close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
72
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
УДК 517.9
АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE EIGENVALUES OF A
DIFFERENTIAL OPERATOR
WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS
А.Н. Шелковой
A.N. Shelkovoj
Воронежский государственный технический университет, Россия, 394016, г. Воронеж, Московский пр-т, 14
Voronezh State Technical University, 14, Moskovskii av., Voronezh, 394016, Russia
E-mail: shelkovoj.aleksandr@mail.ru
Аннотация. В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго
порядка с нелокальными краевыми условиями методом подобных операторов. Получены результаты об
асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.
Resume. We use the method of similar operators to study the spectral properties of a second order differential operator with non-local boundary conditions. We obtain results on the asymptotic behavior of the spectrum of such operators and convergence of the corresponding spectral decompositions.
Ключевые слова: спектр оператора, дифференциальный оператор второго порядка, асимптотика
спектра, метод подобных операторов.
Key words: operator spectrum, differential of second order operator, spectrum asymptotic, method of
similar operators.
Введение
Пусть L2  0, 2  - гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций,
суммируемых с квадратом модуля со скалярным произведением вида
Через W2  0, 2  обозначим пространство Соболева
2
x  L2  0, 2  .
 x, y  
1
2
2
 x( ) y( )d .
0
x  L 0, 2  : x абсолютно непрерывна,
Рассматривается
2
дифференциальный
оператор
L : D  L   L2 0, 2   L2 0, 2  , задаваемый дифференциальным выражением вида
n
 Lx  t    x  t   x  t    ak (t ) x tk  ,
(1)
k 1
где
ak
-
функции
из
L2  0, 2  ,
tk  0, 2  ,
D( L)  x W22 0, 2  , x  0   x  2  , x  0   x  2  .
k  1, n,
с
областью
определения
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
73
В частности, такого класса (случай n  2 ) оператор возникает при переходе к сопряженному при исследовании оператора, действующего в L2  0, 2  , задаваемого выражением
Ly   y  y
(2)
и начальными краевыми условиями
2

 y  0   y  2    a0 (t ) y (t )dt ,

0

2
 y 0  y 2  a (t ) y (t )dt.
   1
  
0

Здесь
(3)
a0 и a1 - функции из L2 0, 2 .
Для исследования спектра оператора
L рассмотрим сопряженный ему оператор L* (см. [5]),
который задается дифференциальным выражением
 L x  t    x t   x t   [ x  2  a (t )  x  2  a (t )]
*
0
(4)
1
и краевыми условиями
 x  0   x  2  ,

 x  0   x  2  .
(5)
В настоящей статье для исследования спектральных свойств рассматриваемого класса
применяется вариант метода подобных операторов, позволяющий получить оценку сходимости
спектральных разложений рассматриваемых операторов.
Приведем основные определения и теоремы метода подобных операторов.
Пусть
H - бесконечномерное комплексное сепарабельное гильбертово пространство.
Определение 1. Два оператора Ai : D  Ai   H  H , i  1, 2, называются подобными,
если существует непрерывно обратимый оператор
V  End H (т. е. V 1  End H , End H -
банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве
H ),
такой,
что
VD  A2   D  A1 
и
выполняется
равенство
AVx
 VA2 x, x  D  A2  . Оператор V называется оператором преобразования подобия опера1
тора
A1 в A2 .
Определение 2. Линейный оператор
оператору
1)
С : D  С   H  H называется подчиненным
A : D  A  H  H , если выполнены следующие два условия:
D  С   D  A ;
2) существует постоянная M  0 , такая, что
Cx  M  Ax  x

x  D  A .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
74
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
Определение 3. Тройка
стимой для оператора
A,а U
U , J ,   
J : U  U ,  : U  End H , называется допу-
- допустимым пространством возмущений, если:
U - банахово пространство (со своей нормой  * ), непрерывно вложенное в ба-
1)
нахово пространство LA  H  линейных операторов, подчиненных оператору
A;
J ,  - трансформаторы (т. е. линейные операторы, действующие в простран-
2)
стве линейных операторов);
 X  x  D  A
3)
x  D  A и имеет место равенство:
AX   X  A  X  JX , X U ,
(равенство понимается как равенство элементов из U );
X Y ,  Y  X U , X , Y U , и существуют постоянные  1  0,  2  0 , такие,
4)
что    1 и
5)
а)

max X Y * ,  Y  X
*

2
X
*
Y *;
выполнены условия:
Im X  D( A) и AX  End H или
б) X U и   0 существует число
тора
A ),
такое, что
XR   , A

     A (   A - резольвентное множество опера-
  , где X

 sup Xx - норма оператора в End H ;
x 1
R   , A   A   I  .
1
Здесь
Im X
- образ оператора
X . Непрерывность вложения банахова пространства U в
LA  H  означает, что существует постоянная M 0  0 , такая, что B
A
 M 0 B * B U . Пусть
A : D  A  H  H - нормальный оператор (см., например, [19]) (частный случай нормального
– самосопряженный оператор), т. е.
D  A  D  A*  , Ax  A* x , x  D  A , спектр которого
представим в виде:
  A 
 j , 0    A ,
j 1
где
 j , j  1,
- взаимно непересекающиеся компактные множества, такие, что
dist  0, 1   dist  0,  2  
Пусть
, lim dist  0,  n   .
n
Pj , j  1 , - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству
Aj  APj , j  1, 2,
,
 j,
Aj  End H ,  j  sup  . В качестве пространства возмущений U рас j
сматриваются операторы
B : D  A  H  H , допускающие представление
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
75
В  B0 A, B0  2  H 
(здесь
 2  H  - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве
H , с нормой

2
), причем существуют две ненулевые последовательности
  ,  


j 1
j 1
, такие,
что имеет место оценка:
Pj B0 Pi  c   j  i , i, j  1, 2,
,
для некоторой постоянной c  0 .
Наименьшая из констант, удовлетворяющих этому неравенству, определяет норму в U .
n
n 
Пусть n – некоторое натуральное число, положим
k 1
строенный по спектральному множеству
- проектор Рисса, по-
n .
Q1  Q1n  P  n , A  P1  P2 
Положим
 k , P   n , A
 Pn , Q2  Q2 n  I  Q1n . Трансформаторы
J n : U  U , n : U   2  H  , n  1 , определяются следующим образом:
J n X  Q1 XQ1  Q2 XQ2 ,
n X  n  X  n  X ,
1
2
где
n1 X 
На операторных блоках

n
n
 n  Pm X 0 APk  , n2 X   n  Pm X 0 APk  .
m n 1 k 1
m 1 k 1
Pm X 0 Pk A трансформатор  n определяется как решение уравнения
APmY0mk  Y0mk APk  Pm X 0 Pk ,
удовлетворяющее условию
PmY0mk Pk  Y0mk ,
где
k  n  1, m  n либо k  n, m  n  1.
Для всех остальных значений m и k полагается
n  Pm X 0 Pk A  0.
Теорема 1. Пусть n – натуральное число, такое, что
n
 1 ( n)  

m 1 k  n 1

 k  k2 m2   m2 k2  m
2
 dist 
m ,  k 
2
2

 k  k  k 
 n  k  k  k 
 , sup 
  ,
k n 1 dist  j ,  k   j n1  k 1 dist  j ,  k  


 2 (n)  max max  

 ,
j n

причем выполнено условие
2 max  1  n  ,  2  n    1  n    2  n   1,
Тогда оператор
A B
подобен оператору A  J n X
*
 n ,
где
X * (n) U имеет вид:
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
76
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
*
X *  n   X11*  n   X12*  n   X 21
 n   X 22*  n  ,
где X ij  n   Qi X
*
*
 n  Q j , i,
(6)
j  1, 2, есть решение системы уравнений

 X ii  Bij X ji  Bii ,  i  1, j  2    i  2, j  1 ;


 X ij  Fij  X ij  ,
где оператор
(7)
Fij : U ij  U ij задается формулой
Fij  X   Bii X   X  B jj   X   B ji X   Bij ,
Bij  Qi BQ j , i, j  1, 2, - блоки оператора B U , являющегося возмущением оператора A, допустимое пространство возмущений U является прямой суммой четырех замкнутых подпространств вида
Uij  Qi XQ j , X U  , i, j  1, 2.
Оператор преобразования подобия имеет вид I  n X
Теорема 2.
n  .
Тогда,
Пусть операторы
начиная
с
*
 n.
и B U таковы, что
A
некоторого
n0 ,
 1  n   0,  2  n   0 при
A B
оператор
подобен
оператору


A  J n X *  n  , n  n0 , где X *  n  представим в виде (6), и P   n , A  P  n , A  B  0 при
n  ,
причем
n  
где

 A  J X
n
*
 n   P   n , A H     A  B  ,

P  n , A  B - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству  n операто-
ра A  B.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда
 I  P   , A  B  x   P X
n
i  n 1
i
 0 при n  
для любого фиксированного x  H .
Основные результаты
Перейдем к исследованию основных свойств оператора L : D  L   L2 0, 2   L2 0, 2 
, задаваемого выражением (1). Методом исследования оператора
L
раторов, рассматриваемый в работах [1-16]. Представим его в виде
является метод подобных опе-
Lx  Ax  Bx, где A порожда-
ется дифференциальным выражением Ax   x  x,
D  A  x  L2 0, 2  : x, x  C 0, 2  , x  L2 0, 2  ,
x  0   x  2  , x  0   x  2  ,
(8)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
77
с краевыми условиями (5) и
 Bx t   x  2  a0 t   x  2  a1 t  , t 0, 2  , x  D  A .
Оператор
0  1
A
- самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственное значение которого
является простым, а остальные собственные значения
1

cos nt , e2 n  t  
n  n2  1, n  1,
двукратны; соб-
A, отвечающие этим собственным значениям, e0  t  
ственные функции оператора
e2 n 1  t  
(8)
1
1
,
2
sin nt , n  N , где N - множество натуральных чисел, образуют

ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L2  0, 2  (см., например, [1]). Положим
1  n   1 ,


, n  , Pn  P  1  n  , A , Pj  P  j , A - проектор Рисса, j  1, 2,
.
Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора
Lx  Ax  Bx, мы получим следующие результаты.
Теорема 3. Оператор B : D  A  L2 0, 2   L2 0, 2  , задаваемый соотношением
(8), представим в виде
В  B0 A,
где
(9)
B0  2  L2 0, 2  (  2  L2 0, 2  - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в
гильбертовом пространстве L2  0, 2  ), и
PB
i 0 Pj   i  j , i, j  0,1, 2,
где
(10)
,
Pj - проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству  j   j 2  1 ,
( Pj x 
 x, e  e
2 j 1
2 j 1
  x, e2 j  e2 j , j  0,  ,  - скалярное произведение в L2  0, 2  ),

0 2
0 2
a

a
0
1
 
;  0  1;
 0
2

j

sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
 i  a0i  a0i  a1i  a1i ;  j  j 2  1 , i, j  1, 2,

a 
0
0
a0sini 
a1sin
i 
1

1

1

2
 a  t dt; a
0
0
0
1

1
cos
 a0  t  sin itdt; a0i 
0
2
cos
 a1  t  sin itdt; a1i 
0
Теорема 4. Пусть для любых функций
;
2

2
(11)
1

1

 a t dt;
1
0
2
 a t  cos itdt;
0
0
2
 a t  cos itdt.
1
0
a0 и a1 , принадлежащих гильбертову про-
странству L2  0, 2  , для последовательностей величин
1 и  2,
определенных формулами
78
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
1/2
2
2
  2  2  n 2  12   2  2
 m2  n2  n 2  1   n2  m2  m2  1 
0 n
n 0
1  n  
 

2
2 2

n4
n

m
m

1

m n

 ,
  n 2  1
 m  m  m2  1 

 0 0
 n n
 2  n   max 
; 2  
  ,
n
n2  m2 
 2n  1
m

1
m n


выполнены условия:
lim  1  n   0, lim  2  n   0.
n 
Тогда спектр
n
  A  B  оператора A  B представим в виде
  A  B 
n,
n 1
где
 n , n  1,
n - взвешенное среднее соб-
- не более чем двухточечное множество, и пусть
 n . Тогда имеет место оценка:
ственных значений из
n   n2  1 
 1

n 1
m
m 1




1 ma0sinm  cos 
1 a1cos


m 

 na 1   n2  m2   a1n 1   n2  m2  
 m1

 m1

m n
m n




sin
0n
2
m 1
m

1 a0cos
1 ma1sinm


m
sin
cos

 na1n 
 a0 n 
2
2

n

m
n2  m2
m

1
m

1
m n
m n

n 2  n  a0sini  a0cos
 a1sin
 a1cos
i
i
i
2


где D  n   1   1  n    2  n 

2
2
D  n
2

 
 


2
,
 4 1  n   2  n  , n  1.
Также справедлива оценка:
2
 2

1
P
x
t

 n  
  x  t  cos ntdt  cos nt 
0
0

 
1/2
2
2


1
   x  t  sin ntdt  sin nt dt 

0


где

2 1  n 
D  n   1  3 1  n    2  n 
, n  1,
Pn - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству  n оператора A  B.
Здесь
a0cosj 
1

2
cos
 a0  t  cos jtdt; a1 j 
0
1

2
 a t  cos jtdt;
1
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
sin
0j
a

1

2
 a  t  sin jtdt; a
sin
1j
0

0
1

79
2
 a t  sin jtdt, j  1, 2,
, - коэффициенты Фурье функций
1
0
a0  t  и a1  t  по системе собственных функций оператора A.
1 и  2,
Лемма. Для последовательностей
заданных формулами
1/2
2
2
 n
k  k2 m2   m2 k2 m 
1  n    

2
 m0 k n 1




m
k


 ,
(12)


k  k  k 
 n k  k  k 
,
 sup 
  ,






k

n

1
k

1
j

n

1
j
k
j
k






 2  n   max max  

j n
(13)

выполняются условия
lim  1  n   0, lim  2  n   0.
n 
n
На основе приведенной выше леммы сформулируем утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (1).
Теорема 5. Пусть функции a0 , a1  L2 0, 2 . Тогда, начиная с некоторого натурального n0 , оператор
виде (6), и
A B
подобен оператору A  J n X

*
 n ,
n  n0 , где X *  n  представим в

P  1  n  , A  P 1  n  , A  B  0 при n  .
Список литературы
References
1. Баскаков А.Г. 1987. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж, Изд-во ВГУ, 165.
Baskakov A.G. 1987. Harmonic analysis of linear operators. Voronezh, Publicher hause VSU, 165 .
2. Баскаков А.Г. 1983. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. мат. журн, 24 (1): 21-39.
Baskakov A.G. 1983. Methods of abstract harmonic analysis in the perturbation of linear operators. Siberian
Math. J. , 24 (1): 21-39.
3. Баскаков А.Г. 1986. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений. Изв. АН СССР, 50(3): 435-457.
Baskakov A.G. 1987. A theorem on splitting an operator, and some related questions in the analytic theory of
perturbations. Mathematics of the USSR – Izvestya, 28(3): 421-444.
4. Баскаков А.Г. 1994. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных
операторов. Изв. РАН. Сер. матем. , 58(4): 3-32.
Baskakov A.G. 1995. Spectral analysis of perturbed nonquasianalytic and spectral operators. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 45(1): 1-31.
5. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. 1988. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с
нелокальными краевыми условиями. Дифференц. уравнения, 24(8): 1424-1433.
Baskakov A.G. Katsaran T.K. 1988. Spectral analysis of integro-differential operators with non-local boundary conditions. Differ. Equations, 24(8): 1424-1433.
6. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. 2011. Метод подобных операторов в спектральныом
анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом. Изв. РАН. Сер. матем, 75(3): 3-28.
Baskakov A.G., Derbushev A.V., Sherbakov A.O. 2011. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izvestiya: Mathematics, 75(3): 445-469.
7. Баскаков А.Г., Диденко В.Б. 2015. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения, 51(3): 323-338.
Baskakov A.G., Didenko V.B. 2015. Spectral analysis of differential operators with periodic unbounded coefficients. Differ. Equations, 51.(3): 323-338.
80
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
8. Баскаков А.Г. 2015. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений. Мат. сборник, 205(8): 23-62.
Baskakov A.G. 2015. Estimates for the Green’s function and parameters of exponential dichotomy of a hyperbolic operator semigroup and linear relations. Sbornik: Mathematics, 206(8): 1049-1086.
9. Ульянова Е.Л. 1998. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно
конечномерными: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 100.
Ul’yanova E.L. 1998. Spectral analysis of the normal operators with perturbed relatively finite-dimensional:
dis. … cand. sci. sciences.Voronezh, 100.
10. Ускова Н.Б. О спектре некоторых классов дифференциальных операторов / Н.Б. Ускова // Дифференц. уравнения. - 1994. – Т. 30. - № 2. – С. 350-352.
Uskova N.B. About a spectrum of some differential operators classes / N.B. Uskova // Differ. Equations. 1994. - V. 30. - № 2. - P. 350-352.
11. Ускова Н.Б. 1997. Об оценках спектральных разложений собственных векторов некоторых классов
дифференциальных операторов. Дифференц. уравнения, 33 (4): 564-566.
Uskova N.B. 1997. About estimates for spectral decompositions of own vectors of some differential operators
classes. Differ. Equations, 33(4): 564-566.
12. Ускова Н.Б. 2000. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов. Сиб. мат. журн, 41.(3): 712-721.
Uskova N.B. 2000. On estimates for spectral projections of perturbed selfadjoint operators. Siberian Mathematical Journal, 41(3): 592-600.
13. Ускова Н.Б. 2004. К одному результату Р. Тернера. Мат. заметки, 76(6): 905-917.
Uskova N.B. 2004. On a Result of R. Turner. Mathematical Notes, 76(6): 844-854.
14. Ускова Н.Б. 2015. О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом. Уфим. мат. журн. - 2015. – Т. 7. - № 3. – С. 88-99.
Uskova N.B. 2015. On spectral properties of Stourm-Liouville operator with matrix potential. Ufa Mathematical Journal, 7 (3): 84-94.
15. Поляков Д.М. 2015. Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с
негладкими коэффициентами. Сиб. мат. журн, 56(1): 165-184.
Polyakov D.M. 2015. Spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator with nonsmooth coefficients. Siberian Mathematical Journal, 56(1): 138-154.
16. Поляков Д.М. 2015. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного
оператора четвертого порядка. Дифференц. уравнения, 51(3): 417-420.
Polyakov D.M. 2015. The method of similar operators in the spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator. Differ. Equations, 51(3): 417-420.
17. Шелковой А.Н. 2004. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 144 с.
Shelkovoj A.N. 2004. Spectral analysis of differential operators with non-local boundary conditions: dis. …
cand. sci. sciences. Voronezh, 144.
18. Шелковой А.Н. 2003. Об асимптотике собственных значений и равносходимости спектральных
разложений дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями. Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: тр. конф., Воронеж, 30 июня
– 4 июля, Воронеж, 233.
Shelkovoj A.N. 2003. About the asymptotic behavior of own meanings and equiconvergence of the corresponding spectral decompositions of a second order differential operator with non-local boundary conditions. Modern problems of the functional analysis and differential equations: conf. works, Voronezh, on June 30 - on July 4,
233.
19. Данфорд Н., Шварц Д.Т. 1974. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы. М.,Мир, 661.
Danford N. Schwartz J.T. 1971. Linear operators. V. III: Spectral operators. Intersci. Publ., New York – London, 661.
20. Наймарк М.А. 1969. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 528.
Naymark М.А. Linear differential operators. М., The Science, 528.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
4 457 Кб
Теги
дифференциальной, оператора, условиями, краевыми, асимптотики, значение, нелокальные, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа