close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. Ii

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2003. Є1(27)
УДК 517.977
А.Г. Иванов
imiuni.udm.ru
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО А??АРАТА
ЗАДАЧ ?ОЧТИ ?ЕРИОДИЧЕСКОЙ
О?ТИМИЗАЦИИ. II
Ключевые слова:
1
функция поточечного максимума, ляпуновские по-
чти периодические задачи, линейные почти периодические по Степанову
системы управления.
Abstrat. The main denitions and statements on the measurevalued
funtions almost periodi in the sense of Stepanov, whih are used while
studing the problems of almost periodi motions optimal ontrol, are
prezented.
Содерание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. О поточечном максимуме в п. п. случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Ляпуновские задачи в п. п. случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Ряд свойств линейных п. п. по Степанову
систем управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4. О некоторых свойствах линейных п. п. по Степанову
систем с управлениями, аппроксимирующих заданное
мерозначное п. п. управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Ряд свойств нелинейных п. п. по Степанову
систем управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1 Работа поддерана Российским фондом фундаментальных исследований
(грант 99{01{00454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант E02{1.0{100).
3
Введение
В данной работе продолены исследования, начатые в [1?, посвященные свойствам мерозначных почти периодических (п. п.)
по Степанову функций, которые используются в задачах, связанных с оптимальным управлением п. п. двиений.
В первом разделе работы рассмотрены вопросы, связанные с
поточечным максимумом в п. п. случае, а таке элементарными
ляпуновскими задачами в классе управлений из пространства
S (R, U), U ? omp(Rm ) и AP M1 .
Во втором разделе на примере ляпуновской п. п., представляющей и самостоятельный интерес, проиллюстрированы практически все основные утвердения и определения работы [1? и первого раздела настоящей статьи. Отметим, что схема доказательства теоремы 2.1 моет быть использована и при получении необходимых условий оптимальности в задачах управления п. п.
двиениями нелинейной системы управления и в которой в качестве управлений рассматриваются пары (v(╖), u(╖)) ? S╫ S (R, U),
где S | заданное мноество функций из B (R, Rk ).
Далее, при получении необходимых условий оптимальности
в форме принципа максимума ?онтрягина допустимого процесса
(xb(╖), ╡b(╖)) в задаче оптимального управления п. п. двиениями
одну из основных нагрузок несет вопрос о существовании п.п. по
Бору решения нелинейной системы управления
.
x_ = h╡(t, ?,~y ~? ), f (t, x, u)i =
Z
U
f (t, x, u)╡(t, ?,~y ~? )(du),
отвечающего игольчатой вариации ╡(╖, ?,~y ~? ) ? AP M1 управления ╡b(╖) (см. [1. C. 56?) и его зависимость от параметров (?,~y) ,
входящих в определение ╡(╖, ?,~y ~? ) . Свойства ╡(╖, ?,~y ~?) позволяют включить указанные вопросы в более общую постановку
задачи о существовании п.п. по Бору решения системы управления x_ = h╡(t, ?, ?), f (t, x, u)i , где (t, ?, ?) 7? ╡(t, ?, ?) | заданное мерозначное отобраение п.п. по t ? R в смысле Степанова
равномерно по (?, ?) ? A ╫ и его поведения в зависимости от
4
(?, ?) ? A ╫ . Этим вопросам посвящен пятый раздел работы.
В свою очередь исследование этих вопросов опирается на ряд
достаточно громоздко доказываемых свойств линейных по фазовой переменной систем управления. Доказательству этих свойств
посвящен третий раздел работы. Далее, для обоснования корректности расширения (овыпукления) задач оптимального управления п.п. двиениями, а таке при получении утвердений о
необходимых условиях оптимальности в этих задачах, ваную
роль играет вопрос о существовании п.п. по Бору решения системы x_ = f (t, x, uj (t, ? )) и его зависимость от параметра ?
при j ? ? , где {uj }?
j =1 | последовательность из пространства
S (R ╫ , U) | функций, которые п.п. по t ? R в смысле Степанова равномерно по ? ? , аппроксимирующая мерозначное
управление ╡ ? S (R ╫ , U) . В свою очередь, опять е для исследования этих вопросов необходим ряд утвердения линейных
систем, которым посвящен четвертый раздел данной работы.
Вырааю искреннюю признательность Е. Л. Тонкову за постановку задачи оптимального управления п. п. двиениями, неустанный интерес и обсудение результатов, связанных с этими
задачами. Благодарю А. Г. Ченцова за неоднократное и плодотворное обсудение результатов работы [1? и данной статьи.
1.
О поточечном максимуме в п. п. случае
1. С функцией g, принадлеащей пространству S (R, C (U, R))
(или B (R ╫ U, R) ), свяем два измеримых отобраения
.
t 7? ?(t) = max g(t, u) ? R, t ? R,
u?U
.
t 7? F (t) = {u ? U : g(t, u) = ?(t)} ? omp(U), t ? R.
(1.1)
(1.2)
Так как |?? (t) ? ?(t)| 6 max |g(t + ?, u) ? g(t, u)|, t ? R, то
u?U
? ? S (R, R) (и ? ? B (T
R, R), если g ? B (R ╫ U, R) ) и для кадоES (g(╖, u), ?) ? ES (?, ?) (следовательно,
го ? > 0 мноество
u?U
Mod(?) содерится в Mod(g) ).
5
В этом пункте исследуется вопрос о наличии у отобраения F п. п. по Степанову сечений, т. е. таких функций u(╖) из
S (R, U), что u(t) ? F (t) при п. в. t ? R.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие возмоные ситуации
в этой задаче.
?риведем пример отобраения F ?/ S (R, omp(U)), но имеющего п. п. сечения.
? р и м е р 1.1. ?усть g(t, u) = f (t)u, (t, u) ? R ╫ [?1, 1?,
?
P
P
? (t ? m ? 2mj ) и где, в
где f (t) =
2?m fm (t), fm (t) =.
m=2
j?Z
свою очередь, ? | такая непрерывная функция, что ?(t) > 0
при |t| < 1 и ?(t) = 0, если |t| > 1. ?оскольку f является
суммой равномерно сходящегося на R ряда, состоящего из 2m периодических функций, то f ? B (R, R), и следовательно, функция g ? B (R ╫ [?1, 1?, R). Так как в этом случае F (t) = [?1, 1?,
если |t| < 1 и F (t) = {1} при |t| > 1, то F ?/ S (R, omp([?1, 1?)),
но имеет п. п. по Бору сечение u(t) = 1, t ? R.
? р и м е р 1.2. ?усть g(t, u) = f(t)u, (t, u) ? R ╫ [?1, 1?,
где п. п. по Бору функция f, определена в [1? равенством (5.3). В
этом случае F (t) = {sign f(t)} для всех t ? R\Z. ?оэтому отобраение F ?/ S (R, omp([?1, 1?)), и всякое его измеримое сечение,
совпадающее почти всюду с sign f, не принадлеит пространству
S (R, R).
Сейчас приведем достаточные условия существования п. п. по
Степанову сечений у F. С этой целью введем для кадого фиксированного ? > 0 отобраение
.
t 7? W (t, ?) = {u ? U : g(t, u) > ?(t) ? ?} ? omp(U), t ? R. (1.3)
Т е о р е м а 1.1. ?усть функция g ? S (R, C (U, R)) и
для отвечающих ей отобраений F (╖) и W (╖, ?), определенных равенствами (1.2) и (1.3) соответственно, выполнено равенство lim ddist (W (╖, ?), F (╖)) = 0. Тогда F ? S (R, omp(U)),
??0
существует такая функция u ? S (R, U), что u(t) ? F (t), t ? R
и Mod(u) ? Mod(F ) ? Mod(g ).
6
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функции
(t, u) 7? g(t, u) =. ??(t) + g(t, u), (t, u) ? R ╫ U,
которая принадлеит S (R, C (U, R)), применяем следствие 5.2,
приведенное в работе [1?.
Рассмотрим сейчас вопрос о поточечном максимуме в компактном метрическом пространстве (rpm(U), ?w ).
Для функции g ? S (R, C (U, R)), по аналогии с отобраением
?, определим отобраение
.
t 7? ? (t) =
max
??rpm(U)
h?, g(t, u)i, t ? R.
(1.4)
?оскольку g(t, ╖) ? C (U, R) и [2? rpm(U) = lw (oDIR(U)), где
lw | замыкание в метрике ?w мноества oDIR(U), то
? (t) = ?(t), t ? R
и, следовательно, отобраением в пространстве мер, аналогичным (1.2), будет следующее отобраение:
.
t 7? F(t) = {? ? rpm(U): h?, g(t, u)i
= ?(t)} ? omp(rpm(U)),
(1.5)
содеращее при кадом t ? R мноество {?u , u ? F (t)}. В отличие от рассмотренных в [1? (см. замечание 5.2) отобраений
N (╖; rpm(U)) и N (╖; U) у отобраений F (╖) и F(╖) при исследовании их почти периодичности существует тесная связь. Чтобы
показать это, приведем ряд вспомогательных утвердений.
Рассмотрим систему мноеств
.
H = {rpm(K ), K ? omp(U)}
метрического пространства (omp(rpm(U)), distw ).
Л е м м а 1.1.
G:
Отобраение
(omp(U), dist) ? (H, distw ),
7
(1.6)
определенное равенством
.
G(K ) = rpm(K ), K ? omp(U),
(1.7)
является гомеоморфизмом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?ри кадом K ? omp(U)
rpm(K ) = lw (oDIR(K)). ?оэтому (см. п. 1 из второго раздела
работы [1?) биективность и непрерывность отобраения G вытекают из неравенств
distw (G(K1 ), G(K2 )) 6 distw (DIR(K1 ), DIR(K2 ) 6
2?j
6
(c , U), K1 , K2 ? omp(U).
╖?
1 + kcj kC (U,R) dist(K1 ,K2 ) j
j =1
?
X
Откуда [3?, в силу компактности пространства (omp(U), dist),
получаем утвердение леммы 1.1.
С л е д с т в и е 1.1.
(H, distw ) компактно.
С л е д с т в и е 1.2.
Метрическое пространство
K : R ? omp(U)
S (R, omp(U)) в том и только
том случае, если G ?K ? S (R, H), и при этом выполнено равенство Mod(K) = Mod(G ?K).
Отобраение
принадлеит пространству
Л е м м а 1.2. ?усть отобраения F, F и G заданы
равенствами (1.2), (1.5) и (1.7) соответственно. Тогда при п. в.
t ? R выполнено равенство F(t) = (G ?F )(t).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
? ? (G ?F )(t)
(1.7)
= rpm(F (t)),
то (см. (1.6)) supp ? ? F (t). Откуда получаем равенство
h?, g(t, u)i =
Z
supp ?
g(t, u)? (du)
8
= ?(t),
которое (см. (1.5)) означает, что ? ? F(t). ?усть теперь ? ? F(t).
?редполоим, что supp ? не содерится в F (t). Тогда найдется
точка v ? (supp ? ) \ F(t). Так как ?(t) ? g(t, v) > 0 и отобраение u 7? (?(t) ? g(t, u)) непрерывно, то имеют место следующие
соотношения
0=
Z
(?(t) ? g(t, u))? (du) =
U
Z
(supp ? )\F(t)
(?(t) ? g(t, u))? (du) > 0.
?олученное противоречие означает, что действительно supp ?
содерится в F (t) и, значит, ? ? (G ?F )(t).
Заметим, что из леммы 1.2 и следствия 1.2 вытекает, что F
принадлеит пространству S (R, H) в том и только том случае,
если F ? S (R, omp (U)) и их модули совпадают.
Т е о р е м а 1.2.
принадлеащее S (R, U)
Отобраение
F имеет сечение u(╖),
в том и только том случае, когда ото-
F имеет сечение ╡(╖) ? AP M1 и при этом
содерится в Mod(╡).
браение
Mod(u)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условий теоремы 1.2 вытекает из леммы 2.1 [1?. ?усть теперь F имеет сечение ╡ ? AP M1 . Тогда [4? найдется такое u ? S (R, U), что
u(t) ? supp ╡(t) при п. в. t ? R и Mod(u) ? Mod(╡). ?окаем,
что u(t) ? F (t), t ? R. В самом деле, из соотношений
6
Z
0 6 ?(t) ? g(t, u(t)) = h?u(t) , ?(t) ? g(t, u)i 6
supp ╡(t)
(?(t) ? g(t, u))╡(t)(du) = h╡(t), ?(t) ? g(t, u)i = 0
вытекает, что ?(t) = g(t, u) для п. в. t ? R.
2. Сейчас, используя результаты предыдущего пункта, рассмотрим простейшие задачи оптимального управления в пространстве п. п. функций. Но преде приведем следующее утвердение (см. [5?)
9
Т е о р е м а 1.3. ?усть g ? B (R ╫ U, R). Тогда для
любого ? > 0 найдется такая функция u ? S (R, U), что
g(t, u(t)) > ?(t) ? ? и Mod(u) ? Mod(g).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем ? > 0 и введем в
рассмотрение при кадом ? ? (0, ?) отобраение
(t, u) 7? ?(t, u) =. max{0, g(t, u) ? ?(t) + ?}, (t, u) ? R ╫ U.
?оскольку g ? B (R ╫ U), ? ? B (R, R), то ? ? B (R ╫ U, R+ ).
Кроме того, так как ?(t, u) = ?, если u ? F (t) и (здесь см.(1.3))
{u ? U : g(t, u) ? ?(t) + ? > 0} ? W (t, ?),
то
F (t) ? supp ? (t, ╖) ? W(t, ?),
t ? R.
(1.8)
Фиксируем такую меру ? ? rpm(U), что supp ? = U, и при
кадом t ? R рассмотрим отобраение c(╖) 7? h?, ?(t, u)c(u)i,
c ? C (U, R). Так как ? (t, ╖) ? C (U, R), то введенное отобраение
принадлеит (C (U, R))? , и, значит, по теореме Рисса [6.С.138?
найдется такая мера ╡t ? f rm(U), что h╡t , c(u)i = h?, ?(t, u)c(u)i
для всех c ? C (U, R), и при этом отобраение t 7? h╡t , c(u)i
принадлеит B (R, R). ?олагаем далее ? (t) =. h?, ?(t, u)i, t ? R.
Так как ? ? B (R ╫ U, R+ ), ? ? rpm(U), то ? ? B (R, R+). ?окаем, что inf ? (t) > 0. Действительно, пусть ? > 0 такое, что
t?R
sup ?? [?(t, ╖), U? < ?4 и точки u1 , . . . , up ? U образуют ? -сеть комt?R
пакта U. Для кадого t ? R выбираем точки ut ? F (t) (поэтому
? (t, ut ) = ? ) и uj такие, что |ut ? uj | < ?. Теперь, учитывая,
что ?(t, u) > 0, (t, u) ? R ╫ U и ? ? rpm(U), имеем следующие
соотношения
? (t ) =
=
Z
Z
(?(t, u) ? ?)?(du) + ? =
U
U?O? [uj ?
(?(t, u) ? ?(t, uj ))?(du)+
10
+
+
Z
Z
U?O? [uj ?
U\O? [uj ?
(?(t, uj ) ? ?(t, ut ))?(du)+
(?(t, u) ? ?(t, ut ))?(du) + ? >
> (?2 sup ?? [? (t, ╖)U? + ?)? (U ? O? [uj ?) >
t?R
>
?
min ?(U ? O? [uj ?) =. k.
2 16j6p
T
?оскольку u1 , . . . , up ? supp ?, то [2.С. 153? ?(U Or [uj ?) > 0,
j = 1, . . . , p. ?оэтому из приведенных выше соотношений получаем, что inf ? (t) > k > 0, и, следовательно, функция 1? принадt?R
леит B (R, R+).
Рассмотрим далее отобраение t 7? ? (t) =. ?(1t) ╡t ? rpm(U),
t ? R, которое (см. замечание 2.2 в [1?) принадлеит пространству B (R, rpm(U)) ? AP M1 и supp ? (t) = supp ?(t, ╖),
t ? R. ?оэтому [4? существует такая функция u ? S (R, U),
что u(t) ? supp ?(t, ╖) при п. в. t ? R, а, значит, (см. (1.8))
u(t) ? W (t, ?) для п. в. t ? R. Теперь, т. к. ? ? (0, ?), то (см.
(1.3)) ?(t) > g(t, u(t)) > ?(t) ? ? при п. в. t ? R.
З а м е ч а н и е 1.1. Из приведенного доказательства
видно, что утвердение теоремы 1.3 справедливо для всякой
функции g ? V1loc (R ╫ U, R), такой, то g(╖, u) ? S (R, R) при
кадом u ? U и lim(ess sup ?? [g(t, ╖), U?) = 0. ?ри этом надо
??0
t?R
использовать утвердение леммы 1.4 и следствие 2.3 работы [1?.
?усть далее g ? B (R ╫ U, R). ?о следствию 2.3 из [1? для
всякой функции u ? S (R, U) отобраение t 7? g(t, u(t)) принадлеит S (R, R) и, значит, существует среднее M {g(t, u(t))}.
О п р е д е л е н и е 1.1. Задача
.
I (u(╖)) = M {g(t, u(t))} ? sup, u(╖) ? S (R, U)
(1.9)
называется элементарной п. п. ляпуновской задачей и функция
u
b(╖) ? S (R, U) называется решением этой задачи, если для всех
u(╖) ? S (R, U) справедливо неравенство I (u
b(╖)) > I (u(╖)).
11
Т е о р е м а 1.4. Функция ub ? S (R, U) является решением задачи (1.9) в том и только том случае, если для п. в.
точек
t?R
max g(t, u) = g(t, ub(t)).
(1.10)
u?U
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность условий теоремы 1.4 очевидна. Докаем необходимость условий. ?о теореме 1.2 для кадого j ? N найдется такая функция uj ? S (R, U),
что при п. в. t ? R g(t, uj (t)) > ?(t) ? 1j , где ?(t) =. max g(t, u).
u?U
?оэтому, т. к. ub | решение задачи (1.9), то
1
M {?(t)} > I (^
u) > I (uj ) > M {?(t)} ? , j ? N.
j
Откуда, в свою очередь, получаем равенство M {f (t)} = 0, где
.
f (t) = ?(t) ? g(t, u^(t)), t ? R и при этом f ? S (R, R+ ). Теперь
нуное нам равенство (1.10) вытекает из следующего, неслоно
доказываемого утвердения.
Л е м м а 1.3. ?усть функция f ? S (R, R+ ), такая, что
M {f (t)} = 0. Тогда f (t) = 0 для п. в. t ? R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустив противное, получим,
что для неотрицательной п.п. по Бору функции
.
t 7? f(t) =
Z t+1
t
f (s)ds, t ? R
найдется такая точка ? ? R , что f(?) =. ? > 0 . Следовательно
[7?, существует такое натуральное число l, что в кадом отрезке
[m, m + l?, m ? Z содерится точка tm , в которой f(tm ) > ?/3 .
?оэтому
M {f (t)} =
lim
q??
1
ql
q?1 Z
X
m=0
ml+l
ml
f (t)dt >
lim
q??
1
ql
q?1
X
m=0
Откуда получаем противоречие с условием |
Из теорем 1.1 и 1.4 вытекает
12
f(tm ) >
?
3l
> 0.
M {f (t)} = 0 .
С л е д с т в и е 1.3.
?усть функция
g ? B (R ╫ U, R) и
R ? omp(U), за-
F (╖), W (╖, ?) :
(1.2) и (1.3), соответственно, такие, что
lim ddist (W (╖, ?), F (╖)) = 0. Тогда решение задачи (1.9) существуотвечающие ей отобраения
данные равенствами
??0
ет.
З а м е ч а н и е 1.2. Для фиксированного мноества
? R полагаем
.
U() = {u ? S (R, U): Mod(u) ? Mod()}.
(1.11)
Отметим, что если = R, то U = S (R, U), а, в случае если | суть одноточечное мноество вида { 2?? }, ? > 0, то U( 2?? ) |
подмноество из S (R, U), состоящее из ? -периодических измеримых функций u : R ? U. Рассмотрим далее задачу
.
I (u(╖)) = M {g(t, u(t))} ? sup, u(╖) ? U(),
(1.12)
в которой функция ub(╖) ? U() называется решением, если
I (u(╖)) 6 I (u
b(╖)) для всех u(╖) ? U(). ?оскольку U() содерится в S (R, U), то очевидно, что
sup{I (u(╖)), u(╖) ? U()} 6 sup{I (u(╖)), u(╖) ? S (R, U)},
и всякое решение задачи (1.9), если его модуль содерится в
Mod(), будет решением задачи (1.12). Следующий пример показывает, что обратное утвердение, вообще говоря, неверно.
? р и м е р 1.3. Рассмотрим п. п. по t ? R в смысле Бора равномерно по u = (u1 , u2 ) ? U =. [?1, 1? ╫ [?1, 1? отобраение
g(t, u) = u1 sin ?1 t + u2 sin ?2 t, где числа ?1 , ?2 > 0 и несоизмеримы. Далее, т. к. для любых несоизмеримых ? > 0 и ? > 0
и всякой измеримой ? -периодической функции u : R ? [?1, 1?
имеет место равенство | M {u(t) sin ?t} = 0, то
sup M {u1 (t) sin ?1 t + u2 (t) sin ?2 t} =
u(╖)?U(? )
=
?
?0,
2
?
?
,
если
если
несоизмеримо ?1 и ?2 ,
? соизмеримо либо ?1 , либо с ?2 .
?
13
Будем считать для определенности, что ? = ?1 . Тогда, в силу
вышеприведенного равенства, в качестве решения задачи
M {u1 (t) sin ?1 t + u2 (t) sin ?2 t} ? sup, u(╖) ? U(?1 )
моно взять любую фиксированную 2??1 -периодическую функцию vb(t) = (sign(sin ?1 t), u2 (t)), где u2 (╖) ? U(?1 ). С другой стороны, поскольку при всех t ? R
max
|u1 |61, |u2 |61
(u1 sin ?1 t + u2 sin ?2 t) = | sin ?1 t| + | sin ?2 t|,
то п. п. по Степанову функция ub(t) = (sign(sin ?1 t), sign(sin ?2 t))
будет решением задачи
I (u(╖)) = M {u1 (t) sin ?1 t + u2 (t) sin ?2 t} ? sup, u(╖) ? S (R, U)
и при этом I (vb(╖)) = ?2 < ?4 I (ub(╖)). Кроме того, на мноестве
полоительной меры g(t, vb(t)) < g(t, ub(t)) .
?риведенный пример 1.3 показывает таке, что в теореме 1.4
для выполнения равенства (1.10) существенно, что функция ub(╖)
является решением задачи (1.9), определенной на S (R, U). Вместе с тем отметим (см. доказательство теоремы 1.4), что если
Mod(g) ? Mod(), то функция vb(╖) ? U() будет решением
задачи (1.12) в том и только том случае, если при п. в. t ? R
выполнено равенство (1.10).
О п р е д е л е н и е 1.2. Задача2
.
T(╡(╖)) = M {h╡(t), g(t, u)i} ? sup, ╡(╖) ? AP M1 ,
(1.13)
называется овыпукленной для задачи (1.10), и функция ╡b(╖),
принадлеащая AP M1 , называется решением задачи (1.13), если
T(╡(╖)) 6 T(╡
b(╖)) для всех ╡(╖) ? AP M1 .
2 Здесь см.следствие 2.3 в [1?.
14
Т е о р е м а 1.5.
ния:
1)
функция
Имеют место следующие утверде-
╡
b(╖) ? AP M1 является решением задачи
t?R
(1.13)
в том и только том случае, если для п. в.
max g(t, u) = hb╡(t), g(t, u)i;
u?U
(1.14)
╡
b(╖) ? AP M1 задачи (1.13) существует, если и
u
b(╖) ? S (R, U) задачи (1.9) и
при этом I (u
b(╖)) = T(╡
b(╖)).
2)
решение
только если существует решение
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть для ╡b(╖) ? AP M1 при
п. в. t ? R выполняется равенство (1.14). Тогда из равенства
функций максимумов ?(╖) и ?(╖), определенных равенствами
(1.1) и (1.4), соответственно, вытекает, что ╡b(╖) | решение задачи (1.13).
?усть теперь ╡b(╖) ? AP M1 | решение задачи (1.13). Тогда
в силу теоремы 1.2 при кадом j ? N найдется такая функция
uj ? S (R, U), что g(t, uj (t)) > ?(t) ? 1j для п. в. t ? R. Далее, в
силу леммы 2.1 из [1? ?uj (╖) ? AP M1(1) ? AP M1 и, т. к. для всех
t ? R ?(t) = ? (t), то из неравенств
1
M {?(t)} > M {hb
╡(t), g(t, u)i} > M {h?uj (t) , g(t, u)i} > M {?(t)} ?
j
получаем, что M {f (t)} = 0, где f (t) =. ?(t)?h╡^ (t), g(t, u)i, t ? R.
?оскольку f ? S (R, R+ ), то из леммы 1.3 вытекает, что при п. в.
t ? R справедливо равенство (1.14). Тем самым, первое утвердение теоремы 1.5 доказано.
Второе утвердение этой теоремы является практически очевидным следствием доказанного первого утвердения, а таке
теорем 1.2 и 1.4. В самом деле, пусть ╡b(╖) ? AP M1 является
решением задачи (1.13). Тогда, в силу первого утвердения данной теоремы, ╡b(╖) | сечение отобраения F(╖) (см. (1.5)). Откуда по теореме 1.2 отобраение F (╖) (см. (1.2)) имеет сечение
u
b(╖) ? S (R, U), являющееся решением задачи (1.9). ?ри этом по
15
теореме 1.4 будет выполняться равенство (1.10), из которого совместно с (1.10) получаем равенство I (ub(╖)) = T(╡b(╖)). Аналогично показываем, что из существования решения задачи (1.9)
вытекает существование решения задачи (1.13).
З а м е ч а н и е 1.3. Отметим, что овыпукленной задачей для задачи (1.12) будет следующая задача (здесь см. обозначение (4.1) в [1?)
T(╡(╖)) = M {h╡(t), g(t, u)i} ? sup, ╡(╖) ? M(),
(1.15)
в которой функция ╡b(╖) ? M() называется решением, если
T(╡(╖)) 6 T(╡
b(╖)) для всех ╡(╖) ? M(). В силу теоремы 3.1
из [1? имеет место равенство
sup{I (u(╖)), u(╖) ? U()} = sup{T(╡(╖)), ╡(╖) ? M()}.
Далее, обозначим через B (R╫Rm, R) мноество таких функций g ? C (R╫Rm , R), что при кадом U ? omp(Rm ) g принадлеит B (R ╫ U, R) и через S?(R, Rm ) обозначим совокупность
ограниченных на R функций, принадлеащих S (R, Rm ).
?усть, далее, g ? B (R ╫ Rm, R) и u ? S?(R, Rm ). ?оскольку
orb(u) ? omp(Rm ), а g ? B (R ╫ orb(u), R), то [1? отобраение
t 7? g(t, u(t)) принадлеит пространству S? (R, R) и, значит,
для него существует среднее.
Рассмотрим сейчас задачу
I (u(╖)) = M {g(t, u(t))} ? sup, u(╖) ? S? (R, Rm ).
(1.16)
О п р е д е л е н и е 1.3. Функция ub(╖) ? S?(R, Rm )
называется локальным решением задачи (1.16), если существует
такое ограниченное открытое мноество U ? Rm , содеращее
orb(ub), что ub(╖) является решением задачи (1.9) при U = U.
Из данного определения 1.3 и теоремы 1.4 вытекает
С л е д с т в и е 1.4. ?усть функция ub(╖) ? S? (R, Rm )
является локальным решением задачи (1.16). Тогда, если отобраение g ? B (R ╫ Rm , R) дифференцируемо по u в кадой
?
b(t)) = 0 для п. в. t ? R.
точке (t, u) ? R ╫ U, то gu (t, u
16
Далее, овыпуклим задачу (1.16). С этой целью обозначим
через M(R, frm(Rm )) совокупность таких ╡ : R ? frm(Rm ),
для кадого из которых существует такое компактное мноество U╡ ? Rm , что ╡ ? M(R, frm(U╡ )) (см. п.1 второго раздела
работы [1?). Аналогичным образом определим и подмноество
M(R, rpm(Rm )) из M(R, frm(Rm )). Через AP M (Rm ) обозначим
совокупность таких ╡ ? M(R, frm(Rm )), что (см. определение 2.1
в [1?) ╡ ? AP M (U╡ ) и пусть
.
AP M1 (Rm ) = M(R, rpm(Rm )) ? AP M (Rm ).
Отметим, что ╡ ? AP M (Rm ) в том и только в том случае, если
для любой функции c ? C (U╡ , R) отобраение t 7? h╡(t), c(u)i
принадлеит S?(R, R) и имеет место аналогичное лемме 2.2 из
[1? утвердение: для того, чтобы u(╖) ? S? (R, Rm ), необходимо
и достаточно, чтобы отобраение t 7? ?u(t) принадлеало мноеству AP M1 (Rm ).
Совокупность отобраений t 7? ?u(t) , отвечающих функциям
(1)
u(╖) ? S? (R, Rm ), обозначим через AP M1 (Rm ).
Таким образом, следующую задачу
T(╡(╖)) = M {h╡(t), g(t, u)i} ? sup, AP M1 (Rm )
(1.17)
естественно назвать овыпукленной для задачи (1.16).
О п р е д е л е н и е 1.4. Функция ╡b ? AP M1 (Rm ) называется локальным решением задачи (1.17), если существует
такое ограниченное открытое мноество U ? Rm , что U╡b ? U и
является решением задачи (1.13) при U = U.
Л е м м а 1.4.
локальным решением задачи
(1.17)
hb
╡(t), gu (t, u)i = 0 для п. в. t ? R.
?
U
╡
b ? AP M1 (Rm ) является
?
и gu ? C (R ╫ U, Rm? ). Тогда
?усть функция
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку ╡b ? AP M1 (U), где
= U, то [4? существует такое счетное мноество функций
17
uj (╖) ? S (R, U), j ? N,
что
?
[
j =1
uj (t) = supp ╡
b(t)
(1.18)
для п. в. t ? R. ?ри этом (см. теорему 1.5 и доказательство теоремы 1.3) кадая из функций uj (╖) будет решением задачи (1.9)
при
U = U, и т. к. uj (t) ? supp ╡
b(t) ? U, то по следствию 1.4
?
gu (t, uj (t)) = 0 при п. в. t ? R, например, всех t ? Tj . Теперь
?
из условия gu (t, ╖) ? C (U, Rm? ) и равенства (1.18) получаем, что
?
T
при кадом t из мноества T =
Tj (mes(R \ T ) = 0) для
j =1
всякого u ? supp ╡b(t) gu (t, u) = 0.
В заключение раздела докаем еще одно свойство функции
максимума, ваное при исследовании свойств функции ?онтрягина в задаче п. п. оптимизации.
Л е м м а 1.5. ?усть функция g ? B (R ╫ U, R) такая,
что при кадом u ? U отобраение t 7? g (t, u) абсолютно
непрерывно, gt? ? S (R, C (U, R)) и
?
.
g=
ess sup(max |gt? (t, u)|) < ?.
t?R
u?U
?усть далее функция
ствует такое
? определена равенством
╡
~(╖) ? AP M1 , что при всех t ? R
?(t) = h╡
~(t), g(t, u)i.
Тогда функция
п. в.
(1.1)
и суще-
(1.19)
?(╖) абсолютно непрерывна, ?_ (╖) ? S (R, R) и при
t?R
?_ (t) = h╡
~(t), gt? (t, u)i.
(1.20)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (1.19) и отмеченного в п. 1 равенства ?(t) = ?(t) =. max h?, g(t, u)i, t ? R
??rpm(U)
вытекает, что при всех t, h ? R
h╡
~(t), g(t+h, u)?g(t, u)i 6 ?(t+h)??(t) 6 h╡~ (t+h), g(t+h, u)?g(t, u)i
18
или, в силу абсолютной непрерывности функции g(╖, u),
t+h
t+h
Z
Z
?
h╡
~(t), gt (s, u)dsi 6 ?(t + h) ??(t) 6 h╡~ (t + h), gt? (s, u)dsi.
t
u?U
(1.21)
t
Откуда получаем, что |?(t + h) ? ?(t)| 6 g ╖|h|, t, h ? R и, стало
быть, п. п. по Бору функция ?(╖) является абсолютно непрерывной.
?окаем, что при п. в. t ? R
lim
h?0
1
h
Z t+h
t
max |gt? (s, u) ? gt? (t, u)|ds = 0.
u?U
(1.22)
?оскольку gt? ? S (R, C (U, R)), то (см. в [1? лемму 1.3) найдется такая последовательность {?j }?
j =1 , lim ?j = 0, что при всех
j??
t ? R, за исключением, моет быть, мноества N1 нулевой меры lim It (?j ) = 0, где It (?j ) =. ??j [gt? (t, ╖), U? = 0 и при кадом
j??
j ? N при всех t ? R, за исключением, моет быть, мноества
N2 таке нулевой меры
lim
h?0
1
h
Z t+h
|??j [gs? (s, ╖), U? ? ??j [gt? (t, ╖), U?|ds
Z t+h
|??j [gs? (s, ╖), U? ? ??j [gt? (t, ╖), U?|ds < ?/3.
t
= 0.
(1.23)
Кроме того, если U? =. {u1 , u1 , . . . } | счетное всюду плотное
подмноество мноества U ? omp(Rm ), то при всех t ? R, за
исключением, моет Rбыть, мноества N3 нулевой меры и всяком ul ? U? lim h1 tt+h |gt? (s, ul ) ? gt? (t, ul )|ds = 0. Фиксируем
h?0
теперь произвольное t ? R \ (N1 ? N2 ? N3 ). Тогда в силу вышесказанного для заданного ? > 0 найдется такое j (?), что будет выполнено неравенство It (?j (?) ) < ?/6. Для этого ?j (?) (см.
(1.23)) выберем такое ? > 0, что при всех h ? (??, ?)
1
h
t
19
Наконец, рассмотрим точки ul . . . up ? U? , образующие ?j (?) сеть для U, и для константы ?/3p подберем ?b ? (0, ?) так, чтобы
b ?b) имели место неравенства
при h ? (??,
1
h
Z t+h
t
|gt? (s, ul ) ? gt? (t, ul )|ds < ?/3p, l = 1 . . . p.
Зафиксируем сейчас измеримое отобраение u : [t, t + 1? ? U,
такое, что max |gt? (s, u) ? gt? (t, u)| = |gt? (s, u(s)) ? gt? (t, u(s))| при
u?U
п. в. s ? [t, t + 1?, и рассмотрим дизъюнктную систему мноеств
.
Tl (t) = {s ? [t, t + 1?: |u(s) ? ul | < ?j (?) }, l = 1 . . . p, образующую
покрытие [t, t + 1?. ?олагая Tl (t, h) =. [t, t + h? ? Tl (t), l = 1 . . . p
b ?b) , принимая во-внимание выбор ?,
b слеимеем при всех h ? (??,
дующие соотношения
Z t+h
1
h
=
6
6
p
1X
h
1
h
l=1
Z
Z t+h
t
t
1X
p
h
l=1
Tl (t,h)
Z
max |gt? (s, u) ? gt? (t, u)|ds =
u?U
Tl (t,h)
|gt? (s, u(s)) ? gt? (t, u(s))|ds 6
(|gt? (s, u(s)) ? gt? (s, ul )| + |gt? (s, ul ) ? gt? (s, ul )|+
+|gt? (s, ul ) ? gt? (t, u(s))|)ds 6
[ (s, ╖), U?ds +
??j gs?
p
X
l=1
1
h
Z t+h
t
|gt? (s, ul ) ? gt? (t, ul )|ds+
+I (?j (?) ) < ?/3 + 2I (?j (?) ) + p ╖ ?/3p = ?.
Тем самым равенство (1.22) доказано. Из него, в свою очередь,
получаем, что левая из оценок (1.21) обеспечивает при п. в. t ? R
неравенство ?_ (t) > h╡~(t), gt? (t, u)i. Теперь поскольку отобраение t 7? ╡~(t) ? (rpm(U), ?w ) измеримо, то п. в. точка t, принадлеащая R, будет его точкой аппроксимативной непрерывности, и
20
значит, для всякой такой точки t и отвечающего ей измеримого
мноества E (здесь см. в [1? оценки, указанные при доказательстве леммы 2.1) будет выполнено равенство
lim0 h╡~(t + h) ? ╡~(t), g(t, u)i = 0.
h?
t h?E
+
Учитывая которое, а таке равенство (1.22), из правой оценки
в (1.21) получаем, что ?_ (t) 6 h╡~(t), gt? (t, u)i. Тем самым доказано, что при п. в. t ? R выполнено равенство (1.20), из которого,
в свою очередь, в силу следствия 2.3 работы [1? вытекает, что
функция ?_ (╖) ? S (R, R).
2.
Ляпуновские задачи в п. п. случае
1. Обозначим через S (R, C (Rk ╫ U, R)), U ? omp(Rm ) совокупность таких функций f : R ╫ Rk ╫ U ? R, что при кадом
V ? omp(Rk ) f ? S (R, C (V ╫ U, R)) (см. первый раздел работы
[1?) и пусть функции fl ? S (R, C (Rk ╫ U, R)), l = 0 . . . k + m. В
силу леммы 5.2 и следствия 2.3 из [1? при кадом l = 0 . . . k + m,
на B (R, Rk ) ╫ S (R, U) корректно определен функционал
(v(╖), u(╖)) 7? Il(v(╖), u(╖)) =. M {fl(t, v(t), u(t))},
а на
B (R, Rk ) ╫ AP M1
| функционал
(v(╖), ╡(╖)) 7? Tl(v(╖), ╡(╖)) =. M {h╡(t), fl(t, v(t), u)i}.
В дальнейшем
(2.1)
S ? B (R, Rk )
(2.2)
и
?
n
.
?
D
=
(v(╖), u(╖)) ? S ╫ S (R, U): Il(v(╖), u(╖)) 6 0
?
?
?
o
?
?
? при l = 1 . . . k и Il(v (╖), u(╖)) = 0, l = k + 1 . . . k + m ,
n
.
?
=
(v(╖), ╡(╖)) ? S ╫ AP M1 : Tl(v(╖), ╡(╖)) 6 0,
D
?
?
?
o
?
?
? при l = 1 . . . k и Tl(v (╖), u(╖)) = 0, l = k + 1 . . . k + m .
21
(2.3)
О п р е д е л е н и е 2.1. Задача
I0 (v (╖), u(╖)) ? inf , (v (╖), u(╖) ? D
(2.4)
называется п. п. ляпуновской задачей и пара (vb(╖), ub(╖)) ? D называется ее решением, если I0 (vb(╖), ub(╖)) 6 I0 (v(╖), u(╖)) для всех
пар (v(╖), u(╖)) ? D.
З а м е ч а н и е 2.1. В дальнейшем первую компоненту в паре w(╖) = (v(╖), u(╖)) называем параметром и подчеркнем,
что в задаче (2.4) мноество (параметров) S | некоторое подмноество из B (R, Rk ) с заданным свойством.
? р и м е р 2.1. ?усть f ? S (R, C (Rk ╫ U, Rn)), функции
al ? S (R, C (Rk , Rn? )), fl ? S (R, C (Rk ╫ U, R)), l = 0 . . . k + m и
отобраение A ? S (R, Hom(Rn )) такое, что система
x_ = A(t)x,
(t, x) ? R ╫ Rn
(2.5)
допускает экспоненциальную дихотомию (см., например [8?). В
этом случае для любой функции b ? S (R, Rn ) неоднородная система x_ = A(t)x + b(t) имеет единственное п. п. по Бору решение.
Далее, при кадом l = 0 . . . k + m на S ╫ S (R, U) рассмотрим
функционал
Jl(v (╖), u(╖))
=. M {al(t, v(t))x(t) + fl(t, v(t), u(t))},
(2.6)
где x(t) = x(t; v(╖), u(╖)) | единственное п. п. по Бору решение
п. п. по Степанову системы x_ = A(t)x + f (t, v(t), u(t), отвечающее
паре (v(╖), u(╖)) ? S╫S (R, U). Далее, на мноестве D, состоящем
из таких пар (v(╖), u(╖)) ? S ╫ S (R, U), что Jl(v(╖), u(╖)) 6 0, при
l = 1 . . . k и Jl(v (╖), u(╖)) = 0, l = k +1 . . . k + m, рассмотрим задачу
(см. (2.6))
J0 (v (╖), u(╖)) ? inf ,
(v(╖), u(╖)) ? D,
(2.7)
которую будем называть задачей оптимального управления п. п.
двиениями линейной по фазовой переменной, параметризованной мноеством S ? B (R, Rk ) и пару (vb(╖), ub(╖)) ? D называем
22
решением этой задачи, если J0 (vb(╖), ub(╖)) 6 J0 (v(╖), u(╖)) для всех
(v(╖), u(╖)), принадлеащих D.
?окаем, что задача (2.7) моет быть редуцирована к задаче
вида (2.4).
В самом деле, пусть pl(╖) ? B (R, Rn? ), l = 0 . . . k + m | это
решение системы p_ = ?pA(t) + al(t, v(t)). Тогда для кадого
решения x(╖) системы x_ = A(t)x + f (t, v(t), u(t) имеет место равенство dtd (pl(t)x(t)) = al(t, v(t))x(t) + pl(t)f (t, v(t), u(t)). Далее,
d
т. к. sup |pl(t)|, sup |x(t)| < ?, то M { (pl(t)x(t))} = 0. Следоdt
t?R
t?R
вательно, M {al(t, v(t))x(t)} = ?M {pl(t)f (t, v(t)), u(t)}, а значит,
при любых (v(╖), u(╖)) ? S ╫ S (R, U) Jl(v(╖), u(╖)) = Il(v(╖), u(╖)),
где
Il(v (╖), u(╖))
=. M {?pl(t)f (t, v(t), u(t)) + fl(t, v(t), u(t))}.
(2.8)
Таким образом, задача (2.7) сводится к задаче (2.4) с функционалами Il, определенными равенствами (2.8).
О п р е д е л е н и е 2.2. Задача
T0 (v (╖), ╡(╖)) ? inf , (v (╖), ╡(╖) ? D
(2.9)
называется овыпукленной ляпуновской п. п. задачей (или расширением задачи (2.4)), для которой пара (vb(╖), ╡b(╖)) ? D называется решением, если T0 (vb(╖), ╡b(╖)) 6 T0 (v(╖), ╡(╖)) для всех пар
(v(╖), ╡(╖)), принадлеащих мноеству D.
З а м е ч а н и е 2.2. Целесообразность рассмотрения задачи (2.9) обусловлена тем, что задача (2.4) моет не иметь решения, тогда как отвечающая ей задача (2.9) имеет решение (ср.
с утв. теоремы 1.5).
? р и м е р 2.2. ?усть U =. {u = (u1 , u2 ): |u1 |, |u2 | 6 1} и
мноество D =. {u(╖) ? S (R, U): I1 (u(╖)) = M {u1 (t) + u2 (t)} = 0}.
Рассмотрим задачу
I0 (u(╖)) = M {u1 (t)u2 (t)f (t)} ? inf , u(╖) ? D,
23
в которой знакопеременная функция f ? B (R, R) такая, что
sign f ? S (R, R) и M {sign f (t)} =
6 1. Легко видеть, что для
всех u(╖) ? S (R, U) I0 (u(╖)) > ?M {|f (t)|} и равенство достигается на функции ub(t) = (?1, sign f (t)), или vb(t) = ?bu(t),
которые, в силу налоенных ограничений на f, не принадлеат D. ?окаем, что I0 (u(╖)) > ?M {|f (t)|} для всякой
функции u(╖) ? D. Допустим, что существует такое u(╖) ? D,
что I0 (u(╖)) = ?M {|f (t)|}. Тогда при п. в. t ? R необходимо
u1 (t)u2 (t) = ? sign f (t). Из этого равенства вытекает, что для
п. в. t ? R u1 (t) = ? sign f (t)u2 (t) и u2 (t) = ? sign f (t)u1 (t).
Стало быть u1 (t) + u2 (t) = ? sign f (t)(u1 (t) + u2 (t)) при п. в.
t ? R. Из последнего равенства получаем, что п. п. по Степанову функция t 7? (u1 (t) + u2 (t)) неотрицательна. ?оскольку
M {u1 (t) + u2 (t)} = 0, то по лемме 1.3 u1 (t) = ?u2 (t) для п. в.
t ? R. Откуда, учитывая, что u22 (t) = 1, имеем
I0 (u(╖)) = ?M {u22 (t)f (t)} = ?M {f (t)} > ?M {|f (t)|}.
?олученное противоречие показывает, что рассматриваемая задача решения не имеет. С другой стороны, овыпукленной задачей
для исходной будет следующая задача:
T0 (╡(╖)) = M {h╡(t), u1 u2 f (t)i} ? inf , ╡(╖) ? D,
где D =. {╡(╖) ? AP M1 (U) : T1 (╡(╖)) = M {h╡(t), u1 + u2 i} = 0}.
Легко видеть, что отобраение t 7? ╡b(t) = 12 (?ub(t) + ?vb(t) ) принадлеит D и т. к. T0 (╡b(╖)) = ?M {|f (t)|} = inf {T0 (╡(╖)), ╡(╖) ? D},
то оно является решением овыпукленной задачи.
В связи со сказанным сделаем
З а м е ч а н и е 2.3. Если пара (vb(╖), ╡b(╖)) ? D, где
(1)
╡
b(╖) ? AP M1 \ AP M1 , является решением задачи (2.9), то из
теоремы 3.1 в [1? получаем, что существует такая последовательность функций {uj (╖)}?
j =1 ? S (R, U), что для всех l = 0 . . . k + m
выполнено равенство lim Il(vb(╖), uj (╖)) = Tl(vb(╖), ╡b(╖)), т. е. расj??
ширение задачи (2.4) до задачи (2.9) корректно.
24
О п р е д е л е н и е 2.3. ?ара (vb(╖), ╡b(╖)) ? D называется решением задачи (2.9) в ослабленном смысле, если не существует такой пары (v(╖), u(╖)) ? D, при которой справедливо
неравенство I0 (v(╖), u(╖)) < T0 (vb(╖), ╡b(╖)).
Отметим, что всякое решение задачи (2.9) является ее решением в ослабленном смысле и для задачи (2.4) оба этих понятия
совпадают.
Всюду далее предполагаем, что отобраения
(t, v, u) 7? fl(t, v, u) ? R, l = 0 . . . k + m,
удовлетворяют условию: 1) в кадой точке (t, v, u) ? R ╫ Rk ╫ U
существует производная по v и для всякого V ? omp(Rk )
flv? ? S (R, C (V ╫ U, Rn? )). Через Tvb(╖) S обозначаем в банаховом
пространстве (B (R, Rk ), k ╖ kC ), (k ╖ kC =. k ╖ kC (R,Rk ) ) касательный
конус Кларка к мноеству S ? B (R, Rk ) в точке vb(╖) ? S. В
соответствии с определением [9?, в нашем случае h(╖) ? Tvb(╖) S
в том и только в том случае, если для любой последовательности функций {vp (╖)}?
lim kvp (╖) ? vb(╖)kC = 0 и всяp=1 ? S, p??
lim ?p = 0
кой числовой последовательности {?p }?
p=1 ? (0, ?), p??
k
отвечает последовательность {hp (╖)}?
p=1 ? B (R, R ) такая, что
lim khp (╖) ? h(╖)kC = 0 и при всех p ? N
p??
.
wp (╖) = vp (╖) + ?p hp (╖) ? S.
(2.10)
В следующей теореме
k+m
. Xb
L(t, v, u) =
?lfl(t, v, u), (t, v, u) ? R ╫ Rm ╫ U.
l=0
Т е о р е м а 2.1. ?усть функции fl ? B (R ╫ Rk ╫ U, R),
l = 0 . . . k + m удовлетворяют условию 1). Тогда, если пара
(vb(╖), ╡b(╖)) ? D является решением задачи (2.9) в ослабленном
25
смысле, то найдутся такие не равные нулю одновременно числа
b1 . . . ?
bk+m, что
b0 > 0, ?
?
1) имеет место равенство
inf M {h╡(t), L(t, vb(t), u)i} = M {hb╡(t), L(t, vb(t), u)i}; (2.11)
╡(╖)?AP M1
2)
3)
bl > 0, ?
blTl(vb(╖), ╡
?
b(╖)) = 0 при кадом l = 1 . . . k;
для кадого h(╖) ? Tvb(╖) S
M {hb
╡(t), L?v (t, vb(t), u)ih(t)} > 0.
(2.12)
Из определения 2.3 и теоремы 2.1 вытекает
С л е д с т в и е 2.1. ?усть функции fl, l = 0 . . . k + m
из пространства B (R ╫ Rk ╫ U, R) удовлетворяют условию 1).
Тогда, если (v
b(╖), u
b(╖)) ? D | решение задачи (2.4), то найдутb1 . . . ?
bk+m,
b 0 > 0, ?
ся такие не равные нулю одновременно числа ?
что при ╡
b(t) = ?ub(t) будут выполнены условия 1) { 3) теоремы 2.1.
Доказательство теоремы 2.1 приведем в третьем пункте раздела. В следующем пункте определим конус вариаций для заданной пары (vb(╖), ╡b(╖)) ? S ╫ AP M1 .
2. ?олагаем
(
.
.
fbl(t, u) = fl(t, vb(t), u), fbl,m (t, u) = fbl(t + ma, u)
(2.13)
f (t, ? ) =. h? ? ╡b(t), fbl(t, u)i, f (t, ? ) =. fl(t + ma, ? )
и h(╖) ? B (R, Rk ), поставим в соответствие мноество
.
.
V = orb(vb) + O? [0?, ? = khkC + 1.
(2.14)
Далее, т. к. fbl ? B (R ╫ U, R)), то (см. в [1? лемму 4.2) для кадой п. п. последовательности {? (m)}m?Z ? rpm(U) существует q??
lim qa1
q?
P1
m=0
h? (m), fbl,m (?, u)i, ? ?
[0, a?. Кроме того, по след-
ствию 2.2 в работе [1? отобраение t 7? hb╡(t), fbl(t, u)i п. п. по
Степанову. Теперь, используя теорему 1.5 указанной работы, получаем (см. (2.13)) следующее утвердение:
26
Л е м м а 2.1. Существуют такие последовательности
?
{ql }?
lim ?p = 0, а таке
l=1 ? N, lim ql = ? и {?p }p=1 ? [0, a?, p??
l??
измеримое мноество ? [0, a?, mes = a, что при кадом
? ? для любой п. п. последовательности {? (m)}m?Z ? rpm(U)
существуют пределы
lim
1
qX
l ?1
l?? ql a
m=0
и
lim lim
p??
1
qX
l ?1
1
l?? ql a
?
m=0 p
fl,m(?, ? (m)),
Z
0
?p
sup
??rpm(U)
l = 0 . . . k + m,
|fl,m (t + ?, ? ) ?
= 0. (2.15)
?ij fl,m (?i , ?ij (m)),
(2.16)
? fl,m(?, ? )| dt
В дальнейшем, не оговаривая специально, при рассмотрении
игольчатых вариаций для ╡b(╖) (см. четвертый раздел работы
[1?) предполагаем, что в зафиксированном наборе ?~ = (?i )Ni=1
точки ?i , i = 1 . . . N принадлеит мноеству , указанному
в лемме 2.1. Отметим, что в этом случае, для кадой иголки
~k , {~?k (m)}m?Z )}N ? V и всяком l = 0 . . . m + k существу? = {(?
i
i
i=1
ют пределы
.
~ ?) =
cl(?,
lim
1
qX
ki
N X
l ?1 X
l?? ql a
m=0 i=1 j =1
которые для кадого ~? ? V m+k и ~y ? k+m, в силу определения
иголки ~y ~? ? V (см. (4.6){(4.9) в [1?), удовлетворяют равенству
~ y ~? ) =
cl(?,~
Имеет место следующая
kX
+m
q=1
27
~ ?q ).
yqcl(?,
~? ? V k+m такое, что ? (~? ) > 0 и
?p
? N, где {?p }?
p=1 | последовательность,
y ~? ), ? ? [0, ?(?,~? )? |
указанная в лемме 2.1 Тогда, если ╡(╖; ?,~
игольчатая вариация, отвечающая ╡
b(╖) (см. (4.18) в [1?), то при
кадом l = 0 . . . k + m
Л е м м а 2.2.
=. ?p /(?? (~? )), p
lim ( sup
p?? ~y?k +m
|
1
?p
?усть
~ y ~? )|) = 0.
(Tl(vb(╖), ╡(╖; ?p ,~y ~? )) ? Tl(vb(╖), ╡b(╖))) ? cl(?,~
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (4.9) в [1?, определения функционала Tl (см. (2.2)), учитывая, что (здесь см. в
[1? (4.13)) mes Tm,i,j (?,~y ~? ) = ?yq?ijq при j = 1 . . . kiq, имеем следующие соотношения:
1
~ y ~?)| 6
| M {h? ╡(t; ?p ,~y ~?), fbl(t, u)i} ? cl(?,~
?p
6
╫
Z
T0,i,j (?p ,~y~?)
lim
1
l?? ql a
m=0 i=1 q=1 j =1
╫
?p
0
1
?p
╫
q
| ? fl,m (t + ?i , ?ij
(m)) ? ? fl,m (?i , ?ijq (m))|dt 6
6 ?? (~?)
Z
kiq
qX
N kX
+m X
l ?1 X
sup
??rpm(U)
N
X
i=1
lim
1
qX
l ?1
l?? ql a
m=0
1
?p
╫
| ? fl,m (t + ?i , ? ) ? ? fl,m (?i , ? )|dt.
Откуда в силу (7.15) вытекает нуное предельное равенство.
Нам понадобится таке следующая
Л е м м а 2.3. Для кадого h(╖) ? Tvb(╖) S найдется такая последовательность функций {wp (╖)}?
p=1 , содеращаяся в
S, что lim kwp (╖) ? vb(╖)kC = 0 и при всяком l = 0 . . . m + k
p??
равномерно по ╡(╖) ? AP M1
1
(Tl(wp (╖), ╡(╖)) ? Tl(vb(╖), ╡(╖))) = vl(╡(╖), h(╖)),
lim
p??
?p
28
где
и
vl(╡(╖), h(╖))
=. M {h╡(t), flv? (t, vb(t), u)ih(t)}
{?p }?
p=1 | последовательность, указанная в лемме
2.2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку vb(╖) ? S, то расстояние ?S(vb(╖)) в B (R, Rk ) от bv(╖) до S равно нулю. Следовательно, для кадого p ? N найдется такая функция vp (╖) ? S,
что kbv(╖) ? vp (╖)kC 6 ?2p . Очевидно, что p??
lim kbv (╖) ? vp (╖)kC = 0.
?оэтому для кадого h(╖) ? Tvb(╖) S найдется такая последоваk
тельность {hp (╖)}?
lim khp (╖) ? h(╖)kC = 0, что заp=1 ? B (R, R ), p??
данная равенством (2.10) при ?p = ?p , p ? N последовательность
{wp (╖)}?
p=1 ? S. ?окаем, что эта последовательность искомая.
В самом деле, равенство p??
lim kwp (╖) ? vb(╖)kC = 0 вытекает непосредственно из определения функций wp (╖). Стало быть, моно
считать (см. (2.14)), что при кадом p ? N и всех (?, t) ? [0, 1? ╫R
.
wp (t, ? ) = (vb(t) + ? (wp (t) ? vb(t)) ? V. ?оэтому (см. ограничения
на fl ) имеем следующие соотношения:
|
1
?p
M {h╡(t), fl(t, wp (t), u) ? fl(t, vb(t), u)i} ? vl(╡(╖), h(╖))|
= |M {h╡(t),
Z 1
0
flv? (t, wp (t, ? ), u) d?i}(
vp (t) ? vb(t)
?p
?vl(╡(╖), h(╖))| 6 (?p + khp (╖) ? h(╖)kC )M {
max
(v,u)?V ╫U
+ hp (t))}?
|flv? (t, v, u)|}+
Z t+1
+ sup
?? (p) [flv? (s, ╖, ╖), V ╫ U? ds khp (╖)kC ,
t?R
=
t
[ (s, ╖, ╖), V ╫ U? это ? (p) =. kwp (╖) ? vb(╖)kC -колебание
где
на V ╫ U непрерывной функции (v, u) 7? flv? (s, v, u). Из которых,
учитывая, что p??
lim khp (╖) ? h(╖)kC = 0 и p??
lim ? (p) = 0, принимая во внимание обозначения (2.2) и лемму 1.3 из [1?, получаем
утвердение леммы 2.3.
?? (p) flv?
29
С л е д с т в и е 2.2.
{wp (╖)}?
p=1 | последовательность функций из мноества S, указанная в лемме 2.3 , отy ~?), ? ? (0, ?(?,~? )? | игольчатая
вечающая h(╖) ? Tvb(╖) S и ╡(╖; ?,~
вариация, отвечающая ╡
b(╖). Тогда при кадом l =0 . . . k + m
1
?p
?усть
(Tl(wp (╖), ╡(╖; ?,~y ~?))?Tl(vb(╖), ╡(╖; ?,~y ~? )))
?
~y?k +m
bl(h(╖)) при ? ? 0,
где
и
.
bl(h(╖)) = M {hb
╡(t), flv (t, vb(t), u)ih(t)},
l = 0 . . . k + m,
{?p }?
p=1 | последовательность, указанная в лемме
(2.17)
2.2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку при всех
для которых ?p ? (0, ?(?,~?)?,
|
1
?p
6
p ? N,
M {h╡(t; ?p ,~y ~? ), fl(t, w?p (t), u) ? fl(t, vb(t), u)i} ? bl(h(╖))| 6
sup
╡(╖)?AP M1
|
1
?
+ sup
(Tl(w?p (╖), ╡(╖)) ? Tl(vb(╖), ╡(╖))) ? vl(╡(╖), h(╖))| +
~y? +m
k
b(t), flv? (t, vb(t), u)h(t)i}|,
|M {h╡(t; ?,~y ~? ) ? ╡
а отобраение (t, u) 7? flv? (t, vb(t), u)h(t) (см. лемму 5.2 в [1?) принадлеит S (R, C (U, R)), то утвердение следствия 2.2 вытекает
из леммы 2.3 и следствия 4.1 , приведенных в [1?.
?олагаем, далее (здесь см. (2.16) и (2.17))
al(~v , ?, h(╖))
=. cl(~v , ?) + bl(h(╖)),
? ? V, h(╖) ? Tvb(╖) S.
(2.18)
Из леммы 2.2 и следствия 2.2 вытекает
~? ? V k+m такое, что ? (~? ) > 0 и
?p
? N, где {?p }?
p=1 | последовательность,
указанная в лемме 2.1. Тогда, если ╡(╖; ?,~
y ~? ), ? ? [0, ?(?,~? )? |
b(╖) (см. в [1? (4.18)), и
игольчатая вариация, отвечающая ╡
Л е м м а 2.4.
=. ?p /(?? (~? )), p
?усть
30
{wp (╖)}?
p=1 | совокупность функций из мноества S, указанная в лемме 2.3, отвечающая h(╖) ? Tvb(╖) S, то при кадом
l = 0 . . . k + m справедливо предельное соотношение
|
1
?p
при
~ y~?, h(╖))|
(Tl(wp (╖), ╡(╖; ?p ,~y~? )) ? Tl(vb(╖), ╡b(╖))) ? al(?,~
?
~y?k +m
0
p ? ?.
З а м е ч а н и е 2.4. Утвердение леммы 2.4, в силу
замечания 4.2 в [1?, справедливо для всякого фиксированного набора ?~ = (?i )Ni=1 точек ?i ? , i = 1 . . . N, допускающих совпадение. ?оэтому в дальнейшем при ссылке на лемму 2.4 предполагается, что в зафиксированном наборе ?~ = (?i )Ni=1 точки ?i ? ,
i = 1 . . . N такие, что 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a.
3. Рассмотрим в R1+k+m мноество (здесь см. (2.16){(2.18), а
таке обозначение (4.3) в [1?)
.
~) =
K (?
n
o
.
~ ? ) . . . ak+m(?,
~ ? )), ? =
(a0 (?,
(?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S
,
(2.19)
а таке проектор P : K(?~ ) ? Rm, определенный для кадой
~ ? ) . . . ak+m(?,
~ ? )) конуса K(?
~ ) равенством
точки (a0 (?,
.
~ ? ) . . . ak+m(?,
~ ? )) =
~ ? )) . . . ak+m(?,
~ ? )),
P ((a0 (?,
(ak+m(?,
и рассмотрим таке выпуклый в
(2.20)
R1+k+m
.
H = {(x0 . . . xk+m): x0 . . . xk < 0, xk+1
= . . . = xk+m = 0}. (2.21)
Так как Tvb(╖) S | выпуклый конус с вершиной в нуле, то,
принимая во внимание (4.3){(4.5) из [1?, получаем, что K(?~ ) |
выпуклый конус в R1+k+m, причем с вершиной в нуле, поскольку
для кадой иголки вида
?0
= {(~0ki , {~?ki (m))}m?Z )}Ni=1 ? V
~ ?0 , 0) . . . ak+m(?,
~ ?0 , 0)) | нуль пространства R1+k+m.
точка (a0 (?,
Следующая теорема отраает основное свойство конуса K(?~ )
при условии, что Tl(vb(╖), ╡b(╖)) = 0 при всех l = 1 . . . k.
31
Т е о р е м а 2.2.
~) ? H =
~ )) = Rm,
K (?
6 ? и P (K(?
то найдется такой допустимый процесс (v (╖), u(╖)) ? D задачи
(2.4) , что I0 (v(╖), u(╖)) < T0 (vb(╖), ??b(╖)).
Если
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты обозначений
считаем k = m = 1 (какие надо внести изменения в общем случае
станет ясно из приводимого ние доказательства), и полагаем
.
.
~ ?, h(╖)) при всех (?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S, K =
~ ).
al(?, h(╖)) = al(?,
K (?
?оскольку K ? H =
6 ?, то (см. (2.19)) найдется такая па.
b
ра ?b = (b?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S(b? 6= ?0 ), что (a0 (?b), a1 (?b), a2 (?b) ? H. Теперь, взяв ? =. min(?(a0 (?b), ?a1 (?b), получаем (см. (2.21)), что
a0 (?b), a1 (?b) 6 ??, a2 (?b) = 0. Далее, т. к. P (K) = R, то отрезок [?1, 1? ? P (K), а значит найдутся такие ?j =. (?j , hj (╖))
из V ╫ Tvb(╖) S, j = 1, 2, что a2 (?1 ) = ?1, a2 (?2 ) = 1. Учитывая (4.2){(4.5) и (2.16){(2.18), получаем, что для любого ? > 0
al(?b + ??1 ) 6 ?? + ?al(?1 ), l = 0, 1 и a2 (?b + ??1 ) = ??. ?оэтому
при малом ? > 0 будем иметь al(?b + ??1 ) 6 ??/2, l = 0, 1 и
.
.
a2 (?b + ??1 ) = ??, или, полагая ? ? = ?b + ??1 , ?? = 1/?,
a0 (? ? ), a1 (? ? ) 6 ??/2, ?? a2 (? ? ) = ?1.
Аналогично показываем, что при некоторых
? ?? ? V
(2.22)
и
a0 (? ?? ), a1 (? ?? ) 6 ??/2, ??? a2 (? ?? ) = 1.
??? > 0
(2.23)
Сейчас рассмотрим симплекс
=. {? = (?1 , ?2 ): ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1}
и гомеоморфное отобраение f : ? [?1, 1?, определенное равенством
.
f(?) = ?2 ? ?1 , ? ? ,
для которого, в силу (2.22) и (2.23),
f(?) = a2 (?1 ?? ? ? + ?2 ??? ? ?? ), ? = (?1 , ?2 ) ? .
32
(2.24)
В дальнейшем при доказательстве используем результаты,
полученные ранее для иголки ~? =. (?? , ??? ) и параметров
~y = (?1 ?? , ?2 ??? ) ? 2
=. [0, ?? ╫ [0, ??,
.
? = (?1 , ?2 ) ? и ? = max(?? , ??? ).
Далее, т. к. Tvb(╖) S | выпуклый замкнутый конус с вершиной
нуле [9?, то при кадом ? ? где
в
.
h(╖, ?) = ?1 ?? h? (╖) + ?2 ??? h?? (╖) ? Tvb(╖) S
и значит [9? для всякого
?0S(vb(╖), h(╖, ?))
??
?S(v (╖) + ?h(╖, ?)) ? ?S(v (╖))
?
v (╖)?b
v(╖)
=. lim sup
??
= 0.
0
Откуда для функций vp (╖) ? S, удовлетворяющих неравенству
kvp (╖) ? vb(╖)kC 6 ?2p , p ? N получаем равенство
lim
1
p?? ?p
?S(vp (╖) + ?p h(╖, ?)) = 0.
?оэтому из неравенства
?S(vp (╖) + ?p h(╖, ?)) 6 ?S(vp (╖) + ?p ?? h? (╖)) + ?S(vp (╖) + ?p ??? h?? (╖)),
выполненного для всех ? ? и принимая во внимание, что
?? h? (╖), ??? h?? (╖) ? Tvb(╖) S, получаем следующее предельное соотношение:
1
?S(vp (╖) + ?p h(╖, ?)) ? 0 при p ? ?.
??
?p
Далее, из определения расстояния вытекает, что для кадого
p ? N и ? ? найдется такое wp (╖, ?) ? S, что
kvp (╖) + ?p hp (╖, ?) ? wp (╖, ?)kC < ?S(vp (╖) + ?p h(╖, ?)) +
33
?p
.
p
?олагая теперь hp (╖, ?) =. ?1p (wp (╖, ?) ? vp (╖)), получаем следующие соотношения:
1
khp (╖, ?) ? h(╖, ?)kC = kwp (╖, ?) ? ?p + ?p h(╖, ?)kC <
?p
<
1
1
?S(vp (╖) + ?p h(╖, ?)) + .
?p
p
Откуда, в свою очередь, заключаем, что существует такая совокупность функций {hp (╖, ?), p ? N, ? ? } ? B (R, Rk ), что
khp (╖, ?) ? h(╖, ?)kC ?
??
и для всех
p?N
и
0 при p ? ?
(2.25)
??
.
wp (╖, ?) = vp (╖) + ?p hp (╖, ?) ? S.
(2.26)
?окаем таке, что для указанной совокупности функций
lim supremum
??0
(p,?l )?R╫S,
l=1,2,|?1 ??2 |6?
khp (╖, ?1 ) ? hp (╖, ?2 )kC
= 0.
Допустив противное, получаем, что найдется ? > 0 и последовательности {?i }?
i=1 ? (0, ?), lim ?i = 0 такие, что
i??
? < Hi
=. khpi (╖, ?1(i) ) ? hpi (╖, ?2(i) )kC ,
i ? N.
С другой стороны, из цепочки неравенств
Hi 6
2
X
(i) ) ? v (╖) ? ? h (╖, ?(i) )k +
pi
pi pi
C
l
?p?i1 kwpi (╖, ?l
l=1
(
i)
+kh(╖, ?l ) ? h(╖, ?(l i) )kC < 2 sup ?p?i1 ?S(vpi (╖) + ?pi h(╖, ?)) + pi?1 +
??
(
i)
(
i)
+|?l ? ?2 | (?? kh? (╖)kC + ??? kh?? (╖)kC )
34
вытекает, что lim Hi = 0 . ?оследнее противоречит тому, что
i??
? < Hi для всех i ? N .
Теперь, для иголки ~? =. (?? , ??? ) ? V 2 рассмотрим константу
.
?0 = ?(?,~?) (см. (4.12) из [1?) и будем считать, чтобы не загромодать обозначений, что
{?p }?
p=1 ? [0, ?0 ?, ?1
=. 0.
Введем далее отобраение (?p , ?) 7? ?(?p , ?), (?p , ?) ? [0, ?0 ? ╫ (здесь см. (2.2) и (2.26), а таке (4.18) в [1?), заданное следующим
образом:
.
?(?p , ?) =
(
1
(wp (╖, ?), ╡(╖; ?p , ?1 ?? ??+ ?2 ??? ??? )),
a2 (?1 ?? ? ? + ?2 ??? ? ?? ), p = 1.
? p T2
p > 1,
(2.27)
Из способа задания функций {wp (╖, ?), p ? N, ? ? } ? S,
отвечающих h(╖, ?) ? Tvb(╖) S (здесь см. доказательства леммы 2.3
и следствия 2.2) в силу леммы 2.4 и предельного соотношения
(2.25) вытекает, что
|?(?p , ?) ? ?(0, ?)| ?
??
0 при p ? ?.
(2.28)
Далее, т. к. f является гомеоморфизмом, то определено непрерывное отобраение
.
? 7? f?1 (?) = (?1 (?), ?2 (?)) ? , ? ? [?1, 1?,
и, следовательно, при кадом ? ? [0, ?0 ? определено таке отобраение ? 7? ?(?p , f?1 (?)), которое, в силу (2.24), (2.27) и (2.28),
удовлетворяет соотношениям
?
?? ? ?(0, f?1 (?)) = 0, ? ? [?1, 1?,
?1
?|? ? ?(?p , f (?))| ? 0 при p ? ?.
??[?1,1?
?олагаем теперь
? (╖; ?, ?)
.
wp (╖, ?) = wp (╖, ?(?))
(2.29)
(см. (2.26)), и пусть
=. ╡(╖; ?, ?1 (?)?? ?? + ?2 (?)??? ??? ), (?, ?) ? =. [0, ?0 ? ╫ [?1, 1?.
35
?оскольку (см. в [1? следствие 4.1) ? (╖; ?, ?) ? S (R ╫ , rpm(U)),
то найдется такая последовательность функций {uj }?
j =1 из пространства S (R ╫ , U), что, во-первых, при кадом j ? N
lim( supremum
??0
Zt+1
(sup |?uj (s;?1 ,?1 ) ? ?uj (s;?2 ,?2 ) |(U)ds))=0,
(?l ,?l )?
, l=1,2 t?R
t
|?1 ??2 |+|?1 ??2 |6?
(2.30)
а, во-вторых (здесь см. (2.1) и (2.2), а таке лемму 5.2 из [1?),
при кадом l = 0, 1, 2
lim ( sup
j?? (?,?)?
|Tl(vb(╖), ? (╖; ?, ?)) ? Il(vb(╖), uj (╖; ?, ?))|)
= 0.
(2.31)
?окаем, что равномерно по (p, ?) ? N ╫ [?1, 1?
|Tl(wp (╖, ?), ? (╖; ?p , ?)) ?Il(wp (╖, ?), uj (╖; ?p , ?))| ? 0.
(2.32)
при j ? ?.
Допустим противное. Тогда найдется константа ? > 0 и по?
?
следовательности {ji }?
i=1 , {pi }i=1 ? N, {?i }i=1 ? [?1, 1? такие,
что для всех i ? N yi > ?, где
yi
=. |Tl(wpi (╖, ?i ), ? (╖, ?pi , ?i )) ? Il(wpi (╖, ?i ), uji (╖, ?pi , ?i ))|.
С другой стороны, если
?i
=. sup
??[?1,1?
kwpi (╖, ?) ? vb(╖)kC
и ??i [fl(t, ╖, ╖), V ╫U? { ?i -колебание на V ╫U непрерывной функции (v, u) 7? fl(t, v, u), где V ? omp(Rm ), здесь и далее при доказательстве настоящей теоремы определено равенством (2.14)
при ? =. ?? kh? kC + ??? kh?? kC , то при кадом i имеем следующие
неравенства:
yji 6 2 sup ??i [fl(t, ╖, ╖), V ╫ U? +
t?R
+ sup
(?,?)?
|Tl(vb(╖), ? (╖, ?, ?)) ? Il(vb(╖), uji (╖, ?, ?))|.
36
?оскольку (см. (2.26)) ?i ? 0 при i ? ? и, напомним, что,
fl ? B (R ╫ V ╫ U, R), то [10? lim (sup ??i [fl(t, ╖, ╖), V ╫ U?) = 0.
i?? t?R
Следовательно, из последнего неравенства, учитывая (2.31), получаем, что yji ? 0 при i ? ?. ?оследнее противоречит предполоению: yji > ? > 0 для всех i ? N.
Далее, из леммы 2.4, учитывая принятые обозначения, вытекает, что
1
?p
(Tl(wp (╖, ?), ? (╖; ?p , ?))?Tl(vb(╖), ╡b(╖)))
? al(?1 (?)?? ? ?+?2 (?)??? ? ?? )
??[?1,1?
при
p ? ?,
и т. к. (см. (2.22), (2.23))
sup
??[?1,1?
al(?1 (?)?? ? ? + ?2 (?)??? ? ?? ) 6 ?
?
2
min(?? , ??? ),
то найдется такое p1 ? N, что при всех p > p1
??
1
(Tl(v?p (╖, ?), ? (╖; ?p , ?)) ? Tl(vb(╖), ╡b(╖))) 6 ? p min(?? , ??? ).
sup
?
4
??[?1,1? p
С другой стороны, из (2.32) следует, что для кадого фиксированного p > p1 найдется такое j1 (p) ? N, что при всех j > j1 (p)
будет выполнено неравенство
sup
|Tl(v? (╖, ?), ? (╖; ?, ?)) ?Il (v? (╖, ?), uj (╖; ?, ?))| 6
(?,?)?
??p
8
min(?? , ??? ),
из которого, совместно с предыдущим неравенством, вытекает,
что для кадого p > p1 и любом j > j1 (p) при всех ? ? [?1, 1?
Il(v?p (╖, ?), ? (╖; ?p , ?)) 6 Tl(vb(╖), ╡
b(╖))) ?
??p
8
Сейчас введем в рассмотрение функцию
.
? 7? pj (?) = ? ?
1
?p
min(?? , ??? ).
(2.33)
I2 (wp (╖, ?), uj (╖; ?p , ?)), ? ? [?1, 1?.
37
?оскольку при кадом
? ? [?1, 1?
(2.27)
|pj (?)| 6
+
1
sup
?p (k,?)?N╫[?1,1?
sup
??[?1,1?
|? ? ?(?p , f?1 (?))| +
|T2 (wp (╖, ?), ? (╖; ?p , ?)) ? I2 (wp (╖, ?), uj (╖; ?p , ?))|,
то, в силу (2.29) и (2.32), найдется такое p2 > p1 , что для кадого p > p2 существует j2 (p) > j1 (p) такое, что при любом
j > j2 (p) будет выполнено включение pj ([?1, 1?) ? [?1, 1?. Теперь покаем, что для любых фиксированных p > p2 и j > j2 (p)
функция pj принадлеит пространству C ([?1, 1?, [?1, 1?). С
этой целью полагаем F (t) =. max |f2? v (t, v, u)| и пусть
(v,u)?V ╫U
F
=. sup{|f2 (t, v, u)|, (t, v, u) ? ╫V
╫ U}.
?оскольку wp (╖, ?) ? vb(╖) при p ? ?, то моно считать, что
??
при указанных p для любых ?? , ??? ? [?1, 1? и ? ? [0, 1?
.
wp (t, ?, ?? , ??? ) = wp (t, ??? ) + ? (wp (t, ?? ) ? wp (t, ??? )) ? V, t ? R,
где, напомним, мноество V ? omp(Rm ) определено равенством (2.14) при ? =. ?? kh? kC + ??? kh?? kC . Теперь для любых точек
?? , ??? ? [?1, 1? имеем следующие соотношения (напомним таке,
что wp (╖, ?) =. wp (╖, ?(?)) ):
|pj (?? ) ? pj (??? )| 6 |?? ? ??? |+
+??p 1 |I2 (wp (╖, ?? ), uj (╖; ?p , ?? )) ? I2 (wp (╖, ??? ), uj (╖; ?p , ?? ))|+
+??p 1 |I2 (wp (╖, ??? ), uj (╖; ?p , ?? )) ? I2 (wp (╖, ??? ), uj (╖; ?p , ??? ))| 6
1
6 |?? ? ??? | + ??
p M {|
Z 1
0
f2? v (t, wp (t, ?, ?? , ??? ), uj (╖; ?p , ?? ))d?╫
╫(wp (╖, ??? ) ? wp (t, ?? ))|}+
38
?p?1 F
+
sup
t?R
Z t+1
t
|?uj (t;?p ,?? ) ? ?uj (t;?p ,??? ) |(U)ds 6
6 |?? ? ??? | + ?p?1 d(F (╖), 0)kwp (╖, ??? ) ? wp (t, ?? )kC +
Z t+1
+?p?1 F sup
|?uj (t;?p ,?? ) ? ?uj (t;?p ,??? ) |(U)ds,
t?R
t
из которых, учитывая непрерывность отобраений
? 7? f?1 (?) ? , ? ? [?1, 1?,
? 7? wp (╖, ?) ? R, ? ? ,
а таке равенство (2.30), получаем, что отобраение ? 7? pj (?)
непрерывно на [?1, 1?, а т. к. pj ([?1, 1?) ? [?1, 1?, то, действительно, pj ? C ([?1, 1?, [?1, 1?) при p > p2 и j > j2 (p). ?оэтому по теореме Брауэра [11? для указанных p и j существует такая точка ?pj ? [?1, 1?, что ?pj = pj (?pj ), или иначе
I2 (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) = 0. Из этого равенства, совместно с
неравенством (2.32) и условием | (vb(╖), ╡b(╖)) ? D, получаем,
что (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) ? D и, кроме того,
I0 (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) < T0 (vb(╖), ╡
b(╖)),
тем самым теорема 2.2 доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда в задаче (2.9) имеются ограничения в виде строгих неравенств. С этой целью выделим те
l1 . . . lk? , для которых Tli (vb(╖), ╡
b(╖)) = 0, i = 1 . . . k? , и в
индексы
? +m
1+
k
R
рассмотрим конус
.
~) =
K? (?
n
~ ? ), al (?,
~ ? ) . . . al ? (?,
~ ? ),
(a0 (?,
1
k
o
~ ? ) . . . ak+m(?,
~ ? )), ? ? V ╫ Tvb(╖) S
ak+1 (?,
(2.34)
(свойства которого аналогичны свойствам конуса K(?~ ), определенного равенством (2.19)), проектор P : K? (?~ ) ? Rm, задаваемый аналогично (2.20) и конус
H?
=. {x ? R1+k +m : x0 , x1 . . . xk? < 0, xk+1 = . . . = xk+m = 0}. (2.35)
?
39
~ )) = Rm и K? (?
~ ) T H? 6= ?,
P (K? (?
то найдется такая пара (v (╖), u(╖)) ? D, что будет выполнено
b(╖), ╡
b(╖)).
неравенство I0 (v (╖), u(╖)) < T0 (v
Т е о р е м а 2.3.
Если
Д о к а з а т е л ь с т в о. Снова считаем k = m = 1, т.е.
в рассматриваемой ситуации T1 (vb(╖), ╡b(╖)) < 0. Тогда (см. обозначения принятые при доказательстве теоремы 2.2)
.35) ?
.
~ ) (2=
K ? (?
K {(a0 (? ), a1 (? )), ? = (?, h(╖) ? V ╫ Tvb(╖) S},
(2.33)
=
H?
{(x0 , x2 ): x0 < 0, x2
= 0}.
Теперь в точности следуя схеме доказательства теоремы 2.2, считая a1 (? ? ) = a1 (? ?? ) = 0, получим что для всех p > p2 и j > j2 (p)
найдется пара (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) ? V ╫ Tvb(╖) S, удовлетворяющая условиям:
I2 (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) < T0 (vb(╖), ╡
b(╖)),
I2 (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) = 0.
Далее, т. к. (см. (2.25) и (2.26))
.
wp (╖, ?) = wp (╖, ?(?))
?
??[?1,1?
vb(╖)
при p ? ?,
то моно считать, что для указанных p и j для всех точек
(?, t) ? [0, 1? ╫ R vb(t) + ?(vb(t) ? wp (t, ?)) ? V. ?оэтому (см. обозначения (2.13) и (2.26) при ? = ?(?) ) имеем следующие соотношения:
|I1 (wp (╖, ?), uj (╖; ?, ?)) ? T1 (vb(╖), ╡
b(╖))| 6
6 kwp (╖, ?) ?b
v (╖)kC
sup (sup
??[?1,1? t?R
+ sup
(?,?)?
Z t+1
|hb
╡(s) ? ? (s; ?p , ?), fb1 (s, u)i|ds)+
t
|M {h? (t; ?, ?) ? ?uj (t;?,?) , fb1 (t, u)i}|.
40
Теперь, поскольку функция fb1
ствия 4.1 в [1?
sup
t?R
? S (R, C (U, R)),
Z t+1
|hb
╡(s) ? ? (s; ?p , ?), fb1 (s, u)i|ds
t
?
??[?1,1?
то в силу след-
0 при p ? ?.
Откуда, учитывая таке равенство (2.31) (здесь, см. обозначения (2.1), (2.2)) из полученных выше соотношений, принимая во
внимание, что T1 (vb(╖), ╡b(╖)) < 0, получаем, что при достаточно больших p > p2 и j > j2 (p) будет выполняться неравенство I1 (v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) < 0, т.е. при этих p и j пара
(v?p (╖, ?pj ), uj (╖; ?p , ?pj )) ? D обладает нуным свойством.
4. В этом пункте, используя теоремы 2.2 и 2.3, докаем сначала существование универсальных мноителей Лаграна для
оптимального в ослабленном смысле решения задачи (2.9) (см.
определение 2.3), а затем докаем теорему 2.1.
Л е м м а 2.5. ?усть (vb(╖), ╡b(╖)) ? D является решением задачи (2.9) в ослабленном смысле. Тогда для кадого набора
~ = (?i )N точек ?i ? , i = 1 . . . N, удовлетворяющих нера?
i=1
венствам 0 6 ?1 6 . . . 6 ?N < a, существуют такие числа, не
~ ) > 0, ?1 (?
~ ) . . . ?k+m(?
~ ), что для
равные нулю одновременно, ?0 (?
всякой пары (?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S выполнено неравенство
kX
+m
l=0
~ )al(?,
~ ?, h(╖)) > 0,
?l(?
(2.36)
и, кроме того,
~ ) > 0, ?l(?
~ )Tl(x
?l(?
b(╖), ╡
b(╖)) = 0, l = 1 . . . k.
(2.37)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?редполоим сначала, что
Tl(vb(╖), ╡
b(╖)) = 0, l = 1 . . . k. В этом случае рассмотрим конус
вариаций K(?~ ) и проектор P : K(?~ ) ? Rm, определенные равен-
ствами (2.20) и (2.21) соответственно. Возмоны следующие два
случая: 1) P (K(?~ )) ? Rm, 2) P (K(?~ )) = Rm. В первом случае в
41
качестве искомого набора чисел ?0 (?~ ) . . . ?k+m(?~ ) берем такие |
~ ) = . . . = ?k(?
~ ) = 0, (?k+1 (?
~ ) . . . ?k+m(?
~ )) ? S m(0) и
?0 (?
1
m
X
l=1
~ )ak+l(?,
~ ?, h(╖)) > 0
?k+l(?
для всех (?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S. Такой набор найдется, т. к.
~ )) | выпуклый конус с вершиной в нуле. Далее, во втоP (K(?
ром возмоном случае пересечение конуса K(?~ ) с конусом H,
заданным равенством
(2.21), пусто. Действительно, если допуT
6 ?, то по теореме 2.2 найдется такая пастить, что K(?~ ) H =
ра (v(╖), u(╖)) ? D, для которой будет выполнено неравенство
I0 (v (╖), u(╖)) < T0 (vb(╖), ╡
b(╖)), что противоречит оптимальности в
слабом смысле допустимогоT процесса (vb(╖), ╡b(╖)) ? D задачи
(2.9). Таким образом K(?~ ) H = ?. ?о теореме отделимости
[12? найдется вектор (?0 (?~ ), ?1 (?~ ) . . . ?k+m(?~ )), принадлеащий
S11+k+m(0), у которого первые 1 + k координат неотрицательны,
и для всех (?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S справедливо неравенство
kX
+m
l=0
~ )al(?,
~ ?, h(╖)) > 0.
?l(?
Условия (2.37) здесь таке выполнены. Тем самым лемма 2.5 для
случая, когда Tl(xb(╖), ╡b(╖)) = 0, l = 1 . . . k, доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда в задаче (2.9) имеются ограничения в виде строгих неравенств. В этом случае выделяем те
индексы l1 . . . lk? , для которых Tli (xb(╖), ╡b(╖)) = 0, i = 1 . . . k? , и
рассмотрим конусы K? (?~ ) и H? , заданные равенствами (2.34) и
(2.35) соответственно, а таке проектор P : K? (?~ ) ? Rm. Если
~ )) ? Rm, то рассудаем аналогично рассмотренному в
P (K? (?
первой части доказательства случаю, когда P (K(?~ )) содерит? ~
m
ся в Rm. Если
T ? е P (K (?)) = R , то по теореме 2.3 получаем,
?
~
что K (?) H = ?. Теперь по теореме отделимости найдется
такой вектор
?
(?0 (?~ ), ?l1 (?~ ),. . . ,?lk? (?~ ), ?k+1 (?~ ) . . . ?k+m(?~ )) ? S11+k +m(0), (2.38)
42
у которого первые 1 + k? координат неотрицательны и для всех
(?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S выполнено неравенство
?
k
m
X
X
~
~
~
~
~ )ak+l(?,
~ ?, h(╖)) > 0.
?0 (?)a0 (?, ?, h(╖))+ ?li (?)ali (?, ?, h(╖))+ ?k+l(?
i=1
l=1
Для завершения доказательства леммы 2.5 в рассматриваемом
случае осталось дополнить компоненты вектора (2.38) нулями.
Введем далее для всякого вектора h(╖) ? Tvb(╖) S и кадой
пары (?, {? (m)}m?Z ), где ? ? , а {? (m)}m?Z ? rpm(U) | п. п.
последовательность 3 , в рассмотрение (здесь см. (2.13), (2.17))
следующее мноество:
n
.
+m ? S 1+k+m(0):
K(h(╖), (?, {? (m)}m?Z )) = ~? = (?l)lk=0
1
lim
1
qX
+m
l ?1 k
X
l?? ql a
m=0 l=0
?l ? fl,m (?, ? (m)) + bl(h(╖)) > 0,
o
b(╖), ╡
b(╖)) = 0, l = 1 . . . k .
?0 > 0, ?l > 0, ?lTl(x
Л е м м а 2.6.
Для любого конечного мноества
(hi (╖), ?i , {?i (m)}m?Z ) Ni=1
допустимых наборов
N
\
i=1
K(hi (╖), ?i , {?i (m)}m?Z ) 6= ?.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать (при необходимости переобозначим), что ?1 6 ?2 6 . . . 6 ?N . Для этого набора ?~ = (?i )Ni=1 по лемме 2.5 существует такой вектор
(?0 (?~ ), ?1 (?~ ) . . . ?k+m(?~ )) ? S11+k+m(0), что ?0 (?~ ) > 0 и для всех
3 В этом случае набор (h(╖), (?, {? (m)}
m?Z )) называем допустимым.
43
пар (?, h(╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S выполнены неравенство (2.36) и соотношения (2.37). Далее, для кадого i0 ? {1 . . . N } рассмотрим
иголку вида ?i0 =. {(?ii0 , {?i0 (m)}m?Z )}Ni=1 (здесь ?ii0 | символ
Кронекера). Для кадой пары (?i0 , hi0 (╖)) ? V ╫ Tvb(╖) S неравенство (2.36) (здесь см. (2.16), (2.18) и (2.19)) запишется в виде
qP
+m
l ?1 kP
~ ) ? fl,m (?i , ?i (m)) + bl(hi (╖)) > 0. Откуда
?l(?
lim 1
0 0
0
l?? ql a m=0 l=0
в силу произвольности выбора i0 получаем утвердение леммы 2.6.
Т е о р е м а 2.4.
?усть пара (x
b(╖), ╡
b(╖)), принадлеаD, является решением задачи (2.9). Тогда существуют
b1 . . . ?
bk+m, не равные нулю одновременно,
b0 > 0, ?
такие числа ?
что для кадого h(╖) ? Tvb(╖) S, всякой точки ? ? и любой
п. п. последовательности {? (m)}m?Z ? rpm(U) выполнено неращая
венство
lim
1
qX
+m
l ?1 k
X
l?? ql a
m=0 l=0
и, кроме того,
bl ? fl,m (?, ? (m)) + bl(h(╖)) > 0
?
blTl(x
bl > 0, ?
b(╖), ╡
b(╖)) = 0, l = 1 . . . k.
?
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?о лемме 2.6 система замкнутых мноеств {K(h(╖), ?, {? (m)}m?Z ), (h(╖), ?, {? (m)}m?Z ) ? I},
где I | совокупность допустимых наборов, компакта S11+k+m(0)
является центрированной. ?оэтому [3? пересечение этой системы мноеств не пусто. Откуда следует, что в качестве искомого набора чисел моно взять координаты любого вектора
(?b0 , ?b1 . . . ?bk+m) из этого пересечения.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1. Для кадого ╡(╖) из AP M1 рассмотрим (см. определение 2.4 в [1?)
его стекловское усреднение ╡(╖, ? ). Так как ╡(╖, ? ) принадлеит
B (R, (rpm(U), ?w )), то последовательность {╡(? + ma, ? )}m?Z из
rpm(U) при кадом ? ? является п. п. и, стало быть, по теореме 2.4 для всякого ? ? и любого h(╖) ? Tvb(╖) S будет выпол44
няться неравенство
lim
1
qX
+m
l ?1 k
X
l?? ql a
m=0 l=0
bl ? fl,m(?, ╡(? + ma, ? )) + bl(h(╖)) > 0.
?
?роинтегрировав последнее неравенство по ? от 0 до
тывая обозначения (2.13) и (2.18), получаем, что
a,
учи-
M {h╡(t, ? ), L(t, vb(t), u)i} ? M {hb
╡(t), L(t, vb(t), u)i} +
где, напомним,
+M {hb╡(t), L?v (t, vb(t), u)i},
k+m
. Xb
L(t, v, u) =
?lfl(t, v, u), (t, v, u) ? R ╫ Rm ╫ U.
l=0
Откуда (см. теорему 2.4 в [1?) получаем, что для всех
AP M1 и кадого h(╖) ? Tvb(╖) S
╡(╖)
из
b(t), L(t, vb(t), u)i} + M {hb
╡(t), L?v (t, vb(t), u)i} > 0.
M {h╡(t) ? ╡
Из последнего неравенства в силу произвольности ╡(╖) ? AP M1
и h(╖) ? Tvb(╖) S, воспользовавшись тем, что вместе с кадым вектором h(╖) по определению конусу Tvb(╖) S принадлеат и вектора ?h(╖), ? > 0, неслоно убедиться в справедливости равенства
(2.11) и неравенства (2.12) при кадом h(╖) ? Tvb(╖) S.
З а м е ч а н и е 2.5. Так как функция (t, u) 7? L(t, vb(t), u)
принадлеит пространству B (R ╫ U, R), то по теореме 1.5 равенство (2.11) выполнено в том и только в том случае, если при п. в.
t ? R min L(t, vb(t), u) = hb
╡(t), L(t, vb(t), u)i.
u?U
З а м е ч а н и е 2.6. Требование fl ? B (R╫Rk ╫U, R) в
теореме 2.1 обусловлено (см. лемму 2.1) тем, что для таких функций найдутся последовательность {ql }?
l=1 ? N, lim ql = ? и изl??
меримое мноество ? [0, a?, mes = a такие, что при кадом
45
и любой п. п. последовательности {? (m)}m?Z ? rpm(U)
l ?1
1 qP
существуют пределы lim
fl,m (?, ? (m)), l = 0 . . . k + m.
l?? ql a m=0
В ряде случаев (см. лемму 4.2 в [1?) указанным свойством будут обладать и функции fl ? S (R, C (Rk ╫ U, R)). Например, все
функции fl, представимые в виде fl(t, v, u) = gl(t, v)hl(t, v, u),
где gl ? S (R, C (Rk , Rn? )), hl ? B (R ╫ Rk ╫ U, Rn ). Стало быть, в
этом случае имеет место утвердение, аналогичное теореме 2.1.
? р и м е р 2.3. Рассмотрим задачу (2.7) из примера 2.1.
Относительно функции f ? B (R ╫ Rk ╫ U, Rn ), будем предполагать, что она удовлетворяет условию, аналогичному условию 1)
для функций fl ? B (R ╫ Rk ╫ U, R), l = 0 . . . k + m. Как было
показано, эта задача моет быть редуцирована к задаче (2.4) с
функционалами Il(v(╖), u(╖)), определенными равенствами (2.8).
Для задачи (2.4) с такими функционалами в силу следствия 2.1
получаем следующее необходимое условие оптимальности.
Т е о р е м а 2.5. ?усть пара (vb(╖), ub(╖)) ? D являетb 0 > 0,
ся решением задачи (2.7). Тогда найдутся такие числа ?
? ?
bk+m, не равные нулю одновременно, что для функции
b1 . . . ?
?
.
(t, v, u, p) 7? H(t, v, u, p) = pf (t, v, u) ?
справедливо равенство
sup
u(╖)?S (R,U)
где
+m
kX
l=0
blfl(t, v, u)
?
M {H(t, vb(t), u(t), pb(t))} = M {H(t, vb(t), u
b(t), pb(t))},
pb(╖) | п. п. по Бору решение системы
p_ = ?pA(t) +
Кроме того, (здесь см.
kX
+m
l=0
blal(t, vb(t)), (t, p) ? R ╫ Rn? .
?
(2.8))
blIl(vb(╖), u
bl > 0, ?
b(╖)) = 0, l = 1 . . . k
?
46
и для всякого
h(╖) ? Tvb(╖) S справедливо неравенство
M {H?v (t, vb(t), u
b(t), pb(t))h(t)} 6 0.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий приведенную теорему.
? р и м е р 2.4. ?усть
=. {M ? Hom(Rn ):
Re ?j (M) < 0, j
= 1, . . . , n}
и A ? Hom(Rn ), b ? Rn такие, что матрица K =. [b, Ab . . . An?1 b?
невыродена. Зафиксируем таке такую функцию f ? S (R, Rn ) ,
6 0 и при v, принадлеащем открытому в Rn
что M {f (t)} =
мноеству
.
S = {s ? Rn : A + bs? ? },
рассмотрим систему
x_ = (A + bv ? )x + f (t), (t, x) ? R ╫ Rn .
(2.39)
Из определения S вытекает, что кадому v ? S отвечает единственное п.п. по Бору решение x(╖) = x(╖, v) системы (2.39). Рассмотрим, далее, задачу
.
J (v ) = M {q ? x(t, v )} ? inf , v ? S
(q ? Rn ).
(2.40)
Отметим, что аналогичная задача для случая, когда f |
суть непрерывная ? -периодическая функция, удовлетворяющая
R?
условию M {f (t)} = ?1 f (t)dt =
6 0, решена в [13?.
0
Наряду с системой (2.39) рассмотрим таке систему
p_ = ?p(A + bv ? )x + q ? , p ? Rn? ,
(2.41)
имеющую при кадом v ? S единственное п. п. по Бору решение
p(t, v ) ? q ? (A + bv ? )?1 , а т. к. M {q ? x(t, v )} = ?M {p(t, v )f (t)},
v ? S, то задача (2.40) моет быть переписана в виде:
.
J (v ) = M {f0 (t, v )} ? inf , v ? S,
47
где f0(t, v) =. q ? (A + bv? )?1 f (t), для которой, в силу следствия 2.2
(см. таке замечание 2.6), учитывая, что мноество S открыто
в Rn , решение vb ? S необходимо удовлетворяет равенству
q ? (A + bb
v ? )?1 b = 0.
(2.42)
Таким образом, для находения vb достаточно найти решение
уравнения (2.42). Для этого приведем краткое описание мноества S . Рассмотрим мноество , состоящее из таких векторов
n
P
.
? = (?j )nj=1 ? Rn , что полином P (?, z ) = z n ?
?j z j?1 гурj =1
вицев и пусть ? =. [0, . . . , 0, 1?K?1 . Тогда (см.[13?, а таке [14?)
S = {?(?P (?, A))? , ? ? } . В силу вышесказанного получаем
следующее утвердение Е.Л. Тонкова в п. п. случае.
Т е о р е м а 2.6. ?усть ?b ? | решение уравнения
b A) | решение
q ? (A ? b?P (?, A))?1 b = 0, ? ? . Тогда vb = ?P (?,
?
?
1
b
b) = ?q (A ? b?P (?, A)) M {f (t)} .
задачи (2.40) и J (v
3.
Ряд свойств линейных п. п. по Степанову систем
управления
1. ?риведем ряд необходимых для дальнейшего утвердений,
связанных с понятием экспоненциальной дихотомичности (э. д.)
системы
.
n
x_ = A(t)x, x ? Rn A ? Lloc
1 (R, Hom(R )), a = d(A, 0) < ?.
(3.1)
Напомним (см., например [8; 15?), что система (3.1) называется
э. д. на R, если существует пара взаимно дополнительных проекторов P1 , P2 ? Hom(Rn ) и полоительные константы rj , ?j ,
j = 1, 2 такие, что
(
.
|P1 (t, s)| = |(t)P1 ?1 (s)| 6 r1 e??1 (t?s) , ?? < s 6 t < ?,
.
|P2 (t, s)| = |(t)P2 ?1 (s)| 6 r2 e??2 (s?t) , ?? < t 6 s < ?,
48
(3.2)
где (t) | фундаментальная матрица системы (3.1). В даль.
нейшем через X (t, s) =(
t)?1 (s) обозначаем ее оператор Коши
.
и X? (t, s) = X (t + ?, s + ? ). Функция (t, s) 7? G (t, s) ? Hom(Rn ),
определенная для всех t, s ? R равенством (здесь см. обозначения в формулах (3.2))
.
G (t, s) = ?(??,t) (s)P1 (t, s) ? ?(t,?) (s)P2 (t, s),
(3.3)
называется (главной) функцией Грина системы (3.1).
Имеет место следующая
Т е о р е м а 3.1. [8;15? ?усть система 3.1 э. д. Тогда
1) существует такое ? > 0, что для всякого B из проn
странства Lloc
1 (R, Hom(R )), такого, что d(B, 0) 6 ?, система x_ = (A(t) + B (t))x будет э. д. ?ри этом существуют такие
rj = ~rj (?), ?~j = ?
~j (?), j = 1, 2 что
полоительные константы ~
.
если G (t, s; B ) = ?(??,t) (s)P1 (t, s; B ) ??(t,?) (s)P2 (t, s; B ) | функция Грина этой системы, то для Pj (t, s; B ), j = 1, 2 справедrj , ?
~j , j = 1, 2;
ливы оценки, аналогичные (3.2) с константами ~
loc
n
2) для всякой функции b ? L1 (R, R ), d(b, 0) < ? система
x_ = A(tR)x + b(t) имеет единственное ограниченное на R решение
x(t) = R G (t, s)b(s)ds, t ? R, при этом, если A ? S (R, Hom(Rn ))
и b ? S (R, Rn ), то x ? B (R, Rn ).
Из второго утвердения теоремы 3.1 получаем, что для всех
и кадого ? ? R имеет место равенство
t, s ? R
G? (t, s) ? G (t, s) =
где
Z
R
G (t, ? )(A? (? ) ? A(? ))G? (?, s)d?,
.
G? (╖, ╖) = G (╖ + ?, ╖ + ? ) и, следовательно, если
.
.
r = max(r1 , r2 ), ? = min(?1 , ?2 ),
то при кадом
(3.4)
? ?R
sup |G? (t, s) ? G (t, s)| 6
t,s?R
49
2r2
1 ? e??
d(A? , A).
(3.5)
Откуда в силу (3.2) и (3.3) получаем, что для всякого
?
?
?
где
?
?
? ?R
2
2r d(A , A),
|P1,? (t, s) ? P1 (t, s)| 6 1?e
?
??
??<s6t<?
sup
2
2r d(A , A),
|P2,? (t, s) ? P2 (t, s)| 6 1?e
?
??
??<t6s<?
sup
(3.6)
.
Pj,? (╖, ╖) = Pj (╖ + ?, ╖ + ? ), j = 1, 2.
Всюду далее считаем, что A ? S (R, Hom(Rn )).
Л е м м а 3.1.
╡ ? AP M и g ? S (R, C (U, Rn )).
Тогда для любых фиксированных v ? R+ и ? > 0 отобраения
Z t?v
.
(1)
P1 (t, s)h╡(s), g(s, u)ids,
t 7? ? (t; ╡, v, ? ) =
(3.7)
?усть
t?v??
.
t 7? ? (2) (t; ╡, v, ? ) =
Z t+v+?
t+v
принадлеат пространству
P2 (t, s)h╡(s), g(s, u)ids
(3.8)
B (R, Rn ). Кроме того, если мно-
Q ? AP M равностепенно п. п. и ограничено, то при
j = 1, 2 подмноество функций {? (j ) (╖; ╡, v, ? ), ╡ ? Q}
из B (R, Rn ) будет таке равностепенно п. п.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?олоим g(t) =. h╡(t), g(t, u)i,
t ? R. ?оскольку при кадом ? ? R
ество
кадом
sup |?(j ) (t + ? ; ╡, v, ? ) ? ?(j ) (t; ╡, v, ? )|
t?R
6
2r2 k╡k
d(A , A)╖ sup
1 ? e?? ?
t?R
Z t+?
t
(3.4), (3.6)
6
max |g(s, u)|ds + r?d? (g? (╖), g(╖)),
u?U
то утвердение леммы 3.1 вытекает из теоремы 2.2 в [1? и топологической эквивалентности dl -расстояний.
Фиксируем, далее, направленное мноество (A, ?), в котором A является мноеством N или (0, ?) соответственно с отношениями i ? j, если i 6 j и ? ? ?, если ? > ?, а таке
мноество параметров .
50
В дальнейшем рассматриваем мноество
.
Q = Q(A ╫ , ? ) =
=. {? (╖, ?, ?) ? AP M, (?, ?) ? A ╫ : sup
(?,?)?A╫
и направленность
.
? 7? ? (?) =
Л е м м а 3.2.
sup k? (╖, ?, ?)kw ,
??
(3.9)
k? (╖, ?, ? )k 6 ?}
(3.10)
? ? A.
lim ?(?) = 0.
Тогда, если направленность {? (h(?))}?? где h : (, ?) ? (A, ?),
является поднаправленностью направленности (3.10) , а направленность {t? }?? ? R такая, что lim t? = b
t, то для любых
??
фиксированных v ? R и ? > 0 (здесь см. (3.7) и (3.8) ) справедливо следующее предельное равенство:
lim (sup |?(k) (t? ; ? (╖, h(?), ? ), v, ? )|) = 0, k = 1, 2
(3.11)
?усть
g ? S (R, C (U, Rn )) и
??A
?? ??
и, кроме того,
lim (sup |
?? ??
Z
R
G (t? , s)h? (s, h(?), ? ), g(s, u)ids|)
= 0.
(3.12)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть g(t) =sup
|g(t, u)|, t ? R
.
u?U
lim t? = bt,
и ?? = |t? ? t|. ?оскольку
то найдется такое ?0 ? ,
??
что ?? 6 1 для всех ? ? , удовлетворяющих условию ?0 ? ?.
?оэтому, при этих ? имеем следующие соотношения:
6 r|
6 ea ?
Z
|? (2) (t? ; ? (╖, h(?), ? ), v, ? )|
t? +v+?
t? +v
Z v+??
v
(3.2), (3.4)
6
(3.9)
|X (t? , s)h? (s, h(?), ? ), g(s, u)ids| 6
(|Xbt (0, s)|g bt (s) + |Xbt+? (0, s)|g bt+? (s))ds +
+ sup |
??
Z
R
h? (s, h(?), ? ), ?(s, u)ids|,
51
где ?(s, u) =. ?[bt+v,bt+v+? ? (s)X (bt, s)g(s, u). Так как lim ?(?) = 0
??A
и {?(h(?))}?? | поднаправленность направленности (3.10), то
lim ?(h(?)) = 0. ?оэтому из приведенных выше неравенств, учи??
n
lim ?? = 0,
тывая, что g ? Lloc
1 (R, R+ ), ? ? V1 (R ╫ U, R ) и ??
получаем равенство (3.11) при k = 2. Аналогично доказывается
это равенство и при k = 1.
Далее, из (3.2) и (3.3) вытекает, что отобраение
(s, u) 7? ?(s, u) =. G (bt, s)g(s, u)
принадлеат пространству
lim (sup |
?? ??
Z
R
V1 (R ╫ U, Rn )
и, следовательно,
h? (s, h(?), ? ), ?(s, u)ids|)
= 0.
Откуда в силу неравенства
|
6 ea(2?r
Z bt+??
b
t
Z
R
G (t? , s)h? (s, h(?), ? ), g(s, u)ids| 6
|X (b
t, s)| g(s)ds + sup |
??
Z
R
h? (s, h(?), ? ), ?(s, u)ids|),
получаем равенство (3.12).
Л е м м а 3.3. ?усть g ? S (R, C (U, Rn )), мноество Q,
определенное равенством (3.9), является равностепенно п.п. и
lim ?(?)=0. Тогда (здесь см. (3.7), (3.8)) для любых фиксирован??A
ных v ? R+ и ? > 0
lim ( sup
??A (t,? )?R╫
lim ( sup
??A (t,? )?R╫
|? (k) (t; ? (╖, ?, ? ), v, ? )|)
|
Z
R
= 0,
k
= 1, 2,
G (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)ids|)
= 0.
(3.13)
(3.14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что (3.13) неверно.
Тогда найдутся константа ? > 0, конфинальное в A мноество ?1 ? ?2 ? . . . точек ?j ? A, j ? N и последовательности
52
?
{tj }?
j =1 ? R, {?j }j =1 ?
полнено неравенство
такие, что при всех
j ?N
будет вы-
.
|? (k) (tj ; ?j , ?j )| = |? (k) (tj ; ? (╖, ?j , ?j ), v, ? )| > ?.
(3.15)
Так как мноество Q равностепенно п. п. и ограничено, то
n
по лемме 3.1 последовательность {?(k) (╖; ?j , ?j )}?
j =1 ? B (R, R )
таке равностепенно п. п. ?оэтому для ?/4 > 0 найдется такое
L > 0, что в кадом отрезке [?tj , ?tj + L?, j ? N существует
?
T
?j ?
EB (? (k) (╖; ?l , ?l ), ?/4). Так как {tj + ?j }?
j =1 ? [0, L?, то
l=1
моно считать, что lim (tj + ?j ) = bt ? [0, L?. Далее, поскольку
j??
образ монотонно возрастающего отобраения j 7? ?j ? (A, ?),
j ? (N, 6) является конфинальным мноеством в (A, ?), то [16?
{? (?j )}?
j =1 | поднаправленность направленности {? (?)}??A . ?о
лемме 2.2, где (, ?) = (N, 6), h(j ) = ?j , j ? N, найдется такое j0 ? N, что для всех j > 0 будет выполнено неравенство
sup |?(k) (tj + ?j ; ?j , ?j )| < ?/4. ?ри этих j, в силу выбора точек
??
?j , получаем следующие соотношения:
|? (k) (tj ; ?j , ?j )| 6 sup |? (k) (t + ?j ; ?j , ?j ) ? ? (k) (t; ?j , ?j )|+
t?R
+|?(k) (tj + ?j ; ?j , ?j )| < +sup |?(k) (tj + ?j ; ?j , ? )| < + = ,
4 ??
4 4 2
из которых вытекает противоречие с неравенством (3.15). Точно
так е методом от противного, используя равенство (3.12) леммы
3.2, доказывается равенство (3.14).
Далее нам понадобится следующая
?
?
?
?
Л е м м а 3.4. ?усть (Y, k ╖ k | банахово пространство
f ? S (R, Y) . Тогда для любого ? > 0 найдется такое ? > 0 ,
что для кадого измеримого мноества E ? [0, 1?, mes E 6 ?
Z
sup kft (s)kds 6 ? (ft (╖) =. f (╖ + t)).
и
t?R
E
53
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f ? S (R, Y) , то (таке как для случая, когда f ? S (R, R) (см. [7. С. 237?)) для заданного ? > 0 найдется такая п.п. по Степанову функция g : R ? Y,
что ess sup kg(t)k =. g < ? и d(g(╖), f (╖)) 6 ?/2 . Теперь, взяв
t?R
? = ?/2 g , получаем, что для кадого измеримого подмноества
E отрезка [0,1?, мера Лебега которого не превосходит ?, будут
выполнены следующие соотношения:
sup
t?R
Z
E
kft (s)kds 6 d(g(╖), f (╖)) + g mes E 6 ?/2 + ?/2 = ?.
Л е м м а 3.5.
?усть
определенное равенством
lim ?(?)=0.
??A
g ? S (R, C (U, Rn )), мноество Q,
(3.9)
является равностепенно п. п. и
Тогда, для любых фиксированных
i ? Z+ и k ? (0, ?)
имеют место следующие равенства:
lim ( sup ( sup
??A ??(0,k? (t,? )?R╫
|? (k) (t; ? (╖, ?, ? ), i?, ? )|))
= 0,
k
= 1, 2. (3.16)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докаем равенство (3.16) при
k = 2. Допустим противное. В этом случае найдутся такая константа ? > 0, конфинальное в A мноество ?1 ? ?2 ? . . .
точек ?j ? A, j ? N и последовательность {?j }?
j =1 ? (0, k?, что
при всех j ? N будет выполнено неравенство
j =.
sup
(t,?)?R╫
|? (2) (t; ? (╖, ?j , ? ), i?j , ?j )| > ?/4.
(3.17)
С другой стороны, т. к. {?j }?
j =1 ? (0, k?, то без ограничения общности моно считать, что ?j ? ?b ? [0, k? при j ? ?. ?олагаем,
далее, g(t) =. max |g(t, u)|, t ? R, ?j =. |?j ? ?b|. ?ри всех j ? N
u?U
имеем следующие соотношения:
j 6
+
sup
(t,?)?R╫
sup
(t,?)?R╫
|
|
Z t+ib?
t+i?j
P2 (t, s)h? (s, ?j , ? ), g(s, u)ids| + (2) (?j )+
Z t+(i+1)?j
t+(i+1)?b
P2 (t, s)h? (s, ?j , ? ), g(s, u)ids|
54
(3.2), (3.4)
6
6 2?re
a
sup
t?R
Z t+(i+1)?j
t
g(s)ds + (2) (?j ),
где (2) (?j ) =. (2) (?)?=?j , а
(2) (?) =.
sup
(t,?)?R╫
|? (2) (t; ? (╖, ?j , ? ), ib
? , ?b|, ? ? A.
Далее, поскольку образ монотонно возрастающего отобраения
j 7? ?j , j ? (N, 6) является конфинальным мноеством в (A, ?),
то направленность {(2) (?j )}?
j =1 | поднаправленность напра(2)
вленности { (?)}??A . Следовательно, по равенству (3.13) при
k = 2, и v = ib
? , ? = ?b получаем, что lim (2) (?j ) = 0 и поj??
скольку lim ?j = 0, а g ? S (R, R), то (здесь см. лемму 3.4) из
j??
приведенных выше неравенств вытекает, что lim j = 0. ?оj??
следнее несовместно с (3.17). Таким образом, равенство (3.16)
при k = 2 доказано. Доказательство его при k = 1 аналогично
случаю k = 2, и мы его опускаем.
2. Рассмотрим систему
x_ = A(t)x + h? (t, ?, ? ), g(t, u)iz (t), (?, ? ) ? A ╫ },
где g ? S (R, C (U, Hom(Rn ))) и z (╖) ? B (R, Rn ). Ясно, что (здесь
см. теоремы 2.1 и 3.1)
x(t; z (╖), ?, ? )
=
Z
R
G (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)iz (s)ds, t ? R,
суть п. п. по Бору решение этой системы.
Т е о р е м а 3.2. ?усть функция g ? S (R, C (U, Hom(Rn )))
.
такая, что d = ess sup(max |g (t, u)|) < ?, мноество Q, заданu?U
t?R
ное равенством (3.9), является равностепенно п. п. и lim ? (?)=0.
??A
Тогда для любого ? > 0 найдется такое ?0 ? A, что для всех
55
? ? A, удовлетворяющих условию ?0 ? ? и кадой функции
z ? B (R, Rn ), выполнено неравенство
sup
(t,?)?R╫
|x(t; z (╖), ?, ? )| 6 ? ?d(
r1
?1
r
+ 2 ) + kzkC (R,Rn ) .
?2
(3.18)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольную функцию z ? B (R, Rn ). Так как п. п. по Бору функция равномерно
непрерывна на R, то для заданного ? > 0 найдется такая константа ? = ? (z (╖)) ? (0, k?, где k =. ?/?d, что
.
?? [z, R? =
sup
t,s?R,
|t?s|<?
|z (t) ? z (s)| < ?.
(3.19)
Теперь имеем следующие соотношения:
sup
(t,?)?R╫
=
sup
(t,?)?R╫
?
6
sup
Z
?
t
+
?
Z
?
t
??
(3.3)
=
P1 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)iz (s)ds ?
P2 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)iz (s)ds| 6
? Z t?i?
X
{| P1 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)i(z (s) ?z (t?i? ?? ))ds +
(t,?)?R╫
i=0
Z
|
Z
|x(t; z (╖), ?, ? )|
t?i???
t?i?
t?i???
t+i? +?
P1 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)ids ╖ z (t ? i? ? ? ) ?
P2 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)i(z (s) ? z (t + i? )ds +
t+i?
Z t+i? +?
t+i?
r1
6 ?d(
?1
(3.2)
P2 (t, s)h? (s, ?, ? ), g(s, u)ids ╖ z (t + i? )|} 6
+
2
?
XX
r2
(k) (?, i?, ? ) ╖ kzkC ,
)?? [z, R? +
?2
k =1 i=0
56
где
(k) (?, i?, ? ) =.
|? (k) (t; ? (╖, ?, ? ), i?, ? )|, k
sup
(t,?)?R╫
= 1, 2,
а отобраения t 7? ?(k) (t; ? (╖, ?, ?), i?, ? ), k = 1, 2 задаются равенствами (3.7) и (3.8) соответственно при ╡(╖) = ? (╖, ?, ?) и
v = i?.
Таким образом, в силу (3.19), для всех ? ? A и z ? B (R, Rn)
sup
(t,?)?R╫
6 2?d(
r1
?1
|x(t; z (╖), ?, ? )| 6
2
(3.20)
?
XX
r
(k) (?, i?, ? ) ╖ kzkC .
+ 2)+
?2
k =1 i=0
Далее, т. к. для любого
N
X
N ?N
sup
i=0 (?,? )?A╫(0,k?
и кадого
k
= 1, 2
(k) (?, i?, ? ) 6
?
X
rk
rk
e?i?k ? ) = 2d ,
6 2d ╖ sup ((1 ? e??k ? )
?k ??(0,k?
?k
i=0
?
P
(k) (?, i?, ? ) являются равномерно сходящимися на
то ряды
i=0
мноестве A ╫ (0, k?. ?оэтому найдется такое i0 = i0 (?) ? N, что
для всех (?, ? ) ? A ╫ (0, k? будет выполнено неравенство
?
X
i=0
(k) (?, i?, ? ) 6
i0
X
i=0
(k) (?, i?, ? ) +
?
4
, k
= 1, 2.
(3.21)
Так как мноество Q равностепенно п. п., lim ?(?) = 0 (см.
??A
(3.10)), g ? S (R, C (U, Hom(Rn ))) и ? ? (0, k?, то по лемме 3.5,
учитывая принятое обозначение при i = 0 . . . i0 , получаем равенства lim ( sup (k) (?, i?, ? )) = 0, k = 1, 2, и, следовательно,
??A ??(0,k?
57
найдется такое ?0 = ?0 (?/4) ? A, что для всех
будет иметь место неравенство
i0
X
sup (k) (?, i?, ? ) <
i=0 ??(0,k?
?
4
, k
? ? A, ?0 ? ?
= 1, 2.
Откуда совместно с неравенствами (3.20) и (3.21) вытекает, что
для всех ? ? A, удовлетворяющих условию ?0 ? ? и любой
функции z ? S (R, Rn ), будет выполнено неравенство (3.18).
4.
О некоторых свойствах линейных п.п. по Степанову систем с управлениями, аппроксимирующих
заданное мерозначное п. п. управление
1. В третьем разделе работы [1? показано, что для кадого ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)), где, здесь и далее, (
, ?) | компактное метрическое пространство, существует последовательность
функций {uj }?
j =1 ? S (R ╫ , U), обладающая свойствами, указанными в [1? (см. теорему 3.1 ).
?риведем еще ряд необходимых в дальнейшем свойств этих
функций. С этой целью для удобства излоения напомним кратко конструкцию указанной последовательности {uj }?
j =1 , аппроксимирующей заданное ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)).
Для j ? N строим такое открытое покрытие U1(j ) . . . Up(jj ) компакта U, что max (diam Uk(j ) ) 6 1/j, и через {?(kj ) }pkj=1 обозна16k6pj
чим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Для кадого k = 1 . . . pj фиксируем точку u(kj ) ? U ? Uk(j ) ,
в которой ?(kj ) (u(kj ) ) > 0, и рассмотрим функцию
(t, ? ) 7? ?(kj ) (t, ? )=_ h╡(t, ? ), ?(kj ) (u)i ? [0, 1?, (t, ? ) ? R ╫ .
Так как
╡ ? S (R ╫
, rpm(U)), то (см.в [1? определение 1.1)
58
(j )
{?k }kj=1 ? S (R ╫ , [0, 1?)
p
и при этом
pj
X
(j )
?k (t, ? ) = 1, (t, ? ) ? R ╫ .
k =1
Рассмотрим, далее, отобраение (t, ? ) 7? j (t, ? ) ? rpm(U),
(t, ? ) ? R ╫ , заданное при кадом j ? N равенством
pj
X
(j )
j (t, ? )=_
?k (t, ? )?u(j) , (t, ? ) ? R ╫ .
k =1
k
(4.1)
В третьем разделе работы [1? показано, что при кадом j ? N
j ? S (R ╫ , rpm(U)) и Mod(j ) ? Mod(╡).
Выбираем число a > 0 таким, чтобы 4a? ? Mod(╡) и отрезок [0, a? разбиваем на j равных отрезков Il(j ) = [ l?j 1 a, jl a?,
(j )
l = 1, . . . , j. В свою очередь кадый отрезок Il разобьем на
(j )
pj частичных подотрезков Ilk (?, ? ), k = 1, . . . , pj , зависящих
от (?, ?) ? R ╫ , определенных в [1? равенствами (3.6). Сейчас
(j ) }
рассмотрим последовательность {wm
m?Z , состоящую из ото(
j)
браений wm : [0, a? ╫ ? U, m ? Z, определенных равенством
j
pj
(j ) (t, ? )=_ X ? (j) (t) X ? (j)
wm
(t)u(kj ) , (t, ? ) ? [0, a? ╫ .
Il
Il (ma,? )
k
k =1
l=1
?усть, далее, при кадом j ? N функция uj : R ╫ ?
определена на кадом мноестве [ma, (m + 1)a? ╫ , m ?
равенством
(j ) (t, ? ), (t, ? ) ? [0, a? ╫ .
uj (t + ma, ? )=
_ wm
U
Z
(4.2)
В [1? показано, что так определенная последовательность функций {uj }?
j =1 ? S (R ╫ , U) обладает свойствами, указанными в
теореме 3.1 .
59
Фиксируем отобраение A ? S (R ╫ , Hom(Rn )) и всюду далее предполагаем, что оно удовлетворяет условиям:
I) выполнено соотношение
.
d = ess sup(sup |A(t, ? )|) < ?;
t?R
II) при кадом
y_
??
??
(4.3)
однородная система уравнений
= A(t, ? )y, (t, y ) ? R ╫ Rn
допускает э. д., причем существуют такие полоительные константы r~j , ?~j , j = 1, 2, не зависящие от ? ? , что для функции
Грина
G (t, s; ? ) = ?(??,t) (s)P1 (t, s; ? ) ? ?(t,?) (s)P2 (t, s; ? ), t, s ? R
этой системы справедливы оценки
(
|P1 (t, s; ? )| 6 r~1 e??~1 (t?s) , ?? < s 6 t < ?,
|P2 (t, s; ? )| 6 r~2 e??~2 (s?t) , ?? < t 6 s < ?.
(4.4)
В дальнейшем для оператора Коши X (╖, ╖ ; ? ) (как обычно
=. X (╖ + ?, ╖ + ? ; ? )) системы y_ = A(t, ? )y используем,
не оговаривая специально, оценки
X? (╖, ╖ ; ? )
sup
(m,?)?Z╫
sup
(m,?)?Z╫
|Xma (?, s; ? )| 6 ed(s+?) , s, ? > 0 (a > 0)
|Xma (?, s1 ; ? ) ? Xma (?, s2 ; ? )| 6 ded(a+?) ╖ |s1 ? s2 |,
в которых s1 , s2 ? [0, a?, и используем описанную выше конструкцию функций {uj }?
j =1 ? S (R ╫ , U), аппроксимирующей
отобраение ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)).
?олагаем, далее, при кадом ? ? и j ? N
?
.
?
??j (╖, ? ) = ╡(╖, ? ) ? ?uj (╖,?) ,
.
(1)
?j (╖, ? ) = ╡(╖, ? ) ? j (╖, ? ),
?
? (2)
.
?j (╖, ? ) = j (╖, ? ) ? ?uj (╖,?) ,
60
(4.5)
где отобраения uj ? S (R ╫ , U), j ? S (R ╫ , rpm(U)) задаются равенствами (4.1) и (4.2) соответственно.
Л е м м а 4.1. ?усть g ? S (R, C (
╫ U, Rn )). Тогда для
любого фиксированного ? ? [0, a? и кадого l = 1, 2
lim (
(mZ+1)a
sup
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|)=0. (4.6)
X (ma + ?, s; ? )h?j
|
j?? (m,? )?Z╫
ma
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докаем сначала равенство
(4.6) при l = 2 в предполоении, что функция g принадлеит
.
B (R ╫ ╫ U, Rn). В этом случае g = kgkC (R╫
╫U,Rn ) < ? , и если
=.
qj
то [10?
qj ? 0
supremum
(tl ,?,u)?R╫
╫U,l=1,2
|t1 ?t2 |6a/j
при
j ? ?.
|g(t1 , ?, u) ? g(t2 , ?, u)|,
Фиксируем далее при l = 1 . . . j точки
(j )
(j )
tl ? Il = [ l?j 1 a, jl a?. Если обратиться к доказательству леммы
3.5 в [1?, то моно заметить, что при кадом l = 1 . . . j (j ? N),
для всех (m, ? ) ? Z ╫ справедливо равенство
Z
(j )
I
(2) (s + ma, ? ), g(t(j ) + ma, ?, u)ids = 0,
h?j
l
l
в силу которого, при всех
ющие соотношения:
|Ij (m, ? )|=
_|
6 2d
+
j
X
l=1
|Xma
Z (m+1)a
ma
j
XZ
l=1
(j )
I
и (m, ? ) ? Z ╫ , имеем следу(2) (s, ? ), g(s, ?, u)ids| 6
X (ma + ?, s; ? )h?j
(j ) ; ? )|ds +
|Xma (?, s; ? ) ? Xma (?, tl
l
(?, t(j ) ; ? )| ╖ |
l
j?N
Z
(j )
I
(2) (s + ma, ? ), g(s + ma, ?, u)ids| 6
h?j
l
6 2aed(a+?) (
61
ad
j
+ qj ).
Откуда получаем равенство (4.6) для l = 2 при условии, что g
принадлеит пространству B (R ╫ ╫ U, Rn ).
?усть теперь отобраение g ? S (R, C (R ╫ , Rn)). В этом
случае рассмотрим при кадом h > 0 его стекловское усреднение
Z
1 t+h
g(s, ?, u)ds,
(t, ?, u) 7? g(t, ?, u; h)=_
h
которое принадлеит пространству
дом l > 0 (см. теорему 1.2 из [1?)
lim(sup
h?0 t?R
Z t+l
t
max
(?,u)?
╫U
t
B (R ╫ ╫ U, Rn )
|g(s, ?, u) ? g(s, ?, u; h))|ds)
и при ка-
= 0.
?оэтому, учитывая справедливость равенства (4.6) для любого
фиксированного отобраения из пространства B (R ╫ ╫ U, Rn) ,
из неравенства
sup |Ij (m, ? )| 6
6
sup
(m,?)?Z╫
|
Z (m+1)a
ma
d(?+a)
+2ae
sup
t?R
1
a
(m,?)?Z╫
(2) (s, ? ), g(s, ?, u; h)ids| +
X (ma + ?, s; ? )h?j
Z t+a
t
max
(?,u)?
╫U
получаем (4.6) при условии, что
Далее, из неравенств
|
Z (m+1)a
ma
╫(
k =1
(2) (s, ? ), g(s, ?, u)ids| 6
Z (m+1)a
ma
(j )
U
g ? S (R, C (
╫ U, Rn )).
X (ma + ?, s; ? )h?j
6|
pj Z
X
|g(s, ?, u) ? g(s, ?, u; h))|ds
X (ma + ?, s; ? )| ╫
(j ) )|╡(s, ? )(du)|ds 6
?k (u)|g(s, ?, u) ? g(s, ?, uk
d(?+a)
6 dae
╖ sup
t?R
1
a
Z t+a
t
62
? 1 [g(s, ╖, ╖), ╫ U?ds,
j
леммы 1.3 из [1? и топологической эквивалентности
ний получаем утвердение леммы 4.1 при l = 1.
С л е д с т в и е 4.1.
гда при кадом l = 1, 2
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
|
Z
t
[ ?a
t
a
dl -расстоя-
g ? S (R, C (
╫ U, Rn ). То-
?усть
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0
X (t, s; ? )h?j
(4.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?олоим
(l)
fj (t, ? )=
_ h? (l) (t, ? ), g(t, ?, u)i, (t, ? ) ? R ╫ и допустим, что равенство (4.7) неверно. Тогда найдутся такая
константа ? > 0, а таке две последовательности {ji }?
i=1 ? N и
?
{(ti , ?i )}i=1 ? R ╫ , что при всех j ? N
(l) _ |
I =
i
Z
ti
(l)
[ ?a
ti
a
X (ti , s; ?i )fji (s, ?i )ds| > ?.
(4.8)
С другой стороны, представим кадую точку ti , i ? N в виде
ti = mi a + ?i a, где mi ? Z и ?i ? [0, 1), и будем считать, чтобы
не загромодать обозначений, что ?i ? ?^ ? [0, 1? при i ? ?.
Следовательно, найдется такое i0 ? N, что для всех i > i0 будет
^ ?ри этих i имеем следующие
выполнено неравенство ?i 6 1 + ?.
соотношения:
(l)
Ii 6 |
Z ?^a
?i a
^ ; ?i )| ╖ |
+|Xmi a (?i a, ?a
6 2e2ad
Z t+?j a
t
(l)
Xmi a (?i a, s; ?i )fji (s + mi a, ?i )ds| +
Z
mi a+?^a
mi a
g(s)ds +
(l)
(l)
^ s; ?i )fj (s, ?i )ds| 6
X (mi a + ?a,
i
sup
(m,?)?Z╫
|
Z (m+1)a
ma
X (ma + ?, s; ? ) ╫
╫h?j (s, ? ), ?(s, ?, u)ids|),
63
^ ?(t, ?, u) =. ?(t)g(t, ?, u)
где g(t) =. max |g(t, ?, u)|, ?j =. |?i ??|,
(?,u)?
╫U
и где, в свою очередь, ? : R ? R | a -периодическая функция,
определенная на отрезке [0, a? равенством ?(t) = ?[0,a?^? (t). Так
как ? ? S (R, C (
╫ U, Rn)), то, используя лемму 4.1 для этой
^ принимая во внимание, что g ? S (R, R) и
функции при ? = ?a,
lim ?i = 0 (здесь см. лемму 3.4), из полученного выше соотноi??
шения получаем, что lim I(il) = 0, а это противоречит (4.8).
i??
С л е д с т в и е 4.2. ?усть g ? S (R, C (
╫ U, Rn)). Тогда при кадом l = 1, 2 имеют место следующие равенства:
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
Zma
|
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0, (4.9)
P1 (ma, s; ? )h?j
(m?1)a
|
(mZ+1)a
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0. (4.10)
P2 (ma, s; ? )h?j
ma
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку
Pk (ma, s; ? ) = Pk (ma, ma; ? )X (ma, s; ? ), k
= 1, 2,
то равенства (4.9), (4.10) вытекают из оценок (4.4) и утвердения
леммы 4.1 при ? = 0.
С л е д с т в и е 4.3.
гда при кадом l = 1, 2
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
|
|
Z
ma
g ? S (R, C (
╫ U, Rn )). То-
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0, (4.11)
P1 (ma, s; ? )h?j
??
Z
?усть
?
ma
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0. (4.12)
P2 (ma, s; ? )h?j
64
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку функция
надлеит S (R, C (
╫ U, Rn )), то
.
k = sup
t?R
?
P
Далее, т. к. ряд
?>0
i=1
Z t+1
t
max
(?,u)
╫U
exp(?ia?
~2 )
|g(s, ?, u)|ds < ?.
i=i0 +1
exp(?ia?~2 ) < ?/4r~2 k.
Сейчас,
обозначив f(jl) (t, ? ) =. h?j(l) (t, ? ), g(t, ?, u)i, имеем для всех
и (m, ? ) ? Z ╫ следующие соотношения:
.
(l)
J (m, ? ) = |
j
6
i0
X
|
Z
?
ma
Z (m+i)a+a
при-
сходящийся, то для заданного
?
P
найдется такое i0 , что
g
j ?N
(l)
P2 (ma, s; ? )fj (s, ? )ds| 6
(l)
P2 (ma, s; ? )fj (s, ? )ds| +
(m+i)a
i=0
?
(m+i)a+a
X
e?ia?~2 +
e??~2 (s?ma) max |g(s, ?, u)|ds +2~r2 k
+2~r2
?,u
)
?
╫U
(
i0 +1
i0 +1 (m+i)a
Z
i0
(m+i)a+a
X
(l)
P2 ((m + i)a, s; ? )fj (s, ? )ds| <
+ |Xma (0, ia; ? )| ╖ |
(m+i)a
i=0
Z (m+1)a
?
(l)
i0 ad
sup |
< + i0 e
P2 (ma, s; ? )fj (s, ? )ds|.
2
(m,?)?Z╫
ma
? Z
X
Откуда в силу равенства (4.10) вытекает, что для всех j, начиная с некоторого, sup J(jl) (m, ? ) 6 ?. Тем самым равенство
(m,?)?Z╫
(4.12) доказано.
Аналогично, используя (4.9), доказываются и равенства (4.11).
Л е м м а 4.2. ?усть g ? S (R, C (
╫ U, Rn )). Тогда
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
|
Z
R
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0, l = 1, 2.
G (t, s; ? )h?j
65
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть (см. (4.4)) константа
~r =. max(r~1 , r~2 ) и при кадом j ? N полагаем
. (l)
(l)
fj (t, ? ) = h?j (t, ? ), g(t, ?, u)i.
Теперь, представив кадое t ? R в виде t = mt a + ?t a, где
mt ? Z, ?t ? [0, 1), получаем, что для всех j ? N и (t, ? ) ? R ╫ |
Z
R
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids| 6
G (t, s; ? )h?j
Z
6 2~r |
t
mt a
+|Xmt a (?t a, 0) ╖
Z
+|
6 2~r
+e
mt a
sup
|
Z
mt a
??
|
Z
(m,?)?Z╫
Z
|
sup
|
sup
ad
(l)
P1 (mt a, s; ? )fj (s, ? )ds|+
(l)
P2 (mt a, s; ? )fj (s, ? )ds| 6
t
(l)
(t,?)?R╫
[t/a?a
ad
+e
?
(l)
X (t, s; ? )fj (s, ? )ds|+
(m,?)?Z╫
mt a
??
Z
?
ma
X (t, s; ? )fj (s, ? )ds|+
(l)
P1 (ma, s; ? )fj (s, ? )ds|+
(l)
P2 (mt a, s; ? )fj (s, ? )ds|,
откуда в силу равенств (4.7), (4.11) и (4.12) вытекает утвердение леммы 4.3.
Из леммы (4.2) получаем (здесь см. обозначения (4.5))
С л е д с т в и е 4.4. Допустим, что заданное отобраение A ? S (R╫ , Hom(Rn )) удовлетворяет условиям I) и II).
Тогда для любой фиксированной функции
S (R, C (
╫ U, Rn ))
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
|
Z
R
g из пространства
G (t, s; ? )h?j (s, ? ), g(s, ?, u)ids|)
66
= 0.
Далее, для фиксированной функции g ? S (R, C (
╫ U, Rn))
и констант v, ? > 0 введем при кадом l = 1, 2 и всех j ? N на
R ╫ отобраения
(l) (╖, ? )) = ?(1) (t, ? (l) (╖, ? ), v, ? ) =.
? (1) (t, ?j
.
=
Z
t?v
t?v??
j
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids,
P1 (t, s; ? )h?j
.
(l)
(l)
? (2) (t, ?j (╖, ? )) = ? (2) (t, ?j (╖, ? ), v, ? ) =
Z t+v+?
.
(l)
P2 (t, s; ? )h?j (s, ? ), g(s, ?, u)ids.
=
t+v
Л е м м а 4.3.
lim ( sup
Имеют место следующие равенства:
j?? (t,? )?R╫
(2) (╖, ? ))|) = 0, k = 1, 2.
|? (k) (t, ?j
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докаем лемму 4.3 лишь
при k = 2 (при k = 1 доказательство аналогично). Допустим
противное. Тогда найдутся такие константа ? > 0 и последова?
?
тельности {ji }?
i=1 ? N, {ti }i=1 ? R, {?i }i=1 ? , что для всех
i ? N будет выполняться неравенство
(2)
|? (2) (ti , ?ji (╖, ?i ))| > ?.
С другой стороны, кадую точку ti , i ? N моно представить в виде ti = mi a + ?i a, где mi ? Z, ?i ? 0, 1?, и считать,
что ?i ? ?b ? [0, 1? при i ? ?. ?редставим, далее, аналогично
b + v и ? в виде ?a
b + v = m? a + ? ? a, ? = m?? a + ? ?? a, где
точки ?a
?
??
?
??
m , m ? Z и ? , ? ? [0, 1) и будем считать для определенности,
что m?? ? N и точка ? =. ?? + ??? принадлеит [0,1?.
Рассмотрим, сейчас, последовательность
?i
.
=|
Z
m
b i a+v+?
m
b i a+v
(2)
P2 (m
b i a + v, s; ?i )h?j2 (s, ?i ), g(s, ?i , u)ids|,
67
.
b i ? N, и покаем, что ?i ? 0 при i ? ?. С
где m
b i = mi + ?,
этой целью введем в рассмотрение измеримые a -периодические
функции ?1 , ?2 : R ? R, определенные при t ? [0, a? равенствами ?1 (t) =. ?[0,?? a? (t), ?2 (t) =. ?[0,?a? (t). ?олагая
.
gk (t, ?, u) = ?k (t)g(t, ?, u), k = 1, 2,
будем иметь следующие соотношения:
?
?i 6 ead? |
+
Z (m? +1)a
i
m?i a
?? ?1
mX
l=0
ad ? ? +m?? )
+e
|
(2)
P2 (m?i a, s; ?i )h?ji (s, ?i ), g1 (s, ?i , u)ids| +
ad(? ? +l)
e
|
(2)
Z (m? +l+1)a
i
(m?i +l)a+v
P2 ((m?i + l)a, s; ?i ) ╫
╫h?ji (s, ?i ), g(s, ?i , u)ids| +
Z (m?? +1)a
i
m??
ia
(2)
P2 (m??i a, s; ?i )h?ji (s, ?i ), g2 (s, ?i , u)ids|,
из которых по следствию 4.2, принимая во внимание, что функции gk , k = 1, 2 принадлеат S (R, C (
╫ U, Rn )), получаем, что
?i ? 0 при i ? ?.
?усть далее g(t) =. max |g(t, ?, u)| и ?i =. |?b ? ?i |. Тогда
(?,u)?
╫U
при всех i
(2)
62
Z
ti +v+?i a
ti +v
+2
|? (2) (ti , ?ji (╖, ?i ))| 6
b + v )| ╖ ? i +
g(s)|P2 (ti , s; ?i |ds + |Xmi a (?i a, ?a
Z
ti +v+?+?i a
ti +v+?
(3.3)
g(s)|P2 (ti , s; ?i |ds 6
6 2r~2 e??~2 v (1 + e?? ?~2 ) sup
t?R
Z t+a?i
t
g(s)ds + ed(2a+v) ?i .
Откуда, учитывая, что g ? S (R, R), ?i ? 0 и ?i ? 0 при i ? ?, получаем (см. лемму 3.4), что lim |?(2) (ti , ?j(2)
(╖, ?i ))| = 0. ?оследi
нее противоречит сделанномуi??
предполоению.
68
Л е м м а 4.4.
Имеют место следующие равенства:
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
(1) (╖, ? ))|) = 0,
|? (k) (t, ?j
k
= 1, 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Снова рассмотрим лишь случай при k = 2. В этом случае нуное нам равенство вытекает
из приведенных ние соотношений
t+
Zv+?
6 ~r2
(1) (╖, ? ))| (4.1)6,(4.4)
|? (k) (t, ?j
~2 (s?t)
??
e
t+v
pi Z
X
(j )
(j )
?k (u)|?(s, ?, u) ??(s, ?, uk )|╡(s, ? )(du) ds 6
k =1 U
~2 v
??
6 ~r2 e
sup
t?R
и леммы 1.3 работы [1?.
?олагаем далее при
? (k) (t, ?j (╖, ? ), v, ? )
k
Z t+?
? 1 g[(s, ╖, ╖), ╫ U?ds
j
t
= 1, 2
=. ?(k) (t, ?j(1) (╖, ? ), v, ? ) ? ?(k) (t, ?j(2) (╖, ? ), v, ? ).
Из лемм 4.3 и 4.4 вытекает
С л е д с т в и е 4.5.
?усть функция
S (R, C (
╫ U, Rn ). Тогда при кадом k
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
Л е м м а 4.5.
= 1, 2
|? (k) (t, ?j (╖, ? ), v, ? )|)
g принадлеит
= 0.
g ? S (R, C (
╫ U, Rn ) и k ? (0, ?).
Тогда для любого фиксированного i ? Z+
lim ( sup ( sup
?усть
j?? ??(0,k? (t,? )?R╫
|? (k) (t, ?j (╖, ? ), i?, ? )|))
= 0,
k
= 1, 2.
Доказательство леммы 4.5 (здесь см. оценки (4.2) и утвердение следствия 4.5) аналогично схеме доказательства леммы 3.4 с
направленным мноеством (A, ?) =. (N, 6), и мы его опускаем.
69
Рассмотрим (здесь см. в [1? следствия 1.1 и 1.2) семейство п.п.
по Степанову систем дифференциальных уравнений
x_ = A(t, ? )x + h?j (t, ? ), g(t, ?, u)iz (t), ? ? ,
(4.13)
n
n
где g ? S (R, C (
╫ U, Hom(R )) и z ? B (R, R ). Ясно, что при
кадом j ? N функция (см. теорему 3.1)
xj (t; z (╖), ? )
=
Z
R
G (t, s; ? )h?j (s, ? ), g(s, ?, u)iz (s)ds, t ? R
является п.п. по Бору решением этой системы.
Т е о р е м а 4.1. ?усть (
, ?) | компактное метрическое пространство, отобраение A ? S (R ╫ , Hom(Rn ))
и удовлетворяет условиям I), II), {uj }?
j =1 | последовательность функций из S (R╫ , U) ,аппроксимирующая заданное отобраение ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)), и пусть в системе (4.13)
.
?j (╖, ? ) = ╡(╖, ? ) ? ?uj (╖,?) . Тогда, если g ? S (R, C (
╫ U, Hom(Rn ))
такая, что
~d =. ess sup( max
t?R
(?,u)?
╫U)
|g(t, ?, u)|) < ?,
? > 0 найдется такое j0 = jo (?) ? N, что при
j > jo и всех z ? B (R, Or [0?) справедливо неравенство
r~
r~ sup |xj (t; z (╖), ? )| 6 ?(2~d 1 + 2 + kzkC (R,Rn ) ).
?~1 ?~2
(t,?)?R╫
то для любого
кадом
Доказательство теоремы 4.1, если принять во внимание лемму 4.5, аналогично доказательству теоремы 3.2 с направленным
мноеством (A, ?) =. (N, 6) , и мы его опускаем.
5.
Ряд свойств нелинейных п. п. по Степанову систем
управления
1. В этом разделе, используя результаты предыдущего раздела,
укаем ряд свойств решений нелинейных систем управления, дополняющих результаты работ [17, 18?.
70
?усть G | область в Rn, V ? omp(Rk ) и дифференцируемое по x в кадой точке (t, x, v, u) ? R ╫ G ╫ V ╫ U отобраение
(t, x, v, u) 7? f (t, x, v, u) ? Rn, удовлетворяет следующему условию: 1) для любого фиксированного мноества K ? omp(G)
f ? S (R, C (K ╫ V ╫ U, Rn ), fx? ? S (R, C (K ╫ V ╫ U, Hom(Rn )) и
.
d(K ) =
supremum
(|f (t, x, v, u)| + |fx (t, x, v, u)|) < ?. (5.1)
?
(t,x,v,u)?R╫K╫V ╫U
Зафиксируем далее vb(╖) ? S (R, V ) и рассмотрим п.п. по Степанову (здесь см. лемму 5.2 в [1?) систему дифференциальных
уравнений
x_ = h╡(t), f (t, x, vb(t), u)i, ╡(╖) ? AP M1 ,
где
.
h╡(t), f (t, x, vb(t), u)i =
Z
U
(5.2)
f (t, x, vb(t), u)╡(t)(du),
для которой пару (x(╖), ╡(╖)) ? B (R, G) ╫ AP M1 называем допустимой, если x(╖) | решение этой системы уравнений, отвечающее ╡(╖) и такое, что orb(x) ? G.
Фиксируем направленное мноество (A, ?) , содеращее счетное конфинальное подмноество, а таке мноество параметров
. В работе в [17? доказана
f : R╫G╫V ╫U ? Rn
удовлетворяет условию 1), для заданной функции v
b(╖) ? S (R, V )
пара (x
b(╖), ╡
b(╖)) ? B (R, G) ╫ APM1 допустима для системы (5.2)
Т е о р е м а 5.1.
?усть функция
и система уравнений в вариациях
y_
= hb╡(t), fx? (t, xb(t), vb(t), u)iy, (t, y ) ? R ╫ Rn
является э.д. Тогда, если мноество
из
APM1
(5.3)
{╡? (╖, ? ), (?, ? ) ? A ╫ }
равностепенно п.п. и заданная совокупность отобра-
{v? (╖, ? ), (?, ? ) ? A ╫ } из S (R, V ) такие, что
lim sup kb╡(╖) ? ╡? (╖, ? )kw + sup d(vb(╖), v? (╖, ? )) = 0,
ений
??A ??
??
71
(5.4)
K ? omp(G) и ?0 ? A , что для всех ? ? A ,
удовлетворяющих условию ?0 ? ?, при кадом ? ? система
то найдется такое
x_ = h╡? (t, ? ), f (t, x, v? (t, ? ), u)i,
где
.
h╡? (t, ? ), f (t, x, v? (t, ? ), u)i =
Z
U
(5.5)
f (t, x, v? (t, ? ), u)╡? (t, ? )(du)
x? (╖, ? )
orb (x? (╖, ? )) ? K и для которого
lim (sup kx? (╖, ? ) ? xb(╖)kC (R,Rn ) ) = 0.
имеет единственное п.п. по Бору решение
такое, что
(5.6)
??A ??
Докаем следующее утвердение, в котором
.
m? [╡? , ? =
sup (sup
1 2 ( 1 2)
? ,? ? ,
? ? ,? <?
t?R
Т е о р е м а 5.2.
Z t+1
t
|╡? (s, ?1 ) ? ╡? (s, ?2 )|(U)ds).
?усть в условиях теоремы
5.1 (
, ?)
| компактное метрическое пространство. Тогда для тех
A, ?0 ? ?, где ?0 ? A взято из теоремы
v? ? S (R ╫ , V ) и
lim m? [╡? , ? = 0,
??0
? из
для которых
(5.8)
(x? (╖, ? ) | решение системы (5.5))
B (R ╫ , Rn ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как (см. условия теоремы
5.1) пара (xb(╖), ╡b(╖)), принадлеащая B (R, G) ╫ APM1 , допустима для системы (5.2), то найдется такое r > 0 , что будет выполнено включение Kr =. orb(xb)+ Or [0? ? G. В дальнейшем считаем
.
d = d(Kr ) (см. (5.1) при K = Kr ), для э.д. системы (5.3) сохраняем обозначения, входящие в определение э.д. системы (3.1) с
матрицей A(t) = hb╡(t), fx? (t, xb(t), vb(t), u)i и полагаем (см. (3.2))
функция
(t, ? )
5.1,
(5.7)
7? x? (t, ? )
принадлеит пространству
.
k=
r1
1 ? e??1
+
72
r2
,
1 ? e??2
(5.9)
Далее, как и при доказательстве теоремы 2.1 работы [17? в системе (5.5) сделаем замену z = xb(t) ? x , которая относительно z
запишется в виде
z_
= A(t)z + h1 (t, z ) + h2 (t; ?, ?, z ) +
+ h3 (t; ?, ?, z ), (t, z ) ? R ╫ Rn , (?, ?) ? A ╫ , (5.10)
где
.
h1 (t, z ) = hb
╡(t), f (t, x
b(t), vb(t), u) ? f (t, x
b(t) ? z, vb(t), u)i ? A(t)z,
.
b(t) ? z, vb(t), u)i,
h2 (t, ?, ?, z ) = h?? (t, ? ), f (t, x
.
h3 (t, ?, ?, z ) =
=. h╡? (t, ? ), f (t, xb(t) ? z, vb(t), u) ? f (t, xb(t) ? z, v? (t, ? ), u)i,
.
b(t) ? ╡? (t, ? ).
?? (t, ? ) = ╡
Сейчас для кадой пары (?, ?) ? A ╫ введем в рассмотрение
оператор F? [╖, ? ? : B (R, Or [0?) ? B (R, Rn ) (? ? ), определенный для кадой функции z ? B (R, Or [0?) равенством
F? [z (╖), ? ?(t)
.
=
Z
R
G (t, s)[h1 (s, z (s)) + h2 (s, ?, ?, z (s)) +
+ h3 (s, ?, ?, z (s))?ds,
t ? R.
В [17? доказано существование таких ? ? (0, r? и ?0 ? A, что при
кадом ? ? A, ?0 ? ? и всяком ? ? во { первых, выполнено
включение F? [B (R, O? [0?), ? ? ? B (R, O? [0?), а во { вторых,
sup
(t,?)?R╫
2
5
|F? [z1 (╖), ? ?(t) ? F? [z2 (╖), ? ?(t)| < kz1 ? z2 kC ,
(5.11)
т.е. при этих ? семейство {F? [╖, ? ?}??
введенных операторов
является операторами сатия с общей константой q = 2/5 . ?о
теореме о симающем отобраении [11? получаем, что оператор
F? [╖, ? ? имеет на замкнутом подмноестве B (R, O? [0?) банахового пространства B (R, Rn ) неподвиную точку, т.е. для кадого
73
? ? A, ?0 ? ? и любого ? ? существует (единственная)
функция z? (╖, ? ) ? B (R, O? [0?) такая, что при всех t ? R
z? (t, ? ) =
Z
R
G (t, s)[h1 (s, z? (s, ? )) + h2 (s, ?, ?, z? (s, ? )) +
+ h3 (s, ?, ?, z? (s, ?))?ds. (5.12)
?оследнее равенство означает, что z? (╖, ? ) | п.п. по Бору решение системы уравнений (5.10) и, следовательно, п.п. по Бору
функция
x? (╖, ? ) = x
b(╖) ? z? (╖, ? )
(5.13)
будет п.п. по Бору решением системы (5.5). ?ри этом, поскольку
при кадом ? ? A, ?0 ? ? и любом ? ? ,
то (см. (5.13)) orb(x? (╖, ? )) ? K, где K =. orb(x) + O? [0?. В [17?
е показано, что lim (sup kz? (╖, ? )kC ) = 0.
??A ??
Теперь в силу (5.13) для доказательства теоремы 5.2 достаточно показать, что отобраение (t, ? ) 7? z? (t, ? ) принадлеит
пространству B (R╫ , Rn) . С этой целью для любых ?1 , ?2 ? ,
удовлетворяющих неравенству ?(?1 , ?2 ) < ?, полагаем
kz? (╖, ? )kC 6 ? < r
z? (t, ?1 , ?2 ) =. z? (t, ?1 ) ? z? (t, ?2 ),
t ? R.
Тогда при всех t ? R, учитывая определение оператора F? [╖, ? ?,
неравенства (3.2) (см. таке (3.3)) и обозначения (5.7), (5.9), имеем следующие соотношения:
(5.12)
|z? (t, ?1 , ?2 )| 6 |F? [z? (╖, ?1 ), ?1 ?(t) ? F? [z? (╖, ?2 ), ?1 ?(t)|+
+|F? [z? (╖, ?2 ), ?1 ?(t) ? F? [z? (╖, ?2 ), ?2 ?(t)|
+2
Z
R
(5.11) 2
<
5
kz? (╖, ?1 , ?2 )kC +
|G (t, s)| ╖ |h╡? (s, ?1 ) ? ╡? (s, ?2 ), f (s, x? (s, ?2 ), vb(s), u)i|ds+
74
+
Z
R
|G (t, s)| ╖ |h╡? (s, ?1 ) ? ╡? (s, ?2 ), f (s, x? (s, ?2 ), v? (s, ?1 ), u)i|ds+
Z
+ |G (t, s)| ╖ |h╡? (s, ?1 ), f (s, x? (s, ?2 ), v? (s, ?1 ), u)?
R
?f (s, x? (s, ?2 ), v? (s, ?2 ), u)i|ds 6
6
где
2
kz? (╖, ?1 , ?2 )kC + 4dkm? [╡? , ? + I? (t, ?1 , ?2 ),
5
.
I? (t, ?1 , ?2 ) =
Z
|G (t, s)| ╖ |h╡? (s, ?1 ), f (s, x? (s, ?2 ), v? (s, ?1 ), u) ?
R
? f (s, x? (s, ?2 ), v? (s, ?2 ), u)i|ds.
?окаем, что
lim I(? ) = 0,
??0
(5.14)
где I(? ) =. sup{kI? (╖, ?1 , ?2 ), ?1 , ?1 ? kC , ?(?1 , ?2 ) < ?}. С этой
целью при кадом t ? R и ? > 0 обозначим
.
w?(1) (t) =
supremum
(x,vk ,u)?Kr ╫V ╫U,
k=1,2, |v1 ?v2 |6?
|f (t, x, v1 , u) ? f (t, x, v2 , u)|.
(5.15)
?оскольку f ? S (R, C (Kr ╫ V ╫ U, Rn )), то по лемме 1.3 из [1?
для заданного
? > 0 найдется такое ? > 0 , что (см. обозначение
R t+1 (1)
(5.9)) sup t w? (s)ds < ?/(2k). Далее, т.к. v? ? S (R ╫ , V ),
t?R
то по определению 1.1 из [1? lim v? [v? , ? = 0, где
??0
.
v? [v? , ? =
sup (sup
1 2 ( 1 2)
? ,? ? ,
? ? ,? <?
t?R
Z t+1
t
|v? (s, ?1 ) ? v? (s, ?2 )|ds.
(5.16)
Следовательно, найдется такое ?? > 0, что при всех ? ? (0, ?? )
будет выполнено неравенство v? [v? , ? < ??/(4d). ?олагая
.
T? (t, ?1 , ?2 ) = {s ? [t, t + 1?: kv? (╖, ?1 ) ? v? (╖, ?2 )kC > ?},
75
при всех ?1 , ?1 ? , удовлетворяющих неравенству ?(?1 , ?2 ) < ?,
получаем следующие соотношения:
|I? (t, ?1 , ?2 )| 6
?
X
i=0
??1 i
{r1 e
Z
(
|h3 (s; ?, ?, z (s))|ds +
T? (t?i,?1 ,?2 )
Z
+2d mes T? (t ? i, ?1 , ?2 )) + r2 e??2 i (
|h3 (s; ?, ?, z (s))|ds +
T? (t+i,?1 ,?2 )
+2d mes T? (t + i, ?1 , ?2 ))} 6
+
2d
?
2
? X
X
i=0 k =1
d(v? (╖, ?1 ), v? (╖, ?2 )) < ?/2 +
rk e??k i
2kd
?
sup
t?R
Z t+1
t
(2) (s)ds +
w?
v? [v? , ? < ?/2 + ?/2 = ?.
Тем самым равенство (5.14) доказано, и т.к. для любых ?1 , ?2 из
, удовлетворяющих неравенству ?(?1 , ?2 ) < ?
3
(4dkm? [v? , ? + I? ),
5
то из равенств (5.8) и (5.14) получаем, что
kz? (╖, ?1 , ?2 )kC <
lim(sup{kz? (╖, ?1 ) ? z (╖, ?2 )kC , ?1 , ?1 ? , ?(?1 , ?2 ) < ?}) = 0.
??0
Следовательно, п.п. по t ? R в смысле Бора при кадом ? из
компакта отобраение (t, ? ) 7? z? (t, ? ) является равномерно
непрерывным по ? относительно t ? R , а это означает [2?, что
z? ? B (R ╫ , Rn ) .
2. В этом пункте приведем ряд утвердений, дополняющих
результаты п. 2 из [1?, которые будут использованы в следующем
пункте.
Л е м м а 5.1.
(X, ?) | компактное метрическое
пространство и функция u ? S (R, C (X, U)). Тогда для кадого
c ? C (R, U) отобраение (t, x) 7? c(u(t, x)) принадлеит пространству S (R, C (X, R)).
?усть
76
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для кадого t ? R по теореме
о максимуме [19. C. 27? найдется такое измеримое отобраение
x : [t, t + 1? ? X, что для п.в. s ? [t, t + 1? будет выполнено
равенство
max |c(u(s + ?, x)) ? c(u(s, x))| = |c(u(s + ?, x(s))) ? c(u(s, x(s)))|.
x?X
?оэтому из соотношений
Z t+1
t
=
max |c(u(s + ?, x)) ? c(u(s, x))|ds =
Z t+1
x?X
|c(u(s + ?, x(s))) ? c(u(s, x(s)))|ds 6
Z t+1
2
6 kckC (U,R) sup
max |u(s + ?, x) ? u(s, x)|ds + ?? [c, U?,
x?X
?
t?R t
t
где ?? [c, U? | ? {колебание на U функции c ? C (R, U), выполненых для любого ? > 0, и условия u ? S (R, C (X, U)) получаем
утвердение леммы 5.1 .
О п р е д е л е н и е 5.1. ?усть (X, ?) | компактное
метрическое пространство. Отобраение (t, x) 7? ╡(t, x) ? rpm(U)
принадлеит пространству S (R, C (X, rpm(U))), если для кадой
функции c ? C (R, U) отобраение
.
(t, x) 7? h╡(t, x), c(u)i =
Z
U
c(u)╡(t, x)(du)
принадлеит S (R, C (X, R)).
Непосредственно из определения 5.1, леммы 2.3 и следствия
1.1 из [1? получаем, что S (R, C (X, rpm(U))) ? S (R ╫ X, rpm(U)),
а из леммы 5.1 вытекает
Л е м м а 5.2.
Функция
u ? S (R, C (X, U)) в том и толь(t, x) 7? ?u(t,x) принадле-
ко в том случае, если отобраение
ит
S (R, C (X, rpm(U))) и их модули совпадают.
77
Т е о р е м а 5.3.
(X, ?)
?усть
ческое пространство и функция
кадого
╡ ? S R, C (X, rpm(U)
| компактное метри-
g ? S (R, C (U, R)). Тогда для
отобраение
(t, x) 7? f (t, x) =. h╡(t, x), g(t, u)i,
где
h╡(t, x), g(t, u)i
=
принадлеит пространству
ится в
Mod((╡) ? (g)).
Z
U
g(t, u)╡(t, x)(du)
S (R, C (X, R)) и его модуль содер
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как g ? S R, C (U, R) , то
по лемме 1.3 [1.C.
R t+119? для заданного ? > 0 найдется такое
? > 0, что sup t ?? [g(s, ╖), U?ds < 3? . Далее, как и при доt?R
казательстве теоремы 2.2 [1.C. 47?, U1 . . . Up | открытое покрытие компакта U такое, что diam Uj 6 ?, j = 1 . . . p, и через
{?j }pj=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому
T покрытию. Для кадого j = 1 . . . p фиксируем точку
uj ? U Uj , в которой ?j (uj ) > 0, и рассмотрим семейство отобраений t 7? ?j (t, x) =. h╡(t, x), ?j (u)i ? [0, 1?, t ? R, x ? X. ?оскольку ╡ ? S R, C (X, rpm(U) , то (см. определение 5.1) при каp
P
?j (t, x) = 1,
дом j = 1 . . . p ?j ? S (R, C (X, R)). Кроме того,
(t, x) ? R ╫ X.
Рассмотрим, далее, семейство отобраений
p
. X
t 7? (t, x) =
принадлеащее
.
I (? ) = sup
t?R
Z t+1
t
AP M1 ,
j =1
j =1
?j (t, x)?uj ? rpm(U), x ? X,
и для
? ?R
полагаем
max |h(s + ?, x), g(s + ?, u)i ? h(s, x), g(s, u)i| ds.
x?X
78
Сейчас для заданного ? > 0 при кадом j = 1 . . . p для g(╖, uj ),
принадлеащего пространству S (R, R), рассмотрим такую функцию gj ? S (R, R), что (здесь см.[7.С. 231?) ess sup |gj (t)| =. kj < ?
t?R
и d(g(╖, uj ), gj (╖)) < ?/18p. ?олагаем, далее, max kj =. k. Теперь
16j6p
при всех (?, x) ? R ╫ X имеем следующие соотношения:
I (? ) 6 sup
t?R
+ sup
t?R
62
Z t+1 X
p
j =1
t
Z t+1 X
p
j =1
t
p
X
j =1
max |?j (s + ?, x) ? ?j (s, x)| ╖ |g(s, uj )|ds +
x?X
max ?j (s + ?, x)|g(s + ?, uj ) ? g(s, uj )|ds 6
x?X
d(g(╖, uj ), gj (╖)) + sup
t?R
??j (s, x)| ╖ |gj(s)|ds + sup
t?R
+k
p
X
j =1
Z t+1
t
Z t+1 X
p
j =1
t
max |?j (s + ?, x) ?
x?X
?
max |g(s + ?, u) ? g(s, u)|ds < +
u?U
9
max |?j (s + ?, x) ? ?j (s, x)|ds +
x?X
Z t+1
+sup
max |g(s + ?, u) ?g(s, u)|ds,
t?R t u?U
из которых получаем неравенство I (? ) 6 ?/3 для всякого
принадлеащего относительно плотному мноеству
E
=.
\
ES (g(╖, u), y)
u?U
где
.
y = min{?/9, ?/9kp}.
Z t+1
sup
6 2 sup
t?R
p
\ \ \
x?X j =1
Сейчас, если
ES ?j (╖, x), y) ,
? ? E,
то при всех
x?X
max |f? (s + ?, x) ? f (s, x)|ds 6
x?X
t?R
t
Z t+1
max |h╡(s, x) ? (s, x), g(s, u)i|ds + I (? ) 6
t
x?X
79
?,
6 2 sup
Z t+1
6 2 sup
Z t+1 X
p Z
t?R
t?R
t
t
max |h╡(s, x), g(s, u)i ?
x?X
j =1
p
X
j =1
?j (s, x)g(s, uj )|ds +
3
6
?
?j (u)|g(s, u) ? g(s, uj )|╡(s, x)(du) ds + 6
3
u?U
6 2 sup
t?R
?
Z t+1
t
?? [g(s, ╖), U?ds +
?
3
< ?,
т. е. f ? S (R, C (X, R)).
Из теоремы 5.3 в силу леммы 5.1 вытекает
С л е д с т в и е 5.1.
?усть
(X, ?)
| компактное ме-
g ? S (R, C (U, R)). Тогда
(t, x) 7? g(t, u(t, x))
принадлеит пространству S (R, C (X, R)) и ее модуль содерится в Mod((u) ? (g )).
трическое пространство и функция
для кадого
u ? S R, C (X, U
отобраение
3. В этом пункте (
, ?) | компактное метрическое пространство, функция f : R ╫ G ╫ V ╫ U, V ? omp(Rk ) удовлетворяет условию 1), приведенному в первом пункте, и при заданных
╡ ? S (R╫ , rpm(U)) и v ? S (R, C (
, V )) рассмотрим п.п. по Степанову (здесь см. теорему 2.2 [1. C. 46? и следствие 5.1) систему
дифференциальных уравнений
x_ = h╡(t, ? ), f (t, x, v (t, ? ), u)i, (t, x) ? R ╫ G,
(5.17)
где
h╡(t, ? ), f (t, x, v (t, ? ), u)i
.
=
Z
U
f (t, x, v (t, ? ), u)╡(t, ? )(du),
Для системы (5.17) пару (x(╖, ? )), ╡(╖, ? )) ? B (R, G) ╫ APM1 , где
? ? , называем допустимой, если x(╖, ? ) | решение этой системы уравнений, отвечающее ╡(╖, ? ) и такое, что orb(x(╖, ? )) ? G .
В дальнейшем предполагаем, что выполнены условия:
80
а) для любого ? ? пара (x(╖, ? ), ╡(╖, ? )) ? B (R, G) ╫ APM1
является допустимой для системы (5.17), при этом отобраение
(t, ? ) 7? x(t, ? ) принадлеит пространству B (R ╫ , G) , и существует такое мноество K ? omp(G) , что для всех ? ? orb(x(╖, ? )) содерится в K;
б) при кадом ? ? система уравнений в вариациях
y_
= h╡(t, ? ), fx? (t, x(t, ? ), u)iy, (t, y ) ? R ╫ Rn
допускает э.д., причем существуют такие полоительные константы rj , ?j , j = 1, 2, не зависящие от ? ? , что для функции Грина G (t, s; ? ) = ?(??,t) (s)P1 (t, s; ? ) ? ?(t,?) (s)P2 (t, s; ? ),
t, s ? R , этой системы справедливы оценки (4.4) .
Т е о р е м а 5.4. ?усть для системы (5.17) выполнены условия а), б) и {uj }?
j =1 | последовательность функций
из S (R ╫ , U) , указанная в теореме 3.1 [1? , аппроксимирующая отобраение ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)). Тогда найдутся такое
мноество K ? omp(G) и j0 ? N , что при кадом j > j0 и
всяком ? ? система уравнений
x_ = f (t, x, v (t, ? ), uj (t, ? )),
имеет такое п.п. по Бору решение
xj (╖, ? ) , что
(5.18)
orb(xj (╖, ? )) ? K
и
lim (sup kx(╖, ? ) ? xj (╖, ? )kC (R,Rn ) = 0.
j?? ??
(5.19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как K ? omp(G), то найдется такое r > 0, что компакт Kr =. K + Or [0? одерится в
.
G и в дальнейшем считаем d = d(Kr ) (см. (5.1) при K = Kr ).
?оскольку uj ? S (R ╫ , U) , то по лемме 2.6 [1. C. 50? отобраение (t, ? ) 7? ?uj (t,?) =. ╡j (t, ? ) принадлеит S (R ╫ , rpm(U))
и систему (5.18) моно записать в следующем, эквивалентном,
виде
x_ = h╡j (t, ? ), f (t, x, v (t, ? ), u)i.
81
(5.20)
Система (5.20) относительно переменной z = x(t, ? ) ?x запишется в виде
z_
= A(t, ? )z + a(t, ?, z ) + bj (t, ?, z ), (t, z ) ? R ╫ Rn ,
(5.21)
где
.
A(t, ? ) = h╡(t, ? ), fx? (t, x(t, ? ), v (t, ? ), u)i,
.
a(t, ?, z ) = h╡(t, ? ), f (t, x(t, ? ), v (t, ? ), u) ?
?f (t, x(t, ? ) ? z, v (t, ? ), u)i ? A(t, ? )z,
.
bj (t, ?, z ) = h?j (t, ? ), f (t, x(t, ? ) ? z, v (t, ? ), u)i,
.
?j (t, ? ) = ╡(t, ? ) ? ?uj (t, ? ).
Далее, для кадой пары (j, ?) ? N ╫ рассмотрим оператор Fj [╖, ? ? : B (R, Or [0?) ? B (R, Rn) , определенный для кадой
функции z ? B (R, Or [0?) и всякого t ? R равенством
.
Fj [z (╖), ? ?(t) =
Z
G (t, s; ? )[bj (s, ?, z (s)) + a(s, ?, z (s))?ds.
R
В силу следствия 5.1 и ограничений, налоенных на
ем, что отобраения
f,
(t, ?, u) 7? g1 (t, ?, u) =. f (t, x(t, ? ), v(t, ? ), u),
(t, ?, u) 7? g2 (t, ?, u) =. fx? (t, x(t, ? ), v(t, ? ), u),
(5.22)
получа(5.23)
(5.24)
принадлеат соответственно пространствам S (R, C (
╫U, Rn)) и
S (R, C (
╫U, Hom(Rn ))). ?оэтому по теореме 2.2 [1? отобраение
(t, ? ) 7? A(t, ? ) принадлеит пространству S (R ╫ , Hom(Rn )))
и т.к. при п.в. t ? R и кадом ? ? |A(t, ? )| 6 d, то (см. (5.23)
и следствие 4.4 при g = g1 ) будет выполнено равенство
lim ( sup
j?? (t,? )?R╫
|
Z
R
G (t, s; ? )h?j (s, ? ), g1 (s, ?, u))ids|)
= 0.
(5.25)
Кроме того, если для (j, ?) ? N ╫ ввести в рассмотрение
оператор Jj [╖, ? ? : B (R, Or [0?) ? B (R, Rn ) , определенный для
82
кадой функции
(5.24))
Jj [z (╖), ? ?(t)
.
=
z ? B (R, Or [0?)
Z
R
равенством (см. обозначение
G (t, s)h?j (s, ? ), g2 (s, ?, u))iz (s)ds, t ? R,
то (см. теорему 4.1 при g = g2 ) будет справедлива
Л е м м а 5.3. Для любого ? > 0 найдется
такое на-
j0 , что для всех j > j0 , и кадой функции
z ? B (R, Or [0?) выполнено неравенство
туральное число
sup
(t,?)?R╫
|Jj [z (╖), ? ?(t)| 6 ?
~r
~r
2d( 1 + 2 ) + kzkC .
?
~1 ?~2
Теперь, используя равенство (5.26) и лемму 5.3, в точности
следуя доказательству теоремы 2.1 работы [19?, получим, что
найдутся j0 ? N, константы ? > 0 и q ? (0, 1), такие, что
для любых z1 , z2 ? B (R, O? [0?) и всех j > j0 для оператора
Fj [z1 (╖), ? ?, заданного равенством (5.22), будут выполнены неравенство
sup
(t,?)?R╫
|Fj [z1 (╖), ? ?(t) ? Fj [z2 (╖), ? ?(t)| 6 qkz1 ? z2 kC ,
(5.26)
и включение Fj [B (R, O? [0?), ? ? ? B (R, O? [0?) (? ? ).
?оэтому по теореме о симающем отобраении [11? при кадом j > j0 и всяком ? ? оператор Fj [╖, ?, ?? имеет на
замкнутом подмноестве B (R, O? [0?) банахового пространства
B (R, Rn ) (единственную) неподвиную точку, т.е. для кадого
j > j0 и любого ? ? существует (единственная) функция
zj (╖, ? ) ? B (R, O? [0?) такая, что при всех t ? R
zj (t, ? ) =
Z
G (t, s)[a(s, ?, zj (s, ? )) + bj (s, ?, zj (s, ? ))?ds.
R
(5.27)
?олученное равенство означает, что zj (╖, ? ) | п.п. по Бору решение системы уравнений (5.21), но тогда функция
xj (╖, ? ) = x(╖, ? ) ? zj (╖, ? ),
83
(5.28)
будет п.п. по Бору решением системы (5.20), или, что то е самое,
системы (5.18), и т.к. kzj (╖, ? )kC 6 ? < r при кадом j ? N,
.
j > j0 и любом ? ? , то orb(xj (╖, ? )) ? K = K + O? [0? ? G . Тем
самым первое утвердение теоремы 5.3 доказано.
Теперь, как и в [18?, воспользовавшись равенствами (5.27),
(5.28), леммой 5.3 и неравенством (5.26), получим, что при всех
j > j0 будет выполнено неравенство
sup kzj (╖, ? )kC
??
6 (1 ? 4q )
sup
(t,?)?R╫
|Ij (t, ? )|,
R
где (см. (5.23)) Ij (t, ? ) =. R G (t, s; ? )h?j (s, ?), g1 (s, ?, u)ids. Откуда в силу (5.25) получаем равенство (5.19).
Т е о р е м а 5.5. ?усть в теореме 5.4 заданное отобраение ╡ ? S (R ╫ , rpm(U)) такое, что lim m? [╡, ? = 0. То??0
гда при кадом j > j0 , где j0 ? N взято из теоремы 5.4 , отобраение (t, ? ) 7? xj (t, ? ) ( xj (╖, ? ) | решение системы (5.18))
принадлеит пространству B (R ╫ , Rn ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу доказанного в предыдущей теореме для кадого j > j0 и всех ? ? решение xj (╖, ? )
системы (5.18) удовлетворяет равенству (5.28), где функция
zj (╖, ? ) ? B (R, O? [0?) и является решением системы уравнений (5.21), а т.к. решение x(╖, ? ) системы (5.19) принадлеит
B (R ╫ , Rn ) , то для доказательства теоремы 5.5 достаточно показать, что zj ? B (R ╫ , Rn) .
Введем обозначения:
q?
=.
.
?(?1 , ?1 ) = kx(╖, ?1 ) ? x(╖, ?2 )kC ,
Z
supremum
|G (t, s; ?1 ) ? G (t, s; ?2 )|ds.
(t,?l )?R╫
, l=1,2
?(?1 ,?2 )6?
R
Фиксируем далее произвольные число j > j0 и точки ?1 , ?2 ,
принадлеащие , такие, что ?(?1 , ?2 ) 6 ?. Тогда, учитывая,
84
что zj (╖, ?l ), l = 1, 2 при всех t ? R удовлетворяют равенству (5.27) и orb(zj (╖, ? )) ? O? [0? (? ? ) получаем (здесь см.
обозначение (5.22)), при указанных j и ?1 , ?2 ? следующие
соотношения:
?
?
|zj (t, ?1 ) ? zj (t, ?2 )| 6
?
?
?
?
?
6 |Fj [zj (╖, ?1 ), ?1 ?(t) ? Fj [zj (╖, ?2 ), ?1 ?(t)|+
?
?
(??)
+|Fj [zj (╖, ?2 ), ?1 ?(t) ? Fj [zj (╖, ?2 ), ?1 ?(t)| 6
?
?
?
?
6 qkzj (╖, ?1 ) ? zj (╖, ?2 )kC + d(2 + 4? )q? +
?
?
?
? (1)
+Ij (t, ?1 , ?2 ) + Ij(2) (t, ?1 , ?2 ),
где
.
(1)
Ij (t, ?1 , ?2 ) =
(2) (t, ? , ? ) =.
1 2
Ij
Z
Z
R
(5.29)
|G (t, s; ?2 )| ╖ |bj (s, ?1 , zj (s, ?2 )) ?
? bj (s, ?2 , zj (s, ?2 ))|ds,
R
|G (t, s; ?2 )| ╖ |a(s, ?1 , zj (s, ?2 )) ?
? a(s, ?2 , zj (s, ?2 ))|ds.
Далее, определим w?(2) (t), t ? R аналогично w?(1) (t) (см. (5.15)
при f = fx? . Тогда при всех t ? R имеем следующие соотношения:
|bj (t, ?1 , zj (t, ?2 )) ? bj (t, ?2 , zj (t, ?2 ))| 6
(1)
6 d|?j (t, ?1 ) ? ?j (t, ?2 )|(U) + 2w?(?1 ,?1 ) (t),
|a(t, ?1 , zj (s, ?2 )) ? a(t, ?2 , zj (s, ?2 ))| 6
6 |h╡(t, ?1 ), f (t, x(t, ?1 ), u) ? f (t, x(t, ?2 ), u)i|+
+|h╡(t, ?1 ), f (t, x(t, ?2 ) ? zj (t, ?2 ), u) ? f (t, x(t, ?1 ) ? zj (t, ?2 ), u)i|+
+|A(t, ?2 ) ? A(t, ?1 )| ╖ |zj (t, ?2 )|+
85
+|h╡(t, ?1 ) ? ╡(t, ?2 ), f (t, x(t, ?2 ), u)i|+
+|h╡(t, ?1 ) ? ╡(t, ?2 ), f (t, x(t, ?2 ) ? zj (t, ?2 ), u)i| 6
(1)
(2)
6 2w?(?1 ,?1 ) (t) + 2d(? + 1)|╡(t, ?1 ) ? ╡(t, ?2 )|(U) + ?w?(?1 ,?1 ) (t).
?оэтому (см. обозначение в (5.9) при
rj
= ~rj и
?j
= ?~j )
(1) (t, ? , ? ) + I (2) (t, ? , ? ) (46.4)
1 2
1 2
j
Z t+1
(1)
w?(?1 ,? ) (s)ds +
6 kd m? [?j , ? + 3k sup
(1)
t?R t
Z t+1
(2)
w?(?1 ,?1 ) (s)ds.
+2dk(? + 1)m? [╡, ? + ?k sup
t?R
Ij
t
Теперь, если ~k =. max(kd, 3k, 2dk(? + 1), ?k), из полученного неравенства и (5.29) вытекает, что
?
?
(1 ? q )kzj (╖, ?1 ) ? zj (╖, ?2 )kC 6 d(2 + 4? )q? +
?
?
+~k m? [?j , ? + m? [╡, ?+
R
?
(1)
?
?+ sup t+1 (w
(s) + w(2)
(s))ds .
t?R
?(?1 ,?1 )
t
(5.30)
?(?1 ,?1 )
Так как f ? S (R, C (Kr ╫ U, Rn )), fx? ? S (R, C (Kr ╫ U, Hom(Rn )) ,
а x ? B (R ╫ , Rn ) , то по лемме 1.1 [1?
lim(
??0
sup
1 1 ( 1 1)
? ,? ?
? ? ,? 6?
(sup
t?R
Z t+1
t
(2)
(w?(1)
(?1 ,?1 ) (s) + w?(?1 ,?1 ) (s))ds)) = 0. (5.31)
Далее, поскольку ?j (╖, ? ) =. ╡(╖, ? ) ??uj (╖,?) , то, в силу второго
утвердения теоремы 3.1 [1? и равенства lim m? [╡, ? = 0, полу??0
чаем, что при кадом j ? N имеет место следующее предельное
равенство:
lim m? [?j , ? = 0.
??0
86
(5.32)
Сейчас покаем, что
lim q? = 0.
(5.33)
??0
Для этого докаем сначала (здесь см. обозначение (5.16)),
что если ?1 , ?1 ? такие, что ?
(?1 , ?1 ) 6 ? , то для любых
точек t, s ? R
|G (t, s; ?1 ) ? G (t, s; ?2 )| 6 ?v? [A, ?e??~ |t?s| , ?
=.
2r~2
1 ? e2~?
,
(5.34)
где ~r =. max(r~1 r~2 ), а ?~ =. min(?~1 ?~2 ). Действительно, обозначив
.
A(╖; ?1 , ?2 ) = A(╖, ?1 ) ? A(╖, ?2 ) , при t 6 s имеем
Z
(4.4)
t
??
6 r~2
?
X
6 r~2
i=0
|G (t, ? ; ?1 )A(? ; ?1 , ?2 )G (?, s; ?2 )|d? 6
? Z
X
t?i
t?i?1
i=0
e??~ (t+s)
Z?
Z
e??~ |t??| ╖ |A(? ; ?1 , ?2 )| ╖ e??~ |??s| d? 6
t?i
t?i?1
e?2~?? |A(? ; ?1 , ?2 )|d? 6 ?v? [A, ?e?~ (t?s) ,
(4.4)
|G (t, ? ; ?1 )A(? ; ?1 , ?2 )G (t, ? ; ?2 )|d? 6
t
6 r~2
6 r~2
?
X
i=0
? Z t+i+1
X
i=0
t+i
??
~ (t+s)
e
Z s+i+1
s+i
Таким образом, если
Z
R
e??~ |t??| ╖ |A(? ; ?1 , ?2 )| ╖ e??~ |??s|d? 6
e?2~?? |A(? ; ?1 , ?2 )|d? 6 ?v? [A, ?e?~ (t?s) .
?? < t 6 s < ? ,
то
|G (t, ? ; ?1 )A(? ; ?1 , ?2 )G (?, s; ?2 )|d? 6 ?v? [A, ?e?~ (t?s) .
87
Аналогично показываем, что при
неравенство
Z
R
?? < s 6 t < ?
справедливо
|G (t, ? ; ?1 )A(? ; ?1 , ?2 )G (?, s; ?2 )|d? 6 ?v? [A, ?e?~ (s?t) .
Из последних двух неравенств и равенства (см. [20. C. 40?)
G (t, s; ?1 ) ? G (t, s; ?2 ) =
=
Z
R
G (t, ? ; ?1 )A(? ; ?1 , ?2 )G (?, s; ?2 )|d?,
справедливого для всех t, s ? R, вытекает неравенство (5.33).
Далее, т.к. (см. обозначение (5.23))
v? [A, ? 6 dm? [╡, ? + sup
t?R
Z t+1
t
w? [g1 (s, ╖, ╖), ╫ U?ds,
где w? [g1 (s, ╖, ╖), ╫ U? | ? -колебание на ╫ U непрерывной функции (?, u) 7? g1 (s, ?, u), а по условию теоремы 5.5
lim m? [╡, ? = 0 и по лемме 1.1 [1?
??0
lim sup
??0 t?R
Z t+1
t
w? [g1 (s, ╖, ╖), ╫ U?ds = 0,
то из последнего неравенства вытекает, что lim v? [A, ? = 0. От??0
куда, в свою очередь, в силу (5.34) получаем (5.33).
Наконец, из (5.30) { (5.33) получаем, что
lim(
??0
sup
1 1 ( 1 1)
? ,? ?
? ? ,? 6?
kzj (╖, ?1 ) ? zj (╖, ?2 )kC ) = 0,
а это и означает [2?, что отобраение (t, ? ) 7? zj (t, ? ) принадлеит пространству B (R ╫ , Rn).
88
4. В этом пункте, используя результаты предыдущего пункта и четвертого раздела работы [1?, приведем ряд утвердений о свойствах нелинейных систем управления, которые непосредственно используются в задачах, связанных с оптимальным
управлением п.п. двиениями.
Для заданной пары (vb(╖), ╡b(╖)) ? S ╫ APM1 , где S | заданное мноество в (B (R, Rk ), k ╖ kC ), определим п.п. вариации. С
этой целью сначала укаем необходимые свойства касательного
конуса Кларка Tvb(╖) S ? B (R, Rk ) в точке vb(╖) ? S. Для этого
введем в рассмотрение симплекс
k+m =. {~? = (?q)qk+=1m :
?q > 0, q = 1, . . . , k + m,
kX
+m
q=1
?q = 1} ? Rk+m,
и с фиксированными точками y~1 . . .~yk+m ? [0, ?? и заданными векторами h1 (╖). . .hk+m(╖) ? Tvb(╖) S свяем два отобраения
.
~? 7? g(~?) =
(?q~yq)qk+=1m ? k+m, ~? ? k+m,
k+m
. X
~ k+m =. g(k+m).
~y 7? h(╖,~y) =
?q~yqhq(╖), ~y ? q=1
(5.35)
(5.36)
?олагаем таке
V
=. orb(vb) + O? [0?,
Л е м м а 5.4.
k+m
. X
~yqkhq(╖)kC
?=
q=1
+ 1.
(5.37)
h1 (╖), . . . , hk+m(╖) ? Tvb(╖) S и
(0, ?), lim ?p =0. Тогда найдут-
?усть заданы
последовательность {?p }?
p=1 ?
ся последовательность
{vp (╖)}?
p=1 ? S,
совокупность функций
p??
lim
p??
kvp (╖) ? b
v (╖)kC = 0 и
k
~ k+m}?
{hp (╖, ?p ,~y), p ? N,~y ? p=1 ? B (R, R )
89
такие, что
(см. (5.37))
lim ( sup
p??
~ k +m
~y?
kh(╖, ?p ,~y) ? h(╖,~y)kC ) = 0,
.
~ k+m.
w(╖, ?p ,~y) = vp (╖) + ?p h(╖, ?p ,~y) ? S, (p,~y) ? N ╫ (5.38)
(5.39)
Кроме того,
lim ( sup
p??
~ k +m
~y?
k?p?1 (w(╖, ?p ,~y) ? vb(╖)) ? h(╖,~y)kC ) = 0.
lim( supremum
??0
(p,~?l )?N╫k +m
l=1,2,|~
?1 ?~
?2 |6?
kh(╖, ?p , g(~?1 )) ? h(╖, ?p , g(~?2 ))kC ) = 0.
(5.40)
(5.41)
Доказательство леммы 5.4 моно получить, если воспользоваться схемами доказательств леммы 2.3 и соответствующих
утвердений о свойствах конуса Tvb(╖) S, приведенных при доказательстве теоремы 2.2, и мы его опускаем.
Далее (см. обозначения четвертого раздела в [1?) для фиксированного ~? = (?q)qk+=1m ? V k+m, такого, что ? (~? ) > 0 рассмотрим отобраение t 7? ╡(t; ?,~y ~? ) ? rpm(U), заданное равенством
(4.18) в [1?, в котором (?,~y ) ? X =. [0, ?(?,~? )? ╫ k+m.
В дальнейшем набор (~?, ~h(╖), {?p }?
? ? V k+m
p=1 ), в котором ~
.
+m, h (╖) ? T S, и последотакое, что ? (~? ) > 0, ~h(╖) = (hl(╖))lk=1
l
v
b(╖)
?
lim ?p = 0 называем допустивательность {?p }p=1 ? (0, ?(?,~?)?, p??
мым.
О п р е д е л е н и е 5.2. Совокупность последователь~ k+m, в коy?
ностей {(w(╖, ?p ,~y), ╡(╖; ?p~y ~?))}?
p=1 ? S ╫ APM1 , ~
торых w(╖, ?p ,~y), принадлеащее мноеству S, определено в
лемме 5.4 равенством (5.39), отобраение ╡(╖; ?p~y ~?) ? APM1 |
равенством (4.18) в [1? при ? = ?p , называется последовательностью п.п. вариаций для (vb(╖), ╡b(╖)) ? S ╫ APM1 , отвечающей
заданному допустимому набору (~?, ~h(╖), {?p }?
p=1 ).
Рассмотрим систему
x_ = h╡(t), f (t, x, v (t), u)i, (t, x) ? R ╫ G,
90
(5.42)
в которой управлениями слуат пары (v(╖), ╡(╖)) ? S ╫ APM1 ,
функция f : R ╫ G ╫ Rk ╫ U ? Rn при кадом V ? omp(G)
удовлетворяет условию 1), указанному в начале настоящего раздела.
Для п.п. по Степанову системы (5.42) (см. лемму 5.2 в [1?) набор (x(╖), v(╖), ╡(╖)) ? B (R, G) ╫S╫ APM1 называем допустимым,
если x(╖) | решение этой системы, отвечающее паре (vb(╖), ╡b(╖)),
такое, что orb(xb(╖)) ? G . Совокупность допустимых наборов этой
системы обозначим Dc .
?окаем, что кадому набору (xb(╖), vb(╖), ╡b(╖) ? Dc при условии, что отвечающая этому набору система (5.3) допускает экспоненциальную дихотомию, моно поставить в соответствие определенную последовательность допустимых наборов | п.п. вариаций этого набора. С этой целью рассмотрим последовательность {(w(╖, ?p ,~y), ╡(╖; ?p ,~y ~?))}?
p=1 ? S ╫ APM1 (см. определение 5.2) п.п. вариаций для (vb(╖), ╡b(╖)) ? S ╫ APM1 , отвечающую допустимому набору (~?, ~h(╖), {?p }?
p=1 ). ?о следствию 4.1
[1. C.79? отобраение (t, ?,~y) 7? ╡(t; ?,~y ~?), заданное равенством
(4.18) [1. C.74? принадлеит (см. [1. C.38?) мноеству функций
.
~ k+m | компактное отS (R ╫ X, rpm(U)) , где X = [0, ?(?,~?)? ╫ носительно метрики ?X((?1 ,~y1 ), (?2 ,~y2 )) =. |?1 ? ?2 | + |~y1 ? ~y2 |,
(?k ,~yk ) ? X, k = 1, 2 пространство. ?оэтому [1? мноество
{╡(╖; ?,~y ~?), (?,~y) ? X} ? APM1 и равностепенно п.п. Далее, т.к.
d(w(╖, ?p ,~y), vb(╖)) 6 kw(╖, ?p ,~y) ?b
v (╖)kC , то (см. теорему 4.1 [1. C.75?
и лемму 5.4)
lim ( sup
p??
~ k +m
~y?
d(w(╖, ?p ,~y), vb(╖)) +
sup
~ k +m
~y?
k╡(╖; ?p ,~y ~?) ? ╡
b(╖)kw ) = 0.
?оэтому в силу теоремы 5.1 найдутся такие pb1 ? N и мноество
~ k+m п. п.
K ? omp(G), что при кадом p > pb1 и любом ~y ? по Степанову система
x_ = h╡(t; ?p ,~y ~?), f (t, x, w(t, ?p ,~y), u)i, (t, x) ? R ╫ G
будет иметь единственное п. п. по Бору решение x(╖; ?p ,~y ~?) такое,
91
что orb(x(╖; ?p ,~y ~?)) ? K и
lim ( sup kbx(╖) ? x(╖; ?p ,~y ~?)kC ) = 0.
p??
~ k +m
~y?
?оскольку при кадом
в [1?)
m?Z
и всяком
?>0
(5.43)
(см. лемму 4.2
N k+m
[[
.
Im (?,~y) = {t ? [ma, (m + 1)a?: ╡
b(t) 6= ╡(t; ?p ,~y ~?)} =
Tm,i,q(?,~y~?),
i=1 q=1
то (см. равенства (4.13){(4.16) в [1?)
sup (sup (mes Im (?,~y))) 6 ??? (~?).
~ k +m m?Z
~y?
(5.44)
Допустим далее, что функция f : R ╫ G ╫ Rk ╫ U ? Rn имеет
таке частную производную по v такую, что fv? принадлеит
S (R, C (K ╫ V ╫ U, Hom(Rk , Rn )), где мноество V задано равенством (5.37). В этом случае, принимая во внимание, что функция
x(╖; ?p ,~y ~? ) =. xb(╖) ? x(╖; ?p ,~y ~?)
(здесь см. доказательство теоремы 5.2) является решением си~ k+m, следуя схеме доказастемы (5.10) при ? =. ?p и ? =. ~y ? тельства теоремы 2.3 работы [17?, используя при этом равенства
(5.38), (5.40) и (5.43), неравенство (5.44) и теорему 4.1 работы [1?,
моно показать, что найдется такое pb2 > pb1 , что
~ k+m} < ?.
sup{?p?1 kx(╖; ?p ,~y ~? )kC ), p > pb2 , ~y ? (5.45)
Следуя схеме доказательства теоремы 2.3 в [17?, принимая
во внимание ограничения, налоенные на функцию f , неравенства (5.45), (5.44), равенство (5.43) и лемму 5.4, моно показать,
что
x(╖; ?p ,~y ~?)
?
lim ( sup k
p??
?
1
?p
Z
~y?k +m
R
?p
G (╖, s)h╡(s; ?p ,~y ~? ), f (s, x
b(s), vb(s), u)ids + y (╖,~y)kC ) = 0,
92
где функция y (╖,~y) ? B (R, Rn ) определена равенством (здесь см.
обозначение в (5.36))
.
y (t,~y) =
Z
R
╡(s), fv? (s, x
b(s), vb(s), u)ih(s,~y) ds.
G (t, s)hb
Далее, в силу неравенства (см. в [1. C. 78; 79?)
sup (mes{t ? [ma, (m + 1)a?: ╡(t; ?? ,~y ? ~? ) 6= ╡(t; ??? ,~y ?? ~? )}) 6
m?Z
N kX
+m
X
6
i=1 q=1
kiq
q
X
l=1
~ l l |,
|??~y?l ? ???~y??l | ╖ |?
k
i
выполненного для любых (?? ,~y? ), (??? ,~y?? ) ? X, получаем, что
lim supremum
??0
(
)(
+
)
Z t+1
(sup
|╡(s; ?? ,~y ? ~? ) ?╡(s; ??? ,~y ?? ~? )|(U)ds) =0.
?? ,~
y ? , ??? ,~
y ?? ?X
|?? ???? | |~
y ? ?~
y ?? |6?
t?R
t
В свою очередь, из последнего предельного соотношения в силу
теоремы 5.2, принимая во-внимание обозначение в (5.36) и равенство (5.41) получаем, что при кадом p > pb1 отобраение
(t, ~?) 7? xp (t, ~?), где xp (t, ~?) =. x(t; ?p , g(~? ) ~? ) принадлеит мноеству B (R ╫ k+m, K).
Таким образом, кадому фиксированному допустимому набору (xb(╖), vb(╖), ╡b(╖) ? B (R, G) ╫ S ╫ APM1 системы (5.42) при
условии, что система (5.3) допускает э.д., отвечает последовательность {(x(╖; ?p ,~y ~?), w(╖; ?p ,~y), ╡(╖; ?p ,~y ~?))}p>bp2 , допустимых
наборов системы (5.42) | п.п. вариаций для (xb(╖), vb(╖), ╡b(╖)),
обладающая указанными выше свойствами.
Отметим, что теорема 1.5, неравенства (5.44), (5.45), равенство (5.43) и лемма 5.4 позволяют доказать еще ряд свойств мноества {(x(╖; ?p ,~y ~?), w(╖; ?p ,~y), ╡(╖; ?p ,~y ~?))}p>bp3 , допустимых наборов системы (5.42), аналогичных свойствам, приведенных в
[21?, которые ввиду громоздкости доказательств здесь опускаем.
Введем при p > pb2 следующие обозначения:
.
.
?p (╖, ~?) = ╡(╖; ?p , g(~?) ~? ), wp (╖, ~?) = w(╖; ?p , g(~?)).
93
Используя теорему 4.1 из [1? и равенство (5.43), неслоно показать, что
lim ( sup
Z t+a
|h?p (s, ~?), fx? (s, xp (s, ~?), wp (s, ~?), u)i ?
(sup
p?? ~
??k +m t?R
t
b(s), vb(s), u)i|ds))
? hb
╡(s), fx? (s, x
= 0.
Откуда (см. теорему 3.1) получаем существование такого pb3 > pb2 ,
что при всех p > pb3 и ? ? k+m п.п. по Степанову система
уравнений
y_
= h?p (t, ~?), fx? (t, xp (t, ~?), wp (t, ~?), u)iy, (t, y ) ? R ╫ Rn
будет э.д., причем существуют такие полоительные числа ~r, ?~ ,
что для функции Грина G (t, s; p, ~?) этой системы при всех t, s
из R и любых p > pb3 , ~? ? k+m будет выполняться неравенство
|G (t, s; p, ~?)| 6 ~re??~ |t?s| . ?оэтому, учитывая принятые обозначения и принимая во внимание указанные выше свойства мноества {(xp (╖, ~?), wp (╖, ~?), ?p (╖, ~?)), p > pb3 , ~? ? k+m} допустимых
наборов системы (5.42), получаем, что для системы
x_ = h?p (t, ~?), f (t, x, wp (t, ~?), u)i, (t, x) ? R ╫ G
выполняются условия а) и б), приведенные для системы (5.17)
при =. k+m . Следовательно, если для ?p ? S (R╫k+m, rpm(U))
(p > pb3 ) рассмотреть (см. теорему 3.1 в [1?) аппроксимирующую
k+m, U), то по теореме
его последовательность {upj }?
j =1 ? S (R ╫ 5.4 найдется такое j1 = j1 (p) ? N, что для п.п. по Степанову
системы
x_ = f (t, x, wp (t, ~?), upj (t, ~?)), (t, x) ? R ╫ G
существует мноество таких допустимых наборов
{(xpj (╖, ~?), wp (t, ~?), upj (╖, ~?)), j > ^j , ~? ? k+m},
94
что
lim ( sup
j?? ~
??k +m
kxp (╖, ~?) ? xpj (╖, ~?)kC ) = 0,
причем для всех ~? ? k+m замыкание орбиты п. п. по Бору отобраения t 7? xp (t, ~?) ? xpj (t, ~?) содерится в Or [0? и компакт
.
Kr = K + Or [0? ? G. Кроме того, по теореме 5.5 отобраение
(t, ?) 7? xpj (t, ~?) принадлеит B (R ╫ k+m, Kr ) .
Список литературы
1. Иванов А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I . // Изв. Ин-та матем. и информ./
УдГУ. Иевск, 2002. Вып. 1. С. 3{100.
2. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1988. 252 с.
3. Энкелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
4. Данилов Л. И. О мерозначных почти периодических функциях
//Вестн. Удм. ун-та. 1993. Вып. 1. С. 51{58.
5. Данилов Л. И., Иванов А. Г. К теореме о поточечном максимуме
в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. 1994,
Є 6. С. 50{59.
6. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и
функциональными уравнениями. М. : Наука, 1977. 623 с.
7. Левитан Б. М. ?очти-периодические функции. М. : Гостехиздат,
1953. 396 с.
8. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970.
534 с.
9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988.
256 с.
10. Fink A. M. Almost periodi dierential equation // Let. Notes Math.
1974. V. 377. 336 p.
11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального
анализа. М. : Высш. шк., 1982. 271 с.
12. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 429 с.
13. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические двиения управляемой
системы // Математическая физика. 1977. Вып. 21. С. 45{59.
95
14. Тонков Е. Л. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. M. : Изд-во Моск. ин-та хим. машиностр., 1973.
86 с.
15. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения
и функциональные пространства. М. : Мир, 1970. 456 с.
16. Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. М. :
Высш. шк., 1979. 336 с.
17. Иванов А. Г. К вопросу о непрерывной зависимости почти периодического решения нелинейной системы управления от параметра
// Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, Є 2. C. 1{12.
18. Иванов А. Г. О корректности расширения задач управления почти периодическими двиениями // Изв. вузов. Математика. 2002.
Є 6(481). С. 14{25.
19. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В.
Введение в теорию многозначных отобраений. Вороне, 1986.
104 с.
20. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.
21. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями при наличии ограничений на средние типа равенств и
неравенств. II. // Дифференц. уравнения. 1997 . Т. 33, Є 3. C. 316{
323.
96
?? R ╫ и допустим, что равенство (4.7) неверно. Тогда найдутся такая
константа ? > 0, а таке две последовательности {ji }?
i=1 ? N и
?
{(ti , ?i )}i=1 ? R ╫ , что при всех j ? N
(l) _ |
I =
i
Z
ti
(l)
[ ?a
ti
a
X (ti , s; ?i )fji (s, ?i )ds| > ?.
(4.8)
С другой стороны, представим кадую точку ti , i ? N в виде
ti = mi a + ?i a, где mi ? Z и ?i ? [0, 1), и будем считать, чтобы
не загромодать обозначений, что ?i ? ?^ ? [0, 1? при i ? ?.
Следовательно, найдется такое i0 ? N, что для всех i > i0 будет
^ ?ри этих i имеем следующие
выполнено неравенство ?i 6 1 + ?.
соотношения:
(l)
Ii 6 |
Z ?^a
?i a
^ ; ?i )| ╖ |
+|Xmi a (?i a, ?a
6 2e2ad
Z t+?j a
t
(l)
Xmi a (?i a, s; ?i )fji (s + mi a, ?i )ds| +
Z
mi a+?^a
mi a
g(s)ds +
(l)
(l)
^ s; ?i )fj (s, ?i )ds| 6
X (mi a + ?a,
i
sup
(m,?)?Z╫
|
Z (m+1)a
ma
X (ma + ?, s; ? ) ╫
╫h?j (s, ? ), ?(s, ?, u)ids|),
63
^ ?(t, ?, u) =. ?(t)g(t, ?, u)
где g(t) =. max |g(t, ?, u)|, ?j =. |?i ??|,
(?,u)?
╫U
и где, в свою очередь, ? : R ? R | a -периодическая функция,
определенная на отрезке [0, a? равенством ?(t) = ?[0,a?^? (t). Так
как ? ? S (R, C (
╫ U, Rn)), то, используя лемму 4.1 для этой
^ принимая во внимание, что g ? S (R, R) и
функции при ? = ?a,
lim ?i = 0 (здесь см. лемму 3.4), из полученного выше соотноi??
шения получаем, что lim I(il) = 0, а это противоречит (4.8).
i??
С л е д с т в и е 4.2. ?усть g ? S (R, C (
╫ U, Rn)). Тогда при кадом l = 1, 2 имеют место следующие равенства:
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
Zma
|
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0, (4.9)
P1 (ma, s; ? )h?j
(m?1)a
|
(mZ+1)a
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0. (4.10)
P2 (ma, s; ? )h?j
ma
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?оскольку
Pk (ma, s; ? ) = Pk (ma, ma; ? )X (ma, s; ? ), k
= 1, 2,
то равенства (4.9), (4.10) вытекают из оценок (4.4) и утвердения
леммы 4.1 при ? = 0.
С л е д с т в и е 4.3.
гда при кадом l = 1, 2
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
lim (
sup
j?? (m,? )?Z╫
|
|
Z
ma
g ? S (R, C (
╫ U, Rn )). То-
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0, (4.11)
P1 (ma, s; ? )h?j
??
Z
?усть
?
ma
(l) (s, ? ), g(s, ?, u)ids|) = 0. (4.12)
P2 (ma, s; ? )h?j
64
Д о к а з 
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
731 Кб
Теги
почта, элементы, оптимизация, математические, аппарата, задачи, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа