close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ реализуемости результатов многокритериальной экспертизы применение «Свойства пересечения».

код для вставкиСкачать
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
”ƒ 519.714.3
јЌјЋ»« –≈јЋ»«”≈ћќ—“» –≈«”Ћ№“ј“ќ¬
ћЌќ√ќ –»“≈–»јЋ№Ќќ… Ё —ѕ≈–“»«џ ?
ѕ–»ћ≈Ќ≈Ќ»≈ Ђ—¬ќ…—“¬ј ѕ≈–≈—≈„≈Ќ»яї
Ќ.ј. оргин
???л?д????? ???????? ??м?????л????м?? м??????м?? м??г?????????ль??? ??????????, ???д?????м?? ? ??д? ?????????? м?д?????? ???м, ?????л?ю??? ?м??ьш??ь ???д??м????ь ???????? Ђ???????? ??????ч????ї ? ??л????, ??????д?м?г? ? д??????ч??г? дл?
??г?, ч???? ????ль???? ?????????? ?????дл???л? м???????? д??????м?? ????ль?????.
???дл???? ?лг????м, ?????л?ю??? дл? ???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м?
????д?л??ь ? дл? ????? м??????? д??????м?? ????ль????? ?????????? ??? ???м? ?д??л???????? ???????? ??????ч????.
???????? ?????: ???????? ??????????, ??лл???????? ?????, ??м?????л????м?? м??????м, ?????????? м?д?????? ???м?.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
??? ?????д???? ??????????, ? ??????? ?ч?????ю? ????????, ???????????????? ? ?? ????ль????,
?????ль?? ????л?м? м?????л???????? ???????м?? ?????м?ц??? ? ?? ???????. ? ???м ?????л????? ??? ???????м?? Ђ????????????ч?????ї ????д???? ????????? ? д??????? ? ??????????? ????????? ??????? ????????м ???? ?????м? ? ц?л?м.
???????м? ?????????? ? ?ч?????м ???????????????? ????????? ??л?ч?л? ???????? м??????м??
???????? ?????????? [1, 2], ??????? ????? м????
????м???????ь ??? м??????м? ??лл???????г? ?????? [3] ? ?????д?ю??м? ??????????м? м????????м? д??????м?? ?ль???????? ? ????ль????? ?????? (?????м?, ? ??м??? д????? ????ь?, ???????
Ђ????ль??? ??????????ї ? Ђ????ль??? ??????ї ?ч???ю??? ??????л?????м?). ???????м? ????????
?????????? (?????л? ?г??г???????? ?????????
????????? ? ????? ????ц??? ???д??ч?????), ? ??????? ??? ???????? ???д??ч???ю? ???????ь ??????, ??????ю??? ??м?????л????м?м? м??????м?м? ???????? ?????????? [1, 2]. ? ?????? [4] ??л
???дл???? ?????????????? м??????м ??????????
м??г?????????ль??? м??????м?? ?? ?????? ???
???????м?? ?????????? ????????? ???? [3, 5, 6]
дл? ?л?ч??, ??гд? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????????? (?л? м???????? д??????м??
?ль???????? ? ???м???л?г?? ?????? ??лл???????г? ?????? [3, 5, 6]) ??л????? м??г?м????м ???м??г?ль????м ? д????????м ???????д????м м??-
18
????? д??????м?? ???ч???? ???д?г? ?? ?????????.
??л? д???????, ч?? дл? м???????? д??????м??
?ль????????, ???д?????м?г? ? ??д? м??г?м????г?
??м?????, лю??? ??м?????л????м?? м??????м
??лл???????г? ?????? ????? ???д?????м ? ??д?
?????????? м?д?????? ???м?, ??? ??л????, ч??
д????? ???м? ?д??л???????? ?????м? ??л???ю ??
д????м м???????? ? ???????? ??????????? [6].
?????? ???????? г??????????, ч??, ??л? ??? ????????? ?ч???????? ?????? (????????? ? ??ш?м ????м????) ?????дл???? м???????? д??????м??
?ль????????, ?? ????ль??? ?????? ? ????????????
? ???м????м?м ??м?????л????м?м м??????м?м
????? ??д?? ?????дл????ь ???м? м????????. ?д????, ??? ??м?ч?л??ь [4], ???????? д????г? ????????
д??????ч?? ???д??м?? ? ????????л????? дл? ??м????ц?? Ђ????????м?? ??м?????л????м?? м??????м ?????? ? ???л?д??м?? м???????? д??????м?? ?ль????????ї. ? ??м??? д????? ????ь? ???л?д?ю??? ???????? ?????????? м?д?????? ???м,
?????л?ю??? ?м??ьш??ь ???д??м????ь ????????
???????? ??????ч????. ???дл?г????? ?лг????м, ?????л?ю??? дл? ???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м? ????д?л??ь ? дл? ????? м???????
д??????м?? ?ль???????? ??? ???м? ??л?д??? ????????м ??????ч????, ? дл? ????? ???. ?????? ??д??д
?????л?? ? ??м ?м??л?, ч?? ?????л??? ??г????????? ?????????? ????????????ь ????????ю??? ?г?
??м?????л????м?? м??????м м??г?????????ль??? ???????? ?????????? ? ????????ь, ??? ?????
??л????? ?? д??????м?? ????????? ?????????
???? м??????м м???? ??д?? ???м????ь.
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
? ?????????? ?д?????????? ?ль????????? ?i =
i
i
= arg max u (y) ? ??ч?? Ђ????ї ?г???? i, ?i ? N ? ? A;
y?A
m
)
? ?z, z' ? ? ,
i
i
)
[z' ? B ({z, ? }), z' ? z] ? [u (z' ) > u(z)],
i
)
гд? B ({z, ? }) ? м???м?ль??? m-м????? ???м?i
?г?ль???, ??д??????? ?ль????????? z ? ? , ????д?л??м?? ?л?д?ю??м ??????м. ?л? ???????ль??m
г? м???????? A ? ? ??????ч?м ч???? Ak ?????ц?ю
д????г? м???????? ?? ????д??????ю ??ь k ? M,
?. ?. Ak = Projk(A). ????юю ? ?????юю г????ц?
м???????? Ak ??????ч?м min Ak ? max Ak ??????????????. ??гд? м???м?ль??? m-м????? ???м?m
?г?ль???, ??д??????? м???????? A ? ? , ????д?л????? ???
B (A) =
?
k?M
[minAk, maxAk].
)
??д?м ???????ь д??????м?м? ?ль?????????
z ? A, ? ??д??????м?м? ? z ? B (A)\A.
??л?? ??чь ??д?? ??????ь ? ??д?ч? ??????????
????? ??м?????л????м?? ????ц?? ??лл???????г?
1
?????? f(?), ??? ??????? ?г???? ??????????????
1
? ??м??? д????? ????ь? ??????? Ђм??????м ???????? ??????????ї, Ђм??????м ??лл???????г? ??????ї Ђ????ц?? ??лл???????г? ??????ї ?ч???ю??? ??????л?????м?.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??????????? 1 [6]. ?????м? ?????? (л????)3 ???л?ц?? W ????д?л??? дл? ???д?? ?ль?????????
1
z ? [d, D] ? ? ????? ???л?ц?? ?г????? W(z) ? ???????????? ?? ?л?д?ю??м? ??????????м?:
? ????ц?? ????????????: ?z ? (d, D] ([d, D)),
N
N
W(z) ? Њ, Њ ? W(z) ? W(d) = 2 \Њ (W(D) = 2 \Њ);
? м??????????ь ???л?ц??: ??л? S ? W(z) ?
S ? S', ?? S' ? W(z);
? м??????????ь ????ль????: ??л? z' < (>)z ?
S ? W(z), ?? S ? W(z' );
? ??л?????????????ь ??????: ?S ? N, ?z ? [d, D]
t
? дл? лю??? ???л?д?????ль????? {z } ? [d, D] ?????,
t
t
ч?? lim z = z, ????? [?t, S ? W(z )] ? [S ? W(z)]. t??
???м? ?л???м?, ???д???? ????ц?? W(?):
[d, D] ? 2N\Њ, ???????? ? ???????????? ???д??
?ль????????? z ? [d, D] ????????? ??дм????????
N
м???????? ???? ???????? ???л?ц?? ?г????? 2 \Њ.
? ?л?ч?? м??г?????????ль??г? ??????, дл? м???м?ль??г? м??г?м????г? ???м??г?ль????, ??д??????г? м???????? д??????м?? ?ль???????? A,
m
)
????д?л?м ??????д?м?? ???????? ???????.
? ??????????? ???м? ??? ??? ??????? д??? ? ?????? [4], ?????м? ?д??ь ??? ??д?? ??л????? ??????, ??? ??д?????? ??мм????????.
????ь ??д??? м???????? ?????????, ?? ??????м ???????д???? ?????????? M = {1, ..., m}, м??m
?????? д??????м?? ?ль???????? A ? ? , ??л?ю????? ??м??????м ? м???????? ?г????? (????????л?? ?л? ?????????) N = {1, ..., n}. ?? ?????????
????????? ?г????? ? ?????л?? ???д??ч????ль???
? ?? ??ч?? ?????? ?ль?????????? д?л??? ???ь ??????? ?д?? ? ??? ????ль??? ??лл???????г? ??????,
??л?ч??м?? ? ??м??ью ????????? ????ц?? ??лn
л???????г? ?????? f(?): A ? A. ? ??м??? д?????
????ь? ??д?? ???д??л?г??ь??, ч?? м???????? A ?????л?, ???? ч???ь ????д?л???? ? ????ль????? ??д??
?????д??ь?? ? дл? ?л?ч?? ???????л?? м???????
д??????м?? ?ль????????. ???д??ч????? ?г?????
??д м????????м ?ль???????? ??????????? м??г?м???? ?д????????м? ????ц??м? ???д??ч?????
i
m
[6] u (?): ? ? ?, i ? N:
? ????????? ???????г? ???ч???? ????? ??ч?? ?????. ? ??????? [3, 5, 6] д???????, ч?? ????? ????ц?? ??м?????л????м? ??гд? ? ??ль?? ??гд?, ??гд?
??? ???д?????м? ? ??д? ?????????? м?д??????
2
???м . ??л?? ?????д???? ???????? ???????, ??????д?м?? дл? д????г? ???д????л????.
?л? ???????? м?д?????? ???м ????ль??????
??????? ?????м ?????? ? л???? ???л?ц??, ????ч?ль?? ????д?л??м?? ?? ?д??м????м ????????????
?ль????????.
B (A) =
? Ak м???? ????д?л??ь ??м?????? ?????м
k=1
m
?????? ???л?ц?? R ? ????? { R k } k = 1 , гд? Rk ??л????? ?????м?? ?????? ???л?ц??. ???л?г?ч??м
??????м м???? ????д?л??ь ??м?????? ?????м л?m
??? ???л?ц?? L ? ????? { L k } k = 1 .
????ль??? д????? ???????, ???д???? ?л?д?ю??? ???м?ль??? ????д?л???? ?????????? м?д?????? ???м?.
??????????? 2 [6]. ????ь ??д??? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? A ? ??м?????? ?????м ?????? R (л???? L) ???л?ц?? ?? м????????
4
)
1. ќ—Ќќ¬Ќџ≈ ѕќЌя“»я
» ѕ–≈ƒ¬ј–»“≈Ћ№Ќџ≈ –≈«”Ћ№“ј“џ
B (A). ??гд? ?????????? м?д?????? ???м? x = h(?) ,
2
?????м?, ? ??м??? д????? ????ь?, ??????? Ђ???м?? ??м?????л????м?? м??????м ???????? ??????????ї ? Ђ?????????? м?д?????? ???м?ї ?ч???ю??? ??????л?????м?.
3
? д????м ????д?л???? ? ??????? ?д?? ?????ь ???????????ю??г? ??л???? дл? л???? ?????м? ???л?ц??.
4
??д????м???????, ч?? ?г???? ??????ю? ???? ???л?чш??
?ль????????? (??ч?? ????).
19
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?????д????? ???????????ью (A, R) (?????????????? (A, L)), ????д?л????? ?л?д?ю??м ??????м:
i
hk(?k) = max{zk ? Ak|{i ? N | ? k l zk} ? Rk(zk)},
i
(hk(?k) = min{zk ? Ak|{i ? N | ? k m zk} ? Lk(zk)})
n
дл? ?? ? A ? ?k ? M. ???м? ?л???м?, ? ??ч????? ????ль???? ?????????? ?? ???д?м? ???????ю ?????????? м????м?ль??? (м???м?ль???) ?????ц?? ?ль?????????
zk ? Ak, дл? ??????? м???????? ?????????, чь? ??ч?? ???? л???? ?????? (?л???) ?? д????? ?????ц??,
?д??л???????? ??????????м ????????? ?????м?
?????? (л????) ???л?ц?? ?? д????м? ???????ю
дл? д????? ?????ц?? ?ль?????????.
????ь м??д? ?????м?м? л???? ? ?????? ???л?ц??, ?????д?ю??м? ?д?? ? ?? ?? м?д?????ю ???м? (дл? ?д??г? ????????), ????д?л?л??ь ?л?д?ю??м ??????м [6]:
N
?????? 1. ????м????м м??????м ???????? ??????????, ????д??ю??? ????????? ?г????? ?? ???д?м?
???????ю:
n
1
x = f(s): ?k ? M, xj = --n
i
? sk .
(1)
i=1
?????? м??????м м?????л????м. ??л? ?г???? ??????ю? ч????? ???ч???? ????? ??ч?? ????, ?? ????ль????м ?????? ??д??
1
x(?): ?j ? M, xj(?j) = --n
n
i
? ?j ,
i=1
i
?k
гд?
? ???л?чш?? ???ч???? ???????? k дл? ?г???? i
(?л? ???л?чш?? ?ль????????? ?? д????м? ???????ю), ?
i
???г??ш ???д?г? ?г???? ??д?? u (x(?)), i ? N.
?ю??м? ?г???? i ? N, дл? ??????г? x(?i, s?i) ? ?i ???
?i
лю??м ?????? ????????? ????ль??? ?г????? s , ??д??
??г?д?? ???????ь ???? ?????????. ??л? ????ль??? ?????? ?? ????м?-л??? ???????ю k ? M ??д?? м??ьш?, ч?м
???ч???? ???л?чш?? ?ль????????? ?г???? ?? д????м?
i
?i
i
???????ю, ?. ?. xk( ? k , s k ) < ? k , ?? ????????? ???????i
z k ? minA k ?
?
- ?,
Rk(zk) = ? S ? N |#S = r l n ---------------------------------------maxA k ? minA k ?
?
?zk ? (minAk, maxAk],
N
Rk(minAk) = 2 \Њ, ?k ? M,
minA k ? z k
?
L *k (zk) = ? S ? N |#S = l m n ---------------------------------------maxA
k ? minA k
?
?zk ? [minAk, maxAk),
?
?,
?
N
L *k (maxAk) = 2 \Њ, ?k ? M.
??м??л # ??????ч??? м??????ь м????????.
?? ???. 1 ???д????л?? д????? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м дл? ?л?ч?? д??? ????????? ? ????
?????????. ? ??ч????? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? ????м?????????? Ђ?юд?????? ?г????ч?2
???ї A = {x ? ? |x1 + x2 m 1, x1, x2 l 0}. ?л? д????г?
)
L*(z) = {S ? 2 |?z' > z, ?S' ? R(z' ), S ? S' ? Њ}.
????ллю???????м ???д????? ????д?л????.
? ?????? [4] ??л? ????????, ч?? ??м?????? ?????м
?????? ? л???? ???л?ц??, ?????д?ю??? ???м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? f(s) ? ????д?л??м??
?????????м (1), ?м?ю? ?л?д?ю??? ??д:
2
м???????? д??????м?? ?ль???????? B (A) = [0, 1] .
??м??л?м? rk ? lk, k = {1, 2} ??????ч??? ч??л? ?ч???????? ???л?ц??, ??????д?м?? дл? ?д??л????????? ?????????? ?????м? ?????? ? л???? ???л?ц?? ?? ???????ю k ? {1, 2}. ??ч?? ????? ?г????? ??м?ч??? ??л?м?
??????м?. ?????????м? л????м? ??????ч??? ?????ц?? ??ч?? ????? ???? ?г????? ?? ???д?? ?? ?????????.
????????м? ? ??м?????? ?????????? ? ???л?ц??м
?? ???д?м? ?? ?????????. ? ???????ч?ль??м ????????
???м?л?????? ?????????? м?д?????? ???м, ???дл??????? ?. ??л???м [3] ? ??ч?? ???? Ђ?????м???ї
?г????? дл? ????д?л???? ????ль????? ?????? ?? ???д?м? ?? ?????????. ? ??ч????? ????ль???? ?????? ?? ???д?м? ???????ю ??????? м?д???? ?????ц?? ??ч?? ????
???ль??? ? ?????м??? ?г?????. ????ль??? ?????? ??м?ч?? ч????м ??????м.
?л? ???м?г? м??????м?, ??????л?????г? м??????м? (1), ????ль??? ?????? ?? м???????? A ????д?л?????
?л?д?ю??м ??????м [4]:
i
hk(?k) = max{zk ? [0, 1]|#{i ? N | ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2}.
(2)
?? ???. 1 ??д??, ч?? ????ль??? ?????? ?? ???????ю 1 h1 ????? 1/3, ч?? ??????ц????ль?? д?л? ?г??-
i
??г? ???ч???? ????? ???л?чш?? ?ль????????? s k > ? k
i
???л?ч?? ???ч???? xk, ????л???? ?г? ? ? k , ??м ??м?м
i
i
?i
i
i
?i
?л?чш?? ???г??ш ?г???? u (x(s , s )) l u (x(? , s )). ???л?г?ч??, дл? ???д?г? ???????? k ? M, ????г? ч??
i
?i
i
i
i
xk( ? k , s k ) > ? k , ????????? s k < ? k , ?м??ьш?? ???ч???? xk(?k), ??м ??м?м ???л?ч?? ???г??ш ?г????.
?д????, ??????л???????? ??д????м ??????м ????д???? ?г????, м???? ????д?л??ь ??????????? ?? ??ш?
????????? s*(?) ??? ??д????м ?????л? (??????) ? ??n
ч?? ???? ?г?????. ???????м h(?) = f(s*(?)), ?? ? A ?????????? ???????????ю??м f(s) ???м?м м??????м?м.
??л? м??????м h(?)??м?????л????м??, ?? ?? ?????????? ??????л?????м f(s) [1, 2].
20
???. 1. ?????????? ????????? ?????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?
M (y, z) = {k ? M | zk < yk}, ??????? ????д?л?ю?
????? ?????????, дл? ??????? ???ч???? ???????????ю??? ??м??????? ?ль????????? z ????г?
??льш? y ? ?ль????????? z ?????л????? ?????? ??
д????м ????????м y, ? ???????? ? ?ль????????? z
?????л????? л???? ?? д????м ????????м y. ??л?
+
?
k ? M (y, z) ? M (y, z), ?? ?ль????????? ?????л?ч?м? ?? д????м? ???????ю. ????м ??????м,
??л?????? ?ль????????? y ????????ль?? ?ль????
?????? z ??????????? ????? м??????? {M (y, z),
+
M (y, z)}.
??????????? 3 [6]. ??м?????? ?????м ??????
m
)
???л?ц?? R = { R k } k = 1 , ????д?л????? ?? м????)
???? B (A), ??л?д??? ????????? ??????????? дл?
м???????? A, ??л? дл? ?y ? B (A)\A ? лю??г? ??1
T
??ч??г? ??дм???????? {z , ..., z } ? A ?????:
?
?
t = 1?
+
t
k ? M ( y, z )
lk(yk) ?
?
rk(yk) ? ? Њ (3)
t
?
( y, z )
?
k?M
T
дл? лю??? ???л?ц?? rk(yk)?Rk(yk), гд? k?
M ?(y,z t)
t=1
? лю??? ???л?ц?? lk(yk) ? L *k (yk), гд? k ?
?
T
M +(y, zt). )
????????? y ? B (A)\A. ?л? ?????л?? ??м???????
м??????? ?y ? B (A)\A ??ш?ю??? ??дм????????
1
m
S (y) = {z , ..., z } ? A ????д?л????? ?л?д?ю??м
??????м ? ?? ???д?г? ??ч???? A г?????л??????ью, ?????д???? ч???? ?ль????????? y, ????????t
?? ?? ?д??? ?ль?????????; ?t = 1, ..., m z k = yk, ??t
t
л? k = t, ? z k дл? k ? t лю??? ?????, ч?? z ? A. ??
??л???? [7] ?л?д???, ч?? дл? ??ш?ю??? м???????
??л???? (3) м???? ???ь ???????? ?л?д?ю??м ??????м:
+
k ? M ( y, A )
lk(yk) ?
?
k ? M ( y, A )
rk(yk) ? Њ,
(4)
?
дл? лю??? ???л?ц?? rk(yk) ? Rk(yk), гд? k ? M (y, A),
? лю??? ???л?ц?? lk(yk) ? L *k (yk), гд? k ? M +(y, A).
?д???? ????????, ???л????м ?л? ??? ???м??
??м?????л????м?? м??????м ?????? ?? ??д????м
м????????, ???????? ??д?ль??? ?л????? ??д?ч??,
??? ??? ????????? ????????ь ??? ??д??????м??
?ль????????? y ? B (A)\A ? ?? ?????????? ?????????????г? ?лг????м?, ?????л?ю??г? ?м??ьш??ь
?л??????ь ????????. ?????????? ??д????г? ?лг????м? ????????? д?ль???ш?? ??л??????.
2. ћќЌќ“ќЌЌќ—“№ —¬ќ…—“¬ј ѕ≈–≈—≈„≈Ќ»я
t=1
)
??ч????????, ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ?
???? ????ч???, ч?? лю??? ??д??????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A м???? ???ь ??????? ? ????ль???? ???м?????? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? ??ль?? ? ??м ?л?ч??, ??л? ???д???? ????
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??????м, ч?? ???????? ???????? ??????ч????
м???? ??????????? ??л?гч??ь, ??? ??? д??????ч??
)
T
м???????? S (y) ? A дл? ???д?? ??д??????м?? ?ль-
)
?л? лю??? ???? ?ль???????? y, z ? B (A) ????+
??ч?м м???????? M (y, z) = {k ? M |zk > yk} ?
)
)
ч?? B (A) = B. ?л? ???????? ???л????м???? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? ????ль??????
??????? ???????? ??????????? дл? ?????д?ю??г?
?г? ????.
)
)
?? м???????? B (A), ?. ?. ?? m-м????м ???м??г?ль????. ?????м? лю??? ???м?? ??м?????л????м??
м??????м ??лл???????г? ??????, ????д?л????? ?
???м???? ????????? ?????? ?????????? ????????
(????) дл? ???????ль??г? m-м????г? ???м??г?ль???? B, ????????? ??????м дл? лю??г? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? A, ????г?
y ? B (A)\A, ?? ??д?м ?ч????ь, ч?? д????? ??м?????? ???????? ????????? ??????????? ??? A ? y.
???д? ??? ??????д?м?? ????д?л????, ?????д?м
???????? ????ль???, ??л?ч????? г?????? ?. ???????:
Ђ??????? ????????????? ?????? ?? ??????? ?????????? ??????????? ???????????? ??? ??????????
m
?????????? ??????????? ? ? ? ???????????????
????? ? ?????? ?????, ????? ??? ??????????? ? ???? ?????????? ????????? ?????, ???????????????
???????? ???????????ї [6].
? ??????? [6, 7] ??л? ????????, ч?? ??л???? (3)
д??????ч?? ????????ь л?шь дл? ?д??г? ?????????
)
)
? ??д? д?ль???ш?г? ??л?????? ???м?? Ђ??????ї ?л? Ђл???? ???л?ц??ї ??м???м ?? ?????????? ????????, ???ч???, гд? ??????д?м?, ? ?????
?м???? ???л?ц??? ??д?? ?д?? ??чь.
?????????? м?д?????? ???м? ????д?л?ю???
?? ?д?? ?г???, чь? ??ч?? ???? ????? ?? ?????дл???? м???????? A. ??л? ???? ??л?д??? ????????м
??????ч???? ?? м???????? A, ?? ?????д??м?? ?м
?????????? ???м? ?д??л???????? ???????? ??????ч???? ?? ???м ?? м????????. ??л? ???? ?д??л???????? ??л???ю (3) дл? ?????-л??? ?ль?????????
)
??? (?д?? ?? ????), ???ч???? ?????ц?? ??ч?? ???? ??????? ?? м??ьш? h1. ???л?г?ч?? ?? ?????м? ???????ю
h2 = 2/3. ????????ь ??д??????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A,
л?????? ??? м???? Ђ?л???ї ? ??м?????ю м???????? A ? clA.
21
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
??????ч?м ?? ???л?г?? ? M +(?)(y, z) м????????
?????????, ?? ??????м ??д??????м?? ?ль?????+
???? ?????л????? л???? м???????? ? M (y, A) =
?
= {k ? M|A >k y} ? ?????? ? M (y, A) = {k ? M |A <k y}.
????? ??????ь??, ч?? ???д???? ????????, ???ь м?+
?
???, ?? ?д??, k' ?M ????? ч?? k' ?M (y,A) ? M (y,A).
?ч???д??, ч?? ??л? м???????? A ?????л?, ??
+
?
M (y, A) ? M (y, A) = Њ.
??????????????, м???? ????д?л??ь ?????? ??M
????л???? d(y, A) = {d1, ..., dm}, d(y, A) ? 3 , гд?
+
???. 2. ??????????? ????????? ???????????? ????????????
dk(y, A) = l, ??л? k ? M (y, A), dk(y, A) = r, ??л?
?
+
+
)
????? y, z ? B (A) ?????д?м ?? м??????? M +(y, z) =
?
= {k ? M |zk > yk} ? M (y, z) = {k ? M |zk < yk} ? ??????? ??????????? d(y, z) = {d1(y, z), ..., dm(y, z)},
+
M
d(y, z) ? 3 , гд? dk(y, z) = l, ??л? k ? M (y, z),
?
dk(y, z) = r, ??л? k ? M (y, z), dk = 0, ??л? k ?
+
?
)
? M (y, z) ? M (y, z). ????д?л?м ??л?????? ??-
)
???л????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A ????????ль?? ?????л?г? м???????? A ?л?д?ю??м ??????м.
??д?д?м дл? ???????ль??? ??д??????м?? ?ль???)
?????? y ? B (A)\A м???????? ????????? ???????-
)
1
2
)
???м??, ?? ???. 2 S (y) = {z , z }, ?. ?. ?ль?????????
y ? B (A)\A ????д?л?м ??????????????? ??????????? ????????????? ???????????? ????????? A:
B ({y, A}) =
[ y k, maxA k ]? .
= ?
? [ minA k, yk ]?? љ ?? ?
?
? k ? M+ ( y, A )
?
k ? M ( y, A )
?? ???. 3 ?????д?? ???м?? д????г? ???м??г?ль????. ????д?л?м, ч?? ??? ??д??????м??
)
?? ??ш?ю??г? м???????? дл? y ? B (A)\A ??л?ю???
Ђ???ш???м?ї clA(y).
??гд? м???? ????м?л??????ь
??ч???? ? ???г? м?м???? ??? ??л?????? ??д??
????????л??ь?? дл? ?????л?? м??????? д??????м?? ?ль????????, ?????м? ?ч????м, ч?? ??л??????
??д??????м?? ?ль????????? ????????ль?? м???????? A ????д?л????? ?д?????ч??.
?л? ???????ль??? ??д??????м?? ?ль?????????
)
??? ?ль???????? clA(y) = {z ? A: B ({z, y}) ? A = z}
1 2
(?м. ???. 2 ? clA(y) = [z , z ], z' ? clA(y)). ?ч???д??,
ч?? clA(y) ? clA. ?????? м???????? ????? ????????
? ???????м ??ш?ю??г? м????????, ????ль???м?г?
дл? ???????? ???????? ??????ч???? дл? A ? y. ??-
?
??л? ?k ? M (y, A) ? M (y, A), ?? ч??л? ???????? ??????л???? ?д????????? ? ???г? ??л?????? ??д??????м?? ?ль????????? ????????ль?? A ??????????? 2g ???????м? ??????л????, гд?
+
?
g = #(M (y, A) ? M (y, A)). ??л? м???????? A ?????л?, ?? ?????? ??????л???? ?д??. ???м? ??г?,
?ч???д??, ч?? дл? лю??? д??????м?? ?ль????????? dk = 0 дл? ?k ? M, ?. ?. ?z ? A d(z, A) = {0, ..., 0}.
)
?л? ???????? ????м??г? ??л?????? д??? ?ль???-
?
k ? M (y, A), dk = 0, ??л? k ? M (y, A) ? M (y, A).
??????????? 4. ?ль????????? y ? B (A)\A
?????л????? ????? (??????) ????????ль?? м???????? A ?? ???????ю k ? M ? A >k (<k)y, ??л?
)
?(+)
(y, z) ? ?z' ? clA(y) ?????, ч??
?z ? clA(y), k ? M
+(?)
(y, z). k?M
????д?л???? 4 ?? ????? ???? ??л????? ???л?г?м
????д?л???? ??л?????? д??? ?ль???????? ????????ль?? д??г д??г? ?? ??д?ль??м? ???????ю.
?ллю????ц??? ???г? ????д?л???? ?л???? ???. 2
2
дл? ? (м???????? д??????м?? ?ль???????? A
????? ?? ???м??? 1). ?ль????????? y ? B (A)\A
?????л????? ?????? ????????ль?? A ?? ????м
1
2
+
????????м, ??? ??? дл? ?z ? [z , z ] M (y, z) = Њ,
1
2
?
? ?z ? (z , z ) M (y, z) = {1, 2}.
22
???. 3. ??????????????? ??????????? ?????????????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
)
?ль????????? y'' ? B (A)\A, ?????, ч?? ?z ? clA(y) ?
л?ю? дл? ?ль????????? y ? B (A) ?????? ??????????? {Mr, Ml}y, ??л? ???д???? ????? ????? ??????ю??? ???л?ц?? ?? ???м ????????м, ч?? ??
??????ч???? ????? ? ?. ?. ?k ? Mr ?rk(y) ? Rk(y) ?
?k ? Ml ?lk(y) ? L *k (y) ?????, ч??
)
y'' ? B (y, z) ??????????? ????? ? A, ч?м y. ?л? ????
?ль???????? ????? ?????, ч?? d(y'', A) = d(y, A).
????? д??????ь, ч?? ??л? ??????????, ??????д?м?? дл? ??л?д???? ???? ????????м ??????ч???? ????л???? дл? ?????-л??? ?ль????????? y ?
m
= { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? B (A). ??дм???????? ????????? Mr, Ml ? M, Mr ? Ml = Њ ????д?)
)
?? A, ч?м y. ?ч???д??, ч?? дл? ???? y' ? B ({y, A})
d(y', A) = d(y, A). ???л?г?ч??, ??? ??д??????м??
)
??????????? 5. ????ь ??д??? ???? W =
)
?ль????????? y' ? B ({y, A}) ??????????? ??????
)
)
?????????? ?? ????????? B (A) ? ?????????? ????????? ??????????? ??? ????????? A ? ????????????
y ? B (A)\A. ????? ?????? ???? ???????? ?????????
??????????? ??? A ? ????? ???????????? ????????)
)
???? y' ? B ({y, A}). ????????ль???? д????? л?мм? ? ???? д?ль???ш?? ??????д???? ???????? ? ???л??????.
????????? ????? 1. ????? ?y ? B (A)\A ?????,
m
)
??? ???? W = { W k } k = 1 , ???????????? ?? ??????-
)
??? B (A), ?? ???????? ????????? ??????????? ??? A
? y. ????? ??? ???? ?? ???????? ????????? ??????????? ??? ????????? A ? ????? ???????????? ???????????? y', ????????????? ????? ? A, ??? y. ??мм? 1 ? ?? ?л?д????? ????????ю? Ђм??????????ьї ???????? ??????ч???? ? ?????л??? ??????????? ??л?гч??ь ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч????, ??? ??? д??????ч?? ????????ь ??д??????-
)
м?? ?ль????????? y ? B (A)\A, л?????? ??? м????
Ђ?л???ї ? clA. ??, ? ??л? ?????????? м????????
k ? Mr
rk(y) . ?????? ??????л???? ????д???? Ђ??????ї ??
???м ????????м ?? м???????? Mr ? Ђл????ї ?? ????????м ?? Ml . ?ль??????????м ????????м ??????
??????л???? ??д?? ?????ь d(y) = {d1(y), ..., dm(y)},
M
d(y) ? 3 /Њ, гд? dk(y) = r, ??л? k ? Mr, dk(y) = l, ??л?
k ? Ml, dk(y) = 0, ??л? k ? Ml ? Mr .
??г?? ??м????ь, ч?? ?????? ??????л???? ????ч???, ч?? дл? ?ль????????? y ? B (A) ?? ????л?????? ??л???? (4), ??л? ??д?? ????????ь?? ?м????
??? ??м????ц?? ????????? ? ??????ю??? ???л?ц?? ?? ??м. ??ч????????, ?м??л ?????г? ??????л???? ?ч??ь ??????? ? ?????? ? ??л? дл? м???????? A ?????????? ??д??????м?? ?ль?????????
y ? B (A)\A, л?????? ? ????м ?????м ??????л????
????????ль?? м???????? ?: d(y) = d(y, A), ?? ????
m
W = { W k } k = 1 ?? ??л?д??? ????????м ??????ч????
дл? A ? y.
?л? лю??? ?ль????????? м???? ???????????ь
?? ?д?? ?????? ??????л????, ?????м? ????д?л?м
0
м???????? ?????? ??????л???? D (y) = {d(y)}.
??????дл??? ?л?д?ю??? ?????м?, ?????л?ю???
????????ь ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ч????
?????? ??????л????:
??????? 1. ??м?????? ?????м ??????ю??? ??m
?л?ц?? W = { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? м???????
)
B (A)\A, ??ш??ь ??? ??д?ч? д??????ч?? ???д??. ??????м, ч?? ???м???? д?ль???ш?? ????????? ?лг????м? ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч????.
lk(y) ?
)
m
????? 1. ????? ?????? ???? W = { W k } k = 1 , ??-
k ? Ml
)
B (A)\A, ?? ??? ????? ????л???? дл? ???? ??д??????м?? ?ль????????, ?????л??????? д?льш? ??
м???????? A, ч?м ?ль????????? y:
3. ѕ”—“џ≈ Ќјѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
ќЅќЅў≈ЌЌџ’ ћ≈ƒ»јЌЌџ’ —’≈ћ
)
B (A), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A, ??г-
?л?д?ю??м ?????м ? ?????????? ?????????????г? ?лг????м? ???????? ??л?ч?? ???????? ????m
)
)
??ч???? дл? м???????? A ? ???? W = { W k } k = 1 ,
???? ?? B (A). ??? ???????? ????д?л?ю??? ?? B (A)
? ??л?ю??? ?????ч??м? дл? ???????? ??л?ч??
m
)
???????? ??????ч???? ? W = { W k } k = 1 дл? лю??г?
A', ????г?, ч?? B (A' ) = B (A).
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??л????? ?????м дл? ?ль????????? y ? B (A)\A, ??
????, ??????м ??л? ????д?л??? д????? ??????
??????л????, ?? ??л?д??? ????????м ??????ч????
дл? м???????? A. ?л? ???? ?? ???м??? 1 (?л?ч??
???? ?????????) м???????? ?ль????????, дл? ??????г? ??????л???? (r, r) ??л????? ?????м, м?????)
)
)
????д?л????м ?? м???????? B (A), ??д?? ???м?л?????? ???????, ??????м ??? ??д?л??? ??? ?ль?????-
)
д? ? ??ль?? ??гд?, ??гд? ?y ? B (A)\A ?????, ч??
0
d(y, A) ? D (y). ???. 4 ?ллю???????? ???????? ???????? ??????ч???? ? ???м???? ?????? ??????л????. ??л? ??????л???? Ђ??????ї ?? ????м ????????м d = (r, r)
??? B rr (A) ?????????? ?? ??????? ????м ц????м.
23
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
?? ????, м???????? ?????ч??? ?ль????????
)
Empd B (A) ??л????? г????ч??? ??????????ью дл?
)
???г? ??дм???????? ?ль???????? ?? м???????? B (A),
)
0
)
дл? ??????? ??????л???? d ??????: Empd B (A) =
)
= cl{y ? B (A): d ? D (y)}\cl B (A). ?? ???. 5 ??????
)
???-л??? ?ль????????? y ? B (A), ?? ??? ?????
?????? дл? ???? д??г?? ?ль???????? ?z ? B (A) ?????, ч?? ?ль????????? y л???? ? ???м ??????л????
????????ль?? ???: d(y, z) = d.
M
????? 2. ????ь ?????? d ? 3 \Њ ??д??? ?????? ??)
0
)
????л???? дл? ?ль????????? y ? B (A) ? d ? D (y).
??гд? дл? ?z ? B (A), ????? ч?? d(y, z) = d д?????
0
?????? ????? ??д??? ?????? ??????л????: d ? D (z). 0
0
????????? d'(y) ? d(y) ????? ??? ?k ? M \M0 d 'k (y) =
= dk(y). ?????? ??????л???? d(y), дл? ??????? ?k ? M
dk(y) ? 0, ??д?м ???????ь ??????????????? ???????
????????????? ? ??????ч?м м???????? ??л?????0
0
м????? ?????? ??????л???? ??? Df (y) ? D (y).
????ль??? л?мм? 3 ???ч???л?? ?? ?л?д?ю??? ???ч???. ? ???м???? ????д?л???? 5 ?????????? 3M \Њ
???м????? ?????? ??????л???? ????????ль??
??????ч???? лю??? ?ль????????? y ? B (A). ? ??
???м? ??? ??л?????м????? ?????? ??????л????
????????ль?? ??? ?? ?ль????????? м???? ??????M
?????ь 2 \Њ, ? дл? ???????? ???????? ??????ч????
д??????ч?? ???л?д????ь ??ль?? ??.
??мм? 2 ? 3, ????? ? ???????м ?????г? ??????л????, ?????л?ю? ????м?л??????ь ???????? ????ль??? д????? ????ь?.
??????? 2. ??м?????? ?????м ??????ю??? ??m
?л?ц?? W = { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? м????????
)
)
?? л?мм? 2 ?л?д???, ч?? D (y) ? D (z).
??л? ??????л???? (r, r) ? (?м. ???. 4) ? ??????
дл? ?ль????????? y, ?? дл? лю??? ?ль?????????,
?????л??????? л???? ?? ????м ????????м ?? y
(?л??? ? A), ??? ????? ??????.
???????ь ?? ???? ????ль???, м???? ????д?л??ь
??????? ????????? ?ль???????? дл? ???д?г? ??
?????? ??????л????.
d(y) дл? ?ль????????? y ? B (A), ????? ч?? ?M0 ? M,
?k ? M0 dk(y) = 0. ?????, ??????? ???????? ??? ??-
)
)
?????? ??????л???? дл? ?ль???????? ??л?д?ю?
????????м, ???л?г?ч??м м??????????? ????????
??????ч???? ? ??л? ??????л???? d ?????? дл? ??-
)
???. 4. ? ???????? ???????? ??????????? ?????? ??????????? ?
????????
л????? ??д?л??? м???????? Emp(r,r) B (A) ?????ч??? ?ль???????? дл? ??????л???? (r, r) дл? ????
?? ???м??? 1.
??м???м ?л?д?ю??? д??????ч?? ?ч???д???, ??
?????? ???????? ?????? ??????л???? ? ?? Ђ???ш????м???ьї ?? ????????м.
????? 3. ????ь ?????????? ?????? ??????л????
??????????? 6. ?ль????????? y ? B (A) ??л?????
M
?????ч??? дл? ?????г? ??????л???? d ? 3 \Њ, ??л?
B (A), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м?????-
)
)
0
?z ? B (A), ????? ч?? d(z, y) = d, ????? d ? D (z). ???г?м? ?л???м?, ?ль????????? y ??л????? ?????ч??? дл? ????г? ?????г? ??????л????, ??л? дл?
лю??? ?ль?????????, л?????? ? ???м ??????л???? ?? y, ??? ?? ??????. ??л? ?ль????????? y (?м.
???. 4) ??л????? ?????ч??? дл? ?????г? ??????л?-
??? (r, r), ?? дл? ???? ?ль???????? z ? B ({y, A}),
?????л??????? д?льш? ?? A, ч?м y), д????? ??????л???? ?? ??????. ????д?л?м м???????? ?????ч??? ?ль???????? дл? ???????ль??г? ?????г?
??????л???? d:
)
)
)
0
Empd B (A) = {y ? B (A): d ? D (y), ?z ? B (A),
0
d = d(z, y) ? d ? D (z)}.
24
???. 5. ????????? ????????? ???????????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
??? A ??гд? ? ??ль?? ??гд?, ??гд? дл? лю??г? ???????
M
)
??????л???? d ? 2 \Њ, ????г? ч?? ?z ? B (A)\A,
d(z, A) = d, ?????, ч?? дл? ?y ? Empd B (A)
0
?????? B (A)\A ? д????м ???м??? л???? ? ??????л????
(r, r) ????????ль?? м???????? A. ?????м? д??????ч??
???л?д????ь ??ль?? м???????? ?????ч??? ?ль????????
дл? д????? ???? дл? ??????л???? (r, r) ? Emp(r,r) B (A),
??????? ????? ?????????? ?? ???. 5. ??д??, ч??
i
hk(?k) = max{zk ? [0, 1]| # {i ? {1, 2, 3}| ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2}.
???????м ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????
???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?2
д?л???ю??г? ?юд?????? ?г????ч???? A = {x ? ? |x1 +
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
)
i=1
??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A =
2
= {x ? ? |x1 + x2 m 1, x1, x2 l 0|}. ?????? 3. ???????м, ??л?д??? л? ???? ?? ???м??? 2 ????????м ??????ч???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?д?л???ю??г? Ђ??л???????ї ?г??2
??ч???? ? A = {x ? ? |x1 + x2 = 1, x1, x2 l 0|}. ?? ???. 6
?????????? ???? ? м???????? A (?????? л????).
??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? м????????
B (A)\A ? д????м ???м??? л???? ? ??????л????? (r, r)
? (l, l ) ????????ль?? м???????? A. ?????м? д??????ч?? ???л?д????ь ??ль?? м???????? ?????ч??? ?ль???????? дл? д????? ???? дл? д????? ??????л???? ?
Emp(r,r) B (A), ??????? ?????????? ?????? ??????????
л????? (?м. ???. 6) ? Emp(l,l) B (A) ? ?????? ш?????????????? л????. ? д????м ???м??? Emp(r,r) B (A) ? A ?
Emp(l,l) B (A) ? A, ?? лю??? ?ль????????? ?? м????????
Emp(r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r) д??????м??
)
?????? 2. ????м????м ????, ?????д?ю??ю ???м?? ??м?????л????м?? м??????м (2), ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? ???д?м? ???????ю (?м. ???м?? 1) дл? ?л?ч?? д??? ????????? ? ???? ?г?????:
i
)
????ллю???????м ???????? ??л?ч?? ????????
??????ч???? ? ???? ???дл??????м ?лг????м?м.
3
? sj ,
)
4. ѕ–»ћ≈Ќ≈Ќ»≈ ѕ”—“џ’ Ќјѕ–ј¬Ћ≈Ќ»…
ƒЋя ѕ–ќ¬≈– » —¬ќ…—“¬ј ѕ≈–≈—≈„≈Ќ»я
1
x = f(s): ?j ? {1, 2} xj = --3
)
? Empd B (A): d(y, A) = d.
??л?, ? ???????????? ? д????м ?лг????м?м,
???д??? ???? ?? ?д?? ????? ??д??????м?? ?ль?????????, ?? ???л?д??м?? ???? ?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A. ??л? ?????
?ль???????? ?? ???д???, ?? ???? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A. ?л?д?????ль??, ???м??
??м?????л????м?? м??????м, ?????д??м?? ???л?д??м?? ???? ???л????м ?? д????м м????????
д??????м?? ?ль???????? ?.
м???????? Emp(r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r)
?? м???????? д??????м?? ?ль???????? A. ?????м? ??
?????м? 2 ????, ?????д?ю??? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? ????д????? ?? д??м ????????м дл? ???? ?????????:
)
)
????????м ??????ч???? дл? A, ?. ?. y ? B (A)\A ?
Emp(r,r) B (A) ? A, ?л?д?????ль??, лю??? ?ль????????? ??
)
)
????? Empd B (A);
?) ???????????, ????????ю? л? ??д??????м??
?ль?????????, ? ??????? ???? ?? ??л?д???
)
)
)
????? D(A): d ? 3 \Њ| ?y ? B (A)\A: d(y, A) = d.
3. ?л? ???д?г? ??????л???? d ? D(A):
?) ????д?л????? м???????? ?????ч??? ?ль???-
+ x2 m 1, x1, x2 l 0|}. ?? ???. 5 ?????????? ???? ?
м???????? A. ??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? м??-
)
M
)
?г?ль??? B (A), ??д??????? ??? м????????.
2. ????д?л???? м???????? ??????л???? ???-
???. 6. ????????? ????????? ??????????? ??? ??????????? ???????????
)
)
d(y, A) ? D (y).
?????м? 2 д??? ?????????????? ?????? ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????д?л?????
?? м??г?м????м ???м??г?ль???? ???? дл? ???????ль??? м??????? д??????м?? ????ль????? ??????. ??м???м, ч?? ????????????м ???д????л????? ???л?д?????? м??????? ?????ч??? ?ль????????
дл? д?ль???ш?г? ????????? ?лг????м? ????????
???????? ??????ч????.
?лг????м, ?????л?ю??? ????????ь ???? ??
??л?д???? ????????м ??????ч???? дл? ????????г?
м???????? д??????м?? ?ль????????, ??гл?д?? ?л?д?ю??м ??????м.
1. ?л? м???????? д??????м?? ?ль???????? ?
????д?л????? м???м?ль??? м??г?м????? ???м?-
?ль???????? A ? лю??? ?ль????????? ?? Emp(l,l) B (A) ??
л???? ? ??????л???? (l, l) ?? м???????? д??????м??
25
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?ль???????? A. ?л?д?????ль??, ?? ?????м? 2, ????,
???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? д??м ????????м дл? ???? ?????????:
1
x = f(s): ?j ? {1, 2} xj = --3
3
i
? sj ,
i=1
??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A =
2
= {x ? ? |x1 + x2 = 1, x1, x2 l 0|}. ?????? 4. ??????м, ??? ???дл??????? ?лг????м
??????????, ч?? ???? ?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? ????????г? м???????? д??????м?? ?ль????????. ?л? ???г? ????м????м ????, ?????д?ю??ю
???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? ???д?м? ???????ю (?м. ???м?? 1) дл? ?л?ч?? ???? ????????? ? ???? ?г?????:
i
hk(?k) = max{zk ? [0,1]|#{i ? {1, 2, 3}| ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2, 3}.
(5)
???????м ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????
???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?д?л???ю??г? ?юд?????? ?г????ч????
3
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m 1, x1, x2, x3 l 0|}.
)
?? ???л?г?? ? ???м???м 2, ??? ??д??????м?? ?ль-
)
????????? ?? м???????? B (A)\A л???? ? ??????л????
(r, r, r) ????????ль?? м???????? ?. ?? ???. 7 ?????????? ????, м???????? A (??ш??????????? ??л???ь) ?
)
Emp(r,r,r) B (A) (????м?????? ??л???ь).
??д??????м?? ?ль????????? y = (2/3, 1/3, 1/3),
???????????? ??л?м ??????м ?? ???. 7 ?????дл????
1
x = f(s): ?j ? {1, 2, 3} xj = --3
3
?????????ль??, ???ьм?м ???? ?г????? ?? ?л?д?ю1
2
??м? ??ч??м? ?????: ? = (2/3, 0, 1/3), ? = (1, 0, 0),
3
i
? = (0, 1, 0). ?ч???д??, ч?? ?i ? {1, 2, 3} ? ? A. ?? ????????? (5) ??л?ч??м, ч?? ????ль??? ?????? ?? ???????ю 1 h1(2/3, 1, 0) = 2/3, ?? ???????ю 2 h2(0, 0, 1) = 1/3,
?? ???????ю 3 h2(1/3, 0, 0) = 1/3, ?. ?. ????ль????м ?????? ??д?? ??д??????м?? ?ль????????? y = (2/3, 1/3, 1/3). ?? ???м ?? ???м??? ??????м, ??? ??л?ч?????
????ль???? м?г?? ???ь ???м????? дл? (r, r) м???????? д??????м?? ?ль????????, дл? ??????г? ??д????? ???? ??л?д??? ????????м ??????ч????.
????д?л?м, дл? ????? Ђ?юд??????ї ?г????ч????
3
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m C, x1, x2, x3 ? [0, 1]|} ???м?? ??м?????л????м?? м??????м (5) ???л????м.
??г?? ??д??ь, ч?? ??? C l 1 2
--- лю??? ?ль?????????
3
)
м???????? Emp(r,r,r) B (A). ?л?д?????ль??, ?? ?????м? 2,
????, ?????д?ю??? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? ????д????? ?? ???м
????????м дл? ???? ?????????:
???. 8. ??????????? ?????????? ????????? ???????????
i
? sj ,
i=1
3
?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A = {x ? ? |x1 +
+ x2 + x3 = 1, x1, x2, x3 l 0|}.
?? м???????? Emp(r,r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r) ?? м???????? д??????м?? ?ль???????? A ?
(???. 8); ?. ?. ????, ?????д?ю??? ???м?? м??????м (5), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл?
м????????
3
2
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m 1 --- , x1, x2, x3 ? [0, 1]|}.
3
??л? ????м?????ь д????? ???м?? ??? ??д?ч?
??????д?л???? ???????? м??д? ???м? ???????м?
?? ????????? ????????? ???? ?????????, ?? ???
??д?? ????ч??ь, ч?? ??? ???м?????? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? (5) ?? ??мм????г?
?юд???? C ?? ???д?? ?????? ? ??д?ль????? м????
3
??д?л??ь ?? ??л?? --- C ???д???.
5
«ј Ћё„≈Ќ»≈
???. 7. ?????? ??? ?????? ???? ?????????
26
???????? ???м??????ь ????????? ????????
???????? ??????ч???? дл? ?????????? м?д??????
???м. ???дл???? ?лг????м, ?????л?ю??? дл?
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 1. ?? ????д?л????
?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?л?д??? ?? м??????????ь: дл? лю??г? ??????? y', y'' ? B (A) ? ???????ль??г?
k ? M ??л? y'k l y''k , ?? Rk( y'k ) ? Rk( y''k ), ??л? y'k m y''k ,
?? L *k ( y'k ) ? L *k ( y''k ). ????? д??????ч?? ?ч???д?? ???
)
+
?k ? Ml lk(z) = lk(y) ? L *k (z) ?????
l (z)
k ? Ml k
?
r (z)
k ? Mr k
.
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 3. ????ь ??????л???? d(y) ??????????? м????????м? Mr , Ml ? M, ? ??????л???? d'(y) ? M r' , M l' ? M. ??гд? Mr ? M r' ? Ml ? M l' .
?л?д?????ль??, дл? ??????л???? d'(y) ?????:
?
r (y)
k ? M r' k
?
r (y)
k ? M r' \M r k
l (y)
k ? M l' k
=
l (y)
k ? M l' \M l k
=
.
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? ? ? ? ? ? м ? 2. ??????д?м???ь
?л?д??? ?ч???д??м ??????м ?? ?????м? 1.
M
)
?????????????. ????ь дл? ?d ? 2 /Њ ?????, ч??
?y ? B (A)\A, d(y, A) = d ?????, ч?? ?y ? Empd B (A)
)
M
d(y, A) ? d. ???д??л???м, ч?? ? d? ? 2 /Њ ? ? y? ? B (A)\A
0
?????, ч?? d( y? , A) = d? ? d? ? D ( y? ); ?. ?. ???? ?? ??-
л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A ? y? . ?? ????д?)
ѕ–»Ћќ∆≈Ќ»≈
?ль????????? z ?????, ч?? ?k ? Mr rk(z) = rk(y) ? Rk(z) ?
)
???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м? ????д?л??ь ? дл? ????? м??????? д??????м?? ????ль????? ?????? ??? ???м? ?д??л???????? ????????
??????ч????, ? дл? ????? ???. ? ??д??????? ?лг????м? ?л?д??? ??????? ???д??м????ь ??????????
м??????? ?????ч??? ?ль????????. ? д?ль???ш?м
??д?? ???дл????? ???????? д????г? ?лг????м?, ?????????? ?? ??м ?????, ч?? ?????? ??????л????
дл? ?ль???????? ?? м???м?ль??г? м??г?м????г?
???м??г?ль????, ? ??????? ??????????? м???????? д??????м?? ????ль????? ??????, ??м???ю???
д???????? ? ??м?????? ?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?????д??? ????????? д????г? ???м??г?ль???? ?? Ђ?л???ї, ????? ???д????л?ю??? ????? м??г?м????? ???м??г?ль????. ?л? ????????
???????? ??????ч???? ? м?д?????? ???м? д??????ч?? ????????ь ?? ?д??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? ???д?г? ????г? ?л???, ч???? ???????
?????д?? г????ц? м???????? д??????м?? ????ль????? ??????.
л???? 6 ?л?д???, ч?? ?y' ? Emp ? B (A) ?????, ч??
d
d( y? , y' ) = d? ; ?. ?. ?ль????????? y? л???? ?л??? ? м???????? A, ч?м ?ль????????? y'; ?. ?. d(y', A) = d? . ??л?-
ч?л? ?????????ч??. +
?
)
????, ч?? ?y' ? B ({y, A}) ????? M ( y , A) = M (y, A) ?
?
)
M ( y , A) = M (y, A).
?? Ђм???????????ї ??м????? ?????м ??????ю???
)
)
???л?ц?? ?л?д???, ч?? (4) ????? ????? дл? ? y ? B (y, A),
+
?
??? ??? м???????? M ? M ????ю??? ????м????. ? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? ? ? ? ? ? м ? 1. ????ь ????
m
)
W = { W k } k = 1 ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A.
??гд? ?y ? B (A)\A ??? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A ? y. ?л?д?????ль??, ?? ????д?л???? ?????г?
)
0
??????л????, ?y ? B (A)\A d(y, A) ? D (y), ?. ?. лю???
??д??????м?? ?ль????????? ?? л???? ? ????м ?????м
??????л???? ????????ль?? м???????? A.
)
0
????ь ?y ? B (A)\A ?????, ч?? d(y, A) ? D (y), ??
?? ??л?д??? ????????м ??????ч?)
???? W =
m
{ Wk }k = 1
Ћ»“≈–ј“”–ј
)
???. ??? ???ч??, ч?? ?y ? B (A)\A ?????, ч?? дл? ??? ??
0
????л?????? ??л???? (4); ?. ?. d(y, A) ? D (y). ??л?ч?л? ?????????ч??. ? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 2. ?? ????д?л????
?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?л?д??? ?? м??????-
1. ??????? ?????м?: м?д?л???????? ??г?????ц?????? м??????м?? / ?.?. ??????, ?. ?????, ?.?. ???л??? ? д?.? ?.:
?????, 1989. ? 245 ?.
2. ??????? ?.?., ???????? ?.?. ???? ?????? ???????? ?????м. ? ?.: ??????, 1999. ? 108 ?.
3. Moulin H. On strategy-proofness and single-peakedness // Public Choice. ? 1980. ? Vol. 35. ? P. 437?455.
4. ?????? ?.?., ??????? ?.?., ?????? ?.?. ???м?????? ?????????? м?д?????? ???м дл? ?????????? ??м?????л????м?г? м??????м? м??г?????????ль??? ???????? ?????????? // ????л?м? ?????л????. ? 2008. ? ? 4. ? ?. 38?47.
5. Border K., Jordan J. Straightforward elections, unanimity and
phantom voters // Review of Economic Studies. ? 1983. ?
Vol. 50. ? P. 153 ? 170.
6. Barbera S., Masso J., Serizawa S. Strategy-proof voting on
compact ranges // Games and Behavior. ? 1998. ? Vol. 25. ?
P. 272?291.
7. Barbera S., Masso J., Neme A. Voting under Constraints // J.
Econ. Theory. ? 1997. ? Vol. 76. ? P. 298?321.
????ь: дл? лю??? ?ль???????? y', y'' ? B (A) ? ???????ль??г? k ? M ??л? y'k l y''k , ?? Rk( y'k ) ? Rk( y''k ),
??л? y'k m y''k , ?? L *k ( y'k ) ? L *k ( y''k ). ?л?д?????ль??, дл?
?
+
?k ? M (y, z) Rk(yk) ? Rk(zk) ? ?k ? M (y, z) L *k (yk) ?
? L *k (zk). ?л?д?????ль??, дл? ??????ю??? ???л?ц?? дл?
ѕ – ќ Ѕ ?? ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
?.?. ???????????.
?????? ??????? ????????? ? ???д. ????. ????,
??. ???ч. ?????д???, ???????? ????л?м ?????л????
?м. ?.?. ???????????? ???,
(495) 335-60-37, nkorgin@ipu.ru.
27
?? ??????????, ???д?????м?? ? ??д? ?????????? м?д?????? ???м, ?????л?ю??? ?м??ьш??ь ???д??м????ь ???????? Ђ???????? ??????ч????ї ? ??л????, ??????д?м?г? ? д??????ч??г? дл?
??г?, ч???? ????ль???? ?????????? ?????дл???л? м???????? д??????м?? ????ль?????.
???дл???? ?лг????м, ?????л?ю??? дл? ???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м?
????д?л??ь ? дл? ????? м??????? д??????м?? ????ль????? ?????????? ??? ???м? ?д??л???????? ???????? ??????ч????.
???????? ?????: ???????? ??????????, ??лл???????? ?????, ??м?????л????м?? м??????м, ?????????? м?д?????? ???м?.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
??? ?????д???? ??????????, ? ??????? ?ч?????ю? ????????, ???????????????? ? ?? ????ль????,
?????ль?? ????л?м? м?????л???????? ???????м?? ?????м?ц??? ? ?? ???????. ? ???м ?????л????? ??? ???????м?? Ђ????????????ч?????ї ????д???? ????????? ? д??????? ? ??????????? ????????? ??????? ????????м ???? ?????м? ? ц?л?м.
???????м? ?????????? ? ?ч?????м ???????????????? ????????? ??л?ч?л? ???????? м??????м??
???????? ?????????? [1, 2], ??????? ????? м????
????м???????ь ??? м??????м? ??лл???????г? ?????? [3] ? ?????д?ю??м? ??????????м? м????????м? д??????м?? ?ль???????? ? ????ль????? ?????? (?????м?, ? ??м??? д????? ????ь?, ???????
Ђ????ль??? ??????????ї ? Ђ????ль??? ??????ї ?ч???ю??? ??????л?????м?). ???????м? ????????
?????????? (?????л? ?г??г???????? ?????????
????????? ? ????? ????ц??? ???д??ч?????), ? ??????? ??? ???????? ???д??ч???ю? ???????ь ??????, ??????ю??? ??м?????л????м?м? м??????м?м? ???????? ?????????? [1, 2]. ? ?????? [4] ??л
???дл???? ?????????????? м??????м ??????????
м??г?????????ль??? м??????м?? ?? ?????? ???
???????м?? ?????????? ????????? ???? [3, 5, 6]
дл? ?л?ч??, ??гд? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????????? (?л? м???????? д??????м??
?ль???????? ? ???м???л?г?? ?????? ??лл???????г? ?????? [3, 5, 6]) ??л????? м??г?м????м ???м??г?ль????м ? д????????м ???????д????м м??-
18
????? д??????м?? ???ч???? ???д?г? ?? ?????????.
??л? д???????, ч?? дл? м???????? д??????м??
?ль????????, ???д?????м?г? ? ??д? м??г?м????г?
??м?????, лю??? ??м?????л????м?? м??????м
??лл???????г? ?????? ????? ???д?????м ? ??д?
?????????? м?д?????? ???м?, ??? ??л????, ч??
д????? ???м? ?д??л???????? ?????м? ??л???ю ??
д????м м???????? ? ???????? ??????????? [6].
?????? ???????? г??????????, ч??, ??л? ??? ????????? ?ч???????? ?????? (????????? ? ??ш?м ????м????) ?????дл???? м???????? д??????м??
?ль????????, ?? ????ль??? ?????? ? ????????????
? ???м????м?м ??м?????л????м?м м??????м?м
????? ??д?? ?????дл????ь ???м? м????????. ?д????, ??? ??м?ч?л??ь [4], ???????? д????г? ????????
д??????ч?? ???д??м?? ? ????????л????? дл? ??м????ц?? Ђ????????м?? ??м?????л????м?? м??????м ?????? ? ???л?д??м?? м???????? д??????м?? ?ль????????ї. ? ??м??? д????? ????ь? ???л?д?ю??? ???????? ?????????? м?д?????? ???м,
?????л?ю??? ?м??ьш??ь ???д??м????ь ????????
???????? ??????ч????. ???дл?г????? ?лг????м, ?????л?ю??? дл? ???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м? ????д?л??ь ? дл? ????? м???????
д??????м?? ?ль???????? ??? ???м? ??л?д??? ????????м ??????ч????, ? дл? ????? ???. ?????? ??д??д
?????л?? ? ??м ?м??л?, ч?? ?????л??? ??г????????? ?????????? ????????????ь ????????ю??? ?г?
??м?????л????м?? м??????м м??г?????????ль??? ???????? ?????????? ? ????????ь, ??? ?????
??л????? ?? д??????м?? ????????? ?????????
???? м??????м м???? ??д?? ???м????ь.
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
? ?????????? ?д?????????? ?ль????????? ?i =
i
i
= arg max u (y) ? ??ч?? Ђ????ї ?г???? i, ?i ? N ? ? A;
y?A
m
)
? ?z, z' ? ? ,
i
i
)
[z' ? B ({z, ? }), z' ? z] ? [u (z' ) > u(z)],
i
)
гд? B ({z, ? }) ? м???м?ль??? m-м????? ???м?i
?г?ль???, ??д??????? ?ль????????? z ? ? , ????д?л??м?? ?л?д?ю??м ??????м. ?л? ???????ль??m
г? м???????? A ? ? ??????ч?м ч???? Ak ?????ц?ю
д????г? м???????? ?? ????д??????ю ??ь k ? M,
?. ?. Ak = Projk(A). ????юю ? ?????юю г????ц?
м???????? Ak ??????ч?м min Ak ? max Ak ??????????????. ??гд? м???м?ль??? m-м????? ???м?m
?г?ль???, ??д??????? м???????? A ? ? , ????д?л????? ???
B (A) =
?
k?M
[minAk, maxAk].
)
??д?м ???????ь д??????м?м? ?ль?????????
z ? A, ? ??д??????м?м? ? z ? B (A)\A.
??л?? ??чь ??д?? ??????ь ? ??д?ч? ??????????
????? ??м?????л????м?? ????ц?? ??лл???????г?
1
?????? f(?), ??? ??????? ?г???? ??????????????
1
? ??м??? д????? ????ь? ??????? Ђм??????м ???????? ??????????ї, Ђм??????м ??лл???????г? ??????ї Ђ????ц?? ??лл???????г? ??????ї ?ч???ю??? ??????л?????м?.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??????????? 1 [6]. ?????м? ?????? (л????)3 ???л?ц?? W ????д?л??? дл? ???д?? ?ль?????????
1
z ? [d, D] ? ? ????? ???л?ц?? ?г????? W(z) ? ???????????? ?? ?л?д?ю??м? ??????????м?:
? ????ц?? ????????????: ?z ? (d, D] ([d, D)),
N
N
W(z) ? Њ, Њ ? W(z) ? W(d) = 2 \Њ (W(D) = 2 \Њ);
? м??????????ь ???л?ц??: ??л? S ? W(z) ?
S ? S', ?? S' ? W(z);
? м??????????ь ????ль????: ??л? z' < (>)z ?
S ? W(z), ?? S ? W(z' );
? ??л?????????????ь ??????: ?S ? N, ?z ? [d, D]
t
? дл? лю??? ???л?д?????ль????? {z } ? [d, D] ?????,
t
t
ч?? lim z = z, ????? [?t, S ? W(z )] ? [S ? W(z)]. t??
???м? ?л???м?, ???д???? ????ц?? W(?):
[d, D] ? 2N\Њ, ???????? ? ???????????? ???д??
?ль????????? z ? [d, D] ????????? ??дм????????
N
м???????? ???? ???????? ???л?ц?? ?г????? 2 \Њ.
? ?л?ч?? м??г?????????ль??г? ??????, дл? м???м?ль??г? м??г?м????г? ???м??г?ль????, ??д??????г? м???????? д??????м?? ?ль???????? A,
m
)
????д?л?м ??????д?м?? ???????? ???????.
? ??????????? ???м? ??? ??? ??????? д??? ? ?????? [4], ?????м? ?д??ь ??? ??д?? ??л????? ??????, ??? ??д?????? ??мм????????.
????ь ??д??? м???????? ?????????, ?? ??????м ???????д???? ?????????? M = {1, ..., m}, м??m
?????? д??????м?? ?ль???????? A ? ? , ??л?ю????? ??м??????м ? м???????? ?г????? (????????л?? ?л? ?????????) N = {1, ..., n}. ?? ?????????
????????? ?г????? ? ?????л?? ???д??ч????ль???
? ?? ??ч?? ?????? ?ль?????????? д?л??? ???ь ??????? ?д?? ? ??? ????ль??? ??лл???????г? ??????,
??л?ч??м?? ? ??м??ью ????????? ????ц?? ??лn
л???????г? ?????? f(?): A ? A. ? ??м??? д?????
????ь? ??д?? ???д??л?г??ь??, ч?? м???????? A ?????л?, ???? ч???ь ????д?л???? ? ????ль????? ??д??
?????д??ь?? ? дл? ?л?ч?? ???????л?? м???????
д??????м?? ?ль????????. ???д??ч????? ?г?????
??д м????????м ?ль???????? ??????????? м??г?м???? ?д????????м? ????ц??м? ???д??ч?????
i
m
[6] u (?): ? ? ?, i ? N:
? ????????? ???????г? ???ч???? ????? ??ч?? ?????. ? ??????? [3, 5, 6] д???????, ч?? ????? ????ц?? ??м?????л????м? ??гд? ? ??ль?? ??гд?, ??гд?
??? ???д?????м? ? ??д? ?????????? м?д??????
2
???м . ??л?? ?????д???? ???????? ???????, ??????д?м?? дл? д????г? ???д????л????.
?л? ???????? м?д?????? ???м ????ль??????
??????? ?????м ?????? ? л???? ???л?ц??, ????ч?ль?? ????д?л??м?? ?? ?д??м????м ????????????
?ль????????.
B (A) =
? Ak м???? ????д?л??ь ??м?????? ?????м
k=1
m
?????? ???л?ц?? R ? ????? { R k } k = 1 , гд? Rk ??л????? ?????м?? ?????? ???л?ц??. ???л?г?ч??м
??????м м???? ????д?л??ь ??м?????? ?????м л?m
??? ???л?ц?? L ? ????? { L k } k = 1 .
????ль??? д????? ???????, ???д???? ?л?д?ю??? ???м?ль??? ????д?л???? ?????????? м?д?????? ???м?.
??????????? 2 [6]. ????ь ??д??? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? A ? ??м?????? ?????м ?????? R (л???? L) ???л?ц?? ?? м????????
4
)
1. ќ—Ќќ¬Ќџ≈ ѕќЌя“»я
» ѕ–≈ƒ¬ј–»“≈Ћ№Ќџ≈ –≈«”Ћ№“ј“џ
B (A). ??гд? ?????????? м?д?????? ???м? x = h(?) ,
2
?????м?, ? ??м??? д????? ????ь?, ??????? Ђ???м?? ??м?????л????м?? м??????м ???????? ??????????ї ? Ђ?????????? м?д?????? ???м?ї ?ч???ю??? ??????л?????м?.
3
? д????м ????д?л???? ? ??????? ?д?? ?????ь ???????????ю??г? ??л???? дл? л???? ?????м? ???л?ц??.
4
??д????м???????, ч?? ?г???? ??????ю? ???? ???л?чш??
?ль????????? (??ч?? ????).
19
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?????д????? ???????????ью (A, R) (?????????????? (A, L)), ????д?л????? ?л?д?ю??м ??????м:
i
hk(?k) = max{zk ? Ak|{i ? N | ? k l zk} ? Rk(zk)},
i
(hk(?k) = min{zk ? Ak|{i ? N | ? k m zk} ? Lk(zk)})
n
дл? ?? ? A ? ?k ? M. ???м? ?л???м?, ? ??ч????? ????ль???? ?????????? ?? ???д?м? ???????ю ?????????? м????м?ль??? (м???м?ль???) ?????ц?? ?ль?????????
zk ? Ak, дл? ??????? м???????? ?????????, чь? ??ч?? ???? л???? ?????? (?л???) ?? д????? ?????ц??,
?д??л???????? ??????????м ????????? ?????м?
?????? (л????) ???л?ц?? ?? д????м? ???????ю
дл? д????? ?????ц?? ?ль?????????.
????ь м??д? ?????м?м? л???? ? ?????? ???л?ц??, ?????д?ю??м? ?д?? ? ?? ?? м?д?????ю ???м? (дл? ?д??г? ????????), ????д?л?л??ь ?л?д?ю??м ??????м [6]:
N
?????? 1. ????м????м м??????м ???????? ??????????, ????д??ю??? ????????? ?г????? ?? ???д?м?
???????ю:
n
1
x = f(s): ?k ? M, xj = --n
i
? sk .
(1)
i=1
?????? м??????м м?????л????м. ??л? ?г???? ??????ю? ч????? ???ч???? ????? ??ч?? ????, ?? ????ль????м ?????? ??д??
1
x(?): ?j ? M, xj(?j) = --n
n
i
? ?j ,
i=1
i
?k
гд?
? ???л?чш?? ???ч???? ???????? k дл? ?г???? i
(?л? ???л?чш?? ?ль????????? ?? д????м? ???????ю), ?
i
???г??ш ???д?г? ?г???? ??д?? u (x(?)), i ? N.
?ю??м? ?г???? i ? N, дл? ??????г? x(?i, s?i) ? ?i ???
?i
лю??м ?????? ????????? ????ль??? ?г????? s , ??д??
??г?д?? ???????ь ???? ?????????. ??л? ????ль??? ?????? ?? ????м?-л??? ???????ю k ? M ??д?? м??ьш?, ч?м
???ч???? ???л?чш?? ?ль????????? ?г???? ?? д????м?
i
?i
i
???????ю, ?. ?. xk( ? k , s k ) < ? k , ?? ????????? ???????i
z k ? minA k ?
?
- ?,
Rk(zk) = ? S ? N |#S = r l n ---------------------------------------maxA k ? minA k ?
?
?zk ? (minAk, maxAk],
N
Rk(minAk) = 2 \Њ, ?k ? M,
minA k ? z k
?
L *k (zk) = ? S ? N |#S = l m n ---------------------------------------maxA
k ? minA k
?
?zk ? [minAk, maxAk),
?
?,
?
N
L *k (maxAk) = 2 \Њ, ?k ? M.
??м??л # ??????ч??? м??????ь м????????.
?? ???. 1 ???д????л?? д????? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м дл? ?л?ч?? д??? ????????? ? ????
?????????. ? ??ч????? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? ????м?????????? Ђ?юд?????? ?г????ч?2
???ї A = {x ? ? |x1 + x2 m 1, x1, x2 l 0}. ?л? д????г?
)
L*(z) = {S ? 2 |?z' > z, ?S' ? R(z' ), S ? S' ? Њ}.
????ллю???????м ???д????? ????д?л????.
? ?????? [4] ??л? ????????, ч?? ??м?????? ?????м
?????? ? л???? ???л?ц??, ?????д?ю??? ???м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? f(s) ? ????д?л??м??
?????????м (1), ?м?ю? ?л?д?ю??? ??д:
2
м???????? д??????м?? ?ль???????? B (A) = [0, 1] .
??м??л?м? rk ? lk, k = {1, 2} ??????ч??? ч??л? ?ч???????? ???л?ц??, ??????д?м?? дл? ?д??л????????? ?????????? ?????м? ?????? ? л???? ???л?ц?? ?? ???????ю k ? {1, 2}. ??ч?? ????? ?г????? ??м?ч??? ??л?м?
??????м?. ?????????м? л????м? ??????ч??? ?????ц?? ??ч?? ????? ???? ?г????? ?? ???д?? ?? ?????????.
????????м? ? ??м?????? ?????????? ? ???л?ц??м
?? ???д?м? ?? ?????????. ? ???????ч?ль??м ????????
???м?л?????? ?????????? м?д?????? ???м, ???дл??????? ?. ??л???м [3] ? ??ч?? ???? Ђ?????м???ї
?г????? дл? ????д?л???? ????ль????? ?????? ?? ???д?м? ?? ?????????. ? ??ч????? ????ль???? ?????? ?? ???д?м? ???????ю ??????? м?д???? ?????ц?? ??ч?? ????
???ль??? ? ?????м??? ?г?????. ????ль??? ?????? ??м?ч?? ч????м ??????м.
?л? ???м?г? м??????м?, ??????л?????г? м??????м? (1), ????ль??? ?????? ?? м???????? A ????д?л?????
?л?д?ю??м ??????м [4]:
i
hk(?k) = max{zk ? [0, 1]|#{i ? N | ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2}.
(2)
?? ???. 1 ??д??, ч?? ????ль??? ?????? ?? ???????ю 1 h1 ????? 1/3, ч?? ??????ц????ль?? д?л? ?г??-
i
??г? ???ч???? ????? ???л?чш?? ?ль????????? s k > ? k
i
???л?ч?? ???ч???? xk, ????л???? ?г? ? ? k , ??м ??м?м
i
i
?i
i
i
?i
?л?чш?? ???г??ш ?г???? u (x(s , s )) l u (x(? , s )). ???л?г?ч??, дл? ???д?г? ???????? k ? M, ????г? ч??
i
?i
i
i
i
xk( ? k , s k ) > ? k , ????????? s k < ? k , ?м??ьш?? ???ч???? xk(?k), ??м ??м?м ???л?ч?? ???г??ш ?г????.
?д????, ??????л???????? ??д????м ??????м ????д???? ?г????, м???? ????д?л??ь ??????????? ?? ??ш?
????????? s*(?) ??? ??д????м ?????л? (??????) ? ??n
ч?? ???? ?г?????. ???????м h(?) = f(s*(?)), ?? ? A ?????????? ???????????ю??м f(s) ???м?м м??????м?м.
??л? м??????м h(?)??м?????л????м??, ?? ?? ?????????? ??????л?????м f(s) [1, 2].
20
???. 1. ?????????? ????????? ?????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?
M (y, z) = {k ? M | zk < yk}, ??????? ????д?л?ю?
????? ?????????, дл? ??????? ???ч???? ???????????ю??? ??м??????? ?ль????????? z ????г?
??льш? y ? ?ль????????? z ?????л????? ?????? ??
д????м ????????м y, ? ???????? ? ?ль????????? z
?????л????? л???? ?? д????м ????????м y. ??л?
+
?
k ? M (y, z) ? M (y, z), ?? ?ль????????? ?????л?ч?м? ?? д????м? ???????ю. ????м ??????м,
??л?????? ?ль????????? y ????????ль?? ?ль????
?????? z ??????????? ????? м??????? {M (y, z),
+
M (y, z)}.
??????????? 3 [6]. ??м?????? ?????м ??????
m
)
???л?ц?? R = { R k } k = 1 , ????д?л????? ?? м????)
???? B (A), ??л?д??? ????????? ??????????? дл?
м???????? A, ??л? дл? ?y ? B (A)\A ? лю??г? ??1
T
??ч??г? ??дм???????? {z , ..., z } ? A ?????:
?
?
t = 1?
+
t
k ? M ( y, z )
lk(yk) ?
?
rk(yk) ? ? Њ (3)
t
?
( y, z )
?
k?M
T
дл? лю??? ???л?ц?? rk(yk)?Rk(yk), гд? k?
M ?(y,z t)
t=1
? лю??? ???л?ц?? lk(yk) ? L *k (yk), гд? k ?
?
T
M +(y, zt). )
????????? y ? B (A)\A. ?л? ?????л?? ??м???????
м??????? ?y ? B (A)\A ??ш?ю??? ??дм????????
1
m
S (y) = {z , ..., z } ? A ????д?л????? ?л?д?ю??м
??????м ? ?? ???д?г? ??ч???? A г?????л??????ью, ?????д???? ч???? ?ль????????? y, ????????t
?? ?? ?д??? ?ль?????????; ?t = 1, ..., m z k = yk, ??t
t
л? k = t, ? z k дл? k ? t лю??? ?????, ч?? z ? A. ??
??л???? [7] ?л?д???, ч?? дл? ??ш?ю??? м???????
??л???? (3) м???? ???ь ???????? ?л?д?ю??м ??????м:
+
k ? M ( y, A )
lk(yk) ?
?
k ? M ( y, A )
rk(yk) ? Њ,
(4)
?
дл? лю??? ???л?ц?? rk(yk) ? Rk(yk), гд? k ? M (y, A),
? лю??? ???л?ц?? lk(yk) ? L *k (yk), гд? k ? M +(y, A).
?д???? ????????, ???л????м ?л? ??? ???м??
??м?????л????м?? м??????м ?????? ?? ??д????м
м????????, ???????? ??д?ль??? ?л????? ??д?ч??,
??? ??? ????????? ????????ь ??? ??д??????м??
?ль????????? y ? B (A)\A ? ?? ?????????? ?????????????г? ?лг????м?, ?????л?ю??г? ?м??ьш??ь
?л??????ь ????????. ?????????? ??д????г? ?лг????м? ????????? д?ль???ш?? ??л??????.
2. ћќЌќ“ќЌЌќ—“№ —¬ќ…—“¬ј ѕ≈–≈—≈„≈Ќ»я
t=1
)
??ч????????, ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ?
???? ????ч???, ч?? лю??? ??д??????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A м???? ???ь ??????? ? ????ль???? ???м?????? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? ??ль?? ? ??м ?л?ч??, ??л? ???д???? ????
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??????м, ч?? ???????? ???????? ??????ч????
м???? ??????????? ??л?гч??ь, ??? ??? д??????ч??
)
T
м???????? S (y) ? A дл? ???д?? ??д??????м?? ?ль-
)
?л? лю??? ???? ?ль???????? y, z ? B (A) ????+
??ч?м м???????? M (y, z) = {k ? M |zk > yk} ?
)
)
ч?? B (A) = B. ?л? ???????? ???л????м???? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? ????ль??????
??????? ???????? ??????????? дл? ?????д?ю??г?
?г? ????.
)
)
?? м???????? B (A), ?. ?. ?? m-м????м ???м??г?ль????. ?????м? лю??? ???м?? ??м?????л????м??
м??????м ??лл???????г? ??????, ????д?л????? ?
???м???? ????????? ?????? ?????????? ????????
(????) дл? ???????ль??г? m-м????г? ???м??г?ль???? B, ????????? ??????м дл? лю??г? м???????? д??????м?? ????ль????? ?????? A, ????г?
y ? B (A)\A, ?? ??д?м ?ч????ь, ч?? д????? ??м?????? ???????? ????????? ??????????? ??? A ? y.
???д? ??? ??????д?м?? ????д?л????, ?????д?м
???????? ????ль???, ??л?ч????? г?????? ?. ???????:
Ђ??????? ????????????? ?????? ?? ??????? ?????????? ??????????? ???????????? ??? ??????????
m
?????????? ??????????? ? ? ? ???????????????
????? ? ?????? ?????, ????? ??? ??????????? ? ???? ?????????? ????????? ?????, ???????????????
???????? ???????????ї [6].
? ??????? [6, 7] ??л? ????????, ч?? ??л???? (3)
д??????ч?? ????????ь л?шь дл? ?д??г? ?????????
)
)
? ??д? д?ль???ш?г? ??л?????? ???м?? Ђ??????ї ?л? Ђл???? ???л?ц??ї ??м???м ?? ?????????? ????????, ???ч???, гд? ??????д?м?, ? ?????
?м???? ???л?ц??? ??д?? ?д?? ??чь.
?????????? м?д?????? ???м? ????д?л?ю???
?? ?д?? ?г???, чь? ??ч?? ???? ????? ?? ?????дл???? м???????? A. ??л? ???? ??л?д??? ????????м
??????ч???? ?? м???????? A, ?? ?????д??м?? ?м
?????????? ???м? ?д??л???????? ???????? ??????ч???? ?? ???м ?? м????????. ??л? ???? ?д??л???????? ??л???ю (3) дл? ?????-л??? ?ль?????????
)
??? (?д?? ?? ????), ???ч???? ?????ц?? ??ч?? ???? ??????? ?? м??ьш? h1. ???л?г?ч?? ?? ?????м? ???????ю
h2 = 2/3. ????????ь ??д??????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A,
л?????? ??? м???? Ђ?л???ї ? ??м?????ю м???????? A ? clA.
21
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
??????ч?м ?? ???л?г?? ? M +(?)(y, z) м????????
?????????, ?? ??????м ??д??????м?? ?ль?????+
???? ?????л????? л???? м???????? ? M (y, A) =
?
= {k ? M|A >k y} ? ?????? ? M (y, A) = {k ? M |A <k y}.
????? ??????ь??, ч?? ???д???? ????????, ???ь м?+
?
???, ?? ?д??, k' ?M ????? ч?? k' ?M (y,A) ? M (y,A).
?ч???д??, ч?? ??л? м???????? A ?????л?, ??
+
?
M (y, A) ? M (y, A) = Њ.
??????????????, м???? ????д?л??ь ?????? ??M
????л???? d(y, A) = {d1, ..., dm}, d(y, A) ? 3 , гд?
+
???. 2. ??????????? ????????? ???????????? ????????????
dk(y, A) = l, ??л? k ? M (y, A), dk(y, A) = r, ??л?
?
+
+
)
????? y, z ? B (A) ?????д?м ?? м??????? M +(y, z) =
?
= {k ? M |zk > yk} ? M (y, z) = {k ? M |zk < yk} ? ??????? ??????????? d(y, z) = {d1(y, z), ..., dm(y, z)},
+
M
d(y, z) ? 3 , гд? dk(y, z) = l, ??л? k ? M (y, z),
?
dk(y, z) = r, ??л? k ? M (y, z), dk = 0, ??л? k ?
+
?
)
? M (y, z) ? M (y, z). ????д?л?м ??л?????? ??-
)
???л????м?? ?ль????????? y ? B (A)\A ????????ль?? ?????л?г? м???????? A ?л?д?ю??м ??????м.
??д?д?м дл? ???????ль??? ??д??????м?? ?ль???)
?????? y ? B (A)\A м???????? ????????? ???????-
)
1
2
)
???м??, ?? ???. 2 S (y) = {z , z }, ?. ?. ?ль?????????
y ? B (A)\A ????д?л?м ??????????????? ??????????? ????????????? ???????????? ????????? A:
B ({y, A}) =
[ y k, maxA k ]? .
= ?
? [ minA k, yk ]?? љ ?? ?
?
? k ? M+ ( y, A )
?
k ? M ( y, A )
?? ???. 3 ?????д?? ???м?? д????г? ???м??г?ль????. ????д?л?м, ч?? ??? ??д??????м??
)
?? ??ш?ю??г? м???????? дл? y ? B (A)\A ??л?ю???
Ђ???ш???м?ї clA(y).
??гд? м???? ????м?л??????ь
??ч???? ? ???г? м?м???? ??? ??л?????? ??д??
????????л??ь?? дл? ?????л?? м??????? д??????м?? ?ль????????, ?????м? ?ч????м, ч?? ??л??????
??д??????м?? ?ль????????? ????????ль?? м???????? A ????д?л????? ?д?????ч??.
?л? ???????ль??? ??д??????м?? ?ль?????????
)
??? ?ль???????? clA(y) = {z ? A: B ({z, y}) ? A = z}
1 2
(?м. ???. 2 ? clA(y) = [z , z ], z' ? clA(y)). ?ч???д??,
ч?? clA(y) ? clA. ?????? м???????? ????? ????????
? ???????м ??ш?ю??г? м????????, ????ль???м?г?
дл? ???????? ???????? ??????ч???? дл? A ? y. ??-
?
??л? ?k ? M (y, A) ? M (y, A), ?? ч??л? ???????? ??????л???? ?д????????? ? ???г? ??л?????? ??д??????м?? ?ль????????? ????????ль?? A ??????????? 2g ???????м? ??????л????, гд?
+
?
g = #(M (y, A) ? M (y, A)). ??л? м???????? A ?????л?, ?? ?????? ??????л???? ?д??. ???м? ??г?,
?ч???д??, ч?? дл? лю??? д??????м?? ?ль????????? dk = 0 дл? ?k ? M, ?. ?. ?z ? A d(z, A) = {0, ..., 0}.
)
?л? ???????? ????м??г? ??л?????? д??? ?ль???-
?
k ? M (y, A), dk = 0, ??л? k ? M (y, A) ? M (y, A).
??????????? 4. ?ль????????? y ? B (A)\A
?????л????? ????? (??????) ????????ль?? м???????? A ?? ???????ю k ? M ? A >k (<k)y, ??л?
)
?(+)
(y, z) ? ?z' ? clA(y) ?????, ч??
?z ? clA(y), k ? M
+(?)
(y, z). k?M
????д?л???? 4 ?? ????? ???? ??л????? ???л?г?м
????д?л???? ??л?????? д??? ?ль???????? ????????ль?? д??г д??г? ?? ??д?ль??м? ???????ю.
?ллю????ц??? ???г? ????д?л???? ?л???? ???. 2
2
дл? ? (м???????? д??????м?? ?ль???????? A
????? ?? ???м??? 1). ?ль????????? y ? B (A)\A
?????л????? ?????? ????????ль?? A ?? ????м
1
2
+
????????м, ??? ??? дл? ?z ? [z , z ] M (y, z) = Њ,
1
2
?
? ?z ? (z , z ) M (y, z) = {1, 2}.
22
???. 3. ??????????????? ??????????? ?????????????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
)
?ль????????? y'' ? B (A)\A, ?????, ч?? ?z ? clA(y) ?
л?ю? дл? ?ль????????? y ? B (A) ?????? ??????????? {Mr, Ml}y, ??л? ???д???? ????? ????? ??????ю??? ???л?ц?? ?? ???м ????????м, ч?? ??
??????ч???? ????? ? ?. ?. ?k ? Mr ?rk(y) ? Rk(y) ?
?k ? Ml ?lk(y) ? L *k (y) ?????, ч??
)
y'' ? B (y, z) ??????????? ????? ? A, ч?м y. ?л? ????
?ль???????? ????? ?????, ч?? d(y'', A) = d(y, A).
????? д??????ь, ч?? ??л? ??????????, ??????д?м?? дл? ??л?д???? ???? ????????м ??????ч???? ????л???? дл? ?????-л??? ?ль????????? y ?
m
= { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? B (A). ??дм???????? ????????? Mr, Ml ? M, Mr ? Ml = Њ ????д?)
)
?? A, ч?м y. ?ч???д??, ч?? дл? ???? y' ? B ({y, A})
d(y', A) = d(y, A). ???л?г?ч??, ??? ??д??????м??
)
??????????? 5. ????ь ??д??? ???? W =
)
?ль????????? y' ? B ({y, A}) ??????????? ??????
)
)
?????????? ?? ????????? B (A) ? ?????????? ????????? ??????????? ??? ????????? A ? ????????????
y ? B (A)\A. ????? ?????? ???? ???????? ?????????
??????????? ??? A ? ????? ???????????? ????????)
)
???? y' ? B ({y, A}). ????????ль???? д????? л?мм? ? ???? д?ль???ш?? ??????д???? ???????? ? ???л??????.
????????? ????? 1. ????? ?y ? B (A)\A ?????,
m
)
??? ???? W = { W k } k = 1 , ???????????? ?? ??????-
)
??? B (A), ?? ???????? ????????? ??????????? ??? A
? y. ????? ??? ???? ?? ???????? ????????? ??????????? ??? ????????? A ? ????? ???????????? ???????????? y', ????????????? ????? ? A, ??? y. ??мм? 1 ? ?? ?л?д????? ????????ю? Ђм??????????ьї ???????? ??????ч???? ? ?????л??? ??????????? ??л?гч??ь ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч????, ??? ??? д??????ч?? ????????ь ??д??????-
)
м?? ?ль????????? y ? B (A)\A, л?????? ??? м????
Ђ?л???ї ? clA. ??, ? ??л? ?????????? м????????
k ? Mr
rk(y) . ?????? ??????л???? ????д???? Ђ??????ї ??
???м ????????м ?? м???????? Mr ? Ђл????ї ?? ????????м ?? Ml . ?ль??????????м ????????м ??????
??????л???? ??д?? ?????ь d(y) = {d1(y), ..., dm(y)},
M
d(y) ? 3 /Њ, гд? dk(y) = r, ??л? k ? Mr, dk(y) = l, ??л?
k ? Ml, dk(y) = 0, ??л? k ? Ml ? Mr .
??г?? ??м????ь, ч?? ?????? ??????л???? ????ч???, ч?? дл? ?ль????????? y ? B (A) ?? ????л?????? ??л???? (4), ??л? ??д?? ????????ь?? ?м????
??? ??м????ц?? ????????? ? ??????ю??? ???л?ц?? ?? ??м. ??ч????????, ?м??л ?????г? ??????л???? ?ч??ь ??????? ? ?????? ? ??л? дл? м???????? A ?????????? ??д??????м?? ?ль?????????
y ? B (A)\A, л?????? ? ????м ?????м ??????л????
????????ль?? м???????? ?: d(y) = d(y, A), ?? ????
m
W = { W k } k = 1 ?? ??л?д??? ????????м ??????ч????
дл? A ? y.
?л? лю??? ?ль????????? м???? ???????????ь
?? ?д?? ?????? ??????л????, ?????м? ????д?л?м
0
м???????? ?????? ??????л???? D (y) = {d(y)}.
??????дл??? ?л?д?ю??? ?????м?, ?????л?ю???
????????ь ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ч????
?????? ??????л????:
??????? 1. ??м?????? ?????м ??????ю??? ??m
?л?ц?? W = { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? м???????
)
B (A)\A, ??ш??ь ??? ??д?ч? д??????ч?? ???д??. ??????м, ч?? ???м???? д?ль???ш?? ????????? ?лг????м? ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч????.
lk(y) ?
)
m
????? 1. ????? ?????? ???? W = { W k } k = 1 , ??-
k ? Ml
)
B (A)\A, ?? ??? ????? ????л???? дл? ???? ??д??????м?? ?ль????????, ?????л??????? д?льш? ??
м???????? A, ч?м ?ль????????? y:
3. ѕ”—“џ≈ Ќјѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
ќЅќЅў≈ЌЌџ’ ћ≈ƒ»јЌЌџ’ —’≈ћ
)
B (A), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A, ??г-
?л?д?ю??м ?????м ? ?????????? ?????????????г? ?лг????м? ???????? ??л?ч?? ???????? ????m
)
)
??ч???? дл? м???????? A ? ???? W = { W k } k = 1 ,
???? ?? B (A). ??? ???????? ????д?л?ю??? ?? B (A)
? ??л?ю??? ?????ч??м? дл? ???????? ??л?ч??
m
)
???????? ??????ч???? ? W = { W k } k = 1 дл? лю??г?
A', ????г?, ч?? B (A' ) = B (A).
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
??л????? ?????м дл? ?ль????????? y ? B (A)\A, ??
????, ??????м ??л? ????д?л??? д????? ??????
??????л????, ?? ??л?д??? ????????м ??????ч????
дл? м???????? A. ?л? ???? ?? ???м??? 1 (?л?ч??
???? ?????????) м???????? ?ль????????, дл? ??????г? ??????л???? (r, r) ??л????? ?????м, м?????)
)
)
????д?л????м ?? м???????? B (A), ??д?? ???м?л?????? ???????, ??????м ??? ??д?л??? ??? ?ль?????-
)
д? ? ??ль?? ??гд?, ??гд? ?y ? B (A)\A ?????, ч??
0
d(y, A) ? D (y). ???. 4 ?ллю???????? ???????? ???????? ??????ч???? ? ???м???? ?????? ??????л????. ??л? ??????л???? Ђ??????ї ?? ????м ????????м d = (r, r)
??? B rr (A) ?????????? ?? ??????? ????м ц????м.
23
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
?? ????, м???????? ?????ч??? ?ль????????
)
Empd B (A) ??л????? г????ч??? ??????????ью дл?
)
???г? ??дм???????? ?ль???????? ?? м???????? B (A),
)
0
)
дл? ??????? ??????л???? d ??????: Empd B (A) =
)
= cl{y ? B (A): d ? D (y)}\cl B (A). ?? ???. 5 ??????
)
???-л??? ?ль????????? y ? B (A), ?? ??? ?????
?????? дл? ???? д??г?? ?ль???????? ?z ? B (A) ?????, ч?? ?ль????????? y л???? ? ???м ??????л????
????????ль?? ???: d(y, z) = d.
M
????? 2. ????ь ?????? d ? 3 \Њ ??д??? ?????? ??)
0
)
????л???? дл? ?ль????????? y ? B (A) ? d ? D (y).
??гд? дл? ?z ? B (A), ????? ч?? d(y, z) = d д?????
0
?????? ????? ??д??? ?????? ??????л????: d ? D (z). 0
0
????????? d'(y) ? d(y) ????? ??? ?k ? M \M0 d 'k (y) =
= dk(y). ?????? ??????л???? d(y), дл? ??????? ?k ? M
dk(y) ? 0, ??д?м ???????ь ??????????????? ???????
????????????? ? ??????ч?м м???????? ??л?????0
0
м????? ?????? ??????л???? ??? Df (y) ? D (y).
????ль??? л?мм? 3 ???ч???л?? ?? ?л?д?ю??? ???ч???. ? ???м???? ????д?л???? 5 ?????????? 3M \Њ
???м????? ?????? ??????л???? ????????ль??
??????ч???? лю??? ?ль????????? y ? B (A). ? ??
???м? ??? ??л?????м????? ?????? ??????л????
????????ль?? ??? ?? ?ль????????? м???? ??????M
?????ь 2 \Њ, ? дл? ???????? ???????? ??????ч????
д??????ч?? ???л?д????ь ??ль?? ??.
??мм? 2 ? 3, ????? ? ???????м ?????г? ??????л????, ?????л?ю? ????м?л??????ь ???????? ????ль??? д????? ????ь?.
??????? 2. ??м?????? ?????м ??????ю??? ??m
?л?ц?? W = { W k } k = 1 , ????д?л????? ?? м????????
)
)
?? л?мм? 2 ?л?д???, ч?? D (y) ? D (z).
??л? ??????л???? (r, r) ? (?м. ???. 4) ? ??????
дл? ?ль????????? y, ?? дл? лю??? ?ль?????????,
?????л??????? л???? ?? ????м ????????м ?? y
(?л??? ? A), ??? ????? ??????.
???????ь ?? ???? ????ль???, м???? ????д?л??ь
??????? ????????? ?ль???????? дл? ???д?г? ??
?????? ??????л????.
d(y) дл? ?ль????????? y ? B (A), ????? ч?? ?M0 ? M,
?k ? M0 dk(y) = 0. ?????, ??????? ???????? ??? ??-
)
)
?????? ??????л???? дл? ?ль???????? ??л?д?ю?
????????м, ???л?г?ч??м м??????????? ????????
??????ч???? ? ??л? ??????л???? d ?????? дл? ??-
)
???. 4. ? ???????? ???????? ??????????? ?????? ??????????? ?
????????
л????? ??д?л??? м???????? Emp(r,r) B (A) ?????ч??? ?ль???????? дл? ??????л???? (r, r) дл? ????
?? ???м??? 1.
??м???м ?л?д?ю??? д??????ч?? ?ч???д???, ??
?????? ???????? ?????? ??????л???? ? ?? Ђ???ш????м???ьї ?? ????????м.
????? 3. ????ь ?????????? ?????? ??????л????
??????????? 6. ?ль????????? y ? B (A) ??л?????
M
?????ч??? дл? ?????г? ??????л???? d ? 3 \Њ, ??л?
B (A), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м?????-
)
)
0
?z ? B (A), ????? ч?? d(z, y) = d, ????? d ? D (z). ???г?м? ?л???м?, ?ль????????? y ??л????? ?????ч??? дл? ????г? ?????г? ??????л????, ??л? дл?
лю??? ?ль?????????, л?????? ? ???м ??????л???? ?? y, ??? ?? ??????. ??л? ?ль????????? y (?м.
???. 4) ??л????? ?????ч??? дл? ?????г? ??????л?-
??? (r, r), ?? дл? ???? ?ль???????? z ? B ({y, A}),
?????л??????? д?льш? ?? A, ч?м y), д????? ??????л???? ?? ??????. ????д?л?м м???????? ?????ч??? ?ль???????? дл? ???????ль??г? ?????г?
??????л???? d:
)
)
)
0
Empd B (A) = {y ? B (A): d ? D (y), ?z ? B (A),
0
d = d(z, y) ? d ? D (z)}.
24
???. 5. ????????? ????????? ???????????
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
??? A ??гд? ? ??ль?? ??гд?, ??гд? дл? лю??г? ???????
M
)
??????л???? d ? 2 \Њ, ????г? ч?? ?z ? B (A)\A,
d(z, A) = d, ?????, ч?? дл? ?y ? Empd B (A)
0
?????? B (A)\A ? д????м ???м??? л???? ? ??????л????
(r, r) ????????ль?? м???????? A. ?????м? д??????ч??
???л?д????ь ??ль?? м???????? ?????ч??? ?ль????????
дл? д????? ???? дл? ??????л???? (r, r) ? Emp(r,r) B (A),
??????? ????? ?????????? ?? ???. 5. ??д??, ч??
i
hk(?k) = max{zk ? [0, 1]| # {i ? {1, 2, 3}| ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2}.
???????м ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????
???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?2
д?л???ю??г? ?юд?????? ?г????ч???? A = {x ? ? |x1 +
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 6 ? 2009
)
i=1
??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A =
2
= {x ? ? |x1 + x2 m 1, x1, x2 l 0|}. ?????? 3. ???????м, ??л?д??? л? ???? ?? ???м??? 2 ????????м ??????ч???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?д?л???ю??г? Ђ??л???????ї ?г??2
??ч???? ? A = {x ? ? |x1 + x2 = 1, x1, x2 l 0|}. ?? ???. 6
?????????? ???? ? м???????? A (?????? л????).
??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? м????????
B (A)\A ? д????м ???м??? л???? ? ??????л????? (r, r)
? (l, l ) ????????ль?? м???????? A. ?????м? д??????ч?? ???л?д????ь ??ль?? м???????? ?????ч??? ?ль???????? дл? д????? ???? дл? д????? ??????л???? ?
Emp(r,r) B (A), ??????? ?????????? ?????? ??????????
л????? (?м. ???. 6) ? Emp(l,l) B (A) ? ?????? ш?????????????? л????. ? д????м ???м??? Emp(r,r) B (A) ? A ?
Emp(l,l) B (A) ? A, ?? лю??? ?ль????????? ?? м????????
Emp(r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r) д??????м??
)
?????? 2. ????м????м ????, ?????д?ю??ю ???м?? ??м?????л????м?? м??????м (2), ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? ???д?м? ???????ю (?м. ???м?? 1) дл? ?л?ч?? д??? ????????? ? ???? ?г?????:
i
)
????ллю???????м ???????? ??л?ч?? ????????
??????ч???? ? ???? ???дл??????м ?лг????м?м.
3
? sj ,
)
4. ѕ–»ћ≈Ќ≈Ќ»≈ ѕ”—“џ’ Ќјѕ–ј¬Ћ≈Ќ»…
ƒЋя ѕ–ќ¬≈– » —¬ќ…—“¬ј ѕ≈–≈—≈„≈Ќ»я
1
x = f(s): ?j ? {1, 2} xj = --3
)
? Empd B (A): d(y, A) = d.
??л?, ? ???????????? ? д????м ?лг????м?м,
???д??? ???? ?? ?д?? ????? ??д??????м?? ?ль?????????, ?? ???л?д??м?? ???? ?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A. ??л? ?????
?ль???????? ?? ???д???, ?? ???? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A. ?л?д?????ль??, ???м??
??м?????л????м?? м??????м, ?????д??м?? ???л?д??м?? ???? ???л????м ?? д????м м????????
д??????м?? ?ль???????? ?.
м???????? Emp(r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r)
?? м???????? д??????м?? ?ль???????? A. ?????м? ??
?????м? 2 ????, ?????д?ю??? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? ????д????? ?? д??м ????????м дл? ???? ?????????:
)
)
????????м ??????ч???? дл? A, ?. ?. y ? B (A)\A ?
Emp(r,r) B (A) ? A, ?л?д?????ль??, лю??? ?ль????????? ??
)
)
????? Empd B (A);
?) ???????????, ????????ю? л? ??д??????м??
?ль?????????, ? ??????? ???? ?? ??л?д???
)
)
)
????? D(A): d ? 3 \Њ| ?y ? B (A)\A: d(y, A) = d.
3. ?л? ???д?г? ??????л???? d ? D(A):
?) ????д?л????? м???????? ?????ч??? ?ль???-
+ x2 m 1, x1, x2 l 0|}. ?? ???. 5 ?????????? ???? ?
м???????? A. ??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? м??-
)
M
)
?г?ль??? B (A), ??д??????? ??? м????????.
2. ????д?л???? м???????? ??????л???? ???-
???. 6. ????????? ????????? ??????????? ??? ??????????? ???????????
)
)
d(y, A) ? D (y).
?????м? 2 д??? ?????????????? ?????? ???????? ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????д?л?????
?? м??г?м????м ???м??г?ль???? ???? дл? ???????ль??? м??????? д??????м?? ????ль????? ??????. ??м???м, ч?? ????????????м ???д????л????? ???л?д?????? м??????? ?????ч??? ?ль????????
дл? д?ль???ш?г? ????????? ?лг????м? ????????
???????? ??????ч????.
?лг????м, ?????л?ю??? ????????ь ???? ??
??л?д???? ????????м ??????ч???? дл? ????????г?
м???????? д??????м?? ?ль????????, ??гл?д?? ?л?д?ю??м ??????м.
1. ?л? м???????? д??????м?? ?ль???????? ?
????д?л????? м???м?ль??? м??г?м????? ???м?-
?ль???????? A ? лю??? ?ль????????? ?? Emp(l,l) B (A) ??
л???? ? ??????л???? (l, l) ?? м???????? д??????м??
25
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?ль???????? A. ?л?д?????ль??, ?? ?????м? 2, ????,
???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? д??м ????????м дл? ???? ?????????:
1
x = f(s): ?j ? {1, 2} xj = --3
3
i
? sj ,
i=1
??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? м???????? A =
2
= {x ? ? |x1 + x2 = 1, x1, x2 l 0|}. ?????? 4. ??????м, ??? ???дл??????? ?лг????м
??????????, ч?? ???? ?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? ????????г? м???????? д??????м?? ?ль????????. ?л? ???г? ????м????м ????, ?????д?ю??ю
???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л??????
м??????м? ????д????? ?? ???д?м? ???????ю (?м. ???м?? 1) дл? ?л?ч?? ???? ????????? ? ???? ?г?????:
i
hk(?k) = max{zk ? [0,1]|#{i ? {1, 2, 3}| ? k l zk} l nzk},
k ? {1, 2, 3}.
(5)
???????м ??л?ч?? ???????? ??????ч???? ? ????
???? дл? м???????? д??????м?? ?ль???????? A, м?д?л???ю??г? ?юд?????? ?г????ч????
3
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m 1, x1, x2, x3 l 0|}.
)
?? ???л?г?? ? ???м???м 2, ??? ??д??????м?? ?ль-
)
????????? ?? м???????? B (A)\A л???? ? ??????л????
(r, r, r) ????????ль?? м???????? ?. ?? ???. 7 ?????????? ????, м???????? A (??ш??????????? ??л???ь) ?
)
Emp(r,r,r) B (A) (????м?????? ??л???ь).
??д??????м?? ?ль????????? y = (2/3, 1/3, 1/3),
???????????? ??л?м ??????м ?? ???. 7 ?????дл????
1
x = f(s): ?j ? {1, 2, 3} xj = --3
3
?????????ль??, ???ьм?м ???? ?г????? ?? ?л?д?ю1
2
??м? ??ч??м? ?????: ? = (2/3, 0, 1/3), ? = (1, 0, 0),
3
i
? = (0, 1, 0). ?ч???д??, ч?? ?i ? {1, 2, 3} ? ? A. ?? ????????? (5) ??л?ч??м, ч?? ????ль??? ?????? ?? ???????ю 1 h1(2/3, 1, 0) = 2/3, ?? ???????ю 2 h2(0, 0, 1) = 1/3,
?? ???????ю 3 h2(1/3, 0, 0) = 1/3, ?. ?. ????ль????м ?????? ??д?? ??д??????м?? ?ль????????? y = (2/3, 1/3, 1/3). ?? ???м ?? ???м??? ??????м, ??? ??л?ч?????
????ль???? м?г?? ???ь ???м????? дл? (r, r) м???????? д??????м?? ?ль????????, дл? ??????г? ??д????? ???? ??л?д??? ????????м ??????ч????.
????д?л?м, дл? ????? Ђ?юд??????ї ?г????ч????
3
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m C, x1, x2, x3 ? [0, 1]|} ???м?? ??м?????л????м?? м??????м (5) ???л????м.
??г?? ??д??ь, ч?? ??? C l 1 2
--- лю??? ?ль?????????
3
)
м???????? Emp(r,r,r) B (A). ?л?д?????ль??, ?? ?????м? 2,
????, ?????д?ю??? ???м?? ??м?????л????м?? м??????м, ??????л?????? м??????м? ????д????? ?? ???м
????????м дл? ???? ?????????:
???. 8. ??????????? ?????????? ????????? ???????????
i
? sj ,
i=1
3
?? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A = {x ? ? |x1 +
+ x2 + x3 = 1, x1, x2, x3 l 0|}.
?? м???????? Emp(r,r,r) B (A) ?? л???? ? ??????л???? (r, r) ?? м???????? д??????м?? ?ль???????? A ?
(???. 8); ?. ?. ????, ?????д?ю??? ???м?? м??????м (5), ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл?
м????????
3
2
A = {x ? ? |x1 + x2 + x3 m 1 --- , x1, x2, x3 ? [0, 1]|}.
3
??л? ????м?????ь д????? ???м?? ??? ??д?ч?
??????д?л???? ???????? м??д? ???м? ???????м?
?? ????????? ????????? ???? ?????????, ?? ???
??д?? ????ч??ь, ч?? ??? ???м?????? ???м?г? ??м?????л????м?г? м??????м? (5) ?? ??мм????г?
?юд???? C ?? ???д?? ?????? ? ??д?ль????? м????
3
??д?л??ь ?? ??л?? --- C ???д???.
5
«ј Ћё„≈Ќ»≈
???. 7. ?????? ??? ?????? ???? ?????????
26
???????? ???м??????ь ????????? ????????
???????? ??????ч???? дл? ?????????? м?д??????
???м. ???дл???? ?лг????м, ?????л?ю??? дл?
CONTROL SCIENCES є 6 ? 2009
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
)
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 1. ?? ????д?л????
?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?л?д??? ?? м??????????ь: дл? лю??г? ??????? y', y'' ? B (A) ? ???????ль??г?
k ? M ??л? y'k l y''k , ?? Rk( y'k ) ? Rk( y''k ), ??л? y'k m y''k ,
?? L *k ( y'k ) ? L *k ( y''k ). ????? д??????ч?? ?ч???д?? ???
)
+
?k ? Ml lk(z) = lk(y) ? L *k (z) ?????
l (z)
k ? Ml k
?
r (z)
k ? Mr k
.
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 3. ????ь ??????л???? d(y) ??????????? м????????м? Mr , Ml ? M, ? ??????л???? d'(y) ? M r' , M l' ? M. ??гд? Mr ? M r' ? Ml ? M l' .
?л?д?????ль??, дл? ??????л???? d'(y) ?????:
?
r (y)
k ? M r' k
?
r (y)
k ? M r' \M r k
l (y)
k ? M l' k
=
l (y)
k ? M l' \M l k
=
.
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? ? ? ? ? ? м ? 2. ??????д?м???ь
?л?д??? ?ч???д??м ??????м ?? ?????м? 1.
M
)
?????????????. ????ь дл? ?d ? 2 /Њ ?????, ч??
?y ? B (A)\A, d(y, A) = d ?????, ч?? ?y ? Empd B (A)
)
M
d(y, A) ? d. ???д??л???м, ч?? ? d? ? 2 /Њ ? ? y? ? B (A)\A
0
?????, ч?? d( y? , A) = d? ? d? ? D ( y? ); ?. ?. ???? ?? ??-
л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A ? y? . ?? ????д?)
ѕ–»Ћќ∆≈Ќ»≈
?ль????????? z ?????, ч?? ?k ? Mr rk(z) = rk(y) ? Rk(z) ?
)
???????ль??? ?????????? м?д?????? ???м? ????д?л??ь ? дл? ????? м??????? д??????м?? ????ль????? ?????? ??? ???м? ?д??л???????? ????????
??????ч????, ? дл? ????? ???. ? ??д??????? ?лг????м? ?л?д??? ??????? ???д??м????ь ??????????
м??????? ?????ч??? ?ль????????. ? д?ль???ш?м
??д?? ???дл????? ???????? д????г? ?лг????м?, ?????????? ?? ??м ?????, ч?? ?????? ??????л????
дл? ?ль???????? ?? м???м?ль??г? м??г?м????г?
???м??г?ль????, ? ??????? ??????????? м???????? д??????м?? ????ль????? ??????, ??м???ю???
д???????? ? ??м?????? ?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?????д??? ????????? д????г? ???м??г?ль???? ?? Ђ?л???ї, ????? ???д????л?ю??? ????? м??г?м????? ???м??г?ль????. ?л? ????????
???????? ??????ч???? ? м?д?????? ???м? д??????ч?? ????????ь ?? ?д??? ??д??????м?? ?ль????????? ?? ???д?г? ????г? ?л???, ч???? ???????
?????д?? г????ц? м???????? д??????м?? ????ль????? ??????.
л???? 6 ?л?д???, ч?? ?y' ? Emp ? B (A) ?????, ч??
d
d( y? , y' ) = d? ; ?. ?. ?ль????????? y? л???? ?л??? ? м???????? A, ч?м ?ль????????? y'; ?. ?. d(y', A) = d? . ??л?-
ч?л? ?????????ч??. +
?
)
????, ч?? ?y' ? B ({y, A}) ????? M ( y , A) = M (y, A) ?
?
)
M ( y , A) = M (y, A).
?? Ђм???????????ї ??м????? ?????м ??????ю???
)
)
???л?ц?? ?л?д???, ч?? (4) ????? ????? дл? ? y ? B (y, A),
+
?
??? ??? м???????? M ? M ????ю??? ????м????. ? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? ? ? ? ? ? м ? 1. ????ь ????
m
)
W = { W k } k = 1 ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A.
??гд? ?y ? B (A)\A ??? ??л?д??? ????????м ??????ч???? дл? A ? y. ?л?д?????ль??, ?? ????д?л???? ?????г?
)
0
??????л????, ?y ? B (A)\A d(y, A) ? D (y), ?. ?. лю???
??д??????м?? ?ль????????? ?? л???? ? ????м ?????м
??????л???? ????????ль?? м???????? A.
)
0
????ь ?y ? B (A)\A ?????, ч?? d(y, A) ? D (y), ??
?? ??л?д??? ????????м ??????ч?)
???? W =
m
{ Wk }k = 1
Ћ»“≈–ј“”–ј
)
???. ??? ???ч??, ч?? ?y ? B (A)\A ?????, ч?? дл? ??? ??
0
????л?????? ??л???? (4); ?. ?. d(y, A) ? D (y). ??л?ч?л? ?????????ч??. ? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ? 2. ?? ????д?л????
?????м ??????ю??? ???л?ц?? ?л?д??? ?? м??????-
1. ??????? ?????м?: м?д?л???????? ??г?????ц?????? м??????м?? / ?.?. ??????, ?. ?????, ?.?. ???л??? ? д?.? ?.:
?????, 1989. ? 245 ?.
2. ??????? ?.?., ???????? ?.?. ???? ?????? ???????? ?????м. ? ?.: ??????, 1999. ? 108 ?.
3. Moulin H. On strategy-proofness and single-peakedness // Public Choice. ? 1980. ? Vol. 35. ? P. 437?455.
4. ?????? ?.?., ??????? ?.?., ?????? ?.?. ???м?????? ?????????? м?д?????? ???м дл? ?????????? ??м?????л????м?г? м??????м? м??г?????????ль??? ???????? ?????????? // ????л?м? ?????л????. ? 2008. ? ? 4. ? ?. 38?47.
5. Border K., Jordan J. Straightforward elections, unanimity and
phantom voters // Review of Economic Studies. ? 1983. ?
Vol. 50. ? P. 153 ? 170.
6. Barbera S., Masso J., Serizawa S. Strategy-proof voting on
compact ranges // Games and Behavior. ? 1998. ? Vol. 25. ?
P. 272?291.
7. Barbera S., Masso J., Neme A. Voting under Constraints // J.
Econ. Theory. ? 1997. ? Vol. 76. ? P. 298?321.
????ь: дл? лю??? ?ль???????? y', y'' ? B (A) ? ???????ль??г? k ? M ??л? y'k l y''k , ?? Rk( y'k ) ? Rk( y''k ),
??л? y'k m y''k , ?? L *k ( y'k ) ? L *k ( y''k ). ?л?д?????ль??, дл?
?
+
?k ? M (y, z) Rk(yk) ? Rk(zk) ? ?k ? M (y, z) L *k (yk) ?
? L *k (zk). ?л?д?????ль??, дл? ??????ю??? ???л?ц?? дл?
ѕ – ќ Ѕ ?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 952 Кб
Теги
анализа, реализуемости, результаты, свойства, применению, экспертиза, пересечение, многокритериальной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа