close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Шестиструйная кинематическая модель геодинамо.

код для вставкиСкачать
94
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА,
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИОВАНИЕ
MSC 76W05
ШЕСТИСТУЙНАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕОДИНАМО
.М. Водинчар, Л.К. Фещенко
Институт космоизических исследований и распространения радиоволн ДВО АН,
ул. Мирная, 7, Паратунка, Елизово, 684034, оссия, e-mail: ikirikir.ru
Аннотация. Построена кинематическая модель геодинамо, структура полей скоростей
которой согласована с данными о splitting-ункциях собственных колебаний в жидком ядре
Земли. В модели используются три компоненты скорости, являющиеся аппроксимациями мод
собственных колебаний жидкого ядра, две из которых определяют 6-струйную конвекцию в
ядре Земли, а третья соответствует опережающему вращению твердого ядра.
Ключевые слова: геодинамо, ядро Земли, оператор Пуанкаре.
Введение. Процесс ормирования магнитных полей планет и звезд на качествен-
ном уровне успешно объясняется теорией гидромагнитного динамо. азработанные модели конвекции в жидких ядрах планет земного типа, газовых гигантах, конвективных
зонах звезд позволяют получать течения, которые могут ормировать магнитные поля,
близкие по своей топологии к наблюдаемым [1?- [4?.
Возможности вычислительных систем не позволяют вести прямое численное моделирование трехмерных задач планетарного динамо на геологических временных масштабах. Отметим, что известные теоремы запрета определяют принципиальную трехмерность задачи динамо [2?. В связи с этим численные модели либо воспроизводят
МД-течения с хорошим разрешением по пространству на относительно небольших
временных масштабах, порядка десятков тысяч лет, либо дают возможность просчитывать длительную эволюцию только крупномасштабных пространственных структур.
Для моделей первого типа геометрическая структура течений просчитывается в процессе моделирования, а для моделей второго типа геометрическую крупномасштабную
структуру конвекции надо задавать. Возникает ключевой вопрос о том, какова реальная крупномасштабная структура конвекции.
Косвенную инормацию об этой структуре можно получить из данных о неоднородностях в плотности жидкого ядра. В статье [5? были проанализированы результаты
ряда работ по splitting-ункциям собственных колебаний Земли и получены срезы распределения плотности на различных глубинах. Вариации плотности соответствующие
splitting-ункции 11 S4 , имеющей максимум на глубинах жидкого ядра, представлены
на рис. 1. Здесь прослеживается четкая 12-зонная шахматная структура, которой в первом приближении соответствует тессеральная серическая гармоника Y42 . Автором [5?
абота выполнена при поддержке ДВО АН (проект 10-III-В-07-158) и Минобрнауки оссии по
Программе стратегического развития КамУ им. Витуса Беринга на 2012-2016 гг.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
95
была высказана гипотеза о соответствующей структуре конвекции, где в шести областях материал ядра ѕтонетї, а в шести ѕвсплываетї. Возможность существования
подобной конвективной структуры и генерации в ней магнитного поля дипольного типа
рассматривалась в работах авторов [6?- [7?. Были найдены квазистационарные решения
в которых величина характерной скорости конвекции составляла ? 10?4 м/с, совпадая
с известными оценками для ядра Земли [8?. При этом величина дипольной составляющей модельного поля в пересчете на гауссовский гармонический коэициент была
? 105 нТл, при реальном значении в 3 · 104 нТл [9?.
Описание геометрии течений только гармоникой Y42 не учитывает некоторую ѕскошенностьї распределения на рис. 1. В настоящей работе исследуется более точное воспроизведение наблюдаемых конвективных структур в рамках кинематической модели.
ис. 1. Портрет splitting-ункции для моды 11 S4 собственных колебаний Земли из работы [5?.
Черный цвет плотность вещества на 0.2% выше средней, белый плотность на 0.2% ниже
средней. По горизонтальной оси отмечены градусы долготы, по вертикальной широты.
1. Выбор структуры течений. Изображенное на рис. 1 распределение раскла-
m
дывалась по серическим гармоникам
q Yn до n = 6. Вычислялись коэициенты разложения cn,±m и амплитуды An,m = c2n,m + c2n,?m . В таблице 1 приведены результаты
разложения, упорядоченные по убыванию амплитуд. яд гармоник оборван по признаку резкого падения амплитуды A4,4 .
Таблица 1
n
4
2
4
4
2
4
2
4
m
2
0
0
3
2
1
1
4
cn,m
0.059
0.042
0.032
0.011
?0.016
?0.01
?0.003
?0.003
cn,?m
?0.073
?0.02
0.006
?0.013
0.016
?0.001
An,m
0.094
0.042
0.03
0.023
0.017
0.016
0.016
0.003
96
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
Для анализа содержания таблицы 1 рассмотрим сначала представление поля скорости
в задаче геодинамо, использовавшееся авторами в [7?. Все построения ведутся в геоцентрической системе координат, где жидкому ядру соответствует серическая оболочка
r1 ? r ? r2 , а за единицу длины принята толщина жидкого ядра. Тогда r1 = 0.664 и
r2 = 1.664.
Материал ядра считается несжимаемым и на границах контактирующим с твердым
телом. Тогда ?v = 0 и скорость нулевая на границах.
Соленоидальное поле скорости v раскладывается в сумму тороидальной vT и полоидальной vS составляющих, для которых в свою очередь используется разложения
X
X
T
T
S
S
vT =
?k,n,m
(t) vk,n,m
(r, ?, ?),
vS =
?k,n,m
(t) vk,n,m
(r, ?, ?),
(1)
k,n,m
k,n,m
где ? и ? коширота и долгота, соответственно.
T
T
Базисные поля vk,n,m
(r, ?, ?) и vk,n,m
(r, ?, ?) являются собственными модами затухания для уравнения Навье-Стокса, т.е. являются решениями спектральной задачи
µv + ?v ? ?p = 0
в пространстве соленоидальных полей, нулевых при r = r1,2 . В равносильной ормулировке эта задача распадается на задачи
µvT + ?vT = 0,
µrotvS + rot?vS = 0
(2)
в подпространствах тороидальных и полоидальных полей. Индексы k , n, m соответствуют дискретизации спектра этих задач по переменным r , ? и ? и определяют разномасштабные структуры в поле скорости по этим переменным.
Сами базисные поля имеют вид
T
T
S
S
vk,n,m
= rot Rkn
(r)Ynm (?, ?)r ,
vk,n,m
= rotrot Rkn
(r)Ynm (?, ?)r ,
(3)
T
S
где ункции Rkn
(r) и Rkn
(r) определяются из задач (2), а собственные значения µTkn
S
и µkn входят в выражения для этих ункций. Уравнения на собственные значения и
T
S
схема расчета ункций Rkn
(r) и Rkn
описаныв [7?.
(r)
T
S
Система собственных ункций vk,n,m, vk,n,m
обладает свойством ортогональности
и полноты относительно скалярного произведения
Z
(p, q) = p · qdr ,
(4)
где интегрирование ведется по объему ядра.
Наблюдаемая в splitting-ункциях неоднородность в распределении плотности по
сере соответствует серическому распределению вертикального переноса вещества
ядра, т.е. радиальной составляющей поля скорости. Тороидальные поля не имеют радиальной составляющей и не определяют конвекцию как таковую. Собственно они возникают в конвекции в результате кориолисова сноса полоидальной части скорости. Соответственно, тороидальные компоненты нельзя увидеть в рис. 1. адиальная проекn(n + 1)
S
ция полоидальной моды vk,n,m
имеет вид
Rkn (r)Ynm (?, ?), что позволяет связать
r
S
данные табл. 1 с вкладом различных vk,n,m
в поле скорости.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
97
Учтем также следующие обстоятельства. В классе соленоидальных полей линейные
T
S
оболочки H m собственных полей vk,n,±m
, vk,n,±m
устойчивы относительно кориолисова
сноса [10?. Точнее говоря, вращение приводит к расщеплению, например, полоидальS
ной моды vk,n,m
на бесконечную цепочку чередующихся полоидальных и тороидальных
S
T
S
T
мод вида vl,n,?m , vl,n±1,±m
, vl,n±2,±m
, vl,n±3,±m
, ... [7?. Аналогична схема расщепления
тороидальных мод.
В связи с этим в табл. 1 строки с индексами (4,2) и (2,2) соответствуют одной устойчивой группе мод. Аналогично можно сгруппировать (2,0) и (4,0), (2,1) и (4,1).
На рис. 2 приведены построенные по данным табл. 1 распределения с накоплением
числа используемых групп мод. Видно, что различия между рис. 2a и рис. 2b практически нет, т.е. группу содержащую индексы (2,1) и (4,1) можно не добавлять.
ис. 2. аспределения комбинаций ункций из таблицы 1. a группа Y4±2 и Y2±2 ;
b добавлены к предыдущему Y20 и Y40 ; добавлены к предыдущему Y4±3 ;
d добавлены к предыдущему Y4±1 и Y2±1 .
Полоидальные моды, определяемые серическим гармониками Y4±2 и Y4±3 задают
каждая конвективную структуру в ядре, содержащую 6 ячеек. Они интересны тем, что
при существующей относительной толщине земного ядра в 6-ячейковой (6-струйной)
конвекции горизонтальные и вертикальные масштабы ячеек наиболее близки, а такие
структуры устойчивы. Отметим, что 6-ячейковая конвекция не реализуется никакими
другими комбинациями серических индексов.
Всего предлагается использовать три группы мод скорости. Две группы соответS
ствуют 6-струйной конвекции. Первая включает в себя полоидальную v0,4,±2
, задаюS
T
T
щую 6-струйную конвективную структуру, и моды v0,2,±2 , v1,3,±2 , v0,5,±2 возникающие
98
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
при ее расщеплении за счет вращения. Вторая содержит основную, также задающую
S
T
T
6-струйную конвекцию, моду v0,4,±3
и ее расщепления v1,3,±3
, v0,5,±3
.
Нулевое значение радиального индекса у основных конвективных мод выбрано для
того, чтобы выделить наиболее крупные ячейки, переносящие вещество от нижней границы ядра к верхней.
Третья группа мод включает полоидальные составляющие со серическими индексами (2,0) и (4,0), и ее появление можно объяснить эектом опережающего вращения
твердого ядра. Имеется ряд данных о том, что твердое ядро Земли имеет угловую
скорость вращения несколько больше, чем Земля в целом, что объясняют сохранением углового момента Земли при конвективных движениях [12?. В используемом представлении для поля скорости этот эект можно учесть,если поменять в выражении
T
T
(3) тороидальной моды v0,1,0
радиальную ункцию R01
(r) на некоторую убывающую
ункцию R(r), удовлетворяющую условиям R(r1 ) = 1, R(r2 ) = 0. А для того, чтобы эта особая мода скорости не была подвержена вязкой диссипации надо положить
r2
r2r3
R(r) = ar + b/r 2 , где a = 3 1 3 и b = ? 3 1 2 3 . Тогда, с учетом (1), варьируя величиr1 ? r2
r1 ? r2
T
ну соответствующей амплитуды ?0,1,0 можно задать нужную величину опережающего
вращения. Кориолисово расщепление этой моды и приводит к возникновению полоидальных мод со серическими индексами (2,0) и (4,0), а также тороидальной (3,0).
T
S
Поэтому в состав третьей группы моды входят модиицированная v0,1,0
, а также v0,2,0
,
T
S
v1,3,0 ,v0,4,0 .
После распределения мод по группам необходимо задать коэициенты, с которыми
они входят в разложение скорости, поскольку кинематическая модель динамо предполагает полное задание поля скорости. Эти коэициенты определяются из условия
структурной устойчивости объединенной группы мод при вращении. Подобной устойчивостью обладают моды собственных колебаний вращающейся жидкости.
Известно решение задачи Пуанкаре о собственных колебаниях вращающейся идеальной жидкости i?v + 2k Ч v + ?p = 0, удовлетворяющей условию непроницания на
твердой границе [10?. Здесь k орт оси вращения. Для вязкой жидкости эта задача
переопределена, ввиду увеличения числа граничных условий.
Аналогом задачи Пуанкаре для вязкой жидкости является спектральная задача
?v + ??v + 2k Ч v + ?p = 0, где ? число Экмана, характеризующее отношение периода вращения ко времени вязкой диссипации. Будем называть ее далее вязкой задачей
Пуанкаре.
Эта задача изучалась в работе [11? для случая серической оболочки. Установлены
такие важные важные свойства как дискретность спектра, полнота системы собственных ункций, получены оценки границ спектра. Однако, точное решение этой задачи
по-видимому неизвестно.
T
S
Поскольку система полей vk,n,m
, vk,n,m
полна, можно аппроксимировать вязкие
моды Пуанкаре с помощью этих полей. В частности, для мод образующих рассмотренные выше три группы можно определить коэициенты так, чтобы соответствующая
группа наилучшим образом аппроксимировала вязкую Пуанкаре моду. Такая аппроксимация в метрике скалярного произведения (4) была построена.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
99
Соответствующие аппроксимации имеют следующий вид:
T
S
T
S
v1 = 0.25(cos?1 v0,1,0
) ? 0.13(sin?1 v0,2,0
) + 0.1659(cos?1 v0,3,0
) ? 0.1374(sin?1 v0,4,0
),
S
S
T
T
v2 = 0.1577(cos?2 v0,2,?2
+ sin?2 v0,2,2
) + 0.2575(sin?2 v1,3,?2
? cos?2 v1,3,2
)+
S
S
T
T
+0.5323(cos?2 v0,4,?2
+ sin?2 v0,4,2
) + 0.4254(?sin?2 v0,5,?2
+ cos?2 v0,5,2
),
(5)
T
T
S
S
v3 = 0.3649(sin?3 v1,3,?3
+ cos?3 v1,3,3
) + 0.4914(cos?3 v0,4,?3
? sin?3 v0,4,3
)?
T
T
?0.3542(sin?3 v0,5,?3
+ cos?3 v0,5,3
),
где ?i произвольные углы.
Окончательно, скорость в модели принимается в виде
v = ? (k1 v1 + v2 + k3 v3 ) ,
(6)
где ? нормирующий множитель, а коэициенты k1 и k3 определяют относительный
вклад каждой из трех аппроксимаций вязких мод Пуанкаре в поле скорости.
2. Кинематическая модель геодинамо. В кинематическом приближении задача
динамо сводится к решению уравнения индукции для магнитного поля
?B
= rot (v Ч B) + Re?1
m ?B,
?t
?B = 0.
(7)
при заданной скорости v. Уравнение записано в безразмерном виде. За единицу времени
принята величина h/v0 , где h = 2.1 · 106 м толщина жидкого ядра, а v0 = 10?4 м/
характерная величина скорости конвекции. Основным параметром задачи является
магнитное число ейнольдса Rem = hv0 /?m , где ?m магнитная вязкость ядра. Оно
дает отношение характерного времени диссипации магнитного поля h2 /?m ко времени
конвективного цикла h/v0 .
К уравнениям (7) добавляются вакуумные граничные условия для магнитного поля [13?. Физически эти условия означают, что среда за пределами ядра непроводящая
и токи в ней отсутствуют. Такой допуск оправдан тем, что временные масштабы процессов в ядре составляют от 103 лет и более, т.е. на порядки превосходят характерные
времена атмосерных и магнитосерных процессов. Математически вакуумные условия требуют непрерывного перехода поля B в потенциальное поле при r = r2 .
Учитывая описанное выше спектральное представление для поля скорости, поле
B также представим в виде комбинации собственных тороидальных и полоидальных
полей оператора Лапласа
X
X
T
S
B=
?k,n,m
(t) BTk,n,m(r, ?, ?) +
?k,n,m
(t) BSk,n,m(r, ?, ?).
(8)
k,n,m
k,n,m
Проведем усечение рядов (8), оставим в них три составляющие дипольной части
геомагнитного поля BS0,1,?1 , BS0,1,0 и BS0,1,1 , а также моды которые структурно связаны
100 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
с компонентами скорости, т.е. ѕзацепляютсяї с ними в слагаемом rot (v Ч B) и регенерируют поле. Если использовать одноиндексные обозначения для магнитных мод, то
интеграл по объему ядра
Z
k
Wij = Bk rot (vi Ч Bj ) dr
дает генерацию магнитной моды Bk при нелинейном взаимодействии компоненты скорости vi , заданной одним из выражений (5) и магнитной Bj , т.е. собственно работу механизма динамо. При этом в рассматриваемой простой модели нас интересовала прежде
всего регенерация дипольных компонент.
асчет интегралов Wijk для различных комбинаций мод показал, что для этого надо оставить следующие магнитные моды (всего 17): BT0,2,0 , BT0,2,±1 ,BT0,4,0 , BT0,4,±2 ,BT0,4,±3 ,
BS1,3,0,BS1,3,±1 , BS1,3,±2 ,BS0,5,±2, BS0,5,±3 . Всего, вместе с дипольными, получается 20 магнитных мод. Отметим, что поскольку эти моды отличаются какими-либо серическим
индексами, то они ортогональны на сере, а значит и в объеме ядра.
Далее для удобства будем использовать одноиндексные обозначения для магнитных
компонент.
Представляя магнитную индукцию линейными комбинациями вышеуказанных Bj ,
а скорость разложением (6), получаем галеркинские приближения для уравнения
индукции (7)
20
All
где
All
=
Z
B2l dr,
Wjl
d?l X l
?l l
=
Wj ?j ?
Al ?l ,
dt
Re
m
j=1
=
Z
l = 1, . . . , 20 ,
(9)
Bl rot (v Ч Bj ) dr, а ?l собственное значение магнитной
моды Bl .
Это система линейных уравнений с постоянными коэициентами для амплитуд
магнитных мод и изменение величины магнитного поля со временем тогда можно охарактеризовать числом ? = max Re?i , где ?i собственное значение матрицы системы (9).
i
Это число определяет скорость изменения величины магнитного поля.
Произведение ?Rem можно интерпретировать как отношение двух времен характерного времени диссипации магнитного поля и характерного времени изменения поля
в рассматриваемой модели. В связи с этим предлагается следующий критерий воспроизведения магнитного поля динамо-механизмом в модели ? > 0 или |?|Re ? 1. В
первом случае поле нарастает, во втором затухает, но скорость его затухания много
меньше скорости омического затухания в отсутствие работы динамо.
Ясно, что значение ? зависит от числа Rem и от весовых коэициентов k1 , k2
в ормулах (6). При этом вычислительные эксперименты показали, что собственные
значения матрицы системы (9) не зависят от значений углов ?i в (5).
Была проведена серия расчетов с перебором значений ki от 0.1 до 10 и Rem от 5 до
500 в логаримической шкале. Для каждой такой комбинации определялись соответствующие ? и |?|Re.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 101
ис. 3. Области поддерживания магнитного поля в плоскости параметров (k1 , k3 )
при различных Rem .
Диапазон значений для Rem выбирался из следующих соображений. Поскольку h =
2.1 · 106 м и характерная скорость конвекции v0 по оценкам составляет 10?4 м/с, то
M
Rem = 210/?m . Молекулярное значение магнитной вязкости составляет ?m
= 1 м2 /с [13?,
T
а турбулентное значение ?m
= 20 м2 /с [14?. Поэтому значения Rem варьировались так,
чтобы перекрыть диапазон значений от турбулентного до молекулярного.
езультаты расчетов для некоторых значений Rem представлены на рис. 3. В плоскости (k1 , k3 ) крестиками обозначены пары коэициентов, в которых в модели поддерживается магнитное поле. Видно, что с ростом Rem области поддержания поля увеличиваются.
Заключение. В работе в рамках кинематического приближения показана возмож-
ность удерживания магнитного поля гидродинамическими структурами, косвенно наблюдаемыми в ядре Земли. В качестве составляющих скорости использованы аппроксимации мод собственных колебаний вращающейся жидкости, соответствующих 6-струйной
конвекции в ядре Земли и опережающему вращению внутреннего ядра. Установлено,
102 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
что режим усиления магнитного поля реализуется в широком диапазоне значений магнитного числа ейнольдса от турбулентного до молекулярного значения.
Литература
1. Kono M., Roberts P.H. Reent geodynamo simulations and observations of the eld //
Reviews of Geophysis. 2002. 40, ќ10. P.B1-B41.
2. Зельдович Я.Б., узмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астроизике / М.Ижевск: НИЦ ѕХДї, 2006.
3. Cupal I., Hejda P., Reshetnyak M. Dynamo model with termal onvetion and with the freerotating inner ore // Planetary Physis Sienes. 2002. 50. P.1117-1122.
4. Ustyugov S. Three-Dimensional Numerial MHD Simulation of Solar Convetion // Hyperboli
Problems: Theory, Numeris, Appliations. 2008. 4. P.1061-1068.
5. Кузнецов В.В. Анизотропия свойств внутреннего ядра Земли // Успехи из. наук. 1997. 169, ќ9. С.1001-1012.
6. Водинчар .М., Шевцов Б.М. Маломодовая модель конвекции во вращающемся шаровом
слое вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 2009. 14, ќ4. С.315.
7. Водинчар .М., Крутьева Л.К. Маломодовая модель конвекции во вращающемся шаровом слое вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 2011. 16, ќ 2. С.3544.
8. олицын .С. ежимы конвекции на различных вращающихся геоизических и астроизических объектах // Изв. АН ССС. Физика атмосеры и океана. 1991. Т. 27. ќ 1.
С. 20-31.
9. International Geomagneti Referene Field. http://www.ngd.noaa.gov/IAGA/vmod/igrf.html.
10. ринспен Х. Теория вращающихся жидкостей / Л.: идрметеоиздат, 1975.
11. езников Е.Л., озенкноп Л.М. О собственных колебаниях вращающейся вязкой жидкости во внешнем ядре Земли // Вопросы геодинамики и сейсмологии (Вычислительная
сейсмология. Вып. 30) / М.: еос, 1998. С.121-132.
12. Джекобс Дж. Земное ядро / М.: Мир, 1979.
13. Merril R.T., MElhinny M.W., MFadden P.L. The Magneti Field of the Earth / N.-Y.:
Aad. Press, 1996.
14. Frik P., Reshethyak M., Sokolo D. Combined grid-shell approah fo onvetion in a rotating
spherial layer // EuroPhys Letters. 2002. 59, ќ2. P.212-217.
6-JET KINEMATIC MODEL OF GEODYNAMO
G.M. Vodinhar, L.K. Feshhenko
Institute of Cosmophysial Researh and Radio Wave Propagation,
Far Eastern Branh of the Russian Aademy of Sienes,
Mirnaya Str., 7, Paratunka, Elizovskiy distrit, Kamhatka region, 684034, Russia, e-mail: ikirikir.ru
Abstrat. Geodynamo kinemati model is built. The eld veloity struture whih is ompatible
with data over the splitting-funtions of osillations in the Earth liquid ore. In the model three
veloity omponents are used whih are approximate osillations modes of the liquid ore. Two of
them dene 6-jet onvetion in the Earth's ore, and the third orresponds to antiipatory rotation
of the solid ore.
Key words: geodynamo, kinemati dynamo, Earth's ore, Poinare operator.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
562 Кб
Теги
кинематическое, геодинамо, модель, шестиструйная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа