close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгоритмизация решения задач с параметрами.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
«ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10-3/2016 ISSN 2410-6070
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.2(07)
Л.А.Апайчева
кандидат ф.-м. наук, доцент
НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ»,
г. Нижнекамск, Российская Федерация
Л.Е. Шувалова
старший преподаватель
НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ»,
г. Нижнекамск, Российская Федерация
АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация
Предлагается алгоритм решения экстремальной задачи с параметром, сочетающий графическую
иллюстрацию задачи и аналитический способ, использующий геометрический смысл производной, и
алгоритм решения уравнения с параметром, основанный на функционально-графическом способе
исследования. Рассмотренные алгоритмы могут быть применены при решении задач из различных областей
науки и техники.
Ключевые слова
Задачи с параметрами; алгоритм; экстремальная задача.
Моделирование большого числа проблем теории упругости, химической технологии, теории массового
обслуживания, физики и других областей науки и техники приводит к необходимости решения задач с
параметрами. Задачи с параметрами различны по структуре и являются наиболее трудными, так как каждая
из таких задач представляет собой целый класс задач, для которых должно быть получено решение. Решение
задач с параметрами занятие непростое, требующее серьезных размышлений, наличия высокой
математической культуры, умения наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать полученные
результаты. Исследование задач с параметрами играет важную роль в формировании логического мышления,
в развитии исследовательских навыков студентов [2]. При решении задач с параметрами сначала надо
провести анализ самой задачи, при этом необходимо уметь классифицировать значения параметра, уметь
переходить от исходной задачи к равносильной ей, использовать наиболее рациональные методы решения
[4]. За последние годы издано достаточно много научной литературы по данной теме. К сожалению, во
многих работах рассматриваются частные случаи, где не делается упор на логику решения задач. Пособия
[1], [4] отличаются систематичностью изложения теории параметрических задач. Наиболее полное
изложение материала представлено в книге [1], которая характеризуется как широким спектром
рассматриваемых задач, так и различными методами их решения. В статье [3] предложены алгоритмы
решения уравнений, содержащих неизвестную в основании и показателе степени.
В статье [7] представлен алгоритм вычисления площади сечения многогранника. Рассмотренную
математическую модель вычисления площади сечения можно считать универсальной. Она подходит к
большинству задач на вычисление площади сечений. В статье [6] разработан алгоритм численного решения
одного класса сингулярных интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании
прикладных задач.
В данной работе разбираются две задачи, на основании которых выстраивается алгоритм
рассуждений, приводящий к поиску решения.
Задача 1. На координатной плоскости даны точки M (2; 3) и N (4;0) . Найти наименьшее возможное
значение параметра
h(h  5) , при котором ближайшая к графику функции y  x  h точка лежит на
3
отрезке MN.
8
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
«ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10-3/2016 ISSN 2410-6070
Для решения данной экстремальной задачи составим алгоритм, сочетающий графическую
иллюстрацию задачи и аналитический способ решения. С этой целью рассмотрим графики функции
y  x  h и прямой, проходящей через точки M (2; 3) и N (4;0) (рис. 1).
3
y
4
3
2
1
1
3
2
4
N
x
-1
-2
A
-3
M
-4
-5
-6
Рисунок – 1
Уравнение прямой, проходящей через точки M и N, имеет вид
Y  1,5x  6
(1)
Проведем касательную к кривой y  x  h параллельно прямой (1). Исходя из геометрического
3
смысла производной, получаем y  1,5 x  1,5 .
Отсюда находим точку A(1;1  h) на данной кривой, которая является ближайшей к отрезку MN. Для
определения параметра h проведем через данную точку A нормаль к кривой y  x  h . Уравнение
3
нормали к кривой y  f ( x) имеет вид
Y  f ( x0 ) 
x  x0
.
f ( x0 )
Запишем уравнение нормали к данной кривой:
2
5
Y   x h .
(2)
3
3
Далее найдем точку D пересечения нормали (2) и прямой (1). Имеем
6
46
x  h .
13 13
По условию задачи ближайшая к графику функции y  x  h искомая точка D должна лежать на
3
отрезке MN, поэтому должно выполняться условие
6
46
10
2  h   4 . Отсюда имеем   h  1 .Таким образом, наименьшее возможное значение
13 13
3
10
. Итак, ближайшая к графику функции y  x  h точка D совпадает с точкой M.
3
В рассмотренной задаче пришлось проводить несложные, но последовательные рассуждения, которые
выстраиваются в логическую схему.
1. Вычисление производной функции y  f ( x) ;
параметра: h  
3
2. Определение точки A (в которой касательная к кривой f ( x) параллельна прямой MN) из уравнения
f ( x)  k , где k – угловой коэффициент прямой MN;
3. Определение точки пересечения нормали к кривой y  f ( x) (в точке A и прямой, проведенной
через точки MN) из системы алгебраических уравнений.
Ниже предлагается еще одна задача, для которой применение графической интерпретации
недостаточно.
Задача 2. Определить, при каких значениях a уравнение
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
«ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10-3/2016 ISSN 2410-6070
5 x  3a  x  a  4 x  a
2
(3)
не имеет решения.
Поставленную задачу будем решать функционально-графическим способом, использующим свойства
2
функций, содержащихся в уравнении. Проведем исследование функции f ( x)  5 x  3a  x  a  4 x  a
на
экстремум. Имеем
f ( x)  5
x  3a x  a

4.
x  3a x  a
2
2
2
Найдем критические точки: x  3a , x  a . Рассмотрим 2 случая расположения критических точек в
зависимости от параметра a .
2
1 случай. Пусть выполняется условие 3a  a . Определим участки монотонности и экстремумы
функции f ( x) (рис. 2).
Рисунок – 2
Значит, в точке x  3a функция f ( x) принимает минимальное значение
f (3a)  3a  a  11a .
2
Для определения искомых значений параметра a находим решение неравенства
f (3a)  0 или 3a  a  11a .
2
Имеем совокупность неравенств
3a  a  11a 
 a  14a  0
3a  a  11a  или  a  8a  0  .




2
2
2
2
Таким образом, в этом случае при a  (; 8) (0; ) уравнение (3) не имеет решения.
2
2 случай. Пусть выполняется условие: 3a  a . Определим участки монотонности функции f ( x) (рис.
3).
0
Рисунок – 3
Следовательно, на промежутке (a ;3a) функция f ( x) принимает постоянные значения, и график f ( x)
2
имеет вид (рис. 4).
•
Рисунок – 4
Для того, чтобы уравнение (3) не имело решения, необходимо выполнение условия
f (a )  0 или 5 a  3a  4a  a  0 .
2
2
2
Найдем все значения параметра a , при которых выполняется неравенство
5 a  3a  a  4a .
2
2
Отсюда имеем совокупность неравенств
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
«ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10-3/2016 ISSN 2410-6070
5a  15a  a  4a 
9a  16a  0 
5a  15a  4a  a  или  a  14a  0 



.
2
2
2
2
2
2
Таким образом, получаем
 a  (; 8) (0; )
 a  (0;14)

.
Поэтому a  (;0) (0; ) .
Теперь, объединяя случаи 1 – 2, делаем вывод, что уравнение (3) не имеет решения при всех a  0 .
Рассмотренные выше примеры и описанные алгоритмы могут быть полезными при решении задач
прикладной математики. Прикладная направленность обучения математике включает в себя его
политехническую направленность, в том числе реализацию связей с другими учебными курсами [5].
Специалистам в любой отрасли научной деятельности необходимо иметь навыки решения таких задач.
Список использованной литературы:
1 .В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике.-3-е изд.
доработ. Мн: ООО ” Асар“, 2004. 464 с.
2. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Применение дифференциального исчисления при решении задач с
параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар.
науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.
3. Л.А.Апайчева, Л.Е.Шувалова. Методические приемы решений уравнений, содержащих неизвестную в
основании и показателе степени //Вестник ТПГУ, 2015. Вып. 1 (154). С. 51-54.
4. В.С. Крамор. Задачи с параметрами и методы их решения. – М. : «Мир и образование», 2007. 416 с.
5. Макусева, Т.Г. Математика в профильном обучении в школе // Наука и школа. №6. 2010. С.60–63.
6. Л.Е. Шувалова, Л.А. Апайчева. Приближенное решение одного класса нелинейных сингулярных
интегральных уравнений /Вестник Казанского государственного технологического университета,
посвященный 50-летию НХТИ. Казань: КНИТУ, 2013.№ 12. С. 289-292.
7 .Л.Е.Шувалова, М.В. Ксенафонтова. Алгоритм управления математической моделью вычисления
площадей сечения /Вестник Казанского государственного технологического университета. Казань: КНИТУ,
2014. №5. Т.17. С. 286-289.
© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2016
УДК [531.62+532.6+536.421.4]:517.9
В.В. Бублик, к.ф.-м.н.
Институт теоретической и прикладной механики
им. С.А. Христиановича СО РАН,
Новосибирский национальный исследовательский государственный университет
А.Н. Черепанов, д.ф.-м.н., профессор
Институт теоретической и прикладной механики
им. С.А. Христиановича СО РАН
г. Новосибирск, Российская Федерация
УЧЁТ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ЖИДКОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМАЦИИ
СПЛОШНОЙ ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ КАПЛИ ПОСЛЕ ЕЁ СОУДАРЕНИЯ
С ПЛОСКОЙ ПОРИСТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Аннотация
На основе интегральных законов сохранения массы и энергии построена математическая численно11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
1 388 Кб
Теги
параметрами, решение, алгоритмизация, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа