
условий
на
левых
концах
рассматривае(
)
(
)(
мых временных промежутков (третье и четвертое
выражения (15)) удалось доказать существование
() ()
20
( (
)
единых начальных данных (два последние неравенства
в системе соотношений (15)) для малых плоских
возмущений (6), (7) точных стационарных решений
(4) смешанной задачи (1), которые обеспечивают
справедливость условий положительности и строгого
возрастания функций f t , f k t , где (k = 1, 2, 3),
(первые два неравенства из системы соотношений
(15)) на всех рассматриваемых полуинтервалах
времени. Значит, согласно определению неустойчивости по А. М. Ляпунову на полубесконечном временном промежутке решения системы дифференциальных
уравнений
[10],
этим
показана
принципиальная
возможность
возникновения
и
последующей эволюции во времени неограниченно
нарастающих малых плоских возмущений (6), (7)
точных стационарных решений (4) начально-краевой
задачи (1).
Так как соотношение (16) построено без
предъявления каких бы то ни было требований
ограничительного
характера
к
установившимся
плоско-параллельным течениям (4), то теоретическая
линейная
неустойчивость
последних
течений
относительно малых плоских возмущений (6) и (7)
будет абсолютная. Кстати, для экспоненциально
растущих во времени малых плоских возмущений (6),
(7) счетные наборы условий (16) удовлетворяются
тождественно. Более того, два первых неравенства в
системе соотношений (15) будут желаемые достаточные условия практической линейной неустойчивости
установившихся течений (4) стратифицированной
идеально проводящей жидкости относительно малых
плоских возмущений (6), (7). Следует отметить,
что достаточные условия практической линейной
неустойчивости носят конструктивный характер,
поскольку их истинность может быть проверена
как в физических экспериментах, так и в численных
экспериментах.
Отметим, что именно интеграл M (16) является
искомым функционалом А. М. Ляпунова, который
нарастает во времени в силу уравнений смешанной
задачи (6), (7). Характерной чертой
( ) ( данного роста
является большой произвол постоянной величины λ
в показателе экспоненты из правой части неравенства
(16). Данное обстоятельство позволяет
интерпретиро(
вать любое решение начально-краевой задачи (6), (7),
(15), которое нарастает со временем согласно найденной априорной экспоненциальной оценке снизу (16),
как аналог примера некорректности по Адамару [11].
Наконец, детально описанная выше процедура
интегрирования соотношения (13) наглядно демонстрирует, что сведения о начальных условиях (15)
для растущих во времени малых плоских возмущений (6), (7) могут быть извлечены и при изучении
класса кусочно-гладких функций.
В данной работе рассмотрена задача линейной
)
А. А. Гаврильева, Ю. Г. Губарев. УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
устойчивости установившихся плоско-параллельных
сдвиговых течений
неоднородной по плотности
невязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести
в прослойке между двумя покоящимися непроницаемыми твердыми параллельными неограниченными
поверхностями.
Прямым методом А. М. Ляпунова продемонстрировано, что данные течения абсолютно неустойчивы
к малым плоским возмущениям, а также получены
достаточные условия практической неустойчивости
этих течений относительно малых плоских возмущений, которые носят конструктивных характер, и их
можно проверять непосредственно в ходе проведения
численных расчетов и физических экспериментов.
Построена априорная нижняя оценка, свидетельствующая об экспоненциальном во времени росте исследуемых малых возмущений, при этом инкремент
представляет собой некий положительный параметр
произвольного характера.
Следует подчеркнуть, что с математической точки
зрения представленные в данной статье результаты
служат, в большинстве своем, априорными, поскольку
теоремы
существования
решений
изучавшихся
смешанных задач для систем дифференциальных
уравнений с частными производными не доказаны.
Литература
1. Dikii L. A. Гидродинамическая устойчивость и динамика
атмосферы. Гидрометеоиздат. – Leningrad. 1976. – 106 с.
2. Howard L. N. Note on a paper of John Miles // J. Fluid.
Мech. – 1961, – V. 10, – № 4, – P. 509-512.
3. Miles J. W. On the stability of heterogeneous shear flows
// J. Fluid. Мech. – 1961. – V. 10. – № 4. – P. 496-508.
4. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической
устойчивости. Пер. с англ. Г. Г. Цыпкина; Под ред. А. Т.
Ильича. – М.: Физматлит., 2005. – 288 с. ISBN 5-9221-0629-5.
5. Владимиров В. А. Об интегралах плоских движений
идеальной несжимаемой неоднородной по плотности жидкости // Механика жидкости и газа. – 1987. – № 3, – C. 16-20.
6. Gubarev Yu. G. The development of
Lyapunov’s
direct method in the application to new types of problems of
hydrodynamic stability theory // In: Progress in nonlinear analysis
research / Ed. Erik T. Hoffmann. Chapter 7. New York: Nova
science publishers, inc., – 2009. – P. 137-181. (ISBN 978-1-60456359-7).
7. Lyapunov A. M. The general problem of the stability of
motion. Taylor&Francis. – London. 1992. – P. 242.
8. Chetaev N. G. Stability of motion. Nauka. – Moscow. 1990.
– P. 207.
9. S. Chandrasekhar: Ellipsoidal figures of equilibrium. - Yale
University Press, New Haven. 1969. – P. 264.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории
устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
11. Годунов С. К. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1979. – 392 с.
21
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа