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Уточненный метод решения контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения. Сообщение 2. Решение функциональных уравнений определяющих математическую модель контактной задачи

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????? «???????????? ?????»
????? «???????????? ?????»
?????????? ????? ??????? ?????????? ?????? ??? ?????????? ???? ?
?????? ??? ??????
????????? 2. ??????? ?????????????? ?????????, ????????????
?????????????? ?????? ?????????? ??????
?.?.?. ????. ??????? ?.?., ?.?.?. ???. ???????? ?.?., ?.?.?. ????. ????? ?.?.
??????????? ??????????????
8(495) 223-05-23, tm@mami.ru
?????????. ?????????? ??? ?????? ??????? ??????? ???? ??????????????
?????????, ???????????? ?????????????? ?????? ?????????? ?????? ??? ???????? ???? ? ?????? ??? ?????? ? ???? ????????. ?????? ????? ??????? ?? ??????
??????? ?????????????? ????????? ?????? ???????? ???????? ??????????????
?????????, ?????? ? ?? ??????????????? ?????? ???????. ????????? ?????????
??????? ??????.
???????? ?????: ?????????? ??????, ???? ??????, ????????? ????, ?????
??????????, ?????????? ????????, ?????????????? ?????????.
??? ?????????? ?????? ??????? ?????????? ?????? ??? ?????????? ???? ? ?????? ???
?????? ? ???? ???????? ?????????? ?????????? ???????? pr ( q ) ???????????? ? ???? ???????????? ???? [1] :
μ ₯
ζ mpq φ ₯
ζ mpq φ
ο ε pm cos η
χ + ε hm sin η
χ,
pr ( q ) = ν m=0
θ q0 ψ m=1
θ q0 ψ
ο 0,
ξ
q < q0 ,
(1)
q > q0 ,
pr ( q )
( E ? ?????? ????????? ????), 2Q0 ? ???????? ???? ????????,
E
pm (m = 0,1, 2, ...) ? hm (m = 1,2,...) ? ???????????? ??????????? ?????????.
??? ??????????? ??????????? ???????? pm (m = 0,1, 2, ...) ? hm (m = 1,2,...) ???????? ??-
???: pr ( q ) =
????? ???? ?????????????? ????????? [1] :
₯
μ
ε ιλ pm?m ( q) + hmy m ( q)ωϋ = 0 , q < q0 ,
ο
m=0
ο
(2)
ν ₯
ζ
φ
r
1
2
2
ο
ιλ pm Tm ( q ) + hm Fm ( q ) ωϋ = η1 + χ q , q < q0 ,
οξ mε
2 θ r0 ψ
=0
???: r1 , r2 ? ??????? ?????????? ???? ( r2 > r1 ) , r0 ? ?????? ???????? ????????, ? ???????
???????????? ??????? ????
₯
ι b*n Χ n sin nq0 ζ
sin nq φ ω
m +1 2 f
?m ( q ) = ( -1) Χ
Χηq ε
χ ϊ , m = 0,1, 2,...,
κ
2
2
n ψϋ
p n=1 λ m - n
θ
y m ( q ) = ( -1)
m +1
Χ
2m ₯ ι bn Χ sin nq0 ζ sin nq
φω
κ
Χ
q
ε
η
χ ϊ , m = 0,1, 2,...,
q0 n =1 κ ( m2 - n2 ) θ n
ψ
ϊϋ
λ
???????? ???? «????» ? 3(21), 2014, ?. 4
5
????? «???????????? ?????»
2 ₯ ι bn Χ sin nq0 ( cos nq - 1) ω
ϊ , m = 0,1, 2,...,
εκ
2
2
p n=1 κ
m
n
ϊ
(
)
λ
ϋ
*
₯ ι
b Χ sin nq0 ( cos nq - 1) ω
m +1 2 f
ϊ , m = 0,1, 2,...,
Fm ( q ) = ( -1) Χ
mε κ n
2
2
q0 n =1 κ
n
n
m
ϊϋ
(
)
λ
mp
f ? ??????????? ??????, m =
,
q0
Tm ( q ) = ( -1)
m +1
Χ
(3)
bn ? b*n ( n = 1, 2,...) ? ????????? ?????????????????? ????? [1] .
?????? ??????????????????? ????? bn ? b*n ( n = 1, 2,...) ???????, ??? ??????????????????
????? bn ( n = 1, 2,...) ????????? ? ?????????? ????? b = 2A ( A = 1 - n2 , n ? ???????????
???????? ???????? ????), ? ?????????????????? ????? b*n ( n = 1, 2,...) ????????? ? ?????
1
( 5 A + B ) ( B = n (1 + n ) ) . ??? ????????? ???????? ?????????? ?????, ???????? ? (3),
2
? ??????? ?? ? ????????? ???:
₯
ω
b*n - b* )
(
b*
f ι *
m +1
sin
sin
q
q
q
?m ( q ) = κb pq - sin ( mq ) + 2 ( -1) ε 2
n
n
n
(
)
0 ϊ , ( m = 1, 2,...) , q < q0
2
pκ
m
n =1 ( m - n )
ϊϋ
λ
1 - cos ( q0 + q ) ω
2m μο b ι 1
m +1
ym ( q) =
ν 2 κ ( -1) ln
ϊ+
q0 ξο 2m λ 2
1 - cos ( q0 - q ) ϋ
b* = -
ι q0 + q
ω
+ s1 ( q0 - q ) - s1 ( q0 + q ) ϊ cos ( mq ) + ιλ si ( m ( q0 - q ) ) + si ( m ( q0 + q ) ) ωϋ sin
i ( mq ) ωϋ κln
λ q0 - q
ϋ
₯
(b - b ) sin nq0 ( sin nq - q ) ό , m = 0,1, 2,... , q < q ,
bq
b
m +1
- si ( mp ) + ( -1) ε n
)
ύ (
0
m
m2 - n2
n =1
n=
ώ
Tm ( q ) =
ι q -q
ω
b
sin ( mq ) κlln 0
+ s1 ( m ( q0 + q ) ) - s1 ( m ( q0 - q ) ) ϊ +
{
pm
ϋ
λ q0 + q
(
)
}
+ cos ( mq ) ι si m ( q0 + q ) + si ( m ( q0 - q ) ) ω - 2si ( mp ) +
λ
ϋ
( -1)
+
m +1
p
₯
( bn - b )
ε (m
n =1
2
- n2 )
(4)
ιλssin n ( q0 - q ) + sin n ( q0 + q ) - 2sin nq0 ωϋ, ( m = 0,1, 2,...) , q < q0 ,
₯
μ
sin nq0 ( cos nq - 1) ό
m +1
ο b*p ι 1
ο
ω
ν 2 κ cos ( mq ) - 1ϊ + ( -1) 2ε
ύ , ( m = 1, 2,...) , q < q0 ,
2
2
m λ2
m
n
n
ϋ
n =1
(
)
ο
ο
ξ
ώ
???: s1 ( x ) ? ????????? ???????????????? ???????, si(x ) ? ???????????? ????? [ 2] .
??? ??????? ?? (1) ??? ??????????? ?????? ????????????? ?????????? ?????????? ???????? ??? ????? ???? q0 ?????????? ????? ??? ?????? ???????? pm ( m = 0,1, 2,...) ?
Fm ( q ) =
fm
q0
hm ( m = 1, 2,...) , ??????? ?????? ? ??????? ???? ?????????????? ????????? (2).
????????? ????????? ????? ?????????? ????? ?????????: ???? ????? ?????? ??????? ?????????????? ????????? ?????? ??????????? ???????? ???????? ??????????????
?????????, ???? ??????? ??????????????? ?????? ???????.
??????? ?????????????? ????? ?????? ??????? ???? ?????????????? ????????? (2)
6
???????? ???? «????» ? 3(21), 2014, ?. 4
????? «???????????? ?????»
?????? ??????????? ???????? ???????? ?????????????? ?????????. ? ???? ????? ?????????? ??????? ?????? ??????? ??????? jk ( q) ( k = 0,1, 2,...) ?? ??????? -q0 £ q £ q0 , ?????
???????? ??? ????? ?????????????? ????????? (2) ?? ??????? ???? ??????? ? ????????????? ?? ? ????????? ????????. ? ?????????? ???????:
₯
₯
ε ιλ pmdk ,m + hmcc,m ωϋ = 0,
ε ιλ p
m
m=0
m=0
d k ,m + hmek ,m ωϋ = bk ,
( k = 0,1, 2,..) ,
(5)
???:
q0
ς ? ( q ) f ( q ) d q,
ak ,m =
m
k
k = 0,1,...
m = 0,1,...
k = 0,1,...
m = 0,1,...
- q0
q0
ς y ( q ) f ( q ) d q,
ck ,m =
m
k
- q0
(6)
q0
ς T ( q ) f ( q ) d q,
d k ,m =
m
k
k = 0,1,...
m = 0,1,...
k = 0,1,...
m = 0,1,..
- q0
q0
ek ,m =
ς F ( q ) f ( q ) d q,
m
k
- q0
q
1ζ r φ 0
bk = η1 + 2 χ ς q2 jk ( q ) qd q,
2 θ r0 ψ -q0
?
????????
???????
???????
k = 0,1,...
jk ( q) ( k = 0,1, 2,...)
????
???????
???????
k pq
( k = 0,1, 2,...) , ?????????? ?????? ?? ??????? ( -q0 , q0 ) .
q0
?????? ??????? ???????? ?????????????? ????????? (5) ????? ?????? ???? ???????
???????????????? ???????????, ???? ??????? ????????.
?????????? ?????? ?????? ??????????? ???????? pm ( m = 0,1,...) ? hm ( m = 1, 2,...) , ?????????? ?? ?????????? ????????????? ?????? ??????? ?? ???????? ???????? ???????. ?
???? ????? ???????? ?????? ????? ????????????? ??????? ??????? Rm ( q) ( m = 0,1,...) ??
cos
???? ??????? ??????? ?m ( q)( m = 0,1,..) [ 2] :
m
Rm ( q ) = ε
i =1
H im-1
?i ( q ) ,
-1
H mm
(7)
???: H im-1 ???? « im - ??» ??????? ????????? ???????? ??????? H m-1 . ??? ???? ???????? ??????? [H ]m ???????????? ?? ????????:
q0
H ij =
ς
?i ( q ) ? j ( q ) d q,
k = 0,1,...
(8)
-q0
?? ??????? ????????? ??????? (2) ???????:
₯
₯
₯
ε p ? ( q ) =ε B R ( q ) = - ε h y ( q ) .
m
m=0
n
m
m
n
n =0
(9)
m=0
?? ????????? (7) ? (9) ????????:
₯
pm = ε Bi
i =m
H mi-1
,
Hi
???????? ???? «????» ? 3(21), 2014, ?. 4
(10)
7
????? «???????????? ?????»
₯
Bn = - ε xnm hm ,
(11)
m=0
???:
q0
ς y ( q) R ( q) d q
m
n
-q0
xnm =
.
q0
(12)
ς R ( q) d q
2
n
-q0
????????? (11) ? (10), ?????????????? ??????? ? (10) ?????? i ?? n , ? ?????? m ?? i .
? ?????????? ???????:
₯
pi = - ε hm g im ,
(13)
m=0
???:
H in-1
.
(14)
H nn-1
n =i
?? ??????? ????????? ??????? (2) ???????:
₯
1 ζ r2 φ 2 ₯
q
=
h
F
(15)
(
)
η1 + χ q - ε pmTm ( q ) .
εm m
2 θ r0 ψ
m=0
m=0
????????? (13) ? (15), ?????????????? ??????? ? (13) ?????? i ?? m ? ????????, ????₯
g im = ε xnm
???:
₯
εh
m
m=0
1ζ r φ
X m ( q ) = η 1 + 2 χ q2 ,
2 θ r0 ψ
(16)
???:
₯
X m ( q ) = Fm ( q ) - ε g im Ti ( q ) .
(17)
i =0
??? ??????????? ?????????? hm ( m = 0,1,...) ????? ????????? ????????????? ???????
??????? Ym ( q) ( m = 0,1,...) ?? ???? ??????? ??????? X m ( q) ( m = 0,1,...) :
L-im1
X i ( q) ,
1
L-mm
(18)
L-mi1
, m = 0,1,... ,
L-ii1
(19)
m
Ym ( q ) = ε
i =0
?????:
₯
hm = ε Em
i =1
???:
q
ζ r2 φ 0 2
η1 + χ ς q Ym ( q ) d q
1 θ r0 ψ -q0
.
hm =
q0
2
2
ς Ym ( q) d q
(20)
-q0
??? ???? L ???? « im - ??» ??????? ???????? ??????? [ L ]m , ? ???????? ??????? [Lm ]
???????????? ?? ????????:
-1
-1
im
q0
Lij =
ς
Xi ( q ) X j ( q ) d q.
-q0
8
???????? ???? «????» ? 3(21), 2014, ?. 4
(21)
????? «???????????? ?????»
????? ???????, ???????? ??????????? (7) ? (21), ? ??????? ??????? ????? ????????? ??? ??????????? ????????? pm ( m = 0,1,...) ? hm ( m = 1, 2,...) ??? ???????? ???? q0 ?, ?????????????, ?????????? ????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? pr [ q] ?? ??????? (1).
?? ??????? 1 ??????? ????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? pr ( q ) , ?????????? ??? ???????????? (?????????? ?????) ? ?????????? (???????? ?????) ???????
??????? ?????????? ?????? ? ?????? ???????????? ????????? n = 0,5 ? ??? f = 0,3 ;
r
q0 = 0, 05??? ; r1 = 1 = 0,95 .
r2
??????? 1. ????????? ?????????? ?????????? ????????
?????? ?????????? ??????? ?????? ???????, ??? ??????????? ????? ???????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? pr ( q ) , ?????????? ?? ????????? ????????????? ?
??????????? ??????? ???????, ????????????? ? ?????? ???????????? ?????? f .
??????????
1. ??????? ?.?, ???????? ?.?., ????? ?.?. ?????????? ??????? ?????????? ?????? ???
?????????? ???? ? ?????? ??? ??????. ????????? I. ?????????????? ?????? ???????????
?????????????? ?????????? ???? ? ??????? ??????????. ???????? ???? «????», ?
1(19), 2014, ?. 11-18.
2. ???? ?., ???? ?. ?????????? ?? ??????????. ?.: ?????, 1978, 831 ?.
???????? ???? «????» ? 3(21), 2014, ?. 4
9
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