close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное решение стационарных задач анизотропной фильтрации.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2009
Том 151, кн. 3
УДК 519.63+517.958:532
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ СТАЦИОНАНЫХ ЗАДАЧ
АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов,
Л.Н. Исмагилов, .И. Мухамадуллина
Аннотация
абота посвящена методам численного решения стационарных задач ильтрации
несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону
ильтрации с предельным градиентом. Задача ильтрации сормулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является
суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных ункционалов. Для
решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления, позволяющий находить приближенные значения как давления жидкости, так
и скорости ильтрации. Приведены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: теория подземной ильтрации, анизотропный закон ильтрации,
вариационное неравенство, обратно сильно монотонный оператор, итерационный процесс.
Введение
ассматривается стационарная задача ильтрации несжимаемой жидкости,
следующей нелинейному анизотропному многозначному закону ильтрации с предельным градиентом. Требуется определить поля давления и скорости ильтрации, удовлетворяющие уравнению неразрывности и смешанным однородным граничным условиям. Обобщенная постановка ормулируется в виде вариационного
неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором (см. [1, с. 243?)
относительно поля давлений. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных
ункционалов, каждый из которых является суперпозицией выпуклого липшицнепрерывного ункционала и линейного непрерывного оператора.
В работах [2, 3? доказана теорема существования решения этого вариационного
неравенства. Кроме того, доказано существование поля скоростей ильтрации, построенного согласно многозначному закону по решению вариационного неравенства, удовлетворяющего уравнению неразрывности. При этом остается открытым
вопрос о построении указанного поля скоростей ильтрации на множествах, соответствующих точкам многозначности в законе ильтрации.
Для решения вариационного неравенства использован предложенный в [4? итерационный метод расщепления, каждый шаг которого сводится актически к решению краевой задачи для уравнения с линейным сильно эллиптическим оператором. В настоящей работе установлено, что данный метод позволяет определять
приближенные значения не только давления, но и скорости ильтрации. Метод
расщепления реализован численно. езультаты численных экспериментов для модельных задач ильтрации свидетельствуют об эективности итерационного метода.
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
1.
75
Постановка задачи
Изучается установившийся процесс ильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде. Фильтрация происходит в S
ограниченной
области ? ? R n , n ? 1 ,
T
с липщиц-непрерывной границей ? = ?1 ?2 , ?1 ?2 = ? , mes ?2 > 0 . ассматривается краевая задача
?
(v(x), n) = 0, x ? ?1 ,
(1)
x ? ?,
div v(x) =f (x)
(2)
u(x) = 0, x ? ?2
?
( f заданная ункция, характеризующая плотность внешних источников, n внешняя нормаль к ?1 ) в предположении, что ильтрующаяся жидкость удовлетворяет многозначному закону ильтрации
" n
#
n
?u(x)
1 X X (i)
2
vl (x) ? ?
?kl g i Di (u(x))
, l = 1, 2, . . . , n,
(3)
n
?xk
i=1
k=1
(i) n
где Di2 (u) = (?i ?u, ?u) , ?i = ?k l k, l=1 , ? ? g i (? 2 ) ? ункции, определяющие
закон ильтрации.
Предполагаем, что gi ( ? 2 )? = g i 0 (? 2 ) ? + ? i H(? ? ?i ) , где ? ? g i 0 ( ? 2 )? однозначные ункции, удовлетворяющие условиям ( i = 1, 2, . . . , n )
g i 0 (? 2 ) ? = 0 при ? ? ? i , ? i ? 0 ? предельные градиенты,
(4)
c 1 i (? ? ? i ) ? g i 0 (? 2 ) ? ? c 2 i ?, ? ? ? i , c 1 i , c 2 i > 0,
(5)
? ? g i 0 (? ) ? возрастают при ? > ?i ,
(6)
2
| g i 0 (? 2 ) ? ? g i 0 (? 2 ) ? | ? c 3 i | ? ? ? |
? ?, ? ? 0,
(7)
H многозначная ункция Хевисайда:
?
?
? < 0,
?0,
H(?) = [ 0, 1 ] , ? = 0,
?
?
1,
? > 0,
? i ? 0 , ? i ? 0 заданные постоянные.
Легко видеть, что H(?) субдиеренциал ункции µ ,
(
0, t < 0,
+
µ(t) = t =
t, t ? 0,
в точке ? :
? ? ? R 1 , ? ? ? ? H(?).
µ(?) ? µ(?) ? ? ? ( ? ? ? )
(i)
Относительно коэициентов ?k l считаем, что для всех i, k, l = 1, 2, . . . , n
(i)
(i)
?kl = ?lk ,
n
X
k, l=1
(i)
?kl ?k ?l ? c4i
n
X
(i)
?k2 ,
c 4 i > 0, ?k l ? c 5 i .
(8)
k=1
Обозначим
(?, ?)i = (?i ?, ?) =
m
X
k, l=1
(i)
?kl ?k ?l ,
(9)
76
И.Б. БАДИЕВ И Д.
В силу условий (8) соотношение (9) порождает скалярное произведение в R n .
Поэтому для любых ункций u, ? имеют место неравенства
Di2 (u) ? c 6 i |?u|2 , c 6 i > 0, i = 1, 2, . . . , n.
(?i ?u, ??) ? Di (u) Di (?),
В работе [2? установлено, что если u и v решение этой (1)(3), то ункция u
удовлетворяет вариационному неравенству
Z
n
1X
n i=1
?
f (x) ?(x) dx ?
?
n
+
1X
?i
n i=1
Z h
?
Z
?
gi 0 Di2 (u(x)) ?u(x), ??(x) i dx+
i
µ (Di (u(x) + ?(x)) ? ?i ) ? µ (Di (u(x)) ? ?i ) dx
?
? ? ? C ?2 (?), (10)
?
где C ?2 (?) множество бесконечно диеренцируемых в ? ункций, равных
нулю в окрестности
?2 .
Пусть V = ? ? W21 (?) : ? = 0, x ? ?2 пространство Соболева со скалярным
произведением
n Z
n Z
1 X
1 X
(u, ?)V =
?i ?u, ?? dx =
n i=1
n i=1
?
?u, ?? i dx.
?
Обозначим
ai (u, ?) =
Z
?
gi 0 Di2 (u(x)) ?u(x), ??(x) i dx,
i = 1, 2, . . . , n.
Из (4), (5) следует, что ормы ai (·, ·) ограничены по второму аргументу, а значит, порождают операторы Ai : V ? V по ормулам
Z
(Ai u, ?)V = ai (u, ?) = gi 0 Di2 (u) ?i ?u, ?? dx u, ? ? V.
?
Определим теперь оператор A0 : V ? V следующим образом:
(A0 u, ?)V =
n
n Z
1 X
1 X
gi 0 Di2 (u) ?i ?u, ?? dx.
(Ai u, ?)V =
n i=1
n i=1
?
Далее, обозначив ?iu = {x ? ? : Di (u(x)) > ?i } , имеем
Z
Z
1/2
µ (Di (u(x)) ? ?i ) dx =
(Di (u(x)) ? ?i ) dx ? [ mes ? ]
kukV ,
?
?iu
то есть на V определены ункционалы Fi , i = 1, 2, . . . , n , по ормулам
1
Fi (u) = ?i
n
Z
?
1
µ (Di (u(x)) ? ?i ) dx =
2n
Z
?
DZi2 (u)
gi 1 (?) d?dx.
0
(11)
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
77
Таким образом, в соответствии с (10) под решением стационарной задачи ильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону ильтрации, будем понимать ункцию u ? V , являющуюся решением вариационного неравенства
(A0 u ? f, ? ? u)V +
n
X
Fi (?) ?
i=1
n
X
Fi (u) ? 0 ? ? ? V,
i=1
где элемент f ? V определяется по ормуле (f, ?)V =
Z
(12)
?
f (x) ?(x) dx.
?
Вариационное неравенство (12) может быть записано в виде:
(A0 u ? f, ? ? u)V +
n
X
i=1
n
X
Gi Bi ? ?
Gi Bi u ? 0
? ? ? V,
(13)
i=1
n
где Fi = Gi ? Bi , ункционалы Gi определены на Y = L2 (?) по ормулам
Z
1
Gi (z) = ?i µ (|z| ? ?i ) dx, i = 1, 2, . . . , n,
n
?
1/2
и являются выпуклыми, липшиц-непрерывными, Bi = ?i ? : V ? Y линейные,
непрерывные операторы.
Отметим, что исходная постановка задачи ильтрации (1)(3) сормулировна
в терминах полей давлений u и скоростей ильтрации, в то время как обобщенная
постановка (13) в терминах поля давлений u . Тем не менее справедлива (см. [2?)
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)(8). Тогда вариационное неравенство (13) имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений.
Если u решение вариационного неравенства (13), то существует ункция
v ? Y такая, что почти всюду на ? выполнены включения (3), и имеет место
уравнение неразрывности
Z
Z ?
?
(v(x), ??(x)) dx =
f (x) ?(x) dx ? ? ? C ?2 (?).
?
?
При этом остается открытым вопрос о построении указанного поля скоростей
ильтрации на множествах, соответствующих точкам многозначности в законе
ильтрации (когда Di (u(x)) = ?i ).
2.
Итерационный метод
Для решения вариационного неравенства (13) рассмотрим следующий итераци(0)
(0)
онный процесс. Пусть w(0) ? V , yi ? Y , ?i ? Y, i = 0, 1, . . . , n , произвольные
(k)
(k)
элементы. Для k = 0, 1, 2, . . . , зная yi , µi , определим u(k+1) как
n
n
X
X
(k)
(k) w(k+1) = w(k) ? ? A0 u(k) + r
Bi? Bi u(k) +
Bi? ?i ? ryi
.
i=1
(14)
i=1
(k+1)
Затем находим yi
= rBi w(k+1) + ?(k) , решая задачи минимизации
(k+1)
(k+1) (k+1) r yi
, zi ? yi
+ Gi (zi ) ? Gi yi
?
Y
(k)
(k+1)
? r Bi w(k+1) + ?i , zi ? yi
Y
? zi ? Y,
i = 1, 2, . . . , n. (15)
78
И.Б. БАДИЕВ И Д.
(k+1)
Наконец вычисляем ?i
(k+1)
?i
по ормуле
(k)
(k+1) = ?i + r Bi w(k+1) ? yi
,
i = 1, 2, . . . , n.
(16)
Здесь ? > 0 и r > 0 итерационные параметры, Bi? : Y ? V сопряженные к Bi
операторы:
(Bi? yi , ?)V = (yi , Bi ?) Y ? ? ? V, yi ? Y.
Обозначим через Y n прямое произведение n пространств Y и введем в рассмотрение гильбертово пространство Q = V Ч Y Ч Y со скалярным произведением
(·, ·)Q =
n
n
X
(1 ? n? r)
1 X
(·, ·)V + r
(·, ·)Y +
(·, ·)Y ,
?
? i=1
i=1
ассмотрим оператор T : Q ? Q , ставящий в соответствие
вектору
q = (q0 , q1 , q2 , . . . , q2n ) = (u, y1 , . . . , yn , ?1 , . . . , ?n ) вектор T q = T0 q, T1 q, . . . , T2n q
следующим образом:
n
n
h
X
X
i
T0 q = q0 ? ? A0 q0 ? f + r
Bi? Bi q0 +
Bi? qn+i ? r qi ,
i=1
1 Ti q = Prox Gi /r Bi T0 q + qi ,
r
Tn+i q = qn+i + r Bi T0 q ? Ti q ,
i=1
i = 1, 2, . . . , n,
i = 1, 2, . . . , n.
Здесь Prox G : Z ? Z проксимальное отображение [5, с. 48?, сопоставляющее
каждому элементу p из гильбертова пространства Z элемент v = Prox G (p) , являющийся решением задачи минимизации
n o
1
w ? p 2 + G(w) = min 1 z ? p 2 + G(z) ,
Z
Z
z?Z
2
2
которая эквивалентна [5, с. 48? в случае, когда G выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу ункционал, вариационному неравенству
(w ? p, z ? w)Z + G(z) ? G(w) ? 0 ? z ? Z.
(17)
Используя определение проксимального отображения в виде вариационного
неравенства (17), легко установить, что итерационный процесс (14)(16) может
быть записан в следущем виде:
? (0)
q ? произвольный элемент,
?
?
?
?
q (k+1) = T q (k) ,
(18)
?
?
? (k)
(k) (k)
(k)
(k)
(k)
(k)
?
q = u(k) , y1 , y2 , . . . , yn , ?1 , ?2 , . . . , ?n , k = 0, 1, 2, . . . ,
то есть T оператор перехода этого итерационного процесса.
Справедлива (см. [4?)
Теорема 2. Точка q = (u, y1 , y2 , . . . , yn , ?1 , ?2 , . . . , ?n ) является неподвижной
точкой оператора T в том и только в том случае, когда
yi = Bi u,
?i ? ?Gi (Bi u),
i = 1, 2 . . . , n,
?
n
X
Bi? ?i = A0 u ? f.
i=1
При этом первая компонента u любой неподвижной точки оператора T является решением задачи (13).
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
79
Из теорем 1, 2 вытекает, что справедлива
Теорема 3. Пусть выполнены условия (4)(8). Тогда множество неподвижных точек оператора T не пусто.
Кроме того, в [4? доказана
Теорема 4. Пусть A0 : V ? V обратно сильно монотонный оператор
с константой ?0 > 0 ,
2 ?0
,
0<? <
2 n ?0 r + 1
задача (13) имеет по крайней мере одно решение. Тогда итерационная после
+?
довательность q (k) k=0 , построенная согласно (18), сходится слабо в Q при
b1 , . . . , ?
bn ) является неподвижной точкой
k ? +? , ее предел qb = (b
u, yb1 , . . . , ybn , ?
оператора T , и справедливы равенства
(k)
lim yi ? Bi u(k) = 0, i = 1, 2, . . . , n,
lim q (k+1) ? q (k) = 0.
k?+?
k?+?
Y
Q
Как следует из теоремы 1, задача (13) имеет по крайней мере одно решение.
В [3? установлено, что при выполнении условий (4)(7) операторы Ai являются обратно сильно монотонными, а значит, обратно сильно монотонным будет и
оператор A0 , задаваемый соотношением (11). Поэтому для итерационного процесса (14)(16) решения рассматриваемых задач ильтрации справедлива теорема 4 о сходимости этого процесса. При этом согласно теореме 2 имеем, что при
+?
k ? +? последовательность u(k) k=0 сходится слабо в V (а значит, сильно
в L2 (?) ) к некоторому решению u
b вариационного неравенства (13), последоваn
o+?
n
o+?
(k)
(k)
bi , i = 1, 2 . . . , n ,
и ?i
сходятся слабо в Y к Bi u
b и ?
тельности yi
k=0
k=0
причем
?bi ? ?Gi (Bi u
b), i = 1, 2 . . . , n,
(19)
n
X
bi = A0 u
?
Bi? ?
b ? f.
(20)
i=1
ассмотрим реализацию метода (14)(16) для задачи ильтрации. Для определения u(k+1) по ормуле (14) необходимо сначала решенить краевую задачу
для эллиптического уравнения с положительно определенным самосопряженным
оператором:
?
n
?Rs = f ? A u(k) + P B ? (?(k) ? rp(k) ) + n r Ru(k) , x ? ?,
0
i
i
i
i=1
?
(s(x), n) = 0, x ? ?1 , s(x) = 0, x ? ?2 ,
где R = ? div
n
X
?i ?, а затем положить u(k+1) = u(k) + ? s. Вычисления по ор-
i=1
муле (16) проводятся явным образом. Наконец, как показано в [6?, решение задач
минимизации (15) также может быть найдено явным образом:
(k+1)
yi
= gi?r ( |t|2 ) t,
i = 1, . . . , n,
(k)
где t = r Bi u(k+1) + ?i ,
?
?
? ? r ?i ,
??/r,
?
?
gi?r (? 2 )? = ?i ,
r ?i < ? ? r ?i + ?i /n,
?
?
?
?(? ? ? /n)/r, ? > r ? + ? /n.
i
i
i
80
И.Б. БАДИЕВ И Д.
Далее, поскольку ункционалы Fi выпуклы и непрерывны, то в силу Предложения 5.6 [5, с. 35?
?
n
X
Fi (u)
i=1
=
n
X
?Fi (u) =
i=1
n
X
?Gi (Bi u).
i=1
Проводя рассуждения, подобные содержащимся в [7?, имеем, что в точке u
субдиеренциал ункционала Fi есть множество линейных непрерывных на V
ункционалов li вида
Z
1
?iu (x)
(?u(x), ??(x))i dx ? ? V,
(li u, ?)V =
n
Di (u(x))
?
bi = ?ibu ,
где ?iu ? L? (?) , ?iu (x) ? ?i H( Di (u(x)) ? ?i ). Поэтому в силу (19) ?
?ibu (x) ? ?i H( Di (b
u(x)) ? ?i ), следовательно, с учетом определения сопряженного
оператора Bi? соотношение (20) запишется в виде
Z
?
"
#
n Z
bi (x)
1 X
?
f (x) ?(x) dx =
gi0 Di2 (b
u(x)) +
u
b(x), ??(x) i dx =
n i=1
Di (b
u(x))
?
?
1
=
n
Z X
n X
n X
n
(i)
?jl
? l=1 j=1 i=1
"
gi0 Di2 (b
u(x))
+
bi (x)
?
Di (b
u(x))
#
?b
u(x) ??(x)
dx =
?xj
?xl
=
Z
(v(x), ??(x)) dx,
?
где
#
"
n
n
bi (x)
?b
u(x)
1 X X (i)
?
2
vl (x) = ?
? j l g i 0 Di (b
u(x)) +
,
n j=1 i=1
?xj
Di (b
u(x))
l = 1, 2 . . . , n,
Таким образом, в качестве приближенного значения скорости ильтрации на
k -й итерации можно выбрать вектор v (k) :
"
#
n
n
(k)
1 X X (i)
?i
(k)
(k) 2
(k)
vl = ?
?
gi0 |yi | + (k)
yi , l = 1, 2 . . . , n.
n j=1 i=1 kl
|y |
i
3.
Численные эксперименты
ассмотренный итерационный метод был реализован численно. ассматривалось течение в двумерной области ? = (0, 1) Ч (0, 1) , в центре которой находится
скважина с дебитом q = 2 , ? = ?2 . Матрицы ?i выбирались равными
1 0
3 0
?1 =
, ?2 =
.
0 1
0 1
Функции ? ? gi0 ( ? 2 ) ? задавались соотношениями
?
?0,
? ? ?i ,
gi0 ( ? 2 )? =
?1 = ?1 = 1,
?? ? ? , ? ? ? ,
i
i
?2 = ?2 = 0.7.
81
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
1
1
|y | < ?
1
|? | = 0
1
1
0 < |? | < ?
|y | = ?
1
1
1
|y | > ?
1
0.5
|?1| = ?1
1
0.5
q
0
1
0.5
q
0
ис. 1
1
0.5
ис. 2
1
|y2| < ?2
1
|? | = 0
2
|?2| = ?2
|y2| > ?2
0.5
1
0.5
q
q
|y | = ?
2
2
0 < |? | < ?
2
0
0.5
ис. 3
1
0
2
0.5
1
ис. 4
Кроме того, полагалось ?1 = 1, ?2 = 0.7. Предварительно строилась конечноэлементная аппроксимация с помощью кусочно-линейных ункций на треугольных
элементах, построенных разбиением сторон квадрата на n1 и n2 равных частей и
проведением диагоналей, параллельных биссектрисе первого и третьего координатных углов. Число разбиений составило 64Ч64. Критерием выхода из итерационного
процесса являлось достижение относительной разностью значений приближенного решения на соседних итерациях заданной точности ? = 10?3 . Скважина моделировалась для конечноэлементных аппроксимаций сеточной дельта-ункцией.
Наименьшее количество итераций равнялось 57 при ? = 0.6, r = 0.5 .
На рис. 14 представлены результаты расчетов. На рис. 1, 3 светло-серым
цветом помечены конечные элементы, на которых приближенные значения |yi | =
= Di (u) отличаются от ?i на величину 5 · 10?4 , темно-серым и белым цветами там, где эти значения соответственно больше ?i и меньше ?i . На рис. 2, 4 светлосерым цветом помечены конечные элементы, на которых приближенные значения
|?i | лежат на (0, ?i ) , темно-серым и белым цветами там, где эти значения соот-
82
И.Б. БАДИЕВ И Д.
1
1
F
F
|?| = 0
|?| = 0.1
0.5
0.5
|?| =0.4
G
G
|?| =0.95
|?| = 1
q B
q
0
B
ис. 5
C 0.5
C
0.5
0
ис. 6
ветственно равны ?i и нулю. Таким образом, наблюдается согласно приведенным
ранее рассуждениям соответствие между значениями yi и ?i .
ассмотрена также модельная задача изотропной ильтрации (когда ?i единичные матрицы, gi ( ? 2 )? = g( ? 2 )? , ?i = ? , ?i = ? , ?i = ? , i = 1, 2, . . . , n ,
интересная тем, что для нее известны границы областей ?? , где модуль градиента давления равен заданному значению ? . ассматривается задача о цепочке
скважин с расходом q , расположенных на одной прямой на расстоянии 2 l друг
от друга. В силу симметрии задачи можно ограничиться элементом течения, представляющим собой полуполосу {0 ? x1 ? l, x2 ? 0} .
ассматривался случай, когда (см., например, [8, с. 88, 95?):
?
?
? ?,
0 ? ? < ?,
?
?
?
g(? 2 )? = [? ?, ?]
(21)
?=?
?
?
?
?? ? ? (1 ? ?), ? > ?,
где ? ? (0, 1) . При этом очевидно, что ? = ? (1 ? ?) .
При численном решении задачи полуполоса заменялась на конечную область
[0, 1] Ч [0, Z] , Z ? 1 , на трех частях границы ?1 ( x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0 ) которой
задаются условия (v, n) = 0 , а на границе ?2 , ѕотрезающейї бесконечность, задается однородное условие Дирихле u = 0 . Скважина с расходом q расположена
в точке O .
Для построения конечномерной аппроксимации задачи, как и выше, проводилась триангуляция области, полученная путем разбиения сторон ? на n1 и n2 равных частей, построения треугольников с диагоналями, параллельными биссектрисе
первого и третьего координатного углов, и применения метода конечных элементов с использованием кусочно-линейных на треугольниках ункций. Критерием
выхода из итерационного процесса являлось достижение относительной разностью
значений приближенного решения на соседних итерациях заданной точности ? =
= 10?3 . При расчетах выбирались следующие значения входных параметров задачи: ? = 1 , ? = 0.4 , разбиение области n1 = 50 и n2 = 500 , Z = 10 . Наименьшее
ЧИСЛЕННОЕ ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНИЗОТОПНОЙ ФИЛЬТАЦИИ
83
количество итераций равнялось 28 при ? = 0.7, r = 0.6 . Скважина моделировалась
для конечноэлементных аппроксимаций сеточной дельта-ункцией.
На рис. 5, 6 представлены результаты расчетов. Линии BG , CF на этих рисунках границы зоны ?? , построенные согласно аналитическим ормулам (см. [9?).
На рис. 5 светло-серым цветом выделена область, на которых модуль градиента приближенного решения (а актически приближенные значения модуля y =
= ?u = ?u ) отличается от ? на величину 5 · 10?4 . На рис. 6 в указанной области
приведены множества, соответствующие значениям |?| , равным 0.95, 0.4 и 0.1.
Таким образом, результаты численных расчетов подтверждают теоретические
выводы.
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проекты ќ 08-01-00676, 08-01-00548, 09-01-00814, 09-0197015).
Summary
I.B. Badriev, I.N. Ismagilov, L.N. Ismagilov, G.I. Mukhamadullina.
of Stationary Anisotropi Filtration Problems.
Numerial Solving
The paper is devoted to the methods of numerial solving of stationary ltration problems
of non-ompressible uid following the nonlinear multi-valued anisotropi ltration law with
limiting gradient. This problem is mathematially formulated in the form of variational
inequality of the seond kind in Hilbert spae with inversely strongly monotone operator.
The funtional ourring in this variational inequality is a sum of several lower semi-ontinuous
onvex proper funtionals. For the solution of the onsidered variational inequality the splitting
method is oered. This method allows nding both the pressure and the ltration veloity.
The results of numerial experiments are presented.
Key words: seepage theory, anisotropi ltration law, variational inequality, inversely
strongly monotone operator, iterative proess.
Литература
1.
ольштейн Е.., Третьяков Н.В.
Модиицированные ункции Лагранжа. М.:
Наука, 1989. 400 с.
2.
Метод решения нелинейных стационарных анизотропных задач ильтрации // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. 2008. ќ 3. С. 311.
Бадриев И.Б., Исмагилов И.Н., Исмагилов Л.Н.
3.
Бадриев И.Б., Исмагилов И.Н.
4.
Исмагилов И.Н., Бадриев И.Б.
5.
Итерационные методы решения стационарных задач
анизотропной ильтрации // Труды Средневолж. матем. о-ва. 2006. Т. 8, ќ 1. С. 150159.
О сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором //
Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2007. Т. 149, кн. 4. С. 90100.
Экланд И., Темам .
Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 .
6.
Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов Л.Н. Применение метода декомпозиции
для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории ильтрации // Исслед. по прикл. матем. и инорм. Казань: Казан. гос. ун-т, 2003. Вып. 24. С. 1224.
84
7.
8.
И.Б. БАДИЕВ И Д.
Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории ильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН ССС. 1979. Т. 10, ќ 5. С. 6378.
Девликамов В.В., Хабибуллин З.А., Кабиров М.М.
Аномальные нети. М.: Недра,
1975. 167 с.
9.
Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов Л.Н., Скворцов Э.В. ешение плоских
задач ильтрации при многозначном законе ильтрации и наличии точечного источника // Прикл. матем. и механика. 2009. Т. 73, Вып 4. С. 604614.
Поступила в редакцию
05.07.09
Бадриев Ильдар Бурханович доктор изико-математических наук, проессор
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Ildar.Badrievksu.ru
Исмагилов Ирек Наилевич кандидат изико-математических наук, ведущий
инженер Казанского государственного университета.
E-mail: Irek.Ismagilovmail.ru
Исмагилов Линар Наилевич кандидат изико-математических наук, ассистент
каедры экономической кибернетики Казанского государственного университета.
E-mail: LIsmagilksu.ru
Мухамадуллина узель Исламовна кандидат изико-математических наук,
старший научный сотрудник НИИММ им. Н.. Чеботарева Казанского государственного
университета.
E-mail: Guzel.Mukhamadullinaksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
669 Кб
Теги
решение, стационарный, фильтрация, задачи, анизотропные, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа