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Числовые характеристики упорядоченной выборки из двумерного нормального распределения.

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108
Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
???????? ?????????? ??????? ?
?????? ??????? ??????????????? ???????
? ?????? ???????,
???????? ??????-?????????????? ????
vmosyagin@mail.ru
????? ?????????? ???????? ?
????????? V ?????
marysen@mail.ru
???????? ?????????? ? ???????????? ????,
????????? ??????????????? ???????????
??? 519. 213. 2
уалгйЗхЦ пДкДднЦкалнада мийкьСйуЦззйв ЗхЕйкда
аб СЗмеЦкзйЙй зйкеДгъзйЙй кДликЦСЦгЦзаь
NUMERICAL CHARACTERISTICS OF THE ORDERED SAMPLES FROM
BIVARIATE NORMAL DISTRIBUTION
?????????. ??????? ???????? ????????? ????????????, ????????? ?? ????????????? ?????????? ????????? ?? ?????????? ??????????? ?????????????.
SUMMARY. Some values of functionals, depending on the order statistics distributions
from the bivariate normal distribution, were obtained.
???????? ?????. ????????? ?????????? ?????????????, ????????? ???????????? ???.
KEY WORDS. Bivariate normal distribution, bivariate ordered samples.
1. ????????. ????? ( X 1 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),...,( X n , Yn ) ? ??????? ?? ??????????
??????????? ????????????? N ( ax , a y ,? x2 ,? y2 , ? ) ? ??????????:
f ( X ,Y ) =
1
2?? x? y 1 ? ? 2
?
? ( x ? a )2 2 ? ( x ? a ) ( y ? a ) ( y ? a )2 ? ?
1
?
?
x
y
y
x
?
?
+
? ?.
exp ?
2
2
2
? x? y
? y ?? ?
?? ?2 (1 ? ? ) ?? ? x
?
????? ?x = EX 1 , ? y = EY1 , ? x2 = DX 1 , ? y2 = DY1 ? ?????????????? ?????????????? ???????? ? ????????? ????????? ???????, ? ? = ? ( X 1 , Y1 ) ? ??????????? ??????????.
????????????? N (0,0,1,1, ? ) ??????? ??????????? ????????? ?????????? ??????????????. ???????? ??????????????:
Yi ? a y
X ? ax
, i = 1,n ,
(1)
Ui = i
, Vi =
?x
?y
???????? ??????? ? ??????????? ? ??????????:
Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
? (u , v) =
??
?
1
2
2 ?
exp
2
?
u
uv
v
?
+
(
)
?
?.
2
2? 1 ? ? 2
?? ?2 (1 ? ? )
??
1
109
(2)
?????????? ? ??????? ??????????? ?????? ?????????? ???????:
X (1) ? X (2) ? ... ? X (n) . ??????? ??? ?????????? ???????????? ???, ??????????????? ?????? ????? ???? ?????? ?????????? ??????? ?????????
Y1 ,Y2 ,...,Yn .
??????????? 1. ???????????????? ???????
X (1) , Y1 , X ( 2) , Y2 ,..., X ( n ) , Yn
(3)
(
)(
) (
)
??????? ????????? ???????????? ?????.
???? ???????? ??????? ??????? ?? ?????????, ?? ????? ???? (3) ????????????? ? ??????? ????? ???????. ???????, ??? ? ??????? ?? ?????? ?????????
?????? ?????????? ????? ???????????? ???????.
????????????? ??????????? ??????? ??????? ???? ??????????? ? ?????? [1], ??????????? ????????? ?????????? ?????????? ????????????
??????????? ????????????? ?? ??????????????? ????????. ????? ?? ?????????? ??? ?????????????? ????????? ??????? ?????????? ?????? 3-4.
????????? ?????? ????????? ?????????? ?????????? ????????????? ?
???????? ????????????? ????????? ?????????? ????????????? ????.
????? ??????? ? (u , v) ????? ?????????? ????????? (2),
1
? u2
e
2
,
1
u
?e
?t2
2
dt , u ? (??, ?) .
2?
2? ??
n!
, ?nk = 0 , ???? n < k . ????????, ??? ?(+?) = 1 ,
????? ?nk =
k !(n ? k )!
?(??) = 0.
? ?????? ??????? ???????? ????????? ??????????? ? ?????????. ????????? ?????? ? ?????? ????????? ???????????????. ??? ?????? ?? ??????? ??
??????? ????????? ????????? ??????? ?????????, ??? ?????? ????? ? ?????
?????????. ?????? ? ???????? ????????? ??????????????.
2. ??????????????? ??????????. ?????? ????????? ???????? ?????????
? (u , v) , ??????? ????? ??????? ??? ?????????? ???????? ?????? ?????????
?????????? ????????????? ????.
????? 1. ??????????? ?????????:
x
? x ? ?u ?
(1)
??? ? (u, v)dv = ? (u )? ?? 1 ? ? 2 ?? ,
? (u ) =
?(u ) =
+?
? v ? (u, v)dv = (( ? u)
k
??
k
+ Ck2 ( ? u ) k ? 2 (1 ? ? 2 ) )? (u ) , k = 1, 2, 3.
(2)
??????????????. ??????? (1) ???????? ?? ?????????? ?????????? ?????????????:
? x ? ?u ?
1
? (u, v) =
? (u )? ?
.
(3)
2
2 ?
1? ?
? 1? ? ?
110
Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
?????????? (3) ? ???????? (2), ??????? ?????????:
+?
k ?t2
? (u ) +?
k
=
v
?
(
u
,
v
)
dv
t 1 ? ? 2 + ? u e 2 dt.
???
?
2? ??
(
)
????????? ??? ?????????? ????? ???????, ? ??????? ????????
+?
?t
2 k ?1
e
?t2
+?
2
dt = 0, k = 1, 2,... ,
??
2
?t e
?t2
2
dt = 2?
??
???????? ? ??????? (2) ?
????????? 1. ????? ?????????????? ????????? ? (u , v) ???????????? ??????????, ????????? (1-3) ????????? ? ????, ???? ? ??? ?????????? u ? v
???????? ???????. ??????? ?????, ??? ????????? ??? ????????? (2) ?????
????? ??? ????? ????? k ? 0 , ???? ??????????????? ????????? ????????:
+?
2k
?t e
?t2
2
dt = 2? (2k ? 1)!!.
??
??????????????? ??????? ???????????? ?????????
????? 2. ??????????? ?????????:
+?
? b ?
?
(
t
)
?
(
at
+
b
)
dt
=
?
?
?? 2
? , a, b ? (??, +?)
a +1 ?
??
?
(4)
?
.
?
2
? 2? ? ?
+?
?u
? ? (u, v)?(v)dv = ? (u)? ?
??
(5)
??????????????. ?????????
F (b) =
+?
? ? (t )?(at + b)dt ,
b ? (??, +?).
(6)
??
??? ??? ??????????????? ??????? ????????? ? ?? ??????????? ?? ?????????
b ???????????? ?????????????? ?????????:
? (t )?(at + b) ? ? (t ) , ? (t )?b?(at + b) = ? (t )? (at + b) ? ? (t ) 2? ,
?? ?????????? ?? ?????????, ?? ??????? (6) ????? ???????????????? ?
???????????? ? ??? ?????????? ??????? ??? ?????? ?????????:
+?
dF (b)
1
= ? ? (t )? (at + b)dt =
db
2?
??
= z = t a2 + 1 +
ab
a +1
2
=
+?
?e
? ( t 2 + ( at + b )2 )
2
??
? b2
? b2
1
2? a + 1
2
e 2( a
2
+1)
+?
?e
? z2
2
??
? ? (t )?(??)dt = 0,
??
? (( a 2 +1) t + ab ) 2
2( a 2 +1)
dt =
? b2
+?
??????, ????????, ???
F (??) =
+?
1 2( a 2 +1)
dt =
e
?e
2?
??
dz =
e
2( a 2 +1)
2? a 2 + 1
.
111
Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
???????
b
? x2
a 2 +1
?z
? b ?
1
2
=
F (b) =
e
dx
e
dz = ? ?
.
?
?
2? ??
? a 2 + 1 ??
2? a 2 + 1 ??
??????????? (5) ???????? ?????? ?????????? (4):
b
1
+?
2( a 2 +1)
+?
? (u )
? ? (u, v)?(v)dv =
2? 1 ? ?
??
2
?e
? (v ?u ? )
2(1? ? 2 )
??
2
(
+?
)
dv = ? (u ) ? ? (t )? t 1 ? ? 2 + ? u dt.
??
??? ?????????? ?????????????? ???????? ? ??????? (4) ??????????
a = 1? ? 2 , b = ? u ?
????????? 2. ??????? (4) ????? ??????????? ????????? ???????.
???????
F ( x) =
+?
? ? (t )?(at + x)dt
??
??? ????? a ? (??, +?) ???????? ???????? ?????????????, ??????
F (0) =
+?
1
? ? (t )?(at )dt = ?(0) = 2 .
??
????????? ??????????? ????? ????? ? [2; 46], ??? ?????? ?????? ????????????? ?????????? ?????????? ????:
I n (a ) =
+?
? ? (t )?
n
(at )dt , n = 1, 2, ...,
??
???????????? ??? ?????????? ???????? ?????????? ????????? ?? ??????????? ?????????????.
3. ?????????? ????????????? ????????? ?????????? ?????????????
????. ?????????? ???????:
(U ,V ) , (U
1
1
2
,V2 ) ,..., (U n ,Vn ) ? N (0,0,1,1, ? )
??? ???????????????? ?? ?????????? ????????????? ????
U ,V , U ,V ,..., U ,V ,
(
(1)
1
)(
( 2)
2
) (
(n)
n
)
(1)
(2)
?????? ?????????? ????????????? ?????????.
??????? 1. ?????????? ????????? ????????????? ????????? ???? (2)
??????????? ? ????:
fU
(u , v) = Cn (i )? ( x, y )?i ?1 (u ) (1 ? ?(u ) ) ,
(3)
(u1 ) (?(u2 ) ? ?(u1 ) )
, (4)
n ?i
( i ) ,Vi
fVi ,Vj (v1 , v2 ) =
+? +?
= C n (i , j ) ?
? ? (u , v )? (u , v ) ?
1
1
2
2
i ?1
j ? i ?1
(1 ? ?(u2 ))n ? j du1du2
?? u1
??? 1 ? i < j ? n , Cn (i ) =
n!
n!
, Cn (i, j ) =
.
(i ? 1)!( n ? i )!
(i ? 1)!( j ? i ? 1)!( n ? j )!
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Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
??????????????. ?????? ?? ??????? ???????????. ???????
{U ( i ) ? du1 ;Vi ? dv1 ;U ( j ) ? du2 ;Vj ? dv2 } , i < j , ?? < u1 < u2 < ? ?????????? ?????? ???, ????? ???? ?? ????? (U1 ,V1 ),(U 2 ,V2 ),...,(U n ,Vn ) ???????? ? ????????????? du1 Ч dv1 , ?????? ? ? ????????????? du2 Ч dv2 , i ? 1 ????? ????????????? ? ??????? (??, u1 ) Ч (??, ?) , j ? i ? 1 ????? ? ?????? (u1 , u2 ) Ч (??, ?) , ?
????????? n ? j ????? ???????? ? ??????? (u2 , ?) Ч (??, ?) . ??????????? ?????? ????? ???????????? ?????? ??????? ?????:
j ? i ?1
n? j
? (u1 , v1 )? (u2 , v2 )?i ?1 (u1 ) (?(u2 ) ? ?(u1 )) (1 ? ?(u2 )) du1du2 dv1dv2 ,
? ????????? ????? ???????? ???????????? ????? Cn (i, j ) , ??
P (U ? du ;V ? dv ;U ? du ;V ? dv ) =
(i )
1
i
1
( j)
2
j
2
= Cn (i, j )? (u1 , v1 )? (u2 , v2 )? (u1 ) (?(u2 ) ? ?(u1 ))
i ?1
j ? i ?1
(1 ? ?(u ))
n? j
2
du1du2 dv1dv2
?????????? ??? ????????? ?? ??????? u1 < u2 , ???????? ? ??????? (4).
??????? (3) ???????????? ?????????? ?
? ????????? ????????? ??? ??????????? ??? ??? ????????? ??? ?????????? ?????? ? ?????? ????????? ?????????? ????????????? ????:
+?
fVi (v) = Cn (i ) ? ? (u , v)?i ?1 (u ) (1 ? ?(u ) )
n?i
du , i = 1, n
(5)
??
fU (u ) = Cn (i )? (u )? i ?1 (u ) (1 ? ?(u )) , i = 1, n
n?i
(6)
i
fU
( i ) ,U ( j )
(u1 , u2 ) = Cn (i, j )? (u1 )? (u2 )?i ?1 (u1 ) (?(u2 ) ? ?(u1 ) )
j ? i ?1
(1 ? ?(u )) , u1 < u2 (7)
n? j
2
????????? (5) ???????? ?????????? ?????????????? ????? ?????? ?????????
(3) ?? ?????????? u. ??????? (6-7) ????? ????? ? [2-3].
4. ???????? ?????????????? ?????????? ????????????? ????
??????? 2. ??????? ?????? ? ?????? ????????? ?????????? ????????????? ???? (3.1) - (3.2) ??????? ???????????:
EV k = ? EU k + C 2 ? k ? 2 (1 ? ? 2 ) EU k ? 2 , k = 1, 2, 3,
(1)
i
(i )
k
(i )
DVi = ? 2 DU ( i ) + 1 ? ? 2 , i = 1, n
(2)
??????????????. ?? ?????? (3.5), (3.6) ? ????? 1 ???????:
EVi k =
+? +?
? k
? i ?1
n ?i
k
v
f
(
v
)
dv
C
(
i
)
=
n
??? Vi
??? ?? ??? v ? (u, v)dv ?? ? (u ) (1 ? ?(u )) du
+?
+?
(
)
= Cn (i ) ? ( ? u ) k + Ck2 ( ? u ) k ? 2 (1 ? ? 2 ) ?i ?1 (u ) (1 ? ?(u ))
??
= ?k
+?
+?
n?i
du =
k
2 k ?2
2
k ?2
? u fU( i ) (u )du + Ck ? (1 ? ? ) ? u fU(i ) (u )du =
??
??
= ? EU + C ?
k
(i )
2
k
k ?2
(1 ? ? ) EU
2
k ?2
(i )
.
Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
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? ?????????,
EVi = ? EU ( i )
,
EVi 2 = ? 2 EU (2i ) + 1 ? ? 2 .
(3)
?????????????,
DVi = EVi 2 ? ( EVi ) 2 = ? 2 DU ( i ) + 1 ? ? 2
?
? ????????? ??????????? ???????????? ??????? ??? ????????? ???????? ????????? ?????????? ????????????? ????.
??????? 3. ????????? ??????? ????????? ????????????? ???? (3.1)(3.2) ??????? ? ????????? ?????? ????????? ?????????:
EU k V = ? m EU k + m + C 2 ? m ? 2 (1 ? ? 2 ) EU k + m ? 2 ,
(4)
m
(i )
i
(i )
m
(i )
EVi kVjm = ? k + m EU (ki )U (mj ) + Ck2 ? k + m ? 2 (1 ? ? 2 ) EU (ki )U (mj ?) 2 +
Cm2 ? k + m ? 2 (1 ? ? 2 ) EU (ki )? 2U (mj ) + Ck2 Cm2 ? k + m ? 4 (1 ? ? 2 ) EU (ki )? 2U (mj ?) 2 , 1 ? i < j ? n. (5)
2
? ?????????,
cov(U ( i ) ,Vi ) = ? DU ( i ) ,
(6)
cov(Vi ,Vj ) = ? cov(U ( i ),U ( j ), ) , i, j = 1, n .
(7)
2
??????????????. ????????? (4) ???????? ?? ?????? (3.3) - (3.7) ? ????? 1:
EU (ki )Vi m =
? ?
? ?u v
k
m
?? ??
fU ( i ) ,Vi (u , v)dudv =
?
??
?
= Cn (i ) ? ? ? v m? (u , v) dv ? u k ?i ?1 (u )(1 ? ?(u )) n ? i du =
?
?? ? ??
?
= Cn (i ) ? (( ? u ) m + Cm2 ( ? u ) m ? 2 (1 ? ? 2 ))u k? (u )?i ?1 (u )(1 ? ?(u ) ) du =
n?i
??
?
?
= ? m ? u k + m fU ( i ) (u )du + Cm2 ? m ? 2 (1 ? ? 2 ) ? u k + m ? 2 fU ( i ) (u )du =
??
??
= ? EU
m
k +m
(i )
+C ?
2
m
m?2
(1 ? ? ) EU (ki +) m ? 2 .
2
? ?????????, EU ( i )Vi = ? EU (2i ) . ?????? ? ?? (3) ???????? ? (6):
cov(U ( i ) ,Vi ) = EU ( i )Vi ? ?U ( i ) EVi = ? EU (2i ) ? ? ( EU ( i ) ) 2 = ? DU ( i ) .
????? ????? ?? ?????? (3.4) - (3.7) ? ????? 1 ????????????? ??????????????
???????? (5) ? (7) ?
????????? 3. ???????? ? ????????????? ???? (1.3), ???????????? ?? ??2
2
????? ?? ????????????? N ( ax , a y ,? x ,? y , ? ) . ??? ??? ?????????? ? §1, ???????? ?????????????? (1.1) ????????? ???? (1.3) ? (3.2). ?????????????, ??????? ??????? ????? ????? ????????? ???????????????? ???????????? ?????
(1.3) ? (3.2). ????????, ?? ?????? 2-3 ???????:
EY = ? EV + a = ?? EU + a ,
i
y
i
x
y
(i )
y
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Вестник Тюменского государственного университета. 2010. № 6
cov(Yi , Yj ) = ? y2 cov(Vi ,Vj ) = ? 2? y2 cov(U ( i ) ,U ( j ) ) , i, j = 1, n .
?????????????, ??? ???????? ?????????????? ???? (1.3) ?????????? ????? ???????? ???????? ?????????????? ?????????? ??????? ?? ???????????? ??????????? ?????????????.
??????????? 2. ????????? ??????? ( X 1 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),...,( X n , Yn ) ???????
?????????????, ???? ? ?? ???????????? ???? ( X , Y ),( X , Y ),...,( X , Y )
(1)
1
( 2)
2
(n)
n
?????? ?????????? ????? ??????????: Y1 ? Y2 ? ... ? Yn .
?????????? § 2 ????????? ???????? ??????????? ????????? ????????????? ??????? ?? ?????????? ??????????? ?????????????. ??????? ???, ????
????????, ?? ??????? ??????? ?????? 2.
??????? 4. ??????? (U1 ,V1 ),(U 2 ,V2 ) ? N (0,0,1,1, ? ) ??????????? ? ????????????:
1
P (V1 ? V2 ) = 1 ? arctg 1 ? ? 2 ? .
(
?
)
??????????????. ??? ??? ?????????? ????????? V1 ? V2 ?????:
?
u2
??
??
f (v1 , v2 ) = 2! ? ? (u2 , v2 ) du2 ? ? (u1 , v1 )du1 ,
?? ?? ???? 1-2 ??????? ?????????:
P(V1 ? V2 ) =
?
?
??
?
v2
??
??
v2
dv2 ? f (v1 , v2 )dv1 =
??
(
= 2! ? ? (v2 )dv2 ? ? (v1 )? ? (v2 ? v1 )
)
2(1 ? ? 2 ) dv1 .
?????????? ???????? ????? ?????????????? ?? ?????? ?????? ???:
v2
(
)
? ? ? (v2 ? v1 )
??
2 1 ? ? 2 d?(v1 ) = ?(v2 ) 2 +
? ? (t )? ( ? t
0
)
2(1 ? ? 2 ) + v2 dt .
??
????? ?? ????????? ???? ??????????? ? ????? 2 ???????????? ???????:
(
0
)
1
1
P V1 ? V2 = + 2 ? ? (t )? t 1 ? ? 2 ? dt = 1 ? arctg
2
?
??
(
)
( 1? ? ?) .
2
????? ?? ??????????????? ??????????:
arctg ( a )
,
2?
??
?????????????? ???????? ??????????????? ?????, ??? ? ????????? (1.6).
0
1
? ? (t )?(at )dt = 4 ?
?????? ??????????
1. Watterson, G.A. Linear estimation in censored samples from multivariate normal
populations // Ann. Math. Statist. 1959. V. 30. C. 814-824.
2. ?????? ?. ?????????? ??????????. ?.: ?????, 1979. 336 ?.
3. ?????? ?.?., ???????? ?.?. ???????? ? ?????? ?????????? ?????????. ?.: ??????????, 1970. 414 ?.
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