close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях ассоциированных с фундаментальными областями канонических систем счисления.

код для вставкиСкачать
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…
Каспарьян М.С.
ФРАКТАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ КОСИНУСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
НА ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ, АССОЦИИРОВАННЫХ
С ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ ОБЛАСТЯМИ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Каспарьян М.С.
Институт систем обработки изображений РАН,
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Аннотация
Вводится аналог косинусного преобразования на предфрактальной области. Из фрактального дискретного преобразования выводится фрактальное дискретное косинусное преобразование
на двумерных областях, ассоциированных с фундаментальными областями систем счисления в
мнимых квадратичных кольцах. Показывается, что это преобразование ортогонально.
Ключевые слова: ортогональные преобразования, фрактал, канонические системы счисления, косинусное преобразование.
то элемент называется целым алгебраическим элеВведение
Одним из важнейших дискретных ортогональных
ментом поля Q d . Целые элементы образуют репреобразований (ДОП), применяемых в цифровой обрашётку на комплексной плоскости.
ботке изображений, является дискретное косинусное
Определение 2. Целое алгебраическое число
преобразование и его различные версии. Это связано, в
частности, с тем, что базисные функции дискретного коα = A + d называется основанием канонической сисинусного преобразования (ДКП) для многих классов
стемы счисления в кольце целых элементов поля
сигналов близки к базисным функциями преобразования
Q d , если любой целый элемент этого поля одноКарунена–Лоэва. Тем не менее, несмотря на известные
преимущества ДКП, при блочном кодировании изобразначно представим в форме конечной суммы
жения всё же возникают артефакты на границах квадратk(z)
ных блоков, достаточно визуально различимые именно
z = ∑ zj ⋅α j,
из-за их структурированности. Возможной альтернативой
j =0
(3)
классического ДКП, свободной от указанного недостатка,
z j ∈ N = 0,1,⋯ , Norm ( α ) − 1 .
являлось бы ДОП, подобное ДКП, но определённое на
блоках неправильной формы, которые образуют покрыПара {α, N } называется канонической системой
тие области определения изображения. Возможным преобразованием, удовлетворяющим сформулированным
счисления (КСС) в кольце целых элементов поля
свойствам, является одномерное ДКП, базисные функции
Q d .
которого определены на некоторой траектории-развёртке
двумерной области. Такие преобразования рассматриваВ работе рассматривается только случай d < 0 , то
лись в [1]. В настоящей работе вводится и исследуется
есть мнимые квадратичные поля. Приведём нескольновое ДОП – «фрактальное ДКП», связанное с фурьепоко примеров канонических систем счисления с раздобными преобразованиями, определёнными на фракличными нормами.
тальных областях специфического вида (фундаментальПример 1. Пусть Norm(α) = 2 , тогда в силу (3)
ные области КСС в мнимых квадратичных полях), таким
же образом, как и обычное ДКП связано с дискретным
N = {0,1} . В работе [2] показано, что существует
преобразованием Фурье (ДПФ).
ровно три мнимых квадратичных поля для
1. Канонические системы счисления
d = −1, −2, −3 , в кольцах целых элементов которых
существуют бинарные КСС, а именно:
Приведём краткие сведения о канонических системах счисления (КСС) в мнимых квадратичных поля
1) кольцо целых Гауссовых чисел Z ( i ) ∈ Q ( i ) с ос[2]–[4].
нованиями, равными α = −1 ± i ;
( )
( )
{
}
( )
Определение 1. Пусть Q
поле: Q
( d ) = {z = a + b
( d)
есть квадратичное
}
d ; a, b ∈ Q ,
число, свободное от квадратов.
Если для элемента z = a + b d ∈ Q
d
– целое
( d)
норма и
след есть целые числа,
(
)(
)
d ) + (a − b d ) ,
Norm ( z ) = a + b d
(
Tr ( z ) = a + b
148
a −b d ,
(1)
(2)
( )
( )
с основаниями, равны-
( )
с основаниями, равны-
2) кольцо S i 7 ∈ Q i 7
ми α =
−1 ± i 7
;
2
( )
3) кольцо S i 2 ∈ Q i 2
ми α = ±i 2 .
Пример 2. При Norm ( α ) = 7 существуют следующие мнимые квадратичные поля, в кольцах целых
элементов которых существуют семеричные канонические системы счисления, а именно:
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…
( )
−5 ± i
поле Q ( i 3 ) с основанием α =
2
1) поле Q i 6 с основанием α = −1 ± i 6 ;
2)
3
;
−3 ± i 19
.
2
Если в формуле (3) k фиксировано, то множество
элементов, представимых k-членной суммой, представляет собой ограниченное множество на комплексной плоскости, которое будем называть kфундаментальной областью, примеры таких областей
изображены на рис. 1a–в.
(
)
3) поле Q i 19 с основанием α =
Каспарьян М.С.
Оттенки серого цвета на приведённых рисунках
подчёркивают самоподобный «характер» k-фундаментальных областей при растущем k .
В работе [3] приводится классификационная теорема для КСС в мнимых квадратичных полях, устанавливающая явную связь между параметрами
α, d , N .
Теорема 1.
(а) Пусть d ≤ −2 , d ≠ 1(mod 4) . Пара {α, N } является канонической системой счисления в кольце
( )
Q i d
тогда и только тогда, когда α = A ± d ,
0 ≤ −2 A ≤ A2 − d ≥ 2; A ∈ Z .
(б) Пусть d ≤ −2 . Пара {α, N } является канониче-
( )
ской системой счисления в кольце Q i d
только тогда, когда α =
−1 ≤ − B ≤
Рис. 1а. k = 6, α =
(
(
тогда и
)
1
B± d ,
2
)
1 2
B − d ≥ 2 ; B ∈ Z и нечётное.
4
2. Фрактальное дискретное ортогональное
преобразование
−3 ± i 19
2
Следуя работе [5], дискретное преобразование
Фурье (ДПФ) длины N = 2t
N −1
nm 

X ( m ) = ∑x ( n ) exp  2πi

N 

n =0
m = 0, …, N − 1
запишем в форме
X ( m ) = ∑x ( n ) E ( m ⋅ n ) ,
n∈G
m ∈ G = {0,…, N − 1} .
Базисные функции ДПФ обладают свойствами:
1) E ( n ⋅ m ) = E ( n ) + E ( m ) ;
2)
2⋅ π⋅i 
k
E p k −1 = exp 
, N = p .
N


Введём ДОП на k-фундаментальной области Gk
со свойствами базисных функций Λ k , аналогичными
свойствам базисных функций ДПФ:
1) Λ k (m + n) = Λ k (m) ⋅ Λ k (n) ;
3)
Рис. 1б. k = 10, α = −1 + i 2
E ( N ) = E ( 0) = 1 ;
(
)
2)
Λ k (α k ) = 1, Λ k (0) = 1 ;
3)
 2 ⋅ π ⋅ i 
Λ k (α k −1 ) = exp 
;
k 
 Norm ( α ) 
4)
Λ k (α ⋅ x) = Λ k −1 ( x) .
В работе [5] показано, что функция Λ k имеет вид:
{
}
Λ k ( x) = exp C1 ⋅ x + C2 ⋅ x , где
Рис. 1в. k = 16, α = −1 + i
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
149
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…

−2 ⋅ π ⋅ i ⋅ α k
C
=
,
 1
Norm α k ⋅ ( α − α )

(4)

2 ⋅ π ⋅ i ⋅ αk
C =
.
 2 Norm α k ⋅ ( α − α )

Тогда фрактальное дискретное преобразование
Фурье (ФДПФ) будет иметь вид:
( )
( )
X (m) =
∑ x ( n ) ⋅ Λ ( m ⋅ n ), m ∈ G
k
n∈Gk
k
.
(5)
В работе [5] показано, что справедлива теорема:
Теорема 2. Пусть α – основание канонической
системы счисления с Norm ( α ) ≥ 2 , множество Gk –
k-фундаментальная область, тогда преобразование (5)
{
}
с базисными функциями Λ k (n) = exp C1 ⋅ n + C2 ⋅ n ,
где n ∈ Gk и

−2 ⋅ π ⋅ i ⋅ α k
,
 C1 =
Norm α k ⋅ ( α − α )


2 ⋅ π ⋅ i ⋅ αk
C =
,
2

Norm α k ⋅ ( α − α )

( )
является ортогональным.
Учитывая коэффициенты (4), выражение для
Λ k ( x ) может быть преобразовано к виду:
)
 π ⋅ i ⋅ Im α k ⋅ x



Λ k ( x ) = exp 
.
k −1
Norm
α
⋅
Im
α
(
)


(



где λ(n) = 


1
,n = 0
N
.
2
,n ≠ 0
N
Пользуясь тем, что

 π ⋅ n ⋅ ( 2 x + 1)  
i + 
 exp 
2N
 π ⋅ n ⋅ ( 2 x + 1)  1 

 
cos 
 = 
,

2N
 π ⋅ n ⋅ ( 2 x + 1)  

 2
i 
 exp  −
2
N


 

определим базисные функции фрактального аналога
ДКП, связанные с базисными функциями фрактального ДПФ, таким же образом, что и классическое
ДКП связано с классическим ДПФ:
1
ΛCOSk ( n, x ) = Λ k +1 ( n ⋅ ( x + β ) ) + Λ k +1 ( n ⋅ ( x + β ) ) . (7)
2
С учётом соотношений (6)–(7) получим:
 π ⋅ Im α k +1 ⋅ n ⋅ ( x + β ) 
.
ΛCOSk ( n, x ) = cos 
 Norm α k ⋅ Im ( α ) 


В отличие от базисных функций классического
1
ДКП, в котором параметр сдвига β равен
, для
2
вводимого преобразования β зависит от длины преобразования и нормы основания, т.е. конкретного
квадратичного расширения.
Найдём значение β , например, для Norm ( α ) = 2 .
)
(
(
( )
(
Каспарьян М.С.
)
(6)
3. Фрактальное дискретное косинусное
преобразование
Как известно [6]–[8], ДКП имеет вид
N −1
 π ⋅ m ⋅ ( 2n + 1) 
X ( m ) = λ ( m ) ∑ x ( n ) ⋅ cos 
 ,

2N
n=0


ΛCOSk ( p, x ) ⋅ ΛCOS k ( q, x ) =
( )
)
Параметр β будем подбирать из соображений ортогональности:
∑ ΛCOSk ( p, x ) ⋅ ΛCOSk ( q, x ) = 0, p ≠ q .
x∈Gk
Подставив вместо каждого ΛCOSk ( p, x) (7), получим:
Λ k +1 ( p ( x + β ) ) + Λ k +1 ( p ( x + β ) ) Λ k +1 ( q ( x + β ) ) + Λ k +1 ( q ( x + β ) )
⋅
=
2
2


1 Λ k +1 ( p ( x + β ) ) ⋅ Λ k +1 ( q ( x + β ) ) + Λ k +1 ( p ( x + β ) ) ⋅ Λ k +1 ( q ( x + β ) ) + 
= 
.
4  +Λ ( p ( x + β ) ) ⋅ Λ ( q ( x + β ) ) + Λ ( p ( x + β ) ) ⋅ Λ ( q ( x + β ) ) 
k
+
1
k
+
1
k
+
1
k
+
1


Используя свойства ФДПФ, получим:
Λ k +1 ( βαT ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( xαT ) +
∑ Λ ( ( p + q )( x + β ) ) + Λ ( ( p + q )( x + β ) ) = 0,
x∈Gk
k +1
k +1
Λ k +1 ( β ( p + q ) ) ∑ Λ k +1 ( x ( p + q ) ) +
x∈Gk
+Λ k +1 ( β ( p + q ) ) ∑ Λ k +1 ( x ( p + q ) ) = 0.
x∈Gk
Если p + q ≡ 0 (mod α) , то, полагая p + q = αT ,
получим первое уравнение:
x∈Gk
+Λ k +1 ( βαT ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( xαT ) = 0.
x∈Gk
Так как Λ k (α ⋅ x) = Λ k −1 ( x) , то получим:
Λ k ( βT ) ⋅ ∑ Λ k ( xT ) + Λ k ( βT ) ⋅ ∑ Λ k ( xT ) = 0.
x∈Gk
∑ Λ ( xT ) = 0
x∈Gk
150
x∈Gk
В силу теоремы 2:
k
и
∑ Λ ( xT ) = 0 .
x∈Gk
k
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…
Таким образом, при p + q ≡ 0(mod α) параметр β
не может быть определён однозначно.
Если
p + q ≡ 1 ( mod α ) ,
то,
очевидно,
p + q = 1 + αT можно заменить на 1 , и тогда сумма
примет вид:
Λ k +1 ( β ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( x ) + Λ k +1 ( β ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( x ) = 0 . (8)
x∈Gk
x∈Gk
Так как мы проводим рассуждения для
Norm ( α ) = 2 , то можно сумму ∑ Λ k +1 ( x ) разделить
x∈Gk
на две суммы:
∑ Λ k +1 ( x ) =
x∈Gk
∑ ( Λ ( αx ) + Λ ( αx + 1))
k +1
x∈Gk −1
k +1
(9)
для k > 1 .
Подставив в (8) правую часть (9), получим:
∑ ( Λ k +1 ( αx ) + Λ k +1 ( αx + 1) ) =
x∈Gk −1
=−
Λ k +1 ( β )
∑ Λ ( x ).
Λ k +1 ( β ) x∈Gk
k +1
Последующие итерации процесса приводят к равенству:
Λ k +1 ( β )
∏ (1 + Λ (1)) = − Λ (β ) ⋅ ∏ (1 + Λ (1)).
k +1
i
i =2
k +1
k +1
(10)
i
i =2
Так как справедливо очевидное равенство
(1 + Λi (1)) ,
1 + Λ i (1) =
Λ i (1)
(
)
k +1
∏ (1 + Λ (1) ) = −Λ ( −2β ) ⋅
k +1
i
i =2
∏ (1 + Λ (1) )
i=2
k +1
∏ Λ (1)
i
k +1
∏ Λ (1) = −Λ ( −2β ) .
k +1
Воспользовавшись свойствами функций ФДПФ, получаем тождество, которое и помогает определить β :
Λ k +1 ( β ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( x ) + Λ k +1 ( β ) ⋅ ∑ Λ k +1 ( x ) = 0,
x∈Gk
 k −1 
Λ k +1  ∑ αi  = Λ k +1 α k ⋅ Λ k +1 ( −2β ) ,
 i =0 
 αk −1 
k
Λ k +1 
 = Λ k +1 α − 2β , следовательно,
 α −1 
( )
)
α k +1 − 2α k + 1
β=
.
2(α − 1)
4. Ортогональность базисных функций
Множество
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
k
end for
Dk = {}
BadNumbers = BadNumbers ∪ { p}
continue
end if
Dk = Dk ∪ { p}
for q ∈ Gk +1 ∩ p do
if mtrGram[ p, q ] <> 0 then
BadNumbers = BadNumber ∪ q
end if
end for
end for
Данный алгоритм разбивает множество из
k +1
Norm ( α ) номеров на два подмножества: множест-
x∈Gk
(
k
if p ∈ BadNumbers then continue end if
if mtrGram[ p, p ] = 0 then
.
Полученное равенство позволяет определить β :
i
∑ ΛCOS ( p, x ) ⋅ ΛCOS ( q, x )
x∈Gk
for p ∈ Gk +1 do
i
i =2
i =2
неортогональны при p + q ≡ 0 (mod α k +1 ) . В отличие
от классического ДКП определение целого алгебраического числа – номера «парной неортогональной»
функции представляет некоторые трудности при его
аналитическом определении, однако этот элемент
может быть определён алгоритмически.
Алгоритм 1.
for p, q ∈ Gk +1 do
BadNumbers = {}
то равенство (10) преобразуется:
k +1
  π ⋅ m ⋅ ( 2 ⋅ x + 1) 

B2 N = cos 
; m = 0,..., 2 N − 1



2N
 


образует базис 2N -мерного пространства, который,
как известно, не является ортогональным (функции
 π ⋅ m ( 2 x + 1) 
 π ⋅ k ( 2 x + 1) 
cos 
и
cos 
при





2N
2N




m + k = 2 N не являются ортогональными). Однако N
функций
  π ⋅ m ⋅ ( 2 x + 1) 

 ; m = 0,..., N − 1
cos 
2N
 


образуют ортогональный базис N -мерного пространства.
Аналогичная ситуация возникает и в рассмотренном случае. Функции ΛCOSk ( p, x ) и ΛCOSk ( q, x )
mtrGram [ p, q ] =
(11)
Каспарьян М.С.
(12)
во номеров Dk и множество номеров Dk* , для которых
функции ΛCOSk не ортогональны функциям ΛCOSk
с номерами из Dk . На рис. 2а–в изображены область
преобразования, на которой определён входной сигнал, и область, в которой лежит спектр. Центр каждого квадратика соответствует алгебраическому целому
151
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…
числу. Изображённые области соответствуют основа−1 + i 7
ниям α1 = −1 + i , α 2 = −i 2 и α 7 =
2
Алгоритм 1 позволяет найти множество Dk , элементами которого занумерованы ортогональные базисные функции. Это позволяет дать основное определение.
Определение 3. Фрактальным дискретным косинусным преобразованием (ФДКП) называется преобразование:
(13)
X ( m ) = λ ( m ) ∑ x ( n ) ⋅ ΛCOSk (n, m),
Каспарьян М.С.
λ ( n ) – нормирующий коэффициент:

1
, n + n ≡ 0 (mod α k )

k
 Norm ( α )
λ (n) = 
.
2

k
, n + n ≠ 0 (mod α )
k

 Norm ( α )
Нормирующий коэффициент для разных длин
преобразований и разных оснований канонических
систем счисления будет разным.
n∈Gk
Заключение
где m ∈ Dk ,
λ ( m ) – нормирующий коэффициент:

1
, m + m ≡ 0 (mod α k )

k
α
Norm
(
)

λ (m) = 
.
2

k
, m + m ≠ 0 (mod α )
k

 Norm ( α )
Из доказанной ортонормированности преобразования легко следует формула обратного преобразования.
Рис. 2а. α1 = −1 + i
В работе синтезированы ФДКП – аналоги ДКП на
предфрактальной области, ассоциированной с КСС.
Важной особенностью ДКП является существование
для них быстрых алгоритмов вычисления, полученных различными методами: кронекеровская факторизация [6], обобщённое полиномиальное преобразование [9], сведение преобразования к умножению элементов прямых сумм конечномерных пространств.
Ряд этих подходов либо неприменим, либо перенесение на рассматриваемый случай представляется весьма сложным. Таким образом, синтез быстрых алгоритмов рассмотренных преобразований методами,
отличными от сведения вычисления ФДКП к вычислению ФДПФ, представляется актуальной задачей.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований (гранты 1201-00822-а, 13-01-97007-р_поволжье_а).
Литература
Рис. 2б. α 2 = −i 2
Рис. 2в. α 7 =
−1 + i 7
2
Определение 4. Обратным фрактальным дискретным косинусным преобразованием (ОФДКП) называется преобразование:
(14)
x ( m ) = ∑ λ ( n ) ⋅ X ( n ) ⋅ ΛCOSk ( n, m ),
n∈Dk
где m ∈ Gk ,
152
1. Белов, А.М. Исследование эффективности одномерных
дискретных косинусных преобразований на развёртках
двумерных сигналов, порождённых каноническими системами счисления / А.М. Белов // Компьютерная оптика. – 2011. – Т 35, № 4. – С. 519-523.
2. Katai, I. Canonical number system in imaginary quadratic
fields / I. Katai, A. Kovacs // Acta Mathematica Hungarica.
– 1981. – Vol. 37. – P. 159-164.
3. Katai, I. Canonical number systems for comlex integers /
I. Katai, J. Szabo // Acta Sci. Math.(Szeged). – 1975. –
V. 37. – P. 255-260.
4. Чернов, В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований / В.М. Чернов. – М.: Физматлит, 2007. – 264 с.
5. Чернов, В.М. Дискретные ортогональные преобразования на фундаментальных областях канонических систем
счисления / В.М. Чернов, М.С. Каспарьян // Компьютерная оптика. – 2013. – Т. 37, № 4. – С. 484-487.
6. Ярославский, Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии / Л.П. Ярославский. – М.: Радио и
связь, 1987. – 296 с.
7. Ahmed, N. Discrete Cosine Transform / N. Ahmed, T. Natarajan, K.R. Rao // IEEE Transactions on Computers. –
1974. –V. 23(1). – P. 90-93.
8. Ахмед, Н. Ортогональные преобразования при обработке
цифровых сигналов / Н. Ахмед, К.Р. Рао. – Под ред.
И.Б. Фоменко. – Пер. с англ. – М.: Связь, 1980. – 248 с.
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
Фрактальные дискретные косинусные преобразования на предфрактальных областях…
9. Крот, А.М. Быстрые алгоритмы и программы цифровой спектральной обработки сигналов и изображений /
А.М. Крот, Е.Б. Минервина. – Минск: Навука i
тэхнiка, 1995. – 407 с.
5.
References
1. Belov, A.M. Research of the efficiency of one-dimensional
discrete cosine transforms based on two-dimensional signal
scannings generated by canonical number systems /
A.M. Belov // Computer Optics. – 2011. – Vol. 35. –
P. 519-523. – (In Russian).
2. Katai, I. Canonical number system in imaginary quadratic
fields / I. Katai, A. Kovacs // Acta Mathematica Hungarica.
– 1981. – Vol. 37. – P. 159-164.
3. Katai, I. Canonical number systems for comlex integers /
I. Katai, J. Szabo // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1975. –
V. 37. – P. 255-260.
4. Chernov, V.M. Arithmetical methods of synthesis of fast
algorithms of Discrete orthogonal Transforms /
6.
7.
8.
9.
Каспарьян М.С.
V.M. Chernov. – Moscow: "Fizmatlit" Publisher, 2007. –
264 p. – (In Russian).
Chernov, V.M. Discrete orthogonal transforms on fundamental domains of canonical number systems /
V.M. Chernov, M.S. Kasparyan // Computer Optics. – 2013.
– Vol. 37. – P. 484-487. – (In Russian).
Yaroslavsky, L.P. Digital signal processing in optics and
holography / L.P. Yaroslavsky. – Moscow: "Radio i svyaz"
Publisher, 1987. – 296 p. – (In Russian).
Ahmed, N. Discrete Cosine Transform / N. Ahmed, T. Natarajan, K.R. Rao / IEEE Transactions on Computers. –
1974. – Vol. 23(1). – P. 90-93.
Ahmed, N. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing / N. Ahmed, K.R. Rao. – Moscow: "Svyaz" Publisher, 1980. – 248 p. – (In Russian).
Crot, A.M. Fast algorithms and spectral digital signal
and image processing / А.М. Crot, Е.B. Minareva. –
Minsk: "Nauka i tekhnika" Publisher, 1995. – 407 p. –
(In Russian).
FRACTAL DISCRETE COSINE TRANSFORM ON PRE-FRACTAL DOMAINS ASSOCIATED
WITH FUNDAMENTAL DOMAINS OF CANONICAL NUMBER SYSTEMS
M.S. Kasparyan
Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences,
S.P. Korolyov Samara State Aerospace University (National Research University)
Abstract
I introduce an analog cosine transform on the pre-fractal region. The discrete cosine transform
on two-dimensional domains associated with the fundamental domains of number systems in imaginary quadratic rings is derived from fractal discrete Fourier transform. It is shown that this
transformation is orthogonal.
Key words: orthogonal transforms, fractal, canonical number system, cosine transform.
Сведения об авторе
Михаил Суренович Каспарьян, 1988 года рождения. В 2011 году с отличием окончил Адыгейский государственный университет по специальности «Прикладная математика». В данный момент является аспирантом Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва. Стажёр–исследователь Института
систем обработки изображений РАН.
E-mail: kasparyanm@gmail.com .
Mikhail Surenovich Kasparyan (b. 1988) graduated with honours (2011) from Adyghe
State University, majoring in Applied Mathematics, postgraduate of S. P. Korolyov Samara
State Aerospace University (SSAU). Trainee researcher of Image Processing Systems Institute
of the RAS. Research interests are image processing, programming, applied mathematics.
Поступила в редакцию 29 декабря 2013 г.
Компьютерная оптика, 2014, том 38, №1
153
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа