close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ модели передачи информации в популяции с учетом различных видов взаимодействия между особями.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник
Нижегородского
им. Н.И. различных
Лобачевского,
2011,
№ 3 (2), с. 121–126
Анализ модели
передачи
информации вуниверситета
популяции с учетом
видов
взаимодействия
между особями
121
УДК 517
АНАЛИЗ МОДЕЛИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ПОПУЛЯЦИИ
С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ ОСОБЯМИ
© 2011 г.
Д.С. Пиунов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
piunovds@rambler.ru
Поступила в редакцию 05.11.2010
Рассматривается задача моделирования процесса передачи информации обучением в биологической популяции, в которой учтены все виды квадратичного взаимодействия между особями: передача
информации, конкуренция и взаимопомощь. Исследуются все качественно различные варианты развития динамики численности особей в зависимости от параметров системы. Для всех этих вариантов
строятся фазовые портреты.
Ключевые слова: математическое моделирование, системы на симплексе, теория отбора.
Математическое моделирование,
системы на симплексе, теория отбора
Рассмотрим модель передачи информации в
некоторой популяции, состоящей из двух видов
особей. Пусть y(t) – количество носителей информации (обученных особей) в момент времени t, x(t) – количество особей, не обладающих
информацией (необученных особей), тогда
x + y – общее количество всех особей популяции,
x
y
– удельный вес необученных,
x+ y
x+ y
– удельный вес обученных особей. Пусть носители информации могут передавать ее необученным особям, причем информация от обученных особей передается пропорционально их
удельному весу.
Пусть между особями рассматриваемой популяции существуют следующие виды взаимодействия: конкуренция и симбиоз (взаимопомощь), причем данные виды взаимодействия
наблюдаются как внутри каждой группы обученных и необученных особей (внутригрупповое взаимодействие), так и между обученными
и необученными особями (межгрупповое взаимодействие) [4]. Также допустим, что любое
взаимодействие происходит пропорционально
удельному весу особей. Тогда b и c – коэффициенты, учитывающие передачу информации и
межгрупповое взаимодействие. Коэффициенты
k и p являются коэффициентами внутригруппового взаимодействия.
Пусть a – коэффициент скорости роста обученных и необученных особей. Родившиеся
особи всегда являются необученными (так как
данная информация не передается врожденно от
родителей к потомкам). Пусть s и r – коэффициенты смертности, пропорциональные численности необученных и обученных особей соответственно. При сделанных гипотезах взаимодействие групп особей задается следующей
системой дифференциальных уравнений:
⎧
xy
x2
&
x
a
(
x
y
)
b
k
=
+
+
+
− sx,
⎪
x+ y
x+ y
⎪
⎨
2
⎪ y& = c xy + p y − ry,
⎪⎩
x+ y
x+ y
(1)
где a, s, r – положительные константы, а
b, c, k , p – константы, которые могут принимать значения разных знаков. Причем значениям параметров b > 0, c > 0, k > 0, p > 0 соответствует симбиоз, а значениям b < 0, c < 0,
k < 0, p < 0 – конкуренция. Ввиду того, что
при превышении смертности над рождаемостью
вся популяция в конце концов исчезнет, естественным образом будем считать, что a > s .
Система (1) имеет особую точку (0;0), в которой она не определена. Но в этой точке систему можно доопределить по непрерывности
нулями, так как соответствующие правым частям двойные пределы равны нулю
122
Д.С. Пиунов
⎛
⎞
x
lim
a
(
x
y
)
(
by
kx
)
sx
+
+
+
−
⎜
⎟=
x →0
x+ y
⎝
⎠
y →0
*
ξ1* = ξ*2 = ξ12
=
*
ξ12
⎛
⎞
y
= lim ⎜ (cx + py )
− ry ⎟ = 0.
x →0
x+ y
⎝
⎠
y →0
Сделаем нормирующую замену переменных
w = x + y,
ξ=
x
y
, η= ,
w
w
(2)
2a
p + s −b−r
.
=
2(k + p − b − c) p + s − b − r
В этом случае, если состояние равновесия
принадлежит стандартному симплексу [3],
*
то есть 0 < ξ12
< 1, то оно является неустойчивым, так как при этом уравнение для ξ можно
представить в виде
ξ& = (k + p − b − c )(1 − ξ)(ξ − ξ12 ) 2 ,
из чего следует, что ξ& не изменит знака при
переходе через точку ξ* .
Если же D > 0, тогда ξ1* ≠ ξ*2 . Не уменьшая
после чего система (1) примет вид
⎧ξ& = a + bξη + kξ 2 − sξ − ξw& / w,
⎪
2
(3)
⎨η& = cξη + pη − rη − ηw& / w,
2
2
⎪w& = w(a + bξη + kξ − sξ + cξη + pη − rη.
⎩
Полученная система (3) является системой
на
стандартном
симплексе:
ξ + η = 1,
общности, предположим, что ξ1* < ξ*2 , иначе их
можно перенумеровать; пусть также выполняется условие 0 < ξ1* < ξ*2 < 1, тогда состояние
равновесия ξ1* устойчиво, а ξ*2 неустойчиво.
Действительно, так как ξ& представимо в виде
ξ& = (k + p − b − c )(1 − ξ)(ξ − ξ1* )(ξ − ξ*2 ), то оче-
ξ ≥ 0, η ≥ 0. Найдем состояния равновесия
этой системы. Преобразовав уравнение для ξ с
учетом того, что η = 1 − ξ , получим
ξ& = aη + bξη2 + kξ 2 η − sξη − cξ 2 η − pξη2 + rξη =
= η(a + bξη + kξ 2 − sξ − cξ 2 − pξη + rξ) =
= (1 − ξ)(a + bξ − bξ 2 + kξ 2 − sξ − cξ 2 − pξ +
видно, что одно из состояний равновесия
устойчиво, а другое нет. Предположив теперь,
что неустойчивым является ξ1* , приходим к
противоречию с инвариантностью положительного октанта для системы (3), так как при данном предположении возможен переход через
точку ξ = 0, не являющуюся состоянием равно-
+ pξ 2 + rξ) = (1 − ξ)(ξ 2 (k + p − b − c) +
весия, в область отрицательных значений ξ .
+ ξ(b + r − p − s ) + a).
Первым состоянием равновесия является
точка с координатами
ξ* = 1, η* = 0.
(4)
Из условия
ξ 2 (k + p − b − c ) + ξ(b + r − p − s ) + a = 0
находятся координаты второго состояния равновесия. Решая квадратное уравнение относительно ξ , получим
ξ1* =
p+ s −b−r + D
p + s −b−r − D
, ξ*2 =
2(k + p − b − c)
2(k + p − b − c)
(5)
где
D = (b + r − p − s ) 2 − 4a (k + p − b − c).
Если D < 0, то ξ = 1 – единственное состояние равновесия. Если D = 0, то
Состояние равновесия ξ1* = 1 устойчиво при
любых значениях параметров.
Если на симплексе ξ + η = 1, ξ ≥ 0, η ≥ 0
существует единственное устойчивое состояние
равновесия ξ* = 1 , то система (3) является системой отбора, то есть при любых начальных
условиях с течением времени доля обученных
особей будет стремиться к нулю ( η* → 0 ), а
доля необученных к единице ( ξ → 1 ). Иными
словами, необученные особи будут вытеснять
обученных из ареала обитания, при этом для
общей численности популяции w возможны
разные варианты: от неограниченного размножения до полного вымирания. Предельное
уравнение для w в этом случае примет вид
w& = w( a + k − s ).
Тогда при условии a + k > s популяция неограниченно развивается, при a + k < s – вымирает, а при a + k = s общая численность особей стабилизируется на некотором положительном уровне.
Анализ модели передачи информации в популяции с учетом различных видов взаимодействия между особями
Для обученных особей предельное уравнение численности имеет вид
y& = y (c − r ).
Они выживают в популяции лишь при условии c ≥ r , в противном случае особи вымирают.
Во всех остальных случаях система (3) не
является системой отбора, ее предельное состояние зависит от начального распределения численностей особей. Характер поведения общей
численности определяется знаком выражения
a + bξη + kξ 2 − sξ + cξη − pξ 2 − rη
при подстановке в него координат состояний
равновесия (5). Для численности же обученных
особей будем иметь в общем случае
y& = y (cξ + pη − r ).
Для построения фазовых портретов системы
(1) при различных значениях параметров дополнительно используем метод изоклин. Перейдем от автономной системы дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению
dy
y ((c − r ) x + ( p − r ) y )
.
=
dx (a + k − s ) x 2 + (2a + b − s ) xy + ay 2
Изоклины горизонтального наклона задаются уравнениями
c−r
x.
r− p
~x2 + b~xy + c~y 2 = 0
Квадратичная форма вида a
Г 0 : y = 0,
y=
задает две пересекающиеся в начале координат прямые. Пусть уравнения этих прямых имеют вид
y = v1 x и y = v2 x , тогда
для нахождения коэффициентов v1 и v2 имеем
~
x2 (a~ + b v1,2 + c~v12,2 ) = 0. Учитывая, что a~ =a+k −s,
~
b = 2a + b − s, c~ = a, получим
v1, 2 =
s − 2a − b ± (b − s ) 2 + 4a (b − k )
.
2a
Изоклины вертикального наклона задаются
уравнениями
Γ ∞ : y = v1 x, y = v2 x.
Использование изоклин горизонтального и
вертикального наклона, а также сведений, полученных при исследовании исходной системы
на стандартном симплексе, позволяет построить
фазовый портрет системы (1) при любом наборе
значений параметров.
123
Все качественно различные варианты взаимодействия обученных и необученных особей в
зависимости от значений параметров системы
представлены на рис. 1–20. На рис. 1–5 изображены фазовые портреты исследуемой системы
для случая D < 0 . Рисунки 6–13 соответствуют
случаю D = 0 . Рисунки 14–20 соответствуют
случаю D > 0 .
Исследование свойств искомой модели приводит к некоторым важным выводам относительно исхода взаимодействия особей. Наиболее важным итогом взаимодействия особей является сохранение передаваемой информации в
популяции. Заметим, что при D < 0 происходит
исчезновение информации, так как с течением
времени в системе будут преобладать лишь необученные особи. Когда D = 0 в популяции
при некоторых начальных условиях возможно
сохранение информации – происходит сбалансированный рос численностей особей обоих
видов. Следует отметить, однако, что сбалансированный рос в данном случае является неустойчивым процессом, и при любых экологических изменениях, неблагоприятно влияющих
на численность обученных особей, информация
исчезнет. И только при D > 0 существуют
условия, когда информация будет сохраняться
неограниченно долго [1].
Из формулы для величины D видно, что необходимым условием сохранения информации
в системе является выполнение неравенства
k + p − b − c < 0 или b + c > k + p .
Из данного неравенства видно, что для сохранения информации в системе необходимо
чтобы совокупное межгрупповое взаимодействие особей было сильнее внутригруппового
взаимодействия. Таким образом, для популяции
в целом помощь между обученными и необученными особями гораздо важнее помощи особей внутри своих групп.
Список литературы
1. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.
2. Вольтерра В. Математическая теория борьбы
за существование. М.: Наука, 1976.
3. Кузенков О.А., Рябова Е.А. Математическое
моделирование процессов отбора. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 2007.
4. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим
моделям в биологии. Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2002.
124
Д.С. Пиунов
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Анализ модели передачи информации в популяции с учетом различных видов взаимодействия между особями
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
125
126
Д.С. Пиунов
Рис. 19
Рис. 20
ANALYSIS OF INFORMATION TRANSFER MODEL IN A POPULATION WITH DIFFERENT TYPES
OF INTERACTION BETWEEN INDIVIDUALS
D.S. Piunov
Information transfer process simulation in a biological population is considered taking into account all types of
quadratic interactions between individuals: information transfer, competition and mutual aid. All qualitatively
different variants of the population dynamics depending on the system parameters are studied. Phase portraits for all
these variants are built.
Keywords: mathematical simulation, simplex systems, selection theory.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
3 549 Кб
Теги
анализа, особями, видов, между, передача, взаимодействия, популяции, модель, информация, различных, учетом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа