close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эллиптическая резонансная краевая задача с разрывной нелинейностью линейного роста.

код для вставкиСкачать
В. Н. ПАВЛЕНКО
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ РЕЗОНАНСНАЯ КРАЕВАЯ
ЗАДАЧА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
ЛИНЕЙНОГО РОСТА
Топологическим методом получена теорема существования обобщенного решения резонансной эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью линейного роста.
Kлючевые слова: резонансная эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность линейного роста, теорема Лере–Шаудера.
Введение
Рассматривается резонансная однородная задача Дирихле для уравнения
эллиптического типа с разрывной нелинейностью
Lu(x) − λ1 u(x) + g(x, u(x)) = f (x), x ∈ Ω
(1)
u|∂Ω = 0
(2)
в ограниченной области Ω ∈ Rm с достаточно гладкой границей ∂Ω, где Lu(x) =
m
X
=−
(aij (x)uxi )xj + c(x)u(x) — равномерно эллиптический дифференциальный
i,j=1
оператор в области Ω, aij (x) = aji (x), (aij (x))xj и c(x) непрерывны по Гельдеру, f ∈ Lq (Ω), q > m, λ1 — минимальное собственное значение оператора L с
граничным условием (2). Функция g : Ω × R → R удовлетворяет i-условию:
1) функция борелева (mod 0) [1];
2) |g(x, u)| ≤ a|u| + b(x) ∀u ∈ R и почти всюду x ∈ Ω, где постоянная a >
0, b ∈ Lq (Ω);
3) для почти всех x ∈ Ω g(x, ·) имеет разрывы только первого рода, причем
g(x, u) ∈ [g− (x, u), g+ (x, u)] ∀u ∈ R, где
g− (x, u) = lim inf g(x, η),
η→u
g+ (x, u) = lim sup g(x, η).
η→u
Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция u ∈ Wq2 (Ω) с
нулевым следом на ∂Ω, удовлетворяющая для почти всех x ∈ Ω включению
f (x) − Lu(x) ∈ [g− (x, u(x)), g+ (x, u(x))].
Теорема 1. Предположим:
1) функция g(x, u) удовлетворяет i-условию;
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 07-01-96000_р_урал_а).
44
В. Н. Павленко
2) для почти всех x ∈ Ω и любых u ∈ R g(x, u)sgn(u) ≥ d(x), где d ∈ L1 (Ω);
3) функция f ∈ Lq (Ω), q > m такова, что для любой собственной функции v(x) дифференциального оператора L с граничным условием (2), отвечающей минимальному собственному значению λ1 , выполняются условия
Ландесмана–Лазера
Z
Z
Z
g + (x)v(x)dx +
g − (x)v(x)dx > f (x)v(x)dx,
v>0
v<0
Ω
где g + (x) = lim inf g(x, u), g − (x) = lim sup g(x, u).
u→+∞
u→−∞
Тогда задача (1), (2) имеет обобщенное решение из пространства Wq2 (Ω).
Сформулированная теорема — основной результат статьи. Ее доказательство сводится к проблеме существования неподвижной точки у многозначного компактного отображения. Последняя решается реализацией схемы Лере–
Шаудера. Отметим, что задача (1), (2) с разрывной нелинейностью изучалась
в диссертации М. Г. Лепчинского [2] вариационным методом в предположении о
подлинейном росте нелинейности, а также в диссертации Е. А. Чиж [3] топологическим методом, где допускается линейный рост нелинейности, но накладываются другие ограничения на правую часть уравнения (1). Ранее в случае ограниченной разрывной нелинейности задача (1), (2) рассматривалась в совместных
работах автора и В. В. Винокура [4; 5].
1. Операторная постановка задачи (1), (2)
Известно [6], что задача Дирихле
Lu = λu
(3)
u|∂Ω = 0
(4)
имеет ненулевое решение лишь для возрастающей последовательности чисел
λ1 < λ2 < . . . , стремящейся к +∞. Собственное подпространство, отвечающее
λ1 , одномерно, а базисную функцию подпространства можно считать положительной на Ω. Для λ, не совпадающего ни с одним λj , краевая задача
Lu − λu = f,
u|∂Ω = 0
для любого f ∈ Lq (Ω), q > 1, имеет единственное решение из Wq2 (Ω), для которого верна оценка
kukq,2 ≤ M kf kq ,
(5)
где M не зависит от f . Здесь k kq,2 , k kq — нормы в Wq2 (Ω) и Lq (Ω) соответственно.
Пусть A — плотно определенный в Lq (Ω) оператор со значениями в Lq (Ω) :
D(A) = Wq2 (Ω)∩Ẇq1 (Ω), Au = Lu−λ1 u для любого u ∈ D(A), а ε — положительное
Эллиптическая резонансная краевая задача с разрывной нелинейностью . . . 45
число. Тогда оператор A + εI непрерывно обратим и, в силу оценки (5), оператор
(A + εI)−1 вполне непрерывный. Далее, положим
Gu = g(x, u(x)) ∀u ∈ Lq (Ω).
Поскольку g удовлетворяет i-условию, то оператор G действует из Lq (Ω) в Lq (Ω)
и для него справедлива оценка:
kGukq ≤ akukq + kbkq
∀u ∈ Lq (Ω).
(6)
Обозначим через G¤ овыпукление оператора G [1]. Тогда, как показано в [1], если
u ∈ D(A) удовлетворяет включению
f − Au ∈ G¤ u,
(7)
то u — обобщенное решение задачи (1), (2). Перейдем от (7) к эквивалентному
включению с многозначным компактным оператором
u ∈ (A + εI)−1 (f − G¤ u + εu) ≡ T u.
Отображение T слабо полунепрерывно сверху, его значения — выпуклые компакты и образ любого шара при отображении T — предкомпактное множество
[7, с. 52].
2. Доказательство теоремы
Доказательство. Для доказательства существования u ∈ Lq (Ω), удовлетворяющего включению u ∈ T u, достаточно проверить выполнение условий Лере–
Шаудера: множество решений семейства включений u ∈ tT u, 0 ≤ t < 1 равномерно ограничено [8, с. 107].
Допустим противное. Тогда существуют последовательности (tn ) ⊂ [0, 1] и
(un ) ⊂ Lq (Ω), kun k > n такие, что un ∈ tn T un для любого натурального n.
Последнее равносильно равенству
Aun + (1 − tn )εun + tn zn = tn f,
(8)
где zn ∈ G¤ un и, значит, в силу (6)
kzn k ≤ akun kq + kbkq
Делим обе части (8) на kun k и, обозначив
∀n ∈ N.
un
через vn , получим
kun kq
(A + εI)vn = tn εvn − tn
zn
f
+ tn
.
kun kq
kun kq
(9)
Заметим, что правая часть последнего равенства ограничена в Lq (Ω). Отсюда
следует ограниченность в Wq2 (Ω) последовательности (vn ) [6]. Из чего заключаем,
что существует возрастающая последовательность натуральных чисел nk такая,
46
В. Н. Павленко
z nk
f
* k(x) в Lq (Ω) и
→ 0 в Lq (Ω).
kunk kq
kunk kq
Так как vnk * v в Wq2 (Ω) и q > m, то vnk → v в C 1 (Ω), и, значит, v — ненулевой
элемент Lp (Ω). В силу замкнутости оператора A + εI функция v ∈ D(A) и
что vnk * v в Wq2 (Ω), tnk → t,
(A + εI)v = tεv − tk(x).
(10)
Покажем, что k(x) = 0 почти везде на Ω. Отсюда из (10) будет следовать
равенство Av = (t − 1)εv. Последнее, поскольку v ненулевая функция и t − 1 ≤ 0,
влечет равенства t = 1 и Av = 0. (Воспользовались тем, что ноль — минимальная точка спектра оператора A). Таким образом, v — собственная функция дифференциального оператора L с граничным условием Дирихле (4), отвечающая
¯
∂v ¯¯
собственному значению λ1 . Известно [9], что либо v(x) > 0 в Ω и
< 0,
∂u ¯∂Ω
¯
∂v ¯¯
> 0. Из этого и сильной сходимости vnk к v в C 1 (Ω)
либо v(x) < 0 в Ω и
¯
∂u ∂Ω
следует существование k0 ∈ N такого, что для любого k > k0 v(x)vnk (x) > 0 на Ω
и, значит, для всех k > k0 v(x)unk (x) > 0 на Ω.
k(x)
почти
Предварительно установим неотрицательность функции kv (x) =
v(x)
всюду на множествах вида
Ωδ = {x ∈ Ω||v(x)| > δ}, 0 < δ < γ = kvkC(Ω) .
Заметим, что
z nk
* kv (x) в Lq (Ωδ ), 0 < δ < γ, так как
un k
°
°
° znk
°
z
n
k
°
°
° un − kun kq v ° → 0
k
k
q,δ
при k → ∞, 0 < δ < γ, k · kq,δ — норма в Lq (Ωδ ). С учетом последнего замечания
и условия 2) теоремы получим для любой неотрицательной функции ϕ(x) из
Lq (Ωδ ), (0 < δ < γ)
Z
Z
znk (x)
kv (x)ϕ(x)dx = lim
· ϕ(x)dx
k→∞
unk (x)
Ωδ
Z
≥
lim inf
k→∞
Ωδ
znk (x)
· ϕ(x)dx ≥
unk (x)
Z
Ωδ
g(x, u)
· ϕ(x)dx ≥ 0.
u→unk (x)
u
lim inf lim inf
k→∞
Ωδ
(11)
Воспользовались также леммой Лебега–Фату о переходе к пределу под знаком
интеграла [10], неравенством znk (x) ≥ g− (x, unk (x)) = lim inf g(x, u) и тем, что
u→unk (x)
|unk (x)| = ||unk (x)||q · |vnk (x)| → ∞ для любого x ∈ Ωδ , 0 < δ < γ.
В силу произвольности выбора неотрицательной функции ϕ ∈ Lq (Ωδ ) в (11)
приходим к выводу о неотрицательности kv (x) почти всюду на Ωδ , а так как δ —
любое число из (0, γ), то получаем, что kv (x) неотрицательна почти всюду на
множестве
[
0
Ω = {x ∈ Ω|v(x) 6= 0} =
Ωδ .
δ>0
Эллиптическая резонансная краевая задача с разрывной нелинейностью . . . 47
Теперь умножим равенство (10) на v(x) и проинтегрируем по Ω. Имеем
Z
Z
2
Av(x)v(x)dx + (1 − t)εkvk2 + t kv (x)v 2 (x)dx = 0,
Ω0
Ω
причем в этом равенстве все слагаемые неотрицательны. Из чего следует, что все
они равны нулю. В частности,
Z
t · kv (x)v 2 (x)dx = 0,
Ω0
причем t ∈ (0, 1] (если t = 0, то Av = −εv, но это противоречит тому, что ноль —
минимальная точка спектра оператора A). Следовательно,
Z
kv (x)v 2 (x)dx = 0.
0
Ω
0
Отсюда из неотрицательности kv (x) на Ω заключаем о равенстве нулю kv (x) по0
чти всюду на Ω , а значит, и k(x). С учетом (10) последнее влечет равенство нулю
k(x) почти всюду на Ω. Из чего, как было уже показано выше, следует, что t = 1
и v — собственная функция оператора A, отвечающая нулевому собственному
значению, т. е. Av = 0 и v — ненулевой элемент из D(A).
R Умножим обе частиR равенства (8) на v(x) и проинтегрируем по Ω. Учитывая,
что Aun (x) · v(x)dx = un (x) · Av(x)dx = 0, получим
Ω
Ω
µ
1
tnk
¶
Z
−1 ε·
Z
unk (x)v(x)dx +
Ω
Z
znk (x)v(x)dx =
Ω
f (x) · v(x)dx,
Ω
причем для всех k > k0 (unk v)(x) > 0 на Ω. Так как tnk ∈ (0, 1), то отсюда следует,
что
Z
Z
f (x)v(x)dx ≥ lim inf znk (x)v(x)dx ≥
k→∞
Ω
Ω

≥ lim inf 
g− (x, unk (x))v(x)dx +
k→∞
v>0

Z
Z
Z
≥
Z
g + (x)v(x)dx +
v>0
g+ (x, unk )v(x)dx ≥
v<0
g − (x)v(x)dx.
v<0
Здесь была использована лемма Лебега–Фату о переходе к пределу под
знаком интеграла с учетом условия 2 теоремы и того, что unk (x) → +∞, если
v(x) > 0, и unk (x) → −∞, если v(x) < 0. Полученное неравенство противорчит
условию 3 теоремы. На этом её доказательство завершается.
48
В. Н. Павленко
Список литературы
1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский,
А. В. Покровский. — М. : Наука, 1983. — 272 с.
2. Лепчинский, М. Г. Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями : дис. . . . канд. физ.-мат. наук /
М. Г. Лепчинский. — Челябинск, 2005. — 96 с.
3. Чиж, Е. А. Резонансные краевые задачи и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями без условия Ландесмана–Лазера :
дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Е. А. Чиж. — Челябинск, 2005. — 118 с.
4. Павленко, В. Н. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа
с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко, В. В. Винокур // Изв. вузов. —
Математика. — 2001. — № 5. — С. 43–58.
5. Павленко, В. Н. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами / В. Н. Павленко, В. В. Винокур // Укр. мат. журн. —
2002. — Т. 54, № 3. — С. 349–363.
6. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 с.
7. Павленко, В. Н. Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью
степенного роста / В. Н. Павленко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6
(107). — Математика. Механика. Информатика. — Вып. 10. — С. 49–53.
8. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. — М. : КомКнига, 2005. — 216 с.
9. Iannacci, R. Nonkinear second order elliptic partial differential equations at resonance
/ R. Iannacci, M. N. Mcashma, J. R. Ward // Trans. of American mathematical
society. — 1989. — Vol. 311, № 2. — P. 711–726.
10. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
536 Кб
Теги
резонансная, краевая, эллиптическая, разрывного, роста, нелинейности, линейного, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа