close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2002. Є1(24)
УДК 517.977
А.Г. Иванов
imiuni.udm.ru
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО А??АРАТА
ЗАДАЧ ?ОЧТИ ?ЕРИОДИЧЕСКОЙ
О?ТИМИЗАЦИИ. I1
Ключевые слова:
почти периодические функции в смысле Бора и
Степанова, аппроксимация мерозначных почти периодических отобраений, игольчатая вариация.
Abstrat. The main denitions and statements on the measurevalued
funtions almost periodi in the sense of Stepanov, whih are used while
studing the problems of almost periodi motions optimal ontrol, are
prezented.
Содерание
1.
2.
3.
4.
5.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Элементы теории п.п. функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
?ространство мерозначных п.п. функций . . . . . . . . . . . . . . . 33
Аппроксимационная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Игольчатые вариации мерозначных п.п. отобраений . . 69
Лемма Филиппова для п.п. отобраений . . . . . . . . . . . . . . . 81
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Работа поддерана Российским фондом фундаментальных исследований
(грант 99{01{00454) и Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант E00{1.0{5).
1
3
Введение
Задача оптимального управления почти периодическими (п.п.)
двиениями (кратко говорим єзадача (zap) ) являeтся естественным обобщением задачи управления периодическими двиениями (пишем єзадача (zp) ). На целесообразность изучения
задачи (zap) как задачи, представляющей интерес в прилоениях, связанных с оптимизацией колебательных процессов ряда
физических систем, теорией магистральных процессов, указано,
например, в [1{7?. Отметим, что задаче (zp), в отличие от задачи
(zap), в последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работы
[8?, содеращей точную математическую постановку такой задачи и описывающей работу химического реактора, посвящено
большое количество публикаций (см., например, [1{27? и приведенную там библиографию, предисловие и комментарии), в которых указаны необходимые, необходимые и достаточные условия
оптимальности, исследуется качественное поведение периодических двиений и разобрано значительное количество реальных
примеров. Вместе с тем, например, в [27{29? обращается внимание на задачи периодической оптимизации, в которых ниняя
грань целевого функционала, заданного на мноестве Dp допустимых периодических процессов, не достигается, а достигается
на допустимом п.п. процессе задачи (zap), отвечающей исходной
задаче (zp), либо вообще расширение мноества Dp до мноества п.п. процессов улучшает значение целевого функционала
задачи (zp). В обоих случаях будем говорить, что расширение
задачи (zp) до задачи (zap) является эффективным. ?родемонстрируем сказанное на примере системы
x_ = Ax ? p(t), t ? R
(0.1)
с блочно-диагональной матрицей A = diag[A1 , A2 ?, у которой
собственные значения матриц A1 , A2 ? Hom(R2) равны соответственно, ? ▒ i?1 и ? ▒ i?2 , где ? > 0 (i2 = ?1) и числа ?1 , ?2 несоизмеримы. В качестве p(t) ? R4, t ? R берем конечный тригонометрический полином, удовлетворяющий
4
условию M {p? (t)p(t)} 6 1. Совокупность всех таких полиномов обозначим через P. Выделим таке его подмноество P,
состоящее из периодических (всевозмоных периодов) тригонометрических полиномов. Отметим, что система (0.1) описывает
динамику двух линейных осцилляторов с собственными частотами ?1 , ?2 и параметром, характеризующим потери (трение,
сопротивление и т.п.) с гармоническим внешним воздействием
p(╖) ? P. Качественное поведение решений таких систем хорошо
известно. В частности, кадому p(╖) отвечает единственное решение x(t) = x(t; p(╖)), t ? R, которое будет периодическим, если
p(╖) ? P, и будет п.п. по Бору, если p(╖) содерит, по крайней
мере, две несоизмеримые частоты. Стало быть, на P корректно
определен функционал [30?
Z T
1
.
?
I (x(╖), p(╖)) = M {x (t)x(t)} = lim
x? (t)x(t)dt,
(0.2)
T ??
T 0
где x(t) = x(t; p(╖)). Рассмотрим задачу I (x(╖), p(╖)) ? sup,
p(╖) ? P. ?одчеркнем, что это задача п.п. оптимизации, поскольку в качестве управлений рассматриваются тригонометрические
N
полиномы p(t) = P aj os ?j t + bj sin ?j t, N ? N, в которых
j =1
N
1X
2
2
(0.3)
2 j=1 |aj | + |bj | 6 2,
и относительно частот 0 6 ?1 < . . . < ?N , вообще говоря,
не предполагается их соизмеримость. Кроме того, она является расширением периодической (с нефиксированным периодом)
задачи I (p(╖), x(╖)) ? sup, p(╖) ? P, поскольку здесь в качестве
управлений берутся уе всевозмоные T -периодические полиN
номы p(t) = P aj os 2T?j t + bj sin 2T?j t, N ? N, в которых aj , bj
j =1
удовлетворяют неравенству (0.3). Используя вид решения системы (0.1), отвечающего p(╖) ? P [30. С.425?, получим, что при
5
кадом p(╖) ? P имеет место равенство
N
X
1
? ?
I (x(╖), p(╖)) =
(0.4)
2 j=1 cj R (?j )R(?j )cj ,
где cj = aj ? ib.j , R(?j ) = diag[R1(?j )R2 (?j )?, и где, в свою
очередь, Rl (?j ) = (Al ? i?j E )?1 . Далее, поскольку
(
|Rl (? )|2 < ??2 , если ? 6= ?l ,
(0.5)
|Rl (? )|2 = ??2 , если ? = ?l ,
то из (0.3) и (0.4) моно заключить, что максимальное значение
??2 данной задачи достигается на полиноме
pb(t) = ol(os ?1 t, ? sin ?1 t, os ?2 t, ? sin ?2 t),
(0.6)
который, в силу несоизмеримости ?1 и ?2 , является п.п. по
Бору функцией. Кроме того, для кадого p(╖) ? P выполнено
неравенство I (xb(╖), pb(╖)) > I (x(╖), p(╖)), т.е. расширение мноества P в задаче I (x(╖), p(╖)) ? sup, p(╖) ? P до P является
эффективным. Отметим, что данное обстоятельство естественно
с физической точки зрения.
Используя вышесказанное, приведем пример задачи оптимального управления периодическими двиениями, в которой
расширение периодических управлений до п.п. эффективно. Рассмотрим систему x_ = Ax? u(t), t ? R, с матрицей A ? Hom(R4 ),
что и в системе (0.1), а в качестве u(t) берем
измеримые перио.
4
дические функции со значениями в O2 [0? = {x ? R4 : |x|2 6 2}, и
совокупность таких функций (допустимых периодических управлений) обозначим Up. Как уе отмечалось, кадому u(╖) ? Up
отвечает единственное периодическое (того е самого периода,
что и u(╖)) решение x(╖) = (x1(╖) . . . x4(╖)) данной системы управления. Тем самым на Up корректно определен функционал
. 1
u(╖) 7? J (x(╖), u(╖)) = M {(x1 (t) + . . . + x4 (t))2 }
(0.7)
2
6
(напомним, что для всякой T -периодической функции f : R ? R
RT
M {f (t)} = T1 f (t)dt ). Рассмотрим задачу периодической опти0
мизации J (x(╖), u(╖)) ? sup, u(╖) ? Up. ?оскольку Up является
подмноеством мноества S (R, O24 [0?) п.п. по Степанову функций [31;32? u : R ? O24 [0?, то расширением этой задачи будет
следующая задача:
J (x(╖), u(╖)) ? sup, u(╖) ? S (R, O24 [0?),
(0.8)
в которой (см. (0.7)) x(t) = (x1 (t) . . . x4(t)) | уе п.п. по Бору решение системы x_ = Ax ? u(t), t ? R, отвечающее управлению u(╖) ? S (R, O24[0?). ?оскольку S (R, O24 [0?) содерится в
мноестве S, состоящем из ограниченных на R п.п. по Степанову функций u : R ? R4, для которых M {u? (t)u(t)} 6 2, то
?1 6 sup{J (x(╖), u(╖)), u(╖) ? S (R, O24 [0?)} 6 ?2 ,
(0.9)
где ?1 =. sup J (x(╖), u(╖)), а ?2 =. sup J (x(╖), u(╖)). Далее,
u(╖)?U
u(╖)?S
т.к. (см. (0.2)) ?2 6 sup I (x(╖), u(╖)) =. ?3 и (здесь см. [29?)
u(╖)?S
?3 = sup I (x(╖), u(╖)), а решением задачи I (x(╖), u(╖)) ? sup,
u(╖)?P
u(╖) ? P, как показано выше, является п.п. по Бору функция
u
b(╖) = pb(╖) (см. (0.6)), принадлеащая, конечно, S (R, O24 [0?), то
(см. (0.9)) эта функция будет решением задачи (0.8). ?ри этом
J (x
b(╖), u
b(╖)) = ??2 . Теперь покаем, что для всех u(╖) ? Up
b(╖), u
b(╖)) < ??2 . Допустим противное, т.е. предполоим, что
J (x
найдется T~-периодическое управление u~(╖) из Up такое, что
?1 = J (~
x(╖), u~(╖)) = ??2 . С другой стороны, пусть P4 | совокуп4
ность T~-периодических полиномов p(t)= P aj os 2T?j~ t + bj sin 2T?j~ t,
j =1
принадлеащих P, т.е. в которых совокупность пар {(aj , bj )}4j=1
удовлетворяет неравенству (0.3) при N = 4. Ясно, что такая совокупность пар K4 является компактным мноеством. Далее,
p
7
т.к. P4 ? P ? S и (см. [29?) J (~x(╖), u~(╖)) = sup I (x(╖), p(╖)) =. ?4 ,
p(╖)?P
то из (0.9) получаем равенство ?4 = ??2, из которого, в силу
компактности мноества K4 и непрерывности отобраения
p(╖) 7? I (x(╖), p(╖)), p(╖) ? P4
(см. (0.4) при N = 4 и ?j = 2T?j~ ), вытекает существование та4
кого полинома p~(t) = P a~j os 2T?j~ t + ~bj sin 2T?j~ t, принадлеащего
j =1
мноеству P4, что I (~x(╖), p~(╖)) = ??2 . ?оследнее, в силу (0.5),
невозмоно. ?олученное противоречие показывает, что задача
(0.8) действительно является эффективным расширением периодической задачи J (x(╖), u(╖)) ? sup, u(╖) ? Up.
Задача (0.8) содерится в следующей задаче:
I (x(╖), u(╖)) = M {f0 (x(t), u(t))} ? inf , (x(╖), u(╖)) ? D,
(0.10)
определенной на мноестве D ? B (R, G)╫S (R, U) ( G | область
в Rn, U ? omp(Rm )) , состоящем из пар (x(╖), u(╖)), в которых
п.п. по Бору функция x : R ? G является решением системы
x_ = f (x, u(t)),
(0.11)
отвечающим п.п. по Степанову управлению u : R ? U и
orb(x) ? G. Эта задача является расширением следующей задачи периодической оптимизации:
I (x(╖), u(╖)) ? inf , (x(╖), u(╖)) ? Dp ,
(0.12)
определенной на мноестве Dp | всевозмоных периодических
пар (x(╖), u(╖)), в которых x(╖) | периодическое решение системы (0.11), отвечающее управлению u(╖) ? Up, где Up | мноество измеримых периодических функций u : R ? U.
Заметим, что если в последней задаче вопросов, связанных
с корректностью ее постановки, нет, ибо для кадой T -периодической пары (x(╖), u(╖)) ? Dp отобраение t 7? f0(x(t), u(t))
4
8
(мы предполагаем, что функции f0 и f непрерывны G ╫ U )
является T -периодической ограниченной измеримой функцией,
а значит, существует среднее
Z T
1
M {f0 (x(t), u(t))} =
f0 (x(t), u(t))dt.
T 0
?ри расширении е мноества Dp до D вопрос о существовании
среднего значения функции t 7? f0(x(t), u(t)) требует, вообще
говоря, доказательства, т.к. предполагается, что u(╖) ? S (R, U).
Во втором разделе работы будет доказано, что для всякой пары
(x(╖), u(╖)) ? D эта функция будет п.п. по Степанову и, стало
быть, задача (0.10) поставлена корректно. Сейчас, на примере
этой задачи, выделим ряд моментов, присущих таке и задачам
оптимального управления п.п. двиениями в более общей постановке (см., например, [33?), которые отличают ее от задачи (0.12).
Так, если для получения необходимых условий оптимальности в
форме принципа максимума ?онтрягина для Tb-периодического
процесса (xb(╖), ub(╖)) ? Dp задачи (0.12) достаточно использовать на [0, Tb? известную игольчатую вариацию u(╖, ?, ?) для ub(╖)
(см., [1;34?), то при получении аналогичного условия для оптимального процесса (xb(╖), ub(╖)) ? D задачи (0.10) нуно варьировать управление ub(╖) ? S (R, U) специальным образом, используя
при этом п.п. последовательности, и точка ? при построении
u(╖, ?, ?) выбирается таке специальным образом.
Требует таке исследования ряд свойств линейных п.п. систем управления, отвечающих (xb(╖), ub(╖)) ? D, которые используются при доказательстве теорем существования п.п. по Бору
решения системы x_ = f (x, u(t, ?, ?)) и его зависимости от параметра ?. Отметим, что непосредственное доказательство необходимых условий оптимальности, помимо свойств п.п. игольчатой
вариации u(╖, ?, ?), а таке обозначенных выше теорем, требует
еще ряда свойств и утвердений, связанных с п.п. функциями.
?ри получении необходимых условий оптимальности сначала
доказывается, что оптимальное управление ub(╖) является реше9
нием задачи M {H (xb(t), u(t), pb(t))} ? sup, u(╖) ? S (R, U), где
pb(t) | п.п. по Бору решение системы
p_ = ?pfx? (x
b(t), u
b(t)) + f0? x (x
b(t), u
b(t)),
а H (x, u, p) =. pf (x, u) ? f0(x, u) | функция ?онтрягина задачи
(0.10). Теперь возникает вопрос (в отличие от аналогичной ситуации в периодическом случае) о справедливости при п.в. t ? R
поточечного максимума: max
b(t), u, pb(t)) = H (x
b(t), u
b(t), pb(t)).
H (x
u?U
?оскольку отобраение (t, u) 7? H (xb(t), u, pb(t)) принадлеит
пространству B (R╫U, R), состоящему из функций, которые п.п.
по t ? R в смысле Бора равномерно по u ? U, то полоительный ответ на поставленный вопрос вытекает из соответствующего утвердения для ляпуновских п.п. задач.
Требуют специального рассмотрения таке вопросы, связанные с поточечным максимумом в п.п. случае. Это обусловлено
тем, что не для всякой функции g ? B (R ╫ U, R) существуют
функции ub(╖) ? S (R, U), обеспечивающие при п.в. t ? R равенство max
b(t)).
g(t, u) = g(t, u
u?U
Таким образом, из вышесказанного следует, что изучение задач оптимального управления в классе п.п. функций предполагает наличие определенного математического аппарата. Основным
определениям и свойствам п.п. по Степанову функций, которые
необходимы при рассмотрении задач п.п. оптимизации, и посвящена эта работа.
В первом разделе данной работы вводятся основные функциональные пространства, используемые в дальнейшем, приводятся
необходимые сведения теории п.п. функций. Достаточно подробно говорится о пространстве S (R ╫ X, Y) (а таке его подмноестве S (R, C (X, Y)) ), состоящем из функций (t, x) 7? f (t, x) ? Y
( Y | сепарабельное метрическое пространство), которые п.п.
по t ? R в смысле Степанова равномерно по x, принадлеащему компактному метрическому пространству X. Это пространство, в частности, включает в себя совокупность непрерывных
10
отобраений f : R ╫ X ? Y, которые п.п. по t ? R в смысле
Бора равномерно по x ? X.
Далее, обобщенные управления | мерозначные управления,
обладающие, по крайней мере, двумя преимуществами перед
єобычными | выпуклостью и слабой компактностью, широко
используются как в задачах управления и оптимального управления, так и в игровых задачах (см., например, [35{42? и приведенную там библиографию), и рассматриваются не только в
связи с вопросами существования решения, но и слуат инструментом качественного исследования в этих задачах. Точно так
е и расширение мноества п.п. по Степанову управлений до
мерозначных п.п. управлений | AP M, обусловлено вопросами
существования решения в задачах (zap) и облегчает, в известной
мере, исследования и доказательства ряда утвердений, связанных с такими задачами, что отчетливо проявляется, например,
при варьировании оптимального п.п. процесса (xb(╖), ╡b(╖)), построении и в свойствах конуса вариаций. Вопросу расширения
п.п. по Степанову функций до пространства AP M, а таке доказательствам их основных свойств, играющих ваную роль при
рассмотрении задач (zap ), посвящен второй раздел работы. Отметим, что мерозначные п.п. функции были введенны в работах
[43;44? и использовались в задачах, связанных с п.п. системами
управления [29;33;42{53?. Вместе с тем эти функции нашли таке
применение и при изучении свойств многозначных п.п. отобраений [54{56?.
В третьем разделе работы доказывается утвердение об аппроксимации мерозначных п.п. функций, которое играет основную роль в вопросе при обосновании корректности расширения
(овыпукления) задач (zap) и используется при получении необходимых условий оптимальности допустимого процесса такой задачи.
Четвертый раздел посвящен определению и исследованию
п.п. игольчатой вариации ╡b(╖) ? AP M1.
?оследний раздел данной работы посвящен вопросу суще11
ствования п.п. по Степанову сечения отобраения
.
t 7? N (t) = {x ? X : f (t, x) = 0} ? omp(X),
отвечающего заданной функции f ? S (R, C (X, Y)). Основное
утвердение этого раздела играет ваную роль при изучении
связи п.п. по Бору решений п.п. по Степанову систем управления
и дифференциальных включений, а таке в вопросах, связанных
с поточечным максимумом в почти периодическом случае.
Вырааю свою искреннюю признательность М. В. Чибиревой
за помощь при подготовке рукописи к печати.
1.
Элементы теории п. п. функций
1. ?усть (Y, ?) | метрическое пространство. Напомним [31?,
что функция f ? C (R, Y) принадлеит пространству B (R, Y)
п.п. по Бору функций, если для любого ? > 0 мноество
EB (f, ?)=
_ {? ? R : sup ? f? (t), f (t) 6 ?}
t?R
ее ?-п. п. относительно плотно (здесь и далее, f? (╖)=_ f (╖ + ? ) |
сдвиг f на ? ).
?риведем определение мноества S (R, Y) п.п. по Степанову [31? функций f : R ? Y. С этой целью обозначим через
L1loc (R, Y) совокупность таких измеримых функций f : R ? Y,
что при некотором (а значит, и любом) фиксированном y ? Y
отобраение t 7? ?(y, f (t)) принадлеит Lloc
1 (R, R). На мноестве таких функций при кадом l > 0 определено dl -расстояние
(псевдометрика)
Z t+l
1
.
?(f (s), g(s)) ds, f, g ? Lloc (R, Y)
dl (f, g) = sup
t?R
l
1
t
(если l = 1, то полагаем d1 =. d ). Отметим, что из неравенств
l1 dl (f, g) 6 l2 dl (f, g), dl (f, g) 6 2dl (f, g), l1 < l2 ,
(1.1)
1
2
2
1
12
вытекает топологическая эквивалентность dl -расстояний. ?о определению [31? функция f ? Lloc
1 (R, Y) принадлеит пространству Sl (R, Y), если для любого ? > 0 мноество
.
ES (f, ?) = {? ? R : dl (f? , f ) 6 ?}
ее ?-п. п. относительно плотно.. В силу (1.1) далее рассматриваем
лишь пространство S (R, Y) = S1(R, Y) .
?оскольку пространство Y не предполагается линейным, то
п.п. функции f : R ? Y нельзя поставить в соответствие ряд
Фурье. Тем не менее моно определить понятие модуля. Напомним [32. С.48?, что последовательность {?j }?j=1 ? R называетlim d(f? , f ) = 0
ся f -возвращающей для f ? S (R, Y), если j??
(в случае, когда f ? B (R, Y), эта последовательность является f -возвращающей, если и только если справедливо равенство
lim (sup ?(f? (t), f (t))) = 0 ). Мноество Mod(f ), состоящее из
j?? t?R
таких ? ? R, что для кадой f -возвращающей последовательlim exp(i??j ) = 1 (i2 = ?1), называется модулем
ности {?j }?j=1 j??
функции f ? S (R, Y). Имеет место следующая теорема Фавара [32. С.48?: если f, g ? S (R, Y), то Mod(f ) ? Mod(g) в том
и только том случае, если всякая f -возвращающая последовательность является g -возвращающей.
В дальнейшем, если не оговорено специально, считаем, что
(Y, k ╖ k) | сепарабельное банахово пространство. В этом случае [31;32?. для кадой
функции f ? S (R, Y) существует среднее
RT
1
M {f (t)} = lim T 0 f (t) dt ? Y и имеет место соответствие
T ??
l
j
j
()
f t ? a0
+2
X
( )os ?t + b(?)sin ?t,
a?
?
a0
=. a(0),
в котором
ряд называется рядом
Фурье функции f, элементы
.
.
а(?) = M {f (t)os ?t}, b(?) = M {f (t)sin ?t} | коэффициентами
Фурье, суммирование ведется по ? ? ?(f ), где
.
?(f ) = {? ? R : ka(?)k + kb(?)k > 0}
13
| мноество показателей Фурье этого отобраения. Отметим,
что, если ? ? ?(f ), то и ?? ? ?(f ). ?оэтому указанное выше соответствие
моно представлять
в комплекснозначном
виде
P
.
.
c(?)ei?t , где c(?) = a(?) ? ib(?), c(??) = a(?) + ib(?)
f (t) ?
??R
если ? ? ?(f ) и c(?) = 0, если ? ?/ ?(f ). Кроме того, мноество
?(f ) не более чем счетно, и если Mod(?(f )) | модуль мноества ?(f ), т. е. [32. С.46? наименьшая
группа по слоению, содер.
ащая ?(f ), то Mod(f ) = Mod(?(f )) | модуль f ? S (R, Y).
2. ?усть далее (X, ?) | компактное метрическое пространство. Через B (R ╫ X, Y), S (R ╫ X, Y) обозначим совокупность
всех отобраений
(t, x) 7? f (t, x) ? Y, (t, x) ? R ╫ X,
(1.2)
которые п.п. по t ? R в смысле Бора, соответственно в смысле
Степанова равномерно по x ? X. ?о аналогии с конечномерным случаем (см., например, [30;31;57? ) скаем, что функция f
из C (R ╫ X, Y) принадлеит пространству
B (R ╫ X, Y), если
T
для любого ? > 0 мноество EB (f (╖, x), ?) непусто и отноx?X
сительно плотно. Отметим, что отобраение (1.2) принадлеит
B (R ╫ X, Y) в том и только том случае, если f (╖, x) ? B (R, Y)
(sup ?? [f (t, ╖), X?) = 0, где
при кадом x ? X и lim
??0
t?R
[ ( ) ? =. sup
?? f t, ╖ , X
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )<?
(
)
(
)
kf t, x1 ? f t, x2 k.
(1.3)
О п р е д е л е н и е 1.1. Отобраение (1.2) называется п.п. по t ? R в смысле Степанова равномерно по x ? X,
т.е. f ? S (R ╫ X, Y), если оно удовлетворяет одновременно
следующим условиям: при кадом x ? X f (╖, x) ? S (R, Y) и
d? [f, X? = 0, где
lim
??0
[
? =. sup
d? f, X
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )<?
((
) (
))
d f ╖, x1 , f ╖, x2 .
14
(1.4)
Т е о р е м а 1.1.
1)
?>0
для любого
?усть
(
)
f ? S R ╫ X, Y .
Тогда
мноество
\
(( ) )
(1.5)
ES f ╖, x , ?
x?X
непусто и относительно плотно;
2)
где
( ) =. f (t + ?, x),
f? t, x
3)
lim (sup d(f?(╖, x), f (╖, x))) = 0,
sup d(f (╖, x), 0) < ?
имеет место равенство
равномерно по
и
??0 x?X
;
x?X
x?X
существует среднее
1 Z T f (t, x)dt;
( ) =. Tlim
?? T 0
? > 0
T g ? S (R ╫ X, Y) T
ES (f (╖, x), ?)
ES (g(╖, x), ?)
M {f t, x }
4)
для всякой функции
при любом
пересечение мноеств
и
x?X
пусто и относительно плотно.
не-
x?X
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f ? S (R ╫ X, Y), то,
согласно определению 1.1, для заданного ? > 0 найдется такое
? > 0, что d? [f, X? < 2?/3. ?усть точки x1 . . . xp ? X образуют
конечную ? -сеть компакта X. ?осколькуp f (╖, xj ) ? S (R, Y) при
кадом j = 1 . . . p, то [31? мноество T ES (f (╖, xj ), ?/3) непуj =1
сто и относительно плотно, кроме того, при кадом j ? {1 . . . p}
lim d(fh(╖, xj ), f (╖, xj )) = 0 и sup d(f (╖, xj ), 0) < ?. Теперь, исh?0
x?X
пользуя соответствующим образом неравенства
d(f? (╖, x), f (╖, x)) 6 2d(f (╖, x), f (╖, xj )) + d(f? (╖, xj ), f (╖, xj )),
d(f (╖, x), 0)) 6 d(f (╖, x), f (╖, xj )) + d(f (╖, x), 0)), (?, x) ? R ╫ X,
учитывая выбор константы ? > 0 и точек x1 . . . xp ? X, получим
первое и второе утвердение теоремы 1.1.
Далее, т.к. f (╖, x) ? S (R, Y), то при кадом x ? X среднее
M {f (t, x)} существует. Для заданного ? > 0 возьмем ? из относительно плотного мноества (здесь см. первое утвердение)
15
( ( ) 8) и пусть L | число, входящее в определение относительной плотности этого мноества. Тогда для любых
p, q ? N, следуя схеме доказательства существования среднего
[31?, получим следующие соотношения:
Z p+q
Z p
1
1
k
f (s, x)ds ?
f (s, x)dsk 6
p+q 0
p 0
8L sup d(f (╖, x), 0) <
6 2sup d(f? (╖, x), f (╖, x)) +
p x?X
x?X
? 8L
d(f (╖, x), 0),
< +
2 p sup
x?X
из которых, в свою очередь, вытекает третье утвердение.
?риведем, далее, схему доказательства последнего утвердения теоремы 1.1. С этой целью отметим, что, используя первое
и второе утвердение этой теоремы, моно показать, что если
f ? S (R╫X, Y), то для произвольно заданного ? > 0 существуют
такие числа L, ? > 0, что кадый отрезок [a, a+L?, a ? R содерит подотрезок длины ?, все точки которого принадлеат мноеству (1.5). Теперь, учитывая указанное свойство, для функций
f, g ? S (R ╫ X, Y) надо практически повторить доказательство
теоремы существования [31. C.48? общего ?-п. п. для двух функций из пространства S (R, R), что и завершает доказательство
теоремы.
Сейчас определим ряд Фурье для функций из S (R ╫ X, Y).
Из теоремы 1.1 получаем, что для любых f ? S (R ╫ X, Y)
и g ? B (R, R) отобраение (t, x) 7? g(t)f (t, x) принадлеит
S (R ╫ X, Y) и, следовательно, для кадого ? ? R равномерно
по x ? X существует M {f (t, x)e?i?t } =. F (?, x), причем отобраение x 7? F (?, x), x ? X . равномерно непрерывно. Теперь расkF (?, x)k > 0} и через
смотрим мноество (f ) = {? ? R : max
x?X
(f (╖, x)) обозначим мноество показателей Фурье отобраения
f (╖, x) ? S (R, Y) при фиксированном x ? X. Из непрерывности
при кадом ? функции x 7? kF (?, x)k, x ? X и компактности
T
ES f ╖, x , ?/ ,
x?X
16
пространства X, по теореме Вейерштрасса [58. C.251?, получаем
[
(f ) = (f (╖, x)).
(1.6)
x?X
Используя непрерывность функции x 7? kF (?, x)k, моно показать, что для любого не более чем счетного всюду плотного
мноества {x1 , x1 . . . } ? X имеет место равенство
(f ) =
?
[
j =1
(f (╖, xj )),
(1.7)
а т. к. мноество (f (╖, xj )) не более чем счетно, то таковым е
является и (f ).
О п р е д е л е н и е 1.2. ?усть f ? P
S (R ╫ X, Y). Тогда ряд в правой части соответствия f (t, x) ? F (?, x)exp(i?t)
?
называется рядом Фурье отобраения f, (f ) | мноеством
его показателей
Фурье, а F (?, x) | коэффициентами Фурье;
.
Mod(f ) = Mod((f )) | модуль для f.
Далее введем ряд функциональных пространств, а затем укаем некоторые подмноества пространства S (R ╫ X, Y). Для
кадого отрезка T ? R обозначим через V1(T ╫ X, Y) совокупность отобраений f : T ╫ X ? Y, удовлетворяющих условиям:
f (t, ╖) ? C (X, Y) при п.в. t ? T, для кадого x ? X отобраение t 7? f (t, x) ? Y измеримо и существует такая функция
?f ? L1 (T, R), что max kf (t, x)k 6 ?f (t) при п.в. t ? T. На
x?X
V1 (T ╫ X, Y) моно ввести норму (см., например, [36. С.158? )
kf kV (T╫X,Y)
1
Z
= max
kf (t, x)kdt,
x?X
.
T
(
)
f ? V1 T ╫ X, Y .
(1.8)
?олученное нормированное пространство изометрически
изоморфно банаховому пространству L1 T, C (X, Y) и имеет счетное
17
всюду плотное мноество
(T ╫ X, Y) =.
N
nX
j =1
() ()
aj ╖ bj ╖ ,
o
( ) bj ? C (T, R), j = 1 . . . N . (1.9)
З а м е ч а н и е 1.1. В дальнейшем через V1(R ╫ X, Y)
обозначаем совокупность отобраений f : R╫X ? Y, удовлетворяющих условиям, аналогичным для функций из пространства
V1 (T╫X, Y), в которых надо заменить T на R. Используя свойства пространств L1(R, Y) и L1(R, R) (см. [36?, [59{61? ), моно
показать, что отобраение f 7? kf kV (R╫X,Y) , определенное равенством (1.8) при T = R, задает норму в V1(R ╫ X, Y), и что
полученное нормированное пространство сепарабельно и изометрически изоморфно L1 R, C (X, Y).
Далее, через Vloc
1 (R ╫ X, Y) обозначим совокупность таких
функций f : R ╫ X ? Y, что f ? V1(T ╫ X, Y) для кадого
фиксированного отрезка T ? R.
О п р е д е л е н и е 1.3. Функция f ? V1loc(R ╫ X, Y)
удовлетворяет условию А), если для всякого ? > 0
sup
(mes
{s ? [t, t + 1?: ?? [f (s, ╖), X? > ?}) = 0.
(1.10)
lim
??0 t?R
Непосредственно из данного определения вытекает следующая
Л е м м а 1.1.
f ? Vloc
1 (R ╫ X, Y)
А)
(1.11)
sup kf (t, x)k =. k < ?.
N ? N,
aj ? C X, Y ,
1
?усть
условию
удовлетворяет
и
(t,x)?R╫X
lim
d? [f, X? = 0.
??0
Л е м м а 1.2.
Тогда
кова, что при
плотно. Тогда
(
)
Vloc
1 R ╫ X, Y такадом ? >
мноество
.
относительно
f принадлеит S R ╫ X, Y .
?усть функция
0
(
18
f
из
(1 5)
)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?ервое условие определения
1.1 здесь, очевидно, выполняется.. TДалее, по условию для заданного ? > 0 мноество E (?) = ES (f (╖, x), ?/3) относительx?X
но плотно. ?усть L = L(?/3) | число, входящее в определение
относительной плотности этого мноества. Так как мноество
([0, L + 1? ╫ X, Y) (см. (1.9) при T = [0, L + 1? ) всюду плотно в
пространстве V1([0, L + 1? ╫ X, Y), то lim
f(? ) = 0, где
??0
( )=
.
f?
Z L+1
0
[( ) ?
(1.12)
?? f s, ╖ , X ds.
Выбираем ?0 > 0 такое, что f(? ) < ?/3 для всехT ? ? (0, ?0 ? и
произвольного t ? R фиксируем ? ? [?t, ?t + L? E (?). Откуда
для всех x1 , x2 ? X, удовлетворяющих неравенству ?(x1 , x2 ) 6 ?,
получаем следующие соотношения:
Z t+1
( ) ( )
6 2sup d(f? (╖, x), f (╖, x)) + f(? ) < 2?/3 + ?/3,
t
kf s, x1 ? f s, x2 kds 6
x?X
т.е. (см. обозначение (1.4)) d? [f, X? 6 ? при всех ? ? (0, ?0 ?.
С л е д с т в и е 1.1.
S R, C (X, Y) ? S (R ╫ X, Y).
Л е м м а 1.3.
f ? S R, C (X, Y) .
Имеет место включение
?усть
(sup
lim
??0
t?R
Z t+1
Тогда
[ ( ) ? ) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f ? S
для заданного ? > 0 мноество
(
3) = {? ? R : sup
ES f, ?/
.
t?R
Z t+1
t
(1.13)
?? f s, ╖ , X ds
t
(
) то
R, C X, Y ,
max
kf (s + ?, x) ? f (s, x)kds < ?/3}
x?X
19
относительно плотно. ?оэтому существует Tтакое L > 0, что при
кадом t ? R существует ? ? [?t, ?t + L? ES (f, ?/3) и, следовательно, при кадом t ? R имеем неравенства
Z t+1
Z t+1
2?
?? [f (s, ╖), X?ds 6 2sup max kf? (s, x)?f (s, x)kds + f(? ) < + f(? ),
3
t?R t x?X
t
где f(? ) задано равенством (1.12). Теперь осталось воспользоваться тем, что lim
f(? ) = 0.
??0
С л е д с т в и е 1.2.
f,
S R, C (X, Y) ,
А).
Л е м м а 1.4.
f ? Vloc
1 (R ╫ X, Y)
f (╖, x) ? S (R, Y)
А) (1.11).
x ? X,
f ? S R, C (X, Y) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f удовлетворяет условиям А) и. (1.11), то для заданного ? > 0 найдется
? > 0, отвечающее ? = ?/2, что
sup(mes{s ? [t, t + 1?: ?? [f (s, ╖), X? > ?/3}) < ?/16k.
Всякая функция
щая
удовлетворяет условию
ряет условиям
и
?усть
кадом
принадлеа-
и удовлетво-
Тогда, если
при
то
t?R
Теперь рассмотрим конечную ? -сеть {x1 . . . xp} ? X компакта
X и зафиксируем точку ? из относительно плотного мноеp
ства T ES (f (╖, xj ), ??/24p). ?о теореме о максимуме [62. С. 27?
j =1
для кадого t ? R найдется такое измеримое отобраение
x : [t, t + 1? ? X, что при п.в. s ? [t, t + 1? выполнено равенkf? (s, x) ? f (s, x)k = kf? (s, x(s)) ? f (s, x(s))k. ?олагаем
ство max
x?X
.
Mj (t) = {s ? [t, t + 1? : ?(x(s), xj ) < ?}, j = 1 . . . p, и пусть
j?
S1
.
.
T1 (t) = M1 (t), Tj (t) = Mj (t) \
Mk (t), 2 6 j 6 p. Тогда (наk =1
помним, что ? = ?/2 )
Z t+1
t
kf? (s, x) ? f (s, x)kds 6
max
x?X
20
2 mes{s ? [t, t + 1?: kf? (s, x(s)) ? f (s, x(s))k > ?} + 2? 6
6 k
6
2 + 2k
?
6
p
X
j =1
mes{s ? Tj (t): kf? (s, x(s)) ? f (s, x(s))k > ?} 6
?
k sup(mes{s ? [t, t + 1?: ?? [f (s, ╖), X? > }) +
+
4
2
3
?
t?R
+2k
p
X
j =1
mes{s ? [t, t + 1?: kf? (s, xj ) ? f (s, xj )k > ?3 } 6
?
p
6
kX
+
d f (╖, x ), f (╖, x ) < ?,
j
3 ? j=1 ? j
и тем самым лемма 1.4 доказана.
Далее, известно [31?, что для кадой п.п. по Степанову функции t 7? f[t?(╖) ? C (X, Y) существует такая п.п. по Бору функция
t 7? fh [t?(╖) ? C (X, Y), (h > 0), что
6
sup
t?R
Z t+1
k f s ╖ ? fh s ╖ kC (X,Y) ds
[ ?( )
t
[ ?( )
= 0.
?оскольку V1loc(R ╫ X, Y) ?= Lloc
1 (R, C (X, Y)), то соответствующий результат
справедлив
и
при
представлении функции из
S R, C (X, Y) в виде отобраения (1.2). Для удобства ссылок
приведем это утвердение в виде следующей теоремы.
(1.2),
Т е о р е м а 1.2.
S (R, C (X, Y)),
t+h
h>0
(t, x) 7? f (t, x; h) =. h1 R f (s, x)ds ? Y
Для кадой функции
дом
п. п. по
принад-
отвечающее ей при ка-
леащей пространству
отобраение
t?R
t
в смысле Бора равномерно по
(sup
lim
h?0
t?R
Z t+1
t
x?X
и при этом
|f (s, x) ? f (s, x; h)|ds) = 0.
max
x?X
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, т.к. функция
( ) то по лемме 1.3 для заданного ? > 0 най-
f ? S R, C X, Y ,
21
дется такое ? > 0, что sup Rtt+1 ?? [f (s, ╖), X?ds < ?/3. ?о этоt?R
му ? строим конечную ? -сеть x1 . . . xp компакта X. ?о теореме
о максимуме [62? для кадого t ? R найдется такое измеримое отобраение x : [t, t + 1? ? X, что при п.в. s ? [t, t + 1?
kf (s, x) ? f (s, x; h)k = kf (s, x(s)) ? f (s, x(s); h)k. ?олагаем
max
x?X
.
Mj (t) = {s ? [t, t + 1? : ?(x(s), xj ) < ?}, j = 1 . . . p, и пусть
j?
S1
.
.
T1 (t) = M1 (t), Tj (t) = Mj (t) \
Mk (t), 2 6 j 6 p. Тогда
Z t+1
t
=
6
p Z
X
j =1
+
Z
p Z
X
j =1
k =1
max
kf (s, x) ? f (s, x; h)kds =
x?X
Tj (t)
( ( )) ? f (s, x(s); h)kds 6
kf s, x s
( ( )) (
) +
kf s, x s ?f s, xj kds
Tj (t)
(
; )
( ( ); )
Z
kf s, xj h ? f s, x s h kds 6
Tj (t)
p
X
(
) (
; ) +
kf s, xj ?f s, xj h kds
Tj (t)
3sup
t?R
Zt+1
?? f s, ╖ , X ds
[( ) ? +
t
p
X
+ d(f (╖, xj ), f (╖, xj ; h)) < 3?/2 + d(f (╖, xj ), f (╖, xj ; h)),
j =1
j =1
поскольку
p Z
X
kf (s, xj ; h) ? f (s, x(s); h)kds 6
j =1
6
Z t+1+h
(1
Tj (t)
p Z
X
j =1
Z
Tj (t)
Z s+h
1
(
?? [f (?, ╖), X?d? )ds 6
h
s
s
Z t+2
[ ( ) ? ) sup
?? [f (s, ╖), X?ds.
t?R t
Для завершения доказательства теоремы 1.2 осталось воспользоваться тем, что при кадом j п.п. по Бору функция f (╖, xj ; h)
6
t
h
?? f ?, ╖ , X ds d? 6
s?h
22
является стекловским усреднением для f (╖, xj ) ? S (R, Y) и, следовательно [31?, lim
d(f (╖, xj ), f (╖, xj ; h)) = 0.
h?0
3. В этом пункте приведем связь меду п.п. функциями и
п.п. последовательностями.
f ? S (R ╫ X, Y).
Л е м м а 1.5.
?>0
\ \
aZ
ES f (╖, x), ?)
(a > 0)
(1.14)
Тогда для любого
?усть
мноество
x?X
непусто и относительно плотно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольную aпериодическую по t равномерно по x ? X .функцию g, приkg1 (x)k > 0,
надлеащую Vloc
1 (R ╫ X, Y), такую, что g? = min
x?X
.
где g1(x) = M {g(t, x)exp(? 2a?i t)}, и покаем, что для произвольного
?1 ? (0, T
2g? ) найдется такое ? = ?(?1 , a) > 0, что
T
6 ?. ДействительES (g(╖, x), ?1 ) {? ? R : |? | < ? (mod a)} =
x?X
но, если ? принадлеит первому мноеству в этом пересечении,
то из неравенств
g? ╖ |e ? ? 1| 6 kg1 (x)k ╖ |e ? ? 1| 6 sup d g? (╖, x), g(╖, x)
x?X
??
и выбора ?1 получаем, что | sin( a )| < | sin( ??4g )|. Откуда, выбирая l ? Z таким,. что |?? /a ? ?l| 6 ?/2, будем иметь неравенство |? ? la| < ? = (?1 a/4g? ), т.е. ? принадлеит мноеству
{? ? R : |? | < ? (mod a)}. Далее, поскольку f ? S (R ╫ X, Y),
то, в силу теоремы 1.1, найдется такое ? = ?(?/2) > 0, что
sup d fh(╖, x), f (╖, x) 6 ?/2 при |h| 6 ?. ?оэтому для всякого
x?X T
T
ES f (╖, x), ?/2) отрезок [? ? ?, ? + ? ? ?
ES f (╖, x), ?).
? ?
x?X
x?X
Теперь выбираем ?1 ? (0, ?/2) так, чтобы для функции g отвечающее ему ? = ?(?1 , a) принадлеало (0, ?). Так как g принадлеит пространству S (R ╫ X, Y), то мноество
\
. \
ES (f (╖, x), ?1 ) ES (g(╖, x), ?1 )
E (?1 ) =
2?i
2?i
a
a
1
?
x?X
23
относительно плотно. ?окаем, что оно содерится в мноестве,
определенном в (1.14). В самом деле, если ? ? E (?1 ), то, как было
показано выше, Tнайдется такое l ? Z, что |? ? la| < ?, а т. к.
ES (f (╖, x), ?). Нуное включение доказано, а
? < ?, то la ?
x?X
вместе с ним и утвердение леммы 1.5.
С л е д с т в и е 1.3. T
f ? S (R, Y).
?>0
aZ ES (f, ?)
?усть
мноество
бого
Тогда для лю-
непусто и относительно
плотно.
?о аналогии с определением числовой п.п. последовательности [63; 64? скаем, что последовательность {xm }m?Z банахового
пространства (.X, k ╖ kX ) п.п., если для любого ? > 0 мноество
E ({xm }m?Z , ?) = {n ? Z : sup kxm+n ?xm kX < ?} ее ?-п. п. относиm?Z
тельно плотно. Отметим, что для кадой п.п. последовательноq?1
lim 1q P xm ? X, и для
сти {xm }m?Z ? X существует среднее q??
m=0
любых двух п.п. последовательностей {xmT}m?Z , {ym }m?Z ? X
при всяком ? > 0 мноество E ({xm }m?Z , ?) E ({ym }m?Z , ?) 6= ?
и относительно плотно.
О п р е д е л е н и е 1.4. ?оследовательность {fm}m?Z
отобраений
(1.15)
(t, x) 7? fm(t, x) ? Y, (t, x) ? [0, a? ╫ X
называется п.п. равномерно по x ? X, если при кадом x ? X
последовательность {fm (╖, x)}m?Z содерится в L1([0, a?, Y), является п.п. (т.е. для любого ? > 0 мноество
Z a
.
E ({fm (╖, x)}m?Z , ?) = {n ? Z : sup
kfm+n(t, x) ? fm (t, x)kdt < ?}
m?Z 0
относительно плотно) и, кроме того, lim
d? [{fm }m?Z , X? = 0, где
??0
[
? = sup (sup
d? {fm }m?Z , X
.
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )6?
m?Z
24
Z
a
0
(
)
(
) )
kfm t, x1 ? fm t, x2 kdt .
Л е м м а 1.6.
{fm }m?Z
(1.15)
x ? X.
f : R ╫ X ? Y,
m?Z
[ma, (m + 1)a? ╫ X
.
f (t + ma, x) = fm (t, x), (t, x) ? [0, a? ╫ X,
(1.16)
S (R ╫ X, Y).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если n ? Z и x ? X, то
Z a
(1.16) 2
da f (╖ + na, x), f (╖, x) 6
sup
kfm+n(s, x) ? fm (s, x))kds.
a m?Z 0
Кроме того, если x1, x2 ? X и ?(x1 , x2 ) 6 ?, то
2
da f (╖, x1 ), f (╖, x2 ) 6 d? [{fm }m?Z , X?.
a
Для завершения доказательства воспользуемся (1.1).
Из следствия 1.3 и определения 1.1 вытекает
Л е м м а 1.7.
f ? S (R╫X, Y).
{fm }m?Z
(1.15),
m?Z
(1.16),
?усть последовательность
браений
ото-
п. п. равномерно по
Тогда функция
определенная при кадом
на мноестве
равенством
принадлеит пространству
?усть функция
Тогда по-
отобраений
следовательность
ная при кадом
равенством
определелен-
является п. п. рав-
x ? X.
номерно по
Теперь из лемм 1.5{1.7 и теоремы 1.1 получаем
f ? S (R ╫ X, Y)
С л е д с т в и е 1.4.
{fm }m?Z
(1.15),
m?Z
x ? X.
(1.16),
С л е д с т в и е 1.5.
(1.15)
x ? X.
в том и
Функция
только в том случае, если последовательность
браений
определенная при кадом
ото-
равенством
является п. п. равномерно по
?усть последовательность функ-
ций
п. п. равномерно по
мноество
\
x?X
относительно плотно и
Тогда при кадом
( )
E {fm ╖, x }m?Z , ?
sup sup R kfm(t, x)kdt < ?.
a
x?X m?Z 0
25
?>
0
(1.17)
Л е м м а 1.8.
?>0
?усть последовательность
браений, принадлеащая
любого
мноество
V1
(1.17)
([0, a? ╫ X, Y),
{fm }m?Z
ото-
такова, что для
непусто и относительно плот-
но. Тогда эта последовательность п. п. равномерно по
x ? X.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим, заданное равенством (1.16) отобраение f : R╫X ? Y. Неслоно показать, что
f ? Vloc
1 (R ╫ X, Y) и при кадом ? > 0 мноество (1.5) непусто
и относительно плотно. ?оэтому по лемме 1.2 f ? S (R ╫ X, Y),
а в силу леммы 1.7 отвечающая ей последовательность {fm}m?Z
будет п.п. равномерно по x ? X.
С л е д с т в и е 1.6.
{fm }m?Z
L1 [0, a?, C (X, Y)
?усть последовательность
браений
из
ото-
п. п. Тогда она явля-
ется п. п. равномерно по
x ? X.
?риведем сейчас связь мноества показателей Фурье п.п.
функции и отвечающей ей п.п. последовательности.
Л е м м а 1.9.
{fm }m?Z ? L1 ([0, a?, Y)
{ql }?
lim ql = ?
l=1 , l??
t ? [0, a?
qX
?1
1
fm (t).
(1.18)
lim
Если последовательность
п. п., то найдется последовательность
кая, что для п. в.
та-
существует предел
l
l?? ql
m=0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность
{fm }m?Z из L1 ([0, a?, Y) является п.п., то существует
q?1
X
lim 1 fm ? L1([0, a?, Y).
q??
q?N
q
m=0
Откуда вытекает, что последовательность отобраений
q?1
1X
t 7?
fm (t) ? Y, t ? [0, a?
q
m=0
26
является фундаментальной по мере, а значит, по теореме Рисса
[36. С. 86?, найдется такая последовательность {ql }?l=1 ? N, что
lim ql = ? и для п.в. t ? [0, a? существует предел (1.18).
l??
С л е д с т в и е 1.7.
{fm }m?Z ? L1 ([0, a?, Y)
?усть последовательность
п. п. Тогда для кадого
ность
{ql }?
l=1 ,
??R
lim ql = ?,
l??
найдется такая последователь-
что для п. в.
t?
[0, a?
?1
1 qX
.
fm (t)e?i?m = F? (t).
lim
l?? q
l
l m=0
существует
(1.19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?ри кадом ? ? R числовая
последовательность {e?i?m}m?Z является п.п. и следовательно
последовательность {fm e?i?m}m?Z будет п.п. Сейчас осталось
воспользоваться утвердением леммы 1.9.
О п р е д е л е н и е 1.5. ?усть последовательность
{fm }m?Z ? L1 ([0, a?, Y)
является п.п. Тогда мноество ({fm }m?Z ), состоящее из таких
? ? R, что для п.в. t ? [0, a? kF? (t)k > 0 называется мноеством показателей
Фурье этой последовательности,
а мноество
.
Mod({fm }m?Z ) = Mod ({fm }m?Z ) | ее модулем.
Далее приведем практически элементарное доказательство
следующей теоремы И.Я.Шнейберга [65?.
Т е о р е м а 1.3.
(1.20)
({fm }m?Z ) = a(f ) + 2?Z,
{fm }m?Z ? L1 ([0, a?, Y)
f ? S (R, Y).
Имеет место равенство
отвечает
где п. п. последовательность
функции
27
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть f (t) ? P A(?)ei?t . То?
гда (см. (1.19)) при кадом k ? Z
?
A
a
qX
?1 Z a
?k 1
2
+ a = s??
lim qsa
fm (t)e?i?m e?i
0
Z a m=0
= 1 F (t)e?i te?i tdt,
s
a 0
e?i
2?k
a
t
dt
=
2?k
?
a
?
?
t
a
a
т.е. число A( ?a + 2?ka ) совпадает с k-м коэффициентом Фурье
отобраения (см. (1.19)) t 7? F? (t)e?i t. Кроме того,
o
n
? 2?k . [
6= 0 = a(f ) + 2?Z.
? ? R: A
A=
+
?
a
a
k?Z
a
?оэтому для доказательства равенства (1.20) достаточно показать, что ({fm }m?Z ) = A. Для доказательства последнего равенства заметим сначала, что F?(t) = 0 для п.в. t ? [0, a? в
том и только в том случае, когда F?(t)e?i t = 0 при п.в. t ?
[0, a?. Теперь изaопределения 1.5 и доказанного выше равенства
1 R F? (t)e?i t e?i t dt получаем: ({fm }m?Z ) ? A.
A( ?a + 2?k
a ) = a
0
Далее, если ? не принадлеит мноеству ({fm }m?Z ), то для
п.в. t ? [0, а? F? (t)e?i t = 0. Следовательно, по теореме о
единственности разлоения функций в ряд Фурье [61. C.419?
A( ?a + 2?k
a ) = 0 для всех k ? Z. ?оэтому ({fm }m?Z ) = A.
Рассмотрим, далее, п.п. равномерно по x ? X последовательность отобраений (1.15). ?о определению 1.4 при кадом x ? X
последовательность {fm (╖, x)}m?Z ? L1([0, a?, Y) является п.п.
Обозначим (см. определение 1.5) через ({fm (╖, x)}m?Z ) мноество ее показателей Фурье.
О п р е д е л е н и е 1.6. ?усть задана последовательность {fm}m?Z функций (1.15) п.п. равномерно относительно
?
a
?
a
2?k
a
?
a
28
x ? X.
Тогда мноество
[
({fm }m?Z ) =. ({fm (╖, x)}m?Z )
(1.21)
x?X
называется мноеством показателей Фурье этой последовательности.
Т е о р е м а 1.4.
f ? S (R ╫ X, Y)
?усть функция
{fm }m?Z
и
x ? X
| отвечающая ей п. п. равномерно по
после-
довательность отобраений, определенных при кадом
({fm }m?Z )
(f )
f
(1.20).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утвердение теоремы 1.3 вытекает из следующей цепочки равенств:
[
({fm }m?Z ) (1=.21) ({fm (╖, x)}m?Z ) (1=.20)
равенством
(1.16).
m?Z
Тогда мноество
показателей
Фурье этой последовательности связано с мноеством
показателей Фурье функции
равенством
x?X
[
(a f (╖, x) + 2?Z) = a
x?X
[
x?X
С л е д с т в и е 1.8.
(1.15)
({fm }m?Z )
f (╖, x) + 2?Z) (1=.6) a(f ) + 2?Z.
?усть последовательность
является п. п. равномерно по
браений
гда мноество
x ? X.
отоТо-
не более чем счетно и для любо-
го фиксированного счетного всюду плотного в
X
мноества
({fm }m?Z ) = ({fm (╖, xj )}m?Z ).
j =1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отвечающую нашей последовательности (см. равенство (1.16) леммы 1.6) функцию f ? S (R ╫ X, Y). Теперь из соотношений
{x1 , x2 , . . . }
?
[
j =1
точек из
?
S
X
({fm (╖, xj )}m?Z ) (1=.20) a
(1.7)
?
[
j =1
f (╖, xj ) + 2?Z (1=.7)
= a (f ) + 2?Z = ({fm }m?Z )
29
получаем нуное равенство, и т.к. по теореме 1.3 при кадом
j ? N мноество ({fm (╖, xj )}m?Z ) не более чем счетно, то и
мноество ({fm }m?Z ) не более чем счетно.
4. В дальнейшем нам понадобится следующая
f ? S (R, Y)
Т е о р е м а 1.5.
и
?усть заданы функция
отвечающая ей п. п. последовательность
{fm }m?Z ? L1
([0, a?, Y),
( ) =. fma(t),
fm t
?усть таке задан сходящийся числовой ряд
Тогда из любого неограниченного мноества
t?
?
P
k =0
[0, a?.
ak ,
Q?N
где
моно вы-
lim = ?,
(0 ?, j??
lim ?j? = 0,
?
qi
делить такую последовательность {qi }i=1 ,
i??
?
?
всякой заданной последовательности {?j }j =1 ?
,a
моно извлечь такую подпоследовательность
п. в.
??
[0, a?
будут выполнены равенства:
Z ?
qX
?1
1
1
lim lim
j?? i?? q a
?
i
m=0
qX
?
i ?1 X
i
lim lim 1
j?? i?? qi a
j
0
{?j }?
j =1 ,
( + ?) ? fm(?)kdt = 0,
j
kfm t
Z
ak ?j
kfm+k t
?j 0
m=0 k =0
0
ak > .
что из
что для
(1.22)
( + ?) ?fm+k (?)kdt = 0. (1.23)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для кадого k ? Z+ рассмотрим
последовательность
функций {gm+k }m?Z ? (L, k ╖ kL ),
.
L = L1 [0, a?, C ([0, a?, R) , определенную при всяком m ? Z равенством
Z ?
.
gm+k (?, ? ) =
kfm+k (t + ?) ? fm+k (?)k dt, 0 6 ?, ? 6 a.
0
?оскольку при всех
k ? Z+
и
n?Z
sup kgm+k+n ? gm+k kL =.
m?Z
30
=. sup
m?Z
Z
a
max kgm+k+n(?, ?) ? gm+k (?, ?)kd? 6
??[0,a?
0
6
3 sup
m?Z
Z
a
0
()
()
kfm+n t ? fm t kdt,
то последовательность {gm+k }m?Z является равностепенно п.п.
относительно k ? Z+, и для любого ? > 0
\
E (fm }m?Z , ?/3) ?
E ({gm+k }m?Z , ?).
m?Z+
?оэтому из определения этой последовательности, следуя схеме доказательства соответствующего утвердения для числовых
п.п. последовательностей [63. С.178?, моно показать, что для кадого ? > 0 найдется такое l = l(?) ? N, что при всех j ? N
sup k
k?Z+
1 R t+a
j+
k?1
X
m=k
gm ?
j?1
X
m=0
4
gm kL 6 a2 lF
+ 4? j,
где F =. sup a t kf (s)kds. В свою очередь, последнее неравенt?R
ство, позволяет доказать, что при всех q ? N, для последовательности функций {cq }q?N ? L, в которой
q?1
. 1 X
cq (?, ? ) =
gm (?, ? ),
qa
m=0
имеет место следующее неравенство:
sup kcq+k ? ck kL 6 2? + 8aqlF .
2
k?Z+
Стало быть, последовательность {cq }q?N ? L является фундаментальной. ?оэтому в силу полноты пространства (L, k ╖ kL)
найдется такая функция c ? L, что будет выполнено равенство
Z a
.
lim kcq ? ckL = q??
lim ??max
kc (?, ? ) ? c(?, ? )kd? = 0, (1.24)
q??
[0,a? q
0
31
и т.к. q??
lim ( sup kcq+k ? cq kL) = 0, то q??
lim ( sup kcq+k ? ckL) = 0.
k?Z
k?Z
?оэтому, полагая
+
A
?
. X
=
k =0
+
?
. X
( )=
ak , bq ?, ?
k =0
( )
ak cq+k ?, ? , q ? Q ? N,
0 6 ?, ? 6 a,
получаем равенство q??
lim kbq ? AckL = 0. Теперь, учитывая определение k ╖ kL, из (1.24) и последнего предельного равенства
получаем, что найдется такая последовательность {qi}?i=1 ? Q,
lim qi = ?, для которой при п.в. ? ? [0, a? будут иметь место
i??
при i ? ? следующие предельные соотношения:
?
q ?1
?
1 P gm (?, ?) ? c(?, ?),
?
?
?q a
m=0
??[0,a?
(1.25)
qP
?1 P
?
?
1
?
?
ak gm+k (?, ? ) ? Ac(?, ? ).
?q a
i
i
i
i
m=0 k =0
??[0,a?
Рассмотрим далее .мноество функций {?? , ? ? (0, a?} из
([0
L1 , a?, R), где ?? (?) = ?1 c(?, ? ), ? ? [0, a?. ?окаем, что
Z
a
?? (?)d? = 0.
(1.26)
lim
??0 0
Действительно, при кадом ? ? (0, a? имеем следующие соотношения:
Z a
Z
qX
?1 Z ?
1
(1.25) 1 a
?? (?)d? =
kfm (t + ?) ? fm (?)kdt)d? =
( lim
i
0
? 0
i?? qi a
m=0
0
qX
?1 Z a Z ?
= ?1 i??
( kfm (t + ?) ? fm(?)kdt)d? =
lim q1a
i
= ?1 i??
lim q1a
i
i m=0
Z
1
qX
?
i
? Z a
m=0
0
(
0
0
0
( + ?) ? fm(?)kd?)dt 6 sup da(ft, f ).
kfm t
t?[0,??
32
Откуда, принимая во внимание, что lim
sup
da (ft , f ) = 0, по??0 t?[0,??
лучаем равенство (1.26), из которого, в свою очередь, вытекает,
что из любой, стремящейся к нулю при j ? ? последовательности {?j? }?j=1 ? (0, a? моно выделить такую подпоследовательность {?j }?j=1, что для п.в. ? ? [0, a? j??
lim ?? (?) = 0. Теперь из
(1.25) получаем нуные равенства (1.22), (1.23).
j
2.
?ространство мерозначных п. п.функций
1. В этом пункте приведем необходимые для дальнейшего
определения и обозначения.
Для фиксированного U ? omp(Rm) определим следующие
мноества
frm(U) =. {? ? frm(Rm): supp(? ) ? U},
rpm(U) =. {? ? rpm(Rm ): supp(? ) ? U},
где frm(Rm ) | линейное пространство мер Радона на Rm и
rpm(Rm) | его подмноество, состоящее из вероятностных мер
Радона, supp(? ) | носитель меры ?. Через DIR(U) обозначим
совокупность мер Дирака ?u , сосредоточенных в точках u ? U.
В дальнейшем в силу теоремы Рисса [36. С.138? кадую меру
? ? frm(U) рассматриваем как отобраение
()
() =
c ╖ 7? h?, c u i
.
Z
( ) ( ) ()
(
)
c u ? du , c ╖ ? C U, R ,
U
принадлеащее C (U, R)?, и в. связи с этим ее вариацию |?|(U)
определяем равенством |?|(U) = sup |h?, c(u)i|. На мноеkck
61
стве frm(U) моно задать (слабую) норму [31. С.138?
?
2?j
. X
|?|w =
1 + kcj kC (U,R) ╖ h?, cj (u)i, ? ? frm(U),
j =1
C (U,R)
33
где функции cj , j ? N принадлеат счетному всюду плотному
в C (U, R) мноеству C(U, R) ? C (U, R). ?олученное нормированное пространство (frm(U), | ╖ |w ) сепарабельно, и если
.
?w (?1 , ?2 ) = |?1 ? ?2 |w ,
то метрическое пространство (rpm(U), ?w ) компактно. Отметим
таке, что отобраение u 7? ?u ? DIR(U) ? (rpm(U), ?w ), u ? U
является гомеоморфизмом.
Обозначим через M =. M R, frm(U) совокупность таких измеримых отобраений ╡ : R ? (frm(U), | ╖ |w ), что
.
k╡k = esssup |╡(t)|(U) < ?.
t?R
Моно показать, что ╡ ? M в том и только в том случае, если
для всякой функции c ? C (U, R), отобраение t 7? h╡(t), c(u)i,
t ? R измеримо. Кроме того, если ╡ ? M, то для любой функции
.
? ? V1 = V1 (R ╫ U, R) (см. замечание 1.1) отобраение
() ( ) =
.
t 7? h╡ t , ? t, u i
Z
( ) ( )( )
? t, u ╡ t du
U
(2.1)
принадлеит L1(R, R). Незначительно изменив схему доказательства теоремы Данфорда{?еттиса
[36. С.299? о структуре пространства V1(T ╫ U, R)? для случая, когда T ? omp(R), моно показать, что M ?= V?1. ?оэтому в дальнейшем кадое ╡ ? M
рассматриваем как функцию
? 7?
Z
R
() ( )
h╡ t , ? t, u idt
(2.1)
=
Z
R
Z
( ) ( )( ) dt,
? t, u ╡ t du
U
? ? V1 ,
принадлеащую пространству V?1. Далее, отобраение
Z
?
?j
2
. X
╡ 7? k╡kw =
1 + k?j kV ╖ | Rh╡(t), ?(t, u)idt|, ╡ ? M,
j =1
1
34
где {?1 , ?2 , . . . } ? V1 | счетное всюду плотное мноество в
V1 , задает норму в M. ?олученное нормированное пространи два его подмноества
ство .(M, k╖kw ) является сепарабельным,
.
M1 = M(R, rpm(U)), S1 = {╡ ? M : k╡k 6 1} компактны, приlim k╡j ? ╡kw = 0 в том и только
чем если ╡j , ╡ ? S1 , j ? N, то j??
в том случае, если для кадой функции ? ? V1 справедливо
равенство
lim
Z
j?? R
() ( ) =
h╡j t , ? t, u idt
Z
R
() ( )
h╡ t , ? t, u idt.
(2.2)
.
?усть, далее, M(1)
1 = {╡ ? M1 : ╡(t) = ?u(t) при п.в.
t ? R и некотором u : R ? U} и U | совокупность всех
измеримых отобраений u : R ? U. Тогда, во-первых, если
(1)
╡(╖) = ?u(╖) ? M1 , то u(╖) ? U, а во-вторых, отобраение
(1)
u(╖) 7? ?u(╖) ? M1 , u(╖) ? U биективно. Следовательно, кадое
(1)
u(╖) ? U моно рассматривать как элемент из M1 ? M1 , отодествляя его с отобраением t 7? ?u(t) , t ? R.
2. Введем далее понятие мерозначной п.п. функции.
О п р е д е л е н и е 2.1. Отобраение ╡(╖), принадлеащее M =. M R, frm(U), называется п.п. по Степанову, если
для любой функции c ? C (U, R), отобраение t 7? h╡(t), c(u)i
принадлеит пространству S (R, R).
Совокупность
всех п.п. по Степанову отобраений
из M обо.
.
значим AP M = AP M (U), и через AP M1 = AP M1 (U) обозначим
мноество AP M T M1.
Сделаем ряд замечаний по поводу определения 2.1.
З а м е ч а н и е 2.1. Неслоно показать, что ╡ ? AP M
в том и только в том случае, если для кадой функции c ? C(U, R)
(напомним, что C(U, R) | счетное, всюду плотное в C (U, R)
мноество функций из C (U, R) ) отобраение t 7? h╡(t), c(u)i,
далее пишем просто h╡(╖), c(u)i, принадлеит S (R, R).
35
З а м е ч а н и е 2.2. Аналогично определению 2.1 моно задать почти периодичность функций из пространства M и в
другом смысле, например в смысле Вейля или Безиковича
[31?. В
частности, отобраение ╡ ? C R, (frm(U), | ╖ |w ) называется п.п.
по Бору (пишем ╡ ? B (R, frm(U) ), если для кадой функции
c ? C (U, R) (или c ? C(U, R) ) отобраение h╡(╖), c(u)i принадлеит B (R, R).
З а м е ч а н и е 2.3. ?оскольку f = (fj )nj=1 ? S (R, Rn)
в том и только в том случае, если при кадом j = 1 . . . n
fj ? S (R, R), и т. к. интегрирование функций из C (U, Rn ) по мере ╡(t) ? frm(U) покоординатное, то ╡ ? AP M в том и только в
том случае, если для кадой функции c ? C (U, Rn) отобраение
h╡(╖), c(u)i ? S (R, Rn ).
З а м е ч а н и е 2.4. Из определения нормированного
пространства M =. M(R, (frm(U), | ╖ |w )) следует возмоность
задания на нем d? -расстояния
w
( ) =. sup
d?w ╡, ?
t?R
Z t+1
t
()
()
|╡ s ? ? s |w ds,
╡, ? ? M.
(2.3)
?оэтому почти периодичность ╡ из M моно определить в смысле пространства S (R, frm(U)), т. е. (см. п.1 из первого раздела)
╡ ? S (R, frm(U)), если для любого ? > 0 мноество
.
ES (╡, ?) = {? ? R : d? (╡? , ╡) 6 ?}
относительно плотно.
╡ ? S (R, frm(U))
Л е м м а 2.1.
2.1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ╡ ? AP M, то, используя
неравенство
j
X
2?j ╫
d? (╡? , ╡) 6
1 + kc k
w
в том и
Отобраение
только в том случае, если оно п. п. по Степанову в смысле определения
0
w
j =1
36
j C (U,R)
╫
sup
t?R
Z t+1
()
() ()
|h╡? s ? ╡ s , cj u i|ds
t
+ k╡k
?
X
j =j0+1
2?j+1,
где j0 ? N, и замечание 2.1, неслоно показать, что ╡ принадлеит S (R, frm(U)). И наоборот, если ╡ ? S (R, frm(U)), то для
доказательства того, что ╡ ? AP M, надо воспользоваться неравенством
Z t+1
|h╡? (s) ? ╡(s), c(u)ids 6
sup
t?R t
6 2k╡k ╖ kc ? cj kC (U,R) + 2j (1 + kcj kC (U,R) )d? (╡? , ╡),
справедливого для всякой функции c ? C (U, R), любом фиксированном j0 ? N и кадом ? ? R.
Таким образом, почти периодичность отобраения ╡ ? M
в смысле определения 2.1 равносильна его почти периодичности в смысле пространства S (R, frm(U)). Однако при исследовании структуры пространства мерозначных п.п. отобраений
удобнее пользоваться определением 2.1. Отметим таке, что доказанная лемма 2.1 обосновывает некоторые определения пространства AP M. В частности, теперь естественно следующее
О п р е д е л е н и е 2.2. Мноество A ? AP M называется равностепенно п.п., если для кадой функции c ? C (U, R)
подмноество {h╡(╖), c(u)i, ╡(╖) ? A} из S (R, R) является равностепенно п.п.
?усть, далее,
(1) .
AP M1 = {╡ ? AP M1 : ╡(t) = ?u(t)
(2.4)
при п.в. t ? R и некотором u : R ? U}.
Л е м м а 2.2.
u(╖) ? S (R, U)
0
0
w
0
Функция
том случае, если отобраение
в том и только в
(1)
?u(╖) ? AP M1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть
как AP M1(1) ? M(1)
1 , то функция u :
37
(1)
Так
измерима и
?u(╖) ? AP M1 .
R ? U
(см.замечание 2.3) отобраение h?u(╖) , c(u)i =. c(u(╖)) принадлеит S (R, Rm) для кадой функции c(╖) ? C (U, Rm ). Взяв
c(u) ? u, получаем, что u(╖) ? S (R, U). ?усть теперь функция
(1)
u(╖) ? S (R, U). ?окаем, что ?u(╖) ? AP M1 . Действительно,
т.к. U ? omp(Rm ), то кадая функция c ? C (U, R) равномерно
непрерывна. Следовательно, если c ? C (U, R), то для произвольного ? > 0 найдется такое ? = ?(?), что |c(u1 ?c(u2 )| < ?/2, если
|u1 ? u2 | 6 ?, u1 , u2 ? U. Докаем, что относительно плотное
мноество ES (u, ??/4? ), ? =. kck. C (U,R) , содерится в ES (c?u, ?).
?усть ? ? ES (u, ??/4? ) и F (t) = {s ? [t, t +1?: |u? (s) ? u(s)| > ?},
t ? R. Тогда из следующих соотношений
Z
?
d(c ? u? , c ? u) 6 sup
|c(u(s + ? )) ? c(u(s))|ds + 6
2
t?R F (t)
2? d(u , u) + ?/2 6 ?/2 + ?/2 = ?
6
?
?
получаем нуное включение. Для завершения доказательства
осталось воспользоваться равенством h?u(╖) , c(u)i = c(u(╖)) и
определением 2.1.
Таким образом, лемма 2.2 показывает, что существует
вза(1)
имно однозначное соответствие меду S (R, U) и AP M1 . ?оэтому кадую функцию u(╖) ? S (R, U) будем рассматривать так
е, как элемент мноества AP M1(1) ? AP M1 , отодествляя его
с отобраением ?u(╖) . В этом смысле S (R, U) вкладывается в
AP M1 ? AP M.
Далее, для компактного метрического пространства (X, ?) и
сепарабельного нормированного пространства
(frm(U), | ╖ |w ) рассмотрим мноество S R ╫ X, frm(U), состоящее из отобраений (t, x) 7? ╡(t, x) ? frm(U), которые п.п. по t ? R в смысле
Степанова равномерно по x ? X, т.е. (см. определение 1.1 при
Y = frm(U) ) кадое ╡ : R ╫ X ? frm(U) удовлетворяет следующим условиям: для кадого x ? X ╡(╖, x) ? S R, frm(U) и
d? [╡, X? = 0, где (см. обозначение (2.3))
lim
??0
.
d? [╡, X? = sup{d? ╡(╖, x1 ), ╡(╖, x2 ) : x1 , x2 ? X, ?(x1 , x2 ) 6 ?}.
w
38
В дальнейшем, если не оговорено специально, ограничимся рассмотрением ваного при исследовании задач оптимального управления п.п. двиениями подмноества S R ╫ X, rpm(U) мноества S R ╫ X, frm(U). Согласно определению, это мноество
состоит из отобраений ╡ : R ╫ X ? rpm(U), удовлетворяющих
следующим условиям: при кадом x ? X ╡(╖, x) ? S R, rpm(U)
и lim
d? [╡, X? = 0.
??0
Л е м м а 2.3.
╡ ? S R╫X, rpm(U) ,
c ? C (U, R)
Для того чтобы
не-
обходимо и достаточно, чтобы для кадой функции
отобраение
Z
(t, x) 7? h╡(t, x), c(u)i =. c(u)╡(t, x)(du)
U
S (R ╫ X, R).
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть ╡ ? S R ╫ X, rpm(U).
Тогда для кадой функции c ? C (U, R), в силу леммы 2.2 и
определения 2.1, отобраение
.
t 7? fc (t, x) = h╡(t, x), c(u)i, x ? X
принадлеит S (R, R. Далее, из неравенства (см. (2.3), (1.4) и
определение нормы | ╖ |w )
?1
d? [fc , X? 6 2kc ? cj kC (U,R) + 2j 1 + kcj kC (U,R)
d? [╡, X?, j0 ? N,
учитывая, что cj ? C(U, R) и lim
d? [╡, X? = 0, получим, что
??0
lim
d? [fc , X? = 0. Откуда по определению 1.1 fc ? S (R ╫ X, R).
??0
?усть теперь для кадой функции c из C (U, R) fc принадле2.1,
ит S (R ╫ X, R). Тогда, снова по лемме 2.2 и определению
получаем, что при кадом x ? X ╡(╖, x) ? S R, rpm(U) . Далее,
используя неравенство
j
?
?j
X
X
2
d? [╡, X? 6
╖ d? [fc , X? +
2?j+1, j0 ? N
1
+
kcj kC (U,R)
j =1
j =j
принадлеало пространству
0
0
0
0
0
0
39
и определение 1.1, получим, что lim
d? [╡, X? = 0.
??0
3. В этом пункте определим ряд Фурье для мерозначного п.п.
отобраения.
?усть ╡ ? AP M. Тогда по определению 2.1 для кадой
функции c ? C (U, R) отобраение h╡(╖), c(u)i ? S (R, R) и, следовательно, имеет место следующее соответствие:
X
h╡(t), c(u)i ? A╡ [c, 0? + 2
A╡ [c, ??os ?t + B╡ [c, ??sin ?t,
?
в котором
(
[ ?=
( ) ( ) os ?t},
(2.5)
[ ?=
( ) ( ) sin ?t},
и суммирование ведется по ?, принадлеащих мноеству
(╡, c) =. {? ? R : |A╡[c, ??| + |B╡[c, ??| > 0}
показателей Фурье этого отобраения. Далее, т.к.
? ╡ ? M, то
из (2.5) получаем, что A╡[╖, ??, B╡[╖, ?? ? C (U, R) при кадом
? ? R. ?оэтому, по теореме Рисса [36. С.138?, существуют
такие
меры ?? , ?? ? frm(U), что для всех c ? C (U, R
(2.6)
A╡ [c, ?? = h?? , c(u)i, B╡ [c, ?? = h?? , c(u)i.
Теперь рассмотрим мноество
(2.7)
(╡) =. {? ? R : |?? |(U) + |?? |(U)| > 0}.
Из определения вариации меры, а таке мноеств (╡) и (╡, c),
вытекает равенство
[
(╡, c).
(2.8)
(╡) =
.
M {h╡ t , c u i
A╡ c, ?
.
B╡ c, ?
M {h╡ t , c u i
c?C (U,R)
40
Л е м м а 2.4.
(╡)
C(U, R) ? C (U, R)
[
(╡) =
(╡, c).
Мноество
не более чем счетно, и
для любого фиксированного счетного, всюду плотного в
(
C U, R
)
мноества
(2.9)
c?C(U,R)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Включение
[
(╡, c) =. A ? (╡)
c?C(U,R)
очевидно. Теперь если ? ?/ A, то в силу (2.6) h?? , c(u)i = 0,
h?? , c(u)i = 0 для всех c ? C(U, R). Откуда по теореме Хана{
Банаха [61? получаем, что |?? |(U) = |?? |(U)| = 0 и, значит, ?
не принадлеит (╡). Равенство (2.9) доказано, и т.к. (╡, c)
| не более чем счетное мноество, то в силу этого равенства
мноество (╡) таке не более чем счетно.
Теперь естественно следующее (см. (2.6){(2.9))
О п р е д е л е н и е 2.3. ?усть ╡ ? AP M. Тогда ряд в
правой части следующего соответствия
X
?? os ?t + ?? sin ?t
╡(t) ? ?0 +
(2.10)
?
называется рядом Фурье отобраения ╡, меры ??, ?? ? frm(U)
| коэффициентами Фурье и не более чем счетное мноество
(╡) | мноеством его показателей Фурье.
З а м е ч а н и е 2.5. В дальнейшем соответствие (2.10)
для ╡ ? AP M записываем в комплексном виде
X
╡ (t ) ?
?? exp(i?t),
??R
где ?? = ?? ? i?? , ??? = ?? + i?? , если
меры ?? нулевыми, если ? ?/ (╡).
.
.
41
? ?
(╡), и считаем
Далее, если ╡ ? AP M, то Mod(╡) =. Mod((╡)) | модуль
отобраения ╡. Из этого определения и равенства (2.8) вытекает
╡, ? ? AP M
c ? C (U, R)
Л е м м а 2.5.
Mod((╡, c)) ? Mod((?, c)).
Mod(╡) ? Mod(? ).
Рассмотрим далее ╡ ? S R ╫ X, rpm(U). ?о лемме 2.3 при
кадом x ? X отобраение ╡(╖, x) ? AP M1. ?оэтому если
╡(╖, x), c | мноество показателей Фурье п.п. по Степанову функции t 7? h╡(t, x), c(u)i, то
[
╡(╖, x) =
(2.11)
(╡(╖, x), c).
и для всех
?усть
Тогда
c?C (U,R)
U) содерится
Теперь, принимаяво внимание, что S R╫X, rpm(
в S R ╫ X, frm(U) и определение 1.2 при Y =. frm(U) (см. таке
равенство (1.6) при f = ╡ ), мноество
(╡) =.
[
x?X
╡(╖, x) (2=.11)
[
[
x?X c?C (U,R)
(╡(╖, x), c)
(2.12)
естественно назвать мноеством показателей Фурье отобраения ╡ ? S R ╫ X, rpm(U).
Отметим, что мноество (╡) для ╡ ? S R ╫ X, rpm(U) не
более чем счетно. Это вытекает из равенства
(╡) =
?
[
[
j =1 c?C(U,R)
(╡(╖, xj ), c),
где мноество {x1 , x2 , . . . } ? X является счетным, всюду плотным в X, и из равенств (2.9) и. (1.7), примененных для отобраений ╡(╖, x) и (t, x) 7? f (t, x) = h╡(t, x), c(u)i соответственно.
В дальнейшем ваную роль будут играть п.п. последовательности {?m}m?Z из (rpm(U), ?w ), которые удобно записывать в
виде {? (m)}m?Z . В соответствии со сказанным в п.3 первого
42
раздела последовательность {? (m)}m?Z ? (rpm(U), ?w ) является
п.п., если для любого ? > 0 мноество
.
E ({? (m)}m?Z , ?) = {n ? Z : sup |? (m + n) ? ? (m)|w 6 ?},
m?Z
ее ? | п.п. относительно плотно. Используя лемму 2.1, следствия 1.3 и 1.4, легко видеть, что последовательность
{? (m)}m?Z ? rpm(U) п.п. в том и только в том случае, если для
любой функции c ? C (U, R) (или, что равносильно (см. замечание 2.1) для любой функции c ? C(U, R) ) числовая последовательность {h? (m), c(u)i}m?Z является п.п. Следовательно, если
{? (m)}m?Z | п.п. последовательность, то для кадой функции
c ? C (U, R) определено мноество
q?1
X
1
.
h? (m), c(u)ie?i?m 6= 0},
({h? (m), c(u)i}m?Z ) = {? ? R : lim
q??
q
m=0
которое называем мноеством показателей Фурье числовой п.п.
последовательности {h? (m), c(u)i}m?Z . ?ри этом если рассмотреть функцию ? : R ? rpm(U) отвечающую п.п. последовательности {? (m)}m?Z ? rpm(U) , т. е. такую, что ? (t) = ? (m)
при всех t ? [ma, (m +1)a? (a > 0), то по теореме 1.3 для кадой
функции c ? C (U, R) имеет место равенство
({h? (m), c(u)i}m?Z ) = a(?, c) + 2?Z,
где (?, c) | мноество показателей Фурье п.п. по Степанову
отобраения t ? h? (t), c(u)i. Откуда по лемме 2.4 получаем, что
[
({? (m)}m?Z ) =.
({h? (m), c(u)i}m?Z ) = a(? ) + 2?Z
c?C(U,R)
и в дальнейшем так определенное (не более чем счетное) мноество ({? (m)}m?Z ) называем мноеством показателей Фурье п.п. последовательности {? (m)}m?Z . Отметим, что из данного определения вытекает, что если 2a? принадлеит заданному
43
Mod(), ? R, то
Mod({? (m)}m?Z ) =. Mod(({? (m)}m?Z )) ? a Mod()
в том и только в том случае, если Mod(? ) =. Mod((? )) содерится в Mod().
4. В этом пункте покаем, что кадое ╡ ? AP M моно
проаппроксимировать мерозначным тригонометрическим полиномом.
?усть ╡ ? AP M и ╡(t) ? P ?? exp(i?t) (см. замечание 2.5).
??R
В мноестве (╡) фиксируем рациональный базис {r1 , r2 , . . . },
и при кадом m ? N рассмотрим меру
?m;r
1
...rm
(t) =
.
X
|kp |6 (m!)2
p=1...m
m
Y
j =1
1 ? (m|kj!)|2 ?
k1
r
m! 1
+╖╖╖+ kmm rm ╫
!
exp i( mk1! r1 + ╖ ╖ ╖ + kmm! rm )t, t ? R,
которая является мерозначным тригонометрическим полиномом.
Нам понадобятся таке функции t 7?Km;r ...r (t) ? [0, ??, определенные равенством
r r .
1 t ╖ ╖╖╖ ╖ K
m
Km;r ...r (t) = K(m!)
(m!) m! t =
m!
╫
1
1
=
X
|kp |6 (m!)2
p=1...m
m Y
j =1
2
2
m
m
1 ( !) exp ?i( mk1! r1 + ╖ ╖ ╖ + kmm! rm )t,
|kj |
?
m 2
t ? R,
где Kp(╖) | ядро Фейера порядка p [32. C. 33?.
Из равенств (2.6) (см. таке замечание 2.5) получаем, что для
кадой функции c ? C (U, R) имеет место равенство
h? r +╖╖╖+ r , c(u)i =
= M {h╡(t), c(u)i exp ?i( mk1! r1 + ╖ ╖ ╖ + kmm! rm )t}.
k1
m!
1
km
m! m
44
?оэтому
(t), c(u)i =
1 T h╡(? + t), c(u)iKm;r ...r (?)d?,
= Tlim
?? T
Z
h?m;r
1
...rm
0
(2.13)
t ? R.
m
1
Из (2.13) в силу свойств функции Km;r ...r (╖) следует, что для
всякой функции c ? C (U, R) и произвольного ? ? R справедливо
неравенство
1
sup
t?R
Z t+1
t
|h?m;r
1
6
sup
t?R
...rm
m
(s + ? ) ? ?m;r ...r (s), c(u)i| ds 6
1
Z t+1
t
()
m
() ()
(2.14)
|h╡? s ? ╡ s , c u i|ds,
и, значит, по определению 2.2 мноество
степенно п.п. (по Степанову).
Т е о р е м а 2.1.
{?m;r
Для кадой функции
1
...rm }m?Z
(
равно-
c ? C U, R
)
име-
ет место равенство
lim (sup
m?? t?R
Z t+1
t
()
|h╡ s ? ?m;r
1
...rm
(s), c(u)i|ds) = 0.
(2.15)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для кадой
P функции c из
h?? , c(u)i exp(i?t).
C (U, R) имеем соответствие h╡(t), c(u)i ?
?
Используя равенство (2.13), следуя схеме доказательства соответствующего утвердения для п.п. по Бору функций [29. C.48?,
получим, что
(2.16)
lim M {|h╡(s) ? ?m;r ...r (s), c(u)i|} = 0.
m??
1
m
?окаем, что последнее равенство влечет (2.15). Допустим противное. Тогда найдутся константа ? > 0 и последовательности
R t +1
?
fm (s)ds > ?,
{tj }?
j =1 , {mj }j =1 такие, что при кадом j ? N t
j
j
45
j
где fm (s) =. |h╡(s) ? ?m ;r ...r (s), c(u)i|. В силу (2.14) последовательность {fm }?j=1 ? S (R, R) равностепенно п.п., поэтому
отрезке [k~l ? tj , k~l ? tj + l ?,
найдется такое l > 0, что в кадом
?
~l =. l + 1 существует ?kj ? T ES (fm , ?/2). ?оэтому, в силу
p=1
предыдущих неравенств, получаем, что Rtt +1fm (s + ?kj )ds > ?/2
при кадом j ? N, а т.к. k~l 6 tj + ?kj < tj + ?kj + 1 6 k~l + ~l, то
при кадом q ? N и всех j ? N
j
j
1
mj
j
p
j
j
j
l
q~
k~
l+~
l
q?1 Z
1 Z fm (s)ds = 1 X
q ~l
q ~l k=0
j
0
k~
l
tj +1
q?1 Z
1X
fm (s)ds >
q ~l k=0
j
( + ?kj )ds > 2?~l .
fmj s
tj
Следовательно, j??
lim M {fm (s)} > ?/2~l, что противоречит (2.16).
С л е д с т в и е 2.1.
╡ ? AP M,
(2.10)
5. Известно (см., например, [30; 57; 66?), что если отобраение
g ? B (R╫U, R), то для любой функции u ? B (R, U) отобраение
t 7? g(t, u(t)) принадлеит пространству B (R, R). Следующая
теорема обобщает данное утвердение.
Т е о р е м а 2.2.
(X, ?)
j
Если
то соответствие
однозначно.
?усть
| компактное метри-
ческое пространство и мноество
A
= {╡(╖, x) ? AP M, x ? X : sup k╡(╖, x)k 6 ?} (? > 0)
x?X
g ? S (R, C (U, R))
.
t 7? f (t, x) = h╡(t, x), g(t, u)i, x ? X,
равностепенно п. п. Тогда для любой функции
совокупность отобраений
где
( ) ( ) =
h╡ t, x , g t, u i
Z
U
( ) ( )( ) (t, x) ? R ╫ X, (2.17)
g t, u ╡ t, x du ,
равностепенно п. п. по Степанову. Кроме того, если функция
rpm( )
)
╡ ? S R ╫ X,
U ,
и ее
ству S R ╫ X, R
(
то функция
f
принадлеит простран-
модуль содерится в
46
Mod((╡) ? (g)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как g ? S R, C (U, R), то
по лемме
1.3 для заданного ? > 0 найдется такое ? > 0, что
sup Rtt+1 ?? [g(s, ╖), U?ds < 3?? . ?усть, далее, U1 . . . Up | открытое
t?R
покрытиеp компакта U такое, что diam Uj 6 ?, j = 1 . . . p, и через {?j }j=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию.
Теперь для кадого j = 1 . . . p фиксируем точку uj ? U T Uj , в которой .?j (uj ) > 0, и рассмотрим
семейство отобраений t 7? ?j (t, x) = h╡(t, x), c(u)i ? R t ? R,
x ? X. ?оскольку мноество A ? AP M и равностепенно п.п.,
то при кадом j = 1 . . . p мноество (см. определение 2.2)
{?j (╖, x), x ? X} ? S (R, R) и равностепенно п.п. Кроме того,
p
P
?j (t, x) = ╡(t, x)(U), (t, x) ? R ╫ X и, следовательно,
j =1
p
X
( )
( )
|?j t, x | 6 ?, t, x ? R ╫ X.
j =1
Рассмотрим, далее, семейство отобраений
t 7?
(t, x) =.
p
X
j =1
( )
?j t, x ?uj ?
rpm(U),
x ? X,
принадлеащее AP M. Для (?, x) ? R ╫ X полоим
( ) = sup
I ?, x
.
t?R
Z t+1
t
(s + ?, x), g(s + ?, u)i ? h(s, x), g(s, u)i| ds,
|h
и для кадой функции g(╖, uj ) ? S (R, R), j = 1 . . . p, возьмем
такую функцию gj ? S (R, R), что при всех j = 1 . . . p (здесь
см.[53.С. 231?) esssup |gj (t)| =. kj < ? и d(g(╖, uj ), gj (╖)) < ?/18p?.
t?R
.
kj = k, при всех (?, x) ? R ╫ X, имеем
Сейчас, полагая 1max
6j6p
следующие соотношения:
( ) sup
I ?, x 6
t?R
Z t+1 X
p
t
j =1
( + ?, x) ? ?j (s, x)| ╖ |g(s, uj )|ds+
|?j s
47
Z t+1 X
p
+sup
t?R
2
j =1
t
6 ?
( )
p
X
j =1
( + ?, x)| ╖ |g(s + ?, uj ) ? g(s, uj )|ds 6
|?j s
((
) ( )) + sup
d g ╖, uj , gj ╖
t?R
( ) + ? sup
??j s, x | ╖ |gj s |ds
t?R
p
X
Z t+1
t
Z t+1 X
p
j =1
t
( + ?, x) ?
|?j s
?
max
|g(s + ?, u) ? g(s, u)|ds < +
u?U
9
+k sup d ?j (╖ + ?, x), ?j (╖, x) +
j =1 x?X
Z t+1
+? sup max
|g(s + ?, u) ?g(s, u)|ds,
u?U
t?R t
откуда для всякого
мноеству2
E
=
.
\
u?U
?,
принадлеащего относительно плотному
(( ) )
ES g ╖, u , y
p
\ \ \
x?X j =1
ES ?j ╖, x , y ,
( ) )
где y =. min{?/9?, ?/9kp}, получаем неравенство sup I (?, x) 6 ?/3.
x?X
Теперь если ? ? E, то при всех x ? X имеем
d(f? (╖, x), f (╖, x)) 6
Z t+1
|h╡(s, x) ? (s, x), g(s, u)i|ds + sup I (?, x) 6
6 2sup
t?R
6
2sup
t?R
x?X
t
Z t+1
t
( ) ( )
|h╡ s, x , g s, u i ?
p
X
j =1
( )(
) + 3? 6
?j s, x g s, uj |ds
Здесь мы пользуемся следующим неслоно доказываемым утвердением: если мноества {f1? , ? ? A}, {f2? , ? ? B} ? S (R, R) и равностепенно п. п.,
T
T T
то для любого ? > 0 мноество (
ES (f1? , ?)) (
ES (f2? , ?)) не пусто и
??A
??B
относительно плотно.
2
48
6
2sup
t?R
Z t+1 X
p Z
t
j =1
() ( )
(
)
( )( )
?j u |g s, u ? g s, uj | ╖ |╡ s, x | du ds
u?U
6 ?
Z t+1
[
? 2sup
2 sup
+ 3? 6
[ ( ) ? + 3? < ?,
t?R t
T
т.е. ? ? ES (f (╖, x), ?), тем самым первое утвердение теореx?X
мы 2.2 доказано.
?усть теперь ╡ ? S (R ╫ X, rpm(U)). Тогда по лемме 2.2 функция ?j ? S (R╫X, R), j = 1 . . . p и, следовательно, найдется такое
?
b ? (0, ? ), что при всех ? ? (0, ?b) d? [?j , X? < 2?/9pk. ?ри этих ?
получаем, что
?? g s, ╖ , U ds
d? f, X 6
+2
t?R
p
X
((
Z t+1
[( ) ? +
?? g s, ╖ , U ds
t
) ( )) + k
d g ╖, uj , gj ╖
j =1
p
X
j =1
[
?
d? ?j , X < ?,
откуда в силу определения 1.1 вытекает, что f ? S (R ╫ X, R).
Далее, при кадом x ? X имеем следующие соотношения:
(f (╖, x)) ? Mod (f (╖, x)) ?
p
[
[ [ [
? Mod (
(?j (╖, u))) ?
(g(╖, u))) (
u?U
?
[ [ [
Mod (g) (
x?X x?X
Следовательно,
Mod(f ) =. Mod
x?X j =1
(╡(╖, x), c)) (2=.12) Mod (g) (f )).
[
x?X
[
[
(f (╖, x)) ? Mod (g) (╡)),
и тем самым теорема 2.2 доказана.
49
З а м е ч а н и е 2.6. Аналогичное теореме 2.2 утвердение при условии, равностепенной почти периодичности мноества A =. {╡(╖, x), x ? X} ? AP M1 доказано в [44? (см. таке [67?).
Имеет место следующая
Л е м м а 2.6.
u ? S (R ╫ X, U)
(t, x) 7? ?u(t,x)
S (R ╫ X, rpm(U))
Доказательство леммы 2.6 вытекает из определения 1.1, утвердения лемм 2.2 и 2.3, а таке из неравенства (см. обозначение (1.4))
Функция
в том и только
принадлеит
в том случае, если отобраение
и их модули совпадают.
sup (sup
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )6?
t?R
6
Z t+1
t
((
|c u s, x1
2 kck
?
C (U,R) d?
)) ? c(u(s, x2 ))|ds) 6
[u, X? + ?? [c, U?,
справедливого для кадой функции c ? C (U, R) и фиксированных констант ?, ? > 0.
Из лемм 2.6 и теоремы 2.2 вытекает
С л е д с т в и е 2.2.
g ? S (R, C (U, R)).
u ? S (R ╫ X, U)
(t, x) 7? g(t, u(t, x))
S
(
R╫X,
R
)
Mod (g)S(u).
С л е д с т в и е 2.3.
g: R╫U ? R
S (R, C (U, R)),
B (R ╫ U, R).
╡ ? AP M1
u ? S (R, U)
t 7? h╡(t), g(t, u)i, t 7? g(t, u(t))
S (R,SR), Mod (╡) S (g)
Mod (g) (u)
В дальнейшем нам понадобится еще ряд утвердений и определений, связанных с мерозначными п.п. функциями.
6. Имеет место следующая
?усть
Тогда
отобраение
для всякого
и его модуль содерит-
принадлеит пространству
ся в
?усть
ит либо пространству
гда для всякого
либо
и любого
ния
ству
принадле-
То-
отобрае-
принадлеат простран-
и их модули содератся в
соответственно.
50
и
Т е о р е м а 2.3.
(X, ?)
.
A = {╡(╖, x), x ? X}
limx k╡(╖, x)?╡(╖, xb)kw = 0.
x?b
g ? S (R, C (U, R))
?усть
| компактное метриче-
ское пространство, мноество отобраений
из
AP M1
равностепенно п. п. и
Тогда
имеют место равенства
для всякой функции
Z t+1
lim (sup | h╡(s, x) ? ╡(s, xb), g(s, u)ids|) = 0,
t
M {h╡(t, x), g(t, u)i} = M {h╡(t, x
lim
b), g(t, u)i}.
x?b
x
x?b
x t?R
(2.18)
(2.19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (2.19) вытекает из
равенства (2.18), которое докаем методом от противного. В этом
случае найдутся такая константа ? > 0 и последовательности
{xj }?
lim xj = xb, {tj }?j=1 ? R, что при всех j ? N будет
j =1 ? X, j??
выполнено неравенство
Z
tj +1
tj
(fj (s) ? fb(s))ds > ?,
(2.20)
где fj (s) =. h╡(s, xj ), g(s, u)i, j ? N, fb(s) =. h╡(s, xb), g(s, u)i,
s ? R. ?о теореме 2.2 мноество функций (здесь см. (2.17))
.
{t 7? f (t, x) = h╡(t, x), g(t, u)i, x ? X} равностепенно п.п. ?оэтому найдется такое l > 0T, что
N существуT при кадом j ?
ES (f (╖, x), ?/16) . Так как поет точка ?j ? [?tj , ?tj + l?
x?X
следовательность {tj + ?j }?j=1 ? [0, l?, то без ограничения общности моно считать, что j??
lim (tj + ?j ) = bt ? [0, l?. Далее,
т.к. g ? S (R, C (U, R. )) (см. п. 1 из первого раздела), то ото|g(t, u)| принадлеит L1 ([0, l + 2?, R).
браение t 7? g(t) = max
u?U
?оэтому в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
[36, . 101? для константы ?/24 найдется такое ? > 0, что
для всякого измеримогоR мноества E ? [0, l + 2? будет вы| E g(t)dt| < ?/24, если mes E 6 ?, а
полнено неравенство
.
поскольку yj = (tj + ?j ? bt ) ? 0 при j ? ?, то найдется такое j1 ? N, что при всех j > j1 |yj | 6 ?. Следовательно,
51
при этих j | Rbtbt+y g(s)ds| < ?/24, | Rbtbt+1+1+y g(s)ds| < ?/24. Далее, поскольку j??
lim k╡(╖, xj ) ? ╡(╖, xb)kw = 0, то существует такое j2 R?b N, что при всех k, j > j2 будет выполнено неравенство | btt+1(fk (s) ? fj (s))ds| < 12? , и для всякого фиксированk(j ) ? N, начиная с которого
ного
R t +1j ? N существует такое
| t
(fb(s) ? fk (s))ds| < 12? . Теперь при j > j0 =. max(j1 , j2 )
и k > max(k(j), j0 ), учитывая выбор точек ?j , получаем следующие соотношения:
Z
t +1
(fb(s) ? fj (s)) ds 6
j
j
j
j
j
Z
6
tj +1
tj
+2
+2
Z
╖
tj
(fb(s) ? fk (s)) ds + d(fk (╖ + ?j ), fk (╖)) +
b
t
b
t+yj
()
g s ds
+
Z
bt+1+yj
g s ds
╖
()
b
t+1
Z
bt+1
fk s ? fj s ds
b
t
( ()
( ))
+
+ d(fj (╖ + ?j ), fj (╖)) < ?/2.
Отсюда получаем противоречие с неравенствами (2.20), и тем самым равенство (2.18) доказано.
7. Введем для отобраения ╡(╖) ? AP M1 при фиксированном
h > 0 его стекловское усреднение. С этой целью при кадом
t ? R рассмотрим функционал
1 Z t+hh╡(s), c(u)i ds, c(╖) ? C (U, R),
c(╖) 7?
h
t
который, как легко видеть, принадлеит C (U, R)? . ?оэтому
по теореме Рисса [36?, с учетом того, что ╡(╖) ? AP M1 ? M1 ,
вытекает существование меры ╡(t, h) ? rpm(U) такой, что для
кадой функции c(╖) ? C (U, R) будет выполняться равенство
Z t+h
1
h╡(s), c(u)ids, t ? R.
h╡(t, h), c(u)i =
(2.21)
h
t
52
О п р е д е л е н и е 2.4. ?усть ╡(╖) ? AP M1 . Тогда
непрерывное отобраение t 7? ╡(t, h) ? rpm(U), удовлетворяющее при кадом t ? R и всякой функции c(╖) ? C (U, R) равенству (2.21), называется стекловским усреднением для ╡(╖).
Л е м м а 2.7.
╡(╖) ? AP M1 .
h ? (0, 1?
╡(╖, h) ? B (R, rpm(U))
Mod(
╡(╖, h))
Mod(╡(╖)).
.
F = {╡(╖, h), h ? (0, 1?}
k╡(╖) ? ╡(╖, h)kw = 0.
(2.22)
lim
h?0
?усть
Тогда при кадом
отобраение
и его модуль
содерится в
Кроме того, мноество
равностепенно п. п. по Степанову и
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?ри кадом ? ? R и любой
функции с ? C (U, R) из (2.21) вытекает неравенство
sup |f (t + ?, h; c) ? f (t, h; c)| 6 dh(f (╖ + ? ; c), f (╖; c)),
t?R
где f (t; c) =. h╡(t), c(u)i, f (t, h; c) =. h╡(t, h), c(u)i, t ? R, из которого (см. определения 2.1, лемму 2.5, равенство (2.8) и замечание 2.2) получаем, что ╡(╖, h) ? B (R, rpm(U)), и его модуль
содерится в Mod(╡). Непосредственно из определений 2.1 и 2.4
получаем, что п.п. по Бору функция f (╖, h; c) является стекловским усреднением [31. С. 206? для f (╖; c) ? S (R, R). ?оэтому [31.
С. 206, 207? для кадой функции c(╖) ? C (U, R)
lim
d(f (╖, h; c), f (╖; c)) = 0,
(2.23)
h?0
и для всякого y ? R имеет место следующее неравенство:
sup d(f (╖ + y, h; c), f (╖, h; c)) 6 2d(f (╖ + y; c), f (╖; c)),
h?(0,1?
из которого вытекает равностепенная п.п. мноества F. В свою
очередь, из предельного равенства (2.23), определения k╖kw , учитывая, что при кадом T ? omp(R) мноество (T╫U, R) (см.
(1.9)) всюду плотно в V1(T ╫ U, R), получаем равенство (2.22).
Из теоремы 2.3 и леммы 2.7 вытекает
53
Т е о р е м а 2.4.
╡(╖, h) ? B (R, rpm(U))
g ? S (R, C (U, R))
?усть отобраение
()
╡ ╖ ? AP M1
и
| его стекловское усреднение. Тогда для
всякой функции
(sup |
lim
h?0
t?R
Z t+1
и, следовательно,
3.
( )
( ) ( ) ) = 0,
(2.24)
h╡ s, h ? ╡ s , g s, u ids|
t
M {h╡(t, h), g(t, u)i} = M {h╡(t), g(t, u)i}.
lim
h?0
Аппроксимационная теорема
1. В этом разделе доказывается следующая | аппроксимационная теорема в почти периодическом случае.
Т е о р е м а 3.1.
(X, ?)
╡(╖)
S (R╫X, rpm(U))
{uj }?
S (R ╫ X, U),
j =1
j ? N Mod(uj ) ? Mod(╡)
1)
(3.1)
lim (sup k╡(╖, x) ? ?u (╖,x)kw ) = 0;
j??
?усть
| компактное метри-
ческое пространство. Тогда для кадого отобраения
принадлеащего
,
существует такая последова-
из пространства
тельность функций
что
и обладающая таке следу-
для всех
ющими свойствами:
имеет место равенство
j
x?X
2)
при кадом
lim
??0
sup
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )6?
sup
t?R
j?N
Z t+1
t
()
|?uj (s,x ) ? ?uj (s,x ) | U ds
1
2
3)
g ? S (R, C (U, R))
?
R t+1
?
?sup t h╡(s, x) ? ?u (s,x) , g(s, u)i ds ? 0
x?X
t?R
?
M
{g
(
t,
u
(
t,
x
))
}
?
M
{h╡
(
t,
x
)
,
g
(
t,
u
)i}
?
j
= 0; (3.2)
для всякой функции
при
j
при
x?X
54
j ? ?,
j ? ?.
(3.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для кадого j ? N строим
такое открытое покрытие U1(j) . . . Up(j) компакта U, что
max{diam Uk(j), k = 1 . . . pj } 6 1j
j
и через {?(kj) }pk=1 обозначим непрерывное разбиение единицы,
подчиненное этому покрытию.T Теперь для кадого k = 1 . . . pj
зафиксируем точку u(kj) ? U Uk(j), в которой ?(kj) (u(kj) ) > 0, и
рассмотрим отобраение
(t, x) 7? ?(kj) (t, x) =. h╡(t, x), ?(kj) (u)i ? [0, 1?, (t, x) ? R ╫ X. (3.4)
?оскольку ╡ ? S (R ╫ X, rpm(U)), то по лемме 2.3 для всех
(j )
k = 1 . . . pj ?k ? S (R ╫ X, R), и при этом
j
pj
X
(j )
?k t, x
( ) = 1, (t, x) ? R ╫ X.
k =1
(3.5)
Выбираем, далее, число a > 0 таким, чтобы 4a? h? Mod(╡i),
и отрезок [0, a? разбиваем на j отрезков Il(j) =. l?j 1 a, jl a ,
(j )
l = 1 . . . j. В свою очередь, кадый отрезок Il разбиваем на pj
подотрезков Il(j) (?, x), k = 1 . . . pj , (?, x) ? R ╫ X, определенных
равенствами
? (j )
R (j )
.
?
Il (?, x) = l?j 1 a + [0,
?1 (t + ?, x) dt?,
?
?
?
k
1
?
?
?
. l?1
(j )
Ilk ?, x
?
j a
?
?
?
?
?
?
6 k 6 pj .
( )=
(j )
k?1
Il
+[ P R ?(sj) (t + ?, x) dt, P
k
s=1 (j )
Il
s=1
( + ) ? (3.6)
R (j )
?s t ?, x dt ,
(j )
Il
2
Из (3.6) следует, что отрезки Il(j) (?, x) . . . Il(j) (?, x) примыкают
друг к другу, и при кадом l = 1 . . . j в силу (3.5)
1
pj
pj
[
(
j)
(j )
Il =
Ilk (?, x), (?, x) ? R ╫ X.
k =1
55
(3.7)
Рассмотрим далее при кадом
отобраений wm(j) : [0, a? ╫ X ? U,
всякого m ? Z равенством
j ? N
m ? Z,
последовательность
определенную для
pj
j
(j ) (t, x) =. X ? j (t) X ? j
(t)u(kj) , (t, x) ? [0, a? ╫ X, (3.8)
wm
Il
Il (ma,x)
k
l=1
k =1
где I (j)(ma, x), k = 1 . . . p , задаются равенством (3.6) при
( )
?
( )
j
= ma.
Л е м м а 3.1.
(j )
lk
{wm }m?Z
?ри кадом
j ? N
последовательность
отобраений, заданная равенством
x?X
п. п. равномерно по
(3.8),
является
и справедливо включение
(3.9)
Mod({wm(j) }m?Z ) ? a Mod(╡) + 2?Z.
Д о к(j) аp з а т е л ь с т в о. ?оскольку совокупность функций {?k }k=1 ? S (R ╫ X, R), то по теореме 1.1 и по лемме 1.5
для заданного ? > 0 мноество
j
aZ
pj
\ \ \
(
x?X k =1
( (j)( ) )
ESa ?k ╖, x , ? ,
|u|, не пусто и относительно плотно.
где ? = ?/2?ap2j , ? = max
u?U
?усть na принадлеит этому мноеству. Тогда для всех x ? X
.
.
sup
6?
sup
Z
a
m?Z 0
pj Z
j
XX
m?Z l=1 k =1 Il(j )
pj
j X
X
6?
sup
m?Z l=1 k =1
(j )
( )
(3.8)
( )
(j ) t, x | dt 6
|wm+n t, x ? wm
()
()
|?I j ((m+n)a,x) t ? ?I j (ma,x) t |dt 6
lk
lk
( )
( )
mes(Il(j) ((m + n)a, x) ? Il(j) (ma, x))
k
k
56
(3.6)
6
2
6 ?pj
sup
pj
j Z
X
X
m?Z s=1 l=1
pj
2
6 ?pj
X
s=1
2
(j )
Il
sup
( + (m + n)a, x) ? ?(sj) (t + ma, x)|dt 6
|?(sj ) t
Z (m+1)a
m?Z ma
6 ?pj a
pj
X
s=1
( + na, x) ? ?(sj) (t, x)|dt 6
|?(sj ) t
( ( + na, x), ?(sj) (╖, x)) < ?,
da ?(sj ) ╖
j)
т.е. n ? E ({wm(j) }m?Z , ?). Следовательно, если {?(k,m
}m?Z |
x?X
п.п. равномерно по x ? X последовательность отобраений, отвечающая функции ?(kj) ? S (R ╫ X, R) (см. следствие 1.4), то
имеем включение
p
\
\
\
(j )
(j ) (╖, x)}m?Z , ?). (3.10)
E ({wm
E ({?k,m (╖, x)}m?Z , ?) ?
T
j
k =1 x?X
x?X
Аналогично показываем, что при кадом
[
? 2
()
(j ) }m?Z , X 6 ?pj ? a
dr {wm
где (см. неравенства (1.1))
pj
X
s=1
[
r>
0
?
dr ?(sj ) , X ,
(
a 6 1,
( ) = 12,a,если
(3.11)
если a > 1.
(j )
Отсюда получаем, что lim
dr[{wm }m?Z , X? = 0. Таким образом
r?0
по определению 1.4 последовательность {wm(j) }m?Z является п.п.
равномерно по x ? X.
Из (3.4) и (2.12) следует, что
?a
pj
[
k =1
(?(kj)) ? (╡).
57
(3.12)
Наконец, в силу (3.10), а таке теоремы 1.3 и равенства (1.6),
примененных к функциям ?(kj), k = 1 . . . pj , получаем
Mod({wm(j) }m?Z ) =. Mod ({wm(j) }m?Z ) =.
[
=. Mod ({wm(j) (╖, x)}m?Z ) ?
x?X
?
Mod
pj
pj
[
.
(
j)
j)
}m?Z ) =
({?k,m(╖, x)}m?Z ) = Mod ({?(k,m
k =1 x?X
k =1
[ [
= Mod a
pj
[
k =1
(?(kj) ) + 2?Z ? a Mod((╡)) + 2?Z.
Теперь при кадом j ? N по последовательности {wm(j) }m?Z
отобраений (3.8) строим функцию uj : R ╫ X ? U, которая на
кадом мноестве [ma, (m + 1)a? ╫ X, m ? Z, задается следующим образом:
. (j )
uj (t + ma, x) = wm
(t, x), (t, x) ? [0, a? ╫ X.
(3.13)
Из лемм 3.1 и 1.6 получаем, что {uj }?j=1 ? S (R ╫ X, U). Кроме
того, при кадом j ? N Mod(uj ) ? Mod(╡). В самом деле, учитывая выбор числа a > 0 и включение (3.9), имеем следующие
соотношения:
Mod(uj ) = a?1 Mod({wm(j) }m?Z ) + 2?a?1Z ?
? a?1 (a Mod(╡) + 2?Z) + 2?a?1 Z = Mod(╡) + 4?a?1 Z = Mod(╡).
?окаем, что построенная последовательность функций {u}?j=1
является искомой. Для этого нам понадобится еще последовательность {j }?j=1, состоящая из отобраений (см.(3.4), (3.5))
(t, x) 7? j (t, x) =.
определенных на
pj
X
(j )
?k t, x ?u j ?
k =1
( )
R ╫ X.
58
( )
k
rpm(U),
(3.14)
Л е м м а 3.2.
j ? N j ? S (R ╫ X, rpm(U))
Mod(j ) ? Mod(╡).
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть c ? C (U, R), k =. kckC (U,R)
и при кадом j полагаем fc(j)(t, x) =. hj (t, x), c(u)i, (t, x) ? R ╫ X.
Тогда из (3.14) вытекают неравенства:
d(fc(j ) (╖ + ?, x), fc(j ) (╖, x)) 6
?ри кадом
и
6k
pj
X
k =1
( (j) ( + ?, x), ?(kj) (╖, x)),
d ?k ╖
? ? R, x ? X,
pj
X
(j )
d? [?k , X?.
d? [fc(j ) , X? 6 k
k =1
Используя
эти неравенства, а таке лемму 2.3 и включение
(
j) p
{?k }k=1 ? S (R╫X, R), получим, что {j }?
j =1 ? S (R╫X, rpm(U).
Далее, используя первое из указанных неравенств, показываем,
что для кадой функции c ? C (U, R) и всяком x ? X
j
Mod
pj
[
[
(
j)
(?(kj) (╖, x)) =.
fc (╖, x) ? Mod
k =1 x?X
pj
[
.
(j ) (3.12)
= Mod
k =1
(?k )
?
Mod(╡),
откуда по лемме 2.5. Mod(
S j (╖, x)) ? Mod(╡), x ? X, и, следовательно, Mod(j ) = Mod( j (╖, x)) ? Mod(╡).
x?X
Л е м м а 3.3.
lim (sup k╡(╖, x) ? j (╖, x)kw ) = 0.
j?? x?X
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?окаем, что для кадой
функции ?, принадлеащей V1 =. V(R ╫ U, R) (см. (2.17)),
Z
hj (t, x) ? ╡(t, x), ?(t, u)i dt ? 0 при j ? ?.
(3.15)
Имеет место равенство
x?X
R
59
Действительно, т.к. ╡(t, x) ? rpm(U), (t, x) ? R ╫ X, то
Z
(3.15)
6
j (t, x) ? ╡(t, x), ?(t, u)i dt
h
R
p
Z
Z X
j (j )
(3.4)
(j )
?k t, x ? t, uk ? ? t, u ╡ t, x du dt 6
6 6
R k =1
Z pj
XZ
( )(
R k =1 U
(j ) (
)
U
( ) ( )( )
(j ) ) ? ?(t, u)|╡(t, x)(du) dt 6
) (
?k u |? t, uk
6
Z
[( ) ?
? ? t, ╖ , U dt.
1
R
j
Так как ? ? V1, то для п.в. t ? R ? [?(t, ╖), U? ? 0 при j ? ?
и, кроме того, |? [?(t, ╖), U?| 6 2?? (t), где ?? (╖) ? L1(R, R). ?оэтому по теореме Лебега
о предельном переходе под знак интеграла [36. C.112? j??
lim RR ? [?(t, ╖), U?dt = 0 и, следовательно, в
силу приведенных выше соотношений, справедливо предельное
соотношение (3.15), откуда, в свою очередь (см. п.1 из второго
раздела), получаем утвердение леммы 3.3.
Л е м м а 3.4.
lim (sup kj (╖, x) ? ?u (╖,x)kw ) = 0.
j??
1
j
1
j
1
j
Имеет место равенство
j
x?X
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?олагаем
.
?j (t, x) = j (t, x) ? ?u (╖,x) , (t, x) ? R ╫ X.
?оскольку k?j (t, x)k 6 2, (t, x) ? R ╫ X, то для произвольно
фиксированной функции ? ? V1 и заданного ? > 0 найдется
такое n = n(?) ? N, что для всех j ? N
j
Z
h?j t, x , ? t, u i dt 6
sup
x?X
( ) ( )
R
sup
x?X
Zna
h?j t, x , ? t, u i dt
?na
60
( ) ( )
+ 2? . (3.16)
?окаем далее, что
Z
lim sup
j??
na
?na
x?X
h?j t, x , ? t, u i dt
( ) ( )
= 0.
(3.17)
Отметим, что т. к. мноество ([?na, na? ╫ U, R) (см. (1.9)) всюду плотно в пространстве V1([?na, na? ╫ U, R), то для доказательства равенства (3.17) достаточно показать, что для любых
g ? C ([?na, na?, R) и c ? C (U, R)
Z
lim sup
j??
na
?na
x?X
g t h?j t, x , c u i dt
() ( ) ( )
= 0.
(3.18)
В свою очередь, и для доказательства равенства (3.18), и в дальнейшем нам понадобится
i
(j )
(j ) =. h l?1 a, l a ,
t l ? Il
Л е м м а 3.5.
j
j
l = 1...j
? ? Vlok
R
╫
U,
R
)
.
(
1
(m, x) ? Z ╫ X
?усть точки
и функция
Тогда для всех точек
имеет место равенство
j Z
X
l=1
(j )
( + ma, x), ?(t(l j) + ma, u)i dt = 0.
h?j t
Il
(3.19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (3.7), а таке
определения отобраения (t, x) 7? ?j (t, x) (см. (3.8), (3.13) и
(3.14)) получаем при кадом x ? X следующую цепочку равенств:
j Z
X
l=1
=
( + ma, x), ?(t(l j) + ma, u)idt =
h?j t
(j )
Il
pj
Z X
j
X
(j )
?k t
l=1
(
(j )
Il
k =1
( + ma, x)?(t(l j) + ma, u(kj)) dt ?
61
?
pj
X
Z
j
l
k =1 (j )
Il (ma,x)
k
?
k
Z
pj
(j )
(j ) X X
?(t + ma, u )dt =
l=1 k =1
(j ) (
?k t
+ ma, x)dt ?
(j )
Il
mes Il(j) (ma, x)?(t(l j) + ma, u(kj)) (3=.6) 0.
k
Используя лемму 3.5 для ?(t, u) =. g(t)c(u), получаем
Z
na
0
=
() ( ) ( ) =
g t h?j t, x , c u idt
n?
X1
j Z
X
m=0 l=1
(j )
Il
n?
X1
m=0
( + ma)h?j (t + ma, x), c(u)idt =
g t
(g(t + ma) ? g(t(l j) + ma))h?j (t + ma, x), c(u)idt.
Отсюда, принимая во внимание, что mes Il(j) = a/j и функция
g ? C ([?na, na?, R) (а значит, ее колебание ? [g, [0, na?? на [0, na?
стремится к нулю при j ? ? ), вытекает, что
a
j
Z
sup
na
() ( ) ( )
g t h?j t, x , c u idt 6
0
6 2nakckC (U,R) ╖ ? aj [g, [0, na?? ? 0
x?X
Таким образом,
при
Z
Z
0
g t h?j t, x , c u idt
lim sup
j??
x?X
na
0
g t h?j t, x , c u i dt
() ( ) ( )
j ? ?.
= 0.
Аналогично показываем, что
lim sup
j?? x?X
?na
() ( ) ( )
= 0.
Из последних двух равенств получаем равенство (3.18), а стало
быть, как отмечалось, и (3.17). Теперь из (3.17) и неравенства
62
(3.16) вытекает, что при всех j, начиная с некоторого,
Z
sup h?j (t, x), ?(t, u)i dt 6 ?.
x?X
R
Следовательно, доказано, что для кадой функции ? ? V1
Z
h?j (t, x), ?(t, u)i dt = 0,
lim
sup
j?? x?X R
что и завершает доказательство леммы 3.4.
Из доказанных лемм 3.3 и 3.4 вытекает равенство (3.1).
2. Для доказательства равенства (3.2), для всех (j, m) ? N╫Z
и x1 , x2 ? X, введем в рассмотрение измеримые мноества
(jm) (x1, x2 ) =. {t ? [0, a?: |uj (t + ma, x1 ) ? uj (t + ma, x2 )| > 0},
совпадающие с {t ? [0, a? : |?u (t+ma,x ) ? ?u (t+ma,x ) |(U) > 0}.
Имеем далее, при всех x1 , x2 ? X, удовлетворяющих неравенству
?(x1 , x2 ) 6 ? и m ? Z,
j
mes(jm) (x1 , x2 ) =
6
2
6 pj
2
6 pj
pj
l=1 k =1
pj Z
j
XX
l=1 k =1
X
k =1
pj
j X
X
l=1
j
2
mes((jm) (x1 , x2 ) ? Il(j) )
mes(Il(j) (ma, x1 )?Il(j) (ma, x2 ))
k
(j )
Il
(j ) (
|?k s
k
(3.7)
6
(3.6)
6
+ ma, x1 ) ? ?(kj) (s + ma, x2)|ds 6
Z t+a
(j )
|?k s
sup (sup
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )6?
j
X
1
t?R t
( + ma, x1 ) ? ?(kj) (s + ma, x2 )|ds)
.
?оэтому в силу неравенств (1.1) и обозначения (3.11) при кадом
j ? N получаем, что
sup (sup
x1 ,x2 ?X
?(x1 ,x2 )6?
t?R
Z t+a
t
|?uj (t+ma,x ) ? ?uj (t+ma,x ) | U ds 6
1
63
2
()
8 ()
6 pj ? a
pj
X
k =1
[
(j )
?
d? ?k , X .
Теперь равенство (3.2) вытекает из эквивалентности dl -paтояний и включения {?(kj)}pk=1 ? S (R ╫ X, R).
3. Фиксируем произвольную функцию g ? S (R, C (U, R)).
Л е м м а 3.6.
j
Имеет место следующее предельное со-
отношение:
Z t+1
|h╡ s, x ?
sup
( ) j (s, x), g(s, u)i| ds ? 0
t?R t
при
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку ╡(t, x)
при (t, x) ? R ╫ X, то для всех x ? X
sup
t?R
6
sup
t?R
Z t+1
( ) j (s, x), g(s, u)i|ds
|h╡ s, x ?
t
pj
Z t+1 X Z
k =1
t
U
(3.20)
j ? ?.
x?X
(j ) (
?
rpm(U)
(3.14)
6
(j ) ) ? g(s, u)|╡(s, x)(du)ds 6
) (
?k u |g s, uk
6
sup
t?R
Z t+1
t
[( ) ?
? g s, ╖ , U ds,
1
j
откуда, используя равенство (1.13) леммы 1.3, получаем соотношение (3.20).
Л е м м а 3.7.
Имеет место следующее предельное со-
отношение:
sup
m?Z
Z
(m+1)a
h
ma
j (s, x) ? ?u (s,x), g(s, x)ids ? 0
j
x?X
при
j ? ?.
(3.21)
Д о .к а з а т е л ь с т в о. ?олоим при кадом j ? N
?j (t, x) = j (s, x) ? ?u (s,x) , (t, x) ? R ╫ X и зафиксируем точки t(l j) ? Il(j), l = 1 . . . j. Докаем сначала соотношение (3.21)
j
64
в предполоении, что g ? B (R ╫ U, R). В самом деле, используя равенство (3.19) леммы 3.5 и неравенство |?j (t, x)|(U) 6 2,
(t, x) ? R ╫ X, получаем, что при кадом j ? N и всех (m, x) из
Z ╫ X имеют место следующие соотношения:
Z
(m+1)a
h?j s, x , g s, u ids
( ) ( )
ma
=
6
j Z
X
l=1
(j )
Il
j Z
X
l=1
(j )
=
( + ma), g(s + ma, u)i ds 6
h?j s
Il
( + ma, x), g(s + ma, u) ? g(t(l j) + ma, u)i ds 6 2aqj ,
h?j s
где qj =. sup{|g(t1 , u)?g(t2, u)|, (t1 , u), (t2, u) ? R╫U, |t1 ? t2| 6 aj }.
Теперь соотношение (3.22) в случае, когда g ? B (R ╫ U, R), вытекает из того, что qj ? 0 при j ? ?.
Далее, для доказательства соотношения (3.22) в случае, когда
функция g принадлеит S (R, C (U, R)), рассмотрим при кадом
h > 0 ее стекловское усреднение, т. е. отобраение
Z t+h
(t, u) 7? g(t, u; h) =. 1
g(s, u) ds, (t, u) ? R ╫ U,
(3.22)
h
t
которое принадлеит пространству B (R ╫ U, R), следовательно,
.
g(h) = supremum |g(t, u; h)| < ?.
(3.23)
(t,u)?R╫U
Кроме того, по теореме 1.2 для всякого l > 0
Zt+l
1
lim(sup max |g(s, u) ? g(s, u; h)| ds) = 0.
h?0 t?R
l
u?U
(3.24)
t
Сейчас из неравенства
sup |
m?Z
(mZ+1)a
( ) ( )
h?j s, x , g s, u i ds| 6
ma
sup
m?Z
65
Z (m+1)a
h?j s, x , g s, u h ids|
|
ma
( ) ( ; ) +
Zt+a
+2sup max
|g(s, u) ? g(s, u; h)| ds,
u?U
t?R
t
включения g(╖, ╖; h) ? B (R ╫ U, R) и равенства (3.24) получаем
утвердение леммы 3.7.
Л е м м а 3.8.
Справедливо следующее предельное соот-
ношение:
sup
t?R
Zt+a
| h
j (s, x) ? ?u (s,x), g(s, u)i ds| ? 0
j
при
x?X
t
j ? ?.
(3.25)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докаем сначала соотношение (3.25) в предполоении, что
.
g = esssup (max |g(t, u)|) < ?.
(3.26)
u?U
t?R
Допустим противное. Тогда найдутся такая константа ? > 0
и последовательности {jk }?k=1 ? N, {tk }?k=1 ? R, {xk }?k=1 ? X,
что при всех k ? N будет выполнено неравенство
Z
tk +a
tk
(
)
(3.27)
fjk s, xk ds > ?,
где fj (s, xk ) =. h?j (s, xk ), g(s, u)i, ?j (s, x) =. j (s, x) ? ?u (s,x ).
Далее, кадое tk , k ? N представим в виде tk = mk a + ?k a,
mk ? Z, ?k ? [0, 1) и будем считать, чтобы не ослонять обозначений,
что ?k ? ?b ? [0, 1? при k ? ?. ?олагаем далее
.
b
?k = |?k ? ?| и рассмотрим отобраения
(t, u) 7? gl (t, u) =. ?l (t)g(t, u), (t, u) ? R ╫ U, l = 1, 2,
где
. X
. X
?ma+[?a,a
?ma+[0,?a
(
(
?1 (t) =
t
)
,
?
t
)
=
t ? R.
2
b ?
b ? ( t ),
k
k
k
m?Z
m?Z
66
k
jk
k
?оскольку отобраение g ? S (R, C (U, R)), а измеримые функции ?l : R ? [0, 1?, l = 1, 2 являются a? периодическими, то
отобраения gl ? S (R, C (U, R)) и, стало быть, по лемме 3.7
lim (sup (sup
k?? x?X m?Z
Z (m+1)a
h?jk s, x , gl s, u i ds|
|
( ) ( )
ma
)) = 0, l = 1, 2. (3.28)
Далее, принимая во внимание принятые обозначения, имеем следующие соотношения:
Z
tk +a
(
)
4 +
fjk s, xk ds 6 ?k g
tk
2
X
4 + (sup (sup |
6 ?k g
l=1 x?X m?Z
Z
b
mk a+?a
Z (m+1)a
ma
b +a
mk a+?a
(
)
fjk s, xk ds 6
( ) ( )
))
h?jk s, x , gl s, u i ds| ,
из которых, учитывая (3.28) и то, что ?k ? 0 при k ? ?, вытекает равенство
lim
k??
Z
tk +a
tk
(
)
fjk s, xk ds
= 0.
(3.29)
?оследнее противоречит неравенству (3.27). Тем самым соотношение (3.25) доказано, если выполнено условие (3.25). В случае,
если это условие не выполняется для функции g при кадом
h > 0, рассмотрим ее стекловское усреднение (3.22), указанные
свойства (3.23), (3.24) которого позволяют свести доказательство
соотношения (3.25) в общем случае к рассмотренному выше.
Л е м м а 3.9.
Справедливо следующее предельное соот-
ношение:
sup |
t?R
Z t+1
t
j (s, x) ? ?u (s,x), g(s, u)i ds| ? 0 при j ? ?. (3.30)
h
j
x?X
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как отмечалось в конце доказательства леммы 3.8, достаточно рассматривать случай, когда
67
функция g удовлетворяет условию (3.25). Докаем соотношение
(3.30) таке методом от противного. В этом случае найдется константа ? > 0 и последовательности {jk }?k=1 ? N, {tk }?k=1 ? R,
{xk }?
k =1 ? X такие, что будет выполнено неравенство (3.27) при
a = 1. ?редставим, далее, кадое tk в виде tk = mk a + ?k a,
mk ? Z, ?k ? [0, 1), k ? N и ?k ? ?b при k ? ?. ?олагаем
.
b и вводим (см. доказательство леммы 3.8) функции
?k = |?k ? ?|
?2 , g2 . Кроме того, пусть 1 = m? a + ? ? a, m? ? Z+ , ? ? ? [0, 1)
и считаем для определенности, что m? > 1 и ?b + ?? ? [0, 1)
(в остальных возмоных случаях доказательство аналогично).
Введем, наконец, в рассмотрение a? периодическую измеримую
функцию
. X
?ma+[(?b+? )a,a? (t), t ? R
?3 (t) =
?
m?Z
и рассмотрим таке отобраение (t, u) 7? g3(t, u) =. ?3 (t)g(t, u),
принадлеащее
пространству S (R, C (U, R)). Теперь, обозначив
.
m?k = mk + m? , имеем следующие соотношения:
Z t +1
|
fj (s, xk ) ds| 6 4ag?k + (m? + 1) ╫
k
k
tk
╫
sup (sup |
x?X t?R
+|
+|
4
6 ag?k
Z t+a
t
Z (m? +1)a+?a
b
k
)+
(
) ( )
+
(
) ( )
h?jk s, xk , g s, u i ds|
(m?k +1)a
Z m? a+(?b+?? )a
k
(m?k +1)a
( ) ( )
h?jk s, x , g s, u i ds|
h?jk s, xk , g s, u i ds| 6
+ (m + 1) ╖ sup (sup |
?
x?X t?R
+
3
X
sup (sup |
l=2 x?X t?R
Z t+a
t
Z t+a
t
( ) ( )
( ) ( )
)
h?jk s, x , gl s, u i ds| ,
68
)+
h?jk s, x , g s, u i ds|
из которых, в силу леммы 3.8, примененной последовательно
к функциям g, g2 , g3 ? S (R, C (U, R)), и того, что ?k ? 0 при
k ? ?, получаем равенство (3.29) при a = 1. ?оследнее противоречит сделанному предполоению.
Из доказанных лемм 3.6 и 3.9 вытекает предельное соотношение (3.3), из которого, в свою очередь (см. теорему 2.2 и следствие
2.2), получаем последнее предельное соотношение в утвердении
теоремы 3.1.
З а м е ч а н и е 3.1. Из приведенного доказательства
леммы 3.9 видно, что соотношение (3.30) будет иметь место,
если 1 заменить на любое фиксированное число l > 0. Этот факт,
в силу топологической эквивалентности, имеет место и для соотношения (3.20) леммы 3.6. Таким образом, соотношение (3.3)
справедливо, если вместо единицы взять любое фиксированное
число l > 0.
4.
Игольчатые вариации мерозначных
п. п. отобраений
1. Для фиксированного мноества ? R полагаем
.
M() = {╡ ? AP M1 = AP M1 (U): Mod(╡) ? Mod()}
(4.1)
(ясно, что M(R) = AP M1 ). Фиксируем таке такую константу
a > 0 , что 2a? ? Mod() , число N ? N и произвольный набор
точек 0 6 ?1 < ╖ ╖ ╖ < ?N < a , который отодествляем с вектором
~ = (?i )N . В дальнейшем для кадого p ? N полагаем
?
i=1
(rpm(U))p =. {~╡ = (╡j )pj=1, ╡j ? rpm(U), j = 1 . . . p}
и последовательность
{~
╡(m)}m?Z , принадлеащую (rpm(U))p ,
p
~╡(m) = (╡j (m))j =1 , m ? Z , называем п.п., если при кадом
j = 1 . . . p последовательность {╡j (m)}m?Z из rpm(U) является
п.п., т.е. (см. п.3 из второго
раздела) при кадом ? > 0 мно.
ество E ({╡j (m)}m?Z , ?) = {n ? Z : sup |╡j (m + n) ? ╡j (m)|w 6 ?}
m?Z
69
ее ? -п.п. относительно плотно. Кроме того, если не оговорено
специально, рассматриваем лишь такие п.п.p последовательности
{~╡(m)}m?Z ? (rpm(U))p , ~
╡(m) = (╡j (m))j =1 , m ? Z , что при
кадом j = 1 . . . p Mod({╡j (m)}m?Z ) ? a Mod() и называем их
допустимыми п.п. последовательностями.
чиСейчас кадому i ? {1 . . . N } поставим в соответствие
.
k
~
~
сло ki ? N и пару (?k , {~?k (m)}m?Z ) , в которой ?k = (?ij )j=1 ,
.
?ij > 0 , j = 1 . . . ki , а {~?k (m)}m?Z , ~?k (m) = (?ij (m))kj =1 , m ? Z
суть допустимая п.п. последовательность из (rpm(U))k . В дальk
нейшем |?~k | =. P ?ij и, если
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j =1
i
= (?ijp )kj=1, ~?kp (m) = (?ijp (m))kj=1 , m ? Z, p = 1, 2,
то полагаем
?
.
?(?~ 1 , ?~ 2 ) =
(?i11 . . . ?ik1 , ?i21 . . . ?ik2 )
k
k
(4.2)
. 1
?(~? 1 (m), ~? 2 (m)) =(
?i1 (m) . . . ?ik1 (m), ?i21 (m) . . . ?ik2 (m)),
k
k
p
i
?~kpp
i
1
i
2
1
i
1
p
i
p
i
2
i
i
2
i
1
i
2
i
i
где m ? Z и, следовательно, если {~?kp (m)}m?Z | допустимые
п.п. последовательности из (rpm(U))k , p = 1, 2 , то последовательность {(~?k1 (m), ~?k2 (m))}m?Z является допустимой п.п. последовательностью из (rpm(U))k +k .
Введем в рассмотрение мноество
n
.
.
V = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}N
(4.3)
i=1 =
o
=. {(?~k , {~?k (m)}m?Z ) . . . (?~k , {~?k (m)}m?Z )}, k1 . . . kN ? N
p
i
p
i
1
2
i
i
1
i
i
1
1
2
i
i
N
N
и полагаем: если ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , то для всякого
действительного числа ? > 0
.
.
~k , {~?k (m)}m?Z )}N (??~k =
?? = {(??
(?ij )kj=1), (4.4)
i=1
i
i
i
i
i
i
70
и, если ?p = {(?~kp , {~?kp (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , p = 1, 2 , то (см. (4.2))
p
i
p
i
+ ?2 =. { (?~k1 , ?~k2 ), {(~?k1 (m), ~?k2 (m))}m?Z }Ni=1 ,
(4.5)
т.е. V | конус, называемый конусом п.п. иголок.
?усть далее
.
m
V k+m = {~? = (?q)qk+
(4.6)
=1 , ?1 . . . ?k+m ? V},
.
k+m = {~y = (yq)qk+=1m, y1 . . . yk+m ? [0, ??}, ? > 0,
(4.7)
и для любых ~? ? V k+m , ~y ? k+m полагаем
.
~y ~? = y1 ?1 + . . . + yk+m?k+m.
(4.8)
?оэтому если ?q =. {(?~kq , {~?kq (m)}m?Z )}Ni=1 , q = 1 . . . k + m , то из
(4.2){(4.5) вытекает, что ~y ~? ? V и при этом
?1
1
2
i
q
i
~y ~?
n
1
i
2
i
i
q
i
oN
= ((y1 ?~k1 , . . . yk+m?~kk+m ),{(~?k1 (m) . . . ~?kk+m (m))}m?Z )
1
1
k +m
i
i
k +m
i
i
i=1
.
(4.9)
Далее, с кадой иголкой ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , таN
кой, что ?(?) =. P |?~k | > 0 , свяем полоительное число
i=1
.
.
?(?) = min (?i+1 ??i )/? (?) , ?N +1 = a , и при (?, m) из (0, ?(?)?╫Z
16i6N
рассмотрим для кадого i = 1 . . . N дизъюнктную, примыкающую друг к другу систему полуинтервалов
?
?
?ma + [?i , ?i + ??i1 ),
.
j?
j
Tm,i,j (?, ?) =
(4.10)
P
P1
?
?il ,?i + ?
?il ), 2 6 j 6 ki .
?ma + [?i + ?
i
i
i
l=1
l=1
Из (4.10) следует, что mes Tm,i,j (?, ?) =
i = 1 . . . N имеют место соотношения
ki
[
j =1
??ij
и при кадом
( ) = ma + ?i + [0, ?|?~k |) ? ma + [?i, ?i+1 ?.
Tm,i,j ?, ?
i
71
Теперь, если рассматривается иголка (см. (4.9))
что
N k+m
. XX ~q
|?kq | > ,
( )=
? ~?
~y ~? ? V
i=1 q=1
0
i
то с ней свяем полоительное число
.
?(?,~? ) = min (?i+1 ? ?i )/?? (~? ),
16i6N
такая,
(4.11)
?N +1
= a.
(4.12)
Для такой иголки из (4.9) и (4.10) получаем, что при кадом
i ? {1 . . . N } и всех (?, m) ? (0, ?(?,~? )?
(
Tm,i,j (?y1 , ?1 ), 1 6 j 6 ki1 ,
Tm,i,j (?,~y ~? ) =
~ 1 | + . . . + yq?1 |?
~ q?1 |)+ Tm,i,j (?yq, ?q), (4.13)
?(y1 |?
k
k
1
q?1
i
i
где 2 6 q 6 k + m, 1 6 j 6 kiq. ?оэтому если
q
(
Tm,i,q ?,~y ~?
ki
. [
)=
j =1
(
)
(4.14)
Tm,i,j ?,~y ~? ,
где m ? Z , 1 6 i 6 N , 1 6 q 6 k + m , то так определенная
система полуинтервалов {Tm,i,q(?,~y ~? }kq+=1m дизъюнктна,
mes Tm,i,q(?,~y ~? ) = ?yq|?~kq |, q = 1 . . . k + m,
и, кроме того, для любых m ? Z, i = 1 . . . N
q
i
k[
+m
q=1
(
Tm,i,q ?,~y ~?
)= ma + ?i +[0, ?
kX
+m
q=1
)
~ qq | ? ma
yq|?
k
i
(4.15)
+[?i, ?i+1 ?. (4.16)
2. Сейчас введем игольчатые вариации для элементов мноества M() , определенного равенством (4.1).
72
О п р е д е л е н и е 4.1. ?усть иголка
~k , {~?k (m)}m?Z )}N ? V
? = {(?
i=1
такая, что ?(?) > 0 , и пусть ? ? [0, ?(?)). Тогда отобраение
t 7? ╡(t; ?, ?) ? rpm(U) , t ? R , определенное равенством
i
i
?
ki
N S
S
?
? b t , t ? S ma, m
a\
Tm,i,j ?, ? ,
. ╡
╡ t ?, ?
i=1 j =1
m?Z
?
?? m , t ? T
m,i,j ?, ? , m ? Z, 6 i 6 N, 6 j 6 ki ,
ij
()
([ ( + 1) ?
( )) (4.17)
( )
( )
1
1
называется игольчатой вариацией отобраения ╡b ? M() , отвечающей иголке ?.
З а м е ч а н и е 4.1. ?ри ? = 0 считаем ╡(t;0, ?) ? ╡b(t)
при всех ? ? V.
З а м е ч а н и е 4.2. Игольчатая вариация отобраения
~k , {~?k (m)}m?Z )}N ? V ,
╡
b ? M() , отвечающая иголке ? = {(?
i=1
определена, вообще говоря, в предполоении, что в зафиксированном наборе ?~ = (?i)Ni=1 точки ?i ? [0, a? , i = 1 . . . N удовлетворяют условию 0 6 ?1 < . . . < ?N < a.
Определим сейчас игольчатую вариацию отобраения ╡b(╖)
для набора ?~ = (?i )Ni=1 , в котором 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a. В
этом случае выделяем набор ?~ ? = (??i)Ni=1 , N ? 6 N такой, что
0 6 ??1 < . . . < ??N < a , где
.
.
??1 = ?1 = . . . = ?1+p , ??2 = ?2+p = . . . = ?2+p +p , . . .,
.
??N = ?N +p +...+p
= . . . = ?N +p +...+p +p ,
и иголке ? поставим в соответствие иголку
. ~?
?? = {(?
?k? (m)}m?Z )}N
i=1 ,
k , {~
в которой (здесь см. (4.2))
(
~
~
.
~k = (?k +p +...+p , . . ., ?k +p +...+p +p ), если pi > 0
?
?~k +p +...+p , если pi = 0,
(; )=
i
i
?
?
1
?
?
1
N ? ?1
1
1
?
N ? ?1
1
?
?
i
i
?
i
i
1
1
i?1
?
i
i
i?1
73
1
i?1
i
2
N?
(
. ~?k +p +...+p +p (m)), если pi > 0
( ) = (~?~?k +p +...+p ((mm)),. .если
pi = 0, (m ? Z).
k +p +...+p
Отметим, что ?(?) = ?(?? ). Теперь по набору ~? ? = (?i?)Ni=1 и иголке ?? строим аналогично (4.10) при кадом m ? Z и i = 1 . . . N ?
дизъюнктную систему полуинтервалов {Tm,i,j (?, ?? )}kj=1 , содеращуюся в ma +[??i, ??i+1? , ? ? (0, ?(?? )?, и определим аналогично
(4.17) игольчатую вариацию ╡(╖; ?, ?? ) отобраения ╡b , которую
и будем считать игольчатой вариацией ╡b , отвечающей иголке ?
и набору ?~ = (?i)Ni=1 , в котором 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a.
Таким образом, согласно данному определению, при исследовании свойств игольчатых вариаций элементов мноества M(),
достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда фиксируется такой набор ?~ = (?i )Ni=1, что 0 6 ?1 < . . . < ?N < a.
З а м е ч а н и е 4.3. В случае, если отобраение ╡b(╖)
из M1 является a -периодическим, то рассмотрев ╡(t; ?, ?) , определенное равенством (4.17) с иголкой ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ,
в которой при кадом i = 1 . . . N последовательности
{~?k (m)}m?Z ? (rpm(U))k , ~?k (m) = (?ij (m))kj =1
a -периодичны (т. е. ?ij (m + a) = ?ij (m) , m ? Z , j = 1 . . . ki ),
получим a -периодическую игольчатую вариацию для a -периодического отобраения ╡b(╖) ? M1 .
Рассмотрим иголку ~y ~? ? V такую, что ?(~? ) > 0 (см. (4.11)). В
этом случае из равенств (4.9), (4.13) и (4.14), а таке определения
4.1 вытекает
╡
b ? M() ~y ~? ? V
? (~? ) > 0.
Л е м м а 4.1.
? ? [0, ?(?,~? ))
t?R
╡(t; ?,~y ~? ) =
(4.18)
?
N k+
Sm
S
S
?
?╡
b(t), t ?
([
ma, (m + 1)a?\
Tm,i,q(?,~y ~? ),
=?
i=1 q=1
m?Z
?? q (m), t ? T
y ~? ),
m,i,j (?,~
ij
~?ki? m
.
i
1
i?1
i
1
i?1
i
i?1
1
i
?
?
i
i
i
i
i
i
,
?усть
Тогда при
i
и всех
74
и
имеет место равенство
1 6 i 6 N 1 6 q 6 k + m 1 6 j 6 kiq.
m
k+m
Т е о р е м а 4.1.
~? = (?q)qk+
=1 ? V
. ~q
= {(?k , {~?kq (m)}m?Z )}Ni=1 q = 1 . . . k + m ?(~? ) > 0.
╡
b(╖)? M()
.
.
A = {╡(╖; ?,~y ~? ), (?,~y ) ? X}, X = [0, ?(?,~? )? ╫ k+m,
M()
где
m ? Z,
,
,
?усть
q
i
, где
и
,
q
i
кадой функции
?q
=.
Тогда для
мноество
содерится в мноестве
, является равностепенно п. п.
и
( sup
lim
??0
~y?k +m
(;
)
( ) ) = 0.
k╡ ╖ ?,~y ~? ? ╡
b ╖ kw
Кроме того, для кадой функции
(
(
g ? S R, C U, R
lim
w(? ) = 0,
??0
(4.19)
))
(4.20)
где
( ) = supremum (sup
w?
.
y ? ),(??? ,~
y ?? )?X
(?? ,~
y ? ?~
y ?? |6?
|?? ???? |+|~
t?R
Zt+1
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ?╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds .
(;
) (;
) ( ) )
t
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольную
функцию c ? C (U, R) и рассмотрим отобраения
.
t 7? fb(t) = hb
╡(t), c(u)i,
Z
.
t 7? f (t, ?,~y ) = h╡(t, ?,~y ~? ), c(u)i = c(u)╡(t, ?,~y ~? )(du), (?,~y ) ? X,
U
определенные на t ? R, а таке отвечающие им последовательности {bf(╖, m)}m?Z , {f(╖, m, ?,~y )}m?Z ? L1([0, a?., R) , определенные при. кадом m ? Z равенствами bf(t, m) = fb(t + ma) ,
f(t, m, ?,~y ) = f (t + ma, ?,~y ) , t ? [0, a? , соответственно. ?оскольку ╡b ? M() , то fb ? S (R, R) и значит последовательность
75
( )
является п.п. Кроме того,q т.к. ?q ? V , то при всех
=1
, = 1 + m и j = 1 . . . ki числовые последовательности ( ) , где fqij (m) =. h?ijq (m), c(u)i , будут таке п.п.
?оэтому для кадого ? > 0 мноество
{bf ╖, m }m?Z
i
...N q
...k
{fqij m }m?Z
ki
+m \
N k\
\ \
q
( ) = E ({bf(╖, m)}m?Z , ?)
.
E ?
i=1 q=1 j =1
( ( )
) (4.21)
E {fqij m }m?Z , ? ,
где ? =. min(?/2, ?/2a) , не пусто и относительно плотно. ?окаем, что это мноество содерится в мноестве
. \
E (? ) =
E ({f(╖, m, ?,~y )}m?Z , ? ).
(?,~y )?X
Действительно, если n принадлеит E (?) , то, обозначив
N
. [
( )=
Am ?,~y
где
m?Z
i=1
( )
( )=
Am,i ?,~y ,
Am,i ?,~y
q=1
(
) (4.22)
Tm,i,q ?,~y ~? ,
, получаем следующие соотношения:
sup
m?Z
Z
a
(
|f t, m
0 Z
= sup
m?Z
+
k+m
. [
kiq
N kX
+m X
X
i=1 q=1 j =1
6
+ n, ?,~y ) ? f(t, m, ?,~y )| dt (4=.18)
[0,a?\A (?,~y )
0
(
|bf t, m
+ n) ? bf(t, m)|dt +
( + n) ? fqij (m)| ╖ mes Tm,i,j (?,~y ~? )
|fqij m
sup
m?Z
Z
0
a
(
|bf t, m
+ n) ? bf(t, m)|dt +
+a max (sup |fqij (m + n) ? fqij (m)||)
16i6N
16q6k +m
16j6k
m?Z
q
i
76
(4.21)
6 ?.
(4.15)
6
Отсюда следует, что мноество последовательностей
P = {{f(╖, m, ?,~y )}m?Z , (?,~y ) ? X}
равностепенно п.п. и для всех (?,~y ) ? X справедливо включение
Mod({f(╖, m, ?,~y )}m?Z ) ?
ki
N k[
+m [
[ [
q
?
Mod ({bf(╖, m)}m?Z )
i=1 q=1 j =1
({fqij (m)}m?Z )). (4.23)
В свою очередь, из равностепенной п.п. мноества P вытекает
равностепенная п.п. мноества функций {f (╖, ?,~y ), (?,~y ) ? X}.
Отсюда в силу произвольности выбора функции c ? C (U, R) , получаем (см. определение 2.2), что мноество A равностепенно
п.п. Далее, из (4.23) и теоремы 1.2, принимая
во внимание, что
╡
b ? M() и ?q ? V (а значит, Mod({fqij (m)}m?Z ) ? a Mod() ),
получаем, что при всех (?,~y ) из X Mod({f(╖, m, ?,~y )}m?Z ) содерится в a Mod() + 2?Z. Следовательно, учитывая, что точка
2? принадлеит Mod() , имеем следующие соотношения:
a
Mod(f (╖, ?,~y )) ? a1 (a Mod() + 2?Z) + 2a? Z ? Mod().
Теперь из леммы 2.4 следует, что Mod(╡(╖, ?,~y ~? )) ? Mod() ,
(?,~y ) ? X. Тем самым первое утвердение теоремы 4.1 доказано.
Далее, фиксируем произвольную функцию ? ? V1(R ╫ U, R)
и пусть (см. замечание 1.1) функция ?? ? L1(R, R+) такая, что
|?(t, u)| 6 ?? (t). ?оскольку (см. (4.7), (4.11)
при п.в. t ? R max
u?U
и (4.16)) sup Am (?,~y ) 6 ??? (~? ) , то по теореме Лебега об абсолютm?Z
ной непрерывности интеграла [36? получаем, что
Z
sup
?? (t)dt ? 0 при ? ? 0.
m?Z Am (?,~y )
~y?k +m
Отсюда (см. (4.18) и (4.22)), в силу неравенства
sup
m?Z
Z (m+1)a
ma
(
)
() ( )
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
b t , ? t, u i|dt 6
77
2 sup
m?Z
Z
Am (?,~y )
()
?? t dt,
вытекает, что
sup
t?R
Z t+a
t
(
)
() ( )
b t , ? t, u i|dt
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
?
~y?k +m
0 при ? ? 0.
В свою очередь, принимая во внимание, что ?? ? L1(R, R) и при
любом q ? N
|
Z
R
(
)
() ( )
h╡ s, ?,~y ? ╡
b s , ? s, u ids| 6
+2q sup
t?R
Z t+a
t
(
2
)
Z
R\[?qa,qa?
() +
?? s ds
() ( )
b t , ? t, u i|dt,
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
получаем следующее предельное равенство:
lim
( sup
??0
~y?k +m
|
Z
R
(
)
( ) ( ) ) = 0,
b t , ? t, u idt|
h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
которое по определению нормы k╖kw (см. п.1 из второго раздела)
влечет равенство (4.19).
Докаем теперь предельное равенство (4.20), считая, что
.
g = sup kg(t, ╖)kC (U,R) < ? (в общем случае для функции g расt?R
смотрим ее стекловское усреднение). Заметим (здесь см. (4.18)),
что если
t?
где
[
[ma, (m + 1)a? \
m?Z
N
[
i=1
(A?m,i
[
A??m,i ,
=. Am,i(? ? ,~y ?), A??m,i =. Am,i (? ??,~y ??),
то ╡(t; ?? ,~y ? ~? ) = ╡(t; ???,~y ?? ~? ) = ╡b(t) и в случае, если точка
\
t ? Tm,i,j (? ? ,~y ? ~? ) Tm,i,j (? ?? ,~y ?? ~? ),
A?m,i
78
то ╡(t; ?? ,~y ? ~? ) = ╡(s; ???,~y ?? ~? ) = ?ijq (m). ?оэтому при кадом
из Z имеют место соотношения:
Z (m+1)a
(;
ma
=
N Z
X
i=1
)
(;
) ( )
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ? ╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds
(;
2
(;
=
) ( )
(4.16)
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ? ╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds 6
A?m,i ?A??
m,i
6 g
)
m
+m
N kX
X
i=1 q=1
kiq
q
X
l=1
~ ll |,
|? ? yl ? ? ? ?? yl ?? | ╖ |?
k
i
из которых вытекает равенство (4.20).
С л е д с т в и е 4.1.
4.1
(t, ?,~y ) 7? ╡(.t; ?,~y ~? )
S (R ╫ X, rpm(U)) (где X = [0, ?(?,~? )? ╫ k+m ) и
для любой функции g ? S (R, C (U, R))
?усть выполнены условия теоре-
мы
. Тогда отобраение
принадлеит
пространству
( ) = sup
.
y ?,~y
t?R
Z t+1
t
(;
)
() ( )
b s , g s, u i|ds
|h╡ s ?,~y ~? ? ╡
?
~y?k +m
0 (4.24)
при ? ? 0.
3. В дальнейшем нам понадобится еще одно свойство элементов мноества V , которое вытекает из следующего утвердения.
Л е м м а 4.2.
(t, u) 7? fm(t, u) (t, u) ? [0, a? ╫ U
m ? Z
u ? U3
{? (m)}m?Z ? rpm(U)
{h? (m), fm (╖, u)i}m?Z ? C ([0, a?, R)
Допустим, что последовательность не-
прерывных отобраений
,
п. п. последовательности
последователь-
будет п. п.
ность
3
,
. Тогда для любой
является п. п. равномерно по
т. е. для любого
?
>
0 мноество
.
T
u?U
E ({fm (╖, u)}m?Z , ?) , где
E ({fm (╖, u)}m?Z , ?) = {n ? Z : max | fm+n (t, u) ? fm (t, u)| 6 ?} , относитель-
но плотно.
t?[0,a?
79
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность
отобраений {fm }m?Z из C ([0. , a? ╫ U, R) п.п. равномерно по
u ? U , то sup kfm kC ([0,a?╫U, R) = k < ? и для заданного ? > 0
m?Z
найдется такое ? > 0 , что sup ?? [fm(t, ╖), U? < 3? . ?усть,
(t,m)?[0,a?╫Z
далее, U1 . . . Up | открытое покрытиеp компакта U такое, что
diam Uj 6 ? , j = 1 . . . p , и через {?j }j=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию.
Теперь
T
для кадого j = 1 . . . p фиксируем точку uj ? U Uj , в которой ?j (uj ) > 0 , и рассмотрим числовую п.п. последовательность
{?j (m)}m?Z , где
.
?j (m) = h? (m), ?j (u)i ? [0, 1?, m ? Z, j = 1 . . . p.
?оскольку
p
P
j =1
( ) = 1 при всех
?j m
m ? Z
, то последователь-
ность {(m)}m?Z , где (m) =. P ?j (m)?u , m ? Z , содерится
j =1
в rpm(U) и является п.п. Сейчас для любого n , принадлеащего относительно плотному мноеству
p
j
( )=
E y
.
\
(
)
E {fm }m?Z , y
u?U
p
\ \
j =1
( ( )
)
E {?j m }m?Z , y ,
=. min( 6?pk , 6? ) , имеем (см. доказательство теоремы 2.2) следующие соотношения:
sup ( max |h? (m + n), fm+n(t, u)i ? h? (m), fm (t, u)i|) 6
m?Z t?[0,a?
sup |h? (m) ? (m), fm (t, u)i| +
62
y
(t,m)?[0,a?╫Z
+k
p
X
sup |?j (m + n) ??j (m)| + sup t?max
|fm+n(t, u) ?fm (t, u)| 6
[0,a?
j =1 m?Z
6
2
m?Z
sup
(t,m)?[0,a?╫Z
[ ( ) ? + (pk + 1)y 6 2 ╖ 3? + 6? + 6? = ?,
?? fm t, ╖ , U
80
из которых вытекает, что E (y) ? E ({h? (m), fm (╖, u)i}m?Z , ?).
С л е д с т в и е 4.2.
f ? B (R ╫ U, R).
~k , {~?k (m)}m?Z )}N
? = {(?
i=1
t ? [0, a?
q?1
X
1
lim
?ij h?ij (m), f (t + ma, u)i, i = 1 . . . N, j = 1 . . . ki .
?усть функция
Тогда для любой иголки
i
при кадом
i
существуют пределы
q??
5.
qa
m=0
Лемма Филиппова для п. п. отобраений
1. ?усть (X, ?) | компактное метрическое пространство,
x = diam X и (Y, k ╖ k) | сепарабельное банаховое пространство, omp(X) | совокупность всех непустых компактных подмноеств из X с метрикой Хаусдорфа dist? . Отметим [68?, что
(omp(X), dist?) | компактное метрическое пространство. Далее, на мноестве L1lok (R, omp(X)) (см. п.1 из первого раздела)
зададим ddist -расстояние
.
?
(
ddist? F1 , F2
) =. sup
t?R
Z t+1
t
dist?(F1 (s), F2 (s)) ds,
(5.1)
где F1, F2 ? L1lok (R, omp(X)), и рассмотрим метрическое пространство метрическое S (R, (omp(X), ddist )). Напомним, что если F ? S (R, omp(X)), то Mod(F ) состоит из таких точек ? ? R,
что j??
lim exp(i??j ) = 1 (i2 = ?1) для всякой F -возвращающей
последовательности {?j }j?Z .
Рассмотрим далее такую функцию f ? Vloc
1 (R ╫ X, Y), что
при кадом x из X f (╖, x) ? S (R, Y), и для нее построим отобраение
.
t 7? N (t) = {x ? X : f (t, x) = 0}, t ? R.
(5.2)
Если N (t) 6= ?, то N (t) ? omp(X) и, кроме того [36; 68?, отобраение t 7? N (t), t ? R измеримо, и существует такая измеримая функция x : R ? X, что x(t) ? N (t) для п.в. t ? R .
?
81
Но эта функция моет не принадлеать пространству S (R, X) .
Чтобы показать это, приведем сначала пример (см. [69?) такой
функции f ? B (R, R), что мноество ее нулей совпадает с Z и
для которой отобраение t 7? sign f(t) (считаем sign 0 = 0 ) не
принадлеит пространству S (R, R) .
? р и м е р 5.1. Для кадого j ? Z+ рассмотрим мноества
1
.
.
Aj = {z ? Z : z ? ((?2)j ? 1)( mod 2j +1 )}, Bj = 2j + Aj ,
3
из определения которых вытекает, что Ak T Aj = ?? при k =6 j,
S
S
Bj = Aj +1 Bj +1 для всякого j ? Z+ и Z =
Aj . Далее,
j =0
фиксируем функцию ? ? C (R, [0, 1?) такую, что ?(t) ? (0, 1?
при t ? (0, 1) и ?(t) = 0 при t ? R \ (0, 1), и полагаем
X
.
fj (t) = (?2)?j
? (t ? i), t ? R, j ? Z+ .
i?Aj
?оскольку fj | непрерывная 2j+1 -периодическая функция и
|fj (t)| 6 2?j , j ? Z+ , то функция
max
t?R
?
. X
()=
ft
j =0
()
fj t ,
t?R
(5.3)
принадлеит B (R, R) и sup | f(t)| 6 1 . Кроме того, мноество
t?R
нулей этой функции совпадает с Z . ?окаем теперь, что отобраение t 7? sign f(t) не принадлеит S (R, R) . Действительно,
k?1
пусть m ? Z+ и k > m . Тогда Z = S Al T Bk?1 . Далее, берем
l=0
a1 ? Ak и a2 ? Ak?1 . Отметим здесь, что Ak ? Bk?1 и Ak+1 ?
Bk ? Bk?1 . Для этих чисел найдется такое l ? {0 . . . k ? 1}, что
a1 + 2k ? 2m ? Al и a2 + 2k ? 2m ? Al . Теперь имеем следующие
82
соотношения
sup
t?R
>
max
i=1,2
Z t+1
Z 1
{
|
0
|
t
sign f(s + 2m ) ? sign f(s + 2k )|ds >
sign f(s + ai + 2k ? 2m ) ? sign f(s + ai)| ds} = 2,
из которых следует, что мноество функций {sign f(╖ +2j )}?j=0 не
имеет конечной (относительно метрики d ) 2-сети и, значит, (см.
[31. C.219?), функция t 7? sign f(t) не принадлеит пространству
S (R, R) . Отметим, что пример функции f ? B (R, R), обращающейся в нуль на счетном мноестве точек из R и для которой
отобраение sign f ?/ S (R, R), приведен таке в работе [55?.
? р и м е р 5.2. Рассмотрим функцию f из примера 5.1
и по ней построим отобраение (t, x) 7? f (t, x) =. | f(t)| ? f(t)x,
(t, x) ? R ╫ [?1, 1?, которое принадлеит B (R ╫ [?1, 1?, R) . Для
этого отобраения N (t) = {sign f(t)}, t ? R \ Z (здесь см. (5.2)
при X =. [?1, 1?, Y =. R ), а т.к. sign f ?/ S (R, R), то не существует функции x ? S (R, [?1, 1?), удовлетворяющей при п.в. t ? R
равенству f (t, x(t)) = 0.
В связи со сказанным возникает вопрос о существовании таких функций x ? S (R, X), что x(t) ? N (t) при п.в. t ? R . Для
приведения достаточных условий существования таких функций
предполагаем далее, что N (t) 6= ? при п.в. t ? R, и введем в
рассмотрение следующее измеримое отобраение (? > 0) :
.
t 7? W (t, ?) = {x ? X : kf (t, x)k 6 ?} ? omp(X), t ? R. (5.4)
t+1
R
dist?(W (s, ?), N (s))ds = 0 при кадом t ? R .
Отметим, что lim
??0
t
Т е о р е м а 5.1.
удовлетворяет
4
4
условию
A)
и
См. определение 1.5.
83
(
)
f ? V1loc R ╫ X, Y
f ╖, x ? S R, Y при кадом
?усть функция
( )
(
)
x ? X.
Тогда, если
lim
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
??0
(5.5)
?
Mod(N ) ? Mod S (f (╖, x))
x?X
x ? S (R, X),
x(t) ? N (t)
t?R
Mod(x) ? Mod(N )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для t1, t2 ? R полагаем
?(t1, t2 ) =. max{x?N
max(t ) ?(x, W (t2 , ?)), x?N
max(t ) ?(x, W (t1 , ?))}.
то
( omp(X))
N ? S R,
и
. Кроме
что
того, существует такая функция
при п. в.
и
.
1
2
?оскольку ?(x, A) 6 ?(x, B ) + dist?(A, B ) для любых x ? X и
A, B ? omp(X), то из определения ? (t1 , t2 ) получаем, что при
всех t1, t2 ? R
?(t1, t2 ) > dist?(N (t1 ), N (t2 )) ?
?dist? (W (t1 , ?), N (t1 )) ? dist? (W (t2 , ?), N (t2 )).
Откуда вытекает, что для кадого ? ? R справедливо неравенство
ddist (N? (╖), N (╖)) 6
(5.6)
Z t+1
6 2ddist (W (╖, ?), N (╖)) + sup
?(s, s + ? )ds.
?
?
t?R
Далее для заданного
(0, ?), что
?>
t
0 в силу (5.5) найдется такое ? из
( ( ) ( )) < 4? .
(5.7)
В свою очередь, для этого ?, используя равенство (1.10), выбираем ? > 0 таким, что
sup(mes{s ? [t, t + 1?: ?? [f (s, ╖), X? > ?3 }) < 8?x . (5.8)
ddist? W ╖, ? , N ╖
t?R
84
?о этому ? строим конечную ? -сеть {x1 , . . . , xp} ? X компакта X и фиксируем произвольное ?, принадлеащее плотному
мноеству
p
\
j =1
((
2
) 12?px ).
ES f ╖, xj ,
(5.9)
Кроме того, для кадого t ? R на [t, t +1? фиксируем такое измеримое отобраение s 7? x(s) ? N (s), что для п.в. s ? [t, t + 1?
max ?(x, W (s + ?, ?)) = ?(x(s), W (s + ?, ?)),
x?N (s)
и полагаем
( ) =. {s ? [t, t + 1? : x(s) ? W (s + ?, ?)}.
В силу (5.4) очевидно, что
[t, t + 1? \ T(t, ?) = {s ? [t, t + 1? : kf (s + ?, x(s))k > ?)}.
Введем, наконец, в рассмотрение мноества
.
Mj (t) = {s ? [t, t + 1? : ?(xj , x(s)) < ?}, j = 1, . . . , p,
и по ним построим дизъюнктную систему мноеств
T t, ?
( ) = M1(t), Tj (t) = Mj (t) \
T1 t
.
.
j?
[1
k =1
( ) = 2, . . . , p,
Mk t , j
объединение которых есть [t, t + 1? .
Теперь, принимая во внимание, что x(s) ? N (s), а значит,
f (s, x(s)) = 0, s ? [t, t+1?, неравенство (5.8) и выбор ?, получаем
следующие соотношения:
Z t+1
t
max ?(x, W (s + ?, ?)) ds =
x?N (s)
85
Z t+1
t
( ( ) ( + ?, ?)) ds =
? x s ,W s
=
Z
[t,t+1?\T(t,?)
6x
( ( ) ( + ?, ?)) ds 6 x mes([t, t + 1? \ T(t, ?)) 6
? x s ,W s
p
X
j =1
mes{s ? Tj (t) : kf (s, xj ) ? f (s, x(s))k +
+kf (s + ?, xj ) ? f (s, xj )k + kf (s + ?, x(s)) ? f (s + ?, xj )k > ?} 6
p
X
(mes{s ? Tj (t) : ?? [f (s + ?, ╖), X? > ?3 } +
6x
j =1
+mes{s ? Tj (t) : kf (s + ?, xj ) ? f (s, xj )k > ?3 } +
+mes{s ? Tj (t) : ?? [f (s, ╖), X? > ?3 }) 6
?
6 2x sup(mes{s ? [t, t + 1? : ?? f (s, ╖), X? > }) +
3
t?R
p
2
X
+ 3?x d(f (╖ + ?, xj ), f (╖, xj )) < 2x ╖ 8?x + 3?px ╖ 12?px = 4? + ?4 < 2? .
j =1
Отсюда, в силу произвольности выбора точки
следующее неравенство:
sup
t?R
Z t+1
t
t ? R
получаем
?
max
?(x, W (s + ?, ?))ds 6 .
2
x?N (s)
Аналогично доказывается, что
sup
t?R
Z t+1
t
?
max
?(x, W (s, ?)) ds 6 .
2
x?N (s+? )
Из последних двух неравенств получаем, что
sup
t?R
Z t+1
t
? (s, s + ? ) ds 6 2? .
?оэтому, в силу неравенств (5.6) и (5.7), ddist (N? (╖), N (╖)) < ? .
Таким образом, доказано, что для кадого ? > 0 относительно
?
86
плотное мноество (5.9) содерится в ES (N , ?), т.е. N принадлеит пространству S (R, omp(X)) и при этом
p
[
Mod(N ) ? Mod( (f (╖, xj ))) ? Mod(
j =1
[
(f (╖, x))).
x?X
?ервое утвердение теоремы 5.1 доказано. Второе утвердение
есть следствие первого утвердения и результатов работ [65; 55?.
З а м е ч а н и е 5.1. Рассматриваем в дальнейшем кадое мноество K ? omp(rpm(U)) как подпространство компактного метрического пространства (rpm(U), ?w ) и omp(K)
будем считать, соответственно, подпространством. метрического
пространства (omp(rpm(U)), distw ), где distw = dist? . Аналогично мноество U ? omp(Rm ) будем рассматривать как
компактное метрическое пространство (U, ?m ) и (omp(U), dist)
| подпространство. метрического пространства (omp(Rm ), dist),
в котором dist = dist? . С учетом сказанного рассматриваем таке и мноества S (R, K) ? S (R, (omp(rpm(U)), ddist )) и
S (R, omp(U)) ? S (R, (omp(Rm ), ddist )).
Теперь для удобства ссылок приведем в виде следствий теорему 5.1 при конкретном выборе X .
g ? S (R, C (U, Rn )),
С л е д с т в и е 5.1.
K ? omp(rpm(U))
.
N (t) = N (t; K) = {? ? K : h?, g(t, u)i = 0},
(5.10)
.
W (t, ?) = W (t, ?; K) = {? ? K : |h?, g(t, u)i| 6 ?},
(5.11)
t ? R, ? > 0
N (t) 6= ?
t ? R
lim
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
N ? S (R, K),
??0
╡ ? AP M1 ,
╡(t) ? N (t)
t?R
g
Mod(╡) ? Mod(N ) ? Mod( )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отобраение
(t, ? ) 7? fb(t, ? ) =. h?, g(t, u)i, (t, ? ) ? R ╫ K . Так как функция
w
m
w
?усть функция
и
. Тогда если
где
w
кое
при п. в.
то
что
для п. в.
.
включения
87
и
существует та-
и выполняются
(
(
)) то из неравенства
g ? S R, C U, Rn ,
sup
t?R
6
sup
t?R
Z t+1
t
Z t+1
t
max
|fb(s + ?, ? ) ? fb(s, ? )| ds 6
??K
| g(s + ?, u) ? g(s, u)| ds, (? ? R)
max
u?U
вытекает, что fb ? S (R, C (K, Rn)) и (здесь см. следствие 1.1 и
равенство (1.6) при X = K и X = U )
[
[
Mod( (fb(╖, ? ))) = Mod(fb) ? Mod(g) = Mod( (g(╖, u))).
??K
u?U
Кроме того, по следствию 1.2 функция fb удовлетворяет условию
А). Теперь, взяв в теореме 5.1 (X, ?) = (K, ?w ), Y = Rn и f = fb,
получим утвердение следствия 5.1.
g ? S (R, C (U, Rn ))
С л е д с т в и е 5.2.
.
N (t) = N (t; U) = {u ? U : g(t, u) = 0}, t ? R,
(5.12)
.
W (t, ?) = {u ? U : | g(t, u)| 6 ?}, t ? R (? > 0).
(5.13)
N (t) 6= ?
t ? R lim ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
??0
N ? S (R, omp(U)),
u ? S (R, U),
u(t) ? N (t)
t ? R
Mod(u) ? Mod(N ) ? Mod(g)
З а м е ч а н и е 5.2. ?о лемме 2.1 функция u ? S (R, U)
является сечением отобраения(1) N в том и только в том случае, если ╡(╖) = ?u(╖) ? AP M1 будет сечением отобраения
N (╖; DIR(U)) . Более того, N ? S (R, omp(U)) в том и только
в том случае, если N (╖; DIR(U)) ? S (R, omp(DIR(U))) . Таким
образом, если существует функция u ? S (R, U), являющаяся сечением отобраения N, то отобраение ?u(╖) ? AP M1(1) будет
?усть
Тогда если
то
что
при п. в.
и
и
существует такая функция
для п. в.
и выполняются включения
.
88
сечением отобраения N (╖;rpm(U)) . Следующий пример показывает, что отобраение N (╖;rpm(U)) моет иметь сечения, принадлеащие AP M1 , тогда как у N (╖) моет и не быть сечений
из S (R, U) .
? р. и м е р 5.3. ?усть U =. {(u1 , u2 ): |u1 | = 1, |u2 | 6 1} и
g(t, u) = u1 (| f(t)| ? f(t)u2 ), (t, u) ? R ╫ U, где f ? B (R, R) определяется равенством (5.3) из примера 5.1. Функция g ? B (R ╫ U, R)
и (см. (5.12)) N (t) = {(▒1, sign f(t))} для п.в. t ? R . ?оскольку sign f ?/ S (R, R), то у N (╖) нет п.п. по Степанову сечений.
С другой стороны, отобраение t 7? N (t;rpm(U)), t ? R содерит, по крайней мере, сечение ╡(t) = 12 (?u (t) + ?u (t) ), где
uk (t) = ((?1)k , u(t)), k = 1, 2, t ? R и где, в свою очередь, u(╖)
| любая функция из S (R, [?1, 1?) .
Сейчас, используя следствие 5.2, докаем следующее достаточное условие п.п. по Степанову функции sign f, эквивалентное
? -свойству функции f [70. C.504?.
Л е м м а 5.1.
f ? S (R, R)
.
I (? ) = {t ? R : |f (t)| 6 ?} (? > 0).
1
?усть функция
Тогда если
\
2
и
lim
sup
(mes([
t, t + 1? I (? )) = 0,
(5.14)
??0 t?R
sign f ? S (R, R) Mod(sign f ) ? Mod(f )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
.
g(t, u) =
|f (t)| ? f (t)u, (t, u) ? R ╫ [?1, 1?.
Так как f ? S (R, R), то g ? S (R, C (U, R)) и Mod(g) ? Mod(f ) .
Далее для данной функции (см.(5.12), (5.13)) N (t) = {sign f (t)}
при п.в. t ? R, W (t, ?) = {u ? [?1, 1?: |f (t)| ? f (t)u 6 ?}, t ? R .
Следовательно, если u? ? W (t, ?), то
(
[1 ? f?(t) , 1?, если f (t) > 0,
u? ?
(5.15)
[?1, ?1 ? f?(t) ?, если f (t) < 0.
то
и
89
.
Теперь для заданного ? > 0, в силу (5.14), найдется такая
константа ? > 0, при которой будет выполнено неравенство
sup(mes([t, t + 1? T I (?)) < 4? . ?оэтому
t?R
sup
t?R
Z t+1
t
( ) sign f (s)|ds 6 2sup(mes([t, t + 1?
|u? s ?
Z
+sup
t?R
t?R
[t,tZ+1?\I (? )
+sup
t?R
( ) sign f (s)|ds < 2? +
|u? s ?
[t,t+1?\I (? )
\
( )) +
I ?
( ) sign f (s)|ds.
|u? s ?
Далее, если s ? [t, t + 1? \ I (?), то |f (s)| > ? и, следовательно, в
u? (s) = sign f (s) . ?оэтому из полученного выше
силу (5.15) lim
??0
соотношения вытекает, что при всех достаточно малых ? > 0
d(u? (╖), sign f (╖)) < ? . Таким образом, lim ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0.
??0
?о следствию 5.2 отобраение t 7? N (t) = {sign f (t)} п.п., а
значит, и функция sign f (╖) ? S (R, R) .
2. ?усть G | область в Rn, и всюду далее, если не оговорено
специально, рассматриваем отобраение (t, x, u) 7? f (t, x, u) ? Rn ,
(t, x, u) ? R╫G╫U такое, что для любого K ? omp(G) функция
f ? S (R, C (K ╫ U, Rn )) .
K ? omp(G)
╡ ? AP M1
Л е м м а 5.2.
и
Для всякого
отобраение
(t, x) 7? h╡(t), f (t, x, u)i =.
Z
( ) ( )( )
(5.16)
S (R, C (K, Rn )).
x ? B (R, G),
orb(x) ? G,
t 7? h╡(t), f (t, x(t), u)i ? Rn
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функции f рассмотрим
при кадом h > 0 ее стекловское усреднение
Z t+h
(t, x, u) 7? fh(t, x, u) =. h1
f (s, x, u)ds ? Rn ,
f t, x, u ╡ t du
U
Кроме того, для
принадлеит пространству
всякой функции
такой, что
ение
п. п. по Степанову.
t
90
отобра-
принадлеащее пространству B (R ╫ K ╫ U, Rn) и, стало быть,
ограниченное на мноестве R ╫ K ╫ U . ?олагаем далее
.
fh (t, x) = h╡(t), fh (t, x, u)i, (t, x) ? R ╫ K.
?оскольку при всяком ? > 0
sup mes{s ? [t, t + 1?: ?? [fh(s, ╖), K ? > ?} <
t?R
Z t+1
Z t+1
1
< sup
?? [f (s, ╖), K ?ds 6 sup
?? [f (s, ╖, ╖), K ╫ U ?ds,
?
t?R
h
t
t?R
t
а f ? S (R, C (K ╫ U, Rn)), то (см. лемму 1.3) ограниченное на
R ╫ K отобраение (t, x) 7? fh (t, x), (t, x) ? R ╫ K удовлетворяет условию А) и, кроме того, (см. следствие 2.3) при кадом
x ? K, fh (╖, x) ? S (R, Rn ) . Стало быть, по лемме 1.4 при кадом
.
h > 0 fh ? S (R, C (K, Rn )) . ?усть далее f(t, x) = h╡(t), f (t, x, u)i,
(t, x) ? R ╫ K . ?оскольку при кадом h > 0 и любом ?
sup
6
2sup
t?R
Z t+1
t?R t
Z t+1
t
+sup
t?R
| f(s + ?, x) ? f(s, x)|ds 6
max
x?K
max
(x,u)?K╫U
Z t+1
t
( + ?, x, u) ? fh(s, x, u)|ds +
|f s
max
|fh (s + ?, x) ? fh (s, x)|ds,
x?K
то (см. теорему 1.2) из равенства
(sup
lim
h?0
t?R
Z t+1
t
max
(x,u)?K╫U
(
)
(
) )=0
|f s, x, u ? fh s, x, u |ds
и включения {fh, h > 0} ? S (R, C (K, Rn )) получаем первое
утвердение леммы 5.2. Далее, т.к. x ? B (R, G), то мноество K =. orb(x) ? omp(
R G) . ?о доказанному выше функция
(t, u) 7? f (t, x(t), u) = K f (t, x, u)?x(t) (dx) принадлеит пространству S (R, C (U, Rn)), а значит, по следствию 2.3 функция
t 7? h╡(t), f (t, x(t), u)i п.п. по Степанову.
91
Л е м м а 5.3.
( ) orb( )
( () )
o ( ( ) )
( omp( )) ( onv( ))
x ? B R, G и
x ?G .
Тогда отобраения t 7? f t, x t , U , t 7?
f t, x t , U принадRn и S R,
Rn соотлеат пространствам S R,
?усть функция
ветственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?олоим K =. orb(x). ?оскольку x ? B (R, G), то K ? omp(G) и, т.к. f принадлеит
S (R, C (K╫U, Rn )), то по лемме
1.3 для заданного ? > 0 найдется
такое ? > 0, что I (? ) =. sup Rtt+1 ?? [f (s, ╖, ╖, K ╫ U)?ds < 2? и мноt?R
ество EB (x, y) T( T ES (f (╖, z, u), y)), где y =. min( 2? , ? ),
(z,u)?K╫U
относительно плотно. ?усть ? принадлеит этому мноеству.
Теперь для кадого t ? R фиксируем такую измеримую функцию u : [t, t + 1? ? U, что
max ?n(f, f (s + ?, x(s + ? ), U)) =
f?f (s,x(s),U)
= ?n(f (s, x(s), u(s)), f (s + ?, x(s + ? ), U)).
Теперь из соотношений
Z t+1
( ( ( ) ( )) ( + ?, x(s + ? ), U))ds 6
?n f s, x s , u s , f s
t
+
6
sup
t?R
Z t+1
6
t
Z t+1
Z
( + ?, x(s), u(s)) ? f (s + ?, x(s + ? ), u(s)|ds 6
|f s
t
t+1
t
( ( ) ( )) ? f (s + ?, x(s + ? ), u(s)|ds +
|f s, x s , u s
max
(x,u)?K╫U
вытекает, что
sup
t?R
Z t+1
t
( + ?, x(s + ? ), u(s) ? f (s, x(s), u(s))|ds +
+I (? ) < 2? + 2? = ?
|f s
max
f?f (s,x(s),U)
( ( + ?, x(s + ? ), U))ds 6 ?.
?n f, f s
92
Аналогично показываем, что
sup
t?R
Z t+1
t
max
f?f (s+?,x(s+? ),U)
( ( ( ) )) ))
?n f, f s, x s , U , U ds 6 ?.
Из последних двух неравенств вытекает, что
sup
t?R
Z t+1
t
dist(f (s, x(s), U), f (s + ?, x(s + ? ), U))ds 6 ?.
Тем самым первая часть леммы 5.3 доказана. Далее из неравенства dist(oA, oB ) 6 dist(A, B ), A, B ? omp(Rn) вытекает
второе утвердение этой леммы.
Рассмотрим п.п. по Степанову (см. лемму 5.2) систему дифференциальных уравнений
x_ = h╡(t), f (t, x, u)i, ╡(╖) ? AP M1 , (t, x) ? R ╫ G
(5.17)
и дифференциальное включение
x_ ? of (t, x, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.18)
с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.
Т е о р е м а 5.2.
x ? B (R, G)
╡ ? AP M1
(5.17),
orb(x) ? G
(5.18),
x_ (t) ? of (t, x(t), U)
t?R
Доказательство теоремы 5.2 практически совпадает с доказательством соответствующего утвердения в измеримом случае
(см.,например, [36?) и мы его опускаем.
Отметим далее, что, в отличие от измеримого случая, вообще
говоря, нельзя утвердать, что если x(╖) | п.п. по Бору решение включения (5.18), то оно будет и решением системы (5.17)
при некотором ╡ ? AP M1 .
?усть функция
решением системы
является
отвечающим некоторому
. Тогда она является таке и решением включения
и
т. е.
при п. в.
93
.
? р и м е р 5.4.?усть f (t, x, u) =. x + | f(t)|? f(t)u, при всех
(t, x, u) ? R ╫ R ╫ [?1, 1?, где функция f ? B (R, R) определена
равенством (5.3). Тогда очевидно, что x(t) ? 0 есть решение
дифференциального включения x_ ? x + | f(t)| ? f(t) ╖ [?1, 1? . С
другой стороны, равенство | f(t)|?h╡(t), f(t)ui = 0 возмоно лишь
при ╡(t) = ?sign f(t) , а т.к. sign f ?/ S (R, [?1, 1?), то по лемме 2.1 и
╡?
/ AP M1 .
Введем в рассмотрение мноество
C
n
+1
X
=. {
j =1
?j ?uj ,
0 6 ?j 6 1,
uj ? U, j
= 1, . . . , n + 1,
n
+1
X
j =1
?j
= 1},
принадлеащее onv(rpm(U)) .
x ? B (R, G)
Т е о р е м а 5.3.
(5.18),
orb(x) ? G
n
x_ ? S (R, R )
t 7? N (t), t 7? W (t, ?)
.10)
(5
.11)
(5
.
K = C g(t, u) = x?f
_ (t, x(t), u)
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
╡
b ? AP M1 ,
lim
al?0
╡
b(t) ? C
t?R
x(╖)
(5.17)
╡(t) = ╡
b(t)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку f принадлеит
пространству S (R, C (K ╫ U, Rn)), где K =. orb(x), то для заданного ? > 0 найдется такое ? > 0, что (см. принятое при
доказательстве леммы 5.3 обозначение) I (? ) < ?/3 и мноество
\
\
\
?
.
EB (x, y) ES (x,
_ y) (
EB (f (╖, z, u), y)), y = min( , ? )
3
| такое реше-
?усть
ние дифференциального включения
что
и
. ?усть отобраения
и
определены равенствами
и
соответственно при
. Тогда если выполнено равенство
то существует такое
w
что
для п. в.
нений
при
и
| решение системы урав-
.
(z,u)?K╫U
относительно плотно. Далее, т. к. для кадого
ества
sup
t?R
Z t+1
t
?
из этого мно-
max
| g(s + ?, u) ? g(s, u)|ds 6 d(x_ ? , x_ )+
u?U
94
Z t+1
+sup
max |f (s + ?, z, u) ? f (s, z, u)|ds + I (? ) < ?,
(z,u)?K╫U
t?R t
то g ? S (R, C (U, Rn)) . Теперь утвердение теоремы 5.3 вытекает
из следствия 5.1 при K = C .
Рассмотрим далее п.п. по Степанову систему дифференциальных уравнений
x_ = f (t, x, u(t)), u(╖) ? S (R, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.19)
и дифференциальное включение
x_ ? f (t, x, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.20)
с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.
Очевидно, что всякое п.п. по Бору решение системы (5.19)
является решением включения (5.20). Обратное утвердение (см.
пример 5.4), вообще говоря, неверно. В связи с этим приведем
следующую теорему, вытекающую из следствия 5.2.
x(╖) ? B (R, G)
Т е о р е м а 5.4.
(5.20),
orb(x) ? G
x_ (╖) ? S (R, Rn )
t 7? N (t), t 7? W (t, ?)
(5.12) (5.13)
.
g(t, u) =
x_ (t) ? f (t, x(t), u)
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
u
b(╖) ? S (R, Rn ),
lim
??0
x(╖)
(5.19)
u(t) = u
b(t).
| такое реше-
?усть
ние дифференциального включения
что
и
. ?усть, далее, отобраения
и
определены равенствами
соответственно при
. Тогда, если выполнено равенство
то существует такое
что
будет являться решение системы уравнений
при
Список литературы
1. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические двиения управляемой
системы // Математическая физика. 1977. Вып. 21. С. 45{59.
2. Halanay A. Optimal ontrol of periodi solution // Rev. Roumaine de
mat. Pures et appl. 1974. V. 19, Є 1. P. 3{16.
3. ?анасюк А. И., ?анасюк В. И. Асимптотическая магистральная
оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986.
296 с.
95
4. ?анасюк А. И., ?анасюк В. И. Оптимальное управление с усредненным вдоль траектории функционалом // ?ММ. 1985. Т. 49,
Є 4. С. 525{536.
5. Белоусов Л. А., Тонков Е. Л. Некоторые математические задачи,
связанные с одной моделью химического катализа // Изв. Ин-та
матем. и информ./ УдГУ. Иевск. 1997. Є 1(9). С. 3{62.
6. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными
двиениями. М.: Наука, 1991. 224 с.
7. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высш. шк., 1979. 400 с.
8. Horn J., Lin R. C. Periodi Proesses: A Variational Approah // Eng.
Chem. Proess Desing and Development, 1967. V. 6, Є 1. P. 21{30.
9. Белоусов Л. А., Тонков Е. Л. Об оптимальном управлении периодическими колебаниями некоторых процессов химического катализа // Нестационарные процессы в катализе: Тр. конф. Новосибирск, 1987. С. 212{225.
10. Дукельский М. С., Цирлин А. М. Условия нестационарности установившегося реима управляемого объекта // Автоматика и телемеханика. 1977, Є 8. С. 5{12.
11. ?етрова В. В., Тонков Е. Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Изв. вузов. Математика. 1996, Є 11. С. 65{71.
12. ?еров А. И., Тананика А. А. Об одном геометрическом результате
в вопросах периодической оптимизации // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, Є 4. C. 718{721.
13. ?еров А. И., Белоусова Е. ?. Об одной нелинейной задаче периодической оптимизации / Вороне. ун-т. Вороне, 1995. 23 с. Деп.
в ВИНИТИ 09.08.95, Є 2409-95.
14. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические двиения управляемой
системы // Математическая физика. 1977. Вып. 22. С. 54{64.
15. Тонков Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, Є 6.
C. 1007{1011.
16. Тонкова В. С. Вопросы эффективного расширения задач математического программирования // Методы вычислительного эксперимента в иненерной практике. Иевск.: ИММ, 1991. Вып. 1.
С. 90{99.
17. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических
систем. Л.: Машиностроение, 1976. 248 с.
18. Цирлин А. М., Балакирев В. С., Дудников Е. Г. Вариационные
96
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976.
448 с.
Федоренко Р. ?. ?риблиенное решение задач оптимального управления. M.: Наука, 1978. 488 с.
Черноусько Ф. Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. M.: Наука, 1978. 348 с.
Guardabassi G., Loatelli A., Rinaldi S. The status of periodi
optimization of dynami systems // J. Optimization Theory and Appl.,
1974. V. 14, Є 1. P. 1{20.
Gilbert E. G. Optimal Periodi Control: a General Theory of Neessary
Conditions // SIAM J. Contr. Optimisation. 1977. V. 15, Є 5. P. 717{
746.
Bittanti S., Loatelli A., Guardabassi G. Periodi ontrol: A frequeny
domain approah // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V.18, Є 1.
P. 33{34.
Bittanti S., Loatelli A., Maezoni C. Seond-variation mehhods in
periodi optimisation // J. Optim. Theory and Appl. 1974. V. 14,
Є 14. P. 31{49.
Markus L. Optimal ontrol of limit yles or what ontrol theory an
do to ure a heart attak or to ause one // Let. Notes Math. 1973.
V. 312. P. 108{134.
Chang K. S. Neessary and su╞ient onditions for optimality. Periodi
optimization. New York: Springer-Verlag, 1972. P. 183{217.
Иванов А. Г., Тонков Е.Л. Задача оптимального управления периодическими процессами и ее расширения // Функц. дифференц.
уравнения. ?ермь, 1992. С. 35{49.
Panasjuk A., Panasjuk V. Die wihtigsten Leitsatze der magistralen
asymptotishen Theorie der optimalen Steuerung // 27 Intern. Wiss.
Kolloq., Ilmenau, 1982. H.5. Vortragsz. B1, B2. Ilmenau, s. a. P. 99{
104.
Иванов А. Г. О существовании почти периодического решения линейной системы с квадратичным функционалом качества // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, Є 2. C. 203{211.
Демидович Б. ?. Лекции по математической теории устойчивости.
М.: Наука, 1967. 472 с.
Левитан Б. М. ?очти-периодические функции. М. : Гостехиздат,
1953. 396 с.
Левитан Б. М., Жиков В. В. ?очти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 205 с.
97
33. Иванов А. Г. Оптимальное управление почти периодическими двиениями при наличии ограничений на средние // Докл. РАН 1995.
Т. 343, Є 6. С. 51{53.
34. ?онтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.
35. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169.
С. 194{252.
36. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и
функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.
37. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси:
Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 230 с.
38. Дмитрук А. В. ?ринцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями // Оптимальность управляемых динамических систем.
Вып. 14. М.: ВНИИСИ, 1990. С. 26{42.
39. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука,
1985. 518 с.
40. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах
управления. М.: Наука, 1981. 287 с.
41. Ченцов А. Г. ?рилоения теории меры к задачам управления.
Свердловск: Средн.-Урал. кн. изд-во, 1985. 128 с.
42. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.
43. Иванов А. Г. Мерозначные почти периодические функции. ?репринт. Свердловск, 1990. 53 с.
44. Иванов А. Г. Мерозначные почти периодические функции. II / УдГУ. Иевск, 1991. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, Є 1721-B 91.
45. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями при наличии ограничений на средние типа равенств
и неравенств. I. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, Є 2. C. 167{
176.
46. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями при наличии ограничений на средние типа равенств и
неравенств. II. // Дифференц. уравнения. 1997 . Т. 33, Є 3. C. 316{
323.
47. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями при наличии ограничений на средние типа равенств и
98
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
неравенств. III. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, Є 4. C. 478{
485.
Иванов А. Г. О почти-периодической ляпуновской задаче // ?ММ.
1991. Т. 55, вып. 5. С. 718{724.
Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями // ?ММ. 1992. Т. 56, вып. 5. С. 745{753.
Иванов А. Г. Об эквивалентности дифференциальных включений
управляемых почти периодических систем // Дифференц. уравнения. 1997 . Т.33, Є 7. C. 876{884.
Иванов А. Г. О непрерывной дифференцируемости по параметру
почти периодического решения // Дифференц. уравнения. 2001.
Т. 37, Є 4. C. 478{487.
Иванов А. Г. О непрерывной зависимости почти периодического
решения от мерозначного управления // Дифференц. уравнения.
1992. Т. 28, Є 11. C. 1907{1915.
Иванов А. Г. Об одном свойстве почти периодического интеграла, зависящего от параметра // Изв. вузов. Математика. 2001.
Є 6(469). С. 34{43.
Данилов Л. И. О мерозначных почти периодических функциях //
Вестн. Удм. ун-та. 1992. Вып. 1. С. 51{58.
Данилов Л. И. ?очти периодические сечения многозначных отобраений // Изв. Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Иевск, 1993.
Вып. 1. С. 16{78.
Данилов Л. И. О равномерной аппроксимации почти периодических по Степанову функций // Изв. вузов. Математика. 1998. Є 5.
С. 10{18.
Fink A. M. Almost periodi dierential equation // Let. Notes Math.
1974. V. 377. 336 p.
Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.
Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ: Курс лекций. Киев: Вища школа, 1990. 600 с.
Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Общая теория. М.:
Иностр. лит., 1962.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В.
Введение в теорию многозначных отобраений. Вороне, 1986.
104 с.
99
63. Самойленко А. М., ?ерестюк Н. А. Дифференциальные уравнения
с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. 288 с.
64. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.
М.: Мир, 1971. 309 с.
65. Долбилов А. М., Шнейберг И. Я. ?очти периодические многозначные отобраения и их сечения // Сиб. матем. урн. 1991. Т. 32,
Є 2. С. 172{175.
66. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.
67. Иванов А. Г. Элементы аппарата задач управления почти периодическими двиениями. I / УдГУ. Иевск, 2001. 49 с. Деп. в ВИНИТИ 28.06.2001, Є 1536-B 91.
68. Castaing C., Valadier M. Convex analysis and measure able
multifuntion // Let. Notes Math., Springer-Verlag Berlin
Heidelberg. New York, 1977. V. 459. 279 p.
69. Данилов Л. И., Иванов А. Г. К теореме о поточечном максимуме
в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. 1994.
Є 6. С. 50{59.
70. Крейн М. Г., Нудельман А. А. ?роблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 522 с.
100
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2002. Є1(24)
УДК 517.977
Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I. Иванов А.Г. // Известия
Ин-та матем. и информ. УдГУ. Иевск, 2002. Вып. 1(24).
С. 3{100.
?риводятся основные определения и утвердения о мерозначных почти периодических по Степанову функций, которые используются при исследовании задач оптимального управления
почти периодическими двиениями.
Библиогр. 70
101
4.
Игольчатые вариации мерозначных
п. п. отобраений
1. Для фиксированного мноества ? R полагаем
.
M() = {╡ ? AP M1 = AP M1 (U): Mod(╡) ? Mod()}
(4.1)
(ясно, что M(R) = AP M1 ). Фиксируем таке такую константу
a > 0 , что 2a? ? Mod() , число N ? N и произвольный набор
точек 0 6 ?1 < ╖ ╖ ╖ < ?N < a , который отодествляем с вектором
~ = (?i )N . В дальнейшем для кадого p ? N полагаем
?
i=1
(rpm(U))p =. {~╡ = (╡j )pj=1, ╡j ? rpm(U), j = 1 . . . p}
и последовательность
{~
╡(m)}m?Z , принадлеащую (rpm(U))p ,
p
~╡(m) = (╡j (m))j =1 , m ? Z , называем п.п., если при кадом
j = 1 . . . p последовательность {╡j (m)}m?Z из rpm(U) является
п.п., т.е. (см. п.3 из второго
раздела) при кадом ? > 0 мно.
ество E ({╡j (m)}m?Z , ?) = {n ? Z : sup |╡j (m + n) ? ╡j (m)|w 6 ?}
m?Z
69
ее ? -п.п. относительно плотно. Кроме того, если не оговорено
специально, рассматриваем лишь такие п.п.p последовательности
{~╡(m)}m?Z ? (rpm(U))p , ~
╡(m) = (╡j (m))j =1 , m ? Z , что при
кадом j = 1 . . . p Mod({╡j (m)}m?Z ) ? a Mod() и называем их
допустимыми п.п. последовательностями.
чиСейчас кадому i ? {1 . . . N } поставим в соответствие
.
k
~
~
сло ki ? N и пару (?k , {~?k (m)}m?Z ) , в которой ?k = (?ij )j=1 ,
.
?ij > 0 , j = 1 . . . ki , а {~?k (m)}m?Z , ~?k (m) = (?ij (m))kj =1 , m ? Z
суть допустимая п.п. последовательность из (rpm(U))k . В дальk
нейшем |?~k | =. P ?ij и, если
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j =1
i
= (?ijp )kj=1, ~?kp (m) = (?ijp (m))kj=1 , m ? Z, p = 1, 2,
то полагаем
?
.
?(?~ 1 , ?~ 2 ) =
(?i11 . . . ?ik1 , ?i21 . . . ?ik2 )
k
k
(4.2)
. 1
?(~? 1 (m), ~? 2 (m)) =(
?i1 (m) . . . ?ik1 (m), ?i21 (m) . . . ?ik2 (m)),
k
k
p
i
?~kpp
i
1
i
2
1
i
1
p
i
p
i
2
i
i
2
i
1
i
2
i
i
где m ? Z и, следовательно, если {~?kp (m)}m?Z | допустимые
п.п. последовательности из (rpm(U))k , p = 1, 2 , то последовательность {(~?k1 (m), ~?k2 (m))}m?Z является допустимой п.п. последовательностью из (rpm(U))k +k .
Введем в рассмотрение мноество
n
.
.
V = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}N
(4.3)
i=1 =
o
=. {(?~k , {~?k (m)}m?Z ) . . . (?~k , {~?k (m)}m?Z )}, k1 . . . kN ? N
p
i
p
i
1
2
i
i
1
i
i
1
1
2
i
i
N
N
и полагаем: если ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , то для всякого
действительного числа ? > 0
.
.
~k , {~?k (m)}m?Z )}N (??~k =
?? = {(??
(?ij )kj=1), (4.4)
i=1
i
i
i
i
i
i
70
и, если ?p = {(?~kp , {~?kp (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , p = 1, 2 , то (см. (4.2))
p
i
p
i
+ ?2 =. { (?~k1 , ?~k2 ), {(~?k1 (m), ~?k2 (m))}m?Z }Ni=1 ,
(4.5)
т.е. V | конус, называемый конусом п.п. иголок.
?усть далее
.
m
V k+m = {~? = (?q)qk+
(4.6)
=1 , ?1 . . . ?k+m ? V},
.
k+m = {~y = (yq)qk+=1m, y1 . . . yk+m ? [0, ??}, ? > 0,
(4.7)
и для любых ~? ? V k+m , ~y ? k+m полагаем
.
~y ~? = y1 ?1 + . . . + yk+m?k+m.
(4.8)
?оэтому если ?q =. {(?~kq , {~?kq (m)}m?Z )}Ni=1 , q = 1 . . . k + m , то из
(4.2){(4.5) вытекает, что ~y ~? ? V и при этом
?1
1
2
i
q
i
~y ~?
n
1
i
2
i
i
q
i
oN
= ((y1 ?~k1 , . . . yk+m?~kk+m ),{(~?k1 (m) . . . ~?kk+m (m))}m?Z )
1
1
k +m
i
i
k +m
i
i
i=1
.
(4.9)
Далее, с кадой иголкой ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ? V , таN
кой, что ?(?) =. P |?~k | > 0 , свяем полоительное число
i=1
.
.
?(?) = min (?i+1 ??i )/? (?) , ?N +1 = a , и при (?, m) из (0, ?(?)?╫Z
16i6N
рассмотрим для кадого i = 1 . . . N дизъюнктную, примыкающую друг к другу систему полуинтервалов
?
?
?ma + [?i , ?i + ??i1 ),
.
j?
j
Tm,i,j (?, ?) =
(4.10)
P
P1
?
?il ,?i + ?
?il ), 2 6 j 6 ki .
?ma + [?i + ?
i
i
i
l=1
l=1
Из (4.10) следует, что mes Tm,i,j (?, ?) =
i = 1 . . . N имеют место соотношения
ki
[
j =1
??ij
и при кадом
( ) = ma + ?i + [0, ?|?~k |) ? ma + [?i, ?i+1 ?.
Tm,i,j ?, ?
i
71
Теперь, если рассматривается иголка (см. (4.9))
что
N k+m
. XX ~q
|?kq | > ,
( )=
? ~?
~y ~? ? V
i=1 q=1
0
i
то с ней свяем полоительное число
.
?(?,~? ) = min (?i+1 ? ?i )/?? (~? ),
16i6N
такая,
(4.11)
?N +1
= a.
(4.12)
Для такой иголки из (4.9) и (4.10) получаем, что при кадом
i ? {1 . . . N } и всех (?, m) ? (0, ?(?,~? )?
(
Tm,i,j (?y1 , ?1 ), 1 6 j 6 ki1 ,
Tm,i,j (?,~y ~? ) =
~ 1 | + . . . + yq?1 |?
~ q?1 |)+ Tm,i,j (?yq, ?q), (4.13)
?(y1 |?
k
k
1
q?1
i
i
где 2 6 q 6 k + m, 1 6 j 6 kiq. ?оэтому если
q
(
Tm,i,q ?,~y ~?
ki
. [
)=
j =1
(
)
(4.14)
Tm,i,j ?,~y ~? ,
где m ? Z , 1 6 i 6 N , 1 6 q 6 k + m , то так определенная
система полуинтервалов {Tm,i,q(?,~y ~? }kq+=1m дизъюнктна,
mes Tm,i,q(?,~y ~? ) = ?yq|?~kq |, q = 1 . . . k + m,
и, кроме того, для любых m ? Z, i = 1 . . . N
q
i
k[
+m
q=1
(
Tm,i,q ?,~y ~?
)= ma + ?i +[0, ?
kX
+m
q=1
)
~ qq | ? ma
yq|?
k
i
(4.15)
+[?i, ?i+1 ?. (4.16)
2. Сейчас введем игольчатые вариации для элементов мноества M() , определенного равенством (4.1).
72
О п р е д е л е н и е 4.1. ?усть иголка
~k , {~?k (m)}m?Z )}N ? V
? = {(?
i=1
такая, что ?(?) > 0 , и пусть ? ? [0, ?(?)). Тогда отобраение
t 7? ╡(t; ?, ?) ? rpm(U) , t ? R , определенное равенством
i
i
?
ki
N S
S
?
? b t , t ? S ma, m
a\
Tm,i,j ?, ? ,
. ╡
╡ t ?, ?
i=1 j =1
m?Z
?
?? m , t ? T
m,i,j ?, ? , m ? Z, 6 i 6 N, 6 j 6 ki ,
ij
()
([ ( + 1) ?
( )) (4.17)
( )
( )
1
1
называется игольчатой вариацией отобраения ╡b ? M() , отвечающей иголке ?.
З а м е ч а н и е 4.1. ?ри ? = 0 считаем ╡(t;0, ?) ? ╡b(t)
при всех ? ? V.
З а м е ч а н и е 4.2. Игольчатая вариация отобраения
~k , {~?k (m)}m?Z )}N ? V ,
╡
b ? M() , отвечающая иголке ? = {(?
i=1
определена, вообще говоря, в предполоении, что в зафиксированном наборе ?~ = (?i)Ni=1 точки ?i ? [0, a? , i = 1 . . . N удовлетворяют условию 0 6 ?1 < . . . < ?N < a.
Определим сейчас игольчатую вариацию отобраения ╡b(╖)
для набора ?~ = (?i )Ni=1 , в котором 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a. В
этом случае выделяем набор ?~ ? = (??i)Ni=1 , N ? 6 N такой, что
0 6 ??1 < . . . < ??N < a , где
.
.
??1 = ?1 = . . . = ?1+p , ??2 = ?2+p = . . . = ?2+p +p , . . .,
.
??N = ?N +p +...+p
= . . . = ?N +p +...+p +p ,
и иголке ? поставим в соответствие иголку
. ~?
?? = {(?
?k? (m)}m?Z )}N
i=1 ,
k , {~
в которой (здесь см. (4.2))
(
~
~
.
~k = (?k +p +...+p , . . ., ?k +p +...+p +p ), если pi > 0
?
?~k +p +...+p , если pi = 0,
(; )=
i
i
?
?
1
?
?
1
N ? ?1
1
1
?
N ? ?1
1
?
?
i
i
?
i
i
1
1
i?1
?
i
i
i?1
73
1
i?1
i
2
N?
(
. ~?k +p +...+p +p (m)), если pi > 0
( ) = (~?~?k +p +...+p ((mm)),. .если
pi = 0, (m ? Z).
k +p +...+p
Отметим, что ?(?) = ?(?? ). Теперь по набору ~? ? = (?i?)Ni=1 и иголке ?? строим аналогично (4.10) при кадом m ? Z и i = 1 . . . N ?
дизъюнктную систему полуинтервалов {Tm,i,j (?, ?? )}kj=1 , содеращуюся в ma +[??i, ??i+1? , ? ? (0, ?(?? )?, и определим аналогично
(4.17) игольчатую вариацию ╡(╖; ?, ?? ) отобраения ╡b , которую
и будем считать игольчатой вариацией ╡b , отвечающей иголке ?
и набору ?~ = (?i)Ni=1 , в котором 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a.
Таким образом, согласно данному определению, при исследовании свойств игольчатых вариаций элементов мноества M(),
достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда фиксируется такой набор ?~ = (?i )Ni=1, что 0 6 ?1 < . . . < ?N < a.
З а м е ч а н и е 4.3. В случае, если отобраение ╡b(╖)
из M1 является a -периодическим, то рассмотрев ╡(t; ?, ?) , определенное равенством (4.17) с иголкой ? = {(?~k , {~?k (m)}m?Z )}Ni=1 ,
в которой при кадом i = 1 . . . N последовательности
{~?k (m)}m?Z ? (rpm(U))k , ~?k (m) = (?ij (m))kj =1
a -периодичны (т. е. ?ij (m + a) = ?ij (m) , m ? Z , j = 1 . . . ki ),
получим a -периодическую игольчатую вариацию для a -периодического отобраения ╡b(╖) ? M1 .
Рассмотрим иголку ~y ~? ? V такую, что ?(~? ) > 0 (см. (4.11)). В
этом случае из равенств (4.9), (4.13) и (4.14), а таке определения
4.1 вытекает
╡
b ? M() ~y ~? ? V
? (~? ) > 0.
Л е м м а 4.1.
? ? [0, ?(?,~? ))
t?R
╡(t; ?,~y ~? ) =
(4.18)
?
N k+
Sm
S
S
?
?╡
b(t), t ?
([
ma, (m + 1)a?\
Tm,i,q(?,~y ~? ),
=?
i=1 q=1
m?Z
?? q (m), t ? T
y ~? ),
m,i,j (?,~
ij
~?ki? m
.
i
1
i?1
i
1
i?1
i
i?1
1
i
?
?
i
i
i
i
i
i
,
?усть
Тогда при
i
и всех
74
и
имеет место равенство
1 6 i 6 N 1 6 q 6 k + m 1 6 j 6 kiq.
m
k+m
Т е о р е м а 4.1.
~? = (?q)qk+
=1 ? V
. ~q
= {(?k , {~?kq (m)}m?Z )}Ni=1 q = 1 . . . k + m ?(~? ) > 0.
╡
b(╖)? M()
.
.
A = {╡(╖; ?,~y ~? ), (?,~y ) ? X}, X = [0, ?(?,~? )? ╫ k+m,
M()
где
m ? Z,
,
,
?усть
q
i
, где
и
,
q
i
кадой функции
?q
=.
Тогда для
мноество
содерится в мноестве
, является равностепенно п. п.
и
( sup
lim
??0
~y?k +m
(;
)
( ) ) = 0.
k╡ ╖ ?,~y ~? ? ╡
b ╖ kw
Кроме того, для кадой функции
(
(
g ? S R, C U, R
lim
w(? ) = 0,
??0
(4.19)
))
(4.20)
где
( ) = supremum (sup
w?
.
y ? ),(??? ,~
y ?? )?X
(?? ,~
y ? ?~
y ?? |6?
|?? ???? |+|~
t?R
Zt+1
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ?╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds .
(;
) (;
) ( ) )
t
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольную
функцию c ? C (U, R) и рассмотрим отобраения
.
t 7? fb(t) = hb
╡(t), c(u)i,
Z
.
t 7? f (t, ?,~y ) = h╡(t, ?,~y ~? ), c(u)i = c(u)╡(t, ?,~y ~? )(du), (?,~y ) ? X,
U
определенные на t ? R, а таке отвечающие им последовательности {bf(╖, m)}m?Z , {f(╖, m, ?,~y )}m?Z ? L1([0, a?., R) , определенные при. кадом m ? Z равенствами bf(t, m) = fb(t + ma) ,
f(t, m, ?,~y ) = f (t + ma, ?,~y ) , t ? [0, a? , соответственно. ?оскольку ╡b ? M() , то fb ? S (R, R) и значит последовательность
75
( )
является п.п. Кроме того,q т.к. ?q ? V , то при всех
=1
, = 1 + m и j = 1 . . . ki числовые последовательности ( ) , где fqij (m) =. h?ijq (m), c(u)i , будут таке п.п.
?оэтому для кадого ? > 0 мноество
{bf ╖, m }m?Z
i
...N q
...k
{fqij m }m?Z
ki
+m \
N k\
\ \
q
( ) = E ({bf(╖, m)}m?Z , ?)
.
E ?
i=1 q=1 j =1
( ( )
) (4.21)
E {fqij m }m?Z , ? ,
где ? =. min(?/2, ?/2a) , не пусто и относительно плотно. ?окаем, что это мноество содерится в мноестве
. \
E (? ) =
E ({f(╖, m, ?,~y )}m?Z , ? ).
(?,~y )?X
Действительно, если n принадлеит E (?) , то, обозначив
N
. [
( )=
Am ?,~y
где
m?Z
i=1
( )
( )=
Am,i ?,~y ,
Am,i ?,~y
q=1
(
) (4.22)
Tm,i,q ?,~y ~? ,
, получаем следующие соотношения:
sup
m?Z
Z
a
(
|f t, m
0 Z
= sup
m?Z
+
k+m
. [
kiq
N kX
+m X
X
i=1 q=1 j =1
6
+ n, ?,~y ) ? f(t, m, ?,~y )| dt (4=.18)
[0,a?\A (?,~y )
0
(
|bf t, m
+ n) ? bf(t, m)|dt +
( + n) ? fqij (m)| ╖ mes Tm,i,j (?,~y ~? )
|fqij m
sup
m?Z
Z
0
a
(
|bf t, m
+ n) ? bf(t, m)|dt +
+a max (sup |fqij (m + n) ? fqij (m)||)
16i6N
16q6k +m
16j6k
m?Z
q
i
76
(4.21)
6 ?.
(4.15)
6
Отсюда следует, что мноество последовательностей
P = {{f(╖, m, ?,~y )}m?Z , (?,~y ) ? X}
равностепенно п.п. и для всех (?,~y ) ? X справедливо включение
Mod({f(╖, m, ?,~y )}m?Z ) ?
ki
N k[
+m [
[ [
q
?
Mod ({bf(╖, m)}m?Z )
i=1 q=1 j =1
({fqij (m)}m?Z )). (4.23)
В свою очередь, из равностепенной п.п. мноества P вытекает
равностепенная п.п. мноества функций {f (╖, ?,~y ), (?,~y ) ? X}.
Отсюда в силу произвольности выбора функции c ? C (U, R) , получаем (см. определение 2.2), что мноество A равностепенно
п.п. Далее, из (4.23) и теоремы 1.2, принимая
во внимание, что
╡
b ? M() и ?q ? V (а значит, Mod({fqij (m)}m?Z ) ? a Mod() ),
получаем, что при всех (?,~y ) из X Mod({f(╖, m, ?,~y )}m?Z ) содерится в a Mod() + 2?Z. Следовательно, учитывая, что точка
2? принадлеит Mod() , имеем следующие соотношения:
a
Mod(f (╖, ?,~y )) ? a1 (a Mod() + 2?Z) + 2a? Z ? Mod().
Теперь из леммы 2.4 следует, что Mod(╡(╖, ?,~y ~? )) ? Mod() ,
(?,~y ) ? X. Тем самым первое утвердение теоремы 4.1 доказано.
Далее, фиксируем произвольную функцию ? ? V1(R ╫ U, R)
и пусть (см. замечание 1.1) функция ?? ? L1(R, R+) такая, что
|?(t, u)| 6 ?? (t). ?оскольку (см. (4.7), (4.11)
при п.в. t ? R max
u?U
и (4.16)) sup Am (?,~y ) 6 ??? (~? ) , то по теореме Лебега об абсолютm?Z
ной непрерывности интеграла [36? получаем, что
Z
sup
?? (t)dt ? 0 при ? ? 0.
m?Z Am (?,~y )
~y?k +m
Отсюда (см. (4.18) и (4.22)), в силу неравенства
sup
m?Z
Z (m+1)a
ma
(
)
() ( )
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
b t , ? t, u i|dt 6
77
2 sup
m?Z
Z
Am (?,~y )
()
?? t dt,
вытекает, что
sup
t?R
Z t+a
t
(
)
() ( )
b t , ? t, u i|dt
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
?
~y?k +m
0 при ? ? 0.
В свою очередь, принимая во внимание, что ?? ? L1(R, R) и при
любом q ? N
|
Z
R
(
)
() ( )
h╡ s, ?,~y ? ╡
b s , ? s, u ids| 6
+2q sup
t?R
Z t+a
t
(
2
)
Z
R\[?qa,qa?
() +
?? s ds
() ( )
b t , ? t, u i|dt,
|h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
получаем следующее предельное равенство:
lim
( sup
??0
~y?k +m
|
Z
R
(
)
( ) ( ) ) = 0,
b t , ? t, u idt|
h╡ t, ?,~y ~? ? ╡
которое по определению нормы k╖kw (см. п.1 из второго раздела)
влечет равенство (4.19).
Докаем теперь предельное равенство (4.20), считая, что
.
g = sup kg(t, ╖)kC (U,R) < ? (в общем случае для функции g расt?R
смотрим ее стекловское усреднение). Заметим (здесь см. (4.18)),
что если
t?
где
[
[ma, (m + 1)a? \
m?Z
N
[
i=1
(A?m,i
[
A??m,i ,
=. Am,i(? ? ,~y ?), A??m,i =. Am,i (? ??,~y ??),
то ╡(t; ?? ,~y ? ~? ) = ╡(t; ???,~y ?? ~? ) = ╡b(t) и в случае, если точка
\
t ? Tm,i,j (? ? ,~y ? ~? ) Tm,i,j (? ?? ,~y ?? ~? ),
A?m,i
78
то ╡(t; ?? ,~y ? ~? ) = ╡(s; ???,~y ?? ~? ) = ?ijq (m). ?оэтому при кадом
из Z имеют место соотношения:
Z (m+1)a
(;
ma
=
N Z
X
i=1
)
(;
) ( )
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ? ╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds
(;
2
(;
=
) ( )
(4.16)
|h╡ s ?? ,~y ? ~? ? ╡ s ??? ,~y ?? ~? , g s, u i|ds 6
A?m,i ?A??
m,i
6 g
)
m
+m
N kX
X
i=1 q=1
kiq
q
X
l=1
~ ll |,
|? ? yl ? ? ? ?? yl ?? | ╖ |?
k
i
из которых вытекает равенство (4.20).
С л е д с т в и е 4.1.
4.1
(t, ?,~y ) 7? ╡(.t; ?,~y ~? )
S (R ╫ X, rpm(U)) (где X = [0, ?(?,~? )? ╫ k+m ) и
для любой функции g ? S (R, C (U, R))
?усть выполнены условия теоре-
мы
. Тогда отобраение
принадлеит
пространству
( ) = sup
.
y ?,~y
t?R
Z t+1
t
(;
)
() ( )
b s , g s, u i|ds
|h╡ s ?,~y ~? ? ╡
?
~y?k +m
0 (4.24)
при ? ? 0.
3. В дальнейшем нам понадобится еще одно свойство элементов мноества V , которое вытекает из следующего утвердения.
Л е м м а 4.2.
(t, u) 7? fm(t, u) (t, u) ? [0, a? ╫ U
m ? Z
u ? U3
{? (m)}m?Z ? rpm(U)
{h? (m), fm (╖, u)i}m?Z ? C ([0, a?, R)
Допустим, что последовательность не-
прерывных отобраений
,
п. п. последовательности
последователь-
будет п. п.
ность
3
,
. Тогда для любой
является п. п. равномерно по
т. е. для любого
?
>
0 мноество
.
T
u?U
E ({fm (╖, u)}m?Z , ?) , где
E ({fm (╖, u)}m?Z , ?) = {n ? Z : max | fm+n (t, u) ? fm (t, u)| 6 ?} , относитель-
но плотно.
t?[0,a?
79
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность
отобраений {fm }m?Z из C ([0. , a? ╫ U, R) п.п. равномерно по
u ? U , то sup kfm kC ([0,a?╫U, R) = k < ? и для заданного ? > 0
m?Z
найдется такое ? > 0 , что sup ?? [fm(t, ╖), U? < 3? . ?усть,
(t,m)?[0,a?╫Z
далее, U1 . . . Up | открытое покрытиеp компакта U такое, что
diam Uj 6 ? , j = 1 . . . p , и через {?j }j=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию.
Теперь
T
для кадого j = 1 . . . p фиксируем точку uj ? U Uj , в которой ?j (uj ) > 0 , и рассмотрим числовую п.п. последовательность
{?j (m)}m?Z , где
.
?j (m) = h? (m), ?j (u)i ? [0, 1?, m ? Z, j = 1 . . . p.
?оскольку
p
P
j =1
( ) = 1 при всех
?j m
m ? Z
, то последователь-
ность {(m)}m?Z , где (m) =. P ?j (m)?u , m ? Z , содерится
j =1
в rpm(U) и является п.п. Сейчас для любого n , принадлеащего относительно плотному мноеству
p
j
( )=
E y
.
\
(
)
E {fm }m?Z , y
u?U
p
\ \
j =1
( ( )
)
E {?j m }m?Z , y ,
=. min( 6?pk , 6? ) , имеем (см. доказательство теоремы 2.2) следующие соотношения:
sup ( max |h? (m + n), fm+n(t, u)i ? h? (m), fm (t, u)i|) 6
m?Z t?[0,a?
sup |h? (m) ? (m), fm (t, u)i| +
62
y
(t,m)?[0,a?╫Z
+k
p
X
sup |?j (m + n) ??j (m)| + sup t?max
|fm+n(t, u) ?fm (t, u)| 6
[0,a?
j =1 m?Z
6
2
m?Z
sup
(t,m)?[0,a?╫Z
[ ( ) ? + (pk + 1)y 6 2 ╖ 3? + 6? + 6? = ?,
?? fm t, ╖ , U
80
из которых вытекает, что E (y) ? E ({h? (m), fm (╖, u)i}m?Z , ?).
С л е д с т в и е 4.2.
f ? B (R ╫ U, R).
~k , {~?k (m)}m?Z )}N
? = {(?
i=1
t ? [0, a?
q?1
X
1
lim
?ij h?ij (m), f (t + ma, u)i, i = 1 . . . N, j = 1 . . . ki .
?усть функция
Тогда для любой иголки
i
при кадом
i
существуют пределы
q??
5.
qa
m=0
Лемма Филиппова для п. п. отобраений
1. ?усть (X, ?) | компактное метрическое пространство,
x = diam X и (Y, k ╖ k) | сепарабельное банаховое пространство, omp(X) | совокупность всех непустых компактных подмноеств из X с метрикой Хаусдорфа dist? . Отметим [68?, что
(omp(X), dist?) | компактное метрическое пространство. Далее, на мноестве L1lok (R, omp(X)) (см. п.1 из первого раздела)
зададим ddist -расстояние
.
?
(
ddist? F1 , F2
) =. sup
t?R
Z t+1
t
dist?(F1 (s), F2 (s)) ds,
(5.1)
где F1, F2 ? L1lok (R, omp(X)), и рассмотрим метрическое пространство метрическое S (R, (omp(X), ddist )). Напомним, что если F ? S (R, omp(X)), то Mod(F ) состоит из таких точек ? ? R,
что j??
lim exp(i??j ) = 1 (i2 = ?1) для всякой F -возвращающей
последовательности {?j }j?Z .
Рассмотрим далее такую функцию f ? Vloc
1 (R ╫ X, Y), что
при кадом x из X f (╖, x) ? S (R, Y), и для нее построим отобраение
.
t 7? N (t) = {x ? X : f (t, x) = 0}, t ? R.
(5.2)
Если N (t) 6= ?, то N (t) ? omp(X) и, кроме того [36; 68?, отобраение t 7? N (t), t ? R измеримо, и существует такая измеримая функция x : R ? X, что x(t) ? N (t) для п.в. t ? R .
?
81
Но эта функция моет не принадлеать пространству S (R, X) .
Чтобы показать это, приведем сначала пример (см. [69?) такой
функции f ? B (R, R), что мноество ее нулей совпадает с Z и
для которой отобраение t 7? sign f(t) (считаем sign 0 = 0 ) не
принадлеит пространству S (R, R) .
? р и м е р 5.1. Для кадого j ? Z+ рассмотрим мноества
1
.
.
Aj = {z ? Z : z ? ((?2)j ? 1)( mod 2j +1 )}, Bj = 2j + Aj ,
3
из определения которых вытекает, что Ak T Aj = ?? при k =6 j,
S
S
Bj = Aj +1 Bj +1 для всякого j ? Z+ и Z =
Aj . Далее,
j =0
фиксируем функцию ? ? C (R, [0, 1?) такую, что ?(t) ? (0, 1?
при t ? (0, 1) и ?(t) = 0 при t ? R \ (0, 1), и полагаем
X
.
fj (t) = (?2)?j
? (t ? i), t ? R, j ? Z+ .
i?Aj
?оскольку fj | непрерывная 2j+1 -периодическая функция и
|fj (t)| 6 2?j , j ? Z+ , то функция
max
t?R
?
. X
()=
ft
j =0
()
fj t ,
t?R
(5.3)
принадлеит B (R, R) и sup | f(t)| 6 1 . Кроме того, мноество
t?R
нулей этой функции совпадает с Z . ?окаем теперь, что отобраение t 7? sign f(t) не принадлеит S (R, R) . Действительно,
k?1
пусть m ? Z+ и k > m . Тогда Z = S Al T Bk?1 . Далее, берем
l=0
a1 ? Ak и a2 ? Ak?1 . Отметим здесь, что Ak ? Bk?1 и Ak+1 ?
Bk ? Bk?1 . Для этих чисел найдется такое l ? {0 . . . k ? 1}, что
a1 + 2k ? 2m ? Al и a2 + 2k ? 2m ? Al . Теперь имеем следующие
82
соотношения
sup
t?R
>
max
i=1,2
Z t+1
Z 1
{
|
0
|
t
sign f(s + 2m ) ? sign f(s + 2k )|ds >
sign f(s + ai + 2k ? 2m ) ? sign f(s + ai)| ds} = 2,
из которых следует, что мноество функций {sign f(╖ +2j )}?j=0 не
имеет конечной (относительно метрики d ) 2-сети и, значит, (см.
[31. C.219?), функция t 7? sign f(t) не принадлеит пространству
S (R, R) . Отметим, что пример функции f ? B (R, R), обращающейся в нуль на счетном мноестве точек из R и для которой
отобраение sign f ?/ S (R, R), приведен таке в работе [55?.
? р и м е р 5.2. Рассмотрим функцию f из примера 5.1
и по ней построим отобраение (t, x) 7? f (t, x) =. | f(t)| ? f(t)x,
(t, x) ? R ╫ [?1, 1?, которое принадлеит B (R ╫ [?1, 1?, R) . Для
этого отобраения N (t) = {sign f(t)}, t ? R \ Z (здесь см. (5.2)
при X =. [?1, 1?, Y =. R ), а т.к. sign f ?/ S (R, R), то не существует функции x ? S (R, [?1, 1?), удовлетворяющей при п.в. t ? R
равенству f (t, x(t)) = 0.
В связи со сказанным возникает вопрос о существовании таких функций x ? S (R, X), что x(t) ? N (t) при п.в. t ? R . Для
приведения достаточных условий существования таких функций
предполагаем далее, что N (t) 6= ? при п.в. t ? R, и введем в
рассмотрение следующее измеримое отобраение (? > 0) :
.
t 7? W (t, ?) = {x ? X : kf (t, x)k 6 ?} ? omp(X), t ? R. (5.4)
t+1
R
dist?(W (s, ?), N (s))ds = 0 при кадом t ? R .
Отметим, что lim
??0
t
Т е о р е м а 5.1.
удовлетворяет
4
4
условию
A)
и
См. определение 1.5.
83
(
)
f ? V1loc R ╫ X, Y
f ╖, x ? S R, Y при кадом
?усть функция
( )
(
)
x ? X.
Тогда, если
lim
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
??0
(5.5)
?
Mod(N ) ? Mod S (f (╖, x))
x?X
x ? S (R, X),
x(t) ? N (t)
t?R
Mod(x) ? Mod(N )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для t1, t2 ? R полагаем
?(t1, t2 ) =. max{x?N
max(t ) ?(x, W (t2 , ?)), x?N
max(t ) ?(x, W (t1 , ?))}.
то
( omp(X))
N ? S R,
и
. Кроме
что
того, существует такая функция
при п. в.
и
.
1
2
?оскольку ?(x, A) 6 ?(x, B ) + dist?(A, B ) для любых x ? X и
A, B ? omp(X), то из определения ? (t1 , t2 ) получаем, что при
всех t1, t2 ? R
?(t1, t2 ) > dist?(N (t1 ), N (t2 )) ?
?dist? (W (t1 , ?), N (t1 )) ? dist? (W (t2 , ?), N (t2 )).
Откуда вытекает, что для кадого ? ? R справедливо неравенство
ddist (N? (╖), N (╖)) 6
(5.6)
Z t+1
6 2ddist (W (╖, ?), N (╖)) + sup
?(s, s + ? )ds.
?
?
t?R
Далее для заданного
(0, ?), что
?>
t
0 в силу (5.5) найдется такое ? из
( ( ) ( )) < 4? .
(5.7)
В свою очередь, для этого ?, используя равенство (1.10), выбираем ? > 0 таким, что
sup(mes{s ? [t, t + 1?: ?? [f (s, ╖), X? > ?3 }) < 8?x . (5.8)
ddist? W ╖, ? , N ╖
t?R
84
?о этому ? строим конечную ? -сеть {x1 , . . . , xp} ? X компакта X и фиксируем произвольное ?, принадлеащее плотному
мноеству
p
\
j =1
((
2
) 12?px ).
ES f ╖, xj ,
(5.9)
Кроме того, для кадого t ? R на [t, t +1? фиксируем такое измеримое отобраение s 7? x(s) ? N (s), что для п.в. s ? [t, t + 1?
max ?(x, W (s + ?, ?)) = ?(x(s), W (s + ?, ?)),
x?N (s)
и полагаем
( ) =. {s ? [t, t + 1? : x(s) ? W (s + ?, ?)}.
В силу (5.4) очевидно, что
[t, t + 1? \ T(t, ?) = {s ? [t, t + 1? : kf (s + ?, x(s))k > ?)}.
Введем, наконец, в рассмотрение мноества
.
Mj (t) = {s ? [t, t + 1? : ?(xj , x(s)) < ?}, j = 1, . . . , p,
и по ним построим дизъюнктную систему мноеств
T t, ?
( ) = M1(t), Tj (t) = Mj (t) \
T1 t
.
.
j?
[1
k =1
( ) = 2, . . . , p,
Mk t , j
объединение которых есть [t, t + 1? .
Теперь, принимая во внимание, что x(s) ? N (s), а значит,
f (s, x(s)) = 0, s ? [t, t+1?, неравенство (5.8) и выбор ?, получаем
следующие соотношения:
Z t+1
t
max ?(x, W (s + ?, ?)) ds =
x?N (s)
85
Z t+1
t
( ( ) ( + ?, ?)) ds =
? x s ,W s
=
Z
[t,t+1?\T(t,?)
6x
( ( ) ( + ?, ?)) ds 6 x mes([t, t + 1? \ T(t, ?)) 6
? x s ,W s
p
X
j =1
mes{s ? Tj (t) : kf (s, xj ) ? f (s, x(s))k +
+kf (s + ?, xj ) ? f (s, xj )k + kf (s + ?, x(s)) ? f (s + ?, xj )k > ?} 6
p
X
(mes{s ? Tj (t) : ?? [f (s + ?, ╖), X? > ?3 } +
6x
j =1
+mes{s ? Tj (t) : kf (s + ?, xj ) ? f (s, xj )k > ?3 } +
+mes{s ? Tj (t) : ?? [f (s, ╖), X? > ?3 }) 6
?
6 2x sup(mes{s ? [t, t + 1? : ?? f (s, ╖), X? > }) +
3
t?R
p
2
X
+ 3?x d(f (╖ + ?, xj ), f (╖, xj )) < 2x ╖ 8?x + 3?px ╖ 12?px = 4? + ?4 < 2? .
j =1
Отсюда, в силу произвольности выбора точки
следующее неравенство:
sup
t?R
Z t+1
t
t ? R
получаем
?
max
?(x, W (s + ?, ?))ds 6 .
2
x?N (s)
Аналогично доказывается, что
sup
t?R
Z t+1
t
?
max
?(x, W (s, ?)) ds 6 .
2
x?N (s+? )
Из последних двух неравенств получаем, что
sup
t?R
Z t+1
t
? (s, s + ? ) ds 6 2? .
?оэтому, в силу неравенств (5.6) и (5.7), ddist (N? (╖), N (╖)) < ? .
Таким образом, доказано, что для кадого ? > 0 относительно
?
86
плотное мноество (5.9) содерится в ES (N , ?), т.е. N принадлеит пространству S (R, omp(X)) и при этом
p
[
Mod(N ) ? Mod( (f (╖, xj ))) ? Mod(
j =1
[
(f (╖, x))).
x?X
?ервое утвердение теоремы 5.1 доказано. Второе утвердение
есть следствие первого утвердения и результатов работ [65; 55?.
З а м е ч а н и е 5.1. Рассматриваем в дальнейшем кадое мноество K ? omp(rpm(U)) как подпространство компактного метрического пространства (rpm(U), ?w ) и omp(K)
будем считать, соответственно, подпространством. метрического
пространства (omp(rpm(U)), distw ), где distw = dist? . Аналогично мноество U ? omp(Rm ) будем рассматривать как
компактное метрическое пространство (U, ?m ) и (omp(U), dist)
| подпространство. метрического пространства (omp(Rm ), dist),
в котором dist = dist? . С учетом сказанного рассматриваем таке и мноества S (R, K) ? S (R, (omp(rpm(U)), ddist )) и
S (R, omp(U)) ? S (R, (omp(Rm ), ddist )).
Теперь для удобства ссылок приведем в виде следствий теорему 5.1 при конкретном выборе X .
g ? S (R, C (U, Rn )),
С л е д с т в и е 5.1.
K ? omp(rpm(U))
.
N (t) = N (t; K) = {? ? K : h?, g(t, u)i = 0},
(5.10)
.
W (t, ?) = W (t, ?; K) = {? ? K : |h?, g(t, u)i| 6 ?},
(5.11)
t ? R, ? > 0
N (t) 6= ?
t ? R
lim
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
N ? S (R, K),
??0
╡ ? AP M1 ,
╡(t) ? N (t)
t?R
g
Mod(╡) ? Mod(N ) ? Mod( )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отобраение
(t, ? ) 7? fb(t, ? ) =. h?, g(t, u)i, (t, ? ) ? R ╫ K . Так как функция
w
m
w
?усть функция
и
. Тогда если
где
w
кое
при п. в.
то
что
для п. в.
.
включения
87
и
существует та-
и выполняются
(
(
)) то из неравенства
g ? S R, C U, Rn ,
sup
t?R
6
sup
t?R
Z t+1
t
Z t+1
t
max
|fb(s + ?, ? ) ? fb(s, ? )| ds 6
??K
| g(s + ?, u) ? g(s, u)| ds, (? ? R)
max
u?U
вытекает, что fb ? S (R, C (K, Rn)) и (здесь см. следствие 1.1 и
равенство (1.6) при X = K и X = U )
[
[
Mod( (fb(╖, ? ))) = Mod(fb) ? Mod(g) = Mod( (g(╖, u))).
??K
u?U
Кроме того, по следствию 1.2 функция fb удовлетворяет условию
А). Теперь, взяв в теореме 5.1 (X, ?) = (K, ?w ), Y = Rn и f = fb,
получим утвердение следствия 5.1.
g ? S (R, C (U, Rn ))
С л е д с т в и е 5.2.
.
N (t) = N (t; U) = {u ? U : g(t, u) = 0}, t ? R,
(5.12)
.
W (t, ?) = {u ? U : | g(t, u)| 6 ?}, t ? R (? > 0).
(5.13)
N (t) 6= ?
t ? R lim ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
??0
N ? S (R, omp(U)),
u ? S (R, U),
u(t) ? N (t)
t ? R
Mod(u) ? Mod(N ) ? Mod(g)
З а м е ч а н и е 5.2. ?о лемме 2.1 функция u ? S (R, U)
является сечением отобраения(1) N в том и только в том случае, если ╡(╖) = ?u(╖) ? AP M1 будет сечением отобраения
N (╖; DIR(U)) . Более того, N ? S (R, omp(U)) в том и только
в том случае, если N (╖; DIR(U)) ? S (R, omp(DIR(U))) . Таким
образом, если существует функция u ? S (R, U), являющаяся сечением отобраения N, то отобраение ?u(╖) ? AP M1(1) будет
?усть
Тогда если
то
что
при п. в.
и
и
существует такая функция
для п. в.
и выполняются включения
.
88
сечением отобраения N (╖;rpm(U)) . Следующий пример показывает, что отобраение N (╖;rpm(U)) моет иметь сечения, принадлеащие AP M1 , тогда как у N (╖) моет и не быть сечений
из S (R, U) .
? р. и м е р 5.3. ?усть U =. {(u1 , u2 ): |u1 | = 1, |u2 | 6 1} и
g(t, u) = u1 (| f(t)| ? f(t)u2 ), (t, u) ? R ╫ U, где f ? B (R, R) определяется равенством (5.3) из примера 5.1. Функция g ? B (R ╫ U, R)
и (см. (5.12)) N (t) = {(▒1, sign f(t))} для п.в. t ? R . ?оскольку sign f ?/ S (R, R), то у N (╖) нет п.п. по Степанову сечений.
С другой стороны, отобраение t 7? N (t;rpm(U)), t ? R содерит, по крайней мере, сечение ╡(t) = 12 (?u (t) + ?u (t) ), где
uk (t) = ((?1)k , u(t)), k = 1, 2, t ? R и где, в свою очередь, u(╖)
| любая функция из S (R, [?1, 1?) .
Сейчас, используя следствие 5.2, докаем следующее достаточное условие п.п. по Степанову функции sign f, эквивалентное
? -свойству функции f [70. C.504?.
Л е м м а 5.1.
f ? S (R, R)
.
I (? ) = {t ? R : |f (t)| 6 ?} (? > 0).
1
?усть функция
Тогда если
\
2
и
lim
sup
(mes([
t, t + 1? I (? )) = 0,
(5.14)
??0 t?R
sign f ? S (R, R) Mod(sign f ) ? Mod(f )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
.
g(t, u) =
|f (t)| ? f (t)u, (t, u) ? R ╫ [?1, 1?.
Так как f ? S (R, R), то g ? S (R, C (U, R)) и Mod(g) ? Mod(f ) .
Далее для данной функции (см.(5.12), (5.13)) N (t) = {sign f (t)}
при п.в. t ? R, W (t, ?) = {u ? [?1, 1?: |f (t)| ? f (t)u 6 ?}, t ? R .
Следовательно, если u? ? W (t, ?), то
(
[1 ? f?(t) , 1?, если f (t) > 0,
u? ?
(5.15)
[?1, ?1 ? f?(t) ?, если f (t) < 0.
то
и
89
.
Теперь для заданного ? > 0, в силу (5.14), найдется такая
константа ? > 0, при которой будет выполнено неравенство
sup(mes([t, t + 1? T I (?)) < 4? . ?оэтому
t?R
sup
t?R
Z t+1
t
( ) sign f (s)|ds 6 2sup(mes([t, t + 1?
|u? s ?
Z
+sup
t?R
t?R
[t,tZ+1?\I (? )
+sup
t?R
( ) sign f (s)|ds < 2? +
|u? s ?
[t,t+1?\I (? )
\
( )) +
I ?
( ) sign f (s)|ds.
|u? s ?
Далее, если s ? [t, t + 1? \ I (?), то |f (s)| > ? и, следовательно, в
u? (s) = sign f (s) . ?оэтому из полученного выше
силу (5.15) lim
??0
соотношения вытекает, что при всех достаточно малых ? > 0
d(u? (╖), sign f (╖)) < ? . Таким образом, lim ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0.
??0
?о следствию 5.2 отобраение t 7? N (t) = {sign f (t)} п.п., а
значит, и функция sign f (╖) ? S (R, R) .
2. ?усть G | область в Rn, и всюду далее, если не оговорено
специально, рассматриваем отобраение (t, x, u) 7? f (t, x, u) ? Rn ,
(t, x, u) ? R╫G╫U такое, что для любого K ? omp(G) функция
f ? S (R, C (K ╫ U, Rn )) .
K ? omp(G)
╡ ? AP M1
Л е м м а 5.2.
и
Для всякого
отобраение
(t, x) 7? h╡(t), f (t, x, u)i =.
Z
( ) ( )( )
(5.16)
S (R, C (K, Rn )).
x ? B (R, G),
orb(x) ? G,
t 7? h╡(t), f (t, x(t), u)i ? Rn
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функции f рассмотрим
при кадом h > 0 ее стекловское усреднение
Z t+h
(t, x, u) 7? fh(t, x, u) =. h1
f (s, x, u)ds ? Rn ,
f t, x, u ╡ t du
U
Кроме того, для
принадлеит пространству
всякой функции
такой, что
ение
п. п. по Степанову.
t
90
отобра-
принадлеащее пространству B (R ╫ K ╫ U, Rn) и, стало быть,
ограниченное на мноестве R ╫ K ╫ U . ?олагаем далее
.
fh (t, x) = h╡(t), fh (t, x, u)i, (t, x) ? R ╫ K.
?оскольку при всяком ? > 0
sup mes{s ? [t, t + 1?: ?? [fh(s, ╖), K ? > ?} <
t?R
Z t+1
Z t+1
1
< sup
?? [f (s, ╖), K ?ds 6 sup
?? [f (s, ╖, ╖), K ╫ U ?ds,
?
t?R
h
t
t?R
t
а f ? S (R, C (K ╫ U, Rn)), то (см. лемму 1.3) ограниченное на
R ╫ K отобраение (t, x) 7? fh (t, x), (t, x) ? R ╫ K удовлетворяет условию А) и, кроме того, (см. следствие 2.3) при кадом
x ? K, fh (╖, x) ? S (R, Rn ) . Стало быть, по лемме 1.4 при кадом
.
h > 0 fh ? S (R, C (K, Rn )) . ?усть далее f(t, x) = h╡(t), f (t, x, u)i,
(t, x) ? R ╫ K . ?оскольку при кадом h > 0 и любом ?
sup
6
2sup
t?R
Z t+1
t?R t
Z t+1
t
+sup
t?R
| f(s + ?, x) ? f(s, x)|ds 6
max
x?K
max
(x,u)?K╫U
Z t+1
t
( + ?, x, u) ? fh(s, x, u)|ds +
|f s
max
|fh (s + ?, x) ? fh (s, x)|ds,
x?K
то (см. теорему 1.2) из равенства
(sup
lim
h?0
t?R
Z t+1
t
max
(x,u)?K╫U
(
)
(
) )=0
|f s, x, u ? fh s, x, u |ds
и включения {fh, h > 0} ? S (R, C (K, Rn )) получаем первое
утвердение леммы 5.2. Далее, т.к. x ? B (R, G), то мноество K =. orb(x) ? omp(
R G) . ?о доказанному выше функция
(t, u) 7? f (t, x(t), u) = K f (t, x, u)?x(t) (dx) принадлеит пространству S (R, C (U, Rn)), а значит, по следствию 2.3 функция
t 7? h╡(t), f (t, x(t), u)i п.п. по Степанову.
91
Л е м м а 5.3.
( ) orb( )
( () )
o ( ( ) )
( omp( )) ( onv( ))
x ? B R, G и
x ?G .
Тогда отобраения t 7? f t, x t , U , t 7?
f t, x t , U принадRn и S R,
Rn соотлеат пространствам S R,
?усть функция
ветственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?олоим K =. orb(x). ?оскольку x ? B (R, G), то K ? omp(G) и, т.к. f принадлеит
S (R, C (K╫U, Rn )), то по лемме
1.3 для заданного ? > 0 найдется
такое ? > 0, что I (? ) =. sup Rtt+1 ?? [f (s, ╖, ╖, K ╫ U)?ds < 2? и мноt?R
ество EB (x, y) T( T ES (f (╖, z, u), y)), где y =. min( 2? , ? ),
(z,u)?K╫U
относительно плотно. ?усть ? принадлеит этому мноеству.
Теперь для кадого t ? R фиксируем такую измеримую функцию u : [t, t + 1? ? U, что
max ?n(f, f (s + ?, x(s + ? ), U)) =
f?f (s,x(s),U)
= ?n(f (s, x(s), u(s)), f (s + ?, x(s + ? ), U)).
Теперь из соотношений
Z t+1
( ( ( ) ( )) ( + ?, x(s + ? ), U))ds 6
?n f s, x s , u s , f s
t
+
6
sup
t?R
Z t+1
6
t
Z t+1
Z
( + ?, x(s), u(s)) ? f (s + ?, x(s + ? ), u(s)|ds 6
|f s
t
t+1
t
( ( ) ( )) ? f (s + ?, x(s + ? ), u(s)|ds +
|f s, x s , u s
max
(x,u)?K╫U
вытекает, что
sup
t?R
Z t+1
t
( + ?, x(s + ? ), u(s) ? f (s, x(s), u(s))|ds +
+I (? ) < 2? + 2? = ?
|f s
max
f?f (s,x(s),U)
( ( + ?, x(s + ? ), U))ds 6 ?.
?n f, f s
92
Аналогично показываем, что
sup
t?R
Z t+1
t
max
f?f (s+?,x(s+? ),U)
( ( ( ) )) ))
?n f, f s, x s , U , U ds 6 ?.
Из последних двух неравенств вытекает, что
sup
t?R
Z t+1
t
dist(f (s, x(s), U), f (s + ?, x(s + ? ), U))ds 6 ?.
Тем самым первая часть леммы 5.3 доказана. Далее из неравенства dist(oA, oB ) 6 dist(A, B ), A, B ? omp(Rn) вытекает
второе утвердение этой леммы.
Рассмотрим п.п. по Степанову (см. лемму 5.2) систему дифференциальных уравнений
x_ = h╡(t), f (t, x, u)i, ╡(╖) ? AP M1 , (t, x) ? R ╫ G
(5.17)
и дифференциальное включение
x_ ? of (t, x, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.18)
с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.
Т е о р е м а 5.2.
x ? B (R, G)
╡ ? AP M1
(5.17),
orb(x) ? G
(5.18),
x_ (t) ? of (t, x(t), U)
t?R
Доказательство теоремы 5.2 практически совпадает с доказательством соответствующего утвердения в измеримом случае
(см.,например, [36?) и мы его опускаем.
Отметим далее, что, в отличие от измеримого случая, вообще
говоря, нельзя утвердать, что если x(╖) | п.п. по Бору решение включения (5.18), то оно будет и решением системы (5.17)
при некотором ╡ ? AP M1 .
?усть функция
решением системы
является
отвечающим некоторому
. Тогда она является таке и решением включения
и
т. е.
при п. в.
93
.
? р и м е р 5.4.?усть f (t, x, u) =. x + | f(t)|? f(t)u, при всех
(t, x, u) ? R ╫ R ╫ [?1, 1?, где функция f ? B (R, R) определена
равенством (5.3). Тогда очевидно, что x(t) ? 0 есть решение
дифференциального включения x_ ? x + | f(t)| ? f(t) ╖ [?1, 1? . С
другой стороны, равенство | f(t)|?h╡(t), f(t)ui = 0 возмоно лишь
при ╡(t) = ?sign f(t) , а т.к. sign f ?/ S (R, [?1, 1?), то по лемме 2.1 и
╡?
/ AP M1 .
Введем в рассмотрение мноество
C
n
+1
X
=. {
j =1
?j ?uj ,
0 6 ?j 6 1,
uj ? U, j
= 1, . . . , n + 1,
n
+1
X
j =1
?j
= 1},
принадлеащее onv(rpm(U)) .
x ? B (R, G)
Т е о р е м а 5.3.
(5.18),
orb(x) ? G
n
x_ ? S (R, R )
t 7? N (t), t 7? W (t, ?)
.10)
(5
.11)
(5
.
K = C g(t, u) = x?f
_ (t, x(t), u)
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
╡
b ? AP M1 ,
lim
al?0
╡
b(t) ? C
t?R
x(╖)
(5.17)
╡(t) = ╡
b(t)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку f принадлеит
пространству S (R, C (K ╫ U, Rn)), где K =. orb(x), то для заданного ? > 0 найдется такое ? > 0, что (см. принятое при
доказательстве леммы 5.3 обозначение) I (? ) < ?/3 и мноество
\
\
\
?
.
EB (x, y) ES (x,
_ y) (
EB (f (╖, z, u), y)), y = min( , ? )
3
| такое реше-
?усть
ние дифференциального включения
что
и
. ?усть отобраения
и
определены равенствами
и
соответственно при
. Тогда если выполнено равенство
то существует такое
w
что
для п. в.
нений
при
и
| решение системы урав-
.
(z,u)?K╫U
относительно плотно. Далее, т. к. для кадого
ества
sup
t?R
Z t+1
t
?
из этого мно-
max
| g(s + ?, u) ? g(s, u)|ds 6 d(x_ ? , x_ )+
u?U
94
Z t+1
+sup
max |f (s + ?, z, u) ? f (s, z, u)|ds + I (? ) < ?,
(z,u)?K╫U
t?R t
то g ? S (R, C (U, Rn)) . Теперь утвердение теоремы 5.3 вытекает
из следствия 5.1 при K = C .
Рассмотрим далее п.п. по Степанову систему дифференциальных уравнений
x_ = f (t, x, u(t)), u(╖) ? S (R, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.19)
и дифференциальное включение
x_ ? f (t, x, U), (t, x) ? R ╫ G
(5.20)
с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.
Очевидно, что всякое п.п. по Бору решение системы (5.19)
является решением включения (5.20). Обратное утвердение (см.
пример 5.4), вообще говоря, неверно. В связи с этим приведем
следующую теорему, вытекающую из следствия 5.2.
x(╖) ? B (R, G)
Т е о р е м а 5.4.
(5.20),
orb(x) ? G
x_ (╖) ? S (R, Rn )
t 7? N (t), t 7? W (t, ?)
(5.12) (5.13)
.
g(t, u) =
x_ (t) ? f (t, x(t), u)
ddist (W (╖, ?), N (╖)) = 0,
u
b(╖) ? S (R, Rn ),
lim
??0
x(╖)
(5.19)
u(t) = u
b(t).
| такое реше-
?усть
ние дифференциального включения
что
и
. ?усть, далее, отобраения
и
определены равенствами
соответственно при
. Тогда, если выполнено равенство
то существует такое
что
будет являться решение системы уравнений
при
Список литературы
1. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические двиения управляемой
системы // Математическая физика. 1977. Вып. 21. С. 45{59.
2. Halanay A. Optimal ontrol of periodi solution // Rev. Roumaine de
mat. Pures et appl. 1974. V. 19, Є 1. P. 3{16.
3. ?анасюк А. И., ?анасюк В. И. Асимптотическая магистральная
оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986.
296 с.
95
4. ?анасюк А. И., ?анасюк В. И. Оптимальное управление с усредненным вдоль траектории функционалом // ?ММ. 1985. Т. 49,
Є 4. С. 525{536.
5. Белоусов Л. А., Тонков Е. Л. Некоторые математические задачи,
связанные с одной моделью химического катализа // Изв. Ин-та
матем. и информ./ УдГУ. Иевск. 1997. Є 1(9). С. 3{62.
6. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными
двиениями. М.: Наука, 1991. 224 с.
7. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высш. шк., 1979. 400 с.
8. Horn J., Lin R. C. Periodi Proesses: A Variational Approah // Eng.
Chem. Proess Desing and Development, 1967. V. 6, Є 1. P. 21{30.
9. Белоусов Л. А., Тонков Е. Л. Об оптимальном управлении периодическими колебаниями некоторых процессов химического катализа // Нестационарные процессы в катализе: Тр. конф. Новосибирск, 1987. С. 212{225.
10. Дукельский М. С., Цирлин А. М. Условия нестационарности установившегося реима управляемого объекта // Автоматика и телемеханика. 1977, Є 8. С. 5{12.
11. ?етрова В. В., Тонков Е. Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Изв. вузов. Математика. 1996, Є 11. С. 65{71.
12. ?еров А. И., Тананика А. А. Об одном геометрическом результате
в вопросах периодической оптимизации // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, Є 4. C. 718{721.
13. ?еров А. И., Белоусова Е. ?. Об одной нелинейной задаче периодической оптимизации / Вороне. ун-т. Вороне, 1995. 23 с. Деп.
в ВИНИТИ 09.08.95, Є 2409-95.
14. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические двиения управляемой
системы // Математическая физика. 1977. Вып. 22. С. 54{64.
15. Тонков Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, Є 6.
C. 1007{1011.
16. Тонкова В. С. Вопросы эффективного расширения задач математического программирования // Методы вычислительного эксперимента в иненерной практике. Иевск.: ИММ, 1991. Вып. 1.
С. 90{99.
17. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических
систем. Л.: Машиностроение, 1976. 248 с.
18. Цирлин А. М., Балакирев В. С., Дудников Е. Г. Вариационные
96
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976.
448 с.
Федоренко Р. ?. ?риблиенное решение задач оптимального управления. M.: Наука, 1978. 488 с.
Черноусько Ф. Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. M.: Наука, 1978. 348 с.
Guardabassi G., Loatelli A., Rinaldi S. The status of periodi
optimization of dynami systems // J. Optimization Theory and Appl.,
1974. V. 14, Є 1. P. 1{20.
Gilbert E. G. Optimal Periodi Control: a General Theory of Neessary
Conditions // SIAM J. Contr. Optimisation. 1977. V. 15, Є 5. P. 717{
746.
Bittanti S., Loatelli A., Guardabassi G. Periodi ontrol: A frequeny
domain approah // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V.18, Є 1.
P. 33{34.
Bittanti S., Loatelli A., Maezoni C. Seond-variation mehhods in
periodi optimisation // J. Optim. Theory and Appl. 1974. V. 14,
Є 14. P. 31{49.
Markus L. Optimal ontrol of limit yles or what ontrol theory an
do to ure a heart attak or to ause one // Let. Notes Math. 1973.
V. 312. P. 108{134.
Chang K. S. Neessary and su╞ient onditions for optimality. Periodi
optimization. New York: Springer-Verlag, 1972. P. 183{217.
Иванов А. Г., Тонков Е.Л. Задача оптимального управления периодическими процессами и ее расширения // Функц. дифференц.
уравнения. ?ермь, 1992. С. 35{49.
Panasjuk A., Panasjuk V. Die wihtigsten Leitsatze der magistralen
asymptotishen Theorie der optimalen Steuerung // 27 Intern. Wiss.
Kolloq., Ilmenau, 1982. H.5. Vortragsz. B1, B2. Ilmenau, s. a. P. 99{
104.
Иванов А. Г. О существовании почти периодического решения линейной системы с квадратичным функционалом качества // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, Є 2. C. 203{211.
Демидович Б. ?. Лекции по математической теории устойчивости.
М.: Наука, 1967. 472 с.
Левитан Б. М. ?очти-периодические функции. М. : Гостехиздат,
1953. 396 с.
Левитан Б. М., Жиков В. В. ?очти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 205 с.
97
33. Иванов А. Г. Оптимальное управление почти периодическими двиениями при наличии ограничений на средние // Докл. РАН 1995.
Т. 343, Є 6. С. 51{53.
34. ?онтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.
35. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169.
С. 194{252.
36. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и
функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.
37. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси:
Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 230 с.
38. Дмитрук А. В. ?ринцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями // Оптимальность управляемых динамических систем.
Вып. 14. М.: ВНИИСИ, 1990. С. 26{42.
39. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука,
1985. 518 с.
40. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах
управления. М.: Наука, 1981. 287 с.
41. Ченцов А. Г. ?рилоения теории меры к задачам управления.
Свердловск: Средн.-Урал. кн. изд-во, 1985. 128 с.
42. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.
43. Иванов А. Г. Мерозначные почти периодические функции. ?репринт. Свердловск, 1990. 53 с.
44. Иванов А. Г. Мерозначные почти перио
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
732 Кб
Теги
почта, элементы, оптимизация, математические, аппарата, задачи, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа